Ob erzwungene Schwingungen auftreten. Erzwungene Schwingungen

Im Gegensatz zu freien Schwingungen, bei denen das System nur einmal empfängt (wenn das System von entfernt wird), nimmt das System bei erzwungenen Schwingungen diese Energie kontinuierlich von einer Quelle externer periodischer Kraft auf. Diese Energie gleicht die Verluste aus, die für die Überwindung aufgewendet wurden, und daher bleibt die Gesamtzahl unverändert.

Erzwungene Schwingungen können im Gegensatz zu freien Schwingungen bei jeder Frequenz auftreten. mit der Frequenz der auf das schwingungsfähige System einwirkenden äußeren Kraft zusammenfällt. Die Frequenz erzwungener Schwingungen wird also nicht durch die Eigenschaften des Systems selbst bestimmt, sondern durch die Frequenz des äußeren Einflusses.

Beispiele für erzwungene Vibrationen sind die Vibrationen einer Kinderschaukel, die Vibrationen einer Nadel in einer Nähmaschine, die Vibrationen eines Kolbens in einem Automotorzylinder, die Vibrationen der Federn eines Autos, das sich auf einer unebenen Straße bewegt, usw.

Resonanz

DEFINITION

Resonanz- Dies ist das Phänomen eines starken Anstiegs erzwungener Schwingungen, wenn sich die Frequenz der Antriebskraft der Eigenfrequenz des Schwingungssystems nähert.

Resonanz entsteht dadurch, dass bei , die äußere Kraft, die im Takt mit freien Schwingungen wirkt, immer die gleiche Richtung vom Schwingkörper hat und positive Arbeit leistet: Die Energie des Schwingkörpers nimmt zu und wird groß. Wirkt dagegen eine äußere Kraft „nicht rechtzeitig“, so verrichtet diese Kraft abwechselnd entweder negative oder positive Arbeit, wodurch sich die Energie des Systems nur unwesentlich ändert.

Abbildung 1 zeigt die Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft. Es ist ersichtlich, dass diese Amplitude bei einem bestimmten Frequenzwert ein Maximum erreicht, d. h. bei , wo ist die Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems. Die Kurven 1 und 2 unterscheiden sich in der Größe der Reibungskraft. Bei geringer Reibung (Kurve 1) hat die Resonanzkurve ein scharfes Maximum, bei höherer Reibkraft (Kurve 2) gibt es kein solches scharfes Maximum.

Das Phänomen der Resonanz begegnet uns oft im Alltag. Wenn die Fenster im Raum zitterten, als ein schwerer Lastwagen die Straße entlangfuhr, bedeutet dies, dass die Eigenfrequenz der Fenster gleich der Frequenz der Maschine ist. Befinden sich Meereswellen in Resonanz mit der Schiffsperiode, dann wird das Nicken besonders stark.

Das Resonanzphänomen muss bei der Konstruktion von Brücken, Gebäuden und anderen Bauwerken, die unter Belastung Schwingungen erfahren, berücksichtigt werden, da diese Bauwerke sonst unter bestimmten Bedingungen zerstört werden können. Resonanz kann jedoch auch nützlich sein. Das Resonanzphänomen wird beim Einstellen eines Radioempfängers auf eine bestimmte Sendefrequenz sowie in vielen anderen Fällen verwendet.

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 1

Übung

Am Ende der Feder eines Horizontalpendels, dessen Last eine Masse von 1 kg hat, wirkt eine variable Kraft, deren Schwingungsfrequenz 16 Hz beträgt. Wird eine Resonanz beobachtet, wenn die Federrate 400 N/m beträgt?

Lösung

Bestimmen wir die Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems durch die Formel:

Hertz

Da die Frequenz der externen Kraft nicht gleich der Eigenfrequenz des Systems ist, wird das Resonanzphänomen nicht beobachtet.

Antworten

Das Resonanzphänomen wird nicht beobachtet.

BEISPIEL 2

Übung

Eine kleine Kugel hängt an einem 1 m langen Faden von der Decke des Autos. Bei welcher Geschwindigkeit des Wagens vibriert die Kugel besonders stark unter dem Aufprall der Räder auf die Schienenstöße? Schienenlänge 12,5 m.

Lösung

Die Kugel führt erzwungene Schwingungen mit einer Frequenz aus, die der Frequenz der Räder entspricht, die auf die Schienenstöße treffen:

Sind die Abmessungen der Kugel klein im Vergleich zur Gewindelänge, so kann das System betrachtet werden, dessen Eigenfrequenz ist:

die Amplitude erzwungener ungedämpfter Schwingungen ist im Resonanzfall maximal, d.h. Wenn . Damit lässt sich schreiben:

Als erzwungene Schwingungen werden solche Schwingungen bezeichnet, die im System unter Einwirkung einer sich periodisch ändernden äußeren Antriebskraft, der sogenannten Antriebskraft, auftreten.

Die Art (Zeitabhängigkeit) der treibenden Kraft kann unterschiedlich sein. Es kann eine Kraft sein, die sich gemäß dem harmonischen Gesetz ändert. Beispielsweise trifft eine Schallwelle, deren Quelle eine Stimmgabel ist, auf das Trommelfell oder die Mikrofonmembran. Auf die Membran beginnt eine sich harmonisch ändernde Luftdruckkraft zu wirken.

Die Antriebskraft kann in Form von Stößen oder kurzen Impulsen vorliegen. Zum Beispiel schwingt ein Erwachsener ein Kind auf einer Schaukel und schiebt es regelmäßig in dem Moment, in dem die Schaukel eine der extremen Positionen erreicht.

Unsere Aufgabe ist es herauszufinden, wie das schwingungsfähige System auf die Einwirkung einer sich periodisch ändernden Antriebskraft reagiert.

§ 1 Die Antriebskraft ändert sich nach dem Oberschwingungsgesetz

F cont = - rv x und treibende Kraft F aus \u003d F 0 sin wt.

Newtons zweites Gesetz wird wie folgt geschrieben:

Die Lösung von Gleichung (1) wird in der Form gesucht, wobei die Lösung von Gleichung (1) ist, wenn sie keine rechte Seite hätte. Man sieht, dass ohne die rechte Seite die Gleichung in die uns bekannte Gleichung gedämpfter Schwingungen übergeht, deren Lösung wir bereits kennen. Freie Schwingungen, die im System entstehen, wenn es aus dem Gleichgewicht gebracht wird, werden über eine ausreichend lange Zeit praktisch absterben, und nur der zweite Term wird in der Lösung der Gleichung verbleiben. Wir werden diese Lösung im Formular suchen
Gruppieren wir die Begriffe anders:

Diese Gleichheit muss zu jedem Zeitpunkt t gelten, was nur möglich ist, wenn die Koeffizienten bei Sinus und Cosinus gleich Null sind.

Der Körper, auf den die treibende Kraft einwirkt, macht also, sich nach dem harmonischen Gesetz ändernd, eine oszillierende Bewegung mit der Frequenz der treibenden Kraft.

Betrachten wir die Frage nach der Amplitude erzwungener Schwingungen genauer:

1 Die Amplitude von stationären erzwungenen Schwingungen ändert sich nicht über die Zeit. (Vergleiche mit der Amplitude freier gedämpfter Schwingungen).

2 Die Amplitude der erzwungenen Schwingungen ist direkt proportional zur Amplitude der Antriebskraft.

3 Die Amplitude hängt von der Reibung im System ab (A hängt von d ab und der Dämpfungsfaktor d wiederum vom Luftwiderstandsbeiwert r). Je größer die Reibung im System ist, desto kleiner ist die Amplitude der erzwungenen Schwingungen.

4 Die Amplitude erzwungener Schwingungen hängt von der Frequenz der antreibenden Kraft w ab. Wie? Wir untersuchen die Funktion A(w).

Bei w = 0 (auf das schwingungsfähige System wirkt eine konstante Kraft) bleibt die Auslenkung des Körpers zeitlich unverändert (es ist zu beachten, dass sich dies auf den eingeschwungenen Zustand bezieht, wenn die Eigenschwingungen nahezu abgeklungen sind).

· Wenn w ® ¥, dann geht, wie man leicht sieht, die Amplitude A gegen Null.

· Offensichtlich nimmt bei einer bestimmten Frequenz der Antriebskraft die Amplitude der erzwungenen Schwingungen den größten Wert an (für ein gegebenes d). Das Phänomen eines starken Anstiegs der Amplitude erzwungener Schwingungen bei einem bestimmten Wert der Frequenz der Antriebskraft wird als mechanische Resonanz bezeichnet.

Interessanterweise zeigt die Güte des schwingungsfähigen Systems in diesem Fall, wie oft die Resonanzamplitude die Auslenkung des Körpers aus der Gleichgewichtslage unter Einwirkung einer konstanten Kraft F 0 übersteigt.

Wir sehen, dass sowohl die Resonanzfrequenz als auch die Resonanzamplitude vom Dämpfungsfaktor d abhängen. Wenn d auf Null abnimmt, nimmt die Resonanzfrequenz zu und nähert sich der Frequenz der Eigenschwingungen des Systems w 0 . In diesem Fall nimmt die Resonanzamplitude zu und geht bei d = 0 gegen unendlich. In der Praxis kann die Amplitude von Schwingungen natürlich nicht unendlich sein, da in realen schwingungsfähigen Systemen immer Widerstandskräfte wirken. Wenn das System eine geringe Dämpfung hat, können wir ungefähr annehmen, dass die Resonanz bei der Frequenz der Eigenschwingung auftritt:

wobei im betrachteten Fall die Phasenverschiebung zwischen der treibenden Kraft und der Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage ist.

Es ist leicht einzusehen, dass die Phasenverschiebung zwischen Kraft und Weg von der Reibung im System und der Frequenz der äußeren Antriebskraft abhängt. Diese Abhängigkeit ist in der Abbildung dargestellt. Das sieht man an< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- positiv.

Kennt man die Abhängigkeit vom Winkel, kann man die Abhängigkeit von der Frequenz der Antriebskraft erhalten.

Bei Frequenzen der externen Kraft, die deutlich kleiner als ihre eigene sind, hinkt die Verschiebung der treibenden Kraft in Phase etwas hinterher. Wenn die Frequenz der externen Kraft zunimmt, nimmt diese Phasenverzögerung zu. Bei Resonanz (wenn klein) wird die Phasenverschiebung gleich . Bei >> treten die Weg- und Kraftschwankungen gegenphasig auf. Eine solche Abhängigkeit mag auf den ersten Blick seltsam erscheinen. Um diese Tatsache zu verstehen, wenden wir uns den Energieumwandlungen bei erzwungenen Schwingungen zu.

§ 2 Energieumwandlungen

Wie wir bereits wissen, wird die Schwingungsamplitude durch die Gesamtenergie des schwingungsfähigen Systems bestimmt. Zuvor wurde gezeigt, dass die Amplitude erzwungener Schwingungen zeitlich unverändert bleibt. Das bedeutet, dass sich die gesamte mechanische Energie des schwingungsfähigen Systems zeitlich nicht ändert. Wieso den? Schließlich ist das System nicht geschlossen! Zwei Kräfte – eine externe sich periodisch ändernde Kraft und eine Widerstandskraft – verrichten Arbeit, die die Gesamtenergie des Systems ändern sollte.

Versuchen wir herauszufinden, was los ist. Die Leistung der externen Antriebskraft kann wie folgt ermittelt werden:

Wir sehen, dass die Kraft der äußeren Kraft, die das schwingungsfähige System mit Energie versorgt, proportional zur Schwingungsamplitude ist.

Aufgrund der Arbeit der Widerstandskraft sollte die Energie des Schwingungssystems abnehmen und sich in innere Energie umwandeln. Kraft der Widerstandskraft:

Offensichtlich ist die Stärke der Widerstandskraft proportional zum Quadrat der Amplitude. Lassen Sie uns beide Abhängigkeiten im Diagramm darstellen.

Damit die Schwingungen stabil sind (die Amplitude ändert sich nicht mit der Zeit), muss die Arbeit der äußeren Kraft über die Periode die Energieverluste des Systems aufgrund der Arbeit der Widerstandskraft kompensieren. Der Schnittpunkt von Leistungskurven entspricht genau diesem Modus. Stellen Sie sich vor, dass aus irgendeinem Grund die Amplitude der erzwungenen Schwingungen abgenommen hat. Dies führt dazu, dass die momentane Kraft der äußeren Kraft größer ist als die Kraft der Verluste. Dadurch wird die Energie des schwingungsfähigen Systems erhöht und die Schwingungsamplitude nimmt ihren vorherigen Wert wieder an.

In ähnlicher Weise ist ersichtlich, dass bei einer zufälligen Erhöhung der Schwingungsamplitude der Leistungsverlust die Leistung der äußeren Kraft übersteigt, was zu einer Verringerung der Energie des Systems und folglich zu einer Verringerung der Amplitude führt .

Kommen wir zurück zur Frage der Phasenverschiebung zwischen der Auslenkung und der treibenden Kraft bei Resonanz. Wir haben bereits gezeigt, dass die Verschiebung nacheilt, was bedeutet, dass die Kraft der Verschiebung um vorauseilt. Andererseits eilt die Geschwindigkeitsprojektion bei harmonischen Schwingungen der Koordinate immer um . Das bedeutet, dass bei Resonanz die äußere Antriebskraft und die Drehzahl in der gleichen Phase schwingen. Sie werden also zu jedem Zeitpunkt gemeinsam geleitet! Die von der äußeren Kraft verrichtete Arbeit ist dabei immer positiv. alle geht, um das schwingungsfähige System mit Energie aufzufüllen.

§ 3 Nicht sinusförmige periodische Wirkung

Erzwungene Schwingungen eines Oszillators sind bei jeder periodischen äußeren Einwirkung möglich, nicht nur bei einer sinusförmigen. In diesem Fall sind die stationären Schwingungen im Allgemeinen nicht sinusförmig, sondern stellen eine periodische Bewegung dar, deren Periode gleich der Periode des äußeren Einflusses ist.

Ein äußerer Einfluss kann zum Beispiel aufeinanderfolgendes Schieben sein (denken Sie daran, wie ein Erwachsener ein auf einer Schaukel sitzendes Kind „schaukelt“). Wenn die Periode der externen Erschütterungen mit der Periode der Eigenschwingungen zusammenfällt, kann es im System zu Resonanzen kommen. In diesem Fall sind die Schwingungen nahezu sinusförmig. Die Energie, die dem System bei jedem Stoß verliehen wird, ergänzt die Gesamtenergie des Systems, die aufgrund von Reibung verloren geht. Es ist klar, dass in diesem Fall Optionen möglich sind: Wenn die während des Stoßes übertragene Energie gleich oder größer als die Reibungsverluste für die Periode ist, dann werden die Schwingungen entweder stationär sein oder ihre Amplitude wird zunehmen. Dies ist im Phasendiagramm deutlich zu sehen.

Es ist offensichtlich, dass die Resonanz auch in dem Fall möglich ist, in dem die Wiederholungsperiode von Stößen ein Vielfaches der Periode von Eigenschwingungen ist. Dies ist bei der sinusförmigen Natur des äußeren Einflusses unmöglich.

Andererseits kann, selbst wenn die Stoßfrequenz mit der Eigenfrequenz zusammenfällt, keine Resonanz beobachtet werden. Wenn nur der Reibungsverlust pro Periode die vom System während des Stoßes aufgenommene Energie übersteigt, wird die Gesamtenergie des Systems verringert und die Schwingungen werden gedämpft.

§ 4 Parametrische Resonanz

Eine äußere Beeinflussung eines schwingungsfähigen Systems lässt sich auf eine periodische Änderung der Parameter des schwingungsfähigen Systems selbst zurückführen. Die so angeregten Schwingungen heißen parametrisch, der Mechanismus selbst heißt parametrische Resonanz .

Lassen Sie uns zunächst versuchen, die Frage zu beantworten: Ist es möglich, die bereits im System vorhandenen kleinen Schwingungen zu schwingen, indem einige seiner Parameter periodisch auf eine bestimmte Weise geändert werden?

Betrachten Sie als Beispiel das Schaukeln einer Person auf einer Schaukel. Indem er seine Beine in den „notwendigen“ Momenten beugt und streckt, verändert er tatsächlich die Länge des Pendels. In extremen Positionen hockt eine Person und senkt dadurch den Schwerpunkt des schwingungsfähigen Systems leicht ab, in der mittleren Position richtet sich eine Person auf und hebt den Schwerpunkt des Systems an.

Um zu verstehen, warum eine Person gleichzeitig schwingt, betrachten Sie ein extrem vereinfachtes Modell einer Person auf einer Schaukel - ein gewöhnliches kleines Pendel, dh ein kleines Gewicht an einem leichten und langen Faden. Um das Heben und Senken des Schwerpunkts zu simulieren, führen wir das obere Ende des Fadens durch ein kleines Loch und ziehen den Faden in den Momenten, in denen das Pendel die Gleichgewichtsposition passiert, und senken den Faden um den gleichen Betrag wenn das Pendel die Extremlage passiert.

Die Arbeit der Fadenspannkraft für die Periode (unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Last zweimal pro Periode gehoben und gesenkt wird und dass D l << l):

Bitte beachten Sie, dass in Klammern nichts als die dreifache Energie des schwingungsfähigen Systems steht. Übrigens ist dieser Wert positiv, also ist die Arbeit der Spannkraft (unsere Arbeit) positiv, sie führt zu einer Erhöhung der Gesamtenergie des Systems und damit zum Schwingen des Pendels.

Interessanterweise hängt die relative Energieänderung über einen Zeitraum nicht davon ab, ob das Pendel schwach oder stark schwingt. Das ist sehr wichtig, und hier ist der Grund. Wird das Pendel nicht mit Energie „aufgepumpt“, so verliert es durch die Reibungskraft pro Periode einen gewissen Teil seiner Energie und die Schwingungen dämpfen sich. Und damit der Schwingungsbereich zunimmt, muss die gewonnene Energie die Energie übersteigen, die zur Überwindung der Reibung verloren geht. Und es stellt sich heraus, dass dieser Zustand derselbe ist - sowohl bei einer kleinen als auch bei einer großen Amplitude.

Wenn beispielsweise in einer Periode die Energie freier Schwingungen um 6% abnimmt, reicht es aus, die Schwingungen eines 1 m langen Pendels in der mittleren Position um 1 cm zu verringern und zu erhöhen, damit die Schwingungen eines 1 m langen Pendels nicht gedämpft werden in der Extremstellung um den gleichen Betrag.

Zurück zur Schaukel: Sobald Sie anfangen zu schwingen, brauchen Sie nicht tiefer und tiefer in die Hocke zu gehen - hocken Sie die ganze Zeit auf die gleiche Weise und Sie werden höher und höher fliegen!

*** Güte nochmal!

Wie bereits gesagt, muss für den parametrischen Schwingungsaufbau die Bedingung DE > A Reibung pro Periode erfüllt sein.

Finden Sie die Arbeit der Reibungskraft für die Periode

Es ist ersichtlich, dass der relative Wert der Anhebung des Pendels für seinen Aufbau durch die Güte des Systems bestimmt wird.

§ 5 Bedeutung der Resonanz

Erzwungene Schwingungen und Resonanzen sind in der Technik weit verbreitet, insbesondere in der Akustik, Elektrotechnik und Funktechnik. Resonanz wird vor allem dann verwendet, wenn aus einer großen Menge von Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen Schwingungen einer bestimmten Frequenz ausgewählt werden sollen. Resonanz wird auch bei der Untersuchung sehr schwacher sich periodisch wiederholender Größen verwendet.

In einigen Fällen ist Resonanz jedoch ein unerwünschtes Phänomen, da es zu großen Verformungen und Zerstörungen von Strukturen führen kann.

§ 6 Beispiele zur Problemlösung

Aufgabe 1 Erzwungene Schwingungen eines Federpendels unter Einwirkung einer äußeren sinusförmigen Kraft.

Eine Last der Masse m = 10 g wurde an einer Feder mit einer Steifigkeit k = 10 N/m aufgehängt und das System in ein viskoses Medium mit einem Luftwiderstandsbeiwert r = 0,1 kg/s eingebracht. Vergleichen Sie die Eigen- und Resonanzfrequenzen des Systems. Bestimmen Sie die Amplitude der Pendelschwingungen bei Resonanz unter Einwirkung einer sinusförmigen Kraft mit einer Amplitude F 0 = 20 mN.

Lösung:

1 Die Eigenfrequenz eines schwingenden Systems ist die Frequenz freier Schwingungen ohne Reibung. Die natürliche zyklische Frequenz ist die Oszillationsfrequenz.

2 Die Resonanzfrequenz ist die Frequenz der äußeren Antriebskraft, bei der die Amplitude der erzwungenen Schwingungen stark ansteigt. Die zyklische Resonanzfrequenz ist , wobei der Dämpfungskoeffizient gleich ist .

Somit ist die Resonanzfrequenz . Es ist leicht zu erkennen, dass die Resonanzfrequenz kleiner als die eigene ist! Es ist auch ersichtlich, dass die Resonanzfrequenz umso näher an ihrer eigenen liegt, je niedriger die Reibung im System (r) ist.

3 Die Resonanzamplitude ist

Aufgabe 2 Resonanzamplitude und Güte eines schwingungsfähigen Systems

Eine Last der Masse m = 100 g wurde an einer Feder mit einer Steifigkeit k = 10 N/m aufgehängt und das System in ein viskoses Medium mit einem Luftwiderstandsbeiwert gebracht

r = 0,02 kg/s. Bestimmen Sie die Güte des schwingungsfähigen Systems und die Amplitude der Pendelschwingungen bei Resonanz unter Einwirkung einer sinusförmigen Kraft mit einer Amplitude F 0 = 10 mN. Finden Sie das Verhältnis der Resonanzamplitude zur statischen Auslenkung unter Einwirkung einer konstanten Kraft F 0 = 20 mN und vergleichen Sie dieses Verhältnis mit der Güte.

Lösung:

1 Die Güte des schwingungsfähigen Systems ist , wobei das logarithmische Dämpfungsdekrement ist.

Das logarithmische Dämpfungsdekrement beträgt .

Wir finden den Qualitätsfaktor des schwingungsfähigen Systems.

2 Die Resonanzamplitude ist

3 Statische Verschiebung unter Einwirkung einer konstanten Kraft F 0 = 10 mN ist .

4 Das Verhältnis der Resonanzamplitude zur statischen Auslenkung unter Einwirkung einer konstanten Kraft F 0 ist gleich

Es ist leicht einzusehen, dass dieses Verhältnis mit der Güte des schwingungsfähigen Systems zusammenfällt

Aufgabe 3 Resonanzschwingungen eines Balkens

Unter dem Einfluss des Gewichts des Elektromotors biegt sich der Kragarmtank, auf dem er montiert ist, um . Bei welcher Drehzahl des Ankers des Motors besteht Resonanzgefahr?

Lösung:

1 Der Motorkörper und der Träger, auf dem er installiert ist, erfahren periodische Stöße von der Seite des rotierenden Ankers des Motors und führen daher erzwungene Schwingungen mit der Frequenz der Stöße aus.

Resonanz wird beobachtet, wenn die Wiederholungsfrequenz von Stößen mit der Eigenschwingungsfrequenz des Balkens mit dem Motor zusammenfällt. Es ist notwendig, die natürliche Schwingungsfrequenz des Balken-Motor-Systems zu finden.

2 Ein Analogon des schwingenden Systems Balken - Motor kann ein vertikales Federpendel sein, dessen Masse gleich der Masse des Motors ist. Die Eigenschwingungsfrequenz des Federpendels beträgt . Aber die Steifigkeit der Feder und die Masse des Motors sind nicht bekannt! Wie sein?

3 In der Gleichgewichtslage des Federpendels wird die Gewichtskraft der Last durch die Federkraft der Feder ausgeglichen

4 Wir finden die Rotation des Ankers des Motors, d.h. Stoßfrequenz

Aufgabe 4 Erzwungene Schwingungen eines Federpendels unter Einwirkung periodischer Stöße.

An einer Spiralfeder mit der Steifigkeit k = 20 N/m hängt ein Gewicht der Masse m = 0,5 kg. Das logarithmische Dämpfungsdekrement des schwingungsfähigen Systems beträgt . Sie wollen das Gewicht mit kurzen Ruckbewegungen schwingen, indem sie mit einer Kraft F = 100 mN für eine Zeit τ = 0,01 s auf das Gewicht einwirken. Wie oft sollte der Aufprall wiederholt werden, damit die Amplitude der Kettlebell am größten ist? In welchen Momenten und in welche Richtung sollte die Kettlebell gedrückt werden? Bis zu welcher Amplitude lässt sich die Kettlebell auf diese Weise schwingen?

Lösung:

1 Erzwungene Schwingungen können bei jeder periodischen Einwirkung auftreten. In diesem Fall tritt die stetige Schwingung mit der Wiederholungsrate der äußeren Einwirkung auf. Wenn die Periode externer Erschütterungen mit der Frequenz der Eigenschwingungen zusammenfällt, tritt im System eine Resonanz auf - die Amplitude der Schwingungen wird am größten. In unserem Fall muss für den Beginn der Resonanz die Dauer der Stoßwiederholung mit der Schwingungsdauer des Federpendels zusammenfallen.

Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist klein, daher gibt es wenig Reibung im System, und die Schwingungsdauer des Pendels in einem viskosen Medium fällt praktisch mit der Schwingungsdauer des Pendels im Vakuum zusammen:

2 Offensichtlich muss die Richtung der Schläge mit der Geschwindigkeit der Kettlebell übereinstimmen. In diesem Fall ist die Arbeit der externen Kraft, die das System mit Energie auffüllt, positiv. Und die Vibrationen werden schwanken. Die vom System während des Aufpralls aufgenommene Energie

am größten sein, wenn die Last die Gleichgewichtslage passiert, weil in dieser Lage die Geschwindigkeit des Pendels maximal ist.

Das System schwingt also am schnellsten unter der Wirkung von Stößen in Bewegungsrichtung der Last, wenn es die Gleichgewichtsposition passiert.

3 Die Schwingungsamplitude hört auf zu wachsen, wenn die dem System während des Aufpralls zugeführte Energie gleich dem Energieverlust durch Reibung über den Zeitraum ist: .

Wir finden den Energieverlust für die Periode durch den Gütefaktor des schwingungsfähigen Systems

wobei E die Gesamtenergie des schwingungsfähigen Systems ist, die als berechnet werden kann.

Wir ersetzen anstelle der Verlustenergie die Energie, die das System während des Aufpralls erhält:

Die maximale Geschwindigkeit während der Oszillation beträgt . Vor diesem Hintergrund erhalten wir .

§7 Aufgaben zur selbstständigen Lösung

Test „Erzwungene Schwingungen“

1 Welche Schwingungen nennt man erzwungen?

A) Schwingungen, die unter Einwirkung äußerer periodisch wechselnder Kräfte auftreten;

B) Schwingungen, die im System nach einem externen Schub auftreten;

2 Welche der folgenden Schwingungen wird erzwungen?

A) Schwingung einer an einer Feder aufgehängten Last nach einmaliger Abweichung aus der Gleichgewichtslage;

B) Vibration des Lautsprecherdiffusors während des Betriebs des Empfängers;

C) Schwingung einer an einer Feder aufgehängten Last nach einmaligem Aufprall auf die Last in Gleichgewichtslage;

D) Vibration des Körpers des Elektromotors während seines Betriebs;

E) Schwingungen des Trommelfells einer Person, die Musik hört.

3 Auf ein schwingungsfähiges System mit Eigenfrequenz wirkt eine äußere Antriebskraft, die sich gesetzmäßig ändert. Der Dämpfungskoeffizient im schwingungsfähigen System ist . Nach welchem Gesetz ändert sich die Koordinate des Körpers mit der Zeit?

C) Die Amplitude der erzwungenen Schwingungen bleibt unverändert, da die Energieverluste des Systems aufgrund von Reibung durch den Energiegewinn aufgrund der Arbeit der äußeren Antriebskraft kompensiert werden.

5 Das System führt unter Einwirkung einer sinusförmigen Kraft erzwungene Schwingungen aus. Angeben alle Faktoren, von denen die Amplitude dieser Schwingungen abhängt.

A) Aus der Amplitude der äußeren Antriebskraft;

B) Das Vorhandensein eines schwingenden Energiesystems im Moment des Beginns der Wirkung einer äußeren Kraft;

C) Parameter des schwingungsfähigen Systems selbst;

D) Reibung im schwingungsfähigen System;

E) Das Vorhandensein von Eigenschwingungen im System in dem Moment, in dem die äußere Kraft zu wirken beginnt;

E) Der Zeitpunkt der Entstehung von Schwingungen;

G) Frequenzen der externen Antriebskraft.

6 Ein Stab der Masse m führt erzwungene harmonische Schwingungen entlang einer horizontalen Ebene mit der Periode T und der Amplitude A aus. Reibungskoeffizient μ. Welche Arbeit wird von der externen Antriebskraft in einer Zeit gleich der Periode T verrichtet?

A) 4 μmgGA; B) 2 μmgA; C) μmgA; D) 0;

E) Eine Antwort ist nicht möglich, da die Größe der äußeren Antriebskraft nicht bekannt ist.

7 Machen Sie eine richtige Aussage

Resonanz ist das Phänomen...

A) Koinzidenz der Frequenz der äußeren Kraft mit der Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems;

B) Ein starker Anstieg der Amplitude der erzwungenen Schwingungen.

Resonanz wird unter der Bedingung beobachtet

A) Verringerung der Reibung im schwingungsfähigen System;

B) Erhöhung der Amplitude der externen Antriebskraft;

C) Koinzidenz der Frequenz der äußeren Kraft mit der Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems;

D) Wenn die Frequenz der externen Kraft mit der Resonanzfrequenz zusammenfällt.

8 Das Resonanzphänomen lässt sich beobachten in ...

A) In jedem Schwingungssystem;

B) In einem System, das freie Schwingungen ausführt;

C) In einem selbstschwingenden System;

D) In einem System, das erzwungene Schwingungen ausführt.

9 Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Abhängigkeit der Amplitude von erzwungenen Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft. Resonanz tritt bei einer Frequenz auf...

10 Drei identische Pendel führen in unterschiedlich viskosen Medien erzwungene Schwingungen aus. Die Abbildung zeigt die Resonanzkurven dieser Pendel. Welches der Pendel erfährt während des Schwingungsvorgangs den größten Widerstand durch das zähflüssige Medium?

A) 1; B) 2; UM 3;

D) Eine Antwort ist nicht möglich, da die Amplitude erzwungener Schwingungen neben der Frequenz der äußeren Kraft auch von deren Amplitude abhängt. Die Bedingung sagt nichts über die Amplitude der äußeren Antriebskraft aus.

11 Die Periode der Eigenschwingungen des schwingungsfähigen Systems ist gleich T 0 . Wie lang kann die Wiederholungsdauer von Stößen sein, damit die Amplitude der Schwingungen stark ansteigt, dh im System eine Resonanz auftritt?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Sie können die Schaukel mit Stößen beliebiger Frequenz schwingen.

12 Dein kleiner Bruder sitzt auf einer Schaukel, du wiegst ihn mit kurzen Stößen. Wie lange sollten die Nachbeben dauern, damit der Prozess am effizientesten ablaufen kann? Die Periode der Eigenschwingungen der Schaukel T 0 .

D) Sie können die Schaukel mit Stößen beliebiger Frequenz schwingen.

13 Dein kleiner Bruder sitzt auf einer Schaukel, du wiegst ihn mit kurzen Stößen. In welcher Position der Schaukel sollte der Stoß erfolgen und in welche Richtung sollte der Stoß erfolgen, damit der Vorgang am effizientesten abläuft?

A) Drücken Sie in der äußersten oberen Position der Schaukel in Richtung der Gleichgewichtsposition;

B) Drücken Sie in der äußersten oberen Position der Schaukel in die Richtung von der Gleichgewichtsposition;

B) Drücken Sie in eine Position des Gleichgewichts in Bewegungsrichtung der Schaukel;

D) Du kannst in jeder Position pushen, aber immer in Schwungrichtung.

14 Es scheint, dass durch das Schießen aus einer Schleuder auf die Brücke im Takt ihrer eigenen Vibrationen und durch viele Schüsse diese stark erschüttert werden kann, aber dies ist unwahrscheinlich. Wieso den?

A) Die Masse der Brücke (ihre Trägheit) ist groß im Vergleich zur Masse der "Kugel" aus der Schleuder, die Brücke kann sich unter dem Einfluss solcher Schläge nicht bewegen;

B) Die Aufprallkraft der „Kugel“ der Schleuder ist so gering, dass sich die Brücke unter dem Einfluss solcher Stöße nicht bewegen kann;

C) Die Energie, die der Brücke bei einem Schlag verliehen wird, ist viel geringer als der Energieverlust aufgrund von Reibung über die Zeit.

15 Du trägst einen Eimer Wasser. Das Wasser im Eimer schwankt und spritzt heraus. Was kann getan werden, um dies zu verhindern?

A) Winken der Hand, in der sich der Eimer befindet, im Takt des Gehens;

B) Ändern Sie die Bewegungsgeschwindigkeit, wobei Sie die Länge der Schritte unverändert lassen;

C) Halten Sie regelmäßig an und warten Sie, bis sich die Vibrationen des Wassers beruhigt haben;

D) Stellen Sie sicher, dass sich die Hand mit dem Eimer während der Bewegung genau senkrecht befindet.

Aufgaben

1 Das System führt gedämpfte Schwingungen mit einer Frequenz von 1000 Hz aus. Bestimmen Sie die Frequenz v0 Eigenschwingungen, wenn die Resonanzfrequenz

2 Bestimmen Sie, wie viel D v die Resonanzfrequenz unterscheidet sich von der Eigenfrequenz v0= 1000 Hz eines schwingungsfähigen Systems, gekennzeichnet durch einen Dämpfungskoeffizienten d = 400 s -1 .

3 Eine Masse von 100 g, aufgehängt an einer Feder der Steifigkeit 10 N/m, führt in einem viskosen Medium mit einem Widerstandsbeiwert r = 0,02 kg/s erzwungene Schwingungen aus. Bestimmen Sie Dämpfungsfaktor, Resonanzfrequenz und Amplitude. Der Amplitudenwert der Antriebskraft beträgt 10 mN.

4 Amplituden erzwungener harmonischer Schwingungen bei Frequenzen w 1 = 400 s -1 und w 2 = 600 s -1 sind einander gleich. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz.

5 Lastwagen fahren von einer Seite auf einem Feldweg in ein Getreidelager ein, entladen und verlassen das Lager mit der gleichen Geschwindigkeit, aber auf der anderen Seite. Auf welcher Seite des Lagerhauses sind mehr Schlaglöcher auf der Straße als auf der anderen? Wie kann festgestellt werden, von welcher Seite des Lagers der Eingang und welcher Ausgang durch den Zustand der Straße bestimmt werden? Rechtfertige deine Antwort

In dieser Lektion kann sich jeder mit dem Thema „Energieumwandlung bei schwingender Bewegung“ befassen. gedämpfte Schwingungen. Erzwungene Schwingungen. In dieser Lektion werden wir betrachten, welche Energieumwandlung während einer oszillierenden Bewegung stattfindet. Dazu führen wir ein wichtiges Experiment mit einem horizontalen Federpendelsystem durch. Wir werden auch Fragen im Zusammenhang mit gedämpften Schwingungen und erzwungenen Schwingungen erörtern.

Die Lektion ist dem Thema "Energieumwandlung bei oszillierenden Bewegungen" gewidmet. Darüber hinaus werden wir uns mit dem Thema gedämpfte und erzwungene Schwingungen befassen.

Lassen Sie uns diese Frage mit dem nächsten wichtigen Experiment kennenlernen. An der Feder ist ein Körper befestigt, der horizontal schwingen kann. Ein solches System wird als horizontales Federpendel bezeichnet. In diesem Fall kann der Einfluss der Schwerkraft vernachlässigt werden.

Reis. 1. Horizontales Federpendel

Wir nehmen an, dass es im System der Reibungskräfte keine Widerstandskräfte gibt. Wenn dieses System im Gleichgewicht ist und keine Schwingung auftritt, ist die Geschwindigkeit des Körpers 0 und es gibt keine Verformung der Feder. In diesem Fall hat dieses Pendel keine Energie. Aber sobald der Körper relativ zum Gleichgewichtspunkt nach rechts oder links verschoben wird, übernehmen wir in diesem Fall die Energieübertragungsarbeit in diesem schwingenden System. Was passiert in diesem Fall? Folgendes passiert: Die Feder wird verformt, ihre Länge ändert sich. Wir geben der Feder potentielle Energie. Wenn Sie jetzt die Last loslassen, halten Sie sie nicht, dann beginnt sie sich in Richtung der Gleichgewichtsposition zu bewegen, die Feder beginnt sich zu begradigen und die Verformung der Feder nimmt ab. Die Geschwindigkeit des Körpers erhöht sich und gemäß dem Energieerhaltungssatz wird die potenzielle Energie der Feder in die kinetische Energie der Körperbewegung umgewandelt.

Reis. 2. Schwingungsstadien eines Federpendels

Verformung∆x der Feder wird wie folgt bestimmt: ∆x = x 0 - x. Nach Berücksichtigung der Verformung können wir sagen, dass die gesamte potentielle Energie in der Feder gespeichert ist: .

Bei Schwingungen wird die potentielle Energie ständig in die kinetische Energie des Stabes umgewandelt: .

Wenn beispielsweise der Stab den Gleichgewichtspunkt x 0 passiert, ist die Verformung der Feder 0, d. h. ∆x=0, also ist die potentielle Energie der Feder 0 und die gesamte potentielle Energie der Feder hat sich in die kinetische Energie des Stabes umgewandelt: E p (an Punkt B) \u003d E k (an Punkt A). Oder .

Durch diese Bewegung wird potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Dann kommt das sogenannte Trägheitsphänomen ins Spiel. Ein Körper, der eine bestimmte Masse hat, passiert durch Trägheit den Gleichgewichtspunkt. Die Geschwindigkeit des Körpers beginnt abzunehmen und die Verformung, die Dehnung der Feder nimmt zu. Daraus kann geschlossen werden, dass die kinetische Energie des Körpers abnimmt und die potentielle Energie der Feder wieder zuzunehmen beginnt. Wir können über die Umwandlung von kinetischer Energie in Potential sprechen.

Wenn der Körper schließlich stoppt, ist die Geschwindigkeit des Körpers gleich 0 und die Verformung der Feder wird maximal. In diesem Fall können wir sagen, dass sich die gesamte kinetische Energie des Körpers in die potentielle Energie der Feder umgewandelt hat . In Zukunft wiederholt sich alles von vorne. Wenn eine Bedingung erfüllt ist, findet ein solcher Prozess kontinuierlich statt. Was ist dieser Zustand? Dieser Zustand ist das Fehlen von Reibung. Aber die Reibungskraft, die Widerstandskraft ist in jedem System vorhanden. Daher treten bei jeder weiteren Bewegung des Pendels Energieverluste auf. Es wird daran gearbeitet, die Reibungskraft zu überwinden. Reibungskraft nach dem Gesetz von Coulomb - Amonton: FTP \u003d μ.N.

Apropos Schwingungen, wir müssen immer daran denken, dass die Reibungskraft dazu führt, dass nach und nach die gesamte Energie, die in einem bestimmten Schwingungssystem gespeichert ist, in innere Energie umgewandelt wird. Infolgedessen hören die Schwingungen auf, und sobald die Schwingungen aufhören, werden solche Schwingungen als gedämpft bezeichnet.

gedämpfte Schwingungen - Vibrationen, deren Amplitude abnimmt, da die Energie des Schwingungssystems für die Überwindung der Widerstands- und Reibungskräfte aufgewendet wird.

Reis. 3. Diagramm der gedämpften Schwingungen

Die nächste Art von Schwingungen, die wir betrachten werden, die sogenannten. erzwungene Schwingungen. Erzwungene Schwingungen werden solche Schwingungen genannt, die unter Einwirkung einer periodischen, äußeren Kraft auftreten, die auf ein gegebenes Schwingungssystem einwirkt.

Wenn das Pendel schwingt, dann muss, damit diese Schwingungen nicht aufhören, jedes Mal eine äußere Kraft auf das Pendel einwirken. Zum Beispiel wirken wir mit unserer eigenen Hand auf das Pendel ein, bringen es in Bewegung, stoßen es an. Es gilt, mit etwas Kraft zu agieren und den Energieverlust auszugleichen. Erzwungene Schwingungen sind also solche Schwingungen, die unter Einwirkung einer äußeren Antriebskraft auftreten. Die Frequenz solcher Schwingungen fällt mit der Frequenz der von außen wirkenden Kraft zusammen. Wenn eine äußere Kraft auf das Pendel einzuwirken beginnt, passiert Folgendes: Zunächst haben die Schwingungen eine kleine Amplitude, aber allmählich nimmt diese Amplitude zu. Und wenn die Amplitude einen konstanten Wert annimmt, nimmt auch die Oszillationsfrequenz einen konstanten Wert an, sie sagen, dass solche Oszillationen eingerichtet wurden. Erzwungene Schwingungen wurden festgestellt.

etabliert erzwungene Schwingungen den Energieverlust gerade durch die Arbeit einer äußeren Antriebskraft ausgleichen.

Resonanz

Es gibt ein sehr wichtiges Phänomen, das in Natur und Technik ziemlich oft beobachtet wird. Dieses Phänomen wird als Resonanz bezeichnet. „Resonanz“ ist ein lateinisches Wort und wird ins Russische mit „Antwort“ übersetzt. Resonanz (von lat.resono - „Ich antworte“) - das Phänomen einer Zunahme der Amplitude der erzwungenen Schwingungen des Systems, das auftritt, wenn sich die Frequenz der äußeren Wirkung der Kraft der Frequenz der Eigenschwingung des Pendels oder dieses Schwingungssystems nähert .

Wenn es ein Pendel gibt, das eine eigene Länge, Masse oder Federsteifigkeit hat, dann hat dieses Pendel seine eigenen Schwingungen, die durch Frequenz gekennzeichnet sind. Wenn eine äußere Antriebskraft auf dieses Pendel zu wirken beginnt und die Frequenz dieser Kraft beginnt, sich der Eigenfrequenz des Pendels zu nähern (mit ihr zusammenfällt), dann tritt ein starker Anstieg der Schwingungsamplitude auf. Dies ist das Phänomen der Resonanz.

Als Folge eines solchen Phänomens können die Schwingungen so groß werden, dass der Körper, das Schwingungssystem selbst, zusammenbricht. Es gibt einen bekannten Fall, in dem eine Reihe von Soldaten, die über die Brücke gingen, infolge eines solchen Phänomens die Brücke einfach zum Einsturz brachten. Ein weiterer Fall, als infolge der Bewegung von Luftmassen und ausreichend starken Windböen eine Brücke in den Vereinigten Staaten einstürzte. Auch dies ist ein Resonanzphänomen. Die Schwingungen der Brücke, ihre Eigenschwingungen, fielen mit der Frequenz der Windböen, der äußeren Antriebskraft, zusammen. Dadurch stieg die Amplitude so stark an, dass die Brücke einstürzte.

Sie versuchen, dieses Phänomen bei der Gestaltung von Strukturen und Mechanismen zu berücksichtigen. Wenn beispielsweise ein Zug fährt, kann Folgendes passieren. Wenn sich ein Waggon bewegt und dieser Waggon im Takt seiner Bewegung zu schwanken beginnt, kann die Amplitude der Schwingungen so stark ansteigen, dass der Waggon entgleisen kann. Es wird einen Absturz geben. Um dieses Phänomen zu charakterisieren, werden Kurven verwendet, die als resonant bezeichnet werden.

Reis. 4. Resonanzkurve. Kurvenspitze - maximale Amplitude

Natürlich wird Resonanz nicht nur bekämpft, sondern auch genutzt. Es wird hauptsächlich in der Akustik verwendet. Wo es ein Auditorium, einen Theatersaal, einen Konzertsaal gibt, müssen wir das Phänomen der Resonanz berücksichtigen.

Liste weiterführender Literatur:

Kennen Sie Resonanz? // Quantum. - 2003. - Nr. 1. - S. 32-33 Physik: Mechanik. Klasse 10: Proc. für Vertiefungsstudium Physik / M.M. Balaschow, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky und andere; Ed. G. Ya. Myakishev. - M.: Bustard, 2002. Elementares Lehrbuch der Physik. Ed. GS Landsberg, T. 3. - M., 1974

Wenden wir uns wieder Abbildung 53 zu. Indem wir die Kugel von Punkt O (der Gleichgewichtsposition) zu Punkt B bewegen, spannen wir die Feder. Gleichzeitig leisten wir einige Arbeit, um die Kraft ihrer Elastizität zu überwinden, wodurch die Feder potenzielle Energie erhält. Wenn wir jetzt die Kugel loslassen, dann werden, wenn sie sich dem Punkt O nähert, die Verformung der Feder und die potenzielle Energie des Pendels abnehmen, während die Geschwindigkeit und die kinetische Energie zunehmen.

Nehmen wir an, dass die Energieverluste zur Überwindung der Reibungskräfte bei der Pendelbewegung vernachlässigbar klein sind. Dann kann gemäß dem Energieerhaltungssatz die gesamte mechanische Energie des Pendels (d. h. E p + E k ) zu jeder Zeit als gleich und gleich der potenziellen Energie angesehen werden, die wir ursprünglich der Feder beim Strecken verliehen haben es über die Länge des Segments OB. In diesem Fall könnte das Pendel beliebig lange mit einer konstanten Amplitude gleich OB schwingen.

Dies wäre der Fall, wenn es bei der Bewegung keine Energieverluste gäbe.

Aber in Wirklichkeit geht immer Energie verloren. Mechanische Energie wird beispielsweise aufgewendet, um Arbeit zur Überwindung der Luftwiderstandskräfte zu verrichten, wobei sie in innere Energie übergeht. Die Amplitude der Schwingungen nimmt allmählich ab und nach einer Weile hören die Schwingungen auf. Solche Schwingungen nennt man gedämpft (Abb. 66).

Reis. Abb. 66. Diagramme der Zeitabhängigkeit der Amplitude freier Schwingungen, die in Wasser und in Luft auftreten

Je größer der Bewegungswiderstand ist, desto schneller hören die Schwingungen auf. Beispielsweise klingen Schwingungen in Wasser schneller ab als in Luft (Abb. 66, a, b).

Bisher haben wir freie Schwingungen betrachtet, also Schwingungen, die aufgrund der anfänglichen Energiereserve entstehen.

Freie Schwingungen werden immer gedämpft, da die gesamte zunächst dem schwingungsfähigen System zugeführte Energie schließlich zur Überwindung der Reibungs- und Widerstandskräfte des Mediums wirkt (d.h. mechanische Energie wird in innere Energie umgewandelt). Daher haben freie Schwingungen praktisch keine Anwendung.

Damit die Schwingungen ungedämpft werden, müssen die Energieverluste für jede Schwingungsperiode wieder aufgefüllt werden. Dies kann dadurch erfolgen, dass auf einen Schwingkörper eine sich periodisch ändernde Kraft einwirkt. Beispielsweise können Sie jedes Mal, wenn Sie die Schaukel im Takt ihrer Schwingungen anschieben, sicherstellen, dass die Schwingungen nicht abklingen.

Schwingungen, die ein Körper unter Einwirkung einer sich periodisch ändernden äußeren Kraft ausübt, nennt man erzwungene Schwingungen.

Die externe periodisch wechselnde Kraft, die diese Schwingungen verursacht, wird genannt zwingende Kraft.

Wenn eine sich periodisch ändernde Antriebskraft auf eine ruhende Schaukel einzuwirken beginnt, nimmt die Amplitude der erzwungenen Schwingungen der Schaukel für einige Zeit zu, d. H. Die Amplitude jeder nachfolgenden Schwingung ist größer als die vorherige. Die Zunahme der Amplitude hört auf, wenn die Energie, die durch die Schwingung verloren geht, um die Reibungskraft zu überwinden, gleich der Energie wird, die sie von außen erhalten (aufgrund der Arbeit der Antriebskraft).

In den meisten Fällen stellt sich die konstante Frequenz von erzwungenen Schwingungen nicht sofort ein, sondern einige Zeit nach ihrem Beginn.

Wenn sich Amplitude und Frequenz der erzwungenen Schwingungen nicht mehr ändern, sagt man, die Schwingungen hätten sich beruhigt.

Die Frequenz der stationären erzwungenen Schwingungen ist gleich der Frequenz der Antriebskraft.

Erzwungene Schwingungen können auch von Körpern ausgeführt werden, die keine schwingungsfähigen Systeme sind, beispielsweise eine Nähmaschinennadel, Kolben in einem Verbrennungsmotor und viele andere. Auch Schwingungen solcher Körper treten mit der Frequenz der Antriebskraft auf.

Erzwungene Schwingungen sind ungedämpft. Sie treten auf, solange die treibende Kraft wirkt.

Fragen

Was kann über die gesamte mechanische Energie eines schwingenden Pendels zu jedem Zeitpunkt gesagt werden, wenn wir davon ausgehen, dass es keinen Energieverlust gibt? Nach welchem Recht kann dies geltend gemacht werden?
Wie verändert sich die Amplitude real auftretender freier Schwingungen mit der Zeit? Was ist der Grund für diese Änderung?
Wo stoppt der Pendelschlag schneller – in der Luft oder im Wasser? Wieso den? (Die anfängliche Energiezufuhr ist in beiden Fällen gleich.)
Können freie Schwingungen ungedämpft werden? Wieso den? Was muss getan werden, damit die Schwingungen ungedämpft werden?
Was lässt sich über die Frequenz stationär erzwungener Schwingungen und die Frequenz der treibenden Kraft aussagen?
Können Körper, die keine Schwingungssysteme sind, erzwungene Schwingungen ausführen? Nenne Beispiele.
Wie lange dauern erzwungene Schwingungen?

Übung 25

Der Verlust an mechanischer Energie in jedem schwingungsfähigen System aufgrund des Vorhandenseins von Reibungskräften ist unvermeidlich, daher werden die Schwingungen ohne "Pumpen" von Energie von außen gedämpft. Es gibt mehrere grundsätzlich unterschiedliche Möglichkeiten, schwingungsfähige Systeme aus ungedämpften Schwingungen zu erzeugen. Schauen wir uns das genauer an ungedämpfte Schwingungen unter Einwirkung einer äußeren periodischen Kraft. Solche Schwingungen nennt man erzwungen. Betrachten wir weiter die Bewegung eines harmonischen Pendels (Abb. 6.9).

Zusätzlich zu den zuvor betrachteten elastischen Kräften und der viskosen Reibung wird die Kugel von außen beaufschlagt zwingend periodische Kraft, die gemäß dem harmonischen Gesetz variiert

Frequenz, die von der Eigenfrequenz des Pendels abweichen kann ω Ö. Die Natur dieser Kraft ist uns in diesem Fall nicht wichtig. Eine solche Kraft kann auf verschiedene Weise erzeugt werden, beispielsweise indem der Kugel eine elektrische Ladung verliehen wird und sie in ein externes elektrisches Wechselfeld gebracht wird. Die Bewegungsgleichung der Kugel hat im betrachteten Fall die Form

Wir dividieren es durch die Masse des Balls und verwenden die vorherige Notation für die Parameter des Systems. Als Ergebnis erhalten wir erzwungene Schwingungsgleichung:

wo f Ö = F Ö /m ist das Verhältnis des Amplitudenwerts der äußeren Antriebskraft zur Masse des Balls. Die allgemeine Lösung von Gleichung (3) ist ziemlich umständlich und hängt natürlich von den Anfangsbedingungen ab. Die durch Gleichung (3) beschriebene Art der Bewegung der Kugel ist verständlich: Unter der Wirkung der Antriebskraft treten Schwingungen auf, deren Amplitude zunimmt. Diese Übergangsregelung ist ziemlich kompliziert und hängt von den Anfangsbedingungen ab. Nach einer bestimmten Zeit wird das Schwingungsregime hergestellt, ihre Amplitude ändert sich nicht mehr. Exakt stationäre Oszillation, ist in vielen Fällen von primärem Interesse. Wir werden den Übergang des Systems in einen stationären Zustand nicht betrachten, sondern uns auf die Beschreibung und Untersuchung der Eigenschaften dieses Regimes konzentrieren. Bei einer solchen Formulierung des Problems ist es nicht erforderlich, die Anfangsbedingungen festzulegen, da der für uns interessierende stationäre Zustand nicht von den Anfangsbedingungen abhängt, sondern seine Eigenschaften vollständig durch die Gleichung selbst bestimmt werden. Wir sind auf eine ähnliche Situation gestoßen, als wir die Bewegung eines Körpers unter der Einwirkung einer konstanten äußeren Kraft und der Kraft der viskosen Reibung untersucht haben

Nach einiger Zeit bewegt sich der Körper mit konstant konstanter Geschwindigkeit v = F Ö /β , die nicht von den Anfangsbedingungen abhängt und vollständig durch die Bewegungsgleichung bestimmt ist. Die Anfangsbedingungen bestimmen den Regimeübergang zu stationärer Bewegung. Auf der Grundlage des gesunden Menschenverstandes ist es vernünftig anzunehmen, dass im stationären Oszillationsmodus die Kugel mit der Frequenz der externen Antriebskraft oszilliert. Daher sollte die Lösung von Gleichung (3) in einer harmonischen Funktion mit der Frequenz der Antriebskraft gesucht werden. Zuerst lösen wir Gleichung (3) unter Vernachlässigung der Widerstandskraft

Versuchen wir, ihre Lösung in Form einer harmonischen Funktion zu finden

Dazu berechnen wir die Abhängigkeiten der Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers von der Zeit als Ableitungen des Bewegungsgesetzes

und ihre Werte in Gleichung (4) einsetzen

Jetzt können Sie zuschneiden Kosten. Daher wird dieser Ausdruck jederzeit zu einer wahren Identität, sofern die Bedingung

Damit war unsere Annahme über die Lösung von Gleichung (4) in der Form (5) gerechtfertigt: Der stationäre Schwingungsmodus wird durch die Funktion beschrieben

Beachten Sie, dass der Koeffizient EIN gemäß dem erhaltenen Ausdruck (6) kann es sowohl positiv (z ω < ω Ö) und negativ (z ω > ω Ö). Der Vorzeichenwechsel entspricht einer Änderung der Schwingungsphase durch π (der Grund für eine solche Änderung wird etwas später geklärt), daher ist die Schwingungsamplitude der Modul dieses Koeffizienten |A|. Die Amplitude der stetigen Schwingungen ist erwartungsgemäß proportional zur Größe der Antriebskraft. Außerdem hängt diese Amplitude in komplexer Weise von der Frequenz der Antriebskraft ab. Ein schematisches Diagramm dieser Abhängigkeit ist in Abb. 6.10

Reis. 6.10 Resonanzkurve

Wie sich aus Formel (6) ergibt und aus dem Diagramm deutlich ersichtlich ist, steigt die Amplitude steil an, wenn sich die Frequenz der Antriebskraft der Eigenfrequenz des Systems nähert. Der Grund für einen solchen Anstieg der Amplitude ist klar: Die treibende Kraft "in der Zeit" drückt den Ball, bei völliger Übereinstimmung der Frequenzen fehlt der stationäre Zustand - die Amplitude steigt bis ins Unendliche. In der Praxis ist ein solcher unendlicher Anstieg natürlich unmöglich zu beobachten: Erstens, dies kann zur Zerstörung des schwingungsfähigen Systems selbst führen, Zweitens, bei großen Schwingungsamplituden sind die Widerstandskräfte des Mediums nicht zu vernachlässigen. Eine starke Zunahme der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn sich die Frequenz der Antriebskraft der Eigenfrequenz der Systemschwingungen nähert, wird als Resonanzphänomen bezeichnet. Gehen wir nun zur Suche nach einer Lösung der Gleichung der erzwungenen Schwingungen unter Berücksichtigung der Widerstandskraft über

Natürlich ist auch hier die Lösung in Form einer harmonischen Funktion mit der Frequenz der Antriebskraft zu suchen. Es ist leicht einzusehen, dass die Suche nach einer Lösung in der Form (5) in diesem Fall nicht zum Erfolg führen wird. Gleichung (8) enthält nämlich im Gegensatz zu Gleichung (4) die Teilchengeschwindigkeit, die durch die Sinusfunktion beschrieben wird. Daher wird der Zeitteil in Gleichung (8) nicht reduziert. Daher sollte die Lösung von Gleichung (8) in der allgemeinen Form einer harmonischen Funktion dargestellt werden

in denen zwei Parameter EIN Ö und φ muss mit Gleichung (8) gefunden werden. Parameter EIN Ö ist die Amplitude der erzwungenen Schwingungen, φ − Phasenverschiebung zwischen der sich ändernden Koordinate und der variablen Antriebskraft. Unter Verwendung der trigonometrischen Formel für den Kosinus der Summe kann die Funktion (9) in äquivalenter Form dargestellt werden

die auch zwei Parameter enthält B=A Ö cosφ und C = -A Ö Sündeφ bestimmt werden. Mit Funktion (10) schreiben wir explizite Ausdrücke für die Abhängigkeiten der Geschwindigkeit und Beschleunigung des Teilchens von der Zeit

und in Gleichung (8) einsetzen:

Lassen Sie uns diesen Ausdruck umschreiben als

Damit Gleichheit (13) zu jedem Zeitpunkt gilt , ist es notwendig, dass die Koeffizienten bei Cosinus und Sinus gleich Null sind. Basierend auf dieser Bedingung erhalten wir zwei lineare Gleichungen zur Bestimmung der Parameter der Funktion (10):

Die Lösung dieses Gleichungssystems hat die Form

Basierend auf Formel (10) bestimmen wir die Eigenschaften von erzwungenen Schwingungen: die Amplitude

Phasenverschiebung

Bei geringer Dämpfung hat diese Abhängigkeit ein scharfes Maximum, wenn sich die Frequenz der Antriebskraft nähert ω zur Eigenfrequenz des Systems ω Ö. Somit kann auch in diesem Fall eine Resonanz auftreten, daher werden die konstruierten Abhängigkeiten oft als Resonanzkurve bezeichnet. Die Berücksichtigung der schwachen Dämpfung zeigt, dass die Amplitude nicht bis ins Unendliche ansteigt, ihr Maximalwert hängt vom Dämpfungskoeffizienten ab - wenn dieser zunimmt, nimmt die maximale Amplitude schnell ab. Die resultierende Abhängigkeit der Schwingungsamplitude von der Frequenz der Antriebskraft (16) enthält zu viele unabhängige Parameter ( f Ö , ω Ö , γ ), um eine vollständige Familie von Resonanzkurven zu konstruieren. Wie in vielen Fällen lässt sich diese Abhängigkeit durch den Übergang auf „dimensionslose“ Größen deutlich vereinfachen. Lassen Sie uns Formel (16) in die folgende Form umwandeln

und bezeichnen

− Relativfrequenz (das Verhältnis der Frequenz der Antriebskraft zur Eigenfrequenz der Systemschwingungen);

− relative Amplitude (das Verhältnis der Schwingungsamplitude zur Größe der Abweichung EIN Ö = f/ω Ö 2 bei Nullfrequenz);

ist ein dimensionsloser Parameter, der die Stärke der Dämpfung bestimmt. Unter Verwendung dieser Bezeichnungen wird die Funktion (16) stark vereinfacht

da es nur einen Parameter enthält − δ . Eine durch die Funktion (16 b) beschriebene einparametrige Schar von Resonanzkurven lässt sich besonders einfach mit Hilfe eines Computers konstruieren. Das Ergebnis einer solchen Konstruktion ist in Abb. 629.

Reis. 6.11

Beachten Sie, dass der Übergang zu den "üblichen" Maßeinheiten durch eine elementare Änderung des Maßstabs der Koordinatenachsen erfolgen kann. Es sei darauf hingewiesen, dass die Frequenz der treibenden Kraft, bei der die Amplitude der erzwungenen Schwingungen maximal ist, auch vom Dämpfungskoeffizienten abhängt und mit dessen Wachstum leicht abnimmt. Abschließend betonen wir, dass eine Erhöhung des Dämpfungskoeffizienten zu einer deutlichen Vergrößerung der Breite der Resonanzkurve führt. Die resultierende Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen des Punktes und der treibenden Kraft hängt auch von der Frequenz der Schwingungen und ihrem Dämpfungskoeffizienten ab. Die Rolle dieser Phasenverschiebung werden wir bei der Betrachtung der Energieumwandlung bei erzwungenen Schwingungen näher kennenlernen.

Die Frequenz freier ungedämpfter Schwingungen fällt mit der Eigenfrequenz zusammen, die Frequenz gedämpfter Schwingungen ist etwas geringer als die Eigenfrequenz und die Frequenz erzwungener Schwingungen fällt mit der Frequenz der Antriebskraft und nicht mit der Eigenfrequenz zusammen.

Erzwungene elektromagnetische Schwingungen

gezwungen werden solche Schwingungen genannt, die im schwingungsfähigen System unter dem Einfluss äußerer periodischer Einwirkung auftreten.

Abb.6.12. Schaltung mit erzwungenen elektrischen Schwingungen

Betrachten Sie die Vorgänge in einem elektrischen Schwingkreis ( Abb.6.12) an eine externe Quelle angeschlossen, deren EMF gemäß dem Oberschwingungsgesetz variiert

wo  m ist die Amplitude der externen EMF,

 ist die zyklische Frequenz der EMF.

Bezeichne mit U C Spannung über dem Kondensator und ich - Stromstärke im Stromkreis. In dieser Schaltung zusätzlich zur variablen EMF  (t) gibt es immer noch eine EMF der Selbstinduktion  L im Induktor.

Die EMF der Selbstinduktion ist direkt proportional zur Änderungsrate der Stromstärke im Stromkreis

Zur Ausgabe Differentialgleichung erzwungener Schwingungen in einer solchen Schaltung auftreten, verwenden wir die zweite Kirchhoff-Regel

Widerstandsspannung R nach dem Ohmschen Gesetz finden

Die Stärke des elektrischen Stroms ist gleich der Ladung, die pro Zeiteinheit durch den Querschnitt des Leiters fließt

Folglich

Stromspannung U C auf dem Kondensator ist direkt proportional zur Ladung auf den Kondensatorplatten

Die EMK der Selbstinduktion kann durch die zweite zeitliche Ableitung der Ladung dargestellt werden

Ersetzen von Spannungen und EMKs in Kirchhoffs zweite Regel

Teilen Sie beide Seiten dieses Ausdrucks durch L und indem wir die Terme gemäß dem Grad der Abnahme in der Ordnung der Ableitung verteilen, erhalten wir eine Differentialgleichung zweiter Ordnung

Lassen Sie uns die folgende Notation einführen und erhalten

ist der Dämpfungskoeffizient,

ist die zyklische Frequenz der Eigenschwingungen der Schaltung.

. (1)

Gleichung (1) ist heterogen lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Gleichungen dieser Art beschreiben das Verhalten einer großen Klasse von schwingungsfähigen Systemen (elektrisch, mechanisch) unter dem Einfluss einer äußeren periodischen Einwirkung (äußere EMK oder äußere Kraft).

Die allgemeine Lösung von Gleichung (1) ist die Summe der allgemeinen Lösung q 1 homogen Differentialgleichung (2)

(2)

und jede spezielle Lösung q 2 heterogen Gleichungen (1)

Art allgemeine Lösung homogen Gleichung (2) hängt vom Wert des Dämpfungskoeffizienten ab  . Uns interessiert der Fall schwacher Dämpfung  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

wo B und  0 sind durch die Anfangsbedingungen gegebene Konstanten.

Lösung (3) beschreibt gedämpfte Schwingungen in der Schaltung. In (3) enthaltene Werte:

ist die zyklische Frequenz gedämpfter Schwingungen;

ist die Amplitude gedämpfter Schwingungen;

ist die Phase gedämpfter Schwingungen.

Wir suchen nach einer bestimmten Lösung von Gleichung (1) in Form einer harmonischen Schwingung, die mit einer Frequenz gleich der Frequenz auftritt  externer periodischer Einfluss - EMF und Verzögerung in Phase durch  von ihm

wo
ist die Amplitude erzwungener Schwingungen, die von der Frequenz abhängt.

Wir setzen (4) in (1) ein und erhalten die Identität

Um die Phasen von Schwingungen zu vergleichen, verwenden wir die trigonometrischen Reduktionsformeln

Dann wird unsere Gleichung in die Form umgeschrieben

Lassen Sie uns die Schwankungen auf der linken Seite der erhaltenen Identität in der Form darstellen Vektordiagramm (Reis.6.13)..

Der dritte Term entspricht den Kapazitätsschwankungen AUS, die eine Phase hat (  t –  ) und Amplitude
, stellen einen nach rechts gerichteten horizontalen Vektor dar.

Abb.6.13. Vektordiagramm

Der erste Term der linken Seite entspricht Schwingungen an der Induktivität L, wird im Vektordiagramm durch einen horizontal nach links gerichteten Vektor dargestellt (seine Amplitude
).

Der zweite Term entspricht Schwingungen im Widerstand R, stellen einen senkrecht nach oben gerichteten Vektor dar (seine Amplitude
), weil seine Phase /2 hinter der Phase des ersten Terms zurückliegt.

Denn die Summe dreier Schwingungen links vom Gleichheitszeichen ergibt eine harmonische Schwingung
, dann zeigt die Vektorsumme im Diagramm (Rechteckdiagonale) eine Schwingung mit einer Amplitude und Phase  t, die eingeschaltet ist  vor der Schwingungsphase des dritten Terms.

Aus einem rechtwinkligen Dreieck kannst du mit dem Satz des Pythagoras die Amplitude finden EIN( )

(5)

und tg als Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.

. (6)

Folglich nimmt die Lösung (4) unter Berücksichtigung von (5) und (6) die Form an

. (7)

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung(1) ist die Summe q 1 und q 2

. (8)

Formel (8) zeigt, dass, wenn eine periodische externe EMF an den Stromkreis angelegt wird, darin Schwingungen mit zwei Frequenzen entstehen, d.h. ungedämpfte Schwingungen mit der Frequenz externer EMK  und gedämpfte Schwingungen mit einer Frequenz
. Amplitude gedämpfter Schwingungen
wird mit der Zeit vernachlässigbar, und es verbleiben nur erzwungene Schwingungen in der Schaltung, deren Amplitude nicht von der Zeit abhängt. Folglich werden stationäre erzwungene Schwingungen durch die Funktion (4) beschrieben. Das heißt, in der Schaltung treten erzwungene harmonische Schwingungen mit einer Frequenz auf, die gleich der Frequenz des äußeren Einflusses ist, und einer Amplitude
, abhängig von dieser Frequenz ( Reis. 3a) gemäß dem Gesetz (5). In diesem Fall eilt die Phase der erzwungenen Schwingung nach  aus Zwang.

Wenn wir den Ausdruck (4) nach der Zeit differenzieren, finden wir die Stromstärke in der Schaltung

wo
ist die Amplitude der Stromstärke.

Diesen Ausdruck schreiben wir für die Stromstärke in das Formular

, (9)

wo
–Phasenverschiebung zwischen Strom und externer EMK.

Nach (6) und Reis. 2

. (10)

Aus dieser Formel folgt, dass die Phasenverschiebung zwischen dem Strom und der äußeren EMK bei einem konstanten Widerstand abhängt R, aus dem Verhältnis zwischen der Frequenz der antreibenden EMF  und Eigenfrequenz der Schaltung  0 .

Wenn ein  <  0 , dann die Phasenverschiebung zwischen dem Strom und der externen EMF  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Wenn ein  >  0 also  > 0. Stromschwankungen hinken phasengleichen EMK-Schwankungen um einen Winkel hinterher  .

Wenn ein  =  0 (Resonanzfrequenz), dann  \u003d 0, d. H. Die Stromstärke und die EMF schwingen in derselben Phase.

Resonanz- Dies ist ein Phänomen eines starken Anstiegs der Schwingungsamplitude, wenn die Frequenz der äußeren Antriebskraft mit der Eigenfrequenz des Schwingungssystems übereinstimmt.

Bei Resonanz  =  0 und Schwingungsdauer

In Anbetracht dessen, dass der Dämpfungskoeffizient

wir erhalten Ausdrücke für den Gütefaktor bei Resonanz T = T 0

andererseits

Die Spannungsamplituden an der Induktivität und Kapazität bei Resonanz können als Qualitätsfaktor der Schaltung ausgedrückt werden

, (15)

. (16)

Aus (15) und (16) ist ersichtlich, dass bei  =  0 , die Amplitude der Spannung über dem Kondensator und der Induktivität in Q mal der Amplitude der externen EMK. Dies ist eine Eigenschaft einer Serie RLC Schleife wird verwendet, um ein Funksignal einer bestimmten Frequenz zu isolieren
aus dem Spektrum der Funkfrequenzen während der Umstrukturierung des Funkempfängers.

In der Praxis RLC Schaltungen mit anderen Schaltungen, Messgeräten oder Verstärkungsgeräten verbunden sind, wodurch eine zusätzliche Dämpfung eingeführt wird RLC Schaltkreis. Daher ist der tatsächliche Wert der Qualitätsfaktor des geladenen RLC Stromkreis ist niedriger als der durch die Formel geschätzte Qualitätsfaktor