Wenn I = f0g, dann F = R.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Wenn I = f0g, dann F = R.

Wenn die Abmessung Unterräume I gleich 1, dann ist F = C.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Wenn I = f0g, dann F = R.

Wenn die Abmessung Unterräume I gleich 1, dann F = C. Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Leerzeichen I. Sei i = p1 u. Dann

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie linear unabhängiges System Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =
i2 =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =

u2 (u2) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei i = p1 u. Dann ist i2 = 1:

Durch in die Summe i v = + x, wobei 2 R, x 2 I.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =										u. Dann ist i2 = 1:
			Lemma zur Zerlegung von Elementen aus F
			ich v = + x, wo				2R, x 2I . Entsprechend
					(i + v) 2 Ich , ein		insbesondere (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =										u. Dann ist i2 = 1:
			Lemma zur Zerlegung von Elementen aus F
			ich v = + x, wo				2R, x 2I . Entsprechend
					(i + v) 2 Ich , ein		insbesondere (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =

u. Dann ist i2 = 1:

Lemma zur Zerlegung von Elementen aus F

ich v = + x, wo

2R, x 2I .

Entsprechend

(i + v) 2 ich ,

insbesondere (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =

u. Dann ist i2 = 1:

Lemma zur Zerlegung von Elementen aus F

ich v = + x, wo

2R, x 2I .

Entsprechend

(i + v) 2 ich ,

insbesondere (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =								u. Dann ist i2 = 1:
					über Zersetzung				Elemente aus
				ich v = + x, wo					2R, x 2I .
					(ich + v). Wir haben j2 = 1,
		(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =

u. Dann ist i2 = 1:

über Zersetzung

Elemente aus

ich v = + x, wo

2R, x 2I .

(i1 + v). Wir haben j2 = 1,

(i+v)2

ich j = ich

(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =

u. Dann ist i2 = 1:

über die Zerlegung von Elementen

ich v = + x, wo

x 2 Ich .

(i1 + v). Wir haben j2 = 1,

(i+v)2

ich j = ich

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =

u. Dann ist i2 = 1:

über Zersetzung

Elemente

ich v = + x, wo

x 2 Ich .

(i1 + v). Wir haben j2 = 1,

(i+v)2

ich j = ich

(i+v)2

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =

u. Dann ist i2 = 1:

über Zersetzung

Elemente

ich v = + x, wo

x 2 Ich .

(i1 + v). Wir haben j2 = 1,

(i+v)2

ich j = ich

(i+v)2

(i+v)2

x 2 ich :

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =								u. Dann ist i2 = 1:
					über Zersetzung				Elemente aus
				ich v = + x, wo					2R, x 2I .

(i+v)2

Meint, ,

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =								u. Dann ist i2 = 1:
					über Zersetzung				Elemente aus
				ich v = + x, wo					2R, x 2I .
					(ich + v). Wir haben j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2

ich + j + ich j ; ; ; 2R

Quaternion-Körper.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Lassen Sie die Dimension Unterräume I mehr als 1.

Nehmen Sie ein linear unabhängiges System von Vektoren fu; sg linear

Leerzeichen I. Sei ich =								u. Dann ist i2 = 1:
					über Zersetzung				Elemente aus
				ich v = + x, wo					2R, x 2I .
					(ich + v). Wir haben j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2
Daher gilt nach dem Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F ,

ich + j + ich j ; ; ; 2R

Quaternion-Körper.

Also wenn linearer Raum I hat die Dimension 3, dann ist F ein Körper von Quaternionen.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Unterräume I mehr als 3.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I

Lass uns nehmen linear unabhängig

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							x; ja; z 2 ich :

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Aufgrund des Lemmas über die Zerlegung von Elementen aus F in eine Summe

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Aufgrund des Lemmas über die Zerlegung von Elementen aus F in eine Summe

							x; ja; z 2 ich :

Aufgrund Unterraum-Lemmata I t = m + ich + j + k 2I . Aus lineare Unabhängigkeit Vektorsysteme fi; j; k; mg weiter-

bläst, dass t 6= 0.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Aufgrund des Lemmas über die Zerlegung von Elementen aus F in eine Summe

							x; ja; z 2 ich :

Unterraumlemma I

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Aufgrund des Lemmas über die Zerlegung von Elementen aus F in eine Summe

							x; ja; z 2 ich :

Es ist bewiesen, dass 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Durch Unterraumlemma I

ich t = ich m + k j =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Aufgrund des Lemmas über die Zerlegung von Elementen aus F in eine Summe

							x; ja; z 2 ich :

Es ist bewiesen, dass 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Durch Unterraumlemma I

ich t = ich m + k j = x + k j

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Aufgrund des Lemmas über die Zerlegung von Elementen aus F in eine Summe

							x; ja; z 2 ich :

Es ist bewiesen, dass 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Durch Unterraumlemma I

ich t = ich m + k j = x + k j 2 ich:

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Aufgrund des Lemmas über die Zerlegung von Elementen aus F in eine Summe

Ebenso können wir beweisen, dass j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Aufgrund des Lemmas über die Zerlegung von Elementen aus F in eine Summe

											x; ja; z 2 ich :
Geprüft, dass			0 6= t = m + ich + j + k 2 ich . Polemma auf Subpro-
Raum I			ich t 2 ich, j t 2 ich,
Wir setzen n =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Wir haben n 2 I gefunden, so dass n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Durch das Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Wir haben n 2 I gefunden, so dass n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Durch das Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F

ich n = ni; jn = nj; kn = nk:

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Wir haben n 2 I gefunden, so dass n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Durch das Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F

ich n = ni; jn = nj; kn = nk:

N ich j = ich n j =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Wir haben n 2 I gefunden, so dass n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Durch das Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F

ich n = ni; jn = nj; kn = nk:

N k = n ich j = ich n j =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Wir haben n 2 I gefunden, so dass n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Durch das Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F

ich n = ni; jn = nj; k n = n k: k n = n k = n ich j = ich n j =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Wir haben n 2 I gefunden, so dass n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Durch das Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F

ich n = ni; jn = nj; kn = nk:

k n = n k = n ich j = ich n j = ich (j n) =

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Wir haben n 2 I gefunden, so dass n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Durch das Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F

ich n = ni; jn = nj; kn = nk:

VII.6. Nachweisen Frobenius-Theoreme

Es bleibt der Fall zu betrachten, wenn die Dimension Unterräume I größer als 3. Wir haben bewiesen, dass dann F das Schieffeld der Quaternionen enthält.

Lass uns nehmen linear unabhängig ein System von Vektoren fi; j; k; mg, wobei i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Wir haben n 2 I gefunden, so dass n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Durch das Lemma zur Einbettung des Schieffeldes von Quaternionen in F

ich n = ni; jn = nj; kn = nk:

k n = n k = n ich j = ich n j = ich (j n) = k n:

Daher ist 2k n = 0, ein Widerspruch.

VII. Satz von Frobenius

Satz 2. Sei F ein Körper und R F ,

9i1 ; i2 ; : : : ; in		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

Dann ist F entweder R oder C oder der Körper von Quaternionen.

Der Satz ist bewiesen.

Aufmerksamkeit!

Email: [E-Mail geschützt]; [E-Mail geschützt]

Webseiten: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Satz. Jede alternative lineare Algebra über einem Körper reale Nummern mit Division wird normalisiert Lineare Algebra.

Sei eine alternative lineare Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen R. Führen wir die Konjugationsoperation in A wie folgt ein: Wenn das Element a von A proportional zu 1 ist, dann ist a = a; wenn a nicht proportional zu 1 ist, dann ist es in der komplexen Subalgebra enthalten. In dieser Unteralgebra gibt es für das Element a ein konjugiertes Element a, das wir in der Algebra als das zu a konjugierte Element nehmen.

Aus der Definition von a folgt direkt, dass = a und auch =ka, wobei k R.

Sei a A nicht proportional zu 1. Betrachten Sie eine Quaternion-Subalgebra (K, +, . R , .), die a enthält. In dieser Teilalgebra gibt es zu a A auch ein konjugiertes Element a. Zeigen wir, dass a mit a übereinstimmt.

Die Elemente a und a erfüllen als Konjugierte in der komplexen Algebra die Bedingungen:

a+a = 2a* 1, wobei a R, (14)

a* a = d*1, wobei d R. (15)

Die Elemente a und a erfüllen als Konjugierte in der Quaternionenalgebra die Bedingungen:

a + a \u003d 2a 1 * 1, wobei a 1 R, (14 ")

a * a = d 1 *1, wobei d 1 R. (15 /)

Subtrahiere von (14) und (15) bzw. (14 /) und (15"). Dann:

a - a = 2(a - a1)*1.

a (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

a(a - a), dann a = *1,

diese. und ist proportional zu 1, was der Annahme widerspricht.

Daraus folgt, dass das zu a konjugierte Element dasselbe ist, ob wir a als Element einer komplexen Teilalgebra oder als Element einer Quaternion-Teilalgebra einer Algebra betrachten.

Ebenso |a| 2 = aa sowohl im Fall einer komplexen Subalgebra als auch im Fall einer Quaternion-Subalgebra einer Algebra, so dass der Betrag des Elements a A nicht davon abhängt, ob wir es als Element einer komplexen oder einer Quaternion-Subalgebra betrachten der Algebra.

Dann gelten für alle a, b A die Gleichungen:

A+ und = ein *. (16)

Wenn a und b zu derselben komplexen Unteralgebra der Algebra gehören, dann sind Gleichheiten (16) Eigenschaften, Konjugationen in dieser Unteralgebra. Gehören sie zu unterschiedlichen komplexen Teilalgebren, dann gelten sie als Konjugationseigenschaften in der quaternionischen Teilalgebra der Algebra.

Aus = b und aus der zweiten Gleichheit (16) folgt = ba, woher

a + ba = c* 1, wobei c R.

In (A, +, . R , .) definieren wir das Skalarprodukt (a, b) als

a + ba = 2(a, b) * 1.

Zeigen wir, dass (a, b) alle Eigenschaften erfüllt Skalarprodukt:

1) (a, a) > 0 für a? 0 und (0, 0) = 0.

Tatsächlich,

(a, a) * 1 = (aa + aa) = aa = |a|* 1,

und der Modul einer komplexen Zahl ist wie der Modul einer Quaternion streng positiv für a? 0 und gleich 0 für a = 0.

2) (a, b) = (b. a), da

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, dann (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) für kR.

Wirklich,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

folgt aus der Definition des Skalarprodukts und der ersten Gleichheit in (16).

Aus (a, a) = |a| 2 1 that = |a|, d.h. die Norm des Elements a A stimmt mit dem Modul a sowohl der komplexen Zahl als auch der Quaternion überein.

Da zwei beliebige Elemente a und b aus der Algebra zu einem Komplex oder einer Quaternion-Subalgebra gehören, dann

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Daher sind alle Eigenschaften des Skalarprodukts für (a, b) erfüllt. Dies impliziert, dass die Algebra eine normierte lineare Algebra ist.

Verallgemeinerter Satz von Frobenius. Jede alternative lineare Algebra über dem Körper der reellen Zahlen mit Division und Einheit ist isomorph zu einer von vier Algebren: dem Körper der reellen Zahlen, dem Körper der komplexen Zahlen, dem Körper der Quaternionen oder der Algebra der Oktaven.

Denn wie bewiesen in vorheriger Satz Wenn eine alternative lineare Algebra über dem Körper der reellen Zahlen mit Division und Einheit eine normierte lineare Algebra ist, und letztere nach dem Satz von Hurwitz entweder zum Körper der reellen Zahlen oder zum Körper der komplexen Zahlen oder zu isomorph ist dem Schieffeld der Quaternionen, oder der Algebra der Oktaven, dann folgt daraus die Aussage des Satzes.

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  Sei ein Körper, der einen Körper als Unterkörper enthält R (\displaystyle \mathbb (R)) reelle Zahlen, und zwei Bedingungen sind erfüllt:

  Mit anderen Worten, L (\displaystyle \mathbb (L)) ist eine endlichdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen.

  Der Satz von Frobenius besagt, dass jeder solche Körper L (\displaystyle \mathbb (L)):

  Beachten Sie, dass der Satz von Frobenius nur für endlichdimensionale Erweiterungen gilt R (\displaystyle \mathbb (R)). Beispielsweise deckt es nicht den Bereich der hyperreellen Zahlen der Nichtstandardanalyse ab, der ebenfalls eine Erweiterung ist R (\displaystyle \mathbb (R)), aber nicht endlichdimensional. Ein weiteres Beispiel ist die Algebra rationaler Funktionen.

  Konsequenzen und Bemerkungen

  Die letzten drei Aussagen bilden die sog verallgemeinerter Satz Frobenius.

  Divisionsalgebren über dem Körper der komplexen Zahlen

  Algebra der Dimension nüber dem Körper der komplexen Zahlen liegt eine Dimensionsalgebra 2n Oben R (\displaystyle \mathbb (R)). Der Quaternion-Körper ist keine Algebra über einem Körper C (\displaystyle \mathbb (C)), seit dem Zentrum H (\displaystyle \mathbb (H)) ist ein eindimensionaler Realraum. Daher kommt die nur endlichdimensionale Divisions-Algebra rüber C (\displaystyle \mathbb (C)) ist Algebra C (\displaystyle \mathbb (C)).

  Frobenius-Hypothese

  Der Satz enthält die Assoziativitätsbedingung. Was passiert, wenn Sie diese Bedingung ablehnen? Die Frobenius-Vermutung besagt, dass auch ohne die Assoziativitätsbedingung für n anders als 1, 2, 4, 8, real linearer Raum R n man kann die Struktur einer Divisionsalgebra nicht definieren. Die Frobenius-Hypothese wurde in den 60er Jahren bewiesen. XX Jahrhundert.

  Wenn bei n>1 im Weltraum R n Bilineare Multiplikation ohne Nullteiler wird dann auf der Kugel definiert S n-1 existiert n-1 linear unabhängige Vektorfelder . Aus den Ergebnissen von Adams über die Zahl Vektorfelder auf der Kugel, folgt daraus, dass dies nur für Kugeln möglich ist S 1 , S 3 , S 7. Damit ist die Frobenius-Vermutung bewiesen.

  siehe auch

  Literatur

  • Bachturin Yu. A. Grundstrukturen der modernen Algebra. - M.: Nauka, 1990. - 320 S.
  • Kurosh A. G. Vorlesungen über allgemeine Algebra. 2. Aufl. - M.: Nauka, 1973. - 400 S.
  • Pontryagin L. S. Verallgemeinerungen von Zahlen. - M.: Nauka, 1986. - 120 S. - (Bibliothek "Quantum", Heft 54).

  Zählen setzt
  Reale Nummern und deren Erweiterungen
  Erweiterungswerkzeuge Zahlensysteme
  Hierarchie der Zahlen	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  Es ist offensichtlich, dass wenn, dann für. Außerdem werden wir zeigen, dass für hinreichend große p

  Lemma Nr. 1. Wenn die Matrix nicht negativ und irreduzibel ist, dann

  Nachweisen:

  Wenn wir einen beliebigen Vektor nehmen und dann. Und lassen Sie den Vektor stattfinden, es ist offensichtlich, dass Z dies getan hat wenigstens die gleiche Anzahl von null positiven Elementen wie y. In der Tat, wenn wir annehmen, dass Z weniger Nullkomponenten hat, dann bezeichnen wir dann und teilen die Matrix A wie folgt in Blöcke

  

  Wir werden haben

  

  Wenn dies gegeben ist, dann erhalten wir das, was der Irreduzibilität der Matrix widerspricht

  Für den nächsten Vektor wiederholen wir die Argumentation und so weiter. Als Ergebnis erhalten wir das für einen Vektor y ungleich Null

  

  Betrachten Sie für eine irreduzible Matrix A ungleich Null echte Funktion r(x) ist für Nicht-Null-Vektoren wie folgt definiert: , (Ax) i - i-te Koordinate Vektor ah

  Aus der Definition folgt außerdem, dass r(x) ist kleinster Wert, was

  Es ist offensichtlich, dass r(x) bezüglich der Ersetzung von x durch invariant ist, daher können wir im Folgenden eine abgeschlossene Menge wie z

  

  r(x) kann jedoch Diskontinuitäten an Punkten haben, an denen die x-Koordinate 0 wird, also betrachte einen Satz von Vektoren und bezeichne. Nach Lemma 1 ist jeder Vektor in N positiv und daher

  Bezeichne mit größte Zahl, wofür, . - Spektralradius der Matrix A. Wenn gezeigt werden kann, dass es einen Vektor y gibt, so dass

  Kommentar. Es kann andere Vektoren in L geben, für die r(x) den Wert r annimmt, daher heißt jeder solche Vektor extremal für die Matrix A (Az=rz)

  Das Interesse an der Zahl r erklärt sich aus dem folgenden Ergebnis

  Lemma Nr. 2. Wenn die Matrix nichtnegativ und irreduzibel ist, dann ist die Zahl ein Eigenwert der Matrix A, außerdem ist jeder Extremalvektor für A positiv und der rechte Eigenvektor für A entsprechend dem Eigenwert r

  Das Hauptergebnis ist der Satz von Frobenius-Peron für stetige Matrizen

  Der Satz von Frobenius-Peron. Wenn die Matrix nicht negativ und irreduzibel ist, dann:

  A hat einen positiven Eigenwert gleich dem Spektralradius von Matrix A;

  Es gibt ein positives Recht Eigenvektor entsprechend dem Eigenwert r.

  der Eigenwert hat eine algebraische Multiplizität gleich 1.

  Satz von Perón (Korollar). Positiv quadratische Matrix A hat einen positiven und reellen Eigenwert r, der die algebraische Vielfachheit 1 hat und die Moduln aller anderen übersteigt Eigenwerte Matrix A. Dieses r entspricht einem positiven Eigenvektor

  Unter Verwendung des Frobenius-Peron-Theorems kann man den maximalen reellen Wert einer Matrix finden, ohne das charakteristische Polynom der Matrix zu verwenden.

  Konsequenzen und Bemerkungen

  • Dieser Satz ist eng verwandt mit dem Satz von Hurwitz über normierte reelle Algebren. Nur normierte Divisionsalgebren $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$ und (nicht-assoziative) Algebra der Cayley-Zahlen.
  • Wenn wir das System der komplexen Zahlen erweitern, verlieren wir zwangsläufig einige arithmetische Eigenschaften: Kommutativität (Quaternionen), Assoziativität (Cayley-Algebra) usw.
  • Es gibt kein Analogon des Quaternion-Systems mit zwei (statt drei) Quaternion-Einheiten.
  • Felder $\backslash mathbb\; R$ und $\backslash mathbb\; C$ sind die einzigen endlichdimensionalen reellen assoziativen und kommutativen Algebren ohne Nullteiler.
  • Quaternion-Körper $\backslash mathbb\; H$ ist die einzige endlichdimensionale reelle assoziative, aber nicht kommutative Algebra ohne Nullteiler.
  • Die Cayley-Algebra ist die einzige endlichdimensionale reelle alternative nicht-assoziative Algebra ohne Nullteiler.

  Die letzten drei Aussagen bilden die sog verallgemeinerter Satz von Frobenius.

  Divisionsalgebren über dem Körper der komplexen Zahlen

  Algebra der Dimension nüber das Feld $\backslash mathbb\; C$ Komplexe Zahlen sind eine Dimensionsalgebra 2n Oben $\backslash mathbb\; R$. Quaternion-Körper $\backslash mathbb\; H$ ist keine Algebra über einem Körper $\backslash mathbb\; C$, seit dem Zentrum $\backslash mathbb\; H$ ist ein eindimensionaler Realraum. Daher kommt die nur endlichdimensionale Divisions-Algebra rüber $\backslash mathbb\; C$ ist Algebra $\backslash mathbb\; C$.

  Frobenius-Hypothese

  Der Satz enthält die Assoziativitätsbedingung. Was passiert, wenn Sie diese Bedingung ablehnen? Die Frobenius-Vermutung besagt, dass auch ohne die Assoziativitätsbedingung für n verschieden von 1, 2, 4, 8, in einem realen linearen Raum R n man kann die Struktur einer Divisionsalgebra nicht definieren. Die Frobenius-Hypothese wurde in den 60er Jahren bewiesen. XX Jahrhundert.

  Wenn bei n>1 im Weltraum R n Bilineare Multiplikation ohne Nullteiler wird dann auf der Kugel definiert S n-1 existiert n-1 linear unabhängige Vektorfelder . Aus den Ergebnissen von Adams über die Zahl Vektorfelder auf der Kugel, folgt daraus, dass dies nur für Kugeln möglich ist S 1 , S 3 , S 7. Damit ist die Frobenius-Vermutung bewiesen.

  siehe auch

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  Literatur

  • Bachturin Yu. A. Grundstrukturen der modernen Algebra. - M.: Nauka, 1990. - 320 S.
  • Kurosh A.G.. - M.: Nauka, 1973. - 400 S.
  • Pontryagin L. S.. - M.: Nauka, 1986. - 120 S. - (Bibliothek "Quantum", Heft 54).

  Zählen setzt

  ) Perioden berechenbare Arithmetik |header2= Reelle Zahlen
  und ihre Erweiterungen |header3= Erweiterungswerkzeuge
  Zahlensysteme |heading4= Hierarchie der Zahlen |list4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Ganze Zahlen $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Rationale Zahlen $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Reale Nummern
  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	Komplexe Zahlen

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ Quaternionen $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; Punkte$ Oktonieren $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash dots$ sedenien |heading5= Andere
  Zahlensysteme

  |list5=Kardinalzahlen Ordnungszahlen (transfinit, ordinal) p-adische Übernatürliche Zahlen Alles ist verstreut. Onkel nahm Natasha vom Pferd und führte sie an der Hand die wackeligen Bretterstufen der Veranda hinauf. In dem Haus, nicht verputzt, mit Blockwänden, war es nicht sehr sauber - es war nicht klar, dass das Ziel der Menschen, die lebten, darin bestand, dass es keine Flecken gab, aber es gab keine merkliche Vernachlässigung.
  Der Flur roch nach frischen Äpfeln, und Wolfs- und Fuchsfelle hingen. Der Onkel führte seine Gäste durch den Vorraum in ein kleines Zimmer mit Klapptisch und roten Stühlen, dann in ein Wohnzimmer mit Birke runder Tisch und ein Sofa, dann in ein Büro mit einem zerschlissenen Sofa, einem verschlissenen Teppich und mit Porträts von Suworow, dem Vater und der Mutter des Besitzers, und sich selbst in Militäruniform. Im Büro roch es stark nach Tabak und Hunden. Im Büro bat der Onkel die Gäste, sich hinzusetzen und es sich gemütlich zu machen, und er ging. Der Schelte betrat mit ungereinigtem Rücken das Büro, legte sich auf das Sofa und reinigte sich mit Zunge und Zähnen. Vom Büro aus gab es einen Korridor, in dem Bildschirme mit zerrissenen Vorhängen zu sehen waren. Frauenlachen und Flüstern waren hinter den Trennwänden zu hören. Natasha, Nikolai und Petya zogen sich aus und setzten sich auf das Sofa. Petja stützte sich auf seinen Arm und schlief sofort ein; Natascha und Nikolai saßen schweigend da. Ihre Gesichter brannten, sie waren sehr hungrig und sehr fröhlich. Sie sahen sich an (nach der Jagd hielt es Nikolai im Zimmer nicht mehr für notwendig, seiner Schwester seine männliche Überlegenheit zu zeigen); Natascha zwinkerte ihrem Bruder zu, und beide hielten sich nicht lange zurück und lachten laut auf, da sie keine Zeit hatten, sich eine Entschuldigung für ihr Lachen auszudenken.
  Wenig später kam mein Onkel herein, bekleidet mit einem Kosakenmantel, einer blauen Hose und kleinen Stiefeln. Und Natasha fand, dass gerade dieser Anzug, in dem sie ihren Onkel in Otradnoye mit Überraschung und Spott sah, ein echter Anzug war, der nicht schlechter war als Gehröcke und Fracks. Onkel war auch fröhlich; er war nicht nur nicht beleidigt über das Gelächter seiner Geschwister (es konnte ihm nicht eingefallen sein, dass sie über sein Leben lachen konnten), sondern er selbst stimmte in ihr grundloses Gelächter ein.
  „So ist die junge Gräfin – ein sauberer Marsch – so einen habe ich noch nicht gesehen!“ - sagte er, gab Rostov eine Pfeife mit einem langen Chibouk und legte die andere kurze, geschnittene Chibouk vertraute Geste zwischen drei Fingern.
  - Ich bin für einen Tag gegangen, obwohl der Mann pünktlich war und als wäre nichts passiert!
  Kurz nach Onkel öffnete sie die Tür, dem Geräusch ihrer Füße nach offensichtlich ein barfüßiges Mädchen, und durch die Tür kam mit einem großen Tablett in den Händen ein dicker, rötlicher, schöne Frau 40 Jahre alt, mit Doppelkinn und vollen, roten Lippen. Mit gastfreundlicher Repräsentativität und Attraktivität in den Augen und bei jeder Bewegung blickte sie sich zu den Gästen um und verneigte sich respektvoll mit einem liebevollen Lächeln vor ihnen. Trotz der Dicke von mehr als üblich, die sie dazu zwang, ihre Brust und ihren Bauch nach vorne zu strecken und ihren Kopf zurückzuhalten, trat diese Frau (die Haushälterin ihres Onkels) äußerst leichtfüßig auf. Sie ging zum Tisch hinüber, stellte das Tablett ab und ordnete mit ihren weißen, pummeligen Händen geschickt die Flaschen, Snacks und Leckereien auf dem Tisch an. Nachdem sie damit fertig war, ging sie weg und stand mit einem Lächeln im Gesicht an der Tür. „Hier ist sie und ich! Verstehst du deinen Onkel jetzt?“ ihr Aussehen sagte Rostov. Wie nicht zu verstehen: Nicht nur Rostow, sondern auch Natasha verstand den Onkel und die Bedeutung von gerunzelten Augenbrauen und das glückliche, selbstzufriedene Lächeln, das seine Lippen ein wenig kräuselte, als Anisya Fyodorovna eintrat. Auf dem Tablett waren ein Kräuterkenner, Liköre, Pilze, Schwarzmehlkuchen auf Yurag, Waben, gekochter und sprudelnder Honig, Äpfel, rohe und geröstete Nüsse und Nüsse in Honig. Dann brachte Anisya Fyodorovna Marmelade mit Honig und Zucker, Schinken und Hühnchen, frisch gebraten.
  All dies war Anisya Fyodorovnas Haushalt, Sammlung und Marmelade. All dies roch und hallte wider und hatte den Geschmack von Anisya Fyodorovna. Alles strahlte Saftigkeit, Reinheit, Weiße und ein angenehmes Lächeln aus.
  „Iss, junge Dame Gräfin“, sagte sie immer wieder und gab Natasha eins, dann noch eins. Natasha aß alles, und es schien ihr, dass sie solche Kuchen auf Yuraga noch nie gesehen oder gegessen hatte, mit einem solchen Bouquet von Marmeladen, Nüssen auf Honig und einem solchen Huhn. Anisya Fyodorovna ging hinaus. Rostov und sein Onkel spülten ihr Abendessen mit Kirschlikör hinunter und sprachen über vergangene und zukünftige Jagden, über Rugai und die Ilaginsky-Hunde. Natasha saß mit funkelnden Augen aufrecht auf dem Sofa und hörte ihnen zu. Mehrmals versuchte sie, Petya zu wecken, um ihm etwas zu essen zu geben, aber er sagte etwas Unverständliches und wachte offensichtlich nicht auf. Natascha war im Herzen so fröhlich, so glücklich in dieser neuen Umgebung für sie, dass sie nur befürchtete, dass die Droschke sie zu früh holen würde. Nach einem zufälligen Schweigen, wie es fast immer bei Menschen vorkommt, die ihre Bekanntschaften zum ersten Mal in ihrem Haus empfangen, antwortete der Onkel auf den Gedanken seiner Gäste:
  „Also lebe ich mein Leben … Wenn du stirbst, ist es ein reiner Marsch – nichts wird übrig bleiben.“ Was für eine Sünde!
  Onkels Gesicht war sehr bedeutungsvoll und sogar schön, als er das sagte. Gleichzeitig erinnerte sich Rostov unwillkürlich an alles, was er von seinem Vater und seinen Nachbarn Gutes über seinen Onkel gehört hatte. Mein Onkel hatte in der ganzen Umgebung der Provinz den Ruf, der edelste und uneigennützigste Exzentriker zu sein. Er wurde berufen, um Familiensachen zu richten, er wurde zum Testamentsvollstrecker ernannt, ihm wurden Geheimnisse anvertraut, er wurde zum Richter und anderen Ämtern gewählt, aber aus Öffentlicher Dienst Er weigerte sich hartnäckig, verbrachte Herbst und Frühling auf den Feldern auf seinem braunen Wallach, saß im Winter zu Hause und lag im Sommer in seinem verwilderten Garten.