irrationale Zahl- Es ist nicht rational reelle Zahl, d.h. es kann nicht als Bruch \(\frac(m)(n)\) (als Verhältnis zweier ganzer Zahlen) dargestellt werden, wobei m- ganze Zahl, n- natürliche Zahl. Eine irrationale Zahl kann als unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch dargestellt werden.

Eine irrationale Zahl kann nicht haben genauer Wert. Beispielsweise ist die Quadratwurzel aus zwei eine irrationale Zahl.

Die Menge ist bezeichnet irrationale Zahlen groß Englischer Brief\(ICH\) .

Die Menge der rationalen und irrationalen Zahlen bildet eine Menge reale Nummern. Die Menge der reellen Zahlen wird mit dem Buchstaben \(R\) bezeichnet.

Quadratwurzel(arithmetische Quadratwurzel) einer nicht negativen Zahl \(a\) heißt eine solche nicht negative Zahl, dessen Quadrat \(a\) ist. \(\displaystyle (\sqrt(a)=x,\ ((x)^(2))=a;\ x,a\ge 0)\).

Ungefähre Werte Quadratwurzel aus angegebene Nummer bis zu eins, zwei aufeinanderfolgend natürliche Zahlen, von denen das Quadrat der ersten kleiner und das Quadrat der zweiten größer als die gegebene Zahl ist.

Die erste dieser Zahlen wird als ungefährer Wert der Wurzel mit einem Mangel bezeichnet, die zweite als ungefährer Wert der Wurzel mit einem Überschuss.

Die ungefähren Werte der Wurzel werden wie folgt geschrieben: \(\sqrt(10)\approx3 (\ s \ Wochen); \ \sqrt(10)\approx4 (\ s \ est)\).

Beispiel 1. Finden Sie den ungefähren Wert \(\sqrt3\) mit zwei Dezimalstellen. Lassen Sie uns schätzen radikaler Ausdruck 3 zuerst als ganze Zahlen. Seit 1< 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .

Lassen Sie uns jetzt die Anzahl der Zehntel finden. Dazu quadrieren wir die Dezimalbrüche 1,1; 1,2; 1,3; ... bis wir den Wurzelausdruck 3 wieder mit solchen Zahlen auswerten: Wir haben: 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24. Seit 2.89< 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .

Um die Hundertstel zu finden, quadrieren wir nacheinander die Dezimalbrüche 1,71; 1,72; 1,73; ..., wiederum Auswertung des Wurzelausdrucks 3. Wir haben: 1,712 = 2,9241; 1,722 = 2,9584; 1,732 = 2,9929; 1,742 = 3,0276. Seit 1.732< 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .

Beispiel 2 Berechne \(\sqrt(138384)\) .

Lösung: Zerlegen wir die Zahl in Gesichter: 13 "83" 84 - davon gibt es drei, was bedeutet, dass das Ergebnis eine dreistellige Zahl sein sollte. Die erste Ziffer des Ergebnisses ist 3, da 3 2< 13, тогда как 4 2 >13. Wenn wir 9 von 13 subtrahieren, erhalten wir 4. Wenn wir das nächste Gesicht 4 zuweisen, erhalten wir EIN= 483. Verdoppeln wir den verfügbaren Teil des Ergebnisses, also die Zahl 3, erhalten wir a= 6. Wählen wir nun die größte Ziffer x also das Produkt einer zweistelligen Zahl Axt auf der x war kleiner als 483. Diese Zahl wird 7 sein, da 67 * 7 = 469 kleiner als 483 ist, während 68 * 8 = 544 mehr als 483 ist. Die zweite Ziffer des Ergebnisses ist also 7.

Wenn wir 469 von 483 subtrahieren, erhalten wir 14. Wenn wir die letzte Kante rechts von dieser Zahl zuweisen, erhalten wir b= 1484. Verdoppelung des verfügbaren Teils des Ergebnisses, d.h. Nummer 37, bekommen wir B= 74. Wählen wir nun eine solche größte Zahl j also das Produkt einer dreistelligen Zahl von auf der j 1484 nicht überschritten hat. Diese Zahl ist 2, da 742 * 2 = 1484. Die Zahl 2 ist die letzte Ziffer des Ergebnisses. Die Antwort war 372.

\(\sqrt(138384)=372\) .

Wird die Wurzel nicht gezogen, so wird nach der letzten Ziffer der angegebenen Zahl ein Komma gesetzt und weitere Flächen gebildet, die jeweils die Form 00 haben. In diesem Fall ist das Wurzelziehen endlos; es stoppt, wenn die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.

ECHTE ZAHLEN II

§ 39 Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen ziehen

Wie wir wissen, ist die Operation der Multiplikation in der Menge der rationalen Zahlen immer möglich. Insbesondere das Produkt m / n m / n . Dieses Produkt wird bekanntlich das Quadrat einer Zahl genannt. m / n und bezeichnet ( m / n ) 2:

( m / n ) 2 = m / n m / n

Wenn also eine Zahl rational ist, dann ist auch ihr Quadrat eine rationale Zahl. Diese Zahl ist offensichtlich positiv. Und jetzt stellen wir das umgekehrte Problem: Ist jede positive rationale Zahl das Quadrat einer rationalen Zahl? In der Sprache der algebraischen Gleichungen kann dieses Problem wie folgt formuliert werden. Angesichts der Gleichung

X 2 = ein ,

wo a eine positive rationale Zahl ist, und X - unbekannter Wert. Die Frage ist: Hat diese Gleichung immer rationale Wurzeln? Die Antwort auf diese Frage fällt negativ aus. Rationale Zahl a kann so gewählt werden, dass die Gleichung X 2 = ein wird keine einzige rationale Wurzel haben. Davon überzeugt uns insbesondere der folgende Satz.

Satz.Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Der Beweis wird durch Widerspruch geführt. Angenommen, es gibt eine rationale Zahl m / n , dessen Quadrat 2 ist: ( m / n ) 2 = 2.

Wenn ganze Zahlen t und P die gleichen Multiplikatoren haben, dann der Bruch m / n kann gekürzt werden. Daher können wir von Anfang an davon ausgehen, dass der Bruch m / n irreduzibel.

Aus der Bedingung ( m / n ) 2 = 2 folgt daraus

t 2 = 2P 2 . .

Seit der Nummer 2 P 2 ist gerade, dann die Zahl t 2 muss gerade sein. Aber dann wird die Zahl gerade sein t . (Beweisen Sie es!) Also t = 2k , wo k ist eine ganze Zahl. Ersetzen Sie diesen Ausdruck durch t in die Formel t 2 = 2P 2 bekommen: 4 k 2 = 2P 2 , woher

P 2 =2k 2 .

In diesem Fall die Nummer P 2 wird gerade sein; aber dann muss die Zahl gerade sein P . Es stellt sich heraus, dass die Zahlen t und P sogar. Und dies widerspricht der Tatsache, dass der Bruch m / n irreduzibel. Daher unsere anfängliche Annahme über die Existenz eines Bruchs m / n , die Bedingung erfüllt ( m / n ) 2 = 2., ist falsch. Es bleibt zu erkennen, dass es unter allen rationalen Zahlen keine gibt, deren Quadrat gleich 2 wäre. Daher die Gleichung

X 2 = 2

in Menge rational Zahlen sind unentscheidbar. Eine ähnliche Schlussfolgerung könnte über viele andere Gleichungen der Form gezogen werden

X 2 = a ,

wo a ist eine positive ganze Zahl. Trotzdem haben wir in der VIII. Klasse immer wieder über die Wurzeln solcher Gleichungen gesprochen. Und die positive Wurzel der Gleichung X 2 = a wir gaben sogar einen besonderen Namen "die Quadratwurzel der Zahl". a “ und eine spezielle Bezeichnung dafür eingeführt: √ a .

√2 gehört also nicht zu den rationalen Zahlen. Aber wie kann man dann √2 charakterisieren? Um diese Frage zu beantworten, erinnern wir uns an die Regel zum Ziehen von Quadratwurzeln. Angewendet auf die Zahl 2 ergibt diese Regel:

Der Prozess des Wurzelziehens kann in diesem Fall bei keinem Schritt enden. Andernfalls wäre √2 gleich einem endlichen Dezimalbruch und daher eine rationale Zahl. Und dies widerspricht dem oben bewiesenen Theorem. Wenn man also die Quadratwurzel aus 2 zieht, erhält man einen unendlichen Dezimalbruch. Dieser Bruch kann nicht periodisch sein, sonst könnte er wie jeder andere unendliche periodische Bruch als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Und auch dies widerspricht dem oben bewiesenen Theorem. Somit kann man sich √2 als eine unendliche nichtperiodische Dezimalzahl vorstellen.

So führt uns beispielsweise das Ziehen von Wurzeln aus ganzen Zahlen zu unendlichen nichtperiodischen Dezimalbrüchen.

In den folgenden Abschnitten betrachten wir ein weiteres Problem, das im Allgemeinen nichts mit dem Wurzelziehen zu tun hat, uns aber auch zu unendlichen nichtperiodischen Dezimalbrüchen führt.

Übungen

305. Geben Sie mehrere natürliche Zahlen an, deren Quadratwurzeln rationale Zahlen wären.

306. Beweisen Sie, dass, wenn die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl eine rationale Zahl ist, diese rationale Zahl notwendigerweise eine ganze Zahl ist.

307. Beweisen Sie, dass die Gleichung X 3 = 5 in der Menge der rationalen Zahlen hat keine Wurzeln.

Wir haben bereits früher gezeigt, dass $1\frac25$ nahe bei $\sqrt2$ liegt. Wenn es genau gleich $\sqrt2$ wäre, . Dann wäre das Verhältnis - $\frac(1\frac25)(1)$, das sich durch Multiplikation des oberen und unteren Teils des Bruchs mit 5 in ein Verhältnis der ganzen Zahlen $\frac75$ umwandeln lässt, der gewünschte Wert.

Aber leider ist $1\frac25$ nicht der exakte Wert von $\sqrt2$. Eine genauere Antwort $1\frac(41)(100)$ liefert die Relation $\frac(141)(100)$. Eine noch größere Genauigkeit erreichen wir, wenn wir $\sqrt2$ mit $1\frac(207)(500)$ gleichsetzen. In diesem Fall ist das Verhältnis in ganzen Zahlen gleich $\frac(707)(500)$. Aber $1\frac(207)(500)$ ist auch nicht der genaue Wert der Quadratwurzel von 2. Griechische Mathematiker haben viel Zeit und Mühe darauf verwendet, den genauen Wert von $\sqrt2$ zu berechnen, aber es ist ihnen nie gelungen. Sie konnten das Verhältnis $\frac(\sqrt2)(1)$ nicht als Verhältnis ganzer Zahlen darstellen.

Schließlich bewies der große griechische Mathematiker Euklid, dass es unmöglich ist, den genauen Wert von $\sqrt2$ zu erhalten, egal wie die Genauigkeit der Berechnungen zunimmt. Es gibt keinen solchen Bruch, der quadriert 2 ergibt. Es wird gesagt, dass Pythagoras der erste war, der zu diesem Schluss kam, aber diese unerklärliche Tatsache beeindruckte den Wissenschaftler so sehr, dass er sich selbst schwor und einen Eid von seinen Schülern ablegte Halten Sie diese Entdeckung geheim. Diese Informationen können jedoch nicht wahr sein.

Aber wenn die Zahl $\frac(\sqrt2)(1)$ nicht als Verhältnis von ganzen Zahlen dargestellt werden kann, dann keine Zahl, die $\sqrt2$ enthält, zum Beispiel $\frac(\sqrt2)(2)$ oder $\frac (4)(\sqrt2)$ kann auch nicht als Verhältnis ganzer Zahlen dargestellt werden, da alle diese Brüche in $\frac(\sqrt2)(1)$ multipliziert mit einer Zahl umgewandelt werden können. Also $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Oder $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, was umgewandelt werden kann, indem man oben und unten mit $\sqrt2$ multipliziert, um $\frac(4) zu erhalten (\sqrt2)$. (Wir sollten nicht vergessen, dass egal, was die Zahl $\sqrt2$ ist, wenn wir sie mit $\sqrt2$ multiplizieren, wir 2 erhalten.)

Da die Zahl $\sqrt2$ nicht als Verhältnis ganzer Zahlen dargestellt werden kann, heißt sie irrationale Zahl. Andererseits werden alle Zahlen genannt, die sich als Verhältnis ganzer Zahlen darstellen lassen rational.

Alle ganzen Zahlen und Bruchzahlen, sowohl positiv als auch negativ, sind rational.

Wie sich herausstellt, sind die meisten Quadratwurzeln irrationale Zahlen. Rationale Quadratwurzeln gibt es nur für Zahlen, die in einer Reihe von Quadratzahlen enthalten sind. Diese Zahlen werden auch Quadratzahlen genannt. Rationale Zahlen sind auch Brüche, die aus diesen perfekten Quadraten bestehen. Beispielsweise ist $\sqrt(1\frac79)$ eine rationale Zahl, weil $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ oder $1\frac13$ (4 ist die Wurzel Quadrat von 16, und 3 ist die Quadratwurzel von 9).