Vor dem Aufkommen von Taschenrechnern haben Schüler und Lehrer Quadratwurzeln von Hand berechnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl manuell zu berechnen. Einige von ihnen bieten nur eine ungefähre Lösung, andere geben eine genaue Antwort.

Schritte

Primfaktorzerlegung

Zerlege die Wurzelzahl in Faktoren, die Quadratzahlen sind. Abhängig von der Wurzelzahl erhalten Sie eine ungefähre oder exakte Antwort. Quadratzahlen sind Zahlen, aus denen die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann. Faktoren sind Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Zum Beispiel sind die Faktoren der Zahl 8 2 und 4, da 2 x 4 = 8, die Zahlen 25, 36, 49 sind Quadratzahlen, da √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Quadratische Faktoren sind Faktoren , die Quadratzahlen sind. Versuchen Sie zunächst, die Wurzelzahl in Quadratfaktoren zu zerlegen.

• Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 400 (manuell). Versuchen Sie zunächst, 400 in Quadratfaktoren zu zerlegen. 400 ist ein Vielfaches von 100, also durch 25 teilbar - das ist eine Quadratzahl. Wenn Sie 400 durch 25 teilen, erhalten Sie 16. Die Zahl 16 ist auch eine Quadratzahl. Somit kann 400 in Quadratfaktoren von 25 und 16 zerlegt werden, also 25 x 16 = 400.
• Dies kann wie folgt geschrieben werden: √400 = √(25 x 16).

1. Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln jedes Terms, d. h. √(a x b) = √a x √b. Verwenden Sie diese Regel und ziehen Sie die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors und multiplizieren Sie die Ergebnisse, um die Antwort zu finden.

   • Ziehe in unserem Beispiel die Quadratwurzel aus 25 und 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Wenn die Wurzelzahl nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt wird (was in den meisten Fällen der Fall ist), werden Sie die genaue Antwort nicht in Form einer ganzen Zahl finden können. Sie können das Problem jedoch vereinfachen, indem Sie die Wurzelzahl in einen Quadratfaktor und einen gewöhnlichen Faktor (eine Zahl, aus der nicht die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann) zerlegen. Dann ziehst du die Quadratwurzel aus dem Quadratfaktor und ziehst die Wurzel aus dem gewöhnlichen Faktor.

   • Berechnen Sie zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 147. Die Zahl 147 kann nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt werden, aber sie kann in die folgenden Faktoren zerlegt werden: 49 und 3. Lösen Sie die Aufgabe wie folgt:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Werten Sie ggf. den Wert der Wurzel aus. Jetzt können Sie den Wert der Wurzel auswerten (einen ungefähren Wert finden), indem Sie ihn mit den Werten der Wurzeln von Quadratzahlen vergleichen, die (auf beiden Seiten des Zahlenstrahls) der Wurzelzahl am nächsten sind. Sie erhalten den Wert der Wurzel als Dezimalbruch, der mit der Zahl hinter dem Wurzelzeichen multipliziert werden muss.

   • Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Die Wurzelzahl ist 3. Die nächsten Quadratzahlen dazu sind die Zahlen 1 (√1 = 1) und 4 (√4 = 2). Somit liegt der Wert von √3 zwischen 1 und 2. Da der Wert von √3 wahrscheinlich näher bei 2 als bei 1 liegt, lautet unsere Schätzung: √3 = 1,7. Wir multiplizieren diesen Wert mit der Zahl am Wurzelzeichen: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Wenn Sie die Berechnungen auf einem Taschenrechner durchführen, erhalten Sie 12,13, was unserer Antwort ziemlich nahe kommt.
     • Diese Methode funktioniert auch mit großen Zahlen. Betrachten Sie zum Beispiel √35. Die Wurzelzahl ist 35. Die nächsten Quadratzahlen dazu sind die Zahlen 25 (√25 = 5) und 36 (√36 = 6). Somit liegt der Wert von √35 zwischen 5 und 6. Da der Wert von √35 viel näher an 6 liegt als an 5 (weil 35 nur um 1 kleiner als 36 ist), können wir sagen, dass √35 etwas kleiner als ist 6. Die Überprüfung mit einem Taschenrechner gibt uns die Antwort 5,92 - wir hatten Recht.

4. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Schreibe die Primfaktoren in eine Reihe und finde Paare identischer Faktoren. Solche Faktoren können aus dem Wurzelzeichen herausgenommen werden.

   • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 45. Wir zerlegen die Wurzelzahl in Primfaktoren: 45 \u003d 9 x 5 und 9 \u003d 3 x 3. Also √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 kann aus dem Wurzelzeichen herausgenommen werden: √45 = 3√5. Jetzt können wir √5 abschätzen.
   • Betrachten Sie ein anderes Beispiel: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sie haben drei Multiplikator 2s; nimm ein paar davon und nimm sie aus dem Zeichen der Wurzel heraus.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Jetzt können wir √2 und √11 auswerten und eine ungefähre Antwort finden.

   Quadratwurzel manuell berechnen

   Spaltenteilung verwenden

   1. Diese Methode beinhaltet einen ähnlichen Prozess wie die lange Division und gibt eine genaue Antwort. Zeichnen Sie zuerst eine vertikale Linie, die das Blatt in zwei Hälften teilt, und ziehen Sie dann eine horizontale Linie nach rechts und etwas unterhalb der oberen Kante des Blatts zur vertikalen Linie. Teilen Sie nun die Wurzelzahl in Zahlenpaare auf, beginnend mit dem Bruchteil nach dem Komma. Die Nummer 79520789182.47897 wird also geschrieben als „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Lassen Sie uns zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 780,14 berechnen. Zeichne zwei Linien (wie im Bild gezeigt) und schreibe die angegebene Zahl in der Form „7 80, 14“ oben links. Es ist normal, dass die erste Ziffer von links eine ungepaarte Ziffer ist. Die Antwort (die Wurzel der gegebenen Zahl) wird oben rechts geschrieben.

   2. Gegeben das erste Zahlenpaar (oder eine Zahl) von links, finde die größte ganze Zahl n, deren Quadrat kleiner oder gleich dem fraglichen Zahlenpaar (oder einer Zahl) ist. Mit anderen Worten, finden Sie die Quadratzahl, die dem ersten Zahlenpaar (oder einer Zahl) von links am nächsten, aber kleiner ist, und ziehen Sie die Quadratwurzel dieser Quadratzahl; Sie erhalten die Zahl n. Schreibe das gefundene n oben rechts und das Quadrat n unten rechts auf.

      • In unserem Fall ist die erste Zahl links die Zahl 7. Als nächstes 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Subtrahiere das Quadrat der Zahl n, die du gerade gefunden hast, vom ersten Zahlenpaar (oder einer Zahl) von links. Schreiben Sie das Ergebnis der Rechnung unter den Subtrahend (das Quadrat der Zahl n).

      • Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 4 von 7, um 3 zu erhalten.

   4. Notieren Sie das zweite Zahlenpaar und schreiben Sie es neben den im vorherigen Schritt erhaltenen Wert. Verdoppeln Sie dann die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit angehängtem "_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das zweite Zahlenpaar „80“. Schreibe "80" nach der 3. Verdoppele dann die Zahl von oben rechts, ergibt 4. Schreibe "4_×_=" von unten rechts.

   5. Füllen Sie die Lücken rechts aus.

      • Wenn wir in unserem Fall die Zahl 8 anstelle von Bindestrichen eingeben, dann 48 x 8 \u003d 384, was mehr als 380 ist. Daher ist 8 eine zu große Zahl, aber 7 ist in Ordnung. Schreiben Sie 7 anstelle von Bindestrichen und erhalten Sie: 47 x 7 \u003d 329. Schreiben Sie 7 von oben rechts - dies ist die zweite Ziffer in der gewünschten Quadratwurzel der Zahl 780,14.

   6. Subtrahieren Sie die resultierende Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt unter die aktuelle Zahl auf der linken Seite, finden Sie die Differenz und schreiben Sie sie unter die subtrahierte.

      • Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 329 von 380, was 51 entspricht.

   7. Wiederholen Sie Schritt 4. Wenn das zu löschende Zahlenpaar der Bruchteil der ursprünglichen Zahl ist, setzen Sie das Trennzeichen (Komma) der ganzen Zahl und des Bruchteils in die gewünschte Quadratwurzel von oben rechts. Tragen Sie links das nächste Zahlenpaar nach unten. Verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit angehängtem "_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das nächste zu entfernende Zahlenpaar der Bruchteil der Zahl 780,14, also setzen Sie das Trennzeichen der ganzen Zahl und des Bruchteils in die erforderliche Quadratwurzel von rechts oben. Reisse 14 ab und schreibe unten links auf. Das Doppelte oben rechts (27) ist 54, schreibe also "54_×_=" unten rechts.

   8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Finden Sie die größte Zahl anstelle von Bindestrichen auf der rechten Seite (statt Bindestrichen müssen Sie dieselbe Zahl ersetzen), sodass das Multiplikationsergebnis kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist.

      • In unserem Beispiel ist 549 x 9 = 4941, also kleiner als die aktuelle Zahl auf der linken Seite (5114). Schreiben Sie oben rechts 9 und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation von der aktuellen Zahl links: 5114 - 4941 = 173.

   9. Wenn Sie mehr Dezimalstellen für die Quadratwurzel finden müssen, schreiben Sie ein Paar Nullen neben die aktuelle Zahl auf der linken Seite und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6. Wiederholen Sie die Schritte, bis Sie die gewünschte Genauigkeit erreicht haben (Anzahl der Dezimalstellen). .

      Den Prozess verstehen

      1. Um diese Methode zu beherrschen, stellen Sie sich die Zahl, deren Quadratwurzel Sie finden müssen, als Fläche des Quadrats S vor. In diesem Fall suchen Sie nach der Länge der Seite L eines solchen Quadrats. Berechnen Sie den Wert von L, für den L² = S gilt.

         Geben Sie für jede Ziffer Ihrer Antwort einen Buchstaben ein. Bezeichne mit A die erste Ziffer im Wert von L (die gewünschte Quadratwurzel). B ist die zweite Ziffer, C die dritte und so weiter.

         Geben Sie für jedes führende Ziffernpaar einen Buchstaben an. Bezeichne mit S a das erste Ziffernpaar im Wert S, mit S b das zweite Ziffernpaar und so weiter.

         Erklären Sie den Zusammenhang dieser Methode mit der langen Division. Wie bei der Divisionsoperation, bei der wir jedes Mal nur an einer nächsten Ziffer der teilbaren Zahl interessiert sind, arbeiten wir beim Berechnen der Quadratwurzel mit einem Ziffernpaar nacheinander (um die nächste Ziffer im Quadratwurzelwert zu erhalten). .

      2. Betrachten Sie das erste Ziffernpaar Sa der Zahl S (Sa = 7 in unserem Beispiel) und finden Sie seine Quadratwurzel. In diesem Fall wird die erste Ziffer A des gesuchten Werts der Quadratwurzel eine solche Ziffer sein, deren Quadrat kleiner oder gleich S a ist (d. h. wir suchen ein solches A, das die Ungleichung A² erfüllt ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Nehmen wir an, wir müssen 88962 durch 7 teilen; Hier wird der erste Schritt ähnlich sein: Wir betrachten die erste Ziffer der teilbaren Zahl 88962 (8) und wählen die größte Zahl aus, die, wenn sie mit 7 multipliziert wird, einen Wert kleiner oder gleich 8 ergibt. Das heißt, wir suchen eine Zahl d, für die die Ungleichung gilt: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Stellen Sie sich im Geiste ein Quadrat vor, dessen Fläche Sie berechnen müssen. Sie suchen nach L, dh der Seitenlänge eines Quadrats mit der Fläche S. A, B, C sind Zahlen in der Zahl L. Sie können es anders schreiben: 10A + B \u003d L (für eine Zwei -stellige Zahl) oder 100A + 10B + C \u003d L (für dreistellige Zahl) und so weiter.

         • Lassen (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B eine Zahl ist, bei der B für Einsen und A für Zehner steht. Wenn beispielsweise A=1 und B=2, dann entspricht 10A+B der Zahl 12. (10A+B)² ist die Fläche des gesamten Quadrats, 100A² ist die Fläche des großen inneren Quadrats, B² ist die Fläche des kleinen inneren Quadrats, 10A×B ist die Fläche von jedem der beiden Rechtecke. Wenn Sie die Flächen der beschriebenen Figuren addieren, finden Sie die Fläche des ursprünglichen Quadrats.

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, was ist Formeln für Wurzeln, Was sind Root-Eigenschaften und was man dagegen tun kann.

Root-Formeln, Root-Eigenschaften und Regeln für Aktionen mit Roots- Es ist im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was natürlich gefällt! Vielmehr kann man jede Menge allerlei Formeln schreiben, aber nur drei reichen für ein praktisches und souveränes Arbeiten mit Wurzeln. Alles andere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl sich viele in den drei Formeln der Wurzeln verirren, ja ...

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

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Unter den vielen Kenntnissen, die ein Zeichen für Alphabetisierung sind, steht das Alphabet an erster Stelle. Das nächste, das gleiche "Zeichen"-Element, sind die Fähigkeiten der Addition-Multiplikation und, angrenzend an sie, aber in umgekehrter Bedeutung, arithmetische Operationen der Subtraktion-Division. Die in der fernen Schulkindheit erlernten Fähigkeiten dienen Tag und Nacht treu: Fernsehen, Zeitung, SMS, und überall wird gelesen, geschrieben, gezählt, addiert, subtrahiert, multipliziert. Und sagen Sie mir, mussten Sie schon oft im Leben Fuß fassen, außer auf dem Land? Zum Beispiel so ein unterhaltsames Problem, wie die Quadratwurzel aus der Zahl 12345 ... Ist noch Schießpulver in den Pulverflaschen? Können wir es tun? Ja, einfacher geht es nicht! Wo ist mein Taschenrechner ... Und ohne ihn Hand in Hand schwach?

Lassen Sie uns zuerst klären, was es ist - die Quadratwurzel einer Zahl. Allgemein gesagt bedeutet "aus einer Zahl die Wurzel ziehen", die Rechenoperation durchzuführen, die dem Potenzieren entgegengesetzt ist - hier haben Sie die Einheit der Gegensätze in der Lebensanwendung. Nehmen wir an, ein Quadrat ist eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, d. H. Wie sie in der Schule gelehrt haben, X * X = A oder in einer anderen Schreibweise X2 = A, und in Worten - „X zum Quadrat ist gleich A“. Dann klingt das umgekehrte Problem so: Die Quadratwurzel der Zahl A ist die Zahl X, die quadriert gleich A ist.

Ziehen der Quadratwurzel

Aus dem Schulkurs Arithmetik sind Rechenmethoden „in einer Spalte“ bekannt, die helfen, beliebige Berechnungen mit den ersten vier Rechenoperationen durchzuführen. Leider ... Für Quadrate und nicht nur Quadrate gibt es keine Wurzeln solcher Algorithmen. Und in diesem Fall, wie zieht man die Quadratwurzel ohne Taschenrechner? Basierend auf der Definition der Quadratwurzel gibt es nur eine Schlussfolgerung - es ist notwendig, den Wert des Ergebnisses durch sequentielle Aufzählung von Zahlen auszuwählen, deren Quadrat sich dem Wert des Wurzelausdrucks nähert. Nur und alles! Ein oder zwei Stunden werden nicht vergehen, da Sie mit der bekannten Methode der Multiplikation in eine "Spalte", eine beliebige Quadratwurzel, rechnen können. Wenn Sie die Fähigkeiten haben, reichen ein paar Minuten dafür aus. Auch ein nicht ganz fortgeschrittener Taschenrechner- oder PC-Anwender schafft es auf einen Schlag – Fortschritt.

Aber im Ernst, die Berechnung der Quadratwurzel wird oft mit der „Artillery Fork“-Technik durchgeführt: Zunächst wird eine Zahl genommen, deren Quadrat ungefähr dem Wurzelausdruck entspricht. Es ist besser, wenn "unser Quadrat" etwas kleiner als dieser Ausdruck ist. Dann korrigieren sie die Zahl nach ihrem eigenen Geschicklichkeitsverständnis, multiplizieren zum Beispiel mit zwei und ... wieder quadrieren. Wenn das Ergebnis größer als die Zahl unter der Wurzel ist, wird die ursprüngliche Zahl sukzessive angepasst und nähert sich allmählich ihrem "Kollegen" unter der Wurzel. Wie Sie sehen können - kein Taschenrechner, nur die Fähigkeit, "in einer Spalte" zu zählen. Natürlich gibt es viele wissenschaftlich begründete und optimierte Algorithmen zur Berechnung der Quadratwurzel, aber für den "Hausgebrauch" gibt die obige Technik 100% Vertrauen in das Ergebnis.

Ja, ich hätte fast vergessen, um unsere erhöhte Alphabetisierung zu bestätigen, berechnen wir die Quadratwurzel der zuvor angegebenen Zahl 12345. Wir machen es Schritt für Schritt:

1. Nimm rein intuitiv X=100. Rechnen wir mal nach: X * X = 10000. Die Intuition steht oben - das Ergebnis ist kleiner als 12345.

2. Versuchen wir, ebenfalls rein intuitiv, X = 120. Dann: X * X = 14400. Und wieder mit Intuition die Reihenfolge - das Ergebnis ist mehr als 12345.

3. Oben erhalten Sie eine "Gabelung" von 100 und 120. Wählen wir neue Zahlen - 110 und 115. Wir erhalten 12100 bzw. 13225 - die Gabelung verengt sich.

4. Wir versuchen „vielleicht“ X = 111. Wir erhalten X * X = 12321. Diese Zahl liegt bereits ziemlich nahe bei 12345. Je nach geforderter Genauigkeit kann das „Fitting“ bei dem erhaltenen Ergebnis fortgesetzt oder abgebrochen werden. Das ist alles. Wie versprochen - alles ganz einfach und ohne Taschenrechner.

Ziemlich viel Geschichte...

Sogar die Pythagoräer, Schüler der Schule und Anhänger von Pythagoras, dachten 800 v. Chr. daran, Quadratwurzeln zu verwenden. und genau dort "lief" auf neue Entdeckungen im Bereich der Zahlen. Und woher kam es?

1. Die Lösung des Problems mit dem Ziehen der Wurzel liefert das Ergebnis in Form von Zahlen einer neuen Klasse. Sie wurden irrational genannt, mit anderen Worten, „unvernünftig“, weil. sie werden nicht als vollständige Zahl geschrieben. Das klassischste Beispiel dieser Art ist die Quadratwurzel aus 2. Dieser Fall entspricht der Berechnung der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 – hier also der Einfluss der pythagoräischen Schule. Es stellte sich heraus, dass in einem Dreieck mit einer ganz bestimmten Einheitsgröße der Seiten die Hypotenuse eine Größe hat, die durch eine Zahl ausgedrückt wird, die „kein Ende hat“. So erschien in der Mathematik

2. Es ist bekannt, dass es sich herausstellte, dass diese mathematische Operation einen weiteren Haken enthält – beim Wurzelziehen wissen wir nicht, welches Quadrat welcher Zahl, positiv oder negativ, der Wurzelausdruck ist. Diese Unsicherheit, ein doppeltes Ergebnis einer Operation, wird aufgeschrieben.

Das Studium der mit diesem Phänomen verbundenen Probleme ist zu einer Richtung in der Mathematik geworden, die als Theorie einer komplexen Variablen bezeichnet wird und in der mathematischen Physik von großer praktischer Bedeutung ist.

Es ist merkwürdig, dass die Notation der Wurzel - Radikal - in seiner "Universal Arithmetic" von demselben allgegenwärtigen I. Newton verwendet wurde, und genau die moderne Schreibweise der Wurzel ist seit 1690 aus dem Buch "Algebra Manual" des Franzosen Roll bekannt ".

In diesem Artikel stellen wir vor das Konzept der Wurzel einer Zahl. Wir werden der Reihe nach vorgehen: Wir beginnen mit der Quadratwurzel, von dort aus gehen wir zur Beschreibung der Kubikwurzel über, danach verallgemeinern wir das Konzept der Wurzel, indem wir die Wurzel n-ten Grades definieren. Gleichzeitig führen wir Definitionen und Notationen ein, geben Beispiele für Wurzeln und geben die notwendigen Erklärungen und Kommentare.

Quadratwurzel, arithmetische Quadratwurzel

Um die Definition der Wurzel einer Zahl und insbesondere der Quadratwurzel zu verstehen, muss man haben. An dieser Stelle begegnen wir oft der zweiten Potenz einer Zahl – dem Quadrat einer Zahl.

Lass uns beginnen mit Quadratwurzel Definitionen.

Definition

Die Quadratwurzel von a ist die Zahl, deren Quadrat a ist.

Um zu bringen Beispiele für Quadratwurzeln, nehmen Sie mehrere Zahlen, zum Beispiel 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , und quadrieren Sie sie, wir erhalten die Zahlen 25 , 0.09 , 0.09 bzw. 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (–0,3) 2 = (–0,3) (–0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 und 0 2 =0 0=0 ). Dann ist nach obiger Definition 5 die Quadratwurzel von 25, −0,3 und 0,3 sind die Quadratwurzeln von 0,09 und 0 ist die Quadratwurzel von Null.

Es sei darauf hingewiesen, dass es für keine Zahl a gibt, deren Quadrat gleich a ist. Für jede negative Zahl a gibt es nämlich keine reelle Zahl b, deren Quadrat gleich a ist. Tatsächlich ist die Gleichheit a=b 2 für jedes negative a unmöglich, da b 2 für jedes b eine nicht-negative Zahl ist. Auf diese Weise, Auf der Menge der reellen Zahlen gibt es keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. Mit anderen Worten, auf der Menge der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert und hat keine Bedeutung.

Dies führt zu einer logischen Frage: „Gibt es eine Quadratwurzel aus a für jedes nicht negative a“? Die Antwort ist ja. Die Begründung für diese Tatsache kann als konstruktive Methode angesehen werden, die verwendet wird, um den Wert der Quadratwurzel zu finden.

Dann stellt sich folgende logische Frage: "Wie viele Quadratwurzeln hat eine gegebene nicht-negative Zahl a - eins, zwei, drei oder noch mehr"? Hier ist die Antwort darauf: Wenn a null ist, dann ist die einzige Quadratwurzel aus null null; Wenn a eine positive Zahl ist, dann ist die Anzahl der Quadratwurzeln aus der Zahl a gleich zwei, und die Wurzeln sind . Lassen Sie uns das begründen.

Beginnen wir mit dem Fall a=0 . Lassen Sie uns zuerst zeigen, dass Null tatsächlich die Quadratwurzel von Null ist. Dies folgt aus der offensichtlichen Gleichheit 0 2 =0·0=0 und der Definition der Quadratwurzel.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist. Wenden wir die umgekehrte Methode an. Nehmen wir an, es gibt eine von Null verschiedene Zahl b, die die Quadratwurzel von Null ist. Dann muss die Bedingung b 2 = 0 erfüllt sein, was unmöglich ist, da für jedes von Null verschiedene b der Wert des Ausdrucks b 2 positiv ist. Wir sind auf einen Widerspruch gestoßen. Dies beweist, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist.

Kommen wir zu Fällen, in denen a eine positive Zahl ist. Oben haben wir gesagt, dass es immer eine Quadratwurzel jeder nicht negativen Zahl gibt, sei b die Quadratwurzel von a. Nehmen wir an, es gibt eine Zahl c , die auch die Quadratwurzel von a ist. Dann gelten nach Definition der Quadratwurzel die Gleichungen b 2 = a und c 2 = a, woraus folgt, dass b 2 − c 2 = a − a = 0, aber da b 2 − c 2 =( b−c) ( b+c) , dann (b−c) (b+c)=0 . Die daraus resultierende Gleichstellung in Kraft Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen nur möglich wenn b−c=0 oder b+c=0 . Somit sind die Zahlen b und c gleich oder entgegengesetzt.

Wenn wir annehmen, dass es eine Zahl d gibt, die eine weitere Quadratwurzel aus der Zahl a ist, dann ist durch ähnliche Überlegungen wie die bereits angegebenen bewiesen, dass d gleich der Zahl b oder der Zahl c ist. Die Anzahl der Quadratwurzeln einer positiven Zahl ist also zwei, und die Quadratwurzeln sind entgegengesetzte Zahlen.

Um bequem mit Quadratwurzeln arbeiten zu können, wird die negative Wurzel von der positiven "getrennt". Dazu führt es ein Definition der arithmetischen Quadratwurzel.

Definition

Arithmetische Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Für die arithmetische Quadratwurzel der Zahl a wird die Notation akzeptiert. Das Zeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet. Es wird auch das Zeichen des Radikals genannt. Daher hört man teilweise sowohl „Root“ als auch „Radical“, was dasselbe Objekt bedeutet.

Die Zahl unter dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen wird aufgerufen Stammnummer, und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen - radikaler Ausdruck, während der Begriff "Radikalzahl" oft durch "Radikalausdruck" ersetzt wird. Beispielsweise ist in der Notation die Zahl 151 eine Wurzelzahl, und in der Notation ist der Ausdruck a ein Wurzelausdruck.

Beim Lesen wird das Wort "Arithmetik" oft weggelassen, zum Beispiel wird die Eingabe als "die Quadratwurzel aus sieben Komma neunundzwanzig Hundertstel" gelesen. Das Wort "Arithmetik" wird nur dann ausgesprochen, wenn sie betonen wollen, dass es sich um die positive Quadratwurzel einer Zahl handelt.

Im Lichte der eingeführten Notation folgt aus der Definition der arithmetischen Quadratwurzel, dass für jede nicht negative Zahl a .

Die Quadratwurzeln einer positiven Zahl a werden mit dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen als und geschrieben. Zum Beispiel sind die Quadratwurzeln von 13 und . Die arithmetische Quadratwurzel von Null ist Null, also . Für negative Zahlen a werden wir den Einträgen keine Bedeutung beimessen, bis wir sie studieren komplexe Zahlen. Beispielsweise sind die Ausdrücke und bedeutungslos.

Anhand der Definition einer Quadratwurzel werden Eigenschaften von Quadratwurzeln bewiesen, die in der Praxis oft verwendet werden.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts bemerken wir, dass die Quadratwurzeln einer Zahl Lösungen der Form x 2 = a in Bezug auf die Variable x sind.

Kubikwurzel von

Definition der Kubikwurzel der Zahl a ist ähnlich wie bei der Definition der Quadratwurzel gegeben. Nur basiert es auf dem Konzept eines Würfels einer Zahl, nicht eines Quadrats.

Definition

Die Kubikwurzel von a eine Zahl, deren Kubikzahl gleich a ist, wird genannt.

Lassen Sie uns bringen Beispiele für Kubikwurzeln. Nehmen Sie dazu mehrere Zahlen, zum Beispiel 7 , 0 , −2/3 , und würfeln Sie sie: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Dann können wir basierend auf der Definition der Kubikwurzel sagen, dass die Zahl 7 die Kubikwurzel von 343 ist, 0 die Kubikwurzel von Null ist und –2/3 die Kubikwurzel von –8/27 ist.

Es lässt sich zeigen, dass die Kubikwurzel der Zahl a im Gegensatz zur Quadratwurzel immer existiert, und zwar nicht nur für nicht negative a, sondern auch für jede reelle Zahl a. Dazu kannst du die gleiche Methode anwenden, die wir beim Studium der Quadratwurzel erwähnt haben.

Außerdem gibt es nur eine Kubikwurzel einer gegebenen Zahl a. Beweisen wir die letzte Behauptung. Betrachten Sie dazu drei Fälle getrennt: a ist eine positive Zahl, a=0 und a ist eine negative Zahl.

Es ist leicht zu zeigen, dass für positives a die Kubikwurzel von a weder negativ noch null sein kann. In der Tat, sei b die Kubikwurzel von a , dann können wir per Definition die Gleichheit b 3 =a schreiben. Es ist klar, dass diese Gleichheit nicht für negatives b und für b = 0 gelten kann, da in diesen Fällen b 3 = b·b·b eine negative Zahl bzw. Null sein wird. Die Kubikwurzel einer positiven Zahl a ist also eine positive Zahl.

Nehmen wir nun an, dass es neben der Zahl b noch eine Kubikwurzel aus der Zahl a gibt, nennen wir sie c. Dann ist c 3 = a. Daher ist b 3 – c 3 =a – a=0 , aber b 3 − c 3 = (b − c) (b 2 + b c + c 2)(Dies ist die abgekürzte Multiplikationsformel Unterschied von Würfeln), womit (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Die resultierende Gleichheit ist nur möglich, wenn b − c = 0 oder b 2 + b c + c 2 = 0 ist. Von der ersten Gleichheit haben wir b=c , und die zweite Gleichheit hat keine Lösungen, da ihre linke Seite eine positive Zahl für alle positiven Zahlen b und c als Summe von drei positiven Termen b 2 , b c und c 2 ist. Dies beweist die Eindeutigkeit der Kubikwurzel einer positiven Zahl a.

Für a=0 ist die einzige Kubikwurzel von a Null. Wenn wir nämlich annehmen, dass es eine Zahl b gibt, die eine von Null verschiedene Kubikwurzel von Null ist, dann muss die Gleichheit b 3 =0 gelten, was nur möglich ist, wenn b=0 .

Für negatives a kann man ähnlich argumentieren wie für positives a. Zuerst zeigen wir, dass die Kubikwurzel einer negativen Zahl nicht gleich einer positiven Zahl oder Null sein kann. Zweitens nehmen wir an, dass es eine zweite Kubikwurzel einer negativen Zahl gibt und zeigen, dass diese zwangsläufig mit der ersten zusammenfällt.

Es gibt also immer eine Kubikwurzel jeder gegebenen reellen Zahl a, und zwar nur eine.

Geben wir Definition der arithmetischen Kubikwurzel.

Definition

Arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a eine nicht negative Zahl, deren Würfel gleich a ist, wird aufgerufen.

Die arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a wird als bezeichnet, das Vorzeichen heißt Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel, die Zahl 3 in dieser Schreibweise heißt Root-Indikator. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist Stammnummer, der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck.

Obwohl die Kubikwurzel nur für nicht negative Zahlen a definiert ist, ist es auch praktisch, Einträge zu verwenden, bei denen negative Zahlen unter dem Kubikwurzelzeichen stehen. Wir werden sie wie folgt verstehen: , wobei a eine positive Zahl ist. Zum Beispiel, .

Wir werden über die Eigenschaften von Kubikwurzeln im allgemeinen Artikel Eigenschaften von Wurzeln sprechen.

Das Berechnen des Werts einer Kubikwurzel wird als Kubikwurzel ziehen bezeichnet. Diese Aktion wird im Artikel Wurzeln ziehen: Methoden, Beispiele, Lösungen beschrieben.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts sagen wir, dass die Kubikwurzel von a eine Lösung der Form x 3 = a ist.

N-te Wurzel, arithmetische Wurzel von n

Wir verallgemeinern das Konzept einer Wurzel aus einer Zahl - wir führen ein Bestimmung der n-ten Wurzel für n.

Definition

n-te Wurzel von a ist eine Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Aus dieser Definition geht hervor, dass die Wurzel des ersten Grades aus der Zahl a die Zahl a selbst ist, da wir beim Studium des Grades mit einem natürlichen Indikator eine 1 = a genommen haben.

Oben haben wir Sonderfälle der Wurzel n-ten Grades für n=2 und n=3 betrachtet – die Quadratwurzel und die Kubikwurzel. Das heißt, die Quadratwurzel ist die Wurzel zweiten Grades und die Kubikwurzel ist die Wurzel dritten Grades. Um die Wurzeln des n-ten Grades für n = 4, 5, 6, ... zu untersuchen, ist es zweckmäßig, sie in zwei Gruppen zu unterteilen: die erste Gruppe - die Wurzeln gerader Grade (d. h. für n = 4, 6 , 8, ...), die zweite Gruppe - die Wurzeln der ungeraden Potenzen (dh für n = 5, 7, 9, ... ). Dies liegt daran, dass die Wurzeln von geraden Graden der Quadratwurzel ähneln und die Wurzeln von ungeraden Graden der Kubikwurzel ähneln. Lassen Sie uns der Reihe nach mit ihnen umgehen.

Beginnen wir mit den Wurzeln, deren Potenzen die geraden Zahlen 4, 6, 8, ... sind. Wie wir bereits gesagt haben, ähneln sie der Quadratwurzel der Zahl a. Das heißt, die Wurzel eines geraden Grades aus der Zahl a existiert nur für nicht negative a. Wenn a = 0, dann ist die Wurzel von a eindeutig und gleich Null, und wenn a > 0, dann gibt es zwei Wurzeln mit geradem Grad von der Zahl a, und sie sind entgegengesetzte Zahlen.

Begründen wir die letzte Behauptung. Sei b eine Wurzel geraden Grades (wir bezeichnen sie als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist) aus a. Angenommen, es gibt eine Zahl c - weitere 2 m Wurzel von a . Dann b 2 m − c 2 m = a − a=0 . Aber wir kennen die Form b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), dann (b−c) (b+c) (b 2 m−2 + b 2 m−4 c 2 + b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Aus dieser Gleichheit folgt b−c=0 , oder b+c=0 , oder b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Die ersten beiden Gleichheiten bedeuten, dass die Zahlen b und c gleich sind oder b und c entgegengesetzt sind. Und die letzte Gleichheit gilt nur für b=c=0 , da ihre linke Seite einen Ausdruck enthält, der für jedes b und c als Summe nicht negativer Zahlen nicht negativ ist.

Die Wurzeln n-ten Grades für ungerade n ähneln der Kubikwurzel. Das heißt, die Wurzel jedes ungeraden Grades aus der Zahl a existiert für jede reelle Zahl a, und für eine gegebene Zahl a ist sie eindeutig.

Die Eindeutigkeit der Wurzel ungeraden Grades 2·m+1 aus der Zahl a beweist man analog zum Beweis der Eindeutigkeit der Kubikwurzel aus a . Nur hier statt Gleichberechtigung a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + c 2) eine Gleichheit der Form b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Der Ausdruck in der letzten Klammer kann umgeschrieben werden als b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Zum Beispiel haben wir für m=2 b 5 − c 5 = (b − c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4)= (b − c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind, ihr Produkt eine positive Zahl ist, dann ist der Ausdruck b 2 + c 2 + b·c, der in den Klammern des höchsten Verschachtelungsgrades steht, als positive Summe positiv Zahlen. Gehen wir nun sukzessive zu den Klammerausdrücken der vorherigen Verschachtelungsgrade und stellen sicher, dass sie als Summen positiver Zahlen ebenfalls positiv sind. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichheit b 2 m+1 − c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m + b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 nur möglich wenn b−c=0 , also wenn die Zahl b gleich der Zahl c ist.

Es ist an der Zeit, sich mit der Notation der Wurzeln des n-ten Grades zu beschäftigen. Dafür ist es gegeben Bestimmung der Rechenwurzel n-ten Grades.

Definition

Die arithmetische Wurzel des n-ten Grades einer nicht negativen Zahl a wird eine nicht negative Zahl genannt, deren n-te Potenz gleich a ist.

Die Fläche eines quadratischen Grundstücks beträgt 81 dm². Finde seine Seite. Angenommen, die Länge der Seite des Quadrats ist X Dezimeter. Dann ist die Fläche des Grundstücks X² Quadratdezimeter. Denn laut Bedingung beträgt diese Fläche dann 81 dm² X² = 81. Die Seitenlänge eines Quadrats ist eine positive Zahl. Eine positive Zahl, deren Quadrat 81 ist, ist die Zahl 9. Bei der Lösung des Problems musste die Zahl x gefunden werden, deren Quadrat 81 ist, d.h. die Gleichung lösen X² = 81. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: x 1 = 9 und x 2 \u003d - 9, da 9² \u003d 81 und (- 9)² \u003d 81. Beide Zahlen 9 und - 9 werden als Quadratwurzeln der Zahl 81 bezeichnet.

Beachten Sie, dass eine der Quadratwurzeln X= 9 ist eine positive Zahl. Sie wird als arithmetische Quadratwurzel von 81 bezeichnet und mit √81 bezeichnet, also √81 = 9.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist a.

Beispielsweise sind die Zahlen 6 und -6 die Quadratwurzeln von 36. Die Zahl 6 ist die arithmetische Quadratwurzel von 36, da 6 eine nicht negative Zahl und 6² = 36 ist. Die Zahl -6 ist keine arithmetische Wurzel.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl a wie folgt bezeichnet: √ a.

Das Zeichen wird das arithmetische Quadratwurzelzeichen genannt; a wird als Wurzelausdruck bezeichnet. Ausdruck √ a lesen so: die arithmetische Quadratwurzel einer Zahl a. Beispiel: √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In Fällen, in denen klar ist, dass es sich um eine arithmetische Wurzel handelt, heißt es kurz: „die Quadratwurzel von a«.

Das Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl wird als Quadratwurzelziehen bezeichnet. Diese Aktion ist die Umkehrung des Quadrierens.

Jede Zahl kann quadriert werden, aber nicht jede Zahl kann Quadratwurzeln sein. Zum Beispiel ist es unmöglich, die Quadratwurzel der Zahl - 4 zu ziehen. Wenn eine solche Wurzel existierte, dann bezeichnen Sie sie mit dem Buchstaben X, würden wir die falsche Gleichheit x² \u003d - 4 erhalten, da links eine nicht negative Zahl und rechts eine negative Zahl steht.

Ausdruck √ a macht nur Sinn wann ein ≥ 0. Die Definition der Quadratwurzel kann kurz geschrieben werden als: √ ein ≥ 0, (√a)² = a. Gleichheit (√ a)² = a Gültig für ein ≥ 0. So stellen Sie sicher, dass die Quadratwurzel eine nicht negative Zahl ist a gleich b, d.h. dass √ a =b, müssen Sie überprüfen, ob die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: b ≥ 0, b² = a.

Die Quadratwurzel eines Bruchs

Lass uns rechnen. Beachten Sie, dass √25 = 5, √36 = 6, und überprüfen Sie, ob die Gleichheit gilt.

Als und , dann ist die Gleichheit wahr. So, .

Satz: Wenn ein a≥ 0 und b> 0, das heißt, die Wurzel des Bruchs ist gleich der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners. Es muss nachgewiesen werden, dass: und .

Seit √ a≥0 und √ b> 0, dann .

Durch die Eigenschaft, einen Bruch zu potenzieren und die Quadratwurzel zu bestimmen der Satz ist bewiesen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Berechnen Sie nach dem bewiesenen Satz .

Zweites Beispiel: Beweisen Sie das , Wenn a ≤ 0, b < 0. .

Ein weiteres Beispiel: Berechnen .

.

Quadratwurzeltransformation

Nehmen Sie den Multiplikator unter dem Zeichen der Wurzel heraus. Lassen Sie sich einen Ausdruck geben. Wenn ein a≥ 0 und b≥ 0, dann können wir nach dem Satz über die Wurzel des Produkts schreiben:

Eine solche Transformation wird als Ausklammern des Wurzelzeichens bezeichnet. Betrachten Sie ein Beispiel;

Berechnen Sie bei X= 2. Direkter Ersatz X= 2 im Wurzelausdruck führt zu komplizierten Berechnungen. Diese Berechnungen können vereinfacht werden, wenn wir zuerst die Faktoren unter dem Wurzelzeichen entfernen: . Wenn wir nun x = 2 einsetzen, erhalten wir:.

Wenn Sie also den Faktor unter dem Wurzelzeichen herausnehmen, wird der Wurzelausdruck als Produkt dargestellt, in dem ein oder mehrere Faktoren die Quadrate nicht negativer Zahlen sind. Dann wird der Wurzelproduktsatz angewendet und die Wurzel jedes Faktors gezogen. Betrachten Sie ein Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck A = √8 + √18 - 4√2, indem Sie die Faktoren unter dem Wurzelzeichen in den ersten beiden Termen herausnehmen, wir erhalten:. Wir betonen, dass die Gleichberechtigung gültig nur wann a≥ 0 und b≥ 0. wenn a < 0, то .