Kegel. Stumpf

Konische Oberfläche wird die Fläche genannt, die durch alle geraden Linien gebildet wird, die durch jeden Punkt der gegebenen Kurve und einen Punkt außerhalb der Kurve gehen (Abb. 32).

Diese Kurve heißt führen , Direkte - Erstellen , Punkt - Gipfel konische Oberfläche.

Gerade kreisförmige konische Oberfläche wird die Fläche genannt, die aus allen Linien besteht, die durch jeden Punkt des gegebenen Kreises gehen, und einem Punkt auf der Linie, der senkrecht zur Ebene des Kreises steht und durch seinen Mittelpunkt geht. Im Folgenden wird diese Oberfläche kurz als bezeichnet konische Oberfläche (Abb.33).

Kegel (gerader Kreiskegel ) wird als geometrischer Körper bezeichnet, der von einer Kegelfläche und einer Ebene begrenzt wird, die parallel zur Ebene des Führungskreises liegt (Abb. 34).

Reis. 32 Abb. 33 Abb. 34

Ein Kegel kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Achse entsteht, die einen der Schenkel des Dreiecks enthält.

Der Kreis, der den Kegel begrenzt, wird genannt Basis . Der Scheitelpunkt einer Kegelfläche wird genannt Gipfel Kegel. Die Strecke, die die Spitze eines Kegels mit der Mitte seiner Basis verbindet, heißt Höhe Kegel. Die Segmente, die eine konische Oberfläche bilden, werden genannt Erstellen Kegel. Achse eines Kegels ist eine gerade Linie, die durch die Spitze des Kegels und den Mittelpunkt seiner Basis verläuft. Axialschnitt wird der Schnitt genannt, der durch die Achse des Kegels verläuft. Laterale Oberflächenentwicklung Ein Kegel ist ein Sektor, dessen Radius gleich der Länge der Erzeugenden des Kegels ist, und die Länge des Bogens des Sektors ist gleich dem Umfang der Basis des Kegels.

Für einen Kegel gelten die folgenden Formeln:

wo R ist der Radius der Basis;

H- Höhe;

l- die Länge der Erzeugenden;

S Haupt- Grundfläche;

S-Seite

S voll

v ist das Volumen des Kegels.

Kegelstumpf bezeichnet den Teil des Kegels, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis des Kegels eingeschlossen ist (Abb. 35).

Ein Kegelstumpf kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um eine Achse erhalten wird, die die laterale Seite des Trapezes enthält, senkrecht zu den Basen.

Die beiden Kreise, die den Kegel begrenzen, werden sein genannt Gründen . Höhe eines Kegelstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Die Segmente, die die konische Oberfläche eines Kegelstumpfes bilden, werden genannt Erstellen . Die gerade Linie, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft, wird genannt Achse Kegelstumpf. Axialschnitt wird der Schnitt genannt, der durch die Achse des Kegelstumpfes verläuft.

Für einen Kegelstumpf gelten die folgenden Formeln:

(8)

wo R ist der Radius der unteren Basis;

r ist der Radius der oberen Basis;

H ist die Höhe, l ist die Länge der Erzeugenden;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

v ist das Volumen des Kegelstumpfes.

Beispiel 1 Der zur Basis parallele Abschnitt des Kegels teilt die Höhe im Verhältnis 1:3, von oben gezählt. Finden Sie die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes, wenn der Radius der Basis und die Höhe des Kegels 9 cm und 12 cm betragen.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 36).

Um die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes zu berechnen, verwenden wir Formel (8). Finden Sie die Radien der Basen Etwa 1 A und Etwa 1 V und generieren AB.

Betrachten Sie ähnliche Dreiecke SO2B und SO1A, Ähnlichkeitskoeffizient , dann

Von hier

Seit damals

Die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich:

Antworten: .

Beispiel2. Ein Viertelkreis mit Radius wird zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Radius der Basis und die Höhe des Kegels.

Lösung. Das Kreisviereck ist eine Entwicklung der Mantelfläche des Kegels. Bezeichnen r ist der Radius seiner Basis, H- Höhe. Die Seitenfläche wird nach folgender Formel berechnet: . Es ist gleich der Fläche eines Viertelkreises: . Wir erhalten eine Gleichung mit zwei Unbekannten r und l(Erzeuger eines Kegels). In diesem Fall ist die Erzeugende gleich dem Radius eines Viertelkreises R, also erhalten wir die folgende Gleichung:

Antworten: 2 cm, .

Beispiel 3 Ein rechteckiges Trapez mit einem spitzen Winkel von 45 °, einer kleineren Basis von 3 cm und einer geneigten Seite gleich , dreht sich um die Seite senkrecht zu den Basen. Finden Sie das Volumen des erhaltenen Rotationskörpers.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 37).

Als Ergebnis der Drehung erhalten wir einen Kegelstumpf, dessen Volumen wir aus dem Radius der größeren Grundfläche und der Höhe berechnen. im Trapez O 1 O 2 AB wir werden ausgeben AC^O 1B. In haben wir: also ist dieses Dreieck gleichschenklig AC=BC\u003d 3 cm.

Antworten:

Beispiel 4 Ein Dreieck mit den Seitenlängen 13 cm, 37 cm und 40 cm dreht sich um eine Außenachse, die parallel zur größeren Seite verläuft und 3 cm von ihr entfernt ist (die Achse liegt in der Ebene des Dreiecks). Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers.

Lösung . Machen wir eine Zeichnung (Abb. 38).

Die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers besteht aus den Seitenflächen zweier Kegelstümpfe und der Seitenfläche des Zylinders. Um diese Flächen zu berechnen, ist es notwendig, die Radien der Grundflächen der Kegel und des Zylinders zu kennen ( SEIN und OK) Zapfen bilden ( BC und AC) und die Höhe des Zylinders ( AB). Das Unbekannte ist nur CO. ist der Abstand von der Seite des Dreiecks zur Rotationsachse. Lass uns finden Gleichstrom. Die Fläche des Dreiecks ABC auf einer Seite ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Seite AB und der darauf gezeichneten Höhe Gleichstrom Da wir jedoch alle Seiten des Dreiecks kennen, berechnen wir seine Fläche mit der Heron-Formel.

Eine der effektivsten Methoden zur Bestimmung der metrischen Eigenschaften von ebenen Figuren ist die Drehung um eine Achse, die normalerweise als waagerechte Linie oder Projektionslinie verwendet wird.

Grundlegende Konstruktionsregeln

1. Der Rotationsradius des Punktes ist gleich dem Abstand zwischen dem Punkt und der als Achse fungierenden waagerechten Linie. Der natürliche Wert des Radius wird nach der Methode des rechtwinkligen Dreiecks bestimmt.
2. Beim Drehen um die Horizontale h bewegt sich der Punkt entlang eines Kreises, der auf die horizontale Ebene in ein gerades Liniensegment projiziert wird, das senkrecht zur horizontalen Projektion der Horizontalen h steht. "Auf der Frontalebene befindet sich der Kreis, entlang dem sich der Punkt bewegt in eine Ellipse projiziert. Es muss nicht gebaut werden.
3. Beim Rotieren um das frontale f bewegt sich der Punkt entlang eines Kreises, der auf die frontale Ebene in ein gerades Liniensegment projiziert wird, das senkrecht zur frontalen Projektion des frontalen f"" steht. Gleichzeitig ist die horizontale Projektion der Verschiebungslinie eine Ellipse, die nicht aufgebaut werden muss.

Betrachten wir, wie man den tatsächlichen Wert des Winkels zwischen den Linien a und b bestimmt, die sich im Punkt A schneiden. Die Konstruktionen sind in der Figur gezeigt und werden gemäß dem unten beschriebenen Algorithmus durchgeführt.

Lösungsalgorithmus

1. Wir führen die Frontalprojektion h"" der Horizontalen h durch. Sie schneidet die Linien a"" und b"" an den Punkten 1"" und 2"". Wir bestimmen die horizontalen Projektionen 1 "und 2" und ziehen h durch sie.
2. Finden Sie das Rotationszentrum O. Seine horizontale Projektion O" liegt am Schnittpunkt der Linie h" mit der von A" auf h" gezogenen Senkrechten.
3. Wir bestimmen den natürlichen Wert des Rotationsradius R = O"A" 0 . Dazu bauen wir ein rechtwinkliges Dreieck O"A"A" 0 , dessen Schenkel A"A" 0 gleich dem Abstand von A"" nach h"" ist.
4. Wir zeichnen einen Kreisbogen mit Radius R bis er die Gerade O"A" im Punkt A" 1 schneidet. Verbinde A" 1 mit den Punkten 1" und 2". Der gewünschte Winkel ϕ ist konstruiert.

Wie bekannt; Wenn sich ein Punkt um eine Achse dreht, bewegt er sich in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse und beschreibt einen Kreis. Um die Rotationsmethode anzuwenden, um die Zeichnung zu transformieren, beachten wir die folgenden vier Elemente (Abb. 5.8):

Rotationsachse (MN);

Punkt Rotationsebene(pl. S ist senkrecht (MN));

Rotationszentrum;

Rotationsradius (R; R= |OA|).

Als Rotationsachse werden üblicherweise gerade Linien, senkrecht oder parallel zu den Projektionsebenen, verwendet. Betrachten Sie die Drehung um Achsen senkrecht zu den Projektionsebenen.

Punkt A Drehung auf der Zeichnung um die Achse MN, senkrecht zur Ebene H, in Abbildung 5.9 gezeigt. Rotationsebene S ist parallel zur H-Ebene und wird auf der Frontalprojektion wie folgt dargestellt S v. Horizontale Projektion um das Rotationszentrum herum stimmt mit der Projektion überein tp Achsen und die horizontale Projektion o.ä Rotationsradius OA ist sein natürlicher Wert. Punktdrehung ABER in Bild 5.9 erfolgt um einen Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn, damit in der neuen Lage der Punkt mit Vorsprüngen a1", a1 der Rotationsradius war parallel zur EbeneV Wenn sich ein Punkt um die vertikale Achse dreht, bewegt sich seine horizontale Projektion entlang des Kreises, und die frontale Projektion bewegt sich parallel zur x-Achse und senkrecht zur Rotationsachse.

Wenn der Punkt um eine Achse senkrecht zur V-Ebene gedreht wird, bewegt sich seine Frontalprojektion entlang des Kreises und die horizontale Projektion parallel zur x-Achse.

Die Drehung eines Punktes um eine vorstehende Linie wird zur Lösung einiger Probleme verwendet, beispielsweise zur Bestimmung der natürlichen Größe eines Liniensegments. Dazu (Abb. 5.10) genügt eine Rotationsachse mit Vorsprüngen t "p", tp Wählen Sie so, dass es durch einen der Extrempunkte des Segments verläuft, z. B. einen Punkt mit Vorsprüngen b", b. Dann beim Drehen der Spitze ABER Winkel φ in Position bringen A1 (OA1 || Quadrat V, oa, || x-Achse) Segment AB bewegt sich auf Position A1B, parallel zur Ebene v und wird daher in voller Größe darauf projiziert. Gleichzeitig wird der Winkel a der Segmentsteigung in voller Größe projiziert AB zur Ebene H.

Drehung (Rotation) eines Punktes mit Projektionen b", b relativ zur Achse mit Vorsprüngen t"p", tp, senkrecht zur Ebene V, in Abbildung 5.11 gezeigt. Beim Drehen des Punktes BEI in der Rotationsebene bewegt T (Th) zu positionieren mit Vorsprüngen b1", b1 damit der Rotationsradius OV parallel zur Ebene werden H (o "b" || x-Achse).

Anwendung der Rotationsmethode ohne Angabe der Rotationsachsen senkrecht zu den Projektionsebenen in der Zeichnung.Wenn Sie eine geometrische Figur um eine Achse senkrecht zur Projektionsebene drehen, dann ändert sich die Projektion auf dieser Ebene weder im Aussehen noch in der Größe (nur die Position der Projektion relativ zur Projektionsachse ändert sich). Projektionen von Punkten einer geometrischen Figur auf einer Ebene parallel zur Rotationsachse bewegen sich entlang gerader Linien parallel zur Projektionsachse (mit Ausnahme von Projektionen von Punkten, die sich auf der Rotationsachse befinden), und die Projektion als Ganzes ändert sich Form und Größe. Daher ist es möglich, die Rotationsmethode anzuwenden, ohne die Darstellung der Rotationsachse anzugeben. Darin

Verschieben Sie in diesem Fall, ohne die Größe und Form einer der Projektionen des geometrischen Bildes zu ändern, diese Projektion an die erforderliche Position und erstellen Sie dann eine weitere Projektion wie oben angegeben.

Abbildung 5.12 zeigt die Verwendung der Rotationsmethode ohne Angabe der Achsen zur Bestimmung der tatsächlichen Größe des Dreiecks ABC, durch Projektionen gegeben a"b"c", abc. Dazu werden zwei Drehungen der Ebene in allgemeiner Position, in der sich das Dreieck befindet, durchgeführt, so dass diese Ebene nach der ersten Drehung senkrecht zu der Ebene wird V, und nach dem zweiten - parallel zur Ebene H. Die erste Drehung um die Achse senkrecht zur Ebene H, ohne Angabe ihrer Position, wurde mit einer Horizontalen mit Vorsprüngen durchgeführt s"1", s-1 in der Ebene des Dreiecks. In diesem Fall die horizontale Projektion ein entsprechend der Projektionsrichtung gedreht. Die horizontale Projektion des Dreiecks behält seine Form und Größe bei, nur seine Position ändert sich. Punkte A, B und C bei einer solchen Drehung bewegen sie sich in Ebenen parallel zur Ebene H. Projektionen a1", c1, b1" a"a1", b"b1" und c"c1". Die Frontalprojektion des Dreiecks in der neuen Position ist das Segment a1"b1"c1".

Die zweite Drehung, die das Dreieck in eine Position parallel zur Ebene H bringt, erfolgt um die Drehachse senkrecht zur Ebene H (die Position der Achse ist ebenfalls nicht angegeben). Die Frontalprojektion behält bei der zweiten Drehung das Aussehen und die Größe bei, die nach der ersten Drehung erhalten wurden. Punkte A1, D1 und C1 bewegen sich in Ebenen parallel zur Ebene V Vorsprünge a 2 , b 2 , c 2 befinden sich auf horizontalen Kommunikationslinien a, a 2, blb2, c1c2. Projektion a2b2c 2 ist die tatsächliche Größe des gegebenen Dreiecks.

Bei der Durchführung der betrachteten Drehungen um Achsen senkrecht zu den Projektionsebenen werden diese Achsen nicht angezeigt, können aber leicht gefunden werden. Zum Beispiel, wenn Sie Segmente zeichnen aa1, b1b2 und Senkrechte durch ihre Mittelpunkte ziehen, dann ist der resultierende Schnittpunkt dieser Senkrechten die horizontale Projektion der Rotationsachse senkrecht zur Ebene H.

Die Verwendung der Rotationsmethode ohne Angabe der Achsen vereinfacht die Konstruktion etwas, es gibt keine Überlappung von einer

Abschnitt auf einem anderen, aber die Zeichnung nimmt eine große Fläche ein. (Der betrachtete Rotationsfall ohne Darstellung der Rotationsachsen ist ein Spezialfall der Methode der planparallelen Bewegung.)

Eine Rotationsmethode um gerade Linien parallel zu Projektionsebenen.Die natürliche Größe einer flachen Figur kann ermittelt werden, indem man sich um eine Achse parallel zur Projektionsebene dreht und die Figur mit einer Umdrehung in eine Position parallel zur Projektionsebene bringt.

Abbildung 5.13 zeigt die Definition der Größe eines Dreiecks mit Projektionen a"b"c", abc Drehung um die Horizontale.In diesem Fall alle Punkte des Dreiecks(mit Ausnahme der auf der Rotationsachse liegenden)um eine Achse in Kreisen in Ebenen senkrecht zur Achse drehen.Wenn das Dreieck eine Position parallel zur Projektionsebene einnimmt, sind die Rotationsradien seiner Punkte parallel zu dieser Ebene, dh sie werden auf die Ebene projiziert H echte Größe.

Als Rotationsachse wurde die Horizontale mit Vorsprüngen genommen s"1", s-1.

Punkt C auf der Rotationsachse bleibt fest. Um die horizontale Projektion des Dreiecks nach der Drehung abzubilden, ist es notwendig, die Position der Projektionen seiner anderen zwei Eckpunkte zu finden. Scheitelpunkte mit Vorsprüngen a", a und b", b Verdrängungsdreieck-

sind in Flugzeugen P und Q Bewegung dieser Punkte. Horizontale Projektion um Scheitel Rotationszentrum ABER ist der Schnittpunkt der horizontalen Projektion s-1 Rotationsachsen mit horizontaler Projektion Ph.h. Seine frontale Projektion ist darauf markiert. o. Segmente oa - horizontal, o "ein" - Frontalprojektion des Rotationsradius des Punktes ABER. Lebensgröße oA Rotationsradius des Punktes ABER wie in 2.3 diskutiert definiert (siehe Abb. 2.9), d.h. durch Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks. An den Beinen oa und aA \u003d o "2" ein Dreieck entsteht oaa, seine Hypotenuse ist gleich dem Rotationsradius des Punktes ABER.

Aus einer Projektion ca Drehpunkt ABER in Richtung der Spur Ph seiner Bewegungsebene lassen wir den natürlichen Wert des Rotationsradius außer Acht. Markierung der horizontalen Projektion a, Punkte A, in die Position eines Dreiecks parallel zur Ebene gedreht N. Bt-Punkt der horizontalen Projektion BEI in der gedrehten Position finden wir als Schnittpunkt der Horizontalprojektion 1-at mit Spur Q h . Horizontale Projektion a1cb1 drückt den natürlichen Wert von A aus ABC, da nach der Drehung die Ebene des Dreiecks parallel zur Ebene ist N. Die Frontalprojektion des gedrehten Dreiecks fällt mit der Frontalprojektion der Horizontalen zusammen 1"s", d.h. es ist ein gerades Liniensegment.

Wenn Sie ein flaches geometrisches Bild in eine Position parallel zur Ebene drehen möchten V, dann wird die Stirnseite als Rotationsachse gewählt.

Drehen Sie die Ebene um ihre Spur, bis sie mit der entsprechenden Projektionsebene übereinstimmt(dieser Fall wird auch Kombinationsverfahren genannt). Wird die Ebene um ihre Spur gedreht, bis sie mit der Projektionsebene zusammenfällt, in der sich diese Spur befindet, so werden die in der Ebene befindlichen geometrischen Bilder unverzerrt dargestellt. Dieses Verfahren ist ein Sonderfall der Drehung um eine Horizontale oder Frontal, da die horizontale Spur der Ebene als die „Null“-Horizontale der horizontalen Ebene und die Frontalspur als die „Null“-Front betrachtet werden kann.

Abbildung 5.14 zeigt eine visuelle Darstellung der Drehung der Ebene der allgemeinen Position R um die horizontale Bahn Ph in die Richtung aus dem Flugzeug v zum Betrachter, bis sie mit der Ebene ausgerichtet sind N. In planer Ausrichtposition R mit Ebene

H Gerade P Uq ist eine Spur R und, mit Ebene ausgerichtet N. Spur Ph wie die Rotationsachse ihre Position nicht ändert. Punkt Empfang Auch der Schnittpunkt von Spuren ändert seine Position nicht. Um eine kombinierte Position aufzubauen P L , eine Spur P v Es reicht aus, einen weiteren Punkt zu finden, zum Beispiel den Punkt N, diese Spur (bis auf den Punkt Rx) in einer mit der Ebene ausgerichteten Position N.

Punkt N beschreibt einen Bogen in einer Ebene Q, senkrecht zur Rotationsachse. CenterÖ dieser Bogen ist der Schnittpunkt der Ebene Q mit Spur P h . Punkt N 0 auf der Ebene H ist der Schnittpunkt des Radiusbogens ON in der Ebene Q mit Spur Q h . Zieht man eine Gerade durch P x und N 0, erhält man P U0 . Abschnitt P X N ändert seine Länge nicht, wenn sich das Flugzeug dreht; also Punkt N0 kann durch Kreuzen erhalten werden Qh mit einem in einer Ebene beschriebenen Bogen H, vom Punkt Р x mit Radius P X N.

Führen Sie die betrachteten Konstruktionen auf der Zeichnung (Abb. 5.15) auf der Spur aus R und beliebiger Punkt ausgewählt N (es stimmt mit seiner Projektion überein P"). Durch seine horizontale Projektion P Direkte an, senkrecht zur Rotationsachse - Spur Ph.h. Auf dieser Linie wird ein Punkt gefunden N 0 , also Punkt N nach Ausrichtung mit der Ebene N. Sie wurde in der Ferne gefunden P X N 0 \u003d P x n "vom Punkt P x oder auf Distanz oN 0 vom Punkt o, gleich dem Rotationsradius des Punktes N. Radiuslänge oN 0 = oN definiert zum Beispiel als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Beinen on und nN (nN=nn"). Gerade P U0 , Punkte passieren P x und N 0, - kombinierte Spurposition R ich.

Die kombinierte Position des C0-Punktes ist ähnlich aufgebaut C. Rotationsradius oC als Hypotenuse eines Rechtecks ​​gefunden

Dreieck mit einem Bein oc, das andere Bein cc = s "1. Die zweite Version der Konstruktion erfolgt in der horizontalen Ebene P mit Vorsprüngen c"2", c -2. Bogenradius verwenden R x 2" passende Position gefunden 2o Punkte 2 auf der Linie Pv0, und in der kombinierten Position 20C0 eine horizontale Linie durch einen Punkt 2 0 parallel zur Spur von Ph.

Wenn es erforderlich ist, die Ebene mit der Frontalprojektionsebene zu kombinieren, sollte die Ebene um ihre Frontalspur gedreht werden.

§ 24. Revolutionskörper.

Zylinder, Kegel und Kegelstumpf.

1. Quadrat mit Seite a dreht sich um eine Senkrechte zur Diagonale durch sein Ende. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des resultierenden Körpers.

2. Quadrat mit Seite a dreht sich um eine äußere Achse, die parallel zu seiner Seite ist und von ihr durch die Länge der Seite getrennt ist. Erforderlich: 1) Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des resultierenden Körpers; 2) Bestimmen Sie, in welchem ​​Verhältnis das Volumen, das durch die Drehung des Quadrats gebildet wird, durch die Oberfläche geteilt wird, die seine Diagonale beschreiben wird.

3. Ein gleichseitiges Dreieck dreht sich um eine Senkrechte zu der Seite, die durch sein Ende gezogen wird. Wie verhalten sich die durch die Seiten des Dreiecks beschriebenen Flächen zueinander?

4. Ein gleichseitiges Dreieck dreht sich zuerst um die Seite und dann um die Parallele zur Seite, die durch den Scheitelpunkt gezogen wird. Beim zweiten Mal werden das Volumen und die Oberfläche doppelt so groß wie beim ersten Mal erhalten. Beweisen.

5. Ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seite a dreht sich um eine äußere Achse, die parallel zur Seite ist und von ihr um einen Abstand entfernt ist, der dem Apothem des Dreiecks entspricht. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des resultierenden Körpers.

6. Eine Seite a eines gleichseitigen Dreiecks wird auf seine Länge verlängert, und eine Senkrechte dazu wird durch das Ende der Verlängerung gezogen. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers, die erhalten werden, wenn das Dreieck um diese Senkrechte gedreht wird.

7. Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks wird über den Scheitelpunkt hinaus auf seine Länge verlängert, und eine Senkrechte dazu wird durch das Ende der Verlängerung gezogen. An der Seite a Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers, der durch die Drehung des Dreiecks um diese Senkrechte entsteht.

8. Die Seiten des Quadrats dienen als Seiten gleichseitiger Dreiecke, die außen gebaut sind, und die resultierende Figur dreht sich um eine gerade Linie, die die äußeren Eckpunkte zweier gegenüberliegender Dreiecke verbindet. Die Seite des Quadrats ist a . Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des resultierenden Körpers.

9. An der Seite a Bestimmen Sie bei einem regelmäßigen Sechseck das Volumen und die Oberfläche der Körper, die durch seine Drehung gebildet werden: 1) um den Durchmesser; 2) um das Apothem herum.

10. An der Seite a eines regelmäßigen Sechsecks bestimmen das Volumen und die Oberfläche des Körpers, der durch seine Drehung um die Seite entsteht.

11. a dreht sich um eine Achse, die durch seinen Scheitelpunkt senkrecht zu dem zu diesem Scheitelpunkt gezogenen Radius verläuft. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Rotationskörpers.

12. Regelmäßiges Sechseck mit Seite a dreht sich um eine zur Seite parallele Außenachse, die um die Länge des Apothems von ihr getrennt ist. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des resultierenden Körpers.

13. Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln 5 cm und 12 cm dreht sich um die äußere Achse, die parallel zum größeren Schenkel und 3 cm von diesem entfernt ist. Bestimme Volumen und Oberfläche des Rotationskörpers.

14. Ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen von 15 cm und 20 cm dreht sich um eine Senkrechte zur Hypotenuse, die durch die Spitze eines größeren spitzen Winkels gezogen wird. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Rotationskörpers.

15. Ein Dreieck mit den Seiten 9 cm, 10 cm und 17 cm dreht sich um die Höhe, die von der Spitze seines kleineren Winkels gezogen wird. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des resultierenden Körpers.

16. Ein Dreieck mit 8 cm und 5 cm Seitenlänge, das einen Winkel von 60° einschließt, dreht sich um eine Achse, die durch den Scheitelpunkt dieses Winkels senkrecht zur kleineren seiner Seiten verläuft. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Rotationskörpers.

17. Die Volumen, die durch sequentielles Drehen eines Parallelogramms um zwei benachbarte Seiten gebildet werden, sind umgekehrt proportional zu diesen Seiten. Beweisen.

18. Eine Raute mit dem Flächeninhalt Q dreht sich um eine Seite. Bestimmen Sie die Oberfläche des resultierenden Körpers.

19. 1) Rhombus mit einer Seite a und ein spitzer Winkel von 60 ° dreht sich um eine Achse, die durch den Scheitel dieses Winkels senkrecht zur Seite gezogen wird. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Rotationskörpers.

2) Dasselbe Problem bei einem Winkel von 45°.

20. Ein gleichschenkliges Trapez, bei dem der spitze Winkel 45° beträgt und die Seite gleich der kleineren Basis ist, dreht sich um die Seite. Entlang seiner Länge a Volumen und Oberfläche eines Rotationskörpers bestimmen.

21. Ein Trapez ist einem Halbkreis mit Radius R so einbeschrieben, dass seine untere Grundfläche dem Durchmesser dieses Kreises entspricht und die seitliche Seite den Kreisbogen um 30° überspannt. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers, der durch die Drehung dieses Trapezes um einen Radius senkrecht zu seiner Basis entsteht.

22. AB ist der Durchmesser eines gegebenen Halbkreises mit Radius R; BC-Bogen mit 60°. Eine Sehne AC und eine Tangente CD werden eingezeichnet, wobei D ein Punkt auf der Fortsetzung des Durchmessers AB ist. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers, den Sie erhalten, indem Sie das Dreieck ACD um die Achse AD drehen.

Ball und seine Teile.

23. Auf einem Halbkreis mit Radius R vom Ende seines Durchmessers AB wird ein IUP-Bogen von 60 ° gelegt, und Punkt C ist mit A verbunden. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers, der entsteht, wenn wir eine begrenzte Figur um AB drehen durch den Durchmesser AB, die Sehne AC und das Bogen-IUP.

24. Auf einem Halbkreis mit Radius R vom Ende seines Durchmessers AB wird ein Bogen BMC von 45 ° gezeichnet, von Punkt C wird eine Tangente gezeichnet, die die Fortsetzung des Durchmessers AB im Punkt D schneidet. Die Figur wird durch die geraden Linien BD und begrenzt CD und der Bogen BMC dreht sich um BD. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des resultierenden Körpers.

25. O ist das Zentrum des AMC-Bogens mit Radius R; B-Punkt auf der Fortsetzung des Radius OA; BC-Tangente zum Bogen AMC; CD - senkrecht zum Radius OA. Die Figur dreht sich um die Achse OB. Bestimmen Sie den Abstand OD, wenn die durch die Drehung des AMC-Bogens gebildete Fläche das durch die Drehung des Dreiecks OSV um die Achse OB gebildete Volumen halbiert.

26. AMC, CND und DPB sind aufeinanderfolgende Drittel eines Halbkreises mit Durchmesser AB und Mittelpunkt O. Die Radien OS und OD und die Sehnen AC und AD sind eingezeichnet, und die Figur dreht sich um den Durchmesser AB. Beweisen Sie, dass die Zahlen ACND und OCND gleiche Volumina beschreiben, die jeweils die Hälfte des Volumens der Kugel ausmachen.

27. Ein Kreissegment dreht sich um einen Durchmesser parallel zur Sehne. Beweisen Sie, dass das resultierende Volumen gleich dem Volumen einer Kugel ist, deren Durchmesser gleich der Sehne des Segments ist.

28. 1) AOB - Quadrant mit Mittelpunkt O und Radius R; AMC - Bogen mit 60°; AD- Tangente, und D ist der Schnittpunkt mit der Fortsetzung des Radius OS. Die durch die Segmente AD und CD und den Bogen AMC begrenzte Figur rotiert um den Radius OB. Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des resultierenden Körpers.

2) Dasselbe Problem für den AMC-Bogen gleich 45°.

Guldens Theoreme.

29. Überprüfen Sie beide Sätze von Hulden auf Rotationsfälle:

1) ein Rechteck um eine seiner Seiten;

2) eine Raute mit einer Seite a und Höhe h um eine seiner Seiten;

3) ein regelmäßiges Dreieck mit einer Seite a um eine Achse, die parallel zur Basis durch die Oberseite verläuft;

4) ein rechtwinkliges Dreieck um eines der Beine;

5) ein rechtwinkliges Dreieck um die Hypotenuse.

30. Querschnitt eines Eisenrings - ein Quadrat mit einer Seite a = 4cm; durchschnittlicher Ringdurchmesser d = 80 cm und sein spezifisches Gewicht ist 8,6. Finden Sie das Gewicht des Rings.

31. Ein Rettungsring, dessen Querschnitt ein Kreis ist, kann als Körper betrachtet werden, der aus der Drehung eines Kreises um eine Achse entsteht. Schnittdurchmesser d =12cm; Außendurchmesser des Rettungsrings D = 75 cm Berechne die Oberfläche des Rettungsrings und sein Volumen.

32. Das Lokdepot hat im Grundriß die Form eines Halbkreises (Bild 44), dessen Innendurchmesser 20 m beträgt; Halbringbreite 9 m; im Querschnitt hat das Depot die Form eines rechteckigen Trapezes ABCD, dessen parallele Seiten 4,25 m und 6,5 m betragen. Finden Sie das Volumen des Depots.

33. Die Seiten des Dreiecks sind 9 cm, 10 cm und 17 cm, das Dreieck dreht sich um seine größere Höhe. Bestimmen Sie das Volumen der Oberfläche des Rotationskörpers.

34. Beweisen Sie, dass die Volumen, die man erhält, wenn man ein Dreieck um die Basis dreht und um eine gerade Linie parallel zur Basis, die durch die Spitze des Dreiecks verläuft, im Verhältnis 1:2 stehen.

Wenn Sie das Material des Themas studieren, müssen Sie lernen:

Arten von Revolutionskörpern;

Definitionen von Revolutionskörpern;

Definitionen von Elementen von Revolutionskörpern;

Konzepte der Entwicklung eines Zylinders und eines Kegels;

Definition und Berechnung der Mantel- und Vollfläche von Zylinder und Kegel;

Definition der Tangentialebene an die Kugel und ihrer Eigenschaften;

das Konzept der Oberfläche einer Kugel;

Definition eines Polyeders, der in eine Kugel eingeschrieben und um sie herum beschrieben ist.

Bei der Lösung von Problemen werden die folgenden Fähigkeiten getestet:

Revolutionskörper darstellen;

Elemente von Rotationskörpern berechnen;

Ausschnitte von Körpern darstellen;

Berechnen Sie die Fläche der seitlichen und vollen Oberfläche von Zylinder und Kegel;

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kugel.

Fragen der theoretischen Prüfung

Variante 1

1. Das Konzept einer zylindrischen Oberfläche und ihrer Elemente. Formulieren Sie die Definition eines Zylinders und seiner Elemente.

2. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel ab.

3. Ermitteln Sie das Verhältnis von Mantelfläche und Axialschnitt des Kegels.

Option 2

1. Das Konzept einer Kegelfläche. Formulieren Sie die Definition eines Kegels und seiner Elemente.

2. Bestimmen Sie die Position des Mittelpunkts der um eine regelmäßige viereckige Pyramide umschriebenen Kugel. Beweisen Sie Ihre Behauptung.

3. Finden Sie das Verhältnis der Fläche der Mantelfläche und des axialen Abschnitts des Zylinders.

Möglichkeit 3

1. Formulieren Sie die Definition eines Kegelstumpfes und seiner Elemente.

2. Bestimmen Sie die Position des Mittelpunkts der Kugel, die in eine regelmäßige dreieckige Pyramide eingeschrieben ist. Beweisen Sie Ihre Behauptung.

3. Beweisen Sie, dass die gesamte Oberfläche eines gleichseitigen Kegels gleich der Oberfläche einer Kugel ist, deren Durchmesser der Höhe des Kegels entspricht.

Möglichkeit 4

1. Formulieren Sie die Definitionen einer Kugel und einer Kugel. Schreiben Sie die Gleichungen einer Kugel mit Radius R auf, deren Mittelpunkt im Punkt O(0; 0; 0) und im Punkt A(x0; y0; z0) liegt.

2. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegels her.

3. Beweisen Sie, dass die Fläche der vollen Oberfläche eines Zylinders gleich der Fläche der Mantelfläche eines anderen Zylinders mit demselben Radius ist, dessen Höhe gleich der Summe aus dem Radius und der Höhe dieses Zylinders ist .

Selbständiges Arbeiten 17

Variante 1

1. Die Fläche des axialen Abschnitts des Zylinders beträgt 16. Finden Sie die Fläche des Abschnitts dieses Zylinders, der parallel zur Achse liegt und sich in einem Abstand von ihr befindet, der dem halben Radius der Basis entspricht der Zylinder.

2. Der Halbkreis wird zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Winkel zwischen der Erzeugenden und der Höhe des Kegels.

3. Die Radien zweier Kugeln betragen 16 und 20 dm, der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten 25 dm. Finden Sie den Umfang des Kreises, wo sich ihre Flächen schneiden.

Option 2

1. Der Radius der Basis des Zylinders beträgt 26 cm und bildet 4,8 dm. In welchem ​​Abstand von der Achse des Zylinders soll ein achsenparalleler Schnitt gezeichnet werden, der die Form eines Quadrats hat?

2. Der Radius des Sektors beträgt 3 m, sein Winkel 120°. Der Sektor ist zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Radius der Basis des Kegels.

3. Die Diagonalen der Raute betragen 30 und 40 cm, die Kugeloberfläche berührt alle Seiten der Raute. Finden Sie den Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene der Raute, wenn der Radius der Kugel 13 cm beträgt.

Möglichkeit 3

1. Der Radius der Basis des Zylinders beträgt 12 cm. Ermitteln Sie den Abstand zwischen dem axialen Abschnitt und dem Abschnitt mit der halben Fläche.

2. Der Abwicklungswinkel der Seitenfläche des Kegels beträgt 120°. Die Mantellinie des Kegels beträgt 15 cm Berechnen Sie den Durchmesser der Kegelbasis.

3. Eine Raute wird auf eine Kugel mit einem Radius von 10 cm gelegt, so dass jede Seite davon, gleich 12,5 cm, die Kugel berührt. Die Ebene der Raute ist 8 cm von der Mitte der Kugel entfernt. Finde die Fläche der Raute.

Möglichkeit 4

1. Durch die Erzeugende des Zylinders werden zwei zueinander senkrechte Schnitte gezogen, deren Flächen gleich 60 und 80 dm sind. Finden Sie die Fläche des Axialschnitts.

2. Der Radius der Basis des Kegels beträgt 12 cm und bildet 40 cm. Berechnen Sie den Schwenkwinkel dieses Kegels.

3. Die Seiten des Dreiecks sind 10 dm, 10 dm und 12 dm. Finden Sie den Abstand von der Ebene des Dreiecks zum Mittelpunkt der Kugel, die die Seiten des Dreiecks tangiert. Der Radius der Kugel beträgt 5 dm.

Selbständiges Arbeiten 18

Variante 1

1. Die Diagonale des Axialschnitts des Zylinders ist um 25 % größer als der Durchmesser seiner Basis. Finden Sie die Gesamtfläche des Zylinders, wenn der Abstand zwischen seinen Mittelpunkten 15 cm beträgt.

2. Entwicklung der Seitenfläche des Zylinders - ein Quadrat mit einer Seite von 4 dm. Berechne das Volumen des Zylinders.

3. Die Diagonalen des axialen Schnitts des Kegelstumpfes stehen senkrecht aufeinander, die Höhe des Kegels ist H und bildet l. Finden Sie die Seitenfläche des Kegels.

4. Der Radius der Kegelbasis beträgt 12 cm und bildet 40 cm. Ermitteln Sie den Entwicklungswinkel der Seitenfläche des Kegels.

5. Generator eines Kegelstumpfes 10 cm, Basisdifferenz 6 cm, axiale Schnittfläche 112 cm2. Finden Sie die Seitenfläche des Kegels.

6. Ein Parallelogramm mit Seitenlängen von 21 cm und 89 cm und einer Diagonalen von 100 cm dreht sich um die kleinere Seite. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

7. Ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln von 16 und 12 cm dreht sich um die Hypotenuse. Finden Sie das Volumen und den Rotationsbereich.

Option 2

1. Die Seitenfläche des Zylinders ist die Hälfte seiner Gesamtfläche. Ermitteln Sie die Gesamtfläche des Zylinders, wenn die Diagonale des axialen Schnitts 10 Zoll beträgt.

2. Die Gesamtfläche des Zylinders beträgt 500 p cm2, der Durchmesser seiner Basis beträgt 20 cm. Ermitteln Sie das Volumen des Zylinders.

3. Die Erzeugende eines Kegelstumpfes bezieht sich auf seine Höhe als 41:40. Die Basisradien sind 24 und 6 cm.Finde die Mantelfläche des Kegels.

4. Der Abwicklungswinkel der Seitenfläche des Kegels beträgt 120°. Die Erzeugende des Kegels beträgt 15 cm. Berechne die gesamte Oberfläche des Kegels.

5. Finden Sie die Höhe eines Kegelstumpfes, wenn seine Seitenfläche gleich der Summe der Flächen der Grundflächen ist und die Radien der Grundflächen R und r sind.

6. Ein gleichschenkliges Trapez mit einer Grundfläche von 12 und 18 cm und einem spitzen Winkel von 60° dreht sich um eine kleinere Grundfläche. Finden Sie die Oberfläche und das Volumen des Rotationskörpers.

7. Ein Dreieck mit zwei Seiten gleich 5 cm und 8 cm, bildet einen Winkel von 60 °, dreht sich um die größte Seite. Finden Sie die Oberfläche und das Volumen des Rotationskörpers.

Selbständiges Arbeiten 19

Variante 1

1. Ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln von 16 und 12 cm dreht sich um die Hypotenuse. Finden Sie die Oberfläche des Rotationskörpers.

2. Die Radien der Basen des Kugelgürtels betragen 63 und 39 cm, seine Höhe beträgt 36 cm. Finden Sie die Oberfläche des Kugelgürtels.

3. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide h. Seitliche Rippen sind zueinander senkrecht. Finden Sie den Radius der umschriebenen Kugel.

4. In einem regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpf beträgt die Höhe 17 cm, die Radien der um die Basen beschriebenen Kreise betragen 5 und 12 cm. Finden Sie den Radius der umschriebenen Kugel.

5. Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von a dreht sich um eine Senkrechte zur Diagonale, die durch sein Ende gezogen wird. Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Körpers.

Option 2

1. Ein Dreieck, dessen zwei Seiten 5 und 8 cm lang sind, einen Winkel von 60 ° bilden, dreht sich um die größte Seite. Finden Sie die Oberfläche des Rotationskörpers.

2. Die Gesamtfläche des Kugelsegments ist gleich S. Bestimmen Sie die Höhe des Segments, wenn der Radius der Kugel R ist.

3. Die Basis der Pyramide ist ein regelmäßiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 3 dm. Eine der Seitenkanten ist 2 dm lang und senkrecht zur Basis. Finden Sie den Radius der umschriebenen Kugel.

4. Die Seiten der Grundflächen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes betragen 7 und 1 dm. Die Seitenkante ist in einem Winkel von 45° zur Basis geneigt. Ermitteln Sie den Radius der umschriebenen Kugel.

5. Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seite a dreht sich um die äußere Achse, die parallel zur Seite ist und von ihr um die Länge des Apothems beabstandet ist. Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Körpers.

Selbständiges Arbeiten 20

Variante 1

1. Die Seitenkante einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist gleich b und bildet mit der Basisebene einen Winkel a. Einer Pyramide wird ein gleichseitiger Zylinder so eingeschrieben, dass die Ebene der Grundfläche in der Ebene der Grundfläche der Pyramide liegt. Berechne das Volumen des Zylinders.

2. Die Basis der Pyramide ist ein regelmäßiges Dreieck. Eine Seitenkante steht senkrecht auf der Grundebene und ist gleich l, die anderen beiden bilden mit der Grundebene einen Winkel a. In die Pyramide ist ein gerades Prisma eingeschrieben, von dem drei Spitzen auf den Seitenkanten der Pyramide und die anderen drei auf der Basis der Pyramide liegen, wobei die Diagonale der Seitenfläche des Prismas mit der Ebene der Basis zusammenfällt Ð b. Finde die Höhe des Prismas.

3. In einem regelmäßigen viereckigen Prisma ist die Fläche der Seitenfläche gleich q. Finden Sie die Fläche des Diagonalschnitts.

4. Eine Ebene senkrecht zum Durchmesser des Balls teilt ihn in Teile von 3 und 9 cm In welche Teile wird das Volumen des Balls unterteilt?

Option 2

1. Der Winkel an der Spitze des Axialschnitts des Kegels beträgt 2b. Der Umfang der Basis beträgt c. Bestimmen Sie die Fläche der Mantelfläche des Kegels.

2. Die Diagonalen des Axialschnitts eines Kegelstumpfes werden durch den Schnittpunkt im Verhältnis 2: 1 geteilt, von der großen Basis aus gerechnet. Der Winkel zwischen den der Basis zugewandten Diagonalen ist a. Die Diagonale ist l. Finde das Volumen des Kegels.

3. Die Seitenkante eines rechten Parallelepipeds beträgt 5 cm, die Seiten der Basis 6 und 8 cm, eine der Diagonalen der Basis 12 cm. Finde die Diagonalen des Parallelepipeds.

4. Welcher Teil des Kugelvolumens ist das Volumen eines Kugelsegments mit einer Höhe von 0,1 des Kugeldurchmessers?

Möglichkeit 3

1. Die Erzeugende des Kegels ist gleich l und in einem Winkel a zur Ebene der Basis geneigt. Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche des eingeschriebenen Würfels.

2. In die Basis des Kegels ist ein Quadrat eingeschrieben, dessen Seite a ist. Die Ebene, die durch eine der Seiten dieses Quadrats und die Spitze des Kegels verläuft, bildet beim Schnitt mit der Oberfläche des Kegels ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Winkel an der Spitze gleich a. Finde das Volumen des Kegels.

3. Die Seite der Basis eines regulären viereckigen Prismas beträgt 15 cm und die Höhe 20 cm. Finden Sie den kürzesten Abstand von der Seite der Basis zur Diagonale des Prismas, die es nicht schneidet.

4. Zwei gleiche Kugeln werden so angeordnet, dass der Mittelpunkt der einen auf der Oberfläche der anderen liegt. Wie verhält sich das Volumen des gesamten Teils der Kugeln zum Volumen der ganzen Kugel?

Möglichkeit 4

1. Ein gerades dreieckiges Prisma mit gleichen Rippen ist in einen Kegel einbeschrieben, dessen Erzeugende unter einem Winkel a zur Ebene der Basis geneigt ist. Bestimme das Volumen des Prismas, wenn der Radius der Kegelbasis R ist.

2. Das Volumen des Kegels ist V. In den Kegel ist eine Pyramide eingeschrieben, an deren Basis ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Winkel a zwischen den Seiten liegt. Finden Sie das Volumen der Pyramide.

3. Bei einem rechten Quader beträgt die Seitenkante 1 m, die Seiten der Grundfläche 23 dm und 11 dm, die Diagonalen der Grundfläche 2: 3. Finden Sie die Flächen der Diagonalschnitte.

4. Finden Sie auf der Seite der Basis a und der Seitenkante b die volle Oberfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas.