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Satz

Wenn gerade, nicht zum Flugzeug gehören, parallel zu einer Linie in dieser Ebene ist, dann ist sie auch parallel zur Ebene selbst.

Nachweisen

Sei α eine Ebene, a eine nicht darin liegende Gerade und a1 eine zur Geraden a parallele Gerade in der Ebene α. Zeichnen wir die Ebene α1 durch die Geraden a und a1. Die Ebenen α und α1 schneiden sich entlang der Linie a1. Wenn die Gerade a die Ebene α schneidet, dann würde der Schnittpunkt zur Geraden a1 gehören. Dies ist aber unmöglich, da die Geraden a und a1 parallel sind. Daher schneidet die Linie a die Ebene α nicht und ist daher parallel zur Ebene α. Der Satz ist bewiesen.

18. FLUGZEUGE

Wenn sich zwei parallele Ebenen mit einer dritten schneiden, dann sind die Schnittlinien parallel.(Abb. 333).

Tatsächlich, laut Definition Parallele Linien sind Linien, die in derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden. Unsere Linien liegen in der gleichen Ebene - der Sekantenebene. Sie schneiden sich nicht, da die parallelen Ebenen, die sie enthalten, sich nicht schneiden.

Die Linien sind also parallel, was wir beweisen wollten.

Eigenschaften

§ Wenn die Ebene α parallel zu zwei sich schneidenden Geraden ist, die in der anderen Ebene β liegen, dann sind diese Ebenen parallel

§ Wenn zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten werden, dann sind ihre Schnittlinien parallel

§ Durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Ebene ist es möglich, eine Ebene parallel zu einer gegebenen Ebene zu zeichnen, und zwar nur eine

§ Segmente paralleler Linien, die von zwei parallelen Ebenen begrenzt werden, sind gleich

§ Zwei Winkel mit jeweils parallelen und gleich gerichteten Seiten sind gleich und liegen in parallelen Ebenen

19.

Liegen zwei Geraden in derselben Ebene, lässt sich der Winkel zwischen ihnen leicht messen – zum Beispiel mit einem Winkelmesser. Und wie man misst Winkel zwischen Gerade und Ebene?

Lassen Sie die Linie die Ebene schneiden, und zwar nicht im rechten Winkel, sondern in einem anderen Winkel. Eine solche Linie heißt schräg.

Lassen Sie uns eine Senkrechte von einem Punkt fallen lassen, der zu unserer Ebene geneigt ist. Verbinden Sie die Basis der Senkrechten mit dem Schnittpunkt der Schräge und der Ebene. Wir haben bekommen Projektion einer schiefen Ebene.

Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene ist der Winkel zwischen einer Linie und ihrer Projektion auf eine gegebene Ebene..

Bitte beachten Sie, dass wir als Winkel zwischen der Linie und der Ebene einen spitzen Winkel wählen.

Wenn eine Linie parallel zu einer Ebene ist, dann ist der Winkel zwischen der Linie und der Ebene gleich Null.

Steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, so ist ihre Projektion auf die Ebene ein Punkt. Offensichtlich beträgt in diesem Fall der Winkel zwischen der Linie und der Ebene 90°.

Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie auf einer beliebigen Geraden in dieser Ebene senkrecht steht..

Dies ist die Definition. Aber wie kann man mit ihm arbeiten? Wie kann man prüfen, ob eine gegebene Gerade senkrecht zu allen in der Ebene liegenden Geraden steht? Schließlich gibt es davon unendlich viele.

In der Praxis wird es angewendet Zeichen der Rechtwinkligkeit einer Linie und einer Ebene:

Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie senkrecht auf zwei sich schneidenden Geraden steht, die in dieser Ebene liegen.

21. Diederwinkel- räumlich geometrische Figur, gebildet aus zwei Halbebenen, die von einer Geraden ausgehen, sowie einem von diesen Halbebenen begrenzten Raumteil.

Zwei Ebenen heißen senkrecht, wenn der Flächenwinkel zwischen ihnen 90 Grad beträgt.

§ Wenn eine Ebene durch eine Linie geht, die senkrecht zu einer anderen Ebene steht, dann sind diese Ebenen senkrecht.

§ Wenn von einem Punkt, der zu einem der beiden gehört senkrechte Ebenen, eine Senkrechte zu einer anderen Ebene ziehen, dann liegt diese Senkrechte vollständig in der ersten Ebene.

§ Wenn wir in einer von zwei senkrechten Ebenen eine Senkrechte zu ihrer Schnittlinie ziehen, dann steht diese Senkrechte senkrecht auf der zweiten Ebene.

Zwei sich schneidende Ebenen bilden vier Flächenwinkel mit einer gemeinsamen Kante: Paare vertikale Winkel gleich sind und die Summe zweier benachbarter Winkel 180° beträgt. Wenn einer der vier Winkel richtig ist, dann sind auch die anderen drei gleich und richtig. Zwei Ebenen heißen senkrecht, wenn der Winkel zwischen ihnen richtig ist.

Satz. Wenn eine Ebene durch eine Linie geht, die senkrecht zu einer anderen Ebene steht, dann sind diese Ebenen senkrecht.

Seien und zwei Ebenen, so dass sie durch die Linie AB verläuft, senkrecht zu ihr verläuft und sie im Punkt A schneidet (Abb. 49). Lassen Sie uns das beweisen _|_ . Die Ebenen und schneiden sich entlang einer Linie AC, und AB _|_ AC, weil AB _|_ . Zeichnen wir eine Linie AD in der Ebene senkrecht zur Linie AC.

Dann ist der Winkel BAD ein linearer Winkel Diederwinkel, gebildet und . Aber< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus endlich vielen flachen Polygonen besteht.

1. Jedes der Polygone, aus denen das Polyeder besteht, können Sie erreichen, indem Sie zu dem angrenzenden gehen und von diesem wiederum zu dem angrenzenden usw.

Diese Polygone werden aufgerufen Gesichter, ihre Seiten - Rippen, und ihre Ecken sind Spitzen Polyeder. Die einfachsten Beispiele für Polyeder sind konvexe Polyeder, das heißt, die Grenze einer begrenzten Teilmenge des euklidischen Raums, die der Schnittpunkt einer endlichen Anzahl von Halbräumen ist.

Die obige Definition eines Polyeders erhält eine unterschiedliche Bedeutung, je nachdem, wie das Polygon definiert ist, für das die folgenden zwei Optionen möglich sind:

§ Flache geschlossene unterbrochene Linien (auch wenn sie sich selbst schneiden);

§ Teile der Ebene, die durch unterbrochene Linien begrenzt sind.

Im ersten Fall erhalten wir das Konzept eines Sternpolyeders. Im zweiten Fall ist ein Polyeder eine Oberfläche, die aus polygonalen Stücken besteht. Wenn sich diese Fläche nicht selbst schneidet, dann ist es die volle Fläche eines geometrischen Körpers, der auch Polyeder genannt wird. Daraus ergibt sich die dritte Definition des Polyeders als geometrischer Körper selbst.

gerades Prisma

Das Prisma heißt gerade wenn es Seitenrippen senkrecht zu den Basen.
Das Prisma heißt schräg wenn seine Seitenkanten nicht senkrecht zu den Basen stehen.
Ein gerades Prisma hat Flächen, die Rechtecke sind.

Das Prisma heißt Korrekt wenn seine Basen regelmäßige Polygone sind.
Die Fläche der Seitenfläche des Prismas heißt die Summe der Flächeninhalte der Seitenflächen.
Volle Oberfläche des Prismas gleich der Summe der Seitenfläche und der Flächen der Basen

Prismenelemente:
Punkte - Scheitelpunkte genannt
Die Segmente werden Seitenkanten genannt
Polygone und - werden Basen genannt. Die Flugzeuge selbst werden auch Basen genannt.

24. Parallelepiped(von griechisch παράλλος - parallel und griechisch επιπεδον - Ebene) - ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm oder (äquivalent) ein Polyeder ist, das sechs Flächen hat und jede von ihnen ein Parallelogramm ist.

§ Das Parallelepiped ist symmetrisch um den Mittelpunkt seiner Diagonalen.

§ Jedes Segment mit Enden, die zur Oberfläche des Parallelepipeds gehören und durch die Mitte seiner Diagonale verlaufen, wird von ihm in zwei Hälften geteilt; insbesondere schneiden sich alle Diagonalen des Parallelepipeds an einem Punkt und halbieren ihn.

§ Gegenüberliegende Flächen eines Parallelepipeds sind parallel und gleich.

§ Quadrat mit diagonaler Länge Quader ist gleich der Summe Quadrate seiner drei Dimensionen.

Fläche eines Quaders ist gleich der doppelten Summe der Flächeninhalte der drei Flächen dieses Parallelepipeds:

1.	S= 2(S ein+Sb+Sc)= 2(ab+v. Chr+ac)

25 .Pyramide und ihre Elemente

Betrachten Sie eine Ebene , ein darin liegendes Polygon und einen nicht darin liegenden Punkt S. Verbinden Sie S mit allen Eckpunkten des Polygons. Das resultierende Polyeder wird Pyramide genannt. Die Segmente werden Seitenkanten genannt. Das Polygon wird als Basis bezeichnet, und der Punkt S wird als Spitze der Pyramide bezeichnet. Abhängig von der Zahl n heißt die Pyramide dreieckig (n=3), viereckig (n=4), fünfeckig (n=5) und so weiter. Alternativer Titel Dreieckige Pyramide – Tetraeder. Die Höhe einer Pyramide ist die Senkrechte, die von ihrer Spitze zur Grundebene gezogen wird.

Eine Pyramide heißt richtig wenn regelmäßiges Vieleck, und die Basis der Höhe der Pyramide (die Basis der Senkrechten) ist ihr Mittelpunkt.

Das Programm dient zur Berechnung der Seitenfläche Richtige Pyramide.
Die Pyramide ist ein Polyeder mit einer Grundfläche in Form eines Polygons, und die restlichen Flächen sind Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze.

Die Formel zur Berechnung der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide lautet:

wobei p der Umfang der Basis ist (Polygon ABCDE),
a - Apothem (OS);

Der Apothem ist die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze gezeichnet wird.

Um die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide zu finden, geben Sie den Pyramidenumfang und die Apotheme ein und klicken Sie dann auf die Schaltfläche "BERECHNUNG". Das Programm bestimmt die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide, deren Wert sein kann in die Zwischenablage gelegt.

Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf ist ein Teil komplette Pyramide zwischen der Basis und einem dazu parallelen Abschnitt eingeschlossen.
Der Querschnitt heißt obere Basis eines Pyramidenstumpfes, und die Basis der vollständigen Pyramide ist untere Basis Pyramidenstumpf. (Die Grundlagen sind ähnlich.) Seitenflächen Pyramidenstumpf - Trapez. In einem Pyramidenstumpf 3 n Rippen, 2 n Spitzen, n+ 2 Gesichter, n(n- 3) Diagonalen. Der Abstand zwischen der oberen und unteren Basis ist die Höhe des Pyramidenstumpfes (das von der Höhe der vollen Pyramide abgeschnittene Segment).
Quadrat volle Oberfläche Pyramidenstumpf ist gleich der Summe der Flächen seiner Flächen.
Das Volumen des Pyramidenstumpfes ( S und s- Grundfläche, H- Höhe)

Rotationskörper wird ein Körper genannt, der durch die Drehung einer Linie um eine gerade Linie entsteht.

Ein gerader Kreiszylinder ist einer Kugel einbeschrieben, wenn die Kreise seiner Grundflächen auf der Kugel liegen. Die Basen des Zylinders sind kleine Kugelkreise, der Mittelpunkt der Kugel fällt mit der Mitte der Zylinderachse zusammen. [ 2 ]

Ein gerader Kreiszylinder ist einer Kugel einbeschrieben, wenn die Kreise seiner Grundflächen auf der Kugel liegen. Offensichtlich liegt der Mittelpunkt der Kugel auch nicht in der Mitte der Zylinderachse. [ 3 ]

Volumen eines beliebigen Zylinders ist gleich dem Produkt Grundfläche zu Höhe:

1.

v=π r 2 h

Vollständige Fläche Oberfläche des Zylinders ist gleich der Summe der Mantelfläche des Zylinders und doppelt quadratisch Basis des Zylinders.

Die Formel zur Berechnung der Gesamtfläche eines Zylinders lautet:

27. Durch Drehung kann ein runder Kegel erhalten werden rechtwinkliges Dreieck um einen seiner Schenkel, daher wird der runde Kegel auch Rotationskegel genannt. Siehe auch Volumen eines runden Kegels

Gesamtfläche eines Kreiskegels ist gleich der Summe der Flächen der Mantelfläche des Kegels und seiner Basis. Die Basis eines Kegels ist ein Kreis und seine Fläche wird mit der Formel für die Fläche eines Kreises berechnet:

2.	S=π r l+π r 2=π r(r+l)

28. Stumpf erhält man, indem man einen Schnitt parallel zur Basis eines Kegels zeichnet. Der von diesem Abschnitt, der Basis und der Seitenfläche des Kegels begrenzte Körper wird als Kegelstumpf bezeichnet. Siehe auch Volumen eines Kegelstumpfes

Gesamtfläche eines Kegelstumpfes ist gleich der Summe der Flächen der Mantelfläche des Kegelstumpfes und seiner Basen. Die Basen eines Kegelstumpfes sind Kreise und ihre Fläche wird mit der Formel für die Fläche eines Kreises berechnet: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)

29. Ball - geometrischer Körper begrenzt durch eine Fläche, deren Punkte alle darauf liegen gleichen Abstand aus der Mitte. Dieser Abstand wird als Radius der Kugel bezeichnet.

Kugel(griechisch σφαῖρα - Ball) - eine geschlossene Oberfläche, geometrischer Ort Punkte im Raum, die von einem bestimmten Punkt, dem Kugelmittelpunkt, gleich weit entfernt sind. Eine Kugel ist ein Sonderfall eines Ellipsoids, bei dem alle drei Achsen (Halbachsen, Radien) gleich sind. Eine Kugel ist die Oberfläche einer Kugel.

Die Fläche der Kugeloberfläche des Kugelabschnitts (Kugelsektor) und der Kugelschicht hängt nur von ihrer Höhe und dem Radius der Kugel ab und ist gleich dem Umfang des Großkreises der Kugel, multipliziert mit der Höhe

Ballvolumen gleich dem Volumen der Pyramide, deren Grundfläche die gleiche Fläche wie die Oberfläche der Kugel hat, und deren Höhe der Radius der Kugel ist

Das Volumen einer Kugel ist anderthalbmal kleiner als das Volumen eines umschriebenen Zylinders.

Kugelelemente

Kugelsegment Die Schnittebene teilt die Kugel in zwei Kugelsegmente. H- Segmenthöhe, 0< H < 2 R, r- Segmentgrundradius, Volumen des Kugelsegments Die Fläche der Kugeloberfläche des Kugelsegments
Kugelschicht Eine Kugelschicht ist ein Teil einer Kugel, der zwischen zwei parallelen Abschnitten eingeschlossen ist. Distanz ( H) zwischen Abschnitten aufgerufen wird Schichthöhe, und die Abschnitte selbst - Schichtgrundlagen. Kugeloberfläche ( Volumen) der sphärischen Schicht kann als Flächendifferenz ermittelt werden sphärische Oberflächen(Volumen) von Kugelsegmenten.

 1. Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl(Abb. 56).

Vektorprodukt SONDERN pro Zahl λ Vektor genannt BEIM, dessen Betrag gleich dem Produkt des Betrags des Vektors ist SONDERN pro Modulozahl λ :

Die Richtung ändert sich nicht, wenn λ > 0 ; ändert sich ins Gegenteil, wenn λ < 0 . Wenn ein λ = −1, dann der Vektor

Vektor genannt, entgegengesetzter Vektor SONDERN, und ist bezeichnet

 2. Vektoraddition. Die Summe zweier Vektoren finden SONDERN und BEIM Vektor

Dann ist die Summe ein Vektor, dessen Anfang mit dem Anfang des ersten und das Ende mit dem Ende des zweiten zusammenfällt. Diese Vektoradditionsregel wird „Dreiecksregel“ genannt (Abb. 57). Es ist notwendig, die Summandenvektoren so darzustellen, dass der Anfang des zweiten Vektors mit dem Ende des ersten zusammenfällt.

Es ist leicht zu beweisen, dass sich bei Vektoren "die Summe nicht ändert, wenn sich die Stellen der Terme ändern".
Lassen Sie uns eine weitere Regel zum Hinzufügen von Vektoren angeben - die „Parallelogrammregel“. Wenn wir die Anfänge der Summandenvektoren kombinieren und ein Parallelogramm darauf aufbauen, dann ist die Summe ein Vektor, der mit der Diagonale dieses Parallelogramms zusammenfällt (Abb. 58).

Es ist klar, dass die Addition nach der „Parallelogrammregel“ zum gleichen Ergebnis führt wie nach der „Dreiecksregel“.
Die „Dreiecksregel“ lässt sich leicht verallgemeinern (auf den Fall mehrerer Terme). Um zu finden Summe der Vektoren

Es ist notwendig, den Anfang des zweiten Vektors mit dem Ende des ersten, den Anfang des dritten - mit dem Ende des zweiten usw. zu kombinieren. Dann der Anfang des Vektors Mit fällt mit dem Anfang des ersten und dem Ende zusammen Mit- mit dem Ende des letzteren (Abb. 59).

 3. Subtraktion von Vektoren. Die Subtraktionsoperation wird auf die beiden vorherigen Operationen reduziert: Die Differenz zweier Vektoren ist die Summe des ersten mit dem dem zweiten entgegengesetzten Vektor:

Sie können auch die "Dreiecksregel" zum Subtrahieren von Vektoren formulieren: Es ist notwendig, die Anfänge der Vektoren zu kombinieren SONDERN und BEIM, dann ist ihre Differenz der Vektor

Gezeichnet vom Ende des Vektors BEIM am Ende des Vektors SONDERN(Abb. 60).

Im Folgenden sprechen wir über den Verschiebungsvektor materieller Punkt, also ein Vektor, der die Anfangs- und Endposition des Punktes verbindet. Stimmen Sie zu, dass die eingeführten Regeln für die Wirkung auf Vektoren für Verschiebungsvektoren ziemlich offensichtlich sind.

 4. Skalarprodukt von Vektoren. Ergebnis Skalarprodukt zwei Vektoren SONDERN und BEIM ist die Zahl c gleich dem Produkt der Module der Vektoren und dem Kosinus des Winkels α zwischen

Das Skalarprodukt von Vektoren wird in der Physik sehr häufig verwendet. In Zukunft werden wir uns oft mit einer solchen Operation auseinandersetzen müssen.

Der Artikel behandelt die Konzepte der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene, wobei die wichtigsten Definitionen betrachtet und Beispiele gegeben werden. Betrachten Sie das Zeichen der Parallelität einer geraden Linie zu einer Ebene mit notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Parallelität, wir werden Beispiele von Aufgaben im Detail lösen.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Linie und Ebene werden genannt parallel wenn sie es nicht haben Gemeinsame Punkte, das heißt, sie schneiden sich nicht.

Parallelität wird durch "∥" angezeigt. Wenn in der Aufgabe durch Bedingung die Linie a und die Ebene α parallel sind, dann ist die Notation a ∥ α . Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Es wird angenommen, dass die Linie a parallel zur Ebene α und die Ebene α parallel zur Linie a äquivalent sind, dh die Linie und die Ebene sind in jedem Fall parallel zueinander.

Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene - ein Zeichen und Bedingungen der Parallelität

Es ist nicht immer offensichtlich, dass eine Linie und eine Ebene parallel sind. Oft muss dies nachgewiesen werden. Notwendig zu verwenden ausreichender Zustand, was Parallelität garantiert. Ein solches Zeichen wird als Zeichen der Parallelität einer Linie und einer Ebene bezeichnet.Es wird empfohlen, zuerst die Definition paralleler Linien zu studieren.

Satz 1

Wenn eine gegebene Linie a, die nicht in der Ebene α liegt, parallel zur Linie b ist, die zur Ebene α gehört, dann ist die Linie a parallel zur Ebene α.

Betrachten Sie den Satz, der verwendet wird, um die Parallelität einer geraden Linie mit einer Ebene festzustellen.

Satz 2

Wenn eine von zwei parallelen Geraden parallel zu einer Ebene ist, dann liegt die andere Gerade in oder parallel zu dieser Ebene.

Ein ausführlicher Beweis wird im Lehrbuch der Klassen 10 - 11 zur Geometrie berücksichtigt. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität einer Geraden mit einer Ebene ist möglich, wenn eine Definition des Richtungsvektors der Geraden und des Normalenvektors der Ebene vorliegt.

Satz 3

Für die Parallelität der Geraden a, die nicht zur Ebene α gehört, und der gegebenen Ebene ist eine notwendige und hinreichende Bedingung die Rechtwinkligkeit des Richtungsvektors zur Geraden mit normaler Vektor Flugzeug gegeben.

Die Bedingung ist anwendbar, wenn es notwendig ist, die Parallelität in zu beweisen rechteckiges System Koordinaten dreidimensionaler Raum. Schauen wir uns den detaillierten Beweis an.

Nachweisen

Angenommen, die Linie a im Koordinatensystem O x y ist durch die kanonischen Gleichungen der Linie im Raum gegeben, die die Form haben x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z oder parametrische Gleichungen Raumlinie x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ , Ebene α mit allgemeinen Gleichungen der Ebene A x + B y + C z + D = 0 .

Also ist a → = (a x, a y, a z) ein Richtungsvektor mit Koordinaten der Geraden a, n → = (A, B, C) ist der Normalenvektor der gegebenen Ebene alpha.

Um die Rechtwinkligkeit von n → = (A , B , C) und a → = (a x , a y , a z) zu beweisen, müssen Sie das Skalarprodukt verwenden. Das heißt, mit dem Produkt a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C muss das Ergebnis aus der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren gleich Null sein.

Das bedeutet, dass die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden und der Ebene wie folgt geschrieben wird: a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Also ist a → = (a x , a y , a z) der Richtungsvektor der Geraden a mit Koordinaten, und n → = (A , B , C) ist der Normalenvektor der Ebene α .

Beispiel 1

Bestimmen Sie, ob die Linie x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ parallel zur Ebene x + 6 y + 5 z + 4 = 0 ist.

Entscheidung

Wir erhalten, dass die angegebene Linie nicht zur Ebene gehört, da die Koordinaten der Linie M (1 , - 2 , 2) nicht passen. Beim Einsetzen erhalten wir 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .

Die Zulässigkeit der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Parallelität einer Geraden und einer Ebene ist zu prüfen. Wir erhalten, dass die Koordinaten des Richtungsvektors der Linie x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ die Werte a → = (2 , 3 , - 4) haben.

Der Normalenvektor für die Ebene x + 6 y + 5 z + 4 = 0 ist n → = (1 , 6 , 5) . Fahren wir mit der Berechnung des Skalarprodukts der Vektoren a → und n → fort. Wir erhalten, dass a → , n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0 .

Daher ist die Rechtwinkligkeit der Vektoren a → und n → offensichtlich. Daraus folgt, dass die Gerade und die Ebene parallel sind.

Antworten: Gerade und Ebene sind parallel.

Beispiel 2

Bestimmen Sie die Parallelität der Linie A B in der Koordinatenebene O y z bei gegebenen Koordinaten A (2, 3, 0) , B (4, - 1, - 7) .

Entscheidung

Durch die Bedingung ist ersichtlich, dass der Punkt A (2, 3, 0) nicht auf der O x -Achse liegt, da der Wert von x ungleich 0 ist.

Für die O x z-Ebene wird der Vektor mit den Koordinaten i → = (1 , 0 , 0) als Normalenvektor dieser Ebene betrachtet. Den Richtungsvektor der Geraden A B bezeichne A B → . Nun berechnen wir aus den Koordinaten von Anfang und Ende die Koordinaten des Vektors A B . Wir erhalten, dass A B → = (2 , - 4 , - 7) . Es ist zu prüfen, ob die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Vektoren A B → = (2 , - 4 , - 7) und i → = (1 , 0 , 0) erfüllt sind, um ihre Rechtwinkligkeit zu bestimmen.

Schreiben wir A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0 .

Daraus folgt, dass die Linie A B c Koordinatenebene O y z sind nicht parallel.

Antworten: sind nicht parallel.

Nicht immer trägt die angegebene Bedingung dazu bei einfache Definition Beweis der Parallelität einer Linie und einer Ebene. Es muss überprüft werden, ob die Linie a zur Ebene α gehört. Es gibt noch eine hinreichende Bedingung, mit der die Parallelität bewiesen wird.

Für eine gegebene gerade Linie a unter Verwendung der Gleichung zweier sich schneidender Ebenen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0, durch die Ebene α - allgemeine Gleichung Ebene A x + B y + C z + D = 0 .

Satz 4

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden a und der Ebene α ist das Fehlen von Lösungen des Systems lineare Gleichungen, mit der Form A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .

Nachweisen

Aus der Definition folgt, dass die Linie a mit der Ebene α keine gemeinsamen Punkte haben sollte, dh sie sollten sich nicht schneiden, nur in diesem Fall werden sie als parallel betrachtet. Das bedeutet, dass das Koordinatensystem O x y z keine Punkte haben sollte, die zu ihm gehören und alle Gleichungen erfüllen:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , sowie die Gleichung der Ebene A x + B y + C z + D = 0 .

Daher ist ein Gleichungssystem der Form A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , heißt inkonsistent.

Das Gegenteil ist der Fall: Wenn es keine Lösungen für das System gibt, ist A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 es gibt keine Punkte in O x y z, die alle erfüllen gegebenen Gleichungen gleichzeitig. Wir erhalten, dass es keinen solchen Punkt mit Koordinaten gibt, die sofort Lösungen aller Gleichungen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 sein könnten und Gleichungen A x + B y + C z + D = 0 . Das bedeutet, dass wir eine parallele Linie und eine Ebene haben, da ihre Schnittpunkte fehlen.

Das Gleichungssystem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 hat keine Lösung, wenn der Rang der Hauptmatrix kleiner ist als der Rang der erweiterten. Dies wird durch das Kronecker-Capelli-Theorem zum Lösen linearer Gleichungen verifiziert. Sie können die Gauß-Methode anwenden, um die Inkompatibilität zu bestimmen.

Beispiel 3

Beweisen Sie, dass die Gerade x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 parallel zur Ebene 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 ist.

Entscheidung

Für Lösungen dieses Beispiel ausziehen sollte kanonische gleichung direkt auf die Form der Gleichung zweier sich schneidender Ebenen. Schreiben wir es so:

x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0

Um die Parallelität der gegebenen Linie x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 mit der Ebene 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 zu beweisen, ist es notwendig, die Gleichungen in ein System von umzuwandeln Gleichungen x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .

Wir sehen, dass es nicht lösbar ist, also greifen wir auf die Gauß-Methode zurück.

Nachdem wir die Gleichungen geschrieben haben, erhalten wir 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .

Daraus schließen wir, dass das Gleichungssystem widersprüchlich ist, da sich Gerade und Ebene nicht schneiden, also keine gemeinsamen Punkte haben.

Wir schließen daraus, dass die Linie x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 und die Ebene 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 parallel sind, da die notwendige und ausreichende Bedingung für die Parallelität der Flugzeug mit einer bestimmten Linie getroffen wurde.

Antworten: Gerade und Ebene sind parallel.

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Einige Konsequenzen der Axiome

Satz 1:

Durch eine Linie und einen nicht darauf liegenden Punkt geht eine Ebene, und zwar nur eine.

Gegeben: M ₵ a

Beweisen Sie: 1) Es gibt α: a∈ α , Ì ∈ b ∈ α

2) α ist die einzige

Nachweisen:

1) Auf einer geraden Linie und Punkte auswählen P und Q. Dann haben wir 3 Punkte - R, Q, M die nicht auf einer Linie liegen.

2) Nach Axiom A1 geht eine Ebene durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, und außerdem nur durch einen, d.h. Ebene α, die die Gerade a und den Punkt enthält M, bestehen.

3) Jetzt beweisen wir dasα der Einzige. Angenommen, es gibt eine Ebene β, die sowohl durch den Punkt M als auch durch die Linie a geht, aber dann diese Ebene durch die PunkteP, Q, M. Und das nach drei Punkten P, Q, M, die nicht auf einer geraden Linie liegen, geht aufgrund von Axiom 1 nur eine Ebene durch.

4) Daher fällt diese Ebene mit der Ebene α zusammen.Daher 1) Auf einer geraden Linie, aber Punkte wählen P und Q. Dann haben wir 3 Punkte - P, Q, M, die nicht auf einer Linie liegen.Also ist α eindeutig.

Der Satz ist bewiesen.

1) Nimm auf der Linie b einen Punkt N, der nicht mit dem Punkt M zusammenfällt, d. h. N ∈ b, N≠M

2) Dann haben wir einen Punkt N, der nicht zur Geraden a gehört. Nach dem vorigen Satz geht eine Ebene durch eine Gerade und einen nicht darauf liegenden Punkt. Nennen wir es die Ebene α. Das bedeutet, dass es eine solche Ebene gibt, die durch die Linie a und den Punkt N geht.

3) Lassen Sie uns die Einzigartigkeit dieser Ebene beweisen. Nehmen wir das Gegenteil an. Es gebe eine Ebene β, so dass sie sowohl durch die Linie a als auch durch die Linie b verläuft. Aber dann geht sie auch durch die Linie a und den Punkt N. Aber nach dem vorherigen Satz ist diese Ebene eindeutig, d.h. die Ebene β fällt mit der Ebene α zusammen.

4) Wir haben also die Existenz einer einzigen Ebene bewiesen, die durch zwei sich schneidende Linien verläuft.

Der Satz ist bewiesen.

Satz paralleler Linien

Satz:

Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, verläuft eine Parallele zur gegebenen Geraden.

Gegeben: gerade bin€ ein

Beweisen:Es gibt nur einen direktenb ∥ a, M ∈ b

Nachweisen:
1) Durch die Gerade a und den nicht darauf liegenden Punkt M kann man eine einzige Ebene zeichnen (1. Korollar). In der Ebene α kann man parallel zu a eine Linie b zeichnen, die durch M geht.
2) Lassen Sie uns beweisen, dass es das einzige ist. Nehmen wir an, es gibt eine weitere Gerade c, die durch den Punkt M verläuft und parallel zur Geraden a verläuft. Die Parallelen a und c lägen in der Ebene β. Dann geht β durch M und die Gerade a. Aber durch die Linie a und den Punkt M verläuft die Ebene α.
3) Daher fallen α und β zusammen. Aus dem Axiom der parallelen Linien folgt, dass die Linien b und c zusammenfallen, da es nur eine Linie in der Ebene gibt, die durch sie hindurchgeht gegebener Punkt und parallel zu einer bestimmten Linie.
Der Satz ist bewiesen.

Die Definition paralleler Linien und ihre Eigenschaften im Raum sind die gleichen wie in der Ebene (siehe Punkt 11).

Gleichzeitig ist ein weiterer Fall der Anordnung von Linien im Raum möglich - schräge Linien. Geraden, die sich nicht schneiden und nicht in derselben Ebene liegen, heißen sich schneidende Geraden.

Abbildung 121 zeigt den Grundriss des Wohnzimmers. Sie sehen, dass die Linien, zu denen die Segmente AB und BC gehören, schief sind.

Der Winkel zwischen sich schneidenden Linien ist der Winkel zwischen sich schneidenden Linien parallel zu ihnen. Dieser Winkel hängt nicht davon ab, welche Schnittlinien genommen werden.

Es wird angenommen, dass das Gradmaß des Winkels zwischen parallelen Linien Null ist.

Eine gemeinsame Senkrechte zweier sich schneidender Linien ist ein Segment mit Enden auf diesen Linien, das eine Senkrechte zu jeder von ihnen ist. Es lässt sich beweisen, dass zwei sich schneidende Geraden eine gemeinsame Senkrechte haben, und zwar nur eine. Es ist eine gemeinsame Senkrechte der parallelen Ebenen, die durch diese Linien gehen.

Der Abstand zwischen sich schneidenden Geraden ist die Länge ihrer gemeinsamen Senkrechten. Es ist gleich dem Abstand zwischen parallelen Ebenen, die durch diese Linien verlaufen.

Um also den Abstand zwischen den sich schneidenden Linien a und b (Abb. 122) zu finden, ist es notwendig, parallele Ebenen a und durch jede dieser Linien zu zeichnen. Der Abstand zwischen diesen Ebenen ist der Abstand zwischen den Schnittlinien a und b. In Abbildung 122 ist dieser Abstand beispielsweise der Abstand AB.

Beispiel. Die Linien a und b sind parallel und die Linien c und d schneiden sich. Kann jede der Geraden ein und beide Geraden schneiden

Entscheidung. Die Linien a und b liegen in derselben Ebene, und daher liegt jede Linie, die sie schneidet, in derselben Ebene. Wenn also jede der Linien a, b beide Linien c und d schneidet, dann würden die Linien in derselben Ebene mit den Linien a und b liegen, und das kann nicht sein, da sich die Linien schneiden.

42. Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene.

Eine Gerade und eine Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden, d. h. keine gemeinsamen Punkte haben. Wenn die Linie a parallel zur Ebene a ist, dann schreiben sie:.

Abbildung 123 zeigt eine gerade Linie a parallel zur Ebene a.

Wenn eine Linie, die nicht zu einer Ebene gehört, parallel zu einer Linie in dieser Ebene ist, dann ist sie auch parallel zur Ebene selbst (ein Zeichen der Parallelität der Linie und der Ebene).

Dieser Satz erlaubt spezifische Situation Beweisen Sie, dass eine Gerade und eine Ebene parallel sind. Abbildung 124 zeigt eine gerade Linie b parallel zu einer geraden Linie a, die in der Ebene a liegt, d.h. entlang der geraden Linie b parallel zur Ebene a, d.h.

Beispiel. Durch die Spitze rechter Winkel Von rechteckig Dreieck ABC Parallel zur Hypotenuse wird im Abstand von 10 cm eine Ebene gezogen. Die Projektionen der Beine auf dieser Ebene betragen 30 und 50 cm. Finden Sie die Projektion der Hypotenuse auf derselben Ebene.

Entscheidung. Aus den rechtwinkligen Dreiecken BBVC und (Abb. 125) finden wir:

Aus dem Dreieck ABC finden wir:

Die Projektion der Hypotenuse AB auf die Ebene a ist . Da AB parallel zur Ebene a ist, gilt So,.

43. Parallele Ebenen.

Zwei Ebenen heißen parallel. wenn sie sich nicht schneiden.

Zwei Ebenen sind parallel", wenn eine von ihnen parallel zu zwei sich schneidenden Geraden ist, die in einer anderen Ebene liegen (ein Zeichen der Parallelität zweier Ebenen).

In Abbildung 126 ist die Ebene a parallel zu den in der Ebene liegenden Schnittlinien a und b, dann sind entlang dieser Ebenen parallel.

Durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Ebene kann man eine Ebene parallel zu der gegebenen ziehen, und zwar nur eine.

Wenn sich zwei parallele Ebenen mit einer dritten schneiden, dann sind die Schnittlinien parallel.

Abbildung 127 zeigt zwei parallele Ebenen, und die Ebene y schneidet sie entlang der geraden Linien a und b. Dann können wir nach Satz 2.7 behaupten, dass die Geraden a und b parallel sind.

Segmente paralleler Linien, die zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossen sind, sind gleich.

Nach T.2.8 sind die in Abbildung 128 gezeigten Segmente AB und gleich, da

Lass diese Ebenen sich schneiden. Zeichnen Sie eine Ebene senkrecht zur Schnittlinie. Sie schneidet diese Ebenen entlang zweier gerader Linien. Der Winkel zwischen diesen Linien wird Winkel zwischen diesen Ebenen genannt (Abb. 129). Der Winkel zwischen den so definierten Ebenen hängt nicht von der Wahl der Sekantenebene ab.