Satz 1. Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und der Höhe:
Satz 2. Die Diagonalen eines Trapezes teilen es in vier Dreiecke, von denen zwei ähnlich sind und die anderen beiden den gleichen Flächeninhalt haben:
Satz 3. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt der Basis und der auf die gegebene Basis abgesenkten Höhe oder dem Produkt der beiden Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen: 
Satz 4. In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Diagonalen gleich der Summe der Quadrate seiner Seiten: 
Satz 5. Die Fläche eines beliebigen konvexen Vierecks ist gleich dem halben Produkt seiner Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen:
Satz 6. Die Fläche eines um einen Kreis umschriebenen Vierecks ist gleich dem Produkt aus dem Halbumfang dieses Vierecks und dem Radius des gegebenen Kreises: 
Satz 7. Ein Viereck, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen konvexen Vierecks sind, ist ein Parallelogramm, dessen Fläche gleich der Hälfte der Fläche des ursprünglichen Vierecks ist:
Satz 8. Wenn die Diagonalen eines konvexen Vierecks senkrecht zueinander stehen, dann sind die Summen der Quadrate der gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks:
AB2 + CD2 = BC2 + AD2.
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Beweise einiger Theoreme
Beweis von Satz 2. ABCD sei ein gegebenes Trapez, AD und BC seine Basen, O der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD dieses Trapezes. Beweisen wir, dass die Dreiecke AOB und COD den gleichen Flächeninhalt haben. Lassen Sie uns dazu die Senkrechten BP und CQ von den Punkten B und C auf die Linie AD fallen lassen. Dann ist die Fläche des Dreiecks ABD
Und der Bereich des Dreiecks ACD ist 
Da BP = CQ, dann ist S∆ABD = S∆ACD . Aber die Fläche des Dreiecks AOB ist die Differenz zwischen den Flächen der Dreiecke ABD und AOD, und die Fläche des Dreiecks COD ist die Differenz zwischen den Flächen der Dreiecke ACD und AOD. Daher sind die Flächen der Dreiecke AOB und COD gleich, was zu beweisen war.
Beweis von Satz 4. Sei ABCD ein Parallelogramm, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1 , BD = d2 , ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Wenden wir den Kosinussatz auf das Dreieck ABD an:
Wenden wir nun den Kosinussatz auf das Dreieck ACD an, erhalten wir:
Wenn wir Gleichheiten Term für Term addieren, erhalten wir das 
Q.E.D.
Beweis von Satz 5. Sei ABCD ein beliebiges konvexes Viereck, E der Schnittpunkt seiner Diagonalen, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Wir haben:
Q.E.D.
Beweis von Satz 6. Sei ABCD ein beliebiges Viereck, das um einen Kreis herumbeschrieben ist, O sei der Mittelpunkt dieses Kreises, OK, OL, OM und ON seien die Senkrechten, die vom Punkt O zu den Linien AB, BC, CD bzw. AD fallen. Wir haben: 
wobei r der Radius des Kreises und p der Halbumfang des Vierecks ABCD ist.
Beweis von Satz 7. Sei ABCD ein beliebiges konvexes Viereck, K, L, M und N seien die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD bzw. AD. Da KL die Mittellinie des Dreiecks ABC ist, ist die Linie KL parallel zur Linie AC und ebenso ist die Linie MN parallel zur Linie AC und daher ist KLMN ein Parallelogramm. Betrachten Sie das Dreieck KBL. Seine Fläche entspricht einem Viertel der Fläche des Dreiecks ABC. Die Fläche des Dreiecks MDN ist ebenfalls gleich einem Viertel der Fläche des Dreiecks ACD. Folglich,
Ebenfalls, 
Das bedeutet es
woraus folgt 
Beweis von Satz 8. Sei ABCD ein beliebiges konvexes Viereck, dessen Diagonalen senkrecht zueinander stehen, sei E der Schnittpunkt seiner Diagonalen,
AE= a, BE = b, CE = c, DE = d. Wende den Satz des Pythagoras auf die Dreiecke ABE und CDE an:
AB2=AE2+BE2= a 2 + b2 ,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
Folglich,
AB2+CD2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Wenden wir nun den Satz des Pythagoras auf die Dreiecke ADE und BCE an, erhalten wir:
AD2=AE2+DE2= a 2 + d2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2 ,
woraus folgt
AD2+BC2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Also AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , was zu beweisen war.
Probleme lösen
Aufgabe 1. Ein Trapez wird in der Nähe des Kreises mit den Basiswinkeln α und β beschrieben. Finden Sie das Verhältnis der Fläche des Trapezes zur Fläche des Kreises.
Lösung. Sei ABCD ein gegebenes Trapez, AB und CD seine Basen, DK und CM die Lotrechten, die von den Punkten C und D auf die Linie AB fallen. Das gewünschte Verhältnis hängt nicht vom Radius des Kreises ab. Daher nehmen wir an, dass der Radius 1 ist. Dann ist die Fläche des Kreises π, wir finden die Fläche des Trapezes. Da das Dreieck ADK ein rechtwinkliges Dreieck ist,
In ähnlicher Weise finden wir aus einem rechtwinkligen Dreieck BCM Folgendes: Da ein Kreis in ein gegebenes Trapez einbeschrieben werden kann, sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich:
AB + CD = AD + BC,
wo finden wir
Also ist die Fläche des Trapezes
und das gewünschte Verhältnis ist 
Antworten: 
Aufgabe 2. In einem konvexen Viereck ABCD beträgt der Winkel A 90° und der Winkel C überschreitet 90° nicht. Die Senkrechten BE und DF werden von den Eckpunkten B und D auf die Diagonale AC fallen gelassen. Es ist bekannt, dass AE = CF. Beweisen Sie, dass der Winkel C ein rechter Winkel ist.
Nachweisen. Da der Winkel A 90° beträgt,
und Winkel C 90° nicht überschreitet, dann liegen die Punkte E und F auf der Diagonalen AC. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Es genügt uns zu beweisen, dass α + β + γ + δ = π. Als
woraus wir das erhalten, was zu beweisen war.
Aufgabe 3. Der Umfang eines um einen Kreis umschriebenen gleichschenkligen Trapezes ist p. Finden Sie den Radius dieses Kreises, wenn bekannt ist, dass der spitze Winkel an der Basis des Trapezes α ist.
Lösung. Sei ABCD ein gegebenes gleichschenkliges Trapez mit den Basen AD und BC, sei BH die Höhe dieses Trapezes von der Ecke B.
Da einem gegebenen Trapez also ein Kreis einbeschrieben werden kann 
Folglich,
Aus dem rechtwinkligen Dreieck ABH finden wir,
Antworten:
Aufgabe 4. Gegeben sei ein Trapez ABCD mit den Basen AD und BC. Die Diagonalen AC und BD schneiden sich am Punkt O, und die Linien AB und CD schneiden sich am Punkt K. Die Linie KO schneidet die Seiten BC und AD an den Punkten M bzw. N, und der Winkel BAD beträgt 30°. Es ist bekannt, dass in die Trapeze ABMN und NMCD ein Kreis einbeschrieben werden kann. Finden Sie das Flächenverhältnis des Dreiecks BKC und des Trapezes ABCD.
Lösung. Wie Sie wissen, teilt die Linie, die den Schnittpunkt der Diagonalen und den Schnittpunkt der Verlängerungen der seitlichen Seiten verbindet, bei einem beliebigen Trapez jede der Basen in zwei Hälften. Also BM = MC und AN = ND. Da ferner ein Kreis in die Trapeze ABMN und NMCD eingeschrieben werden kann, dann
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Daraus folgt, dass AB = CD, d. h. das Trapez ABCD ist gleichschenklig. Das gewünschte Flächenverhältnis hängt nicht vom Maßstab ab, daher können wir annehmen, dass KN = x, KM = 1. Aus den rechtwinkligen Dreiecken AKN und BKM erhalten wir das Umschreiben der bereits oben verwendeten Beziehung
BM + AN = AB + MN ⇔
Wir müssen das Verhältnis berechnen:
Hier haben wir ausgenutzt, dass sich die Flächen der Dreiecke AKD und BKC wie die Quadrate der Seiten KN und KM, also als x2, verhalten.
Antworten:
Aufgabe 5. In einem konvexen Viereck ABCD sind die Punkte E, F, H, G jeweils die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD, DA, und O ist der Schnittpunkt der Segmente EH und FG. Es ist bekannt, dass EH = a, FG = b, Finden Sie die Längen der Diagonalen des Vierecks.
Lösung. Es ist bekannt, dass man ein Parallelogramm erhält, wenn man die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks in Reihe verbindet. In unserem Fall ist EFHG ein Parallelogramm und O der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Dann
Wenden Sie den Kosinussatz auf das Dreieck FOH an:
Da FH also die Mittellinie des Dreiecks BCD ist
In ähnlicher Weise erhalten wir das, wenn wir den Kosinussatz auf das Dreieck EFO anwenden
Antworten:
Aufgabe 6. Die Seiten eines Trapezes sind 3 und 5. Es ist bekannt, dass ein Kreis in ein Trapez einbeschrieben werden kann. Die Mittellinie eines Trapezes teilt es in zwei Teile, deren Flächenverhältnis gleich ist Finden Sie die Basen des Trapezes.
Lösung. Sei ABCD ein gegebenes Trapez, AB = 3 und CD = 5 - seine Seiten, Punkte K und M - Mittelpunkte der Seiten AB bzw. CD. Lassen Sie zur Sicherheit AD > BC, dann ist die Fläche des Trapezes AKMD größer als die Fläche des Trapezes KBCM. Da KM die Mittellinie des Trapezes ABCD ist, sind die Trapeze AKMD und KBCM gleich hoch. Da die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe der Basen und der Höhe ist, gilt folgende Gleichheit:
Da ferner ein Kreis in das Trapez ABCD einbeschrieben werden kann, ist AD + BC = AB + CD = 8. Dann ist KM = 4 als Mittellinie des Trapezes ABCD. Sei BC = x, dann AD = 8 - x. Wir haben: 
Also BC = 1 und AD = 7.
Antworten: 1 und 7.
Aufgabe 7. Die Basis AB des Trapezes ABCD ist doppelt so lang wie die Basis CD und doppelt so lang wie die laterale Seite AD. Die Länge der Diagonale AC ist a, und die Länge der lateralen Seite BC ist gleich b. Finden Sie die Fläche des Trapezes.
Lösung. Sei E der Schnittpunkt der Verlängerungen der Seiten des Trapezes und CD = x, dann ist AD = x, AB = 2x. Das Segment CD ist parallel zum Segment AB und doppelt so kurz, also ist CD die Mittellinie des Dreiecks ABE. Daher ist CE = BC = b und DE = AD = x, womit AE = 2x ist. Also ist das Dreieck ABE gleichschenklig (AB = AE) und AC ist sein Median. Daher ist AC auch die Höhe dieses Dreiecks und somit
Da das Dreieck DEC dem Dreieck AEB mit dem Ähnlichkeitskoeffizienten ähnlich ist, dann
Antworten:
Aufgabe 8. Die Diagonalen des Trapezes ABCD schneiden sich im Punkt E. Finden Sie die Fläche des Dreiecks BCE, wenn die Längen der Basen des Trapezes AB = 30, DC = 24, die Seitenlängen AD = 3 und der Winkel DAB 60 sind °.
Lösung. Sei DH die Höhe des Trapezes. Aus dem Dreieck ADH finden wir das 
Da die Höhe des Dreiecks ABC, fallen gelassen von der Spitze C, gleich der Höhe DH des Trapezes ist, gilt: 
Antworten:
Aufgabe 9. Bei einem Trapez beträgt die Mittellinie 4, und die Winkel an einer der Basen betragen 40° und 50°. Finden Sie die Basen des Trapezes, wenn das Segment, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, 1 ist.
Lösung. Sei ABCD ein gegebenes Trapez, AB und CD seine Basen (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Verlängern wir die Seiten DA und CB bis zum Schnittpunkt bei Punkt E. Betrachten wir das Dreieck ABE, wobei ∠EAB = 50° ist. ∠EBA = 40°,
also ∠AEB = 90°. Der Median EM dieses Dreiecks, gezeichnet von der Spitze des rechten Winkels, ist gleich der Hälfte der Hypotenuse: EM = AM. Sei EM = x, dann AM = x, DN = 4 – x. Gemäß der Problembedingung MN = 1 gilt also
EN = x + 1. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AEM und DEN haben wir:
Das bedeutet, dass AB = 3 und CD = 5.
Antworten: 3 und 5.
Aufgabe 10. Ein konvexes Viereck ABCD wird um einen Kreis herum umschrieben, der im Punkt O zentriert ist, während AO = OC = 1, BO = OD = 2. Finde den Umfang des Vierecks ABCD.
Lösung. Seien K, L, M, N die Tangentialpunkte des Kreises mit den Seiten AB, BC, CD bzw. DA, r - der Radius des Kreises. Da die Tangente an den Kreis senkrecht auf den zum Berührungspunkt gezogenen Radius steht, sind die Dreiecke AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO rechtwinklig. Wenn wir den Satz des Pythagoras auf diese Dreiecke anwenden, erhalten wir das
Daher ist AB = BC = CD = DA, d. h. ABCD ist eine Raute. Die Diagonalen der Raute stehen senkrecht aufeinander, und ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises. Von hier aus finden wir leicht heraus, dass die Seite der Raute gleich ist und daher der Umfang der Raute gleich ist
Antworten:
Aufgaben zur selbstständigen Lösung
C-1. Ein gleichschenkliges Trapez ABCD wird um einen Kreis mit dem Radius r umschrieben. Seien E und K die Tangentialpunkte dieses Kreises mit den Seiten des Trapezes. Der Winkel zwischen der Basis AB und der Seite AD des Trapezes beträgt 60°. Beweisen Sie, dass EK parallel zu AB ist und bestimmen Sie die Fläche des Trapezes ABEK.
C-2. In einem Trapez sind die Diagonalen 3 und 5, und das Segment, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, ist 2. Finden Sie die Fläche des Trapezes.
C-3. Lässt sich ein Kreis um das Viereck ABCD beschreiben, wenn ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
C-4. Im Trapez ABCD (AB ist die Basis) bilden die Werte der Winkel DAB, BCD, ADC, ABD und ADB eine arithmetische Folge (in der Reihenfolge, in der sie geschrieben werden). Finden Sie den Abstand vom Scheitelpunkt C zur Diagonalen BD, wenn die Höhe des Trapezes h ist.
C-5. Gegeben sei ein gleichschenkliges Trapez, dem ein Kreis einbeschrieben und um das ein Kreis umschrieben ist. Das Verhältnis der Höhe des Trapezes zum Radius des umschriebenen Kreises ist Bestimmen Sie die Winkel des Trapezes.
C-6. Die Fläche des Rechtecks ABCD beträgt 48 und die Länge der Diagonale 10. Auf der Ebene, in der sich das Rechteck befindet, wird ein Punkt O ausgewählt, sodass OB = OD = 13 ist. Ermitteln Sie den Abstand vom Punkt O bis zum Scheitelpunkt des Rechtecks, der am weitesten davon entfernt ist.
C-7. Der Umfang des Parallelogramms ABCD beträgt 26. Der Winkel ABC beträgt 120°. Der Radius eines dem Dreieck BCD einbeschriebenen Kreises ist Bestimmen Sie die Längen der Seiten des Parallelogramms, wenn bekannt ist, dass AD > AB.
C-8. Das Viereck ABCD ist einem Kreis einbeschrieben, dessen Mittelpunkt der Punkt O ist. Der Radius OA ist senkrecht zum Radius OB und der Radius OC senkrecht zum Radius OD. Die Länge der Senkrechten, die vom Punkt C zur Linie AD fällt, ist 9. Die Länge des Segments BC ist halb so lang wie die Länge des Segments AD. Finden Sie die Fläche des Dreiecks AOB.
C-9. In einem konvexen Viereck ABCD sind die Eckpunkte A und C gegenüberliegend, und die Länge der Seite AB ist 3. Winkel ABC ist Winkel BCD ist Finden Sie die Länge der Seite AD, wenn Sie wissen, dass die Fläche des Vierecks ist 
C-10. Das konvexe Viereck ABCD hat die Diagonalen AC und BD. Es ist bekannt, dass
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, und der Abstand zwischen dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks ABD und dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks ACD ist Ermitteln Sie die Seitenlänge BC.
C-11. Sei M der Schnittpunkt der Diagonalen eines konvexen Vierecks ABCD, in dem die Seiten AB, AD und BC gleich sind. Finden Sie den Winkel CMD, wenn bekannt ist, dass DM = MC,
und ∠CAB ≠ ∠DBA.
C-12. Im Viereck ABCD wissen wir, dass ∠A = 74°, ∠D = 120°. Finde den Winkel zwischen den Winkelhalbierenden der Winkel B und C.
C-13. In das Viereck ABCD kann ein Kreis eingeschrieben werden. Sei K der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Es ist bekannt, dass AB > BC > KC und der Umfang und die Fläche des Dreiecks BKC 14 bzw. 7 sind. Finden Sie DC.
C-14. In einem um einen Kreis umschriebenen Trapez ist bekannt, dass BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Finden Sie AB, wenn die Fläche des Trapezes ABCD 10 ist.
C-15. Beim Trapez ABCD mit den Basen AB und CD ist das bekannt 
∠CAB = 2∠DBA. Finden Sie die Fläche des Trapezes.
C-16. Im Parallelogramm ABCD wissen wir, dass AC = a, ∠CAB = 60°. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.
S-17. Im Viereck ABCD schneiden sich die Diagonalen AC und BD am Punkt K. Die Punkte L und M sind jeweils die Mittelpunkte der Seiten BC und AD. Das Segment LM enthält den Punkt K. Das Viereck ABCD ist so beschaffen, dass ein Kreis darin einbeschrieben werden kann. Finden Sie den Radius dieses Kreises, wenn AB=3 und LK:KM=1:3.
C-18. Das konvexe Viereck ABCD hat die Diagonalen AC und BD. In diesem Fall ist ∠BAC =
= ∠BDC, und die Fläche des um das Dreieck BDC umschriebenen Kreises ist gleich
a) Finden Sie den Radius des Kreises, der um das Dreieck ABC umschrieben wird.
b) Wenn Sie wissen, dass BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, finden Sie die Fläche des Vierecks ABCD.
Notiz. Dies ist Teil der Lektion mit Aufgaben in Geometrie (Parallelogramm-Abschnitt). Wenn Sie ein Problem in Geometrie lösen müssen, das nicht hier ist, schreiben Sie darüber im Forum. Um die Aktion des Ziehens einer Quadratwurzel beim Lösen von Problemen zu kennzeichnen, wird das Symbol √ oder sqrt () verwendet, und der Wurzelausdruck wird in Klammern angegeben.
Theoretischer Stoff
Erläuterungen zu den Formeln zur Ermittlung der Fläche eines Parallelogramms:
- Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Länge einer seiner Seiten und der Höhe auf dieser Seite.
- Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt seiner beiden benachbarten Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen
- Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem halben Produkt seiner Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen
Probleme zum Finden der Fläche eines Parallelogramms
Eine Aufgabe.In einem Parallelogramm beträgt die kleinere Höhe und die kleinere Seite 9 cm bzw. die Wurzel von 82. Die längste Diagonale beträgt 15 cm. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.
Lösung.
Bezeichnen wir die kleinere Höhe des Parallelogramms ABCD, abgesenkt vom Punkt B zur größeren Basis AD, als BK.
Finden Sie den Wert des Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks ABK, das aus einer kleineren Höhe, einer kleineren Seite und einem Teil einer größeren Basis besteht. Nach dem Satz des Pythagoras:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1
Lassen Sie uns die obere Basis des Parallelogramms BC verlängern und die Höhe AN von seiner unteren Basis darauf fallen lassen. AN = BK als Seiten des Rechtecks ANBK. Im resultierenden rechtwinkligen Dreieck ANC finden wir den Schenkel NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12
Lassen Sie uns nun die größere Basis BC des Parallelogramms ABCD finden.
BC=NC-NB
Wir berücksichtigen dann, dass NB = AK die Seiten des Rechtecks sind
BC=12 - 1=11
Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Basis und der Höhe zu dieser Basis.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99
Antworten: 99 cm2.
Eine Aufgabe
Im Parallelogramm ABCD fällt die Senkrechte BO auf die Diagonale AC. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms, wenn AO=8, OS=6 und BO=4.
Lösung.
Lassen Sie uns eine weitere senkrechte DK auf die Diagonale AC fallen lassen.
Dementsprechend sind die Dreiecke AOB und DKC, COB und AKD paarweise kongruent. Eine der Seiten ist die gegenüberliegende Seite des Parallelogramms, einer der Winkel ist ein rechter, da er senkrecht zur Diagonale steht, und einer der verbleibenden Winkel ist ein inneres Kreuz, das für die parallelen Seiten des Parallelogramms und die Sekante liegt der Diagonalen.
Somit ist die Fläche des Parallelogramms gleich der Fläche der angegebenen Dreiecke. Also
Sparall = 2S AOB +2S BOC
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts der Schenkel. Wo
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Antworten: 56 cm2.
Bei der Lösung von Problemen zu diesem Thema zusätzlich zu Grundeigenschaften Parallelogramm und die dazugehörigen Formeln können Sie sich folgendes merken und anwenden:
- Die Winkelhalbierende des Innenwinkels eines Parallelogramms schneidet ein gleichschenkliges Dreieck davon ab
- Winkelhalbierende von Innenwinkeln neben einer der Seiten eines Parallelogramms stehen senkrecht aufeinander
- Winkelhalbierende, die von gegenüberliegenden Innenwinkeln eines Parallelogramms kommen, parallel zueinander oder auf einer Geraden liegen
- Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate seiner Seiten
- Die Fläche eines Parallelogramms ist das halbe Produkt der Diagonalen mal dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.
Betrachten wir die Aufgaben, bei deren Lösung diese Eigenschaften verwendet werden.
Aufgabe 1.
Die Winkelhalbierende des Winkels C des Parallelogramms ABCD schneidet die Seite AD am Punkt M und die Verlängerung der Seite AB über Punkt A hinaus am Punkt E. Finden Sie den Umfang des Parallelogramms, wenn AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Lösung.
1. Dreieck CMD gleichschenklig. (Eigenschaft 1). Daher ist CD = MD = 3 cm.
2. Das Dreieck EAM ist gleichschenklig.
Daher ist AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Umfang ABCD = 20 cm.
Antworten. 20 cm
Aufgabe 2.
Diagonalen werden in einem konvexen Viereck ABCD gezeichnet. Es ist bekannt, dass die Flächen der Dreiecke ABD, ACD, BCD gleich sind. Beweisen Sie, dass das gegebene Viereck ein Parallelogramm ist.
Lösung.
1. Sei BE die Höhe des Dreiecks ABD, CF die Höhe des Dreiecks ACD. Da nach der Problemstellung die Flächen der Dreiecke gleich sind und sie eine gemeinsame Basis AD haben, sind die Höhen dieser Dreiecke gleich. BE = CF.
2. BE, CF stehen senkrecht auf AD. Die Punkte B und C befinden sich auf derselben Seite der Linie AD. BE = CF. Daher die Zeile BC || ANZEIGE. (*)
3. Sei AL die Höhe des Dreiecks ACD, BK die Höhe des Dreiecks BCD. Da je nach Problemstellung die Flächen der Dreiecke gleich sind und sie eine gemeinsame Basis CD haben, sind die Höhen dieser Dreiecke gleich. AL = BK.
4. AL und BK sind senkrecht zu CD. Die Punkte B und A liegen auf der gleichen Seite der Geraden CD. AL = BK. Daher die Linie AB || CD (**)
5. Die Bedingungen (*), (**) implizieren, dass ABCD ein Parallelogramm ist.
Antworten. Bewährt. ABCD ist ein Parallelogramm.
Aufgabe 3.
Auf den Seiten BC und CD des Parallelogramms ABCD sind die Punkte M bzw. H markiert, so dass sich die Segmente BM und HD im Punkt O schneiden;<ВМD = 95 о,
Lösung.
1. Im Dreieck DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. In einem rechtwinkligen Dreieck DHC Dann<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Aber CD = AB. Dann AB:HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Antwort: AB:HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = Aufgabe 4. Eine der Diagonalen eines Parallelogramms der Länge 4√6 bildet mit der Basis einen Winkel von 60°, und die zweite Diagonale bildet mit derselben Basis einen Winkel von 45°. Finden Sie die zweite Diagonale. Lösung.
1. AO = 2√6. 2. Wende den Sinussatz auf das Dreieck AOD an. AO/Sünde D = OD/Sünde A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Antwort: 12.
Aufgabe 5. Bei einem Parallelogramm mit den Seiten 5√2 und 7√2 ist der kleinere Winkel zwischen den Diagonalen gleich dem kleineren Winkel des Parallelogramms. Finden Sie die Summe der Längen der Diagonalen. Lösung.
Seien d 1, d 2 die Diagonalen des Parallelogramms und der Winkel zwischen den Diagonalen und dem kleineren Winkel des Parallelogramms sei φ. 1. Lassen Sie uns zwei verschiedene zählen S ABCD \u003d AB AD Sünde A \u003d 5√2 7√2 Sünde f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD Sünde AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 Sünde f. Wir erhalten die Gleichheit 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Unter Verwendung des Verhältnisses zwischen den Seiten und Diagonalen des Parallelogramms schreiben wir die Gleichheit (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Machen wir ein System: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Multipliziere die zweite Gleichung des Systems mit 2 und addiere sie zur ersten. Wir erhalten (d 1 + d 2) 2 = 576. Daher ist Id 1 + d 2 I = 24. Da d 1, d 2 die Längen der Diagonalen des Parallelogramms sind, ist d 1 + d 2 = 24. Antwort: 24.
Aufgabe 6. Die Seiten des Parallelogramms sind 4 und 6. Der spitze Winkel zwischen den Diagonalen beträgt 45 o. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms. Lösung.
1. Aus dem Dreieck AOB schreiben wir unter Verwendung des Kosinussatzes die Beziehung zwischen der Seite des Parallelogramms und den Diagonalen. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Analog schreiben wir die Beziehung für das Dreieck AOD. Das berücksichtigen wir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Wir erhalten die Gleichung d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Wir haben ein System Subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung, erhalten wir 2d 1 d 2 √2 = 80 oder d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD Sünde AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 Sünde α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Notiz: Bei diesem und dem vorherigen Problem besteht keine Notwendigkeit, das System vollständig zu lösen, da wir voraussehen, dass wir bei diesem Problem das Produkt der Diagonalen benötigen, um die Fläche zu berechnen. Antwort: 10. Aufgabe 7. Die Fläche des Parallelogramms ist 96 und seine Seiten sind 8 und 15. Finden Sie das Quadrat der kleineren Diagonale. Lösung.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Machen wir eine Substitution in der Formel. Wir erhalten 96 = 8 15 sin VAD. Also sin VAD = 4/5. 2. Finde cos SCHLECHT. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 SCHLECHT = 1. cos 2 SCHLECHT = 9/25. Je nach Problemstellung finden wir die Länge der kleineren Diagonalen. Die Diagonale BD wird kleiner, wenn der Winkel BAD spitz ist. Dann ist cos BAD = 3 / 5. 3. Aus dem Dreieck ABD finden wir mit Hilfe des Kosinussatzes das Quadrat der Diagonalen BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos SCHLECHT. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Antwort: 145.
Haben Sie irgendwelche Fragen? Sie wissen nicht, wie Sie ein Geometrieproblem lösen sollen? Site, mit vollständigem oder teilweisem Kopieren des Materials, ist ein Link zur Quelle erforderlich. Formel für die Fläche eines Parallelogramms Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt seiner Seite und der zu dieser Seite abgesenkten Höhe. Wenn das Parallelogramm ein Rechteck ist, dann wird die Gleichheit durch das Rechteckflächentheorem erfüllt. Außerdem nehmen wir an, dass die Ecken des Parallelogramms nicht richtig sind. Sei $\angle BAD$ ein spitzer Winkel in einem Parallelogramm $ABCD$ und $AD > AB$. Andernfalls benennen wir die Scheitelpunkte um. Dann fällt die Höhe $BH$ vom Scheitelpunkt $B$ zur Linie $AD$ auf die Seite $AD$, da das Bein $AH$ kürzer ist als die Hypotenuse $AB$, und $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Vergleichen wir die Fläche des Parallelogramms $ABCD$ und die Fläche des Rechtecks $HBCK$. Die Fläche des Parallelogramms ist um die Fläche $\triangle ABH$ größer, aber um die Fläche $\triangle DCK$ kleiner. Da diese Dreiecke kongruent sind, sind auch ihre Flächen kongruent. Das bedeutet, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich der Fläche eines Rechtecks mit seitlich langen Seiten und der Höhe des Parallelogramms ist. Formel für die Fläche eines Parallelogramms in Bezug auf Seiten und Sinus Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Die Höhe des zur Seite $AB$ abgesenkten Parallelogramms $ABCD$ ist gleich dem Produkt aus der Strecke $BC$ und dem Sinus des Winkels $\angle ABC$. Es bleibt die vorherige Behauptung anzuwenden. Formel für die Fläche eines Parallelogramms in Diagonalen Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem halben Produkt der Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Die Diagonalen des Parallelogramms $ABCD$ sollen sich im Punkt $O$ unter einem Winkel $\alpha$ schneiden. Dann $AO=OC$ und $BO=OD$ durch die Parallelogrammeigenschaft. Die Sinuswerte der Winkel, die zusammen $180^\circ$ ergeben, sind $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Daher sind die Sinus der Winkel am Schnittpunkt der Diagonalen gleich $\sin \alpha$. $S_(ABCD)=S_(\triangle AOB) + S_(\triangle BOC) + S_(\triangle COD) + S_(\triangle AOD)$ nach dem Axiom der Flächenmessung. Wende die Dreiecksflächenformel $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ für diese Dreiecke und Winkel an, wenn sich die Diagonalen schneiden. Die Seiten von jedem sind gleich der Hälfte der Diagonalen, die Sinus sind auch gleich. Daher sind die Flächen aller vier Dreiecke $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Wenn wir all das oben Genannte zusammenfassen, bekommen wir $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$ Bei der Lösung von Problemen zu diesem Thema zusätzlich zu Grundeigenschaften Parallelogramm und die dazugehörigen Formeln können Sie sich folgendes merken und anwenden: Betrachten wir die Aufgaben, bei deren Lösung diese Eigenschaften verwendet werden. Aufgabe 1. Die Winkelhalbierende des Winkels C des Parallelogramms ABCD schneidet die Seite AD am Punkt M und die Verlängerung der Seite AB über Punkt A hinaus am Punkt E. Finden Sie den Umfang des Parallelogramms, wenn AE \u003d 4, DM \u003d 3. Lösung.
1. Dreieck CMD gleichschenklig. (Eigenschaft 1). Daher ist CD = MD = 3 cm. 2. Das Dreieck EAM ist gleichschenklig. 3. AD = AM + MD = 7 cm. 4. Umfang ABCD = 20 cm. Antworten. 20 cm
Aufgabe 2. Diagonalen werden in einem konvexen Viereck ABCD gezeichnet. Es ist bekannt, dass die Flächen der Dreiecke ABD, ACD, BCD gleich sind. Beweisen Sie, dass das gegebene Viereck ein Parallelogramm ist. Lösung.
1. Sei BE die Höhe des Dreiecks ABD, CF die Höhe des Dreiecks ACD. Da nach der Problemstellung die Flächen der Dreiecke gleich sind und sie eine gemeinsame Basis AD haben, sind die Höhen dieser Dreiecke gleich. BE = CF. 2. BE, CF stehen senkrecht auf AD. Die Punkte B und C befinden sich auf derselben Seite der Linie AD. BE = CF. Daher die Zeile BC || ANZEIGE. (*) 3. Sei AL die Höhe des Dreiecks ACD, BK die Höhe des Dreiecks BCD. Da je nach Problemstellung die Flächen der Dreiecke gleich sind und sie eine gemeinsame Basis CD haben, sind die Höhen dieser Dreiecke gleich. AL = BK. 4. AL und BK sind senkrecht zu CD. Die Punkte B und A liegen auf der gleichen Seite der Geraden CD. AL = BK. Daher die Linie AB || CD (**) 5. Die Bedingungen (*), (**) implizieren, dass ABCD ein Parallelogramm ist. Antworten. Bewährt. ABCD ist ein Parallelogramm.
Aufgabe 3. Auf den Seiten BC und CD des Parallelogramms ABCD sind die Punkte M bzw. H markiert, so dass sich die Segmente BM und HD im Punkt O schneiden;<ВМD = 95 о, 1. Im Dreieck DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о. 2. In einem rechtwinkligen Dreieck DHC Dann<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Aber CD = AB. Dann AB:HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Antwort: AB:HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = Aufgabe 4. Eine der Diagonalen eines Parallelogramms der Länge 4√6 bildet mit der Basis einen Winkel von 60°, und die zweite Diagonale bildet mit derselben Basis einen Winkel von 45°. Finden Sie die zweite Diagonale. Lösung.
1. AO = 2√6. 2. Wende den Sinussatz auf das Dreieck AOD an. AO/Sünde D = OD/Sünde A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Antwort: 12.
Aufgabe 5. Bei einem Parallelogramm mit den Seiten 5√2 und 7√2 ist der kleinere Winkel zwischen den Diagonalen gleich dem kleineren Winkel des Parallelogramms. Finden Sie die Summe der Längen der Diagonalen. Lösung.
Seien d 1, d 2 die Diagonalen des Parallelogramms und der Winkel zwischen den Diagonalen und dem kleineren Winkel des Parallelogramms sei φ. 1. Lassen Sie uns zwei verschiedene zählen S ABCD \u003d AB AD Sünde A \u003d 5√2 7√2 Sünde f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD Sünde AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 Sünde f. Wir erhalten die Gleichheit 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Unter Verwendung des Verhältnisses zwischen den Seiten und Diagonalen des Parallelogramms schreiben wir die Gleichheit (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Machen wir ein System: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Multipliziere die zweite Gleichung des Systems mit 2 und addiere sie zur ersten. Wir erhalten (d 1 + d 2) 2 = 576. Daher ist Id 1 + d 2 I = 24. Da d 1, d 2 die Längen der Diagonalen des Parallelogramms sind, ist d 1 + d 2 = 24. Antwort: 24.
Aufgabe 6. Die Seiten des Parallelogramms sind 4 und 6. Der spitze Winkel zwischen den Diagonalen beträgt 45 o. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms. Lösung.
1. Aus dem Dreieck AOB schreiben wir unter Verwendung des Kosinussatzes die Beziehung zwischen der Seite des Parallelogramms und den Diagonalen. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Analog schreiben wir die Beziehung für das Dreieck AOD. Das berücksichtigen wir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Wir erhalten die Gleichung d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Wir haben ein System Subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung, erhalten wir 2d 1 d 2 √2 = 80 oder d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD Sünde AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 Sünde α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Notiz: Bei diesem und dem vorherigen Problem besteht keine Notwendigkeit, das System vollständig zu lösen, da wir voraussehen, dass wir bei diesem Problem das Produkt der Diagonalen benötigen, um die Fläche zu berechnen. Antwort: 10. Aufgabe 7. Die Fläche des Parallelogramms ist 96 und seine Seiten sind 8 und 15. Finden Sie das Quadrat der kleineren Diagonale. Lösung.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Machen wir eine Substitution in der Formel. Wir erhalten 96 = 8 15 sin VAD. Also sin VAD = 4/5. 2. Finde cos SCHLECHT. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 SCHLECHT = 1. cos 2 SCHLECHT = 9/25. Je nach Problemstellung finden wir die Länge der kleineren Diagonalen. Die Diagonale BD wird kleiner, wenn der Winkel BAD spitz ist. Dann ist cos BAD = 3 / 5. 3. Aus dem Dreieck ABD finden wir mit Hilfe des Kosinussatzes das Quadrat der Diagonalen BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos SCHLECHT. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Antwort: 145.
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(Da in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel, der einem Winkel von 30° gegenüberliegt, gleich der halben Hypotenuse ist).
Wege seiner Gegend.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
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Nachweisen
Nachweisen
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Daher ist AE = AM = 4 cm.Lösung.
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(Da in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel, der einem Winkel von 30° gegenüberliegt, gleich der halben Hypotenuse ist).Wege seiner Gegend.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
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