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Einführung

Die Welt der Zahlen ist sehr mysteriös und interessant. Zahlen sind sehr wichtig in unserer Welt. Ich möchte so viel wie möglich über den Ursprung der Zahlen lernen, über ihre Bedeutung in unserem Leben. Wie wendet man sie an und welche Rolle spielen sie in unserem Leben?

Letztes Jahr haben wir im Mathematikunterricht begonnen, uns mit dem Thema „Positive und negative Zahlen“ zu befassen. Ich hatte eine Frage, wann tauchten negative Zahlen auf, in welchem ​​Land, welche Wissenschaftler haben sich mit diesem Thema beschäftigt. Auf Wikipedia habe ich gelesen, dass eine negative Zahl ein Element der Menge der negativen Zahlen ist, die (zusammen mit Null) in der Mathematik auftauchten, als die Menge der natürlichen Zahlen erweitert wurde. Der Zweck der Erweiterung besteht darin, eine Subtraktionsoperation für beliebige Zahlen bereitzustellen. Als Ergebnis der Erweiterung erhält man eine Menge (Ring) von ganzen Zahlen, bestehend aus positiven (natürlichen) Zahlen, negativen Zahlen und Null.

Daher beschloss ich, die Geschichte der negativen Zahlen zu untersuchen.

Der Zweck dieser Arbeit ist es, die Entstehungsgeschichte negativer und positiver Zahlen zu untersuchen.

Studiengegenstand - negative Zahlen und positive Zahlen

Geschichte positiver und negativer Zahlen

An negative Zahlen konnte man sich lange nicht gewöhnen. Negative Zahlen schienen ihnen unverständlich, sie wurden nicht verwendet, sie sahen einfach nicht viel Bedeutung darin. Diese Zahlen erschienen viel später als natürliche Zahlen und gewöhnliche Brüche.

Die ersten Informationen über negative Zahlen finden sich bei chinesischen Mathematikern im 2. Jahrhundert vor Christus. BC e. und dann waren nur die Regeln der Addition und Subtraktion positiver und negativer Zahlen bekannt; Multiplikations- und Divisionsregeln wurden nicht angewendet.

Positive Größen wurden in der chinesischen Mathematik "chen" genannt, negative - "fu"; Sie wurden in verschiedenen Farben dargestellt: "chen" - rot, "fu" - schwarz. Dies ist in dem Buch Arithmetik in neun Kapiteln (Autor Zhang Can) zu sehen. Diese Darstellungsweise wurde in China bis Mitte des 12. Jahrhunderts verwendet, bis Li Ye eine bequemere Notation für negative Zahlen vorschlug - die Zahlen, die negative Zahlen darstellten, wurden mit einem Strich schräg von rechts nach links durchgestrichen.

Erst im 7. Jahrhundert Indische Mathematiker begannen ausgiebig Gebrauch von negativen Zahlen zu machen, betrachteten sie jedoch mit einigem Misstrauen. Bhashara schrieb direkt: "Die Menschen billigen keine abstrakten negativen Zahlen ...". So formulierte der indische Mathematiker Brahmagupta die Additions- und Subtraktionsregeln: „Eigentum und Eigentum sind Eigentum, die Summe zweier Schulden ist Schulden; die Summe von Eigentum und Null ist Eigentum; Die Summe zweier Nullen ist Null ... Schulden, die von Null abgezogen werden, werden zu Eigentum, und Eigentum wird zu Schulden. Wenn es notwendig ist, Eigentum von Schulden und Schulden von Eigentum zu nehmen, nehmen sie ihren Betrag. "Die Summe zweier Eigenschaften ist Eigentum."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Die Inder nannten die positiven Zahlen „dhana“ oder „swa“ (Eigentum) und die negativen – „rina“ oder „kshaya“ (Schulden). Indische Wissenschaftler versuchten, Beispiele für eine solche Subtraktion im Leben zu finden, und interpretierten sie aus der Sicht von Handelsberechnungen. Wenn der Händler 5000 r hat. und kauft Waren für 3000 Rubel, er hat 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Wenn er 3.000 Rubel hat und für 5.000 Rubel einkauft, bleibt er für 2.000 Rubel verschuldet. Dementsprechend wurde angenommen, dass hier eine Subtraktion von 3000 - 5000 vorgenommen wird, aber das Ergebnis ist die Zahl 2000 mit einem Punkt oben, was "zweitausend Schulden" bedeutet. Diese Interpretation war künstlich, der Kaufmann fand die Höhe der Schuld nie durch Subtrahieren von 3000 - 5000, sondern immer durch Subtrahieren von 5000 - 3000.

Etwas später, im alten Indien und China, rieten sie, anstelle der Worte "Schulden von 10 Yuan" einfach "10 Yuan" zu schreiben, zeichneten diese Hieroglyphen jedoch mit schwarzer Tinte. Und die Zeichen "+" und "-" waren in der Antike weder für Zahlen noch für Handlungen.

Auch die Griechen verwendeten zunächst keine Zeichen. Der antike griechische Wissenschaftler Diophantus erkannte überhaupt keine negativen Zahlen, und wenn beim Lösen einer Gleichung eine negative Wurzel erhalten wurde, verwarf er sie als "unzugänglich". Und Diophantus versuchte, Probleme zu formulieren und Gleichungen aufzustellen, um negative Wurzeln zu vermeiden, aber bald begann Diophantus von Alexandria, die Subtraktion mit einem Vorzeichen zu bezeichnen.

Regeln für den Umgang mit positiven und negativen Zahlen wurden bereits im 3. Jahrhundert in Ägypten vorgeschlagen. Die Einführung negativer Größen erfolgte erstmals bei Diophantus. Er benutzte sogar ein Sonderzeichen für sie. Gleichzeitig verwendet Diophantus Redewendungen wie „Lasst uns das Negative zu beiden Seiten hinzufügen“ und formuliert sogar die Zeichenregel: „Ein Negativ multipliziert mit einem Negativ ergibt ein Positiv, während ein Negativ multipliziert mit einem Positiv ergibt Ein Negativ."

In Europa wurden ab dem 12. bis 13. Jahrhundert negative Zahlen verwendet, jedoch bis zum 16. Jahrhundert. Die meisten Wissenschaftler hielten sie für "falsch", "eingebildet" oder "absurd", im Gegensatz zu positiven Zahlen - "wahr". Positive Zahlen wurden auch als "Eigentum" und negative Zahlen - als "Schulden", "Mangel" interpretiert. Sogar der berühmte Mathematiker Blaise Pascal argumentierte, dass 0 − 4 = 0 ist, da nichts kleiner als nichts sein kann. In Europa kam Leonardo Fibonacci von Pisa Anfang des 13. Jahrhunderts der Idee einer negativen Größe nahe genug. In einem Problemlösungswettbewerb mit den Hofmathematikern Friedrichs II. wurde Leonardo von Pisa gebeten, ein Problem zu lösen: Es galt, das Kapital mehrerer Personen zu finden. Fibonacci ist negativ. "Dieser Fall", sagte Fibonacci, "ist unmöglich, außer zu akzeptieren, dass man kein Kapital, sondern Schulden hat." Explizit negative Zahlen wurden jedoch erstmals Ende des 15. Jahrhunderts von dem französischen Mathematiker Shuquet verwendet. Autor einer handschriftlichen Abhandlung über Arithmetik und Algebra, The Science of Numbers in Three Parts. Schückes Symbolik nähert sich der Moderne.

Die Arbeit des französischen Mathematikers, Physikers und Philosophen René Descartes trug zur Anerkennung negativer Zahlen bei. Er schlug eine geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen vor - er führte die Koordinatenlinie ein. (1637).

Positive Zahlen werden auf der Zahlenachse durch Punkte dargestellt, die rechts vom Ursprung 0 liegen, negative Zahlen - links. Die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen trug zu ihrer Anerkennung bei.

1544 betrachtet der deutsche Mathematiker Michael Stiefel erstmals negative Zahlen als Zahlen kleiner als Null (d. h. „weniger als nichts“). Von diesem Moment an werden negative Zahlen nicht mehr als Schuld angesehen, sondern auf eine ganz neue Art und Weise. Stiefel selbst schrieb: „Null liegt zwischen wahren und absurden Zahlen…“

Fast gleichzeitig mit Stiefel verteidigte Bombelli Raffaele (um 1530-1572), ein italienischer Mathematiker und Ingenieur, der die Arbeit von Diophantus wiederentdeckte, die Idee der negativen Zahlen.

In ähnlicher Weise hielt Girard negative Zahlen für durchaus akzeptabel und nützlich, insbesondere um das Fehlen von etwas anzuzeigen.

Jeder Physiker hat ständig mit Zahlen zu tun: Er misst immer etwas, rechnet, rechnet. Überall in seinen Papieren - Zahlen, Zahlen und Zahlen. Wenn Sie sich die Aufzeichnungen eines Physikers genau ansehen, werden Sie feststellen, dass er beim Schreiben von Zahlen häufig die Zeichen „+“ und „-“ verwendet. (Zum Beispiel: Thermometer, Tiefen- und Höhenskala)

Erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Die Theorie der negativen Zahlen hat ihre Entwicklung abgeschlossen, und "absurde Zahlen" haben allgemeine Anerkennung gefunden.

Definition des Zahlenbegriffs

In der modernen Welt verwendet eine Person ständig Zahlen, ohne auch nur an ihre Herkunft zu denken. Ohne Kenntnis der Vergangenheit ist es unmöglich, die Gegenwart zu verstehen. Zahlen sind eines der Grundkonzepte der Mathematik. Der Zahlbegriff entwickelte sich in enger Verbindung mit dem Studium der Größen; diese Verbindung hält bis heute an. In allen Zweigen der modernen Mathematik muss man unterschiedliche Größen berücksichtigen und Zahlen verwenden. Zahl ist eine Abstraktion, die verwendet wird, um Objekte zu quantifizieren. In der primitiven Gesellschaft aus den Bedürfnissen des Zählens entstanden, veränderte und bereicherte sich der Zahlenbegriff und wurde zum wichtigsten mathematischen Begriff.

Für den Begriff „Zahl“ gibt es viele Definitionen.

Die erste wissenschaftliche Definition der Zahl hat Euklid in seinen Elementen gegeben, die er offensichtlich von seinem Landsmann Eudoxos von Knidos (um 408 – etwa 355 v. Chr.) übernommen hat: „Eine Einheit ist das, wonach jedes der vorhandenen Dinge benannt wird eines. Eine Zahl ist eine Menge aus Einheiten. So definierte der russische Mathematiker Magnitsky in seiner Arithmetik (1703) den Zahlenbegriff. Schon vor Euklid gab Aristoteles folgende Definition: „Eine Zahl ist eine Menge, die mit Hilfe von Einheiten gemessen wird.“ In seiner „General Arithmetic“ (1707) schreibt der große englische Physiker, Mechaniker, Astronom und Mathematiker Isaac Newton: „Mit Zahl meinen wir nicht so sehr eine Menge von Einheiten, sondern ein abstraktes Verhältnis einer Größe zu einer anderen Größe derselben Art, als Einheit genommen. Es gibt drei Arten von Zahlen: ganzzahlig, gebrochen und irrational. Eine ganze Zahl ist das, was durch eine Einheit gemessen wird; gebrochen - ein Vielfaches der Einheit, irrational - eine Zahl, die nicht der Einheit entspricht.

Auch der Mariupoler Mathematiker S. F. Klyuykov trug zur Definition des Zahlenbegriffs bei: "Zahlen sind mathematische Modelle der realen Welt, die der Mensch für sein Wissen erfunden hat." Er führte auch die sogenannten „Funktionszahlen“ in die traditionelle Zahlenklassifikation ein, also das, was man auf der ganzen Welt üblicherweise als Funktionen bezeichnet.

Beim Zählen von Gegenständen entstanden natürliche Zahlen. Das habe ich in der 5. Klasse gelernt. Dann lernte ich, dass das menschliche Bedürfnis, Mengen zu messen, nicht immer als ganze Zahl ausgedrückt wird. Nach der Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen auf Brüche wurde es möglich, jede ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl zu teilen (mit Ausnahme der Division durch Null). Es gibt Bruchzahlen. Eine ganze Zahl von einer anderen ganzen Zahl zu subtrahieren, wenn das Subtrahierte größer ist als das Reduzierte, schien lange Zeit unmöglich. Interessant für mich war die Tatsache, dass viele Mathematiker lange Zeit negative Zahlen nicht erkannten, weil sie glaubten, dass sie keinen realen Phänomenen entsprächen.

Der Ursprung der Wörter „Plus“ und „Minus“

Die Begriffe kommen von den Wörtern plus – „mehr“, minus – „weniger“. Zunächst wurden Aktionen mit den Anfangsbuchstaben p bezeichnet; m. Viele Mathematiker bevorzugten oder Die Entstehung moderner Zeichen "+", "-" ist nicht ganz klar. Das „+“-Zeichen stammt wahrscheinlich von der Abkürzung et, also "und". Es mag sich jedoch aus der Handelspraxis ergeben haben: Die verkauften Weinmaße wurden auf dem Fass mit einem „-“ gekennzeichnet, und bei der Restaurierung des Bestandes wurden sie durchgestrichen, ein „+“-Zeichen erhielt man.

In Italien setzen Geldverleiher, die Geld verleihen, vor den Namen des Schuldners den Betrag der Schuld und einen Bindestrich, wie unser Minus, und als der Schuldner das Geld zurückgab, strichen sie es durch, so etwas wie unser Plus.

Moderne Zeichen "+" erschienen in Deutschland im letzten Jahrzehnt des 15. Jahrhunderts. im Buch von Widmann, das eine Anleitung zur Rechnung für Kaufleute war (1489). Der Tscheche Jan Widman schrieb bereits "+" und "-" für Addition und Subtraktion.

Wenig später verfasste der deutsche Gelehrte Michel Stiefel die Complete Arithmetic, die 1544 veröffentlicht wurde. Es enthält solche Einträge für Zahlen: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Zahlen der ersten Art nannte er „weniger als nichts“ oder „niedriger als nichts“. Zahlen der zweiten Art nannte er „mehr als nichts“ oder „höher als nichts“. Natürlich verstehen Sie diese Namen, denn „nichts“ ist 0.

Negative Zahlen in Ägypten

Trotz solcher Zweifel wurden die Regeln für den Umgang mit positiven und negativen Zahlen jedoch bereits im 3. Jahrhundert in Ägypten vorgeschlagen. Die Einführung negativer Größen erfolgte erstmals bei Diophantus. Er hat sogar ein Sonderzeichen dafür verwendet (jetzt verwenden wir dafür das Minuszeichen). Wissenschaftler streiten zwar darüber, ob das Symbol des Diophantus genau eine negative Zahl bedeutete oder einfach die Operation der Subtraktion, denn negative Zahlen kommen bei Diophantus nicht isoliert vor, sondern nur in Form positiver Differenzen; und er betrachtet nur rationale positive Zahlen als Antworten in Problemen. Aber gleichzeitig verwendet Diophantus solche Wendungen wie „Lasst uns das Negative zu beiden Seiten hinzufügen“ und formuliert sogar die Zeichenregel: „Ein Negativ multipliziert mit einem Negativ ergibt ein Positiv, während ein Negativ mit einem Positiv multipliziert wird ergibt ein Negativ“ (was heute üblicherweise formuliert wird: „Ein Minus durch ein Minus ergibt ein Plus, ein Minus durch ein Plus ergibt ein Minus“).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Negative Zahlen im alten Asien

Positive Größen wurden in der chinesischen Mathematik "chen" genannt, negative - "fu"; Sie wurden in verschiedenen Farben dargestellt: "chen" - rot, "fu" - schwarz. Diese Darstellungsweise wurde in China bis Mitte des 12. Jahrhunderts verwendet, bis Li Ye eine bequemere Notation für negative Zahlen vorschlug - die Zahlen, die negative Zahlen darstellten, wurden mit einem Strich schräg von rechts nach links durchgestrichen. Indische Wissenschaftler versuchten, Beispiele für eine solche Subtraktion im Leben zu finden, und interpretierten sie aus der Sicht von Handelsberechnungen.

Wenn der Händler 5000 r hat. und kauft Waren für 3000 Rubel, er hat 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Wenn er 3.000 Rubel hat und für 5.000 Rubel einkauft, bleibt er für 2.000 Rubel verschuldet. Dementsprechend wurde angenommen, dass hier eine Subtraktion von 3000 - 5000 vorgenommen wird, aber das Ergebnis ist die Zahl 2000 mit einem Punkt oben, was "zweitausend Schulden" bedeutet.

Diese Interpretation war künstlicher Natur, der Kaufmann fand nie die Höhe der Schuld, indem er 3000 - 5000 subtrahierte, sondern immer 5000 - 3000 subtrahierte. Außerdem konnten auf dieser Grundlage nur die Regeln für das Addieren und Subtrahieren mit Mühe erklärt werden "Zahlen mit Punkten", sollte aber keineswegs die Regeln der Multiplikation oder Division erklären.

In den V-VI Jahrhunderten erscheinen negative Zahlen und sind in der indischen Mathematik sehr weit verbreitet. In Indien wurden negative Zahlen systematisch verwendet, ähnlich wie wir es heute tun. Indische Mathematiker verwenden seit dem 7. Jahrhundert negative Zahlen. n. e.: Brahmagupta formulierte mit ihnen die Regeln für arithmetische Operationen. In seinem Werk lesen wir: „Eigentum und Eigentum sind Eigentum, die Summe zweier Schulden ist Schuld; die Summe von Eigentum und Null ist Eigentum; Die Summe zweier Nullen ist Null ... Schulden, die von Null abgezogen werden, werden zu Eigentum, und Eigentum wird zu Schulden. Wenn es notwendig ist, Eigentum von Schulden und Schulden von Eigentum zu nehmen, nehmen sie ihren Betrag.

Die Inder nannten die positiven Zahlen "dhana" oder "swa" (Eigentum) und die negativen - "rina" oder "kshaya" (Schulden). Allerdings gab es in Indien Probleme mit dem Verständnis und der Akzeptanz negativer Zahlen.

Negative Zahlen in Europa

Europäische Mathematiker haben sie lange nicht gutgeheißen, weil die Interpretation von "Eigentumsschulden" Verwirrung und Zweifel hervorrief. In der Tat, wie kann man Eigentum und Schulden „addieren“ oder „subtrahieren“, welche wirkliche Bedeutung kann die „Multiplikation“ oder „Division“ von Eigentum durch Schulden haben? (G.I. Glazer, Geschichte der Mathematik in den Schulklassen IV-VI. Moskau, Bildung, 1981)

Deshalb haben sich negative Zahlen nur mit Mühe ihren Platz in der Mathematik erkämpft. In Europa kam Leonardo Fibonacci von Pisa Anfang des 13. Jahrhunderts der Idee einer negativen Größe nahe genug, aber der französische Mathematiker Shuquet verwendete erstmals Ende des 15. Jahrhunderts explizit negative Zahlen. Autor einer handschriftlichen Abhandlung über Arithmetik und Algebra, The Science of Numbers in Three Parts. Schückes Symbolik nähert sich der Moderne (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Moderne Interpretation negativer Zahlen

1544 betrachtet der deutsche Mathematiker Michael Stiefel erstmals negative Zahlen als Zahlen kleiner als Null (d. h. „weniger als nichts“). Von diesem Moment an werden negative Zahlen nicht mehr als Schuld angesehen, sondern auf eine ganz neue Art und Weise. Stiefel selbst schrieb: „Null liegt zwischen wahren und absurden Zahlen ...“ (G.I. Glaser, Geschichte der Mathematik in den Klassen IV-VI. Moskau, Bildung, 1981)

Danach widmet Stiefel seine Arbeit ganz der Mathematik, in der er ein brillanter Autodidakt war. Einer der ersten in Europa, nachdem Nikola Shuke begann, mit negativen Zahlen zu operieren.

Der berühmte französische Mathematiker René Descartes beschreibt in Geometry (1637) die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen; Positive Zahlen werden auf der Zahlenachse durch Punkte dargestellt, die rechts vom Ursprung 0 liegen, negative - links. Die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen führte zu einem klareren Verständnis der Natur negativer Zahlen und trug zu ihrer Erkennung bei.

Fast gleichzeitig mit Stiefel verteidigte R. Bombelli Raffaele (um 1530-1572), ein italienischer Mathematiker und Ingenieur, der die Arbeit von Diophantus wiederentdeckte, die Idee der negativen Zahlen.

Bombelli und Girard hingegen hielten negative Zahlen für durchaus akzeptabel und nützlich, insbesondere um das Fehlen von etwas anzuzeigen. Die moderne Bezeichnung positiver und negativer Zahlen mit den Zeichen „+“ und „-“ wurde vom deutschen Mathematiker Widman verwendet. Der Ausdruck "niedriger als nichts" zeigt, dass Stiefel und einige andere sich positive und negative Zahlen als Punkte auf einer vertikalen Skala (wie die Skala eines Thermometers) vorstellten. Die später von dem Mathematiker A. Girard entwickelte Idee negativer Zahlen als Punkte auf einer bestimmten Geraden, die auf der anderen Seite der Null liegen als positive, erwies sich als entscheidend dafür, diesen Zahlen das Bürgerrecht zu verleihen, insbesondere infolge von die Entwicklung der Koordinatenmethode von P. Fermat und R. Descartes .

Fazit

In meiner Arbeit habe ich die Geschichte der negativen Zahlen erforscht. Während meiner Recherche kam ich zu folgendem Schluss:

Die moderne Wissenschaft trifft auf Mengen von solch komplexer Natur, dass es notwendig ist, neue Arten von Zahlen zu erfinden, um sie zu untersuchen.

Bei der Einführung neuer Nummern sind zwei Umstände von großer Bedeutung:

a) die Handlungsregeln für sie müssen vollständig definiert sein und dürfen nicht zu Widersprüchen führen;

b) neue Zahlensysteme sollen entweder zur Lösung neuer Probleme beitragen oder bereits bekannte Lösungen verbessern.

Bis heute gibt es sieben allgemein akzeptierte Ebenen der Verallgemeinerung von Zahlen: natürliche, rationale, reelle, komplexe, Vektor-, Matrix- und transfinite Zahlen. Einige Wissenschaftler schlagen vor, Funktionen als funktionale Zahlen zu betrachten und den Grad der Verallgemeinerung von Zahlen auf zwölf Stufen zu erweitern.

Ich werde versuchen, all diese Zahlenreihen zu studieren.

Anwendung

GEDICHT

"Addition von negativen Zahlen und Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen"

Wenn Sie folden möchten

Die Zahlen sind negativ, es gibt nichts zu trauern:

Wir müssen schnell die Summe der Module herausfinden,

Dann nimm das Minuszeichen und füge es hinzu.

Werden Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen angegeben,

Um ihre Summe zu finden, sind wir genau richtig.

Ein größeres Modul ist schnell sehr wählbar.

Davon ziehen wir den kleineren ab.

Das Wichtigste ist, das Schild nicht zu vergessen!

Welches wirst du setzen? - Wir wollen fragen

Wir verraten dir ein Geheimnis, einfacher geht es nicht,

Zeichen, wo der Modul größer ist, schreiben Sie in die Antwort.

Regeln zum Addieren positiver und negativer Zahlen

Füge ein Minus mit einem Minus hinzu,

Sie können ein Minus bekommen.

Wenn Sie Minus, Plus hinzufügen,

Das wird sich als peinlich herausstellen?!

Wählen Sie das Vorzeichen der Zahl

Was stärker ist, nicht gähnen!

Nehmen Sie ihre Module weg

Ja, schließe Frieden mit all den Zahlen!

Die Multiplikationsregeln können auch so interpretiert werden:

"Der Freund meines Freundes ist mein Freund": + ∙ + = + .

„Der Feind meines Feindes ist mein Freund“: ─ ∙ ─ = +.

"Ein Freund meines Feindes ist mein Feind": + ∙ ─ = ─.

"Der Feind meines Freundes ist mein Feind": ─ ∙ + = ─.

Das Multiplikationszeichen ist ein Punkt, es hat drei Zeichen:

Decken Sie zwei von ihnen ab, der dritte wird die Antwort geben.

Zum Beispiel.

Wie bestimmt man das Vorzeichen des Produkts 2∙(-3)?

Schließen wir die Plus- und Minuszeichen mit unseren Händen. Es gibt ein Minuszeichen

Referenzliste

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Enzyklopädie für Kinder. T.11. Mathe

Positive und negative Zahlen
Koordinatenlinie
Gehen wir geradeaus. Wir markieren darauf den Punkt 0 (Null) und nehmen diesen Punkt als Ursprung.

Lassen Sie uns mit einem Pfeil die Bewegungsrichtung entlang einer geraden Linie rechts vom Ursprung angeben. In diese Richtung werden wir ab Punkt 0 positive Zahlen verschieben.

Das heißt, Zahlen, die uns bereits bekannt sind, außer Null, werden als positiv bezeichnet.

Manchmal werden positive Zahlen mit einem „+“-Zeichen geschrieben. Zum Beispiel „+8“.

Der Kürze halber wird das „+“-Zeichen vor einer positiven Zahl meist weggelassen und statt „+8“ einfach 8 geschrieben.

Daher sind "+3" und "3" die gleiche Nummer, nur anders bezeichnet.

Wählen wir ein Segment aus, dessen Länge wir als Einheit nehmen, und legen es mehrmals rechts vom Punkt 0 beiseite. Am Ende des ersten Segments steht die Zahl 1, am Ende des zweiten - die Nummer 2 usw.

Wenn wir ein einzelnes Segment links vom Ursprung platzieren, erhalten wir negative Zahlen: -1; -2; usw.

Negative Zahlen verwendet, um verschiedene Größen zu bezeichnen, wie z. B.: Temperatur (unter Null), Strömung - dh negatives Einkommen, Tiefe - negative Höhe und andere.

Wie der Abbildung zu entnehmen ist, sind negative Zahlen uns bereits bekannte Zahlen, nur mit Minuszeichen: -8; -5,25 usw.

• Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ.

Die numerische Achse wird normalerweise horizontal oder vertikal platziert.

Wenn die Koordinatenlinie vertikal ist, wird die Richtung vom Ursprung nach oben normalerweise als positiv und vom Ursprung nach unten als negativ betrachtet.

Der Pfeil zeigt die positive Richtung an.

Die markierte gerade Linie:
. Bezugspunkt (Punkt 0);
. einzelnes Segment;
. der Pfeil zeigt die positive Richtung an;
genannt Koordinatenlinie oder Zahlenstrahl.

Gegenüberliegende Zahlen auf der Koordinatenlinie
Markieren wir auf der Koordinatenlinie zwei Punkte A und B, die jeweils rechts und links vom Punkt 0 gleich weit entfernt sind.

In diesem Fall sind die Längen der Segmente OA und OB gleich.

Das bedeutet, dass sich die Koordinaten der Punkte A und B nur im Vorzeichen unterscheiden.


Die Punkte A und B sollen auch symmetrisch zum Ursprung sein.
Die Koordinate von Punkt A ist positiv "+2", die Koordinate von Punkt B hat ein Minuszeichen "-2".
A (+2), B (-2).

• Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen. Die entsprechenden Punkte der numerischen (Koordinaten-) Achse sind symmetrisch zum Ursprung.

Jede Zahl hat eine einzige Gegenzahl. Nur die Zahl 0 hat kein Gegenteil, aber wir können sagen, dass sie sich selbst gegenübersteht.

Die Notation „-a“ bedeutet das Gegenteil von „a“. Denken Sie daran, dass ein Buchstabe sowohl eine positive Zahl als auch eine negative Zahl verbergen kann.

Beispiel:
-3 ist das Gegenteil von 3.

Wir schreiben es als Ausdruck:
-3 = -(+3)

Beispiel:
-(-6) - die Zahl gegenüber der negativen Zahl -6. -(-6) ist also die positive Zahl 6.

Wir schreiben es als Ausdruck:
-(-6) = 6

Negative Zahlen addieren
Die Addition positiver und negativer Zahlen kann mit einem Zahlenstrahl geparst werden.

Die Addition von Zahlen mit kleinem Absolutwert wird bequem auf der Koordinatenlinie durchgeführt, indem man sich mental vorstellt, wie sich ein Punkt, der die Zahl bezeichnet, entlang der Zahlenachse bewegt.

Nehmen wir eine Zahl, zum Beispiel 3. Bezeichnen wir sie auf der Zahlenachse mit dem Punkt A.

Fügen wir der Zahl eine positive Zahl 2 hinzu, was bedeutet, dass Punkt A um zwei Einheitssegmente in positiver Richtung, also nach rechts, verschoben werden muss. Als Ergebnis erhalten wir Punkt B mit der Koordinate 5.
3 + (+ 2) = 5

Um eine negative Zahl (-5) zu einer positiven Zahl zu addieren, beispielsweise zu 3, muss Punkt A um 5 Längeneinheiten in negativer Richtung, also nach links, verschoben werden.

In diesem Fall ist die Koordinate von Punkt B -2.

Die Reihenfolge der Addition rationaler Zahlen mithilfe der Zahlenachse ist also wie folgt:
. markiere einen Punkt A auf der Koordinatenlinie mit einer Koordinate gleich dem ersten Term;
. Bewegen Sie es um eine Strecke, die dem Modul des zweiten Terms entspricht, in die Richtung, die dem Vorzeichen vor der zweiten Zahl entspricht (plus - nach rechts bewegen, minus - nach links);
. Der auf der Achse erhaltene Punkt B hat eine Koordinate, die gleich der Summe dieser Zahlen ist.

Beispiel.
- 2 + (- 6) =

Wenn wir uns vom Punkt - 2 nach links bewegen (da vor 6 ein Minuszeichen steht), erhalten wir - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Addition von Zahlen mit gleichen Vorzeichen
Das Addieren rationaler Zahlen ist einfacher, wenn Sie das Konzept eines Moduls verwenden.

Angenommen, wir müssen Zahlen mit denselben Vorzeichen addieren.
Dazu verwerfen wir die Vorzeichen von Zahlen und nehmen die Module dieser Zahlen. Wir addieren die Module und setzen das Vorzeichen vor die Summe, das diesen Zahlen gemeinsam war.

Beispiel.

Ein Beispiel für das Addieren negativer Zahlen.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Um Zahlen mit demselben Vorzeichen hinzuzufügen, müssen Sie ihre Module hinzufügen und das Vorzeichen vor die Summe setzen, die vor den Begriffen stand.

Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen
Haben die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen, dann gehen wir etwas anders vor als beim Addieren von Zahlen mit gleichen Vorzeichen.
. Wir verwerfen die Zeichen vor den Zahlen, dh wir nehmen ihre Module.
. Subtrahiere den kleineren vom größeren.
. Vor die Differenz setzen wir das Vorzeichen, das die Zahl mit größerem Modul hatte.

Ein Beispiel für das Addieren einer negativen und einer positiven Zahl.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Ein Beispiel für das Addieren gemischter Zahlen.

So addieren Sie Zahlen mit unterschiedlichen Zeichen:
. das kleinere Modul vom größeren Modul subtrahieren;
. Setzen Sie vor der resultierenden Differenz das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Modul.

Subtraktion negativer Zahlen
Wie Sie wissen, ist Subtraktion das Gegenteil von Addition.
Wenn a und b positive Zahlen sind, bedeutet das Subtrahieren der Zahl b von der Zahl a, eine Zahl c zu finden, die, wenn sie mit der Zahl b addiert wird, die Zahl a ergibt.
a - b = c oder c + b = a

Die Definition der Subtraktion gilt für alle rationalen Zahlen. Also Subtraktion positiver und negativer Zahlen kann durch Zusatz ersetzt werden.

• Um eine andere von einer Zahl zu subtrahieren, müssen Sie die entgegengesetzte Zahl zum Minuend hinzufügen.

Oder anders gesagt, wir können sagen, dass die Subtraktion der Zahl b dieselbe Addition ist, aber mit der Zahl, die der Zahl b entgegengesetzt ist.
a - b = a + (- b)

Beispiel.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Beispiel.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Es lohnt sich, sich an die folgenden Ausdrücke zu erinnern.
• 0 - ein = - ein
• ein - 0 = ein
• a - a = 0

Regeln zum Subtrahieren negativer Zahlen
Wie Sie den obigen Beispielen entnehmen können, ist die Subtraktion der Zahl b die Addition mit der Zahl b gegenüber der Zahl.
Diese Regel wird nicht nur beim Subtrahieren einer kleineren Zahl von einer größeren Zahl beibehalten, sondern ermöglicht es Ihnen auch, eine größere Zahl von einer kleineren Zahl zu subtrahieren, dh Sie können immer die Differenz zwischen zwei Zahlen finden.

Die Differenz kann eine positive Zahl, eine negative Zahl oder Null sein.

Beispiele für das Subtrahieren negativer und positiver Zahlen.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Es ist praktisch, sich an die Vorzeichenregel zu erinnern, mit der Sie die Anzahl der Klammern reduzieren können.
Das Pluszeichen ändert das Vorzeichen der Zahl nicht, wenn also ein Plus vor der Klammer steht, ändert sich das Vorzeichen in der Klammer nicht.
+ (+ ein) = + ein

+ (- ein) = - ein

Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen der Zahl in der Klammer um.
- (+ ein) = - ein

- (- ein) = + ein

Aus den Gleichheiten ist ersichtlich, dass wir bei gleichen Zeichen vor und innerhalb der Klammern „+“ erhalten und bei unterschiedlichen Zeichen „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Die Vorzeichenregel bleibt auch dann gewahrt, wenn nicht eine Zahl in Klammern steht, sondern eine algebraische Summe von Zahlen.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Bitte beachten Sie, dass bei mehreren Zahlen in Klammern und einem Minuszeichen vor den Klammern die Vorzeichen vor allen Zahlen in diesen Klammern geändert werden müssen.

Um sich an die Vorzeichenregel zu erinnern, können Sie eine Tabelle zur Bestimmung der Vorzeichen einer Zahl erstellen.
Zeichenregel für Zahlen

Oder lernen Sie eine einfache Regel.

• Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung,
• Plus mal minus gleich minus.

Multiplikation negativer Zahlen
Mit dem Konzept des Moduls einer Zahl formulieren wir die Regeln für die Multiplikation positiver und negativer Zahlen.

Multiplikation von Zahlen mit gleichen Vorzeichen
Der erste Fall, auf den Sie stoßen können, ist die Multiplikation von Zahlen mit demselben Vorzeichen.
So multiplizieren Sie zwei Zahlen mit demselben Vorzeichen:
. Zahlenmodule multiplizieren;
. setzen Sie ein „+“-Zeichen vor das resultierende Produkt (beim Schreiben der Antwort kann das Pluszeichen vor der ersten Zahl von links weggelassen werden).

Beispiele für die Multiplikation negativer und positiver Zahlen.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen
Der zweite mögliche Fall ist die Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
So multiplizieren Sie zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen:
. Zahlenmodule multiplizieren;
. Setzen Sie ein "-" Zeichen vor die resultierende Arbeit.
Beispiele für die Multiplikation negativer und positiver Zahlen.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Regeln für Zeichen für die Multiplikation
Es ist sehr einfach, sich an die Vorzeichenregel für die Multiplikation zu erinnern. Diese Regel ist die gleiche wie die Erweiterungsregel für Klammern.

• Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung,
• Plus mal minus gleich minus.

Bei „langen“ Beispielen, bei denen es nur um eine Multiplikationsaktion geht, kann das Vorzeichen des Produkts durch die Anzahl der negativen Faktoren bestimmt werden.

Bei eben Anzahl negativer Faktoren, das Ergebnis wird positiv sein, und mit seltsam Menge ist negativ.
Beispiel.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

Im Beispiel gibt es fünf negative Multiplikatoren. Das Vorzeichen des Ergebnisses ist also minus.
Jetzt berechnen wir das Produkt der Moduli, wobei wir die Vorzeichen ignorieren.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Das Endergebnis der Multiplikation der ursprünglichen Zahlen lautet:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Multiplikation mit null und eins
Wenn unter den Faktoren eine Zahl Null oder eine positive Eins ist, wird die Multiplikation nach bekannten Regeln durchgeführt.
. 0 . a = 0
. a. 0 = 0
. a. 1 = ein
Beispiele:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Eine besondere Rolle bei der Multiplikation rationaler Zahlen spielt eine negative Einheit (- 1).

• Bei Multiplikation mit (- 1) wird die Zahl umgekehrt.

Wörtlich kann diese Eigenschaft geschrieben werden:
a. (- 1) = (- 1) . ein = - ein

Beim Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren rationaler Zahlen wird die für positive Zahlen und Null festgelegte Reihenfolge der Operationen beibehalten.

Ein Beispiel für die Multiplikation negativer und positiver Zahlen.

Division negativer Zahlen
Wie man negative Zahlen dividiert, ist leicht zu verstehen, wenn man bedenkt, dass die Division die Umkehrung der Multiplikation ist.

Wenn a und b positive Zahlen sind, dann bedeutet das Teilen der Zahl a durch die Zahl b, eine Zahl c zu finden, die, wenn sie mit b multipliziert wird, die Zahl a ergibt.

Diese Definition der Division gilt für alle rationalen Zahlen, solange die Teiler nicht Null sind.

Also zum Beispiel die Zahl (- 15) durch die Zahl 5 zu teilen bedeutet, eine Zahl zu finden, die multipliziert mit der Zahl 5 die Zahl (- 15) ergibt. Diese Zahl ist (- 3), da
(- 3) . 5 = - 15

meint

(- 15) : 5 = - 3

Beispiele für die Division rationaler Zahlen.
1. 10: 5 = 2 seit 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2 da 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6 seit (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, da (- 3) . (-4) = 12

Aus den Beispielen ist ersichtlich, dass der Quotient zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen eine positive Zahl ist (Beispiele 1, 2), und der Quotient zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen eine negative Zahl ist (Beispiele 3,4).

Regeln für die Division negativer Zahlen
Um den Modul des Quotienten zu finden, musst du den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors dividieren.
Um also zwei Zahlen mit gleichen Vorzeichen zu dividieren, benötigen Sie:

. dem Ergebnis ein „+“-Zeichen voranstellen.
Beispiele zum Teilen von Zahlen mit gleichen Vorzeichen:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Dividieren zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen:
. dividiere den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors;
. dem Ergebnis ein "-"-Zeichen voranstellen.
Beispiele zum Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Sie können auch die folgende Tabelle verwenden, um das Quotientenzeichen zu bestimmen.
Die Vorzeichenregel beim Dividieren

Bei der Berechnung "langer" Ausdrücke, in denen nur Multiplikation und Division vorkommen, ist es sehr praktisch, die Vorzeichenregel zu verwenden. Zum Beispiel, um einen Bruch zu berechnen

Sie können darauf achten, dass es im Zähler 2 "Minus" -Zeichen gibt, die multipliziert ein "Plus" ergeben. Es gibt auch drei Minuszeichen im Nenner, die multipliziert ein Minus ergeben. Daher wird das Ergebnis am Ende mit einem Minuszeichen sein.

Die Bruchreduktion (weitere Aktionen mit Zahlenmodulen) wird auf die gleiche Weise wie zuvor durchgeführt:

• Der Quotient der Division von Null durch eine Zahl ungleich Null ist Null.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• Teilen Sie NICHT durch Null!

Alle bisher bekannten Regeln zum Teilen durch Eins gelten auch für die Menge der rationalen Zahlen.
. ein: 1 = ein
. ein: (- 1) = - ein
. a: a = 1
wobei a eine beliebige rationale Zahl ist.

Die für positive Zahlen bekannten Abhängigkeiten zwischen den Ergebnissen von Multiplikation und Division bleiben auch für alle rationalen Zahlen (außer der Zahl Null) erhalten:
. wenn ein . b = c; a = c:b; b = c: ein;
. wenn a: b = c; a = s. b; b=a:c
Diese Abhängigkeiten werden verwendet, um den unbekannten Faktor, den Dividenden und den Divisor (beim Lösen von Gleichungen) zu finden, sowie um die Ergebnisse der Multiplikation und Division zu überprüfen.

Ein Beispiel für das Finden des Unbekannten.
x . (-5) = 10

x=10: (-5)

x=-2

Minuszeichen in Brüchen
Teilen Sie die Zahl (- 5) durch 6 und die Zahl 5 durch (- 6).

Wir erinnern Sie daran, dass die Linie in der Notation eines gewöhnlichen Bruchs dasselbe Divisionszeichen ist, und wir schreiben den Quotienten jeder dieser Aktionen als negativen Bruch.

So kann das Minuszeichen in einem Bruch sein:
. vor dem Bruch
. im Zähler;
. im Nenner.

• Beim Schreiben von negativen Brüchen können Sie dem Bruch ein Minuszeichen voranstellen, ihn vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler übertragen.

Dies wird oft verwendet, wenn Operationen mit Brüchen durchgeführt werden, um Berechnungen zu vereinfachen.

Beispiel. Bitte beachten Sie, dass wir nach dem Minuszeichen vor der Klammer das kleinere vom größeren Modul nach den Regeln zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen subtrahieren.


Mit der beschriebenen Vorzeichenübertragungseigenschaft in Brüchen kann man agieren, ohne herauszufinden, welcher Betrag welcher dieser Bruchzahlen größer ist.

Bestehend aus positiven (natürlichen) Zahlen, negativen Zahlen und Null.

Alle negativen Zahlen, und nur sie, sind kleiner als Null. Auf der Zahlenachse stehen negative Zahlen links von Null. Für sie sowie für positive Zahlen ist eine Ordnungsrelation definiert, die es Ihnen ermöglicht, eine ganze Zahl mit einer anderen zu vergleichen.

Für jede natürliche Zahl n es gibt nur eine negative Zahl, die mit bezeichnet wird -n, was ergänzt n bis Null:

Eine vollständige und ziemlich strenge Theorie der negativen Zahlen wurde erst im 19. Jahrhundert geschaffen (William Hamilton und Hermann Grassmann).

Berühmte negative Zahlen

siehe auch

Literatur

• Vygodsky M. Ja. Handbuch der Elementarmathematik. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glaser G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. - M .: Bildung, 1964. - 376 p.

Anmerkungen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

• Stein
• Ozon (Begriffsklärung)

Sehen Sie, was "Negative Zahl" in anderen Wörterbüchern ist:

EINE NEGATIVZAHL- eine reelle Zahl a kleiner als Null, d. h. die Erfüllung der Ungleichung a ... Große polytechnische Enzyklopädie- 1,50. negative Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X, so dass für x = 0, 1, 2, ... und Parameter c > 0 (positive ganze Zahl), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … Wörterbuch-Nachschlagewerk von Begriffen der normativen und technischen Dokumentation

Wolf Nummer- (W) quantitatives Merkmal des Grads der Sonnenaktivität; stellt die Anzahl der Sonnenflecken und ihrer Gruppen dar, ausgedrückt in Form eines bedingten Indikators: W \u003d k (m + 10n), wobei m die Gesamtzahl aller in Gruppen angeordneten oder angeordneten Sonnenflecken ist ... ... Humanökologie

Negative Zahlen sind Zahlen mit einem Minuszeichen (-), zum Beispiel -1, -2, -3. Liest sich wie: minus eins, minus zwei, minus drei.

Anwendungsbeispiel negative Zahlen ist ein Thermometer, das die Temperatur des Körpers, der Luft, des Bodens oder des Wassers anzeigt. Im Winter, wenn es draußen sehr kalt ist, ist die Temperatur negativ (oder, wie die Leute sagen, „minus“).

Zum Beispiel -10 Grad Kälte:

Die üblichen Zahlen, die wir zuvor betrachtet haben, wie 1, 2, 3, werden als positiv bezeichnet. Positive Zahlen sind Zahlen mit einem Pluszeichen (+).

Beim Schreiben von positiven Zahlen wird das +-Zeichen nicht aufgeschrieben, weshalb wir die uns bekannten Zahlen 1, 2, 3 sehen, wobei zu beachten ist, dass diese positiven Zahlen so aussehen: +1, + 2, +3.

Unterrichtsinhalt

Dies ist eine gerade Linie, auf der sich alle Zahlen befinden: sowohl negative als auch positive. Folgendermaßen:

Hier sind Zahlen von -5 bis 5 dargestellt. Tatsächlich ist die Koordinatenlinie unendlich. Die Abbildung zeigt nur einen kleinen Ausschnitt davon.

Die Zahlen auf der Koordinatenlinie sind als Punkte markiert. In der Abbildung ist der dicke schwarze Punkt der Ausgangspunkt. Der Countdown beginnt bei Null. Links vom Bezugspunkt sind negative Zahlen markiert, rechts positive.

Die Koordinatenlinie setzt sich auf beiden Seiten unendlich fort. Unendlich wird in der Mathematik mit dem Symbol ∞ bezeichnet. Die negative Richtung wird mit dem Symbol −∞ und die positive mit dem Symbol +∞ bezeichnet. Dann können wir sagen, dass alle Zahlen von minus unendlich bis plus unendlich auf der Koordinatenlinie liegen:

Jeder Punkt auf der Koordinatenlinie hat seinen eigenen Namen und seine eigene Koordinate. Name ist irgendein lateinischer Buchstabe. Koordinate ist eine Zahl, die die Position eines Punktes auf dieser Linie angibt. Einfach ausgedrückt ist die Koordinate dieselbe Zahl, die wir auf der Koordinatenlinie markieren möchten.

Zum Beispiel lautet Punkt A(2) wie "Punkt A mit Koordinate 2" und wird auf der Koordinatenlinie wie folgt bezeichnet:

Hier EIN ist der Name des Punktes, 2 ist die Koordinate des Punktes A.

Beispiel 2 Punkt B(4) lautet wie folgt "Punkt B bei Koordinate 4"

Hier B ist der Name des Punktes, 4 ist die Koordinate des Punktes b.

Beispiel 3 Der Punkt M(−3) wird gelesen als "Punkt M mit Koordinate minus drei" und wird auf der Koordinatenlinie wie folgt bezeichnet:

Hier M ist der Name des Punktes, −3 ist die Koordinate des Punktes M .

Punkte können mit beliebigen Buchstaben bezeichnet werden. Es ist jedoch allgemein akzeptiert, sie mit lateinischen Großbuchstaben zu bezeichnen. Außerdem der Beginn des Berichts, der anders heißt Ursprung normalerweise mit einem Großbuchstaben O bezeichnet

Es ist leicht zu erkennen, dass negative Zahlen links vom Ursprung liegen und positive Zahlen rechts.

Es gibt Sätze wie „Je weiter links, desto weniger“ und „Je weiter rechts, desto mehr“. Sie haben wahrscheinlich schon erraten, wovon wir sprechen. Mit jedem Schritt nach links verringert sich die Zahl nach unten. Und mit jedem Schritt nach rechts erhöht sich die Zahl. Der nach rechts zeigende Pfeil zeigt die positive Zählrichtung an.

Negative und positive Zahlen vergleichen

Regel 1 Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl.

Lassen Sie uns zum Beispiel zwei Zahlen vergleichen: −5 und 3. Minus fünf weniger als drei, obwohl die fünf in erster Linie als Zahl größer als drei auffällt.

Das liegt daran, dass −5 negativ und 3 positiv ist. Auf der Koordinatenlinie können Sie sehen, wo sich die Zahlen −5 und 3 befinden

Es ist ersichtlich, dass –5 links und 3 rechts liegt. Und das haben wir gesagt „Je weiter links, desto weniger“ . Und die Regel besagt, dass jede negative Zahl kleiner ist als jede positive Zahl. Daraus folgt das

−5 < 3

„Minus fünf ist weniger als drei“

Regel 2 Von den beiden negativen Zahlen ist die kleinere diejenige, die sich links auf der Koordinatenlinie befindet.

Vergleichen wir zum Beispiel die Zahlen -4 und -1. minus vier weniger als minus eins.

Dies liegt wiederum daran, dass auf der Koordinatenlinie –4 weiter links liegt als –1

Es ist ersichtlich, dass -4 links und -1 rechts liegt. Und das haben wir gesagt „Je weiter links, desto weniger“ . Und die Regel besagt, dass von zwei negativen Zahlen diejenige kleiner ist, die links auf der Koordinatenlinie liegt. Daraus folgt das

Minus vier ist weniger als minus eins

Regel 3 Null ist größer als jede negative Zahl.

Vergleichen wir zum Beispiel 0 und −3. Null mehr als minus drei. Dies liegt daran, dass auf der Koordinatenlinie 0 rechts von −3 liegt

Es ist ersichtlich, dass 0 rechts und −3 links liegt. Und das haben wir gesagt „Je weiter rechts, desto mehr“ . Und die Regel besagt, dass Null größer ist als jede negative Zahl. Daraus folgt das

Null ist größer als minus drei

Regel 4 Null ist kleiner als jede positive Zahl.

Vergleichen Sie zum Beispiel 0 und 4. Null weniger als 4. Im Prinzip ist dies klar und richtig. Aber wir werden versuchen, es mit eigenen Augen zu sehen, wieder auf der Koordinatenlinie:

Es ist ersichtlich, dass sich auf der Koordinatenlinie 0 links und 4 rechts befindet. Und das haben wir gesagt „Je weiter links, desto weniger“ . Und die Regel besagt, dass Null kleiner als jede positive Zahl ist. Daraus folgt das

Null ist weniger als vier

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Als Sonderzahl hat sie kein Vorzeichen.

Beispiele für das Schreiben von Zahlen: + 36 , 6 ; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.) Die letzte Zahl hat kein Vorzeichen und ist somit positiv.

Beachten Sie, dass Plus und Minus das Vorzeichen für Zahlen angeben, aber nicht für Literalvariablen oder algebraische Ausdrücke. Zum Beispiel in Formeln −t; a+b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) Die Plus- und Minuszeichen geben nicht das Vorzeichen des vorangestellten Ausdrucks an, sondern das Vorzeichen der arithmetischen Operation, sodass das Vorzeichen des Ergebnisses beliebig sein kann, es wird erst bestimmt, nachdem der Ausdruck ausgewertet wurde.

Neben der Arithmetik wird der Zeichenbegriff auch in anderen Zweigen der Mathematik verwendet, unter anderem für nicht-numerische mathematische Objekte (siehe unten). Das Konzept eines Zeichens ist auch in jenen Zweigen der Physik wichtig, in denen physikalische Größen in zwei Klassen unterteilt werden, die bedingt positiv und negativ genannt werden - zum Beispiel elektrische Ladungen, positive und negative Rückkopplung, verschiedene Anziehungs- und Abstoßungskräfte.

Nummernschild

Positive und negative Zahlen

Null ist also kein Vorzeichen zugeordnet + 0 (\displaystyle +0) und − 0 (\displaystyle -0) ist die gleiche Zahl in der Arithmetik. In der mathematischen Analyse die Bedeutung von Symbolen + 0 (\displaystyle +0) und − 0 (\displaystyle -0) kann variieren, sehen Sie sich das an. Negative und positive Null ; In der Informatik kann die Computercodierung von zwei Nullen (ganzzahliger Typ) unterschiedlich sein, siehe direkter Code.

Im Zusammenhang mit dem oben Gesagten werden einige weitere nützliche Begriffe eingeführt:

• Nummer nicht negativ wenn es größer oder gleich Null ist.
• Nummer nicht positiv wenn es kleiner oder gleich Null ist.
• Positive Nicht-Null-Zahlen und negative Nicht-Null-Zahlen werden manchmal (um zu betonen, dass sie Nicht-Null sind) als "streng positiv" bzw. "streng negativ" bezeichnet.

Dieselbe Terminologie wird manchmal für reelle Funktionen verwendet. Beispielsweise wird die Funktion aufgerufen positiv wenn alle seine Werte positiv sind, nicht negativ, wenn alle seine Werte nicht negativ sind usw. Sie sagen auch, dass die Funktion in einem bestimmten Intervall ihrer Definition positiv/negativ ist.

Ein Beispiel für die Verwendung der Funktion finden Sie im Artikel Quadratwurzel#Komplexe Zahlen .

Modul (Absolutwert) einer Zahl

Wenn die Nummer x (\displaystyle x) das Vorzeichen fallen lassen, wird der resultierende Wert aufgerufen Modul oder absoluter Wert Zahlen x (\displaystyle x), es ist bezeichnet | x | . (\displaystyle |x|.) Beispiele: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

Für beliebige reelle Zahlen a , b (\displaystyle a,b) die folgenden Eigenschaften gelten.

Vorzeichen von nicht numerischen Objekten

Winkelzeichen

Der Wert des Winkels in der Ebene gilt als positiv, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, andernfalls ist er negativ. Zwei Rotationsfälle werden ähnlich klassifiziert:

• Drehung auf einer Ebene – z. B. Drehung um (–90°) im Uhrzeigersinn;
• eine Drehung im Raum um eine orientierte Achse wird in der Regel als positiv gewertet, wenn die „Gimlet-Regel“ erfüllt ist, andernfalls als negativ.

Richtungszeichen

In der analytischen Geometrie und Physik werden Fortschritte entlang einer bestimmten geraden Linie oder Kurve oft bedingt in positive und negative unterteilt. Eine solche Einteilung kann von der Problemstellung oder dem gewählten Koordinatensystem abhängen. Wenn Sie beispielsweise die Länge eines Bogens einer Kurve berechnen, ist es oft praktisch, dieser Länge ein Minuszeichen in einer von zwei möglichen Richtungen zuzuweisen.

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1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Um das Vorzeichen einer ganzen Zahl darzustellen, verwenden die meisten Computer