Inhalt 4
Vom Übersetzungseditor 10
Vorwort zur dritten Auflage 13
Vorwort zur zweiten Auflage 15
Vorwort zur Erstausgabe 16
Notation 20
Kapitel 1. Einleitung 22
§ 1. Elastizität 22
§ 2. Spannungen 23
§ 3. Bezeichnungen für Kräfte und Spannungen 24
§ 4. Stresskomponenten 25
§ 5. Komponenten der Verformungen 26
§ 6. Hookes Gesetz 28
§ 7. Indexnotation 32
Probleme 34
Kapitel 2. Ebener Spannungszustand und ebene Dehnung 35
§ 8. Die ebene Spannung bestand aus 35
§ 9. Ebenenverformung 35
§ 10. Betonung bei Punkt 37
§ 11. Verformungen unter Punkt 42
§ 12. Messung von Oberflächenverformungen 44
§ 13. Konstruktion des Mohr-Deformationskreises für Rosette 46
§ 14. Diffe46
§ 15. Randbedingungen 47
§ 16. Kompatibilitätsgleichungen 48
§ 17. Stressfunktion 50
Probleme 52
Kapitel 3. Zweidimensionale Probleme in rechtwinkligen Koordinaten 54
§ 18. Lösung in Polynomen 54
§ 19. Endwirkungen. Saint-Venant-Prinzip 58
§ 20. Bestimmung der Verschiebungen 59
§ 21. Biegung der am Ende belasteten Konsole 60
§ 22. Biegen eines Balkens mit gleichmäßiger Belastung 64
§ 23. Andere Fälle von Balken mit kontinuierlicher Lastverteilung 69
§ 24. Lösung eines zweidimensionalen Problems unter Verwendung der Fourier-Reihe 71
§ 25. Andere Anwendungen der Fourier-Reihe. Eigengewichtsbelastung 77
§ 26. Der Einfluss von Kondomen. Eigene Funktionen 78
Probleme 80
Kapitel 4. Zweidimensionale Probleme in Polarkoordinaten 83
§ 27. Allgemeine Gleichungen in Polarkoordinaten 83
§ 28. Polarsymmetrische Spannungsverteilung 86
§ 29. Reine Biegung gebogener Balken 89
§ 30. Komponenten von Verformungen in Polarkoordinaten 93
§ 31. Verschiebungen bei symmetrischen Spannungsnullpunkten 94
§ 32. Rotierende Scheiben 97
§ 33. Biegung eines gebogenen Trägers mit einer Kraft am Ende von 100
§ 34. Kantenversetzungen 105
§ 35. Der Einfluss eines runden Lochs auf die Spannungsverteilung in der Platte 106
§ 36. An irgendeinem Punkt einer geradlinigen Grenze ausgeübte konzentrierte Kraft 113
§ 37. Beliebige vertikale Belastung auf einer geraden Grenze 119
§ 38. Auf die Spitze des Keils wirkende Kraft 125
§ 39. Biegemoment, das auf die Spitze des Keils wirkt 127
§ 40. Einwirkung auf einen Strahl konzentrierter Kraft 128
§ 41. Spannung in einer runden Scheibe 137
§ 42. Kraft, die an einem Punkt auf einer unendlichen Platte wirkt 141
§ 43. Verallgemeinerte Lösung eines zweidimensionalen Problems in Polarkoordinaten 146
§ 44. Anwendungen der verallgemeinerten Lösung in Polarkoordinaten 150
§ 45. An den Kanten belasteter Keil 153
§ 46. Eigene Lösungen für Keile und Ausschnitte 155
Probleme 158
Kapitel 5. Experimentelle Methoden. Photoelastizitätsmethode und Moiré-Methode 163
§ 47. Experimentelle Methoden und Prüfung theoretischer Lösungen 163
§ 48. Messung von Spannungen nach der photoelastischen Methode 163
§ 49. Zirkularpolariskop 169
§ 50. Beispiele für die Spannungsbestimmung mit der photoelastischen Methode 171
§ 51. Bestimmung der Hauptspannungen 174
§ 52. Methoden der Photoelastizität im dreidimensionalen Fall 175
§ 53. Moire-Methode 177
Kapitel 6. Zweidimensionale Probleme in krummlinigen Koordinaten 180
§ 54. Funktionen einer komplexen Variablen 180
§ 55. Analytische Funktionen und Laplace-Gleichung 182
§ 56. Stressfunktionen ausgedrückt durch harmonische und komplexe Funktionen 184
§ 57. Verschiebungen entsprechend einer gegebenen Spannungsfunktion 186
§ 58. Ausdruck von Spannungen und Verschiebungen durch komplexe Potentiale 188
§ 59. Die Resultierende von Spannungen, die entlang einer bestimmten Kurve wirken. Randbedingungen 190
§ 60. Krummlinige Koordinaten 193
§ 61. Spannungskomponenten in krummlinigen Koordinaten 196
Probleme 198
§ 62. Lösungen in elliptischen Koordinaten. Elliptisches Loch in einer Platte mit gleichmäßigem Spannungszustand 198
§ 63. Elliptisches Loch in einer Platte unter einachsiger Spannung 202
§ 64. Hyperbolische Grenzen. Ausschnitte 206
§ 65. Bipolare Koordinaten 208
§ 66. Lösungen in bipolaren Koordinaten 209
§ 67. Bestimmung komplexer Potentiale anhand gegebener Randbedingungen. Methoden von N. I. Muskhelishvili 214
§ 68 Formeln für komplexe Potentiale 217
§ 69. Eigenschaften von Spannungen und Dehnungen, die komplexen analytischen Potentialen im Bereich des Materials um das Loch 219 entsprechen
§ 70. Sätze für Randintegrale 221
§ 71. Abbildungsfunktion ω(ξ) für ein elliptisches Loch. Zweites Randintegral 224
§ 72. Elliptisches Loch. Formel für ψ(ζ) 225
§ 73. Elliptisches Loch. Besondere Probleme 226
Probleme 229
Kapitel 7. Spannungs- und Dehnungsanalyse im räumlichen Fall 230
§ 74. Einleitung 230
§ 75. Hauptbetonungen 232
§ 76. Spannungsellipsoid und Spannungsleitfläche 233
§ 77. Bestimmung der Hauptspannungen 234
§ 78. Stressinvarianten 235
§ 79. Bestimmung der maximalen Schubspannung 236
§ 80. Homogene Verformung 238
§ 81. Verformungen an einer Stelle des Körpers 239
§ 82. Hauptachsen der Verformungen 242
§ 83. Rotation 243
Probleme 245
Kapitel 8. Allgemeine Sätze 246
§ 84. Diffe246
§ 85. Kompatibilitätsbedingungen 247
§ 86. Bestimmung der Bewegungen 250
§ 87. Gleichgewichtsgleichungen bei Verschiebungen 251
§ 88. Allgemeine Lösung für Bewegungen 252
§ 89. Superpositionsprinzip 253
§ 90. Verformungsenergie 254
§ 91. Spannungsenergie für eine Kantenversetzung 259
§ 92. Das Prinzip der virtuellen Arbeit 261
§ 93. Satz von Castigliano 266
§ 94. Anwendung des Grundsatzes der Mindestarbeit. Rechteckige Platten 270
§ 95. Effektive Breite breiter Flansche von Trägern 273
Probleme 279
§ 96. Einzigartigkeit der Lösung 280
§ 97. Reziprozitätssatz 282
§ 98. Näherungscharakter von Lösungen für einen ebenen Spannungszustand 285
Probleme 287
Kapitel 9. Elementare dreidimensionale Probleme der Elastizitätstheorie 289
§ 99. Homogener Spannungszustand 289
§ 100. Spannung eines prismatischen Stabes unter dem Einfluss seines Eigengewichts 290
§ 101. Torsion runder Wellen mit konstantem Querschnitt 293
§ 102. Reine Biegung prismatischer Stäbe 294
§ 103. Reines Biegen von Platten 298
Kapitel 10. Torsion 300
§ 104. Torsion gerader Stäbe 300
§ 105. Elliptischer Querschnitt 305
§ 106. Andere elementare Lösungen 307
§ 107. Membrananalogie 310
§ 108. Torsion eines Stabes mit schmalem rechteckigem Querschnitt 314
§ 109. Torsion von rechteckigen Stäben 317
§ 110. Zusätzliche Ergebnisse 320
§ 111. Torsionsprobleme mit der Energiemethode lösen 323
§ 112. Torsion von Stäben aus Walzprofilen 329
§ 113. Experimentelle Analogien 331
§ 114. Hydrodynamische Analogien 332
§ 115. Torsion von Hohlwellen 335
§ 116. Torsion dünnwandiger Rohre 339
§ 117. Schraubenluxationen 343
§ 118. Torsion eines Stabes, dessen einer Querschnitt flach bleibt 345
§ 119. Torsion runder Wellen mit variablem Durchmesser 347
Probleme 355
Kapitel 11. Biegen von Balken 359
§ 120. Biegen der Konsole 359
§ 121. Stressfunktion 361
§ 122. Kreisförmiger Querschnitt 363
§ 123. Elliptischer Querschnitt 364
§ 124. Rechteckiger Querschnitt 365
§ 125. Zusätzliche Ergebnisse 371
§ 126. Asymmetrische Querschnitte 373
§ 127. Mittelpunkt der Biegung 375
§ 128. Biegeprobleme mit der Seifenfilmmethode lösen 378
§ 129. Bewegungen 381
§ 130. Weitere Studien zur Balkenbiegung 382
Kapitel 12. Achsensymmetrische Spannungen und Verformungen in Rotationskörpern 384
§ 131. Allgemeine Gleichungen 384
§ 132. Lösung in Polynomen 387
§ 133. Biegen einer runden Platte 388
§ 134. Dreidimensionales Problem einer rotierenden Scheibe 391
§ 135. An irgendeinem Punkt eines unendlichen Körpers ausgeübte Kraft 393
§ 136. Ein kugelförmiges Gefäß unter der Einwirkung eines gleichmäßigen Innen- oder Außendrucks 396
§ 137. Lokale Spannungen um einen kugelförmigen Hohlraum 399
§ 138. Auf die Grenze eines halbunendlichen Körpers ausgeübte Kraft 401
§ 139. Über einen Teil der Grenze eines halbunendlichen Körpers verteilte Last 405
§ 140. Druck zwischen zwei sich berührenden Kugelkörpern 412
§ 141. Druck zwischen zwei sich berührenden Körpern. Allgemeinerer Fall 417
§ 142. Kollision von Bällen 422
§ 143. Symmetrische Verformung eines runden Zylinders 424
§ 144. Runder Zylinder unter Einwirkung des Umgebungsdrucks 428
§ 145. Boussinesqs Lösung in Form zweier harmonischer Funktionen 430
§ 146. Spannung einer Schraubenfeder (Schraubenversetzungen im Ring) 431
§ 147. Reines Biegen eines Teils eines Kreisrings 434
Kapitel 13. Temperaturbelastungen 436
§ 148. Die einfachsten Fälle der Temperaturspannungsverteilung. Methode zur Beseitigung der Verformung 436
Probleme 442
§ 149. Temperaturänderung in Längsrichtung im Streifen 442
§ 150. Dünne runde Scheibe: Temperaturverteilung symmetrisch um den Mittelpunkt 445
§ 151. Langer runder Zylinder 447
Probleme 455
§ 152. Sphäre 455
§ 153. Allgemeine Gleichungen 459
§ 154. Reziprozitätssatz in der Thermoelastizität 463
§ 155. Totale thermoelastische Verformungen. Beliebige Temperaturverteilung 464
§ 156. Thermoelastische Verschiebungen. Integrale Lösung von V. M. Maizel 466
Probleme 469
§ 157. Anfangsbetonungen 469
§ 158. Allgemeine Volumenänderung im Zusammenhang mit Anfangsspannungen 472
§ 159. Ebener Dehnungs- und ebener Spannungszustand. Methode zur Beseitigung von Verformungen 472
§ 160. Zweidimensionale Probleme mit stationärem Wärmefluss 474
§ 161. Ebener thermisch belasteter Zustand, verursacht durch Störung eines homogenen Wärmeflusses durch ein isoliertes Loch 480
§ 162. Lösungen allgemeiner Gleichungen. Thermoelastisches Verschiebungspotential 481
§ 163. Allgemeines zweidimensionales Problem für Kreisflächen 485
§ 164. Allgemeines zweidimensionales Problem. Lösung in komplexen Potentialen 487
Kapitel 14. Wellenausbreitung in einem elastischen kontinuierlichen Medium 490
§ 165. Einleitung 490
§ 166. Expansionswellen und Verzerrungswellen in einem isotropen elastischen Medium 491
§ 167. Ebene Wellen 492
§ 168. Längswellen in Stäben mit konstantem Querschnitt. Elementartheorie 497
§ 169. Längskollision von Stäben 502
§ 170. Rayleigh-Oberflächenwellen 510
§ 171. Wellen mit sphärischer Symmetrie in einem unendlichen Medium 513
§ 172. Explosionsdruck in einem kugelförmigen Hohlraum 514
Anwendung. Anwendung endlicher Differenzengleichungen in der Elastizitätstheorie 518
§ 1. Ableitung von Finite-Differenzen-Gleichungen 518
§ 2. Methoden sukzessiver Approximationen 522
§ 3. Entspannungsmethode 525
§ 4. Dreieckige und sechseckige Maschen 530
§ 5. Block- und Gruppenlockerungen 535
§ 6. Torsion von Stäben mit mehrfach verbundenen Querschnitten 536
§ 7. Punkte in Grenznähe 538
§ 8. Biharmonische Gleichung 540
§ 9. Torsion kreisförmiger Wellen mit variablem Durchmesser 548
§ 10. Lösen von Problemen mit einem Computer 551
Namensindex 553
Sachregister 558

Der Entstehung der Elastizitäts- und Plastizitätstheorie als eigenständigem Zweig der Mechanik gingen bereits zu Beginn des 17. Jahrhunderts Arbeiten von Wissenschaftlern des 17. und 18. Jahrhunderts voraus. G. Galileo (1564-1642) unternahm einen Versuch, die Probleme des Streckens und Biegens eines Balkens zu lösen. Er war einer der ersten, der versuchte, Berechnungen auf Probleme des Bauingenieurwesens anzuwenden.

Die Theorie der Biegung dünner elastischer Stäbe wurde von so herausragenden Wissenschaftlern wie E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. untersucht. Coulomb, L. Euler und die Entstehung der Elastizitätstheorie als Wissenschaft können mit den Werken von R. Gun, T. Jung, J.L. in Verbindung gebracht werden. Lagrange, S. Germain.

Robert Hooke (1635-1703) legte mit seiner Veröffentlichung im Jahr 1678 den Grundstein für die Mechanik elastischer Körper R. Arbeit, in der er das von ihm aufgestellte Gesetz der Proportionalität zwischen Last und Zugverformung beschrieb. Thomas Young (1773-1829) ganz am Anfang des 19. Jahrhunderts. führte das Konzept des Elastizitätsmoduls bei Zug und Druck ein. Er unterscheidet außerdem zwischen Zug- bzw. Druckverformung und Scherverformung. Aus derselben Zeit stammen die Werke von Joseph Louis Lagrange (1736–1813) und Sophie Germain (1776–1831). Sie fanden eine Lösung für das Problem der Biegung und Vibration elastischer Platten. Anschließend wurde die Plattentheorie von S. Poisson (781-1840) und L. Navier (1785-1836) verbessert.

Also Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts. Der Grundstein für die Festigkeit von Materialien wurde gelegt und der Grundstein für die Entstehung der Elastizitätstheorie gelegt. Die rasante Entwicklung der Technik stellte die Mathematik vor eine Vielzahl praktischer Probleme, die zu einer rasanten Entwicklung der Theorie führten. Eines der vielen wichtigen Probleme war die Untersuchung der Eigenschaften elastischer Materialien. Die Lösung dieses Problems ermöglichte eine tiefere und vollständigere Untersuchung der inneren Kräfte und Verformungen, die in einem elastischen Körper unter dem Einfluss äußerer Kräfte entstehen.

Als Entstehungsdatum der mathematischen Elastizitätstheorie gilt das Jahr 1821, als das Werk von L. Navier veröffentlicht wurde, in dem die Grundgleichungen formuliert wurden.

Die großen mathematischen Schwierigkeiten bei der Lösung von Problemen in der Elastizitätstheorie erregten die Aufmerksamkeit vieler herausragender Mathematiker des 19. Jahrhunderts: Lame, Clapeyron, Poisson usw. Die Elastizitätstheorie wurde in den Werken des französischen Mathematikers O. Cauchy weiterentwickelt ( 1789-1857), der das Konzept der Verformung und Spannung einführte und damit die Ableitung allgemeiner Gleichungen vereinfachte.

Im Jahr 1828 fand der Grundapparat der mathematischen Elastizitätstheorie seine Vollendung in den Werken der französischen Wissenschaftler und Ingenieure G. Lame (1795–1870) und B. Clapeyron (1799–1864), die damals am Institut lehrten der Eisenbahningenieure in St. Petersburg. Ihre gemeinsame Arbeit ermöglichte die Anwendung allgemeiner Gleichungen zur Lösung praktischer Probleme.

Die Lösung vieler Probleme der Elastizitätstheorie wurde möglich, nachdem der französische Mechaniker B. Saint-Venant (1797-1886) das nach ihm benannte Prinzip vorstellte und eine wirksame Methode zur Lösung von Problemen der Elastizitätstheorie vorschlug. Sein Verdienst liegt laut dem berühmten englischen Wissenschaftler A. Love (1863-1940) auch darin, dass er die Probleme der Torsion und Biegung von Balken mit der allgemeinen Theorie verknüpft hat.

Beschäftigten sich französische Mathematiker hauptsächlich mit allgemeinen Problemen der Theorie, so leisteten russische Wissenschaftler einen großen Beitrag zur Entwicklung der Kraftwissenschaft, indem sie viele drängende praktische Probleme lösten. Von 1828 bis 1860 lehrte der herausragende Wissenschaftler M. V. Ostrogradsky (1801-1861) Mathematik und Mechanik an den technischen Universitäten in St. Petersburg. Seine Forschungen zu Schwingungen in einem elastischen Medium waren wichtig für die Entwicklung der Elastizitätstheorie. Ostrogradsky bildete eine Galaxie von Wissenschaftlern und Ingenieuren aus. Unter ihnen ist D. I. Zhuravsky (1821-1891) zu nennen, der während seiner Arbeit am Bau der St. Petersburg-Moskau-Eisenbahn nicht nur neue Brückenentwürfe, sondern auch eine Theorie zur Berechnung von Brückenbindern entwickelte und auch eine Formel ableitete für Tangentialspannungen in einem Biegebalken.

A. V. Gadolin (1828–1892) wandte Lames Problem der achsensymmetrischen Verformung eines dickwandigen Rohrs auf die Untersuchung von Spannungen an, die in Artilleriegeschützläufen auftreten, und war einer der ersten, der die Elastizitätstheorie auf ein spezifisches technisches Problem anwandte.

Unter anderen Ende des 19. Jahrhunderts gelösten Problemen ist die Arbeit von Kh S. Golovin (1844-1904) hervorzuheben, der eine genaue Berechnung eines gekrümmten Balkens mit Methoden der Elastizitätstheorie durchführte, die es ermöglichte Bestimmen Sie den Genauigkeitsgrad von Näherungslösungen.

Viel Verdienst für die Entwicklung der Kraftwissenschaft gebührt V. L. Kirpichev (1845-1913). Es gelang ihm, verschiedene Methoden zur Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke deutlich zu vereinfachen. Er war der erste, der die optische Methode zur experimentellen Bestimmung von Spannungen anwendete und die Ähnlichkeitsmethode entwickelte.

Eine enge Verbindung zur Baupraxis, Integrität und Analysetiefe zeichnen die sowjetische Wissenschaft aus. I. G. Bubnov (1872-1919) entwickelte eine neue Näherungsmethode zur Integration von Differentialgleichungen, die von B. G. Galerkin (1871-1945) brillant entwickelt wurde. Die Bubnov-Galerkin-Variationsmethode wird derzeit häufig verwendet. Die Arbeiten dieser Wissenschaftler in der Theorie der Plattenbiegung sind von großer Bedeutung. In Fortsetzung der Forschung von Galerkin gelangte P.F. zu neuen wichtigen Ergebnissen. Papkowitsch (1887-1946).

Eine Methode zur Lösung eines ebenen Problems in der Elastizitätstheorie, die auf der Anwendung der Funktionstheorie einer komplexen Variablen basiert, wurde von G.V. vorgeschlagen. Kolossow (1867-1936). Anschließend wurde diese Methode von N.I. entwickelt und verallgemeinert. Muskhelishvili (1891-1976). Eine Reihe von Problemen zur Stabilität von Stäben und Platten, zu Schwingungen von Stäben und Scheiben sowie zur Theorie des Stoßes und der Kompression elastischer Körper wurden von A.N. gelöst. Dinnik (1876-1950). Die Werke von L.S. sind von großer praktischer Bedeutung. Leibenzon (1879-1951) über die Stabilität des elastischen Gleichgewichts langer gedrehter Stäbe, über die Stabilität von Kugel- und Zylinderschalen. Von großer praktischer Bedeutung sind die Hauptwerke von V. Z. Vlasov (1906-1958) zur allgemeinen Theorie dünnwandiger räumlicher Stäbe, gefalteter Systeme und Schalen.

Die Plastizitätstheorie hat eine kürzere Geschichte. Die erste mathematische Theorie der Plastizität wurde in den 70er Jahren des 19. Jahrhunderts von Saint-Venant entwickelt. basierend auf den Experimenten des französischen Ingenieurs G. Tresca. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts. R. Mises beschäftigte sich mit den Problemen der Plastizität. G. Genki, L. Prandtl, T. Karman. Seit den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts hat die Plastizitätstheorie die Aufmerksamkeit eines großen Kreises prominenter ausländischer Wissenschaftler (A. Nadai, R. Hill, V. Prager, F. Hodge, D. Drucker usw.) auf sich gezogen. Die Arbeiten zur Plastizitätstheorie des sowjetischen Wissenschaftlers V.V. sind weithin bekannt. Sokolovsky, A. Yu. Ishlinsky, G.A. Smirnova-Alyaeva, L. M. Kachanova. Einen grundlegenden Beitrag zur Entstehung der Verformungstheorie der Plastizität leistete A.A. Iljuschin. A.A. Gvozdev entwickelte eine Theorie zur Berechnung von Platten und Schalen auf der Grundlage zerstörerischer Belastungen. Diese Theorie wurde von A.R. erfolgreich entwickelt. Rschanizyn.

Die Theorie des Kriechens als Zweig der Mechanik eines verformbaren Körpers wurde erst vor relativ kurzer Zeit entwickelt. Die ersten Studien auf diesem Gebiet stammen aus den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts. Ihr allgemeiner Charakter wird durch die Tatsache bestimmt, dass das Problem des Kriechens für die Energietechnik von großer Bedeutung war und die Ingenieure gezwungen waren, nach einfachen und schnell zum Ziel führenden Methoden zur Lösung praktischer Probleme zu suchen. Bei der Entstehung der Kriechtheorie spielen jene Autoren eine große Rolle, die einen wesentlichen Beitrag zur Entstehung der modernen Plastizitätstheorie geleistet haben. daher die Gemeinsamkeit vieler Ideen und Ansätze. In unserem Land gehörten die ersten Arbeiten zur mechanischen Theorie des Kriechens N.M. Belyaev (1943), K.D. Mirtov (1946), die ersten Studien von N.N. Malinin, Yu.N. stammen aus dem Ende der 40er Jahre. Rabotnova.

Forschungen auf dem Gebiet der elastisch-viskosen Körper wurden in den Werken von A.Yu. Ishlinsky, A.N. Gerasimova, A.R. Rzhanitsyna, Yu.N. Rabotnova. Die Anwendung dieser Theorie auf alternde Materialien, vor allem Beton, wird in den Werken von N.X. dargelegt. Harutyunyan, A.A. Gvozdeva, G. N. Maslova. Forschungsteams unter der Leitung von A.A. haben umfangreiche Untersuchungen zum Kriechen von Polymermaterialien durchgeführt. Iljuschina, A.K. Malmeister, M.I. Rozovsky, G. N. Savina.

Der Sowjetstaat legt großen Wert auf die Wissenschaft. Die Organisation von Forschungsinstituten und die Beteiligung großer Wissenschaftlerteams an der Entwicklung aktueller Probleme ermöglichten es, die sowjetische Wissenschaft auf ein höheres Niveau zu heben.

In einem kurzen Rückblick kann nicht näher auf die Arbeit aller Wissenschaftler eingegangen werden, die zur Entwicklung der Elastizitäts- und Plastizitätstheorie beigetragen haben. Wer sich ausführlich mit der Entwicklungsgeschichte dieser Wissenschaft vertraut machen möchte, kann sich auf das Lehrbuch von N.I. beziehen. Bezukhov, wo eine detaillierte Analyse der wichtigsten Entwicklungsstadien der Elastizitäts- und Plastizitätstheorie sowie eine umfangreiche Bibliographie gegeben werden.

1.1.Grundlegende Hypothesen, Prinzipien und Definitionen

Die Spannungstheorie als Zweig der Kontinuumsmechanik basiert auf einer Reihe von Hypothesen, von denen die wichtigsten als Kontinuitäts- und natürliche (Hintergrund-)Spannungszustandshypothesen bezeichnet werden sollten.

Gemäß der Kontinuitätshypothese werden alle Körper sowohl vor der Einwirkung einer Last (vor der Verformung) als auch nach ihrer Einwirkung als vollständig kontinuierlich angenommen. In diesem Fall bleibt jedes Volumen des Körpers fest (kontinuierlich), einschließlich des Elementarvolumens, also des unendlich Kleinen. In diesem Zusammenhang werden die Verformungen eines Körpers als kontinuierliche Koordinatenfunktionen betrachtet, wenn das Material des Körpers verformt wird, ohne dass sich darin Risse oder diskontinuierliche Falten bilden.

Die Hypothese eines natürlichen Stresszustands geht davon aus, dass im Körper ein anfängliches (Hintergrund-)Spannungsniveau vorhanden ist, das üblicherweise als Null angenommen wird, und dass die tatsächlichen, durch eine äußere Belastung verursachten Spannungen als Spannungserhöhungen über dem natürlichen Niveau betrachtet werden.

Neben den oben genannten Haupthypothesen werden auch eine Reihe grundlegender Prinzipien in die Spannungstheorie übernommen, unter denen zunächst die Ausstattung von Körpern mit idealer Elastizität, sphärischer Isotropie, perfekter Homogenität usw. zu erwähnen ist ein linearer Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen.

Unter idealer Elastizität versteht man die Fähigkeit von Materialien, die einer Verformung ausgesetzt sind, nach Wegnahme der äußeren Belastung (äußerer Einfluss) ihre ursprüngliche Form (Größe und Volumen) wiederherzustellen. Fast alle Gesteine ​​und die meisten Baumaterialien weisen eine gewisse Elastizität auf; diese Materialien umfassen sowohl Flüssigkeiten als auch Gase.

Die sphärische Isotropie setzt die gleichen Eigenschaften der Materialien in allen Wirkungsrichtungen der Last voraus; ihr Antipode ist die Anisotropie, also die Unähnlichkeit der Eigenschaften in verschiedenen Richtungen (einige Kristalle, Holz usw.). Gleichzeitig sollten die Konzepte der sphärischen Isotropie und der Homogenität nicht verwechselt werden: Beispielsweise ist die homogene Struktur von Holz durch Anisotropie gekennzeichnet – den Unterschied in der Festigkeit des Baums entlang und quer zu den Fasern. Elastische, isotrope und homogene Materialien zeichnen sich durch einen linearen Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen aus, der durch das Hookesche Gesetz beschrieben wird, das im entsprechenden Abschnitt des Lehrbuchs besprochen wird.

Das Grundprinzip der Spannungs- (und Verformungstheorie) ist das Prinzip der lokalen Wirkung selbstausgleichender äußerer Lasten – das Saint-Venant-Prinzip. Nach diesem Prinzip führt ein ausgeglichenes System von Kräften, die an einem beliebigen Punkt (Linie) auf einen Körper wirken, zu Spannungen im Material, die beispielsweise nach einem Exponentialgesetz mit der Entfernung vom Ort der Belastung schnell abnehmen. Ein Beispiel für eine solche Aktion wäre das Schneiden von Papier mit einer Schere, wodurch ein verschwindend kleiner Teil des Blatts (Linie) verformt (geschnitten) wird, während der Rest des Blatts Papier nicht gestört wird, d. h. es kommt zu einer lokalen Verformung. Die Anwendung des Saint-Venant-Prinzips hilft, mathematische Berechnungen bei der Lösung von Problemen bei der Schätzung der Mehrwertsteuer zu vereinfachen, indem eine gegebene Last, die mathematisch schwer zu beschreiben ist, durch eine einfachere, aber gleichwertige Last ersetzt wird.

Wenn man über den Untersuchungsgegenstand der Stresstheorie spricht, ist es notwendig, den Stress selbst zu definieren, der als Maß für die inneren Kräfte in einem Körper innerhalb eines bestimmten Abschnitts davon, verteilt über den betrachteten Abschnitt und, verstanden wird der äußeren Belastung entgegenwirken. In diesem Fall werden die auf die Querfläche und senkrecht dazu wirkenden Spannungen Normalen genannt; Dementsprechend sind Spannungen, die parallel zu diesem Bereich verlaufen oder ihn berühren, tangential.

Die Betrachtung der Spannungstheorie wird durch die Einführung der folgenden Annahmen vereinfacht, die die Genauigkeit der erhaltenen Lösungen praktisch nicht beeinträchtigen:

Relative Dehnungen (Verkürzungen) sowie relative Verschiebungen (Scherwinkel) betragen viel weniger als eins;

Die Verschiebungen von Körperpunkten während ihrer Verformung sind im Vergleich zu den linearen Abmessungen des Körpers gering;

Auch die Rotationswinkel der Abschnitte bei Biegeverformung des Körpers sind im Vergleich zu Eins sehr klein und ihre Quadrate sind im Vergleich zu den Werten der relativen linearen und Winkelverformungen vernachlässigbar.

4. STRUKTUR DER ERDE NACH SEISMOLOGISCHEN DATEN

Grundlagen der Elastizitätstheorie: Dehnungstensor, Spannungstensor, Hookesches Gesetz, Elastizitätsmodule, homogene Verformungen, elastische Wellen in einem isotropen Medium, Fermats, Huygens', Snellsche Gesetze. Seismische Wellen. Entwicklung seismometrischer Beobachtungen: seismische Stationen und ihre Netzwerke, Hodographen, Wellenbahnen im Erdinneren. Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit seismischer Wellen mithilfe der Hertlots-Wiechert-Gleichung. Geschwindigkeiten von Longitudinal- und Transversalwellen als Funktion des Erdradius. Zustand der Erdmaterie nach seismologischen Daten. Erdkruste. Lithosphäre und Asthenosphäre. Seismologie und globale Tektonik.

Grundlagen der Elastizitätstheorie[Landau, Lifshits, 2003, S. 9-25, 130-144]

Dehnungstensor

Der Inhalt ist die Mechanik von Festkörpern, betrachtet als kontinuierliche Medien Elastizitätstheorie. Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie wurden von O.L. aufgestellt. Koshy und S.D. Poisson in den 20er Jahren des 19. Jahrhunderts (weitere Einzelheiten siehe Kapitel 15).

Unter dem Einfluss der einwirkenden Kräfte verformen sich feste Körper in unterschiedlichem Maße, d.h. verändern ihre Form und ihr Volumen. Um die Verformung eines Körpers mathematisch zu beschreiben, gehen Sie wie folgt vor. Die Position jedes Punktes des Körpers wird durch seinen Radiusvektor r (mit Komponenten x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) in einem bestimmten Koordinatensystem bestimmt. Wenn ein Körper deformiert wird, verschieben sich im Allgemeinen alle seine Punkte. Betrachten wir einen bestimmten Punkt des Körpers; Wenn sein Radiusvektor vor der Verformung r war, dann hat er im deformierten Körper einen anderen

Wert r / (mit Komponenten x i / ). Die Verschiebung eines Körperpunktes während der Verformung wird dann durch den Vektor r / - r dargestellt, den wir mit dem Buchstaben u bezeichnen:

u = x/ − x .

Der Vektor u heißt Verformungsvektor(oder Verschiebungsvektor). Kenntnis des Vektors u

als Funktion von x i bestimmt vollständig die Verformung des Körpers.

Wenn ein Körper deformiert wird, ändern sich die Abstände zwischen seinen Punkten. Wenn der Radiusvektor zwischen ihnen vor der Verformung dx i war, dann im deformierten Körper der Radius

Der Vektor zwischen denselben beiden Punkten ist dx i / = dx i + du i . Der Abstand zwischen den Punkten vor der Verformung war gleich:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

und nach der Verformung:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Schließlich erhalten wir:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂u l

∂x k

∂x k

∂x i

∂x i

Diese Ausdrücke bestimmen die Änderung des Längenelements bei Verformung des Körpers. Der Tensor u ik heißt Dehnungstensor; per Definition ist es symmetrisch:

u ik = u ki .

Wie jeder symmetrische Tensor kann der Tensor u ik an jedem Punkt auf reduziert werden

die Hauptachsen und stellen Sie sicher, dass in jedem Element des Körpervolumens die Verformung als eine Menge von drei unabhängigen Verformungen in drei senkrechten Richtungen betrachtet werden kann – den Hauptachsen des Verformungstensors. In fast allen Fällen der Verformung von Körpern fallen die Verformungen gering aus. Dies bedeutet, dass die Änderung eines beliebigen Abstands im Körper im Vergleich zum Abstand selbst gering ausfällt. Mit anderen Worten: Die relativen Dehnungen sind klein im Vergleich zur Einheit.

Mit Ausnahme einiger Sonderfälle, auf die wir nicht eingehen, sind alle Komponenten des Verformungstensors ebenfalls klein, wenn der Körper einer kleinen Verformung ausgesetzt ist. Daher können wir im Ausdruck (4.3) den letzten Term als kleine Größe zweiter Ordnung vernachlässigen. Bei kleinen Verformungen wird der Verformungstensor somit durch den Ausdruck bestimmt:

u = 1			∂u i	+ ∂ u k ).
			∂x k	∂x i

Kräfte sind also die Ursache für Bewegungen (Bewegungen), die im Körper auftreten, und Verformungen sind das Ergebnis von Bewegungen [Khaikin, 1963, S. 176].

Die Hauptannahme der klassischen Elastizitätstheorie

In einem unverformten Körper entspricht die Anordnung der Moleküle dem Zustand seines thermischen Gleichgewichts. Gleichzeitig stehen alle seine Teile im mechanischen Gleichgewicht zueinander. Das heißt, wenn Sie ein bestimmtes Volumen im Inneren des Körpers auswählen, ist die Resultierende aller Kräfte, die von anderen Teilen auf dieses Volumen einwirken, gleich Null.

Bei der Verformung verändert sich die Anordnung der Moleküle und der Körper gerät aus dem Gleichgewichtszustand, in dem er sich ursprünglich befand. Dadurch entstehen in ihm Kräfte, die danach streben, den Körper wieder ins Gleichgewicht zu bringen. Diese bei der Verformung entstehenden Schnittgrößen werden aufgerufen innere Spannungen. Wenn der Körper nicht verformt ist, gibt es in ihm keine inneren Spannungen.

Innere Spannungen entstehen durch molekulare Bindungen, d.h. die Kräfte der Wechselwirkung von Körpermolekülen untereinander. Von großer Bedeutung für die Elastizitätstheorie ist die Tatsache, dass molekulare Kräfte einen sehr kleinen Wirkungsradius haben. Ihr Einfluss erstreckt sich um das Teilchen herum, das sie erzeugt, nur in einem Abstand in der Größenordnung intermolekularer. Aber in der Elastizitätstheorie werden, wie auch in der makroskopischen Theorie, nur Abstände berücksichtigt, die im Vergleich zu intermolekularen Abständen groß sind. Daher sollte der „Wirkungsradius“ molekularer Kräfte in der Elastizitätstheorie als gleich Null angesehen werden. Wir können sagen, dass die Kräfte, die innere Spannungen verursachen, im Sinne der Elastizitätstheorie „Kräfte mit kurzer Reichweite“ sind, die von jedem Punkt nur auf die ihm am nächsten gelegenen Punkte übertragen werden.

In der klassischen Elastizitätstheorie manifestieren Kräfte, die von den ihn umgebenden Teilen auf einen beliebigen Teil des Körpers einwirken, diesen Effekt nur direkt durch die Oberfläche dieser Teil des Körpers.

Tatsächlich hat der Autor des grundlegenden Werkes [Khaikin, 1963, S. 484].

Spannungstensor

Die Schlussfolgerung, dass alle Kräfte ihre Wirkung nur über die Oberfläche ausüben, ist der Schlüssel zur klassischen Elastizitätstheorie. Es berücksichtigt bei jedem Körpervolumen jede der drei Komponenten als Resultierende aller inneren Spannungen und Kräfte

∫ F i dV (wobei F i die auf ein Einheitsvolumen dV wirkende Kraft ist) in ein Integral über die Oberfläche dieses Volumens umwandeln. In diesem Fall muss, wie aus der Vektoranalyse hervorgeht, der Vektor F i die Divergenz eines Tensors zweiten Ranges sein, d.h. aussehen:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂x k

Dann lässt sich die auf ein bestimmtes Volumen wirkende Kraft als Integral über eine dieses Volumen abdeckende geschlossene Fläche schreiben:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k ,
wobei Vektor d f = df 2			Df 2	gerichtet	entlang der äußeren Normalen zur Oberfläche,

Abdeckung des Volumens dV.

Der Tensor σ ik heißt Spannungstensor. Wie aus (4.7) ersichtlich ist, ist σ ik df k das i

Komponente der auf das Flächenelement wirkenden Kraft d f. Wenn wir Oberflächenelemente in den Ebenen xy, yz, xz auswählen, stellen wir fest, dass die Komponente σ ik des Spannungstensors ist

ist die i-te Komponente der Kraft, die auf eine Einheitsfläche senkrecht zur x-Achse k wirkt. Also auf einer Einheitsfläche senkrecht zur x-Achse, normal zu

ihre (entlang der x-Achse gerichtete) Kraft σ xx und tangentiale (entlang der y- und z-Achse gerichtete) Kraft

Kräfte σ yx und σ zx.

Beachten Sie, dass die Kraft, die aus inneren Spannungen auf die gesamte Körperoberfläche wirkt, im Gegensatz zu (4.7) ist:

− ∫ σ ik df k .

Aufschreiben des Moments der Kräfte M ik, die auf ein bestimmtes Körpervolumen wirken, in der Form:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

und wenn wir ihn nur als Integral über die Oberfläche ausdrücken, erhalten wir, dass der Spannungstensor symmetrisch ist:

σ ik = σ ki .

Eine ähnliche Schlussfolgerung kann auf einfachere Weise erreicht werden [Sivukhin, 1974, S. 383]. Nämlich. Das Moment dM ik ist direkt proportional zum Trägheitsmoment des Elementars

Volumen dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 und daher erhalten wir (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0, was automatisch die Beziehung (4.8) impliziert.

Die Symmetrie des Spannungstensors ermöglicht es, ihn in jedem Punkt auf die Hauptachsen zu bringen, d.h. An jedem Punkt kann der Spannungstensor wie folgt dargestellt werden:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

Im Gleichgewicht müssen sich die inneren Spannungskräfte in jedem Element des Körpervolumens gegenseitig kompensieren, d.h. sollte F i = 0 sein. Also die Gleichungen

Das Gleichgewicht eines deformierten Körpers hat die Form:

∂ σ ik = 0 .

∂x k

Befindet sich der Körper im Schwerkraftfeld, dann sollte die Summe F + ρ g der inneren Spannungskräfte F und der pro Volumeneinheit wirkenden Schwerkraft ρ g verschwinden, ρ -

Körperdichte, g – Beschleunigungsvektor im freien Fall. Die Gleichgewichtsgleichungen haben in diesem Fall die Form:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂x k

Belastungsenergie

Betrachten wir einen deformierten Körper und gehen wir davon aus, dass sich seine Verformung so ändert, dass sich der Verformungsvektor u i um einen kleinen Betrag δ u i ändert.

Bestimmen wir die von inneren Spannungskräften geleistete Arbeit. Wenn wir die Kraft (4.6) mit der Verschiebung δ u i multiplizieren und über das gesamte Volumen des Körpers integrieren, erhalten wir:

		∫ ∂ x k
	δ RdV =		∂σik	δ ui dV .

Das Symbol δ R bezeichnet die Arbeit der inneren Spannungskräfte pro Volumeneinheit des Körpers. Wenn wir nach Teilen integrieren und ein unbegrenztes Medium betrachten, das im Unendlichen nicht verformt ist und die Integrationsfläche ins Unendliche richtet, dann erhalten wir darauf σ ik = 0:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

So finden wir:

δ R = − σ ikδ u ik .

Die resultierende Formel bestimmt die Arbeit zur Änderung des Verformungstensors, der die Änderung der inneren Energie des Körpers bestimmt.

Elastizitätstheorie untersucht die Spannungen und Verformungen elastischer Körper, die unter dem Einfluss äußerer Kräfte (Belastungen) auf sie entstehen.

Elastizität- Dies ist die Fähigkeit eines Körpers, der unter Belastung seine Form und Größe verändert hat, nach Wegnahme der Belastung wieder in seine ursprüngliche Größe und Form zurückzukehren. Wenn die Veränderung der Körpergröße linear von der Belastung abhängt, dann lineare Elastizität. Ein Körper mit dieser Eigenschaft heißt perfekt elastisch. Materialien mit idealer Elastizität sind Stahl, Gusseisen, Aluminium, Holz, Glas. Wenn die Veränderung der Körpergröße nichtlinear von der Belastung abhängt, spricht man von nichtlinearer Elastizität. Gummi hat beispielsweise eine nichtlineare Elastizität. Wir werden lernen lineare Elastizitätstheorie.

Reis. 1 - Lineare (1) und nichtlineare (2) Elastizität

Wenn an jedem Punkt die Eigenschaften eines Körpers in alle Richtungen gleich sind, dann heißt ein solcher Körper isotrop. Mit technischer Präzision kann Stahl als isotrop betrachtet werden. Wenn an jedem Punkt die Eigenschaften eines Körpers in verschiedene Richtungen unterschiedlich sind, dann heißt ein solcher Körper anisotrop. Solche Eigenschaften besitzt Holz, das einige Eigenschaften entlang der Faserrichtung und andere quer zur Faserrichtung aufweist. Wir werden lernen lineare Theorie der Elastizität isotroper Körper.

Darüber hinaus führen wir folgende Einschränkungen ein:

1. Das Material der Körper ist homogen, d.h. seine Eigenschaften sind an allen Stellen des Körpers gleich;
2. Das Material der Körper hat Kontinuität, d. h. die Verformung des Körpers erfolgt ohne Brüche;
3. Es werden nur Körper berücksichtigt, deren Verformungen und Verschiebungen unter Belastung im Vergleich zur Körpergröße gering sind.

Daher sind Probleme der Stabilität des elastischen Gleichgewichts, Berechnungen stark gekrümmter Stäbe und Biegungen von Platten und Schalen mit der Dicke der Schale vergleichbaren Durchbiegungen von unserer Betrachtung ausgeschlossen. Diese Probleme werden berücksichtigt Geometrisch nichtlineare Elastizitätstheorie.

Die lineare Elastizitätstheorie untersucht die inneren Kräfte, die in einem ideal elastischen Körper unter dem Einfluss äußerer Kräfte entstehen.

Daher werden Kräfte in äußere (Wechselwirkungskräfte zwischen verschiedenen Körpern) und innere (Kräfte, die zwischen zwei benachbarten Elementen im Körper entstehen) unterteilt. Äußere Kräfte können an einem Punkt (konzentriert), entlang der Oberfläche eines Körpers (Oberfläche) und an jedem Punkt des Körpers (volumetrisch) ausgeübt werden.

Betrachten Sie einen Körper im Gleichgewicht unter Einwirkung äußerer Kräfte F1, F2, …, Fn (Abb. 2a). Zwischen Körperteilen entstehen innere Wechselwirkungskräfte, die den Körper zerstören können. Um diese Kräfte in dem für uns interessanten Abschnitt zu bestimmen, teilen wir den Körper gedanklich in zwei Teile, verwerfen den rechten Teil und ersetzen seine Wirkung auf den verbleibenden Teil durch die resultierende Kraft R (Abb. 2b).

Die OX-Achse sei senkrecht zu unserem Abschnitt gerichtet. Dann liegen die OY- und OZ-Achsen in der Schnittebene. Projektion der resultierenden Kraft P auf der OX-Achse gibt uns Normal Px und auf den OY- und OZ-Achsen - Tangenten Py Und Pz Komponenten dieser Kraft.

In Wirklichkeit die Macht P wird nicht punktuell aufgetragen, sondern ist ungleichmäßig über die gesamte Fläche verteilt. Die Intensität dieser Kraft, also die pro Flächeneinheit wirkende Kraft, nennt man Stromspannung. Volle Spannung an einem Punkt ist als Grenze des Verhältnisses definiert:

Normale Spannung an einem Punkt wird als Grenze des Verhältnisses definiert

Scherbeanspruchung an einem Punkt werden als Grenzen von Beziehungen definiert

Der erste Index für Scherspannungen gibt die Richtung der Scherspannungen an, und der zweite Index ist die Achse normal zur Fläche, auf die die Scherspannungen wirken. Schneiden wir gedanklich an einem beliebigen Punkt des betrachteten Abschnitts ein elementares Parallelepiped mit den Seiten dx, dy und dz aus und betrachten wir die auf die Flächen dieses Parallelepipeds wirkenden Spannungen (Abb. 3).

Dann gibt es an jedem Punkt Spannungen, die durch eine Matrix namens dargestellt werden Spannungstensor.

Es ist klar, dass die Komponenten des Spannungstensors von der Wahl des Koordinatensystems abhängen.

Über die Komponenten des Spannungstensors lässt sich die sogenannte Vergleichsspannung ermitteln, die nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängt. Die äquivalente Spannung kann mit der Festigkeitseigenschaft des Materials verglichen werden, die durch die zulässige Spannung dargestellt wird.

Dann wird die Festigkeitsbedingung in der bekannten Form geschrieben:

Die Aufgabe der Elastizitätstheorie besteht darin, die Komponenten des Spannungstensors und damit der Vergleichsspannung möglichst genau zu bestimmen.

Lassen Sie uns schematisch die Anwendungsbereiche verschiedener Theorien zur Beschreibung des Spannungs-Dehnungs-Zustands von Teilen im Zugdiagramm einer Weichstahlprobe vor dem Versagen bezeichnen.

Reis. 4 – Anwendungsgebiete verschiedener Theorien: I – Elastizitätstheorie, II – Plastizitätstheorie, III – Bruchmechanik

Wenn die Spannungen in den Berechnungen größer sind als die Streckgrenze st (in moderner Notation Rp ), dann heißen sie bedingt elastisch. Es gibt Methoden, die es ermöglichen, den elastisch-plastischen und plastischen Zustand eines Teils mithilfe elastischer Lösungen zu untersuchen. Betrachten wir die allgemeine Struktur der Elastizitätstheorie.

Reis. 6 - Blockdiagramm der Elastizitätstheorie

Seit den 70er Jahren werden moderne mathematische Apparate am häufigsten in Arbeiten zur Elastizitätstheorie verwendet. Der formale mathematische Apparat ist die Bezeichnung und Formalisierung von Objekten und Aktionen auf ihnen. Die Elastizitätstheorie verwendet die Tensorrechnung. In unserem Kurs verwenden wir die Tensorrechnung nur zur Veranschaulichung einer kurzen Notation erweiterter Ausdrücke. Um eine kurze Beschreibung zu ermöglichen, werden die Koordinatenachsen und Spannungsindizes nicht mit Buchstaben, sondern mit Zahlen bezeichnet.

Der Rang eines Tensors ist die Anzahl der ihm zugeordneten Indizes. Wie später gezeigt wird, ist der Spannungstensor ein Tensor zweiten Ranges. Per Definition ist ein Tensor zweiten Ranges eine Menge von Größen Aij, die von zwei Indizes abhängen und bei einer Änderung des Koordinatensystems gemäß den Formeln transformiert werden

Der Rang eines Tensors hat nichts mit der Raumdimension zu tun! Die Dimension des Raums wird durch die Anzahl der Werte bestimmt, die jeder Index annimmt. Wenn ich, J, k, l Nehmen Sie die Werte 1, 2, 3 an, dann ist der Tensor (*) im dreidimensionalen Raum definiert. Regeln zum Reduzieren und Erweitern von Ausdrücken: durch interne (monomial wiederholende) Indizes k, l Es wird eine Summierung und End-to-End-Indizes (die sich links und rechts wiederholen) durchgeführt ich, J Bestimmen Sie die Anzahl der Gleichungen. Beispiel einer Ausdruckserweiterung (*) für Werte ich = 2, j = 3:

Eine weitere Abkürzung in der Notation besteht darin, dass partielle Ableitungen durch einen Index gefolgt von einem Komma gekennzeichnet werden. Zum Beispiel:

Dann bezeichnet die Notation mehrere Beziehungen:

In Zukunft werden wir sicherstellen, dass die Spannungstabelle an einem Punkt ein Tensor zweiten Ranges ist, d. h. die Beziehungen (*) erfüllt, wenn sich das Koordinatensystem ändert.

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