Leiter der ShMO
Mathematiklehrer _______Kalashnikova Zh.YuStädtische Haushaltsbildungseinrichtung
"Sekundarschule Nr. 89"
Thematische Tests in Mathematik für die 6. Klasse
nach dem Lehrbuch von I.I. Zubareva und A.G. Mordkowitsch
Zusammengestellt von: Mathematiklehrer:
Kalaschnikova Zhanna Yurievna
Stolbova Ludmilla Antonowna
ZATO Seversk
2016
Inhalt
Test №1…………………………………………………………………………………………….3-6
Test №2…………………………………………………………………………………………….7-10
Test Nr. 3…………………………………………………………………………………………….11-14
Antworten ……………………………………………………………………………………………..15
Test Nr. 1 „Positive und negative Zahlen“
Variante 1
Geben Sie eine negative Bruchzahl an:
-165
38
-7.92
67Beschreiben Sie das Ereignis „Die Zahl -5,5 ist auf dem Koordinatenstrahl markiert“
glaubwürdig
Unmöglich
Zufällig

Welche der vier Zahlen ist die größte?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Welcher der Punkte liegt auf der Koordinatenlinie rechts vom Punkt O (0)?
M(-4)
E(-15)
K(15)
D(-1,2)
Nachts betrug die Lufttemperatur -5°C. Tagsüber zeigte das Thermometer bereits +3°C. Wie hat sich die Lufttemperatur verändert?
Erhöht um 8o
Verringert um 2o
Erhöht um 2o
Verringert um 8o
Auf der Koordinatenlinie ist der Punkt x(-2) markiert - das Symmetriezentrum. Geben Sie die Koordinaten der Punkte an, die auf dieser Linie symmetrisch zum Punkt x liegen.

(-1) und (1)
(-1) und (1)
(3) und (-3)
(0) und (-4)
Welche Punkte auf der Koordinatenlinie sind nicht symmetrisch zum Ursprung - Punkt O (0).
B(-5) und C(5)
D(0,5) und E(-0,5)
M(-3) und K(13)
A(18) und X(-18)
Was ist die Summe der Zahlen 0,316 + 0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Berechnen Sie 25 % der Zahl 0,4.
0,1
0,001
10
100
Berechnen Sie die Differenz zwischen 9100 und 0,03
0,05
0,6
9,03
350Option 2
Geben Sie eine negative Bruchzahl an.
8,63
-1045
913-0,2
Beschreiben Sie das Ereignis "Die Zahl 7 ist auf dem Koordinatenstrahl markiert."
Zufällig
Unmöglich
glaubwürdig
Welche Nummer ist die kleinste?
15,49
154,9
1,549
1549
Welcher der Punkte liegt auf der Koordinatenlinie links vom Punkt O(0).
A(-0,5)
UM 6)
M(0,5)
K(38)
Tagsüber zeigte das Thermometer +5°C, abends -2°C. Wie hat sich die Lufttemperatur verändert?
Erhöht um 3o
Verringert um 7o
Verringert um 3o
Erhöht um 7o
Das Symmetriezentrum ist auf der Koordinatenlinie markiert - Punkt A (-3). Geben Sie die Koordinaten der Punkte an, die auf dieser Linie symmetrisch zu Punkt A liegen.

(-2) und (2)
(0) und (-5)
(-6) und (1)
(-1) und (-5)
Welche Punkte der Koordinatenlinie sind nicht symmetrisch in Bezug auf den Ursprung - Punkt O (0).
A(6) und B(-6)
С(12) und D(-2)
M(-1) und K(1)
X(-9) und Y(9)
Was ist die Summe der Zahlen 0,237 und 0,3
0,24
3,237
0,537
0,267
Berechnen Sie 20 % der Zahl 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Berechnen Sie die Differenz zwischen 0,07 und 31001250,5
1
425Test Nr. 2. Der absolute Wert einer Zahl. entgegengesetzte Zahlen.
Variante 1
Welche der angegebenen Zahlen hat den kleinsten Modul
-11
1013-4,196
-4,2
Geben Sie die falsche Gleichheit an
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Der Modul einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl. Ist diese Aussage wahr.
Ja
Nein
Welche dieser Zahlen ist das Gegenteil von -34?43-43-3434 Welchen Wert hat der Ausdruck -(-m), wenn m = -15
+15
-15
Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Lösen Sie die Gleichung: x=40-40
40
40 oder -40
Welche ganzen Zahlen liegen auf der Koordinatenlinie zwischen den Zahlen 2,75 und 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Ist die Ungleichung -30>-50 wahr?
Nein
Geben Sie alle ganzen Zahlen x an, wenn x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Option 2
Welche Zahl hat den größten Modul?
-0,6
-50,603
493550,530
Geben Sie die falsche Gleichheit an
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325 Kann der Betrag einer negativen Zahl eine negative Zahl sein?
Ja
Nein

Welche dieser Zahlen ist das Gegenteil von 124?
-24
24
-124124Was ist der Wert des Ausdrucks –(-k), wenn k = -9
-9
+9
Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Lösen Sie die Gleichung x=100100
-100
100 oder -100
Welche ganzen Zahlen befinden sich auf der Koordinatenlinie zwischen den Zahlen 1 und - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Ist die Ungleichung -25 wahr<-10?
Ja
Nein
Geben Sie alle ganzen Zahlen x an, wenn x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Versuch Nummer 3. Zahlenvergleich
Variante 1
Welche der Ungleichungen ist falsch?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
Stimmt es, dass die Zahl 0 größer ist als jede negative Zahl?
Ja
Nein
Die Zahl a ist nicht negativ. Wie schreibt man diese Aussage als Ungleichung?
a<0a≤0a≥0a>0Geben Sie die größte der angegebenen Zahlen ein.
0,16
-3018-0,4
0,01
Für welche natürlichen Werte von x gilt die Ungleichung x≤44, 3, 2
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Für welche ganzzahligen Werte von y gilt die Ungleichung y<-2?0
-1
0, -1, 1
Keine solchen Werte
Zahlen -6; -3,8; -115; 0,8 gelegen:
In absteigender Reihenfolge
In aufsteigender Reihenfolge
durcheinander
Im Radio wurde eine Wettervorhersage ausgestrahlt: Die Temperatur soll auf -20 °C sinken. Beschreiben Sie dieses Ereignis:
Unmöglich
glaubwürdig
Zufällig
Option 2
Welche der Ungleichungen ist richtig?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Welches Zeichen muss zwischen die gegebenen Brüche geschrieben werden, damit die Ungleichung wahr ist?
-1315 -715<
>
=
Stimmt es, dass die Zahl 0 kleiner ist als jede negative Zahl?
Ja
Nein
Die Zahl x ist nicht größer als Null. Wie schreibt man diese Aussage als Ungleichung?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35Für welche natürlichen Werte von a gilt die Ungleichung a≤3?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Für welche ganzzahligen Werte von m gilt die Ungleichung m<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Keine solchen Werte
Zahlen 1,2; -1,2; -427; -100 befindet sich:
durcheinander
In aufsteigender Reihenfolge
In absteigender Reihenfolge
Punkt A(5) ist auf der Koordinatenlinie markiert. Auf dieser Linie wurde zufällig ein weiterer Punkt B markiert, dessen Koordinate sich als die der Zahl 5 entgegengesetzte Zahl herausstellte. Beschreiben Sie dieses Ereignis.
Zufällig
glaubwürdig
Unmöglich
Antworten
Test Nr. 1 Test Nr. 2
Nr. Möglichkeit 1 Möglichkeit 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Nr. Möglichkeit 1 Möglichkeit 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Prüfung Nr. 3
Nr. Möglichkeit 1 Möglichkeit 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3

Diese Lektion führt in das Konzept des Moduls einer reellen Zahl ein und stellt einige seiner grundlegenden Definitionen vor, gefolgt von Beispielen, die die Anwendung verschiedener dieser Definitionen demonstrieren.

Gegenstand:Reale Nummern

Lektion:Modul der reellen Zahl

1. Moduldefinitionen

Betrachten Sie ein solches Konzept als Modul einer reellen Zahl, es gibt mehrere Definitionen.

Definition 1. Der Abstand von einem Punkt auf einer Koordinatenlinie zum Nullpunkt wird genannt Modul der Zahl, das ist die Koordinate des gegebenen Punktes (Abb. 1).

Beispiel 1 . Beachten Sie, dass die Module entgegengesetzter Zahlen gleich und nicht negativ sind, da dies ein Abstand ist und nicht negativ sein kann, und der Abstand von Zahlen, die um Null symmetrisch zum Ursprung sind, gleich ist.

Bestimmung 2. .

Beispiel 2. Betrachten Sie eine der Aufgaben aus dem vorherigen Beispiel, um die Äquivalenz der eingeführten Definitionen zu demonstrieren. , wie wir sehen, mit einer negativen Zahl unter dem Modulzeichen ergibt das Hinzufügen eines weiteren Minus davor ein nicht negatives Ergebnis, wie aus der Definition des Moduls hervorgeht.

Folge. Der Abstand zwischen zwei Punkten mit Koordinaten auf der Koordinatenlinie kann wie folgt ermittelt werden unabhängig von der relativen Position der Punkte (Abb. 2).

2. Grundlegende Eigenschaften des Moduls

1. Der Modul jeder Zahl ist nicht negativ

2. Das Modul des Produkts ist das Produkt der Module

3. Modul privat – das sind private Module

3. Problemlösung

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Verwenden wir die zweite Moduldefinition: und schreiben unsere Gleichung in Form eines Gleichungssystems für verschiedene Erweiterungsmöglichkeiten des Moduls.

Beispiel 4. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Ähnlich wie bei der Lösung des vorherigen Beispiels erhalten wir das .

Beispiel 5. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Lassen Sie uns durch die Folgerung aus der ersten Definition des Moduls lösen: . Lassen Sie uns dies auf der numerischen Achse darstellen und berücksichtigen, dass die gewünschte Wurzel einen Abstand von 2 von Punkt 3 hat (Abb. 3).

Basierend auf der Abbildung erhalten wir die Wurzeln der Gleichung: , weil die Punkte mit diesen Koordinaten den Abstand 2 vom Punkt 3 haben, wie in der Gleichung gefordert.

Antworten. .

Beispiel 6. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Im Vergleich zum vorherigen Problem gibt es nur eine Komplikation - nämlich, dass es keine vollständige Ähnlichkeit mit der Formulierung des Korollars über den Abstand zwischen Zahlen auf der Koordinatenachse gibt, da das Pluszeichen unter dem Modulzeichen steht, nicht das Minuszeichen . Aber es ist nicht schwer, es in die erforderliche Form zu bringen, was wir tun werden:

Stellen wir dies auf der numerischen Achse ähnlich wie bei der vorherigen Lösung dar (Abb. 4).

Gleichung Wurzeln .

Antworten. .

Beispiel 7. Lösen Sie die Gleichung.

Entscheidung. Diese Gleichung ist etwas komplizierter als die vorige, weil die Unbekannte an zweiter Stelle steht und mit Minuszeichen, zusätzlich noch mit einem Zahlenfaktor. Um das erste Problem zu lösen, verwenden wir eine der Eigenschaften des Moduls und erhalten:

Um das zweite Problem zu lösen, führen wir eine Variablenänderung durch: , was uns zur einfachsten Gleichung führt. Gemäß der zweiten Definition des Moduls . Wir setzen diese Wurzeln in die Ersatzgleichung ein und erhalten zwei lineare Gleichungen:

Antworten. .

4. Quadratwurzel und Modul

Sehr oft entstehen im Zuge der Lösung von Problemen mit Wurzeln Module, und man sollte auf die Situationen achten, in denen sie auftreten.

Beim ersten Blick auf diese Identität können Fragen auftauchen: „Warum ist das Modul da?“ und "Warum ist die Identität falsch?". Es stellt sich heraus, dass man zur zweiten Frage ein einfaches Gegenbeispiel geben kann: Wenn dann wahr sein muss, was äquivalent ist, und dies keine Identität ist.

Danach stellt sich vielleicht die Frage: „Löst eine solche Identität das Problem?“, aber es gibt auch ein Gegenbeispiel für diesen Vorschlag. Wenn dann wahr sein muss, was äquivalent ist, und dies eine falsche Identität ist.

Wenn wir uns also daran erinnern, dass die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl eine nicht negative Zahl ist und der Wert des Moduls nicht negativ ist, wird klar, warum die obige Aussage wahr ist:

.

Beispiel 8. Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks .

Entscheidung. Bei solchen Aufgaben ist es wichtig, die Wurzel nicht gleich gedankenlos loszuwerden, sondern die obige Identität zu verwenden, da .

Bestehend aus positiven (natürlichen) Zahlen, negativen Zahlen und Null.

Alle negativen Zahlen, und nur sie, sind kleiner als Null. Auf der Zahlenachse stehen negative Zahlen links von Null. Für sie sowie für positive Zahlen ist eine Ordnungsrelation definiert, die es Ihnen ermöglicht, eine ganze Zahl mit einer anderen zu vergleichen.

Für jede natürliche Zahl n es gibt nur eine negative Zahl, die mit bezeichnet wird -n, was ergänzt n bis Null: n + (− n) = 0 . Beide Nummern werden angerufen Gegenteil für einander. Subtraktion einer ganzen Zahl a ist gleichbedeutend mit der Addition zu seinem Gegenteil: -a.

Eigenschaften negativer Zahlen

Negative Zahlen folgen fast den gleichen Regeln wie natürliche Zahlen, haben aber einige Besonderheiten.

Historischer Abriß

Literatur

• Vygodsky M. Ja. Handbuch der Elementarmathematik. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glaser G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. - M.: Aufklärung, 1964. - 376 S.

Verknüpfungen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

• Fahrlässige Schadenszufügung
• Neotropis

Sehen Sie, was "nicht negative Zahl" in anderen Wörterbüchern ist:

reelle Zahl- Eine reelle oder reelle Zahl ist eine mathematische Abstraktion, die aus der Notwendigkeit entstanden ist, die geometrischen und physikalischen Größen der Welt um uns herum zu messen und Operationen wie das Ziehen einer Wurzel, das Berechnen von Logarithmen, das Lösen ... .. Wikipedia

normalerweise eine kleine nicht negative Ganzzahl- Ein Codierungsteil, der unbegrenzte, nicht negative Ganzzahlwerte darstellt, bei dem jedoch eher kleine Werte häufiger vorkommen (ITU T X.691). Themen… … Handbuch für technische Übersetzer

REELLE ZAHL- reelle Zahl, positive Zahl, negative Zahl oder Null. Der Begriff einer Anzahl von Zahlen entstand durch Erweiterung des Begriffs einer rationalen Zahl. Die Notwendigkeit dieser Erweiterung ergibt sich sowohl aus der praktischen Anwendung der Mathematik im Ausdruck ... ... Mathematische Enzyklopädie

Primzahl- Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene natürliche Teiler hat: Eins und sich selbst. Alle anderen natürlichen Zahlen außer einer werden als zusammengesetzt bezeichnet. Somit sind alle natürlichen Zahlen größer als eins ... ... Wikipedia

natürliche Zahl- ▲ ganzzahliger Ausdruck, reell, Zahl natürliche Zahl nicht negative ganze Zahl; drückt die Anzahl separater Integer-Objekte aus, in denen l. Zuschlagstoffe; die Anzahl der reellen ganzzahligen Objekte bezeichnen; Zahlenausdruck. vier... Ideografisches Wörterbuch der russischen Sprache

Dezimal- Ein Dezimalbruch ist eine Art Bruch, der eine Möglichkeit darstellt, reelle Zahlen in der Form darzustellen, in der das Bruchzeichen: entweder oder ein Dezimalpunkt ist, der als Trennzeichen zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen der Zahl dient ... ... Wikipedia Wikipedia

Als Sonderzahl hat sie kein Vorzeichen.

Beispiele für das Schreiben von Zahlen: + 36 , 6 ; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) Die letzte Zahl hat kein Vorzeichen und ist somit positiv.

Beachten Sie, dass Plus und Minus das Vorzeichen für Zahlen angeben, aber nicht für Literalvariablen oder algebraische Ausdrücke. Zum Beispiel in Formeln −t; a+b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) Die Plus- und Minuszeichen geben nicht das Vorzeichen des vorangestellten Ausdrucks an, sondern das Vorzeichen der arithmetischen Operation, sodass das Vorzeichen des Ergebnisses beliebig sein kann, es wird erst bestimmt, nachdem der Ausdruck ausgewertet wurde.

Neben der Arithmetik wird der Begriff des Zeichens auch in anderen Zweigen der Mathematik verwendet, unter anderem für nicht-numerische mathematische Objekte (siehe unten). Das Konzept eines Zeichens ist auch in jenen Zweigen der Physik wichtig, in denen physikalische Größen in zwei Klassen unterteilt werden, die bedingt positiv und negativ genannt werden - zum Beispiel elektrische Ladungen, positive und negative Rückkopplung, verschiedene Anziehungs- und Abstoßungskräfte.

Nummernschild

Positive und negative Zahlen

Null ist also kein Vorzeichen zugeordnet + 0 (\displaystyle +0) und − 0 (\displaystyle -0) ist die gleiche Zahl in der Arithmetik. In der mathematischen Analyse die Bedeutung von Symbolen + 0 (\displaystyle +0) und − 0 (\displaystyle -0) kann variieren, sehen Sie sich das an. Negative und positive Null ; In der Informatik kann die Computercodierung von zwei Nullen (ganzzahliger Typ) unterschiedlich sein, siehe direkter Code.

Im Zusammenhang mit dem oben Gesagten werden einige weitere nützliche Begriffe eingeführt:

• Anzahl nicht negativ wenn es größer oder gleich Null ist.
• Anzahl nicht positiv wenn es kleiner oder gleich Null ist.
• Positive Nicht-Null-Zahlen und negative Nicht-Null-Zahlen werden manchmal (um zu betonen, dass sie Nicht-Null sind) als "streng positiv" bzw. "streng negativ" bezeichnet.

Dieselbe Terminologie wird manchmal für reelle Funktionen verwendet. Beispielsweise wird die Funktion aufgerufen positiv wenn alle seine Werte positiv sind, nicht negativ, wenn alle seine Werte nicht negativ sind usw. Sie sagen auch, dass die Funktion in einem bestimmten Intervall ihrer Definition positiv/negativ ist.

Ein Beispiel für die Verwendung der Funktion finden Sie im Artikel Quadratwurzel#Komplexe Zahlen .

Modul (Absolutwert) einer Zahl

Wenn die Nummer x (\displaystyle x) das Vorzeichen fallen lassen, wird der resultierende Wert aufgerufen Modul oder Absolutwert Zahlen x (\displaystyle x), es ist bezeichnet | x | . (\displaystyle |x|.) Beispiele: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Für beliebige reelle Zahlen a , b (\displaystyle a,b) die folgenden Eigenschaften gelten.

Vorzeichen von nicht numerischen Objekten

Winkelzeichen

Der Wert des Winkels in der Ebene gilt als positiv, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, andernfalls ist er negativ. Zwei Rotationsfälle werden ähnlich klassifiziert:

• Drehung auf einer Ebene – z. B. Drehung um (–90°) im Uhrzeigersinn;
• eine Drehung im Raum um eine orientierte Achse wird im Allgemeinen als positiv gewertet, wenn die „Gimlet-Regel“ erfüllt ist, andernfalls als negativ.

Richtungszeichen

In der analytischen Geometrie und Physik werden Fortschritte entlang einer bestimmten geraden Linie oder Kurve oft bedingt in positive und negative unterteilt. Eine solche Einteilung kann von der Problemstellung oder dem gewählten Koordinatensystem abhängen. Wenn Sie beispielsweise die Länge eines Bogens einer Kurve berechnen, ist es oft praktisch, dieser Länge ein Minuszeichen in einer von zwei möglichen Richtungen zuzuweisen.

Computing anmelden

höchstwertiges Bit
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Um das Vorzeichen einer ganzen Zahl darzustellen, verwenden die meisten Computer

Modulo-Zahl Diese Zahl selbst wird aufgerufen, wenn sie nicht negativ ist, oder dieselbe Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, wenn sie negativ ist.

Der Modulus von 5 ist beispielsweise 5, und der Modulus von -5 ist ebenfalls 5.

Das heißt, der Modul einer Zahl wird als absoluter Wert verstanden, der absolute Wert dieser Zahl ohne Berücksichtigung ihres Vorzeichens.

Bezeichnet wie folgt: |5|, | X|, |a| usw.

Regel:

Erläuterung :

|5| = 5
Es lautet wie folgt: Der Modul der Zahl 5 ist 5.

|–5| = –(–5) = 5
Es liest sich so: Der Modul der Zahl -5 ist 5.

|0| = 0
Es lautet wie folgt: Der Modul von Null ist Null.

Moduleigenschaften:

1) Der Modul einer Zahl ist eine nicht negative Zahl: |a| ≥ 0 2) Module entgegengesetzter Zahlen sind gleich: |a| = |–a| 3) Das Quadrat des Moduls einer Zahl ist gleich dem Quadrat dieser Zahl: |a| 2 = a2 4) Das Modul des Zahlenprodukts ist gleich dem Produkt der Module dieser Zahlen: |a · b| = |a| · | b| 6) Das Modul der Privatnummern ist gleich dem Verhältnis der Module dieser Nummern: |a : b| = |a| : |b| 7) Der Modul der Summe der Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe ihrer Module: |a + b| ≤ |a| + |b| 8) Der Modul der Differenz von Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe ihrer Module: |a – b| ≤ |a| + |b| 9) Der Modul der Summe / Differenz von Zahlen ist größer oder gleich dem Modul der Differenz zwischen ihren Modulen: |a ± b| ≥ ||a| – |b|| 10) Aus dem Modulzeichen kann ein konstanter positiver Faktor entnommen werden: |m · a| = m · | a|, m >0 11) Der Grad einer Zahl kann dem Modulzeichen entnommen werden: |a k | = | a| k, wenn ein k existiert 12) Wenn | a| = |b|, dann a = ± b

Die geometrische Bedeutung des Moduls.

Der Modul einer Zahl ist der Abstand von Null zu dieser Zahl.

Nehmen wir zum Beispiel wieder die Zahl 5. Der Abstand von 0 bis 5 ist derselbe wie von 0 bis -5 (Abb. 1). Und wenn es uns wichtig ist, nur die Länge des Segments zu kennen, dann hat das Zeichen nicht nur keine Bedeutung, sondern auch keine Bedeutung. Es ist jedoch nicht ganz richtig: Wir messen die Entfernung nur mit positiven Zahlen - oder nicht negativen Zahlen. Der Teilungswert unserer Skala sei 1 cm, dann beträgt die Länge des Segments von null bis 5 5 cm, von null bis -5 ebenfalls 5 cm.

In der Praxis wird der Abstand oft nicht nur von Null aus gemessen – eine beliebige Zahl kann ein Referenzpunkt sein (Abb. 2). Aber die Essenz davon ändert sich nicht. Datensatz der Form |a – b| drückt den Abstand zwischen Punkten aus a und b auf dem Zahlenstrahl.

Beispiel 1 . Gleichung lösen | X – 1| = 3.

Entscheidung .

Die Bedeutung der Gleichung ist, dass der Abstand zwischen den Punkten X und 1 ist gleich 3 (Fig. 2). Daher zählen wir ab Punkt 1 drei Teilstriche nach links und drei Teilstriche nach rechts – und wir sehen deutlich beide Werte X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Wir können rechnen.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Antworten : X 1 = –2; X 2 = 4.

Beispiel 2 . Finden Sie den Modul eines Ausdrucks:

Entscheidung .

Lassen Sie uns zuerst herausfinden, ob der Ausdruck positiv oder negativ ist. Dazu transformieren wir den Ausdruck so, dass er aus homogenen Zahlen besteht. Lassen Sie uns nicht nach der Wurzel von 5 suchen - es ist ziemlich schwierig. Machen wir es einfacher: Wir erhöhen 3 und 10 auf die Wurzel und vergleichen dann die Größe der Zahlen, die die Differenz ausmachen:

3 = √9. Daher ist 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Wir sehen, dass die erste Zahl kleiner ist als die zweite. Das bedeutet, dass der Ausdruck negativ ist, das heißt, seine Antwort ist kleiner als Null:

3√5 – 10 < 0.

Aber nach der Regel ist der Betrag einer negativen Zahl dieselbe Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Wir haben einen negativen Ausdruck. Daher ist es notwendig, sein Vorzeichen in das Gegenteil zu ändern. Das Gegenteil von 3√5 - 10 ist -(3√5 - 10). Öffnen wir die Klammern darin - und wir bekommen die Antwort:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Antworten .