Kapitel 1

ELEKTROMAGNETISMUS

§ 1. Elektrische Kräfte

§2. Elektrische und magnetische Felder

§3. Eigenschaften von Vektorfeldern

§ 4. Gesetze des Elektromagnetismus

§ 5. Was ist das – „Felder“?

§6. Elektromagnetismus in Wissenschaft und Technik

Wiederholen: CH. 12 (Ausgabe 1) "Leistungskennlinien"

§ 1. Elektrische Kräfte

Stellen Sie sich eine Kraft vor, die sich wie die Schwerkraft umgekehrt zum Quadrat der Entfernung ändert, aber nur in Millionen Milliarden Milliarden Milliarden mal stärker. Und das unterscheidet sich in einem weiteren. Es gebe zwei Arten von "Substanzen", die positiv und negativ genannt werden können. Lassen Sie die gleichen Sorten abstoßen und verschiedene Sorten anziehen, im Gegensatz zur Gravitation, bei der nur Anziehung auftritt. Was wird dann passieren?

Alles Positive wird mit furchtbarer Gewalt abgestoßen und in verschiedene Richtungen zerstreut. Auch alles negativ. Aber etwas ganz anderes wird passieren, wenn Positiv und Negativ gleichermaßen gemischt werden. Dann werden sie mit großer Kraft voneinander angezogen, und als Ergebnis werden sich diese unglaublichen Kräfte fast vollständig ausgleichen und dichte "feinkörnige" Mischungen aus Positiv und Negativ bilden; zwischen zwei Haufen solcher Mischungen gibt es praktisch keine Anziehung oder Abstoßung.

Es gibt eine solche Kraft: Es ist elektrische Kraft. Und alle Materie ist eine Mischung aus positiven Protonen und negativen Elektronen, die sich mit unglaublicher Kraft anziehen und abstoßen. Das Gleichgewicht zwischen ihnen ist jedoch so perfekt, dass Sie, wenn Sie in der Nähe von jemandem stehen, keine Wirkung dieser Kraft spüren. Und wenn das Gleichgewicht auch nur ein bisschen gestört wäre, würden Sie es sofort spüren. Wenn es in deinem Körper oder im Körper deines Nachbarn (auf Armeslänge von dir stehend) nur 1 % mehr Elektronen als Protonen gäbe, dann wäre deine Abstoßungskraft unvorstellbar groß. Wie groß? Genug, um einen Wolkenkratzer zu errichten? Mehr! Genug, um den Mount Everest anzuheben? Mehr! Die Abstoßungskraft würde ausreichen, um ein "Gewicht" zu heben, das dem Gewicht unserer Erde entspricht!

Da solch enorme Kräfte in diesen subtilen Mischungen so perfekt ausbalanciert sind, ist es nicht schwer zu verstehen, dass eine Substanz, die bestrebt ist, ihre positiven und negativen Ladungen im feinsten Gleichgewicht zu halten, eine große Starrheit und Stärke haben muss. Die Spitze eines Wolkenkratzers beispielsweise bewegt sich bei Windböen nur wenige Meter, weil elektrische Kräfte jedes Elektron und jedes Proton mehr oder weniger an Ort und Stelle halten. Wenn andererseits eine ausreichend kleine Menge an Materie betrachtet wird, sodass nur wenige Atome darin vorhanden sind, dann wird es nicht notwendigerweise eine gleiche Anzahl positiver und negativer Ladungen geben, und es können große elektrische Restkräfte auftreten. Selbst wenn die Anzahl dieser und anderer Ladungen gleich ist, kann immer noch eine erhebliche elektrische Kraft zwischen benachbarten Bereichen wirken. Denn die zwischen einzelnen Ladungen wirkenden Kräfte ändern sich umgekehrt mit dem Quadrat ihrer Abstände, und es kann sich herausstellen, dass die negativen Ladungen eines Teils der Substanz näher an den positiven Ladungen (des anderen Teils) liegen als an den negativen . Die Anziehungskräfte werden dann die Abstoßungskräfte übersteigen, und als Ergebnis wird es eine Anziehung zwischen den beiden Teilen der Substanz geben, in der keine überschüssige Ladung vorhanden ist. Die Kraft, die Atome zusammenhält, und die chemischen Kräfte, die Moleküle zusammenhalten, sind alles elektrische Kräfte, die dort wirken, wo die Anzahl der Ladungen nicht gleich ist oder wo die Lücken zwischen ihnen klein sind.

Sie wissen natürlich, dass ein Atom positive Protonen im Kern und Elektronen außerhalb des Kerns hat. Sie fragen sich vielleicht: „Wenn diese elektrischen Kräfte so groß sind, warum überlagern sich dann Protonen und Elektronen nicht? Wenn sie ein geschlossenes Unternehmen gründen wollen, warum nicht noch näher kommen? Die Antwort hat mit Quanteneffekten zu tun. Wenn wir versuchen, unsere Elektronen in einem kleinen Volumen um das Proton herum einzuschließen, dann sollten sie nach der Unschärferelation einen RMS-Impuls haben, der umso größer ist, je mehr wir sie einschränken. Es ist diese Bewegung (erforderlich durch die Gesetze der Quantenmechanik), die verhindert, dass die elektrische Anziehung die Ladungen noch näher zusammenbringt.

Hier stellt sich eine weitere Frage: „Was hält den Kern zusammen?“ Im Kern befinden sich mehrere Protonen, die alle positiv geladen sind. Warum fliegen sie nicht weg? Es stellt sich heraus, dass es im Kern neben elektrischen Kräften auch nichtelektrische Kräfte gibt, die man nennt nuklear. Diese Kräfte sind stärker als elektrische Kräfte und können trotz elektrischer Abstoßung

hält die Protonen zusammen. Die Wirkung nuklearer Streitkräfte reicht jedoch nicht weit; es fällt viel schneller als 1/r 2 . Und dies führt zu einem wichtigen Ergebnis. Sind zu viele Protonen im Kern, dann wird der Kern zu groß und kann sich nicht mehr halten. Ein Beispiel ist Uran mit seinen 92 Protonen. Kernkräfte wirken hauptsächlich zwischen einem Proton (oder Neutron) und seinem nächsten Nachbarn, während elektrische Kräfte über große Entfernungen wirken und bewirken, dass jedes Proton im Kern von allen anderen abgestoßen wird. Je mehr Protonen im Kern, desto stärker die elektrische Abstoßung, bis (wie beim Uran) das Gleichgewicht so prekär wird, dass es für den Kern fast nichts kostet, von der elektrischen Abstoßung wegzufliegen. Es lohnt sich, es ein wenig zu „drücken“ (z. B. indem man ein langsames Neutron hineinschickt) - und es zerfällt in zwei Teile, in zwei positiv geladene Teile, die durch elektrische Abstoßung auseinanderfliegen. Die dabei freigesetzte Energie ist die Energie der Atombombe. Sie wird allgemein als „nukleare“ Energie bezeichnet, obwohl es eigentlich „elektrische“ Energie ist, die freigesetzt wird, sobald die elektrischen Kräfte die nuklearen Anziehungskräfte überwinden.

Schließlich kann man fragen, wie wird ein negativ geladenes Elektron zusammengehalten (schließlich gibt es keine Kernkräfte in ihm)? Wenn das Elektron ganz aus der gleichen Art von Materie besteht, dann muss jeder Teil davon den Rest abstoßen. Warum zerstreuen sie sich dann nicht in verschiedene Richtungen? Hat ein Elektron wirklich "Teile"? Vielleicht sollten wir das Elektron nur als Punkt betrachten und sagen, dass elektrische Kräfte nur dazwischen wirken anders Punktladungen, damit das Elektron nicht auf sich selbst wirkt? Vielleicht. Das einzige, was jetzt gesagt werden kann, ist, dass die Frage, wie das Elektron zusammengehalten wird, viele Schwierigkeiten bei dem Versuch verursacht hat, eine vollständige Theorie des Elektromagnetismus aufzustellen. Und auf diese Frage haben wir keine Antwort erhalten. Wir werden es etwas später besprechen.

Wie wir gesehen haben, hofft man, dass die Kombination aus elektrischen Kräften und quantenmechanischen Effekten die Struktur großer Materiemengen und damit ihre Eigenschaften bestimmen wird. Manche Materialien sind hart, andere weich. Einige sind elektrische "Leiter", weil sich ihre Elektronen frei bewegen können; andere sind "Isolatoren", ihre Elektronen sind jeweils an ein eigenes Atom gebunden. Später werden wir herausfinden, woher solche Eigenschaften kommen, aber diese Frage ist sehr kompliziert, deshalb werden wir zuerst elektrische Kräfte in den einfachsten Situationen betrachten. Betrachten wir zunächst nur die Gesetze der Elektrizität, hier auch des Magnetismus, da beides eigentlich gleichartige Erscheinungen sind.

Wir sagten, dass elektrische Kräfte, wie Gravitationskräfte, umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen Ladungen abnehmen. Diese Beziehung wird Coulombsches Gesetz genannt. Dieses Gesetz gilt jedoch genau dann nicht mehr, wenn sich die Anklagepunkte bewegen. Auch elektrische Kräfte hängen in komplexer Weise von der Bewegung von Ladungen ab. Einen der Teile der Kraft, die zwischen sich bewegenden Ladungen wirkt, nennen wir magnetisch gewaltsam. Tatsächlich ist dies nur eine der Erscheinungsformen der elektrischen Wirkung. Deshalb sprechen wir von „Elektromagnetismus“.

Es gibt ein wichtiges allgemeines Prinzip, das es relativ einfach macht, elektromagnetische Kräfte zu untersuchen. Wir finden experimentell heraus, dass die Kraft, die auf eine einzelne Ladung wirkt (unabhängig davon, wie viele weitere Ladungen es gibt oder wie sie sich bewegen), nur von der Position dieser einzelnen Ladung, von ihrer Geschwindigkeit und Größe abhängt. Die auf die Ladung q wirkende Kraft F ,

Wenn wir uns mit einer Geschwindigkeit v bewegen, können wir es schreiben als:

hier E- elektrisches Feld am Ladeort und B - ein Magnetfeld. Wesentlich ist, dass sich die von allen anderen Ladungen des Universums wirkenden elektrischen Kräfte addieren und nur diese beiden Vektoren ergeben. Ihre Bedeutung hängt davon ab wo Es gibt eine Gebühr und kann sich mit ändern Zeit. Wenn wir diese Ladung durch eine andere ersetzen, dann ändert sich die auf die neue Ladung wirkende Kraft genau proportional zur Größe der Ladung, es sei denn, alle anderen Ladungen in der Welt ändern ihre Bewegung oder Position. (Unter realen Bedingungen wirkt natürlich jede Ladung auf alle anderen Ladungen in ihrer Nachbarschaft und kann bewirken, dass sie sich bewegen, also manchmal, wenn eine gegebene Ladung durch eine andere ersetzt wird, die Felder kann Rückgeld.)

Aus dem im ersten Band vorgestellten Material wissen wir, wie man die Bewegung eines Teilchens bestimmen kann, wenn die auf es wirkende Kraft bekannt ist. Gleichung (1.1) kombiniert mit der Bewegungsgleichung ergibt

Wenn also E und B bekannt sind, kann die Ladungsbewegung bestimmt werden. Es bleibt nur herauszufinden, wie E und B erhalten werden.

Einer der wichtigsten Grundsätze, der die Ableitung von Feldwerten vereinfacht, lautet wie folgt. Lassen Sie eine bestimmte Anzahl von Ladungen, die sich auf irgendeine Weise bewegen, ein Feld E 1 erzeugen, und einen anderen Satz von Ladungen – ein Feld E 2 . Wenn beide Ladungssätze gleichzeitig wirken (wobei ihre Positionen und Bewegungen die gleichen bleiben wie bei getrennter Betrachtung), dann ist das resultierende Feld genau die Summe

E \u003d E 1 + E 2. (1.3)

Diese Tatsache heißt Overlay-Prinzip Felder (bzw Prinzip der Superposition). Sie gilt auch für Magnetfelder.

Dieses Prinzip bedeutet, dass wenn wir das Gesetz für die gebildeten elektrischen und magnetischen Felder kennen einsam eine Ladung, die sich beliebig bewegt, dann kennen wir also alle Gesetze der Elektrodynamik. Wenn wir wissen wollen, welche Kraft auf die Ladung wirkt ABER, wir müssen nur die Größe der Felder E und B berechnen, die von jeder der Ladungen erzeugt werden B, C, D usw., und addieren Sie alle diese E und B; so finden wir die felder, und von ihnen - die wirkenden kräfte ABER. Wenn sich herausstellen würde, dass das durch eine einzelne Ladung erzeugte Feld einfach ist, dann wäre dies die eleganteste Art, die Gesetze der Elektrodynamik zu beschreiben. Aber wir haben dieses Gesetz bereits beschrieben (siehe Ausgabe 3, Kapitel 28), und leider ist es ziemlich kompliziert.

Es stellt sich heraus, dass die Form, in der die Gesetze der Elektrodynamik einfach werden, überhaupt nicht das ist, was man erwarten könnte. Sie ist nicht ist einfach, wenn wir eine Formel für die Kraft haben wollen, mit der eine Ladung auf eine andere wirkt. Das Kraftgesetz - das Coulombsche Gesetz - ist zwar einfach, wenn die Ladungen ruhen, aber wenn sich die Ladungen bewegen, werden die Beziehungen aufgrund von Zeitverzögerung, Beschleunigungseinfluss usw. komplizierter. Dadurch ist es besser nicht zu versuchen, Elektrodynamik aufzubauen, indem nur die Gesetze der zwischen Ladungen wirkenden Kräfte verwendet werden; viel akzeptabler ist ein anderer Gesichtspunkt, bei dem die Gesetze der Elektrodynamik leichter zu handhaben sind.

§ 2. Elektrische und magnetische Felder

Zunächst müssen wir unser Verständnis der elektrischen und magnetischen Vektoren E und B etwas erweitern. Wir haben sie in Bezug auf die auf die Ladung wirkenden Kräfte definiert. Jetzt beabsichtigen wir, über elektrische und magnetische Felder in zu sprechen Punkt, auch wenn keine Gebühren anfallen.

Feige. 1.1. Ein Vektorfeld, das durch eine Reihe von Pfeilen dargestellt wird, deren Länge und Richtung die Größe des Vektorfelds an den Punkten angeben, aus denen die Pfeile kommen.

Deshalb behaupten wir, dass, da Kräfte auf die Ladung „einwirken“, an der Stelle, wo sie stand, „etwas“ bleibt, selbst wenn die Ladung von dort entfernt wird. Wenn sich eine Ladung an einem Punkt befindet (x, y, z), im Moment t fühlt die Wirkung der Kraft F gemäß Gleichung (1.1), dann verbinden wir die Vektoren E und B mit einem Punkt (x, y, z) im Weltraum. Wir können annehmen, dass E (x, y, z, t) und B (x,y,z,t) geben Kräfte, deren Wirkung im Moment zu spüren sein wird t Ladung befindet sich in (x, y, z), vorausgesetzt, dass dass an diesem Punkt eine Gebühr erhoben wird wird nicht stören weder der Ort noch die Bewegung aller anderen für die Felder verantwortlichen Ladungen.

Nach dieser Vorstellung assoziieren wir mit jeder Punkt (x,y,z) Raum, zwei Vektoren E und B, die sich im Laufe der Zeit ändern können. Die elektrischen und magnetischen Felder werden dann als betrachtet Vektorfunktionen aus x, y, z und t. Da der Vektor durch seine Komponenten bestimmt ist, ist jedes der Felder E (x, y, 2, t) und B (x,y,z,t) ist drei mathematische Funktionen von x, y, z und t.

Eben weil E (oder B) für jeden Punkt im Raum definiert werden kann, nennt man ihn "Feld". Ein Feld ist jede physikalische Größe, die an verschiedenen Punkten im Raum unterschiedliche Werte annimmt. Nehmen wir an, die Temperatur ist ein Feld (in diesem Fall ein Skalar), das geschrieben werden kann als T(x, y, z). Außerdem kann sich die Temperatur auch mit der Zeit ändern, dann sagen wir, dass das Temperaturfeld von der Zeit abhängt, und schreiben T (x,y,z,t). Ein weiteres Beispiel für ein Feld ist das "Geschwindigkeitsfeld" eines strömenden Fluids. Wir zeichnen momentan die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an jedem beliebigen Punkt im Raum auf t v (x,y,z,t). Das Feld ist ein Vektor.

Kommen wir zurück zu den elektromagnetischen Feldern. Obwohl die Formeln, nach denen sie durch Gebühren erstellt werden, komplex sind, haben sie die folgende wichtige Eigenschaft: die Beziehung zwischen den Werten der Felder in Irgendwann und ihre Werte in Nachbarpunkt sehr einfach. Wenige solcher Beziehungen (in Form von Differentialgleichungen) genügen, um die Felder vollständig zu beschreiben. In dieser Form sehen die Gesetze der Elektrodynamik besonders einfach aus.

Feige. 1.2. Ein Vektorfeld, das durch Linien dargestellt wird, die die Richtung des Vektorfelds an jedem Punkt tangieren.

Die Liniendichte gibt die Größe des Feldvektors an.

Es wurde viel Einfallsreichtum aufgewendet, um Menschen dabei zu helfen, das Verhalten von Feldern zu visualisieren. Und der korrekteste Standpunkt ist der abstrakteste: Sie müssen die Felder nur als mathematische Funktionen von Koordinaten und Zeit betrachten. Sie können auch versuchen, sich ein geistiges Bild des Feldes zu machen, indem Sie an vielen Punkten im Raum einen Vektor zeichnen, sodass jeder von ihnen die Stärke und Richtung des Feldes an diesem Punkt anzeigt. Eine solche Darstellung ist in Abb. 1.1. Sie können sogar noch weiter gehen: Zeichnen Sie Linien, die diese Vektoren an jedem Punkt berühren. Sie scheinen den Pfeilen zu folgen und die Richtung des Feldes beizubehalten. Wenn dies geschehen ist, dann Informationen über Längen Vektoren gehen verloren, können aber gerettet werden, wenn dort, wo die Feldstärke gering ist, seltener und dort dicker gezeichnet wird. Stimmen wir dem zu Anzahl der Linien pro Flächeneinheit, die sich über den Linien befinden, werden proportional sein Feldstärke. Dies ist natürlich nur eine Annäherung; Manchmal müssen wir neue Zeilen hinzufügen, um die Feldstärke anzupassen. Das Feld in Abb. 1.1 wird durch die Feldlinien in Abb. 1.2.

§ 3. Eigenschaften von Vektorfeldern

Vektorfelder haben zwei mathematisch wichtige Eigenschaften, die wir verwenden werden, um die Gesetze der Elektrizität aus Feldsicht zu beschreiben. Stellen wir uns eine geschlossene Fläche vor und stellen die Frage, folgt daraus „etwas“, hat das Feld also die Eigenschaft des „Ausflusses“? Beispielsweise können wir für ein Geschwindigkeitsfeld fragen, ob die Geschwindigkeit immer von der Oberfläche weg gerichtet ist, oder allgemeiner, ob mehr Flüssigkeit (pro Zeiteinheit) aus der Oberfläche herausströmt als hineinströmt.

Feige. 1.3. Der Fluss eines Vektorfelds durch eine Oberfläche, definiert als das Produkt des Mittelwerts der senkrechten Komponente des Vektors und der Fläche dieser Oberfläche.

Die Gesamtmenge an Flüssigkeit, die durch die Oberfläche fließt, nennen wir die "Strömungsgeschwindigkeit" durch die Oberfläche pro Zeiteinheit. Die Strömung durch ein Oberflächenelement ist gleich der Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Element multipliziert mit seiner Fläche. Für eine beliebige geschlossene Fläche Gesamtfluss ist gleich dem Mittelwert der Normalkomponente der Geschwindigkeit (nach außen gezählt) multipliziert mit der Fläche:

Fluss = (mittlere Normalkomponente)·(Oberfläche).

Im Falle eines elektrischen Feldes kann ein Konzept ähnlich der Quelle einer Flüssigkeit mathematisch definiert werden; wir auch

Feige. 1.4. Geschwindigkeitsfeld in Flüssigkeit (a).

Stellen Sie sich ein Rohr mit konstantem Querschnitt vor, das entlang einer beliebigen geschlossenen Kurve verlegt ist(b). Wenn die Flüssigkeit plötzlich überall gefriert, außer dem Schlauch dann Flüssigkeit im Röhrchen beginnt zu zirkulieren (c).

Feige. 1.5. Zirkulationsvektor Beeindruckend Felder gleich dem Produkt

die durchschnittliche Tangenskomponente des Vektors (unter Berücksichtigung seines Vorzeichens).

bezogen auf Bypass-Richtung) um die Länge der Kontur.

wir nennen es eine Strömung, aber natürlich ist es keine Strömung irgendeiner Flüssigkeit mehr, weil das elektrische Feld nicht als Geschwindigkeit von etwas betrachtet werden kann. Es stellt sich jedoch heraus, dass die als durchschnittliche Normalkomponente des Feldes definierte mathematische Größe immer noch einen nützlichen Wert hat. Dann reden wir über der Stromfluss ebenfalls durch Gleichung (1.4) definiert. Schließlich ist es sinnvoll, von der Strömung nicht nur durch eine geschlossene, sondern auch durch eine beliebige begrenzte Fläche zu sprechen. Wie zuvor ist der Fluss durch eine solche Oberfläche definiert als die durchschnittliche Normalkomponente des Vektors multipliziert mit der Fläche der Oberfläche. Diese Darstellungen sind in Abb. 1.3. Eine weitere Eigenschaft von Vektorfeldern betrifft weniger Flächen als Linien. Stellen Sie sich noch einmal das Geschwindigkeitsfeld vor, das die Flüssigkeitsströmung beschreibt. Eine interessante Frage kann gestellt werden: zirkuliert die Flüssigkeit? Das heißt: Gibt es eine Rotationsbewegung entlang einer geschlossenen Kontur (Schleife)? Stellen Sie sich vor, wir hätten die Flüssigkeit überall augenblicklich eingefroren, mit Ausnahme des Inneren einer Röhre mit konstantem Querschnitt, die in Form einer Schleife geschlossen ist (Abb. 1.4). Außerhalb der Röhre stoppt die Flüssigkeit, aber im Inneren kann sie sich weiter bewegen, wenn in ihr (in der Flüssigkeit) ein Impuls erhalten bleibt, dh wenn der Impuls, der sie in eine Richtung treibt, größer ist als der Impuls in die entgegengesetzte Richtung. Wir definieren eine Menge genannt Verkehr, als die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Röhre multipliziert mit der Länge der Röhre. Auch hier können wir unsere Begriffe erweitern und "Zirkulation" für jedes Vektorfeld definieren (auch wenn sich dort nichts bewegt). Für jedes Vektorfeld Zirkulation entlang eines imaginären geschlossenen Kreislaufs ist definiert als die mittlere Tangentenkomponente des Vektors (unter Berücksichtigung der Umgehungsrichtung), multipliziert mit der Länge der Kontur (Abb. 1.5):

Umlauf = (mittlere Tangentenkomponente)·(Länge des Verfahrweges). (1.5)

Sie sehen, dass diese Definition tatsächlich eine Zahl ergibt, die proportional zur Zirkulationsgeschwindigkeit in einem Rohr ist, das durch eine tiefgefrorene Flüssigkeit gebohrt wird.

Nur mit diesen beiden Begriffen - dem Begriff der Strömung und dem Begriff der Zirkulation - sind wir in der Lage, alle Gesetze der Elektrizität und des Magnetismus zu beschreiben. Es mag für Sie schwierig sein, die Bedeutung der Gesetze klar zu verstehen, aber sie werden Ihnen eine Vorstellung davon geben, wie die Physik elektromagnetischer Phänomene letztendlich beschrieben werden kann.

§ 4. Gesetze des Elektromagnetismus

Der erste Hauptsatz des Elektromagnetismus beschreibt den Fluss eines elektrischen Feldes:

wobei e 0 eine Konstante ist (lesen Sie Epsilon Null). Wenn es keine Ladungen innerhalb der Oberfläche gibt, aber Ladungen außerhalb (sogar sehr nahe daran), dann egal Durchschnitt die Normalkomponente von E ist Null, also gibt es keine Strömung durch die Oberfläche. Um die Nützlichkeit einer solchen Aussage zu zeigen, beweisen wir, dass Gleichung (1.6) mit dem Coulombschen Gesetz übereinstimmt, wenn wir nur berücksichtigen, dass das Feld einer einzelnen Ladung kugelsymmetrisch sein muss. Zeichne eine Kugel um eine Punktladung. Dann ist die mittlere Normalkomponente an jedem Punkt genau gleich dem Wert von E, denn das Feld muss entlang des Radius gerichtet sein und an allen Punkten der Kugel den gleichen Betrag haben. Unsere Regel besagt dann, dass das Feld auf der Kugeloberfläche multipliziert mit der Kugelfläche (also der aus der Kugel fließende Fluss) proportional zur Ladung in ihr ist. Vergrößert man den Radius einer Kugel, so vergrößert sich ihre Fläche quadratisch zum Radius. Das Produkt der durchschnittlichen Normalkomponente des elektrischen Feldes und dieser Fläche muss immer noch gleich der inneren Ladung sein, also muss das Feld mit dem Quadrat der Entfernung abnehmen; somit wird das Feld der "inversen Quadrate" erhalten.

Nimmt man eine beliebige Kurve im Raum und misst entlang dieser Kurve die Zirkulation des elektrischen Feldes, so stellt sich heraus, dass diese im allgemeinen Fall nicht gleich Null ist (obwohl dies beim Coulomb-Feld der Fall ist). Stattdessen gilt der zweite Hauptsatz für Elektrizität und besagt dies

Und schließlich wird die Formulierung der Gesetze des elektromagnetischen Feldes vervollständigt, wenn wir zwei entsprechende Gleichungen für das Magnetfeld B schreiben:

Und für die Oberfläche S, begrenzte Kurve AUS:

Die in Gleichung (1.9) auftretende Konstante c 2 ist das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Sein Auftreten wird dadurch gerechtfertigt, dass der Magnetismus im Wesentlichen eine relativistische Manifestation der Elektrizität ist. Und die Konstante eo wurde gesetzt, damit die üblichen Einheiten der elektrischen Stromstärke entstehen.

Gleichungen (1.6) - (1.9) sowie Gleichung (1.1) - das sind alles Gesetze der Elektrodynamik.

Wie Sie sich erinnern, waren die Newtonschen Gesetze sehr einfach zu schreiben, aber viele komplexe Konsequenzen folgten aus ihnen, so dass es lange dauerte, sie alle zu studieren. Die Gesetze des Elektromagnetismus sind ungleich schwieriger zu schreiben, und wir müssen mit viel komplizierteren Folgen rechnen, und jetzt werden wir sie noch sehr lange verstehen müssen.

Wir können einige der Gesetze der Elektrodynamik mit einer Reihe einfacher Experimente veranschaulichen, die uns zumindest qualitativ die Beziehung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern zeigen können. Den ersten Term in Gleichung (1.1) lernst du kennen, indem du deine Haare kämmst, also reden wir nicht darüber. Der zweite Term in Gleichung (1.1) kann demonstriert werden, indem ein Strom durch einen Draht geleitet wird, der über einem Magnetstab hängt, wie in Abb. 1.6. Wenn der Strom eingeschaltet wird, bewegt sich der Draht aufgrund der Tatsache, dass eine Kraft F = qvXB auf ihn wirkt. Wenn ein Strom durch den Draht fließt, bewegen sich die Ladungen darin, dh sie haben eine Geschwindigkeit v, und das Magnetfeld des Magneten wirkt auf sie, wodurch sich der Draht wegbewegt.

Wenn der Draht nach links geschoben wird, kann erwartet werden, dass der Magnet selbst einen Schub nach rechts erfährt. (Andernfalls könnte dieses ganze Gerät auf einer Plattform montiert werden und ein reaktives System erhalten, in dem der Impuls nicht erhalten würde!) Obwohl die Kraft zu gering ist, um die Bewegung eines Magnetstabs zu bemerken, sagen wir die Bewegung eines empfindlicheren Geräts eine Kompassnadel, ist ziemlich auffällig.

Wie drückt der Strom im Draht den Magneten? Der durch den Draht fließende Strom erzeugt um ihn herum ein eigenes Magnetfeld, das auf den Magneten wirkt. Gemäß dem letzten Term in Gleichung (1.9) soll der Strom zu führen Verkehr Vektor B; in unserem Fall sind die Feldlinien B um den Draht geschlossen, wie in Abb. 1.7. Dieses Feld B ist für die auf den Magneten wirkende Kraft verantwortlich.

Feige.1.6. Magnetstab, der ein Feld in der Nähe des Drahtes erzeugt BEI.

Wenn Strom durch den Draht fließt, wird der Draht aufgrund der Kraft F = q verschoben vxb.

Gleichung (1.9) sagt uns, dass für eine gegebene Strommenge, die durch den Draht fließt, die Zirkulation des Feldes B gleich ist für irgendein Kurve, die den Draht umgibt. Die weit vom Draht entfernten Kurven (z. B. Kreise) haben eine größere Länge, sodass die Tangentenkomponente B abnehmen muss. Sie können sehen, dass erwartet werden sollte, dass B linear mit dem Abstand von einem langen geraden Draht abnimmt.

Wir haben gesagt, dass der Strom, der durch den Draht fließt, ein Magnetfeld um ihn herum bildet, und dass, wenn es ein Magnetfeld gibt, es mit einer gewissen Kraft auf den Draht wirkt, durch den der Strom fließt.

Feige.1.7. Das Magnetfeld des durch den Draht fließenden Stroms wirkt mit einer gewissen Kraft auf den Magneten.

Feige. 1.8. Zwei stromführende Drähte

wirken auch mit einer gewissen Kraft aufeinander.

Man sollte also denken, wenn ein Magnetfeld durch einen Strom erzeugt wird, der in einem Draht fließt, dann wirkt es mit einer gewissen Kraft auf den anderen Draht, durch den der Strom ebenfalls fließt. Dies kann an zwei frei hängenden Drähten gezeigt werden (Abb. 1.8). Wenn die Richtung der Ströme gleich ist, ziehen sich die Drähte an, und wenn die Richtungen entgegengesetzt sind, stoßen sie sich ab.

Kurz gesagt, elektrische Ströme erzeugen wie Magnete Magnetfelder. Aber was ist dann ein Magnet? Da Magnetfelder durch bewegte Ladungen erzeugt werden, kann es sich nicht herausstellen, dass das von einem Stück Eisen erzeugte Magnetfeld tatsächlich das Ergebnis der Wirkung von Strömen ist? Anscheinend ist das so. In unseren Experimenten ist es möglich, den Magnetstab durch eine Spule aus gewickeltem Draht zu ersetzen, wie in Abb. 1.9. Wenn der Strom durch die Spule fließt (sowie durch einen geraden Draht darüber), wird genau die gleiche Bewegung des Leiters beobachtet wie zuvor, als ein Magnet anstelle der Spule war. Alles sieht so aus, als würde in einem Stück Eisen ständig ein Strom zirkulieren. Tatsächlich können die Eigenschaften von Magneten als kontinuierlicher Strom innerhalb der Eisenatome verstanden werden. Die auf den Magneten wirkende Kraft in Abb. 1.7 wird durch den zweiten Term in Gleichung (1.1) erklärt.

Woher kommen diese Ströme? Eine Quelle ist die Bewegung von Elektronen in Atombahnen. Bei Eisen ist dies nicht der Fall, aber bei manchen Materialien liegt der Ursprung des Magnetismus genau darin. Das Elektron dreht sich nicht nur um den Kern eines Atoms, sondern auch um seine eigene Achse (ähnlich wie die Rotation der Erde); Aus dieser Rotation entsteht ein Strom, der ein Magnetfeld aus Eisen erzeugt. (Wir sagten „so etwas wie die Rotation der Erde“, weil die Materie in der Quantenmechanik tatsächlich so tief ist, dass sie nicht gut in klassische Konzepte passt.) In den meisten Substanzen drehen sich einige Elektronen in eine Richtung, andere in die andere andere, so dass der Magnetismus verschwindet, und im Eisen (aus einem mysteriösen Grund, den wir später besprechen werden) drehen sich viele Elektronen so, dass ihre Achsen in die gleiche Richtung zeigen, und dies ist die Quelle des Magnetismus.

Da die Felder von Magneten durch Ströme erzeugt werden, müssen keine zusätzlichen Terme in die Gleichungen (1.8) und (1.9) eingefügt werden, die die Existenz von Magneten berücksichtigen. Bei diesen Gleichungen geht es um alle Ströme, einschließlich kreisförmiger Ströme von rotierenden Elektronen, und das Gesetz erweist sich als richtig. Zu beachten ist auch, dass es nach Gleichung (1.8) auf der rechten Seite von Gleichung (1.6) keine den elektrischen Ladungen ähnlichen magnetischen Ladungen gibt. Sie wurden nie entdeckt.

Der erste Term auf der rechten Seite von Gleichung (1.9) wurde theoretisch von Maxwell entdeckt; er ist sehr wichtig. Er sagt Veränderung elektrisch Felder verursacht magnetische Phänomene. Tatsächlich würde die Gleichung ohne diesen Begriff ihre Bedeutung verlieren, da ohne ihn die Ströme in offenen Kreisen verschwinden würden. Aber tatsächlich gibt es solche Strömungen; das folgende Beispiel spricht davon. Stellen Sie sich einen Kondensator vor, der aus zwei flachen Platten besteht.

Feige. 1.9. Der in Abb. 1.6

kann durch eine Spule ersetzt werden, die fließt

Die Kraft wirkt immer noch auf den Draht.

Feige. 1.10. Die Zirkulation des Feldes B entlang der Kurve C wird entweder durch den durch die Fläche S fließenden Strom bestimmt 1 oder durch die Änderungsrate der Strömung, das Feld E durch die Oberfläche S 2 .

Es wird durch Strom aufgeladen, der in eine der Platten fließt und aus der anderen herausfließt, wie in Abb. 1.10. Zeichne eine Kurve um einen der Drähte AUS und spanne eine Fläche darüber (Oberfläche S 1 , das den Draht kreuzt. Gemäß Gleichung (1.9) die Zirkulation des Feldes B entlang der Kurve AUS ergibt sich aus der Stromstärke im Draht (multipliziert mit Mit 2 ). Aber was passiert, wenn wir an der Kurve ziehen Ein weiterer Oberfläche S 2 in Form eines Bechers, dessen Boden sich zwischen den Platten des Kondensators befindet und den Draht nicht berührt? Durch eine solche Fläche fließt natürlich kein Strom. Aber eine einfache Änderung der Position und Form einer imaginären Oberfläche sollte das reale Magnetfeld nicht verändern! Die Auflage von Feld B muss gleich bleiben. Tatsächlich wird der erste Term auf der rechten Seite von Gleichung (1.9) mit dem zweiten Term so kombiniert, dass für beide Oberflächen S 1 und S 2 derselbe Effekt auftritt. Zum S 2 Die Zirkulation des Vektors B wird als Grad der Änderung des Flusses des Vektors E von einer Platte zur anderen ausgedrückt. Und es stellt sich heraus, dass die Änderung von E gerade so mit dem Strom verbunden ist, dass Gleichung (1.9) erfüllt ist. Maxwell sah die Notwendigkeit dafür und war der erste, der die vollständige Gleichung aufstellte.

Mit dem in Abb. 1.6 lässt sich ein weiteres Gesetz des Elektromagnetismus demonstrieren. Trennen Sie die Enden des hängenden Drahts von der Batterie und befestigen Sie sie an einem Galvanometer - einem Gerät, das den Stromfluss durch den Draht aufzeichnet. Steht nur im Feld eines Magneten schwingen Draht, da der Strom sofort hindurchfließt. Dies ist eine neue Folgerung aus Gleichung (1.1): Die Elektronen im Draht spüren die Wirkung der Kraft F=qvXB. Ihre Geschwindigkeit ist nun zur Seite gerichtet, weil sie mit dem Draht ausweichen. Dieses v ergibt zusammen mit dem vertikal gerichteten Feld B des Magneten eine auf die Elektronen wirkende Kraft eine lange Drähte, und die Elektronen werden zum Galvanometer geschickt.

Nehmen wir jedoch an, wir lassen den Draht in Ruhe und beginnen, den Magneten zu bewegen. Wir glauben, dass es keinen Unterschied geben sollte, weil die relative Bewegung dieselbe ist und tatsächlich der Strom durch das Galvanometer fließt. Aber wie wirkt ein Magnetfeld auf ruhende Ladungen? Gemäß Gleichung (1.1) soll ein elektrisches Feld entstehen. Ein sich bewegender Magnet muss ein elektrisches Feld erzeugen. Die Frage, wie dies geschieht, wird quantitativ durch Gleichung (1.7) beantwortet. Diese Gleichung beschreibt viele praktisch sehr wichtige Phänomene, die in elektrischen Generatoren und Transformatoren auftreten.

Die bemerkenswerteste Konsequenz unserer Gleichungen ist, dass man durch Kombinieren der Gleichungen (1.7) und (1.9) verstehen kann, warum sich elektromagnetische Phänomene über große Entfernungen ausbreiten. Der Grund dafür ist grob gesagt ungefähr so: Angenommen, es gibt irgendwo ein Magnetfeld, das an Stärke zunimmt, beispielsweise weil plötzlich ein Strom durch den Draht fließt. Dann folgt aus Gleichung (1.7), dass die Zirkulation des elektrischen Feldes erfolgen soll. Wenn das elektrische Feld allmählich ansteigt, damit eine Zirkulation auftritt, muss gemäß Gleichung (1.9) auch eine magnetische Zirkulation stattfinden. Aber der Aufstieg Dies das magnetische Feld wird eine neue Zirkulation des elektrischen Feldes usw. erzeugen. Auf diese Weise breiten sich die Felder durch den Raum aus und erfordern weder Ladungen noch Ströme irgendwo außer der Quelle der Felder. Auf diese Weise haben wir sehen einander! All dies ist in den Gleichungen des elektromagnetischen Feldes verborgen.

§ 5. Was ist das – „Felder“?

Lassen Sie uns nun einige Bemerkungen darüber machen, wie wir diese Frage aufgegriffen haben. Sie mögen sagen: „All diese Ströme und Zirkulationen sind zu abstrakt. An jedem Punkt im Raum gäbe es ein elektrisches Feld, außerdem gibt es diese gleichen "Gesetze", aber was ist da tatsächlich Ereignis? Warum können Sie das alles nicht erklären, indem Sie sagen, etwas, was auch immer es ist, fließt zwischen den Anklagen?" Es hängt alles von Ihren Vorurteilen ab. Viele Physiker sagen oft, dass eine direkte Wirkung durch die Leere, durch nichts, undenkbar ist. (Wie können sie eine Idee als undenkbar bezeichnen, wenn sie bereits erfunden ist?) Sie sagen: „Sehen Sie, die einzigen Kräfte, die wir kennen, sind die direkte Wirkung eines Teils der Materie auf einen anderen. Es ist unmöglich, dass es Macht gibt, ohne etwas, das sie überträgt.“ Aber was passiert eigentlich, wenn wir die „direkte Wirkung“ eines Stücks Materie auf ein anderes untersuchen? Wir finden, dass der erste von ihnen überhaupt nicht auf dem zweiten "ruht"; sie sind leicht voneinander beabstandet, und zwischen ihnen wirken kleine elektrische Kräfte. Mit anderen Worten, wir stellen fest, dass wir die sogenannte "Wirkung durch direkten Kontakt" erklären werden - mit Hilfe eines Bildes elektrischer Kräfte. Natürlich ist es unvernünftig zu argumentieren, dass elektrische Kraft genauso aussehen sollte wie das alte gewohnheitsmäßige Muskel-Drücken-Ziehen, wenn sich herausstellt, dass alle unsere Versuche, zu ziehen oder zu drücken, elektrische Kräfte zur Folge haben! Die einzig vernünftige Frage ist, wie man elektrische Effekte berücksichtigt am bequemsten. Einige ziehen es vor, sie als Wechselwirkung von Ladungen in einer Entfernung darzustellen und verwenden ein komplexes Gesetz. Andere mögen Leylinien. Sie zeichnen sie die ganze Zeit, und es scheint ihnen, dass es zu abstrakt ist, verschiedene E und B zu schreiben. Aber Feldlinien sind nur eine grobe Art, ein Feld zu beschreiben, und es ist sehr schwierig, strenge, quantitative Gesetze direkt in Bezug auf Feldlinien zu formulieren. Darüber hinaus enthält das Konzept der Feldlinien nicht das tiefste Prinzip der Elektrodynamik - das Prinzip der Überlagerung. Selbst wenn wir wissen, wie die Kraftlinien eines Ladungssatzes dann eines anderen Satzes aussehen, werden wir immer noch keine Vorstellung von dem Bild der Kraftlinien bekommen, wenn beide Ladungssätze zusammen wirken. Und aus mathematischer Sicht ist die Auferlegung einfach, Sie müssen nur zwei Vektoren hinzufügen. Kraftlinien haben ihre Vorteile, sie geben ein klares Bild, aber sie haben auch ihre Nachteile. Die auf dem Konzept der direkten Wechselwirkung (Nahbereichswechselwirkung) basierende Argumentationsmethode hat ebenfalls große Vorteile, wenn es um ruhende elektrische Ladungen geht, hat aber auch große Nachteile, wenn es um schnelle Ladungsbewegungen geht.

Verwenden Sie am besten die abstrakte Darstellung des Feldes. Es ist natürlich schade, dass es abstrakt ist, aber nichts kann getan werden. Versuche, das elektrische Feld als die Bewegung irgendeiner Art von Zahnrädern oder mit Hilfe von Kraftlinien oder als Spannungen in manchen Materialien darzustellen, erforderten von Physikern mehr Aufwand, als es nötig wäre, einfach die richtigen Antworten auf die Probleme der Elektrodynamik zu finden. Interessanterweise wurden die korrekten Gleichungen für das Verhalten von Licht in Kristallen bereits 1843 von McCulloch abgeleitet. Aber alle sagten ihm: „Entschuldigen Sie, denn es gibt kein einziges reales Material, dessen mechanische Eigenschaften diese Gleichungen erfüllen könnten, und da Licht Schwingungen sind was stattfinden soll etwas Bisher können wir diesen abstrakten Gleichungen nicht glauben. Hätten seine Zeitgenossen diese Voreingenommenheit nicht, hätten sie viel früher an die richtigen Gleichungen für das Verhalten von Licht in Kristallen geglaubt, als es tatsächlich geschah.

Bezüglich Magnetfeldern kann die folgende Bemerkung gemacht werden. Nehmen wir an, Sie hätten es endlich geschafft, ein Bild des Magnetfelds mit einigen Linien oder einigen Zahnrädern zu zeichnen, die durch den Raum rollen. Anschließend versuchen Sie zu erklären, was passiert, wenn sich zwei Ladungen parallel und mit gleicher Geschwindigkeit im Raum bewegen. Da sie sich bewegen, verhalten sie sich wie zwei Ströme und haben ein zugehöriges Magnetfeld (wie die Ströme in den Drähten in Abb. 1.8). Aber ein Beobachter, der mit diesen beiden Ladungen dahineilt, wird sie für stationär halten und das sagen nein es gibt kein magnetfeld. Sowohl "Zahnräder" als auch "Linien" verschwinden, wenn Sie in die Nähe eines Objekts rasen! Alles, was Sie erreicht haben, ist erfunden Neu Problem. Wo könnten diese Zahnräder hin?! Wenn Sie Kraftlinien gezeichnet haben, werden Sie die gleiche Sorge haben. Es ist nicht nur unmöglich festzustellen, ob sich diese Linien mit den Ladungen bewegen oder nicht, sondern sie können im Allgemeinen in einem Koordinatensystem vollständig verschwinden.

Wir möchten auch betonen, dass das Phänomen des Magnetismus eigentlich ein rein relativistischer Effekt ist. Im eben betrachteten Fall zweier parallel zueinander bewegter Ladungen würde man erwarten, dass relativistische Korrekturen an ihrer Ordnungsbewegung vorgenommen werden müssten v 2 /c 2 . Diese Korrekturen müssen der Magnetkraft entsprechen. Aber was ist mit der Kraft der Wechselwirkung zwischen zwei Leitern in unserer Erfahrung (Abb. 1.8)? Schließlich gibt es eine magnetische Kraft alle wirkende Kraft. Es sieht nicht wirklich nach einer "relativistischen Korrektur" aus. Wenn Sie außerdem die Geschwindigkeiten der Elektronen im Draht schätzen (Sie können es selbst tun), erhalten Sie, dass ihre Durchschnittsgeschwindigkeit entlang des Drahts etwa 0,01 beträgt cm/Sek. Also ist v 2 /c 2 etwa 10 -2 5 . Eine völlig vernachlässigbare "Korrektur". Aber nein! Obwohl in diesem Fall die magnetische Kraft 10 -2 5 der "normalen" elektrischen Kraft beträgt, die zwischen sich bewegenden Elektronen wirkt, bedenken Sie, dass die "normalen" elektrischen Kräfte als Ergebnis eines nahezu perfekten Gleichgewichts aufgrund der Tatsache verschwunden sind, dass die Anzahl der Protonen und Elektronen in den Drähten sind gleich. Dieses Gleichgewicht ist viel genauer als 1/10 2 5 , und dieser kleine relativistische Term, den wir Magnetkraft nennen, ist der einzige verbleibende Term. Es wird dominant.

Die fast vollständige gegenseitige Vernichtung elektrischer Effekte ermöglichte es Physikern, relativistische Effekte (d. h. Magnetismus) zu untersuchen und die richtigen Gleichungen (mit einer Genauigkeit von v 2 /c 2) zu entdecken, ohne überhaupt zu wissen, was in ihnen vor sich ging. Und aus diesem Grund mussten nach der Entdeckung des Relativitätsprinzips die Gesetze des Elektromagnetismus nicht geändert werden. Im Gegensatz zur Mechanik waren sie bereits bis v 2 /c 2 korrekt.

§ 6. Elektromagnetismus in Wissenschaft und Technik

Abschließend möchte ich dieses Kapitel mit der folgenden Geschichte beenden. Unter den vielen Phänomenen, die von den alten Griechen untersucht wurden, gab es zwei sehr merkwürdige. Erstens konnte ein geriebener Bernstein kleine Papyrusfetzen anheben, und zweitens gab es in der Nähe der Stadt Magnesia erstaunliche Steine, die Eisen anzogen. Es ist seltsam zu glauben, dass dies die einzigen den Griechen bekannten Phänomene waren, in denen sich Elektrizität und Magnetismus manifestierten. Und warum ihnen nur das bekannt war, erklärt sich zunächst aus der sagenhaften Genauigkeit, mit der die Ladungen in den Körpern ausgeglichen werden (die wir bereits erwähnt haben). Wissenschaftler, die in späteren Zeiten lebten, entdeckten nacheinander neue Phänomene, in denen einige Aspekte der gleichen Wirkungen, die mit Bernstein und mit einem magnetischen Stein verbunden sind, zum Ausdruck kamen. Nun ist uns klar, dass sowohl die Phänomene der chemischen Wechselwirkung als auch letztlich das Leben selbst mit den Begriffen des Elektromagnetismus erklärt werden müssen.

Und als sich das Verständnis für das Thema Elektromagnetismus entwickelte, tauchten solche technischen Möglichkeiten auf, von denen die Alten nicht einmal träumen konnten: Es wurde möglich, Signale per Telegraf über große Entfernungen zu senden, um mit einer Person zu sprechen, die viele Kilometer von Ihnen entfernt ist, ohne die Hilfe beliebiger Kommunikationsleitungen, einschließlich riesiger Energiesysteme - großer Wasserturbinen, die durch viele hundert Kilometer Drahtleitungen mit einer anderen Maschine verbunden sind, die von einem Arbeiter mit einer einfachen Drehung des Rades in Bewegung gesetzt wird; viele tausend abzweigende drähte und zehntausende von maschinen an tausenden orten setzen verschiedene mechanismen in fabriken und wohnungen in bewegung. All dies dreht, bewegt, funktioniert aufgrund unserer Kenntnis der Gesetze des Elektromagnetismus.

Heute verwenden wir noch subtilere Effekte. Riesige elektrische Kräfte lassen sich sehr präzise erzeugen, kontrollieren und beliebig nutzen. Unsere Instrumente sind so empfindlich, dass wir feststellen können, was eine Person tut, indem sie Elektronen beeinflusst, die in einem Hunderte von Kilometern entfernten dünnen Metallstab gefangen sind. Dazu müssen Sie diesen Zweig nur als Fernsehantenne adaptieren!

In der Geschichte der Menschheit (wenn man sie beispielsweise in zehntausend Jahren betrachtet) wird das bedeutendste Ereignis des 19. Jahrhunderts zweifellos Maxwells Entdeckung der Gesetze der Elektrodynamik sein. Vor dem Hintergrund dieser wichtigen wissenschaftlichen Entdeckung wird der amerikanische Bürgerkrieg im selben Jahrzehnt wie ein kleiner Zwischenfall in der Provinz aussehen.

* Lediglich die Wahl des Umlaufzeichens muss vereinbart werden.