Die intuitive Vorstellung von Zahlen ist offenbar so alt wie die Menschheit selbst, obwohl es im Prinzip unmöglich ist, alle frühen Stadien ihrer Entwicklung mit Sicherheit nachzuvollziehen. Bevor eine Person das Zählen lernte oder Wörter für Zahlen erfand, besaß sie zweifellos eine visuelle, intuitive Vorstellung von Zahlen, die es ihr ermöglichte, zwischen einer Person und zwei Personen oder zwischen zwei und vielen Personen zu unterscheiden. Was primitive Menschen Anfangs kannten sie nur "eins", "zwei" und "viele", was durch die Tatsache bestätigt wird, dass es in einigen Sprachen, zum Beispiel im Griechischen, drei gibt grammatikalische Formen: Singular, Doppelzahl und Plural-. Später lernte der Mensch zwischen zwei und drei Bäumen und zwischen drei und vier Menschen zu unterscheiden. Zählen war ursprünglich mit einer ganz bestimmten Menge von Objekten verbunden, und die allerersten Namen von Zahlen waren Adjektive. Beispielsweise wurde das Wort „drei“ nur in den Kombinationen „drei Bäume“ oder „drei Personen“ verwendet; die Vorstellung, dass diese Mengen etwas gemeinsam haben – das Konzept der Trinität – erfordert hochgradig Abstraktion. Über die Tatsache, dass das Konto entstanden ist vor der Adventszeit Diese Abstraktionsebene zeigt sich darin, dass die Wörter „eins“ und „erster“ sowie „zwei“ und „zweiter“ in vielen Sprachen nichts miteinander zu tun haben, während die Wörter „eins“ die außerhalb des primitiven Kontos liegen, „zwei“, „viele“, die Wörter „drei“ und „dritte“, „vier“ und „vierte“ zeigen deutlich die Beziehung zwischen Kardinal- und Ordnungszahlen.

Die Namen von Zahlen, die sehr abstrakte Ideen ausdrücken, erschienen zweifellos später als die ersten groben Symbole zur Bezeichnung der Anzahl von Objekten in einer bestimmten Population. BEIM Antike primitive numerische Aufzeichnungen wurden in Form von Kerben an einem Stock gemacht, Knoten an einem Seil, das in einer Reihe von Kieselsteinen ausgelegt war, und es wurde verstanden, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Elementen der zu zählenden Menge und den gab Symbole des numerischen Datensatzes. Aber um solche Zahlenaufzeichnungen zu lesen, wurden die Namen der Zahlen nicht direkt verwendet. Jetzt erkennen wir auf einen Blick Mengen von zwei, drei und vier Elementen; Sets aus fünf, sechs oder sieben Elementen sind auf den ersten Blick etwas schwieriger zu erkennen. Und jenseits dieser Grenze ist es praktisch unmöglich, ihre Anzahl mit dem Auge festzustellen, und eine Analyse ist entweder in Form eines Kontos oder in einer bestimmten Strukturierung von Elementen erforderlich. Das Zählen auf Tags scheint die erste Technik gewesen zu sein, die in verwendet wurde ähnliche Fälle: Kerben auf den Tags wurden gefunden bestimmte Gruppen ebenso wie bei der Auszählung von Stimmzetteln werden diese oft in Fünfer- oder Zehnerbündeln gruppiert. Das Fingerzählen war sehr weit verbreitet, und es ist durchaus möglich, dass die Namen mancher Zahlen genau aus dieser Zählweise stammen.

Ein wichtiges Merkmal des Kontos ist die Verbindung der Nummernnamen mit einem bestimmten Zählschema. Zum Beispiel ist das Wort „dreiundzwanzig“ nicht nur ein Begriff, der eine wohldefinierte (durch die Anzahl der Elemente) Gruppe von Objekten bezeichnet; Es ist ein zusammengesetzter Begriff, der "zwei mal zehn und drei" bedeutet. Hier ist die Rolle der Zahl Zehn als kollektive Einheit oder Grundlage deutlich sichtbar; und tatsächlich zählen viele Menschen mit Zehnern, weil wir, wie Aristoteles feststellte, zehn Finger an unseren Händen und Füßen haben. Aus dem gleichen Grund wurden die Basen fünf oder zwanzig verwendet. In sehr frühen Stadien der Entwicklung der Menschheitsgeschichte wurden die Zahlen 2, 3 oder 4 als Basis des Zahlensystems genommen; manchmal wurden die Basen 12 und 60 für einige Messungen oder Berechnungen verwendet.

Ein Mensch begann zu zählen, lange bevor er schreiben lernte, daher sind keine schriftlichen Dokumente erhalten, die die Wörter bezeugen, die in der Antike Zahlen bezeichneten. Nomadenstämme sind durch mündliche Namen von Zahlen gekennzeichnet, aber für schriftliche Namen trat die Notwendigkeit erst mit dem Übergang zu einer sesshaften Lebensweise, der Bildung landwirtschaftlicher Gemeinschaften, auf. Es wurde auch ein System zur Aufzeichnung von Zahlen benötigt, und damals wurde der Grundstein für die Entwicklung der Mathematik gelegt.

Grundtypen von Zahlen

Im Gegensatz zu Oktaven sedenien S haben nicht die Eigenschaft der Alternative, sondern behalten die Eigenschaft der Machtassoziativität.

Um eine positive ganze Zahl x im Computerspeicher darzustellen, wird sie in das binäre Zahlensystem umgewandelt. Die resultierende Zahl im binären Zahlensystem x 2 ist eine Maschinenschreibweise der entsprechenden Dezimalzahl x 10. Um negative Zahlen zu schreiben, die sog. ein zusätzlicher Code einer Zahl, der durch Hinzufügen von eins zur invertierten Darstellung des Moduls einer gegebenen negativen Zahl im binären Zahlensystem erhalten wird.

Darstellung reeller Zahlen im Computerspeicher (in Informatik der Begriff Gleitkommazahl wird verwendet, um sie zu bezeichnen) hat einige Einschränkungen, die mit dem verwendeten Zahlensystem verbunden sind, sowie die begrenzte Menge an Speicher, die Zahlen zugewiesen wird. Daher können nur einige der reellen Zahlen verlustfrei im Computerspeicher dargestellt werden. Im gebräuchlichsten Schema wird eine Fließkommazahl als Block von Bits geschrieben, von denen einige die Mantisse der Zahl sind, andere der Grad, und ein Bit wird zugewiesen, um das Vorzeichen der Zahl darzustellen (falls erforderlich, das Vorzeichenbit kann fehlen).

Anzahl ist eine Abstraktion, für die verwendet wird quantitative Merkmale Objekte. Aufstehen wieder rein Urgesellschaft Aus den Bedürfnissen des Kontos heraus änderte und bereicherte sich das Konzept der Zahl und wurde zum wichtigsten mathematisches Konzept. Durch geschriebene Zeichen(Symbole) Zahlen werden verwendet, um Zahlen zu schreiben.

Grundtypen von Zahlen

Erhalten mit einem natürlichen Konto; natürliche Zahlen werden mit bezeichnet. Dass. (manchmal ist also auch Null in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten). Natürliche Zahlen sind unter Addition und Multiplikation abgeschlossen (aber nicht Subtraktion oder Division). Natürliche Zahlen sind unter Addition und Multiplikation kommutativ und assoziativ, und die Multiplikation natürlicher Zahlen ist unter Addition distributiv.

Ganze Zahlen, erhalten durch die Vereinigung natürlicher Zahlen mit der Menge negativer Zahlen und Null, werden mit bezeichnet. Ganze Zahlen sind geschlossen unter Addition, Subtraktion und Multiplikation (aber nicht Division).

Rationale Zahlen sind Zahlen, dargestellt als m/n (n≠0), wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Für rationale Zahlen sind alle vier "klassischen" Rechenoperationen definiert: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer Division durch Null). Das Vorzeichen wird verwendet, um rationale Zahlen zu bezeichnen.

Reelle (reelle) Zahlen stellen eine Erweiterung der Menge rationaler Zahlen dar, abgeschlossen unter einigen (wichtig für mathematische Analyse) Operationen Durchgang bis ans Limit. Die Menge der reellen Zahlen wird mit bezeichnet. Es kann als Ergänzung des Bereichs der rationalen Zahlen mit Hilfe einer Norm angesehen werden, was üblich ist Absolutwert. Neben rationalen Zahlen enthält es eine Menge irrationaler Zahlen, die nicht als Verhältnis ganzer Zahlen dargestellt werden können. Neben der Unterteilung in rational und irrational werden sie auch in algebraisch und transzendental unterteilt. Außerdem ist jede transzendente Zahl irrational, jede rationale Zahl algebraisch.

Komplexe Zahlen, die eine Erweiterung der Menge der reellen Zahlen sind. Sie können in das Formular geschrieben werden z = x + iy, wo ich- sogenannt. imaginäre Einheit für die ich 2 = − 1. Komplexe Zahlen werden zur Problemlösung verwendet Quantenmechanik, Hydrodynamik, Elastizitätstheorie usw.

Für die aufgeführten Zahlenmengen gilt der folgende Ausdruck:

Natürliche Zahlen, die nur sich selbst und Eins als Teiler haben. Reihe Primzahlen hat die Form: Jede natürliche Zahl N kann als Potenzprodukt von Primzahlen dargestellt werden: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Diese Eigenschaft wird in der praktischen Kryptographie häufig verwendet.

Zahlen - Arten, Konzepte und Operationen, natürliche und andere Arten von Zahlen.

Anzahl - Grundkonzept Mathematik, die zur Bestimmung der quantitativen Merkmale, Nummerierung, Vergleich von Objekten und deren Teilen dient. Auf Zahlen sind verschiedene arithmetische Operationen anwendbar: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und andere.

Die an der Operation beteiligten Zahlen werden als Operanden bezeichnet. Je nach durchgeführter Aktion erhalten sie unterschiedliche Namen. BEIM Allgemeiner Fall Das Betriebsschema kann wie folgt dargestellt werden:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

Bei der Divisionsoperation wird der erste Operand als Dividende bezeichnet (das ist der Name der Zahl, die dividiert wird). Die Sekunde (durch die geteilt wird) ist ein Divisor, und das Ergebnis ist ein Quotient (er zeigt, wie oft die Teilbare größer als der Divisor ist).

Arten von Zahlen

Der Teilungsvorgang kann beinhalten verschiedene Nummern. Das Ergebnis der Division kann eine ganze Zahl oder ein Bruch sein. In der Mathematik gibt es die folgenden Arten Zahlen:

• Beim Zählen werden natürliche Zahlen verwendet. Unter ihnen sticht eine Teilmenge von Primzahlen hervor, die nur zwei Teiler haben: einen und sich selbst. Alle anderen außer 1 heißen zusammengesetzt und haben mehr als zwei Teiler (Beispiele für Primzahlen: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 usw.);
• Ganze Zahlen - eine Menge bestehend aus ihren negativen, positiven Zahlen und Null. Beim Teilen einer ganzen Zahl durch eine andere kann der Quotient ganzzahlig oder reell (gebrochen) sein. Unter ihnen kann eine Teilmenge der perfekten Zahlen unterschieden werden - gleich der Summe alle seine Teiler (einschließlich 1) außer sich selbst. Die alten Griechen kannten nur vier vollkommene Zahlen. Die Folge der vollkommenen Zahlen: 6, 28, 496, 8128, 33550336… Bisher ist keine einzige ungerade vollkommene Zahl bekannt;
• Rational - darstellbar als Bruch a / b, wobei a der Zähler und b der Nenner ist (der Quotient solcher Zahlen wird normalerweise nicht berechnet);
• Real (Real) - enthält eine Ganzzahl und einen Bruchteil. Das Set beinhaltet rational und ir Rationale Zahlen(dargestellt als nichtperiodischer unendlicher Dezimalbruch). Der Quotient solcher Zahlen ist in der Regel ein reeller Wert.

Es gibt mehrere Merkmale, die mit der Implementierung verbunden sind Arithmetische Operation- Abteilungen. Es ist wichtig, sie zu verstehen, um das richtige Ergebnis zu erzielen:

• Sie können nicht durch Null dividieren (in der Mathematik macht diese Operation keinen Sinn);
• Ganzzahlige Division ist eine Operation, die nur rechnet ganzer Teil(der Bruchteil wird verworfen);
• Die Berechnung des Rests einer ganzzahligen Division ermöglicht es Ihnen, als Ergebnis die ganze Zahl zu erhalten, die nach Abschluss der Operation übrig bleibt (wenn Sie beispielsweise 17 durch 2 dividieren, ist der ganzzahlige Teil 8, der Rest 1).

Um die heilige Natur der Zahl besser zu verstehen, ist es nützlich, sich für einen Moment von einem rein esoterischen Ansatz zu lösen und zu sehen, wie sie sich mit Ideen verbindet. konventionelle Wissenschaftüber die Form der Zahlen. Enzyklopädisches Wörterbuch schreibt über die Zahl: „Zahl, einer der Grundbegriffe der Mathematik; in der Antike entstanden und nach und nach erweitert und verallgemeinert. Im Zusammenhang mit dem Konto einzelne Dinge Das Konzept der positiven ganzen (natürlichen) Zahlen entstand, und dann die Idee der Unendlichkeit der natürlichen Zahlenreihen: 1, 2, 3, 4 ... Die Aufgaben des Messens von Längen, Flächen sowie des Hervorhebens der Anteile benannter Größen führten zum Konzept einer rationalen (gebrochenen) Zahl . Das Konzept einer negativen Zahl entstand bei den Indianern im VI-XI Jahrhundert. Muss rein exakter Ausdruck Größenverhältnisse (z. B. das Verhältnis der Diagonalen eines Quadrats zu seiner Seite) führten zur Einführung irrationaler Zahlen, die nur näherungsweise durch rationale Zahlen ausgedrückt werden; rational und irrationale Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen. Die Theorie der reellen Zahlen erhielt ihre endgültige Entwicklung erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts im Zusammenhang mit den Bedürfnissen der mathematischen Analyse. Im Zusammenhang mit der Lösung von Quadrat und kubische Gleichungen eingeführt im 16. Jahrhundert komplexe Zahlen". Die Mathematik teilt Zahlen in mehrere Gruppen oder Varianten ein, von denen jede von einem gewöhnlichen oder vielleicht von einem metaphysischen Standpunkt aus betrachtet werden kann.

Das Zahlenverhältnis

Reelle Zahlen, die die Vereinigung der Menge der rationalen und der Menge der irrationalen Zahlen sind. Jede reelle Zahl kann im Prinzip so auf einer Koordinatenlinie dargestellt werden, dass jede reelle Zahl und jeder Punkt auf dieser Linie einander entsprechen. Eine reelle Zahl kann jede positive oder negative Zahl oder Null sein. Aus metaphysischer Sicht diese Gruppe Zahlen entsprechen der materiellen materiellen Seinsebene und sind ein Zeichen der Quantität. Mit Hilfe von reellen Zahlen werden Messwerte aller physikalischen Größen ausgedrückt.Zahlen sind rationale Zahlen, die als unendlicher Dezimalbruch dargestellt werden können. Sie haben die Form m/n, wobei m und n ganze Zahlen sind und u ungleich 0 ist. Jedes unendlich Dezimal ist eine rationale Zahl. Auch Summe, Differenz, Produkt und Quotient rationaler Zahlen gelten als rational. Zu den rationalen Zahlen gehören ganze Zahlen, Bruchzahlen, positive Zahlen, negative Zahlen und sogar Null. Aus metaphysischer Sicht beziehen sich rationale Zahlen auf solche Größen, die mit Sicherheit und Präzision gemessen werden können.

Arten von Zahlen

Irrationale Zahlen beziehen sich auf die Gruppe der reellen Zahlen, die in Form einer unendlichen Dezimalzahl ausgedrückt werden können nichtperiodischer Bruch. Sie können nicht genau als m/n ausgedrückt werden, wobei m und n ganze Zahlen sind. Beispiele für solche irrationalen Zahlen sind die Quadratwurzel aus 2; 0,1010010001; lg2; cos20±; .... Aus metaphysischer Sicht gehören irrationale Zahlen in den Bereich dieser schwer fassbaren Phänomene subtile Welt die nicht mit absoluter Genauigkeit gemessen werden können. Gültige Ansicht Zahlen gelten als eine Art komplexe Zahlen, die Zahlen der Form x + iy umfassen, wobei x und y reelle Zahlen sind und i die sogenannte imaginäre Einheit ist (eine Zahl, deren Quadrat -1 ist); x heißt Realteil und y heißt Imaginärteil der komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen, die nicht reell sind (z<>0), werden manchmal imaginäre Zahlen genannt, für x=0 nennt man komplexe Zahlen rein imaginäre Zahlen. Mit anderen Worten, imaginäre Zahlen sind die komplexen Zahlen, deren Realteil gleich Null ist und die mit z=bi bezeichnet werden. Aus metaphysischer Sicht sind komplexe Zahlen solche Größen, die einen heiligen Plan in sich tragen. Zahlen werden auch in positive Zahlen unterteilt, zu denen reelle Zahlen größer als Null und gehören negative Zahlen, im Gegensatz zu positiven, kleiner als Null ist. Aus metaphysischer Sicht alles positive Zahlen beziehen auf physikalische Welt, und negative - auf die subtile Ebene des Seins, dh auf den astral-mentalen Bereich.

Oben ging es jedoch nur um die äußere, heillose, rein quantitative Natur der Zahl. Es gibt jedoch auch einen rein internen heiligen Aspekt der Zahl, der der modernen Mathematik unbekannt ist und die Natur der Manifestation von Zahlen vorbestimmt. X spricht gut darüber.

"Zahlen in der Symbolik sind nicht nur ein Ausdruck von Quantität, sondern Ideen - Kräfte, jede mit ihrem eigenen besonderen Charakter. Zahlen in modernes Verständnis sind nur Außenhülle. Alle Zahlen werden von Eins abgeleitet (was dem mystischen, nicht offenbarten und dimensionslosen Punkt entspricht). Weiter taucht die aus der Einheit entstandene Zahl immer tiefer in die Materie, in immer komplexere Prozesse, in die „Welt“ ein. Die ersten zehn Ziffern im griechischen System (oder zwölf in Östliche Tradition) beziehen sich auf den Geist: Sie sind im Wesentlichen Archetypen und Symbole. Der Rest ist das Produkt einer Kombination dieser Grundzahlen. Die alten Griechen interessierten sich sehr für die Symbolik der Zahlen. Zum Beispiel bemerkte Pythagoras, dass „alles nach Zahlen geordnet ist“. Platon betrachtete die Zahl als die Essenz der Harmonie und die Harmonie als die Grundlage des Kosmos und des Menschen und argumentierte, dass die Rhythmen der Harmonie "von derselben Art sind wie die periodischen Schwingungen unserer Seele". Die Zahlenphilosophie wurde von den Juden, den Gnostikern und den Kabbalisten, darunter auch die Alchemisten, weiterentwickelt. Dieselben grundlegenden universellen Konzepte finden sich in Östliches Denken- zum Beispiel in Laotse: "Einer gebiert zwei, zwei gebiert drei, und einer kommt aus den drei" - eine neue Einheit oder neue Bestellung- wie vier. Moderne symbolische Logik und Gruppentheorie kehren zu dieser Idee zurück quantitative Messung als Grundlage der Qualität. Pire glaubte, dass die Gesetze der Natur und dem menschlichen Geist zugrunde liegen allgemeine Grundsätze und können entlang der gleichen Linien angesiedelt werden".

Arten von Zahlen. Reale Nummern werden ebenfalls in algebraische und nicht-algebraische Zahlen unterteilt. Eine algebraische Zahl ist eine, die erfüllt algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Diese Zahlen beinhalten Zahlen: die Wurzel von 2; Wurzel von Z; Nicht-algebraische oder transzendente Zahlen sind Zahlen, die keine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllen. Transzendente Zahlen gehören zur Gruppe der irrationalen Zahlen, wobei irrationale Zahlen nicht immer transzendent sind. Eine Zahl a^b wird als transzendent angesehen, wenn die Zahlen a und b transzendent sind algebraische zahlen, aber zur selben Zeit<>0; a<>1 und in - irrationale Zahl. Die transzendenten Zahlen sind die Sinus vieler rationaler Größen, sowie Dezimallogarithmen Ganzzahlen, die nicht durch eine Eins gefolgt von Nullen dargestellt werden. Die meisten berühmte Beispiele Die transzendenten Zahlen sind s (deren ungefährer Wert 2,718281 ist) und PI (deren ungefährer Wert 3,1415296 ist ...)

P. D. Uspensky unterteilt die Mathematik als Wissenschaft der Zahlen in zwei Typen:

a) Mathematik der endlichen und Konstanten, eine künstliche Disziplin, die geschaffen wurde, um Probleme zu lösen spezifische Aufgaben auf bedingten Daten;

b) Mathematik der unendlichen und Variablen, das ist eine genauere Kenntnis der realen Welt. Beispiele für Mathematik des zweiten Typs, die gegen die künstlichen Axiome der Mathematik des ersten Typs verstoßen, sind die sogenannten "transfiniten Zahlen", die jenseits der Unendlichkeit liegen.