Und so weiter, es ist logisch, sich mit Gleichungen anderer Art vertraut zu machen. Als nächstes in der Reihe sind lineare Gleichungen, deren zielgerichtetes Studium im Algebraunterricht der 7. Klasse beginnt.

Es ist klar, dass Sie zuerst erklären müssen, was eine lineare Gleichung ist, eine Definition einer linearen Gleichung und ihrer Koeffizienten geben und ihre allgemeine Form zeigen müssen. Dann können Sie herausfinden, wie viele Lösungen eine lineare Gleichung in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten hat und wie die Wurzeln gefunden werden. Dies ermöglicht es Ihnen, mit der Lösung von Beispielen fortzufahren und dadurch die erlernte Theorie zu festigen. In diesem Artikel werden wir dies tun: Wir werden ausführlich auf alle theoretischen und praktischen Punkte in Bezug auf lineare Gleichungen und ihre Lösung eingehen.

Nehmen wir gleich an, dass wir hier nur lineare Gleichungen mit einer Variablen betrachten und in einem separaten Artikel die Lösungsprinzipien untersuchen werden lineare Gleichungen in zwei Variablen.

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Was ist eine lineare Gleichung?

Die Definition einer linearen Gleichung ist durch die Form ihrer Notation gegeben. Darüber hinaus weisen die Formulierungen der Definitionen linearer Gleichungen in verschiedenen Lehrbüchern der Mathematik und Algebra einige Unterschiede auf, die den Kern des Problems nicht beeinträchtigen.

Beispielsweise wird in einem Algebra-Lehrbuch für die 7. Klasse von Yu. N. Makarycheva und anderen eine lineare Gleichung wie folgt definiert:

Definition.

Gleichung eingeben ax=b, wobei x eine Variable ist, a und b Zahlen sind, heißt lineare Gleichung mit einer Variablen.

Lassen Sie uns Beispiele für lineare Gleichungen geben, die der stimmhaften Definition entsprechen. Zum Beispiel ist 5 x=10 eine lineare Gleichung mit einer Variablen x , hier ist der Koeffizient a 5 und die Zahl b ist 10 . Ein weiteres Beispiel: −2.3 y=0 ist ebenfalls eine lineare Gleichung, aber mit der Variablen y , wobei a=−2.3 und b=0 . Und in den linearen Gleichungen x=−2 und −x=3.33 ist a nicht explizit vorhanden und gleich 1 bzw. −1, während in der ersten Gleichung b=−2 und in der zweiten - b=3.33 .

Und ein Jahr zuvor wurden im Lehrbuch der Mathematik von N. Ya Vilenkin neben Gleichungen der Form a x = b auch lineare Gleichungen mit einer Unbekannten als Gleichungen betrachtet, die durch Übertragen von Termen von einer auf diese Form reduziert werden können Teil der Gleichung in einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen sowie durch Reduktion gleicher Terme. Nach dieser Definition sind Gleichungen der Form 5 x=2 x+6 usw. sind ebenfalls linear.

Im Algebra-Lehrbuch für 7 Klassen von A. G. Mordkovich findet sich wiederum die folgende Definition:

Definition.

Lineare Gleichung mit einer Variablen x ist eine Gleichung der Form a x+b=0 , wobei a und b Zahlen sind, die als Koeffizienten der linearen Gleichung bezeichnet werden.

Beispielsweise sind solche linearen Gleichungen 2 x−12=0, hier ist der Koeffizient a gleich 2 und b gleich −12 und 0,2 y+4,6=0 mit den Koeffizienten a=0,2 und b=4,6. Aber gleichzeitig gibt es Beispiele für lineare Gleichungen, die nicht die Form a x+b=0 haben, sondern a x=b , zum Beispiel 3 x=12 .

Damit wir in Zukunft keine Unstimmigkeiten haben, verstehen wir unter einer linearen Gleichung mit einer Variablen x und den Koeffizienten a und b eine Gleichung der Form a x+b=0 . Diese Art von linearer Gleichung scheint am ehesten gerechtfertigt zu sein, da es lineare Gleichungen sind algebraische Gleichungen erster Abschluss. Und alle anderen oben angegebenen Gleichungen sowie Gleichungen, die mit Hilfe von äquivalenten Transformationen auf die Form a x + b = 0 gebracht werden, werden aufgerufen Gleichungen, die auf lineare Gleichungen reduziert werden. Bei diesem Ansatz ist die Gleichung 2 x+6=0 eine lineare Gleichung und 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 usw. sind lineare Gleichungen.

Wie löst man lineare Gleichungen?

Jetzt ist es an der Zeit herauszufinden, wie die linearen Gleichungen a x+b=0 gelöst werden. Mit anderen Worten, es ist Zeit herauszufinden, ob die lineare Gleichung Wurzeln hat, und wenn ja, wie viele und wie man sie findet.

Das Vorhandensein von Wurzeln einer linearen Gleichung hängt von den Werten der Koeffizienten a und b ab. In diesem Fall hat die lineare Gleichung a x+b=0

• die einzige Wurzel bei a≠0 ,
• hat keine Wurzeln für a=0 und b≠0 ,
• hat unendlich viele Wurzeln für a=0 und b=0 , in diesem Fall ist jede Zahl eine Wurzel einer linearen Gleichung.

Lassen Sie uns erklären, wie diese Ergebnisse erzielt wurden.

Wir wissen, dass man zur Lösung von Gleichungen von der ursprünglichen Gleichung zu äquivalenten Gleichungen übergehen kann, also zu Gleichungen mit denselben Wurzeln oder, wie die ursprüngliche, ohne Wurzeln. Dazu können Sie die folgenden äquivalenten Transformationen verwenden:

• Übertragung eines Terms von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen,
• und auch das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten der Gleichung mit derselben Nicht-Null-Zahl.

In einer linearen Gleichung mit einer Variablen der Form a x+b=0 können wir also den Term b mit umgekehrtem Vorzeichen von der linken auf die rechte Seite verschieben. In diesem Fall nimmt die Gleichung die Form a x=−b an.

Und dann bietet sich die Division beider Gleichungsteile durch die Zahl a an. Aber es gibt eine Sache: Die Zahl a kann gleich Null sein, dann ist eine solche Division unmöglich. Um dieses Problem zu lösen, nehmen wir zunächst an, dass die Zahl a von Null verschieden ist, und betrachten den Fall von Null a etwas später separat.

Also, wenn a ungleich Null ist, dann können wir beide Teile der Gleichung a x=−b durch a dividieren, danach wird es in die Form x=(−b):a umgewandelt, dieses Ergebnis kann mit a geschrieben werden durchgezogene Linie als .

Somit ist für a≠0 die lineare Gleichung a·x+b=0 äquivalent zur Gleichung , aus der ihre Wurzel ersichtlich ist.

Es ist leicht zu zeigen, dass diese Wurzel eindeutig ist, das heißt, die lineare Gleichung hat keine anderen Wurzeln. Auf diese Weise können Sie die umgekehrte Methode ausführen.

Lassen Sie uns die Wurzel als x 1 bezeichnen. Angenommen, es gibt eine andere Wurzel der linearen Gleichung, die wir mit x 2 und x 2 ≠ x 1 bezeichnen, was aufgrund von Definitionen gleicher Zahlen durch die Differenz ist äquivalent zur Bedingung x 1 − x 2 ≠0 . Da x 1 und x 2 die Wurzeln der linearen Gleichung a x+b=0 sind, ergeben sich die Zahlengleichungen a x 1 +b=0 und a x 2 +b=0. Wir können die entsprechenden Teile dieser Gleichungen subtrahieren, was uns die Eigenschaften numerischer Gleichungen erlauben, wir haben a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , womit a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 und dann a (x 1 − x 2)=0 . Und diese Gleichheit ist unmöglich, da sowohl a≠0 als auch x 1 − x 2 ≠0. Damit sind wir auf einen Widerspruch gestoßen, der die Eindeutigkeit der Wurzel der linearen Gleichung a·x+b=0 für a≠0 beweist.

Wir haben also die lineare Gleichung a x+b=0 mit a≠0 gelöst. Das erste Ergebnis zu Beginn dieses Unterabschnitts ist gerechtfertigt. Es gibt noch zwei weitere, die die Bedingung a=0 erfüllen.

Für a=0 wird die lineare Gleichung a·x+b=0 zu 0·x+b=0 . Aus dieser Gleichung und der Eigenschaft, Zahlen mit Null zu multiplizieren, folgt, dass wir, egal welche Zahl wir als x nehmen, wenn wir sie in die Gleichung 0 x+b=0 einsetzen, die numerische Gleichheit b=0 erhalten. Diese Gleichheit ist wahr, wenn b=0 ist, und in anderen Fällen, wenn b≠0, ist diese Gleichheit falsch.

Daher ist bei a=0 und b=0 eine beliebige Zahl die Wurzel der linearen Gleichung a x+b=0, da unter diesen Bedingungen das Ersetzen einer beliebigen Zahl anstelle von x die korrekte numerische Gleichheit 0=0 ergibt. Und für a = 0 und b ≠ 0 hat die lineare Gleichung a x + b = 0 keine Wurzeln, da unter diesen Bedingungen das Einsetzen einer beliebigen Zahl anstelle von x zu einer falschen numerischen Gleichheit b = 0 führt.

Die obigen Begründungen ermöglichen es, eine Abfolge von Aktionen zu bilden, die das Lösen einer beliebigen linearen Gleichung ermöglichen. So, Algorithmus zum Lösen einer linearen Gleichung ist:

• Zuerst finden wir durch Schreiben einer linearen Gleichung die Werte der Koeffizienten a und b.
• Wenn a=0 und b=0 , dann hat diese Gleichung unendlich viele Wurzeln, nämlich jede Zahl ist eine Wurzel dieser linearen Gleichung.
• Wenn a von Null verschieden ist, dann
• der Koeffizient b wird mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite übertragen, während die lineare Gleichung in die Form a x=−b transformiert wird,
• Danach werden beide Teile der resultierenden Gleichung durch eine Zahl a dividiert, die nicht Null ist, was die gewünschte Wurzel der ursprünglichen linearen Gleichung ergibt.

Der geschriebene Algorithmus ist eine erschöpfende Antwort auf die Frage, wie man lineare Gleichungen löst.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist es erwähnenswert, dass ein ähnlicher Algorithmus verwendet wird, um Gleichungen der Form a x=b zu lösen. Der Unterschied liegt darin, dass bei a≠0 beide Gleichungsteile sofort durch diese Zahl dividiert werden, hier steht b bereits im gewünschten Gleichungsteil und muss nicht übertragen werden.

Um Gleichungen der Form a x=b zu lösen, wird der folgende Algorithmus verwendet:

• Wenn a=0 und b=0 , dann hat die Gleichung unendlich viele Wurzeln, die beliebige Zahlen sind.
• Wenn a=0 und b≠0 , dann hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.
• Wenn a nicht null ist, werden beide Seiten der Gleichung durch eine Zahl a geteilt, die nicht null ist, woraus die einzige Wurzel der Gleichung gleich b / a gefunden wird.

Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen

Fahren wir mit der Praxis fort. Lassen Sie uns analysieren, wie der Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen angewendet wird. Lassen Sie uns Lösungen typischer Beispiele vorstellen, die verschiedenen Werten der Koeffizienten linearer Gleichungen entsprechen.

Beispiel.

Lösen Sie die lineare Gleichung 0 x−0=0 .

Lösung.

In dieser linearen Gleichung ist a=0 und b=−0 , was dasselbe ist wie b=0 . Daher hat diese Gleichung unendlich viele Wurzeln, jede Zahl ist die Wurzel dieser Gleichung.

Antworten:

x ist eine beliebige Zahl.

Beispiel.

Hat die lineare Gleichung 0 x+2.7=0 Lösungen?

Lösung.

In diesem Fall ist der Koeffizient a gleich Null, und der Koeffizient b dieser linearen Gleichung ist gleich 2,7, das heißt, er ist von Null verschieden. Daher hat die lineare Gleichung keine Wurzeln.

Lineare Gleichungen. Lösung, Beispiele.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Lineare Gleichungen.

Lineare Gleichungen sind nicht das schwierigste Thema in der Schulmathematik. Aber es gibt einige Tricks, die selbst einen geübten Schüler verwirren können. Sollen wir es herausfinden?)

Eine lineare Gleichung wird normalerweise als eine Gleichung der Form definiert:

Axt + b = 0 wo A und B- beliebige Zahlen.

2x + 7 = 0. Hier a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 hier a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Hier a=12, b=1/2

Nichts kompliziertes, oder? Vor allem, wenn Sie die Worte nicht bemerken: "wobei a und b beliebige Zahlen sind"... Und wenn Sie es bemerken, aber unachtsam darüber nachdenken?) Immerhin, wenn a=0, b=0(beliebige Zahlen möglich?), dann bekommen wir einen komischen Ausdruck:

Aber das ist nicht alles! Wenn, sagen wir, a=0, a b=5, es stellt sich etwas ganz Absurdes heraus:

Was das Vertrauen in Mathematik strapaziert und untergräbt, ja ...) Vor allem in Klausuren. Aber von diesen seltsamen Ausdrücken müssen Sie auch X finden! Was es gar nicht gibt. Und überraschenderweise ist dieses X sehr leicht zu finden. Wir werden lernen, wie es geht. In dieser Lektion.

Wie erkennt man eine lineare Gleichung im Aussehen? Es kommt darauf an, welches Aussehen.) Der Trick ist, dass lineare Gleichungen nicht nur Gleichungen der Form genannt werden Axt + b = 0 , sondern auch beliebige Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form gebracht werden. Und wer weiß, ob es reduziert ist oder nicht?)

In manchen Fällen ist eine lineare Gleichung deutlich zu erkennen. Sprich, wenn wir eine Gleichung haben, in der es nur Unbekannte ersten Grades gibt, ja Zahlen. Und die Gleichung nicht Brüche dividiert durch Unbekannt , es ist wichtig! Und Division durch Nummer, oder ein numerischer Bruch - das war's! Zum Beispiel:

Dies ist eine lineare Gleichung. Hier gibt es Brüche, aber es gibt keine x im Quadrat, im Würfel usw. und es gibt keine x in den Nennern, d.h. Nein Division durch x. Und hier ist die Gleichung

kann nicht als linear bezeichnet werden. Hier sind x alle im ersten Grad, aber es gibt Division durch Ausdruck mit x. Nach Vereinfachungen und Transformationen können Sie eine lineare Gleichung und eine quadratische Gleichung und alles, was Sie möchten, erhalten.

Es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, eine lineare Gleichung in einem komplizierten Beispiel zu finden, bis Sie sie fast gelöst haben. Es ist ärgerlich. Aber bei Aufgaben wird in der Regel nicht nach der Form der Gleichung gefragt, oder? In Aufgaben werden Gleichungen geordnet sich entscheiden. Es gefällt.)

Lösung linearer Gleichungen. Beispiele.

Die gesamte Lösung linearer Gleichungen besteht aus identischen Transformationen von Gleichungen. Diese Transformationen (bis zu zwei!) liegen übrigens den Lösungen zugrunde alle Gleichungen der Mathematik. Mit anderen Worten, die Entscheidung irgendein Die Gleichung beginnt mit denselben Transformationen. Im Fall von linearen Gleichungen endet es (die Lösung) dieser Transformationen mit einer vollwertigen Antwort. Es ist sinnvoll, dem Link zu folgen, oder?) Außerdem gibt es auch Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen.

Beginnen wir mit dem einfachsten Beispiel. Ohne Fallstricke. Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen.

x - 3 = 2 - 4x

Dies ist eine lineare Gleichung. Xs stehen alle in der ersten Potenz, es gibt keine Division durch X. Aber eigentlich ist es uns egal, wie die Gleichung lautet. Wir müssen es lösen. Das Schema hier ist einfach. Sammle alles mit x auf der linken Seite der Gleichung, alles ohne x (Zahlen) auf der rechten Seite.

Dazu müssen Sie umbuchen - 4x nach links, natürlich mit Vorzeichenwechsel, aber - 3 - Nach rechts. Das ist übrigens erste identische Transformation von Gleichungen.Überrascht? Also sind sie dem Link nicht gefolgt, aber vergebens ...) Wir bekommen:

x + 4x = 2 + 3

Wir geben ähnlich, wir betrachten:

Was brauchen wir, um vollkommen glücklich zu sein? Ja, damit links ein sauberes X steht! Fünf steht im Weg. Befreien Sie sich von den fünf mit zweite identische Transformation von Gleichungen. Wir teilen nämlich beide Teile der Gleichung durch 5. Wir erhalten eine fertige Antwort:

Natürlich ein elementares Beispiel. Dies ist zum Aufwärmen.) Es ist nicht ganz klar, warum ich mich hier an identische Transformationen erinnerte? Okay. Wir packen den Stier bei den Hörnern.) Entscheiden wir uns für etwas Beeindruckenderes.

Hier ist zum Beispiel diese Gleichung:

Mit was fangen wir an? Mit X - nach links, ohne X - nach rechts? Könnte so sein. Kleine Schritte entlang der langen Straße. Und das können Sie sofort, auf universelle und kraftvolle Weise. Es sei denn natürlich, in Ihrem Arsenal gibt es identische Transformationen von Gleichungen.

Ich stelle Ihnen eine zentrale Frage: Was missfällt dir an dieser Gleichung am meisten?

95 von 100 Personen werden antworten: Brüche ! Die Antwort ist richtig. Also lasst uns sie loswerden. Also fangen wir gleich an zweite identische Transformation. Womit multiplizierst du den Bruch auf der linken Seite, sodass der Nenner vollständig gekürzt wird? Richtig, 3. Und rechts? Mit 4. Aber Mathe erlaubt uns, beide Seiten mit zu multiplizieren die gleiche Nummer. Wie kommen wir raus? Lass uns beide Seiten mit 12 multiplizieren! Diese. auf einen gemeinsamen Nenner. Dann werden die drei reduziert und die vier. Vergessen Sie nicht, dass Sie jeden Teil multiplizieren müssen völlig. So sieht der erste Schritt aus:

Erweitern der Klammern:

Beachten Sie! Zähler (x+2) Ich habe Klammern genommen! Denn beim Multiplizieren von Brüchen wird der Zähler komplett mit dem Ganzen multipliziert! Und jetzt können Sie Brüche kürzen und kürzen:

Öffnen der restlichen Klammern:

Kein Beispiel, sondern reines Vergnügen!) Jetzt erinnern wir uns an den Spruch aus den unteren Klassen: mit x - nach links, ohne x - nach rechts! Und wenden Sie diese Transformation an:

Hier sind einige wie:

Und wir teilen beide Teile durch 25, d.h. wenden Sie die zweite Transformation erneut an:

Das ist alles. Antworten: X=0,16

Achtung: Um die ursprünglich verwirrende Gleichung in eine angenehme Form zu bringen, haben wir zwei (nur zwei!) identische Transformationen- Übersetzung von links nach rechts mit Vorzeichenwechsel und Multiplikationsdivision der Gleichung durch dieselbe Zahl. Das ist der universelle Weg! Wir werden auf diese Weise arbeiten irgendein Gleichungen! Absolut beliebig. Deshalb wiederhole ich diese identischen Transformationen ständig.)

Wie Sie sehen können, ist das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen einfach. Wir nehmen die Gleichung und vereinfachen sie mit Hilfe identischer Transformationen, bis wir die Antwort erhalten. Die Hauptprobleme liegen hier in den Berechnungen und nicht im Prinzip der Lösung.

Aber ... Es gibt solche Überraschungen beim Lösen der elementarsten linearen Gleichungen, die sie in eine starke Benommenheit treiben können ...) Glücklicherweise kann es nur zwei solcher Überraschungen geben. Nennen wir sie Sonderfälle.

Spezialfälle beim Lösen linearer Gleichungen.

Erstmal überraschen.

Angenommen, Sie stoßen auf eine elementare Gleichung, etwa wie folgt:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Etwas gelangweilt wechseln wir mit X nach links, ohne X - nach rechts ... Mit einem Vorzeichenwechsel ist alles Chin-Chinar ... Wir bekommen:

2x-5x+3x=5-2-3

Wir glauben, und ... oh mein Gott! Wir bekommen:

An sich ist diese Gleichheit nicht zu beanstanden. Null ist wirklich Null. Aber X ist weg! Und wir müssen in die Antwort schreiben, was x gleich ist. Sonst zählt die Lösung nicht, ja...) Eine Sackgasse?

Ruhig! In solchen Zweifelsfällen gelten die allgemeinsten Regeln. Wie löst man Gleichungen? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Das heisst, Finden Sie alle Werte von x, die uns, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, die richtige Gleichheit geben.

Aber wir haben die richtige Gleichheit schon passiert! 0=0, wo eigentlich?! Es bleibt herauszufinden, bei welchen x dies erreicht wird. In welche Werte von x können sie eingesetzt werden Original Gleichung, wenn diese x's immer noch auf null schrumpfen? Komm schon?)

Ja!!! Xs können ersetzt werden irgendein! Was willst du. Mindestens 5, mindestens 0,05, mindestens -220. Sie werden trotzdem schrumpfen. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen.) Ersetzen Sie beliebige x-Werte in Original gleichsetzen und berechnen. Die ganze Zeit wird die reine Wahrheit erhalten: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 und so weiter.

Hier ist Ihre Antwort: x ist eine beliebige Zahl.

Die Antwort kann in verschiedenen mathematischen Symbolen geschrieben werden, die Essenz ändert sich nicht. Dies ist eine völlig korrekte und vollständige Antwort.

Überraschung an zweiter Stelle.

Nehmen wir dieselbe elementare lineare Gleichung und ändern nur eine Zahl darin. So werden wir entscheiden:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nach denselben identischen Transformationen erhalten wir etwas Faszinierendes:

So. Eine lineare Gleichung gelöst, eine seltsame Gleichheit erhalten. Mathematisch gesehen haben wir falsche Gleichheit. Und in einfachen Worten, das ist nicht wahr. Rave. Aber trotzdem ist dieser Unsinn ein ziemlich guter Grund für die richtige Lösung der Gleichung.)

Auch hier denken wir nach allgemeinen Regeln. Was x, wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, uns geben wird Korrekt Gleichberechtigung? Ja, keine! Es gibt keine solchen xes. Was auch immer Sie ersetzen, alles wird reduziert, Unsinn bleibt.)

Hier ist Ihre Antwort: es gibt keine lösungen.

Dies ist auch eine vollkommen gültige Antwort. In der Mathematik kommen solche Antworten häufig vor.

So. Nun, ich hoffe, der Verlust von Xs beim Lösen einer (nicht nur linearen) Gleichung wird Sie überhaupt nicht stören. Die Sache ist bekannt.)

Nachdem wir uns nun mit allen Fallstricken in linearen Gleichungen befasst haben, ist es sinnvoll, sie zu lösen.

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Ministerium für allgemeine und berufliche Bildung der Russischen Föderation

Städtische Bildungseinrichtung

Gymnasium Nr. 12

Aufsatz

zum Thema: Gleichungen und Wege zu ihrer Lösung

Abgeschlossen: Schüler 10 "A"-Klasse

Krutko Evgeny

Geprüft: Mathematiklehrerin Iskhakova Gulsum Akramovna

Tjumen 2001

Planen................................................. ................................................. . ............................... eines

Einleitung .................................................... . ................................................ .. ......................... 2

Hauptteil................................................ .................................................. ............... 3

Fazit................................................. ................................................. . ................ 25

Anwendung................................................. ................................................. . ............... 26

Referenzenliste ............................................... ......................... ................... ... 29

Planen.

Einführung.

Geschichtlicher Bezug.

Gleichungen. Algebraische Gleichungen.

a) Grundlegende Definitionen.

b) Lineare Gleichung und wie man sie löst.

c) Quadratische Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.

d) Zweigliedrige Gleichungen, ein Weg, sie zu lösen.

e) Kubische Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.

f) Biquadratische Gleichung und Verfahren zu ihrer Lösung.

g) Gleichungen vierten Grades und Methoden zu ihrer Lösung.

g) Gleichungen hoher Ordnung und Methoden aus der Lösung.

h) Rationale algebraische Gleichung und ihre Methode

i) Irrationale Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.

j) Gleichungen, die die Unbekannte unter dem Vorzeichen enthalten.

absoluter Wert und wie man ihn löst.

Transzendente Gleichungen.

a) Exponentialgleichungen und wie man sie löst.

b) Logarithmische Gleichungen und wie man sie löst.

Einführung

Die mathematische Bildung an einer allgemeinbildenden Schule ist ein wesentlicher Bestandteil der allgemeinen Bildung und der allgemeinen Kultur eines modernen Menschen. Fast alles, was einen modernen Menschen umgibt, ist auf die eine oder andere Weise mit Mathematik verbunden. Und die neuesten Errungenschaften in Physik, Technik und Informatik lassen keinen Zweifel daran, dass dies auch in Zukunft so bleiben wird. Daher wird die Lösung vieler praktischer Probleme auf das Lösen verschiedener Arten von Gleichungen reduziert, deren Lösung erlernt werden muss.

Diese Arbeit ist ein Versuch, das untersuchte Material zu dem oben genannten Thema zu verallgemeinern und zu systematisieren. Ich habe das Material nach dem Grad seiner Komplexität geordnet, beginnend mit dem einfachsten. Es enthält sowohl die uns aus dem Schulkurs Algebra bekannten Gleichungstypen als auch zusätzliches Material. Gleichzeitig habe ich versucht, die Arten von Gleichungen aufzuzeigen, die im Schulkurs nicht studiert werden, deren Kenntnis jedoch beim Eintritt in eine höhere Bildungseinrichtung erforderlich sein kann. In meiner Arbeit habe ich mich beim Lösen von Gleichungen nicht nur auf eine reelle Lösung beschränkt, sondern auch eine komplexe angegeben, da ich glaube, dass sonst die Gleichung einfach nicht gelöst wird. Wenn es keine echten Wurzeln in der Gleichung gibt, bedeutet dies schließlich nicht, dass sie keine Lösungen hat. Leider war es mir aus Zeitmangel nicht möglich, das gesamte Material, das ich habe, vorzustellen, aber selbst bei dem Material, das hier präsentiert wird, können viele Fragen auftauchen. Ich hoffe, dass mein Wissen ausreicht, um die meisten Fragen zu beantworten. Also werde ich das Material präsentieren.

Mathematik... offenbart Ordnung

Symmetrie und Gewissheit,

und das sind die wichtigsten Arten von Schönheit.

Aristoteles.

Geschichtlicher Bezug

In jenen fernen Zeiten, als die Weisen anfingen, über Gleichheiten mit unbekannten Mengen nachzudenken, gab es wahrscheinlich noch keine Münzen oder Brieftaschen. Aber auf der anderen Seite gab es Haufen, sowie Töpfe, Körbe, die perfekt für die Rolle von Caches geeignet waren – Speicher, die eine unbekannte Anzahl von Gegenständen enthielten. "Wir suchen nach einem Haufen, der zusammen mit zwei Dritteln davon, einem halben und einem Siebtel, 37 ist ...", lehrte der ägyptische Schreiber Ahmes im 2. Jahrtausend v. In den alten mathematischen Problemen Mesopotamiens, Indiens, Chinas, Griechenlands drückten unbekannte Größen die Anzahl der Pfauen im Garten, die Anzahl der Stiere in der Herde, die Gesamtheit der Dinge aus, die bei der Aufteilung des Eigentums berücksichtigt wurden. Schreiber, Beamte und Priester, eingeweiht in geheimes Wissen, gut ausgebildet in der Wissenschaft des Zählens, bewältigten solche Aufgaben ziemlich erfolgreich.

Quellen, die uns überliefert sind, weisen darauf hin, dass alte Wissenschaftler einige allgemeine Methoden zur Lösung von Problemen mit unbekannten Größen besaßen. Doch kein einziger Papyrus, keine einzige Tontafel beschreibt diese Techniken. Nur gelegentlich versahen die Autoren ihre Zahlenkalkulationen mit fiesen Kommentaren wie: "Schau mal!", "Mach es!", "Du hast es richtig gefunden." Eine Ausnahme bildet in diesem Sinne die "Arithmetik" des griechischen Mathematikers Diophantus von Alexandria (III. Jahrhundert) - eine Sammlung von Problemen zum Erstellen von Gleichungen mit einer systematischen Darstellung ihrer Lösungen.

Das erste Handbuch zur Problemlösung, das weithin bekannt wurde, war jedoch das Werk eines Bagdad-Gelehrten des 9. Jahrhunderts. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Das Wort "al-jabr" aus dem arabischen Titel dieser Abhandlung - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Das Buch der Wiederherstellung und Kontrastierung") - wurde im Laufe der Zeit zu dem Wort "Algebra", das allen bekannt ist, und die Arbeit von al-Khwarizmi selbst diente als Ausgangspunkt für die Entwicklung der Wissenschaft des Lösens von Gleichungen.

Gleichungen. Algebraische Gleichungen

Grundlegende Definitionen

In der Algebra werden zwei Arten von Gleichheiten betrachtet - Identitäten und Gleichungen.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle (zulässigen) Werte der Buchstaben gilt). Um die Identität zusammen mit dem Zeichen zu schreiben

Das Zeichen wird ebenfalls verwendet.

Die gleichung- Dies ist eine Gleichheit, die nur für einige Werte der darin enthaltenen Buchstaben erfüllt ist. Die in der Gleichung enthaltenen Buchstaben können je nach Zustand des Problems ungleich sein: Einige können alle ihre zulässigen Werte annehmen (sie heißen Parameter oder Koeffizienten Gleichungen und werden normalerweise mit den Anfangsbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet:

, , ... – oder die gleichen Buchstaben, versehen mit Indizes: , , ... oder , , ...); andere, deren Werte gefunden werden sollen, werden genannt Unbekannt(sie werden normalerweise mit den letzten Buchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: , , , ... - oder mit den gleichen Buchstaben, versehen mit Indizes: , , ... oder , , ...).

Im Allgemeinen kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(, , ..., ).

Je nach Anzahl der Unbekannten nennt man die Gleichung eine Gleichung mit einer, zwei usw. Unbekannten.

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Unterrichtsziele:

Tutorials:

• Verallgemeinern Sie das Wissen über alle Arten von Gleichungen, betonen Sie die Bedeutung aller Methoden, die zum Lösen von Gleichungen verwendet werden.
• Aktivierung der Arbeit der Schüler durch eine Vielzahl von Techniken im Klassenzimmer.
• Testen Sie theoretische und praktische Fähigkeiten beim Lösen von Gleichungen.
• Weisen Sie darauf hin, dass eine Gleichung auf mehrere Arten gelöst werden kann

Entwicklung:

• Steigern Sie das Interesse der Schüler am Fach durch den Einsatz von IKT.
• Vertrautmachen der Studierenden mit historischem Material zum Thema.
• Die Entwicklung der geistigen Aktivität bei der Bestimmung der Art der Gleichung und der Lösungsmöglichkeiten.

Lehrreich:

• Kultivieren Sie Disziplin im Klassenzimmer.
• Die Entwicklung der Fähigkeit, das Schöne in sich selbst, in einer anderen Person und in der Welt um uns herum wahrzunehmen.

Unterrichtstyp:

• Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens.

Art des Unterrichts:

• Kombiniert.

Material und technische Ausstattung:

• Computer
• Bildschirm
• Beamer
• Disk mit Themenpräsentation

Methoden und Techniken:

• Verwenden einer Präsentation
• Frontales Gespräch
• Mündliche Arbeit
• Spielmomente
• Partnerarbeit
• Whiteboard-Arbeit
• Arbeiten Sie in Notizbüchern

Unterrichtsplan:

1. Organisatorischer Moment (1 Minute)
2. Unterrichtsthema entziffern (3 Minuten)
3. Präsentation des Themas und Zwecks der Lektion (1 Minute)
4. Theoretisches Aufwärmen (3 Minuten)
5. Historische Exkursion (3 Minuten)
6. Das Spiel "Entferne den Überschuss" (2 Minuten)
7. Kreatives Arbeiten (2 Minuten)
8. Aufgabe „Finde den Fehler“ (2 Minuten)
9. Eine Gleichung auf mehrere Arten lösen (auf einer Folie) (3 Minuten)
10. Eine Gleichung auf mehrere Arten lösen (an der Tafel) (24 Minuten)
11. Eigenständiges Arbeiten zu zweit mit weiterer Erläuterung (5 Minuten)
12. Individuelle Hausaufgaben (1 Minute)
13. Das Ergebnis der Reflexionsstunde (1 Minute)

Inschrift der Lektion:

„Lernen kann nur Spaß machen, um Wissen zu verdauen, muss man es mit Appetit aufnehmen.“
A. Frankreich

Zusammenfassung der Lektion

Organisatorischer Teil

Ich überprüfe die Bereitschaft der Schüler für den Unterricht, markiere diejenigen, die im Unterricht fehlen. Guys, der französische Schriftsteller des 19. Jahrhunderts, A. France, bemerkte einmal: „Lernen kann nur Spaß machen, um Wissen zu verdauen, muss man es mit Appetit aufnehmen.“ Folgen wir also dem Rat des Autors in unserer Lektion und verdauen das Wissen mit großem Appetit, denn es wird in unserem Leben nützlich sein.

Das Thema der Lektion entziffern

Um zu einer schwierigeren Aufgabe überzugehen, fordern wir unser Gehirn mit einfachen Aufgaben heraus. Das Thema unserer Lektion ist verschlüsselt, indem wir mündliche Aufgaben lösen und eine Antwort darauf finden, da wir wissen, dass jede Antwort einen eigenen Buchstaben hat, werden wir das Thema der Lektion enthüllen. Präsentationsfolie 3

Nachricht über das Thema und den Zweck der Lektion

Sie selbst haben heute das Thema der Stunde benannt

"Arten von Gleichungen und Wege zu ihrer Lösung". Präsentationsfolie 4

Zweck: Erinnern und verallgemeinern Sie alle Arten von Gleichungen und wie man sie löst. Löse eine Gleichung auf alle Arten. Präsentationsfolie 5 Lesen Sie Einsteins Aussage Präsentationsfolie 5

Theoretisches Aufwärmen

Fragen Präsentationsfolie 7

Antworten

1. Eine Gleichheit, die eine durch einen Buchstaben gekennzeichnete Variable enthält.
2. Das bedeutet, alle seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt.
3. Der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung eine wahre Gleichheit wird.
4. Lesen Sie nach dieser Definition ein Gedicht über die Gleichung Präsentationsfolie 12,13,14

Antworten auf die letzten 2 Fragen Präsentationsfolie 9,10,11

Historischer Exkurs

Historische Anmerkung zu „Wer und wann erfand die Gleichung“ Präsentationsfolie 15

Stellen Sie sich vor, eine primitive Mutter mit dem Namen ... aber sie hatte wahrscheinlich nicht einmal einen Namen, hat 12 Äpfel von einem Baum gepflückt, um sie jedem ihrer 4 Kinder zu geben. Sie wusste wahrscheinlich nicht, wie man nicht nur bis 12 zählt, sondern auch bis vier, und wusste schon gar nicht, wie man 12 durch 4 teilt. Und sie teilte die Äpfel, wahrscheinlich so: Zuerst gab sie jedem Kind einen Apfel, dann noch einen Apfel, dann noch einen allein und dann sah ich, dass es keine Äpfel mehr gab und die Kinder sich freuten. Wenn wir diese Aktionen in der modernen mathematischen Sprache aufschreiben, erhalten wir x4 = 12, das heißt, Mama hat das Problem gelöst, eine Gleichung zu erstellen. Es scheint unmöglich, die obige Frage zu beantworten. Probleme, die zur Lösung von Gleichungen führen, werden von Menschen auf der Grundlage des gesunden Menschenverstandes gelöst, seit sie Menschen wurden. Bereits 3-4 Tausend Jahre v. Chr. waren die Ägypter und Babylonier in der Lage, die einfachsten Gleichungen zu lösen, deren Form und Lösungsmethoden den modernen nicht ähnlich waren. Die Griechen erbten das Wissen der Ägypter und gingen weiter. Den größten Erfolg bei der Entwicklung der Gleichungslehre erzielte der griechische Wissenschaftler Diophantus (III. Jahrhundert), über den sie schrieben:

Er hat viele Probleme gelöst.
Und vorhergesagte Gerüche und Duschen.
Wahrlich, sein Wissen ist wundersam.

Einen großen Beitrag zur Lösung von Gleichungen leistete der zentralasiatische Mathematiker Muhammad al Khorezmi (9. Jahrhundert). Sein berühmtes Buch al-Khwarizmi widmet sich dem Lösen von Gleichungen. Es heißt „Kitab al-jabr wal-muqabala“, d. h. „Das Buch der Ergänzung und Kontrastierung“. Dieses Buch wurde den Europäern bekannt, und aus dem Wort "al-jabr" aus seinem Titel entstand das Wort "Algebra" - der Name eines der Hauptteile der Mathematik. In der Zukunft beschäftigten sich viele Mathematiker mit Gleichungsproblemen. Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf die Form x2+in=0, wurde von dem deutschen Mathematiker Stiefel formuliert, der im 15. Jahrhundert lebte. Nach den Arbeiten des niederländischen Mathematikers Girard (16. Jahrhundert) sowie Descartes und Newton nahm die Lösungsmethode ein modernes Aussehen an. Die Formeln, die die Abhängigkeit der Wurzeln der Gleichung von ihren Koeffizienten ausdrücken, wurden von Vieta eingeführt. François Viet lebte im 16. Jahrhundert. Er leistete einen großen Beitrag zum Studium verschiedener Probleme in Mathematik und Astronomie; insbesondere führte er Buchstabenbezeichnungen für die Koeffizienten einer Gleichung ein. Und jetzt werden wir eine interessante Episode aus seinem Leben kennenlernen. Viet erlangte während des Spanisch-Französischen Krieges unter König Heinrich III. große Berühmtheit. Die spanischen Inquisitoren erfanden eine sehr komplexe geheime Schrift, dank der die Spanier sogar in Frankreich selbst mit den Feinden Heinrichs III. Korrespondierten.

Vergeblich versuchten die Franzosen, den Schlüssel zur Chiffre zu finden, und dann wandte sich der König an Vieta. Sie sagen, dass Viet den Schlüssel zur Chiffre in zwei Wochen ununterbrochener Arbeit gefunden hat, woraufhin Frankreich unerwartet für Spanien begann, eine Schlacht nach der anderen zu gewinnen. Die Spanier waren sich sicher, dass es unmöglich war, die Chiffre zu entziffern, beschuldigten Vieta, eine Verbindung zum Teufel zu haben, und verurteilten ihn, auf dem Scheiterhaufen verbrannt zu werden. Glücklicherweise wurde er nicht an die Inquisition ausgeliefert und ging als großer Mathematiker in die Geschichte ein.

Das Spiel "Entferne den Überschuss"

Zweck des Spiels Orientierung in Form von Gleichungen.

Wir erhalten drei Spalten mit Gleichungen, in jeder von ihnen werden die Gleichungen durch ein Merkmal bestimmt, aber eine davon ist überflüssig, Ihre Aufgabe ist es, sie zu finden und zu charakterisieren. Präsentationsfolie 16

kreative Arbeit

Der Zweck dieser Aufgabe: Hörverstehen von mathematischer Sprache, die Kinder in Form von Gleichungen orientiert.

Auf dem Bildschirm sehen Sie 9 Gleichungen. Jede Gleichung hat ihre eigene Nummer, ich nenne den Typ dieser Gleichung, und Sie müssen eine Gleichung dieses Typs finden und nur die Nummer eingeben, unter der sie steht, als Ergebnis erhalten Sie eine 9-stellige Nummer Präsentationsfolie 17

1. Die reduzierte quadratische Gleichung.
2. Bruchrationale Gleichung
3. kubische gleichung
4. logarithmische Gleichung
5. Lineare Gleichung
6. Unvollständige quadratische Gleichung
7. Exponentialgleichung
8. irrationale Gleichung
9. trigonometrische Gleichung

Aufgabe „Finde den Fehler“

Ein Schüler hat Gleichungen gelöst, aber die ganze Klasse hat gelacht, er hat in jeder Gleichung einen Fehler gemacht, Ihre Aufgabe ist es, ihn zu finden und zu korrigieren. Präsentationsfolie 18

Lösen einer Gleichung auf mehrere Arten

Und jetzt lösen wir eine Gleichung auf alle möglichen Arten, um im Unterricht Zeit zu sparen, eine Gleichung auf dem Bildschirm. Nun werden Sie den Typ dieser Gleichung benennen und erklären, mit welcher Methode diese Gleichung gelöst wird Präsentationsfolien 19-27

Eine Gleichung auf mehrere Arten lösen (an der Tafel)

Wir haben uns das Beispiel angesehen, jetzt lösen wir die Gleichung an der Tafel auf alle möglichen Arten.

X-2 - irrationale Gleichung

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren.

X2+2x+4x-1-4=0

Wir lösen diese Gleichung an der Tafel auf 9 Arten.

Eigenständiges Arbeiten zu zweit mit anschließender Erläuterung an der Tafel

Und jetzt arbeiten Sie zu zweit, ich gebe dem Schreibtisch eine Gleichung, Ihre Aufgabe ist es, die Art der Gleichung zu bestimmen, alle Möglichkeiten aufzulisten, um diese Gleichung zu lösen, 1-2 auf die rationalste Weise für Sie zu lösen. (2 Minuten)

Aufgaben für die Arbeit zu zweit

Löse die Gleichung

Nach unabhängiger Arbeit in Paaren geht ein Vertreter zur Tafel, stellt seine Gleichung vor und löst sie auf eine Weise

Individuelle Hausaufgaben(differenzierbar)

Löse die Gleichung

(Gleichungstyp bestimmen, unbedingt auf separatem Blatt lösen)

Zusammenfassung der Reflexionsstunde.

Ich fasse die Lektion zusammen, mache darauf aufmerksam, dass eine Gleichung auf viele Arten gelöst werden kann, gebe Noten, schließe, wer aktiv war und wer aktiver sein muss. Ich habe Kalinins Aussage Präsentationsfolie 28 gelesen

Sehen Sie sich die Ziele, die wir uns für die heutige Lektion gesetzt haben, genau an:

• Was haben wir Ihrer Meinung nach erreichen können?
• Was lief nicht gut?
• Was hat Ihnen besonders gut gefallen und ist Ihnen in Erinnerung geblieben?
• Heute habe ich was neues gelernt...
• Der Unterricht hat mir geholfen...
• Es war schwer für mich...
• Ich habe den Unterricht genossen ...

Literatur.

1. Dorofejew G.V. „Aufgabensammlung zur Durchführung einer schriftlichen Prüfung in Mathematik für ein Gymnasium“ - M.: Drofa, 2006.
2. Garner Martin. Mathe-Rätsel und Spaß.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didaktische Materialien zur Algebra und zu den Anfängen der Analysis für die 10. Klasse, 11. Klasse. M.: Aufklärung. 2002.