Wenn wir über die Lösung eines bestimmten Problems nachdenken, muss darauf geachtet werden, welche Mengen darin verwendet werden. Ganz oder gebrochen? Positiv oder negativ? Schließlich hilft ein unbedeutendes Detail nicht nur, einen Fehler bei der Lösung eines bestimmten Problems zu beseitigen, sondern auch, die Lösung selbst zu finden. Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Lassen Sie Misha (ich entschuldige mich im Voraus, wenn der Website-Besucher Mikhail ist) fünf Rubel- und, sagen wir, acht Rubel-Münzen haben. Insgesamt sind es neununddreißig Rubel. Wie viele Fünf-Rubel-Münzen und wie viele Acht-Rubel-Münzen hat Mischa.

Es scheint, dass hier nicht genügend Daten vorhanden sind, wenn zum Beispiel x die Anzahl der 5-Rubel-Münzen und y - 8-Rubel-Münzen bezeichnet, dann erlaubt uns die Bedingung des Problems selbst, eine einzige Gleichung zu schreiben:

Diese und andere Gleichungen und ihre Systeme, in denen die Zahl der Unbekannten die Zahl der Gleichungen übersteigt, nennt man unbestimmt.

Aus der Bedingung ist ersichtlich, dass die Anzahl der Münzen nicht durch nicht ganzzahlige oder negative Zahlen gemessen werden kann. Also, wenn x eine nicht negative ganze Zahl ist, dann:

muss nicht negativ und ganzzahlig sein. Das bedeutet, dass der Ausdruck 39 - 5x ohne Rest durch 8 teilbar sein muss.Mit Hilfe der Selektion können Sie dafür sorgen, dass dies bei x = 3 möglich ist. Also y = 3.

Die Aufzählung von Optionen ist nicht bequem, wenn wir mit großen Zahlen arbeiten. Es ist viel besser, die Methode der Streuung oder der Abstiegsmethode zu verwenden, die von den alten indischen Mathematikern erfunden wurde. Das Abstiegsverfahren wird unten diskutiert.

(Material aus der Avanta+ Enzyklopädie „Mathematik“)

Setzen wir die Betrachtung einer unbestimmten Gleichung der Form fort:

wobei a, b, c bekannte ganzzahlige Koeffizienten sind.

Schauen wir uns das an einem bekannten Beispiel an:

Wir wählen die Unbekannte mit dem kleinsten Koeffizienten und drücken sie durch eine andere Unbekannte aus:

Jetzt wählen wir den ganzen Teil aus:

Die ganze Zahl ist eine ganze Zahl, wenn sich herausstellt, dass der Wert (4 - 3y) / 5 eine ganze Zahl ist. Dies ist nur möglich, wenn die Zahl (4 - 3y) ohne Rest durch 5 teilbar ist.Indem wir eine zusätzliche ganzzahlige Variable z einführen, schreiben wir die letzte Bedingung in die Form

Wir sind zu einer Gleichung vom gleichen Typ wie die ursprüngliche gelangt, jedoch mit kleineren Koeffizienten. Jetzt müssen Sie es in Bezug auf die Variablen y und z lösen.

Wir handeln weiterhin nach dem gleichen Prinzip:

Damit y eine ganze Zahl wird, muss die Zahl 1 - 2z ohne Rest durch 3 teilbar sein: 1 - 2z = 3u (es wurde wieder eine zusätzliche Variable u eingeführt, die nur ganzzahlige Werte annimmt) . Von hier aus erhalten wir nach dem bereits ausgearbeiteten Schema:

Fahren wir fort... Die Zahl z ist eine ganze Zahl, wenn die Zahl 1 - u ohne Rest durch 2 teilbar ist: 1 - u = 2v, wobei v eine beliebige ganze Zahl ist. Also u =1 - 2v. Es gibt keine Schüsse mehr, der Abstieg ist vorbei.

Es bleibt jetzt sicher, "aufzustehen". Lassen Sie uns in Bezug auf die Variable v zuerst z, dann y und schließlich x ausdrücken:

Die Formeln x = 3 + 8v, y = 3 - 5v stellen die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung in ganzen Zahlen dar. Und wenn wir nur an nicht negativen ganzen Zahlen interessiert sind, dann müssen wir unter allen ganzzahligen Lösungen diejenigen auswählen, für die

Das Lösen dieser Gleichung bedeutet:

1) Bestimmen Sie den Satz zulässiger Werte der Unbekannten und Parameter;

2) Finde für jedes zulässige System von Parameterwerten die entsprechenden Sätze von Lösungen zu den Gleichungen.

Die einfachste Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten hat die Form ax-b=0.

Wenn die Gleichung eine eindeutige Lösung hat, die sein wird: positiv, wenn oder; null wenn; negativ wenn oder.

Wenn a=0, dann gibt es unendlich viele Lösungen für b=0, aber keine Lösungen für b0.

Beispiel 1. Lösen Sie für jeden Wert von a die Gleichung; Finden Sie heraus, für welche und die Wurzeln größer als Null sind.

Diese Gleichung ist keine lineare Gleichung (d. h. es ist ein Bruch), aber für x-1 und x0 reduziert sie sich auf: oder a-1-x=0.

Wir haben bereits die zulässigen Werte von x (x-1 und x0) identifiziert, jetzt werden wir die zulässigen Werte des Parameters a offenbaren:

a-1-x=0 a=x+1

Daraus ist ersichtlich, dass bei x0 a1 und bei x-1 a0.

Somit ist für a1 und a0 x=a-1 und diese Wurzel ist größer als Null für a>1.

Antwort: bei a<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 Wurzeln sind positiv.

Beispiel 2. Gleichung (1) lösen.

Gültige Werte von k und x sind die Werte für die.

Bringen wir die Gleichung auf ihre einfachste Form:

(9 - k)x =3k-12 (2)

Lassen Sie uns k finden, für das die ursprüngliche Gleichung keinen Sinn ergibt:

Durch Einsetzen in (2) erhalten wir:

Wenn wir ersetzen, erhalten wir dasselbe.

Somit hat Gleichung (1) keine numerische Bedeutung, d.h. sind ungültige Werte des Parameters k für (1). Bei können wir nur Gleichung (2) lösen.

1. Wenn, dann haben Gleichung (2) und zusammen mit ihr Gleichung (1) eine eindeutige Lösung, die sein wird:

a) positiv, wenn, bei 4

b) null wenn;

c) negativ, falls und k>9, unter Berücksichtigung

Wir erhalten.

2. Wenn, dann hat Gleichung (2) keine Lösungen.

Antwort: a) für und und x>0 für; x=0 für k=4; x<0 при;

b) bei hat die Gleichung keine Lösungen.

Lineare Gleichungen mit Modul lösen

Zunächst ist es wichtig, sich daran zu erinnern, was der Modul einer Zahl ist. Der Absolutwert oder Modul einer Zahl ist also die Zahl x selbst, wenn x positiv ist, die Zahl (-x), wenn x negativ ist, oder Null, wenn x=0. Der Modulwert kann nur positiv sein.

Um die Lösung parametrischer Gleichungen zu verstehen, die das Vorzeichen des Moduls enthalten, ist es am besten, die Lösung visuell zu demonstrieren, d.h. nenne Beispiele:

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung |x-2|=b.

Da nach der Definition des Moduls |x-2|, dann für b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Wenn b>0, dann sind die Lösungen der Gleichung die Zahlen x=2+b und x=2-b.

Antwort: für b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 x=2+b und x=2-b.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung |x-a|=|x-4|. Für zwei Fälle ist es am bequemsten, diese Gleichung mit der Intervallmethode zu lösen:

1. Erstes Intervall:

Zweites Intervall:

Diese. wenn ein<4, то.

Drittes Intervall:

a=4, d.h. wenn a=4, dann.

2. Erstes Intervall:

Zweites Intervall:

a>4, d.h. wenn 4<а, то

Drittes Intervall:

Antwort: mit a \u003d 4 x-beliebig;, mit a<4 .

Beispiel 3. Finden Sie für jeden Wert des Parameters a alle Werte von x, die die Gleichung |x+3|- a| erfüllen x - 1| =4.

Betrachten Sie 3 Intervalle: 1) , 2) , 3) ​​​​und lösen Sie die ursprüngliche Gleichung für jedes Intervall.

Für a=1 hat die Gleichung keine Lösungen, aber für a1 hat die Gleichung eine Wurzel. Jetzt müssen wir herausfinden, für welche a x auf das Intervall x fällt< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет.

Wenn a = - 1 ist, ist die Lösung der Gleichung ein beliebiges x; aber wir entscheiden uns dazwischen. Wenn a1, dann hat die Gleichung eine Wurzel x=1.

Für a=1 ist die Lösung eine beliebige Zahl, aber wir entscheiden uns dafür. Wenn a1, dann x=1.

Antwort: bei; bei a= - 1 und bei a1 x=1; für a=1 und für a1 x=1.

Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Parameter

Lassen Sie mich zunächst daran erinnern, dass eine quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ist, wobei a, b und c Zahlen sind, außerdem a0.

Die Bedingungen parametrischer quadratischer Gleichungen können unterschiedlich sein, aber um sie alle zu lösen, müssen Sie die Eigenschaften einer gewöhnlichen quadratischen Gleichung anwenden:

a) Wenn D > 0, a > 0, dann hat die Gleichung zwei reell unterschiedliche Wurzeln, deren Vorzeichen für c > 0 dieselben und im Vorzeichen des Koeffizienten b entgegengesetzt sind, und für c<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

b) Wenn D=0, a>0, dann hat die Gleichung zwei reelle und gleiche Wurzeln, deren Vorzeichen dem Vorzeichen des Koeffizienten b entgegengesetzt ist.

c) Wenn D<0, а>0, dann hat die Gleichung keine echten Wurzeln.

Ebenso kann man die Eigenschaften der Wurzeln für a darstellen<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

1. Wenn Sie die Koeffizienten a und c vertauschen, dann sind die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichung invers zu den Wurzeln dieser Gleichung.

2. Wenn Sie das Vorzeichen des Koeffizienten b ändern, sind die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichung den Wurzeln dieser Gleichung entgegengesetzt.

3. Wenn die Koeffizienten a und c unterschiedliche Vorzeichen haben, dann hat die Gleichung reelle Wurzeln.

Beispiel 1. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die die quadratische Gleichung: a) zwei verschiedene Wurzeln hat; b) hat keine Wurzeln; c) hat zwei gleiche Wurzeln.

Diese Gleichung ist bedingt quadratisch, also a-1. Betrachten Sie die Diskriminante dieser Gleichung:

Für a>-1 hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln, da D>0, für a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

Beispiel2. löse die Gleichung

Für a=0 ist die Gleichung linear 2x+1=0, was eine eindeutige Lösung x=-0,5 hat. Und bei a0 ist die Gleichung quadratisch und ihre Diskriminante ist D=4-4a.

Für a > 1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1.

Für ein<1, но а0, D>0 und diese Gleichung hat zwei verschiedene Wurzeln

Antwort: und für a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.

Beispiel3. Die Wurzeln der Gleichung sind so, dass. Finde einen.

Nach dem Satz von Vieta und. Lassen Sie uns beide Teile der ersten Gleichheit quadrieren: . Vorausgesetzt, a, erhalten wir: oder, . Die Prüfung zeigt, dass alle Werte die Bedingung erfüllen.

Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer c ist n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

Zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein von Null Grad.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit Exponent Null ist gleich Eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.

137. Aufgabe. Erfahrungsgemäß verliert ein 148 kg schwerer Barren aus Silber und Kupfer 14 2/3 kg an Wasser. Bestimmen Sie, wie viel Silber und wie viel Kupfer darin enthalten sind, wenn bekannt ist, dass 21 kg Silber 2 kg in Wasser und 9 kg Kupfer 1 kg verlieren.

Nehmen Sie an, dass dieser Barren Silber enthält X kg und Kupfer bei kg. Dann wäre eine Gleichung: x + y =148 . Um eine weitere Gleichung aufzustellen, nehmen wir an, dass, wenn 21 kg Silber 2 kg an Gewicht in Wasser verlieren, dies bedeutet, dass 1 kg Silber 2/21 kg in Wasser verliert. Dann X kg muss im Wasser verloren gehen 2 / 21 X kg Gewicht. Wenn 9 kg Kupfer 1 kg in Wasser verlieren, bedeutet dies, dass 1 kg Kupfer 1/9 kg verliert; Folglich, bei kg Kupfer verlieren 1/9 bei kg. Die zweite Gleichung lautet also: 2 / 21 X + 1 / 9 bei = 14 2 / 3 Wir haben also zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten erhalten:

x + y =148 und 2 / 21 X + 1 / 9 bei = 14 2 / 3 = 44 / 3

Die zweite Gleichung lässt sich vereinfachen, indem man sie von Brüchen befreit. Dazu bringen wir alle Brüche auf einen Nenner:

6 / 63 X + 7 / 63 bei = 924 / 63

Multiplizieren Sie nun beide Seiten der Gleichung mit 63; wir erhalten eine äquivalente Gleichung:

x + y = 924

Wir haben jetzt zwei Gleichungen:

x + y =148 und 6x + 7j = 924

Wir können diese beiden Gleichungen auf verschiedene Arten lösen. Zum Beispiel wie folgt: Aus der ersten Gleichung bestimmen wir X abhängig von bei (mit anderen Worten: definieren X als Funktion von bei ):

x = 148 - y.

Da in der zweiten Gleichung die Buchstaben X und bei bedeuten die gleichen Zahlen wie in der ersten Gleichung, dann können wir in der zweiten Gleichung statt dessen einsetzen X Unterschied 148 - bei .

6 (148 - Jahre) + 7 Jahre = 924

Lösen wir diese Gleichung mit einer Unbekannten:

888 - 6 Jahre + 7 Jahre \u003d 924; y \u003d 924 - 888 \u003d 36.

Dann x \u003d 148 - 36 \u003d 112.

Somit enthält dieser Barren 112 kg Silber u 36 kg Kupfer.

138. Normalform einer Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten. Nehmen Sie dieses Beispiel einer Gleichung mit 2 Unbekannten:

2 (2x + 3y - 5) = 5/8 (x + 3) + 3/4 (y - 4).

Um diese Gleichung zu vereinfachen, werden wir in ihr dieselbe Reihe von Transformationen vornehmen, die früher für eine Gleichung mit 1 unbekannt angegeben wurde, nämlich.

1) Erweitern Sie die Klammern: 4x + 6y - 10 = 5 / 8 x + 15 / 8 + 3 / 4 y - 3

2) Werde die Nenner los, indem du alle Terme mit multiplizierst 8 :

32x + 48y - 80 = 5x + 15 + 6y - 24

3) Wir übertragen die unbekannten Terme auf einen Teil der Gleichung und die bekannten auf den anderen:

32x + 48y -5x - 6y = 15 - 24 + 80

4) Nehmen wir eine Reduktion ähnlicher Begriffe vor:

27x + 42y = 71.

Nach diesen Transformationen stellt sich also heraus, dass diese Gleichung eine Form hat, in der es nur zwei Terme auf der linken Seite der Gleichung gibt: einen mit einer Unbekannten X (im ersten Grad) und eine andere mit einem Unbekannten bei (bis zum ersten Grad) besteht die rechte Seite der Gleichung nur aus einem Term, der keine Unbekannten enthält. Koeffizienten bei X und bei es kann entweder beide positiv sein (wie in dem Beispiel, das wir genommen haben), oder beide negativ (dieser Fall kann jedoch auf den vorherigen reduziert werden, indem alle Terme der Gleichung mit -1 multipliziert werden), oder eins ist positiv und der andere ist negativ; der Term auf der rechten Seite kann entweder eine positive Zahl (wie im vorliegenden Beispiel) oder negativ und sogar Null sein. Bezeichnet die Koeffizienten bei X und bei Briefe a und b und ein Begriff, der keine Unbekannten enthält, mit dem Buchstaben Mit , können wir die Gleichung mit 2 Unbekannten 1. Grades allgemein wie folgt darstellen:

axt + by = c.

Diese Art von Gleichung wird als Normalform einer Gleichung 1. Grades mit 2 Unbekannten bezeichnet.

139. Unsicherheit einer Gleichung mit 2 Unbekannten. Eine Gleichung mit 2 Unbekannten hat unendlich viele Wurzeln. In der Tat, wenn wir einer von einigen Unbekannten eine willkürliche Zahl zuweisen und diese Zahl in die Gleichung einsetzen, dann erhalten wir eine Gleichung mit nur einer anderen Unbekannten; aus dieser Gleichung kann man diese andere Unbekannte finden. Also, wenn in der Gleichung 3x-2y=-6 wir werden das akzeptieren y = 2 , dann wird die Gleichung sein 3x - 4 = -6 von wo wir finden: 3x = - 2 und x = - 2 / 3 . Also wenn y = 2 , dann x = - 2 / 3 .

Jetzt zuweisen für bei eine andere Nummer, z. y = 1 . Dann bekommen wir 3x-2=-6 , 3x = - 4 , X = -1 1 / 3 . Also wenn y = 1 , dann. X = -1 1 / 3 . Somit können wir beliebig viele Lösungspaare finden, und daher wird die Gleichung unbestimmt sein.

Dies kann auch grafisch dargestellt werden. Aus der Gleichung:

3x-2y=-6 (1)

definieren bei als Funktion von X :

Es ist notwendig, sich schnell und genau an eine gegebene Gleichung zu gewöhnen, um eine Unbekannte als Funktion einer anderen Unbekannten zu bestimmen. Also, um aus unserer Gleichung zu bestimmen bei als Funktion von X , es ist notwendig, den Begriff mental zu verschieben - 2 Jahre rechts, und das Mitglied - 6 nach links, ordne dann die Teile der Gleichung neu an und dividiere sie durch 2 ; das Ergebnis dieser Transformationen muss direkt geschrieben werden.

Diese Funktion ist ein Binom 1. Grades, und ein solches Binom wird in den Koordinatenachsen in Form einer Geraden dargestellt, die wir z. B. aus zwei Punkten konstruieren können (Abschnitt 3 § 118). so was:

Die Koordinaten jedes Punktes dieser Linie erfüllen die Gleichung (2) und erfüllen daher auch die Gleichung (1); und da es unendlich viele Punkte auf der Geraden gibt, hat Gleichung (1) unendlich viele Lösungen.

140. Gleichungssystem. Es ist üblich zu sagen, dass mehrere Gleichungen ein System bilden, wenn in all diesen Gleichungen jeder der Buchstaben vorkommt x, y, . . bedeutet die gleiche Zahl für alle Gleichungen.

Wenn zum Beispiel zwei Gleichungen:

gelten als vorausgesetzt, dass das Schreiben X bedeutet in beiden Gleichungen dieselbe Zahl, ebenso der Buchstabe bei , dann bilden solche Gleichungen ein System. Dies geschieht immer dann, wenn die Gleichungen aus den Bedingungen desselben Problems zusammengesetzt sind.

Wir geben drei Möglichkeiten an, ein System von 2 Gleichungen 1. Grades mit 2 Unbekannten zu lösen.

141. Methode der Substitution. Wir haben diese Methode1 schon einmal verwendet, als wir das Problem eines Barrens aus Silber und Kupfer () gelöst haben. Nehmen wir jetzt ein komplexeres Beispiel:

8x - 5y = - 16; 10x + 3y = 17

(beide Gleichungen wurden auf Normalform reduziert).

Aus einer Gleichung, zum Beispiel aus der ersten, bestimmen wir eine Unbekannte, zum Beispiel X , als Funktion einer weiteren Unbekannten:

Da die zweite Gleichung die gleichen Werte wie die erste erfüllen muss, können wir sie stattdessen einsetzen X gefundenen Ausdruck, aus dem wir eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten bei :

Lösen wir diese Gleichung:

Wir könnten aus einer Gleichung bestimmen bei als Funktion von X und ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck bei in eine andere Gleichung; dann würden wir eine Gleichung mit einer Unbekannten bekommen X .

Diese Methode ist besonders praktisch, wenn der Koeffizient für einige Unbekannte 1 ist; dann ist es am besten, diese Unbekannte als Funktion einer anderen Unbekannten zu definieren (keine Notwendigkeit, durch einen Faktor zu dividieren) und so weiter.

Aus der zweiten Gleichung finden wir:

y \u003d 22-4x.

Dann ergibt die erste Gleichung:

3x - 2 (22 - 4x) = 11; 3x -44 + 8x = 11; 11x = 44 + 11 = 55.

x \u003d 55 / 11 \u003d 5; y = 22 - 4 5 = 2.

Regel. Um ein System aus zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten durch die Substitutionsmethode zu lösen, ist es notwendig, eine Unbekannte aus einer Gleichung als Funktion einer anderen Unbekannten zu bestimmen und den resultierenden Ausdruck in eine andere Gleichung einzusetzen; dies ergibt eine Gleichung mit einer Unbekannten. Nachdem sie es gelöst haben, finden sie dies unbekannt. Durch Einsetzen der gefundenen Zahl in den zuvor abgeleiteten Ausdruck für die erste Unbekannte wird auch diese andere Unbekannte gefunden.

142. Methode der Addition oder Subtraktion. Nehmen wir zunächst an, dass in einem gegebenen Gleichungssystem (vorher auf Normalform reduziert) die Koeffizienten für einige Unbekannte, z bei , wird dasselbe sein. In diesem Fall können zwei Fälle auftreten:

1) Die Vorzeichen vor solchen Koeffizienten sind unterschiedlich und

2) Die Vorzeichen sind gleich. Betrachten wir diese beiden Fälle parallel. Gegeben seien beispielsweise zwei Systeme:

Wenn wir Termweise die Gleichungen des ersten Systems addieren und Termweise die Gleichungen des zweiten Systems subtrahieren, dann wird die Unbekannte y eliminiert:

Wo: x=5 x=3

Einsetzen in eine dieser Gleichungen statt X die Nummer dafür gefunden, finden wir bei :

Nehmen wir nun beispielsweise ein System, bei dem die Koeffizienten unterschiedlich sind. so was:

Wir können dann die Koeffizienten für eine Unbekannte vorläufig egalisieren, zum Beispiel für X . Dazu finden wir ein Vielfaches (am besten das kleinste) der Koeffizienten 7 und 5 (das wird 35 sein) und multiplizieren beide Seiten jeder Gleichung mit dem entsprechenden zusätzlichen Faktor (wie es gemacht wird, wenn Brüche auf einen gemeinsamen Wert reduziert werden). Nenner):

Danach müssen nur noch die transformierten Gleichungen addiert oder subtrahiert werden. In unserem Beispiel die Vorzeichen vor den Koeffizienten X verschiedene; Also müssen die Gleichungen hinzugefügt werden:

Nun ergibt die erste Gleichung:

7x + 6 2 1 / 2 = 29; 7x + 15 = 29; 7x = 14; x = 2.

Regel. Um ein System aus zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten durch Addition oder Subtraktion zu lösen, müssen Sie zuerst die Koeffizienten in beiden Gleichungen für eine Unbekannte ausgleichen und dann beide Gleichungen addieren, wenn die Vorzeichen vor diesen Koeffizienten unterschiedlich sind, oder die Gleichungen subtrahieren, wenn die Vorzeichen sind die gleichen.

143. Grafische Lösung. Gegeben sei das System:

8x - 5y \u003d - 16; 10x + 3y = 17.

Aus jeder Gleichung bestimmen wir bei als Funktion von X :

Die Graphen dieser Funktionen sollten gerade Linien sein. Lassen Sie uns auf jeweils einer Zeichnung um zwei Punkte aufbauen, zum Beispiel wie folgt:

aus der gleichung...... y = 1 3 / 5 x + 3 1 / 5 :

aus der gleichung...... y \u003d 5 2 / 3 - 3 1 / 3 x:

Die Zeichnung zeigt, dass sich zwei Geraden in einem Punkt schneiden, dessen Abszisse gleich ist 1 / 2 , und die Ordinate 4 . Diese Werte X und bei , die beide Gleichungen erfüllen, und werden Lösungen dieses Systems sein.

Bemerkungen . 1) Wenn sich herausstellte, dass die Linien, die diese Gleichungen ausdrücken, parallel sind und es daher keinen Schnittpunkt gibt, dann würde dies bedeuten, dass die Gleichungen keine Wurzeln haben.

2) Es kann vorkommen, dass 2 Linien zu einer verschmelzen; dann erfüllen die Koordinaten jedes Punktes dieser Linie die gegebenen Gleichungen, und daher ist das System unbestimmt.

3) Am Ende des 2. Teils dieses Buches werden allgemeine Formeln zur Lösung eines Systems aus zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ersten Grades angegeben (§ 396 ff.).

Kapitel Zwei.

System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

144. Normalform einer Gleichung ersten Grades mit drei Unbekannten. Wenn in der Gleichung des 1. Grades mit 3 Unbekannten x, y und z die gleichen Transformationen vorgenommen haben, die wir zuvor für eine Gleichung mit 1 und 2 Unbekannten angegeben haben, dann bringen wir die Gleichung in eine solche Form (genannt normal), in der es nur drei Terme auf der linken Seite der Gleichung gibt: einen mit X , ein anderer mit bei und dritte mit z , und auf der rechten Seite befindet sich ein Begriff, der keine Unbekannten enthält.

Das ist zum Beispiel die Gleichung:

5x - 3y - 4z = -12.

Sein allgemeines Aussehen ist wie folgt:

ax + by + cz = d,

wo a, b, c und d einige relative Zahlen.

145. Unsicherheit von zwei und einer Gleichung mit drei Unbekannten. Angenommen, wir haben ein System von 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten:

5x-3y + z = 2; 2x + y-z = 6.

Weisen Sie eine Unbekannte zu, z. z , eine beliebige Zahl, setzen Sie 1 und ersetzen Sie diese Zahl an Ort und Stelle z :

Wir haben also ein System von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten erhalten. Wenn wir es irgendwie lösen, finden wir: x=2, y=3 ; daher ist dieses System mit 3 Unbekannten erfüllt x = 2 , y = 3 und z=1 . Geben wir nun beispielsweise der Unbekannten z einen anderen Wert. z = 0 , und setzen Sie diesen Wert in diese Gleichungen ein:

5x-3y = 2; 2x + y = 6.

Wir erhalten wieder ein System von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Wenn wir es irgendwie lösen, finden wir:

x = 20 / 11 = 1 9 / 11 j = 2 4 / 11

Dies bedeutet, dass dieses System erfüllt ist, wenn x = 1 9 / 11 j = 2 4 / 11 und z = 0 . Ernennung für z einen anderen (dritten) Wert, erhalten wir wieder ein System von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, aus denen wir neue Werte für finden X und bei . Da für z wir können beliebig viele verschiedene Nummern zuweisen, dann z X und bei Wir können eine beliebige Anzahl von Werten erhalten (entsprechend den genommenen Werten z ). Daher lassen 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten unendlich viele Lösungen zu; mit anderen Worten, ein solches System ist unbestimmt.

Es wird noch größere Unsicherheit geben, wenn es nur 1 Gleichung mit 3 Unbekannten gibt. Dann ist es möglich, etwa 2 Unbekannten beliebige Nummern zuzuweisen; Die dritte Unbekannte kann aus dieser Gleichung gefunden werden, wenn wir die willkürlich genommenen Werte für zwei Unbekannte einsetzen.

146. System von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Um für drei Unbekannte eindeutige Zahlenwerte finden zu können x, y und z , ist es notwendig, dass ein System von 3 Gleichungen gegeben ist. Ein solches System kann sowohl mit der Substitutionsmethode als auch mit der Methode des Addierens oder Subtrahierens von Gleichungen gelöst werden. Wir zeigen die Anwendung dieser Methoden im folgenden Beispiel (jede Gleichung wird zuvor auf die Normalform reduziert):

147. Methode der Substitution. Aus irgendeiner Gleichung, zum Beispiel aus der ersten, bestimmen wir eine Unbekannte, zum Beispiel X, als Funktion der beiden anderen Unbekannten:

Da in allen Gleichungen X dieselbe Zahl bedeutet, dann können wir den gefundenen Ausdruck ersetzen X zu den restlichen Gleichungen:

Wir kommen also zu einem System von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten bei und z . Nachdem wir dieses System mit einer der zuvor angegebenen Methoden gelöst haben, finden wir die numerischen Werte für bei und G . In unserem Beispiel sind dies die Werte: y=3, z=2 ; Ersetzen dieser Zahlen in den Ausdruck, für den wir abgeleitet haben X , suchen wir das Unbekannte:

Somit hat das vorgeschlagene System eine Lösung x=1, y=3, z=2 (was durch Verifizierung verifiziert werden kann).

148. Methode der Addition oder Subtraktion. Von den 3 gegebenen Gleichungen nehmen wir zum Beispiel einige zwei. 1. und 2., und nachdem die Koeffizienten in ihnen vor einem Unbekannten, zum Beispiel vorher, angeglichen wurden z , wir schließen diese Unbekannte von ihnen durch die Methode der Addition oder Subtraktion aus; daraus erhalten wir eine Gleichung mit 2 Unbekannten X und bei . Dann nehmen wir zum Beispiel zwei andere Gleichungen aus 3 Daten. 1. und 3. (oder 2. und 3.), und ebenso schließen wir von ihnen dasselbe Unbekannte aus, d.h. z ; daraus erhalten wir eine weitere Gleichung mit X und bei :

Wir lösen die resultierenden zwei Gleichungen: x=1, y=3 . Diese Zahlen setzen wir in eine der drei gegebenen Gleichungen ein, zum Beispiel in die erste:

3 1 - 2 3 + 5z = 7; 5z = 7 -3 + 6 = 10; z=2.

Kommentar. Auf die gleichen zwei Arten können wir ein System von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten auf ein System von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten reduzieren (und dieses System - auf ein System von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten usw.). Allgemeines System m Gleichungen mit m Unbekannt können wir ins System bringen m - 1 Gleichungen mit m - 1 unbekannt (und dieses System dem System m - 2 Gleichungen mit m - 2 unbekannt usw.).

Kapitel drei.

Einige Spezialfälle von Gleichungssystemen.

149. Der Fall, wenn nicht alle Unbekannten in jeder der gegebenen Gleichungen enthalten sind; z.B:

In diesem Fall wird das System schneller als gewöhnlich gelöst, da gewisse Unbekannte in einigen Gleichungen bereits eliminiert wurden. Es muss nur herausgefunden werden, welche Unbekannten und aus welchen Gleichungen ausgeschlossen werden sollen, um so schnell wie möglich zu einer Gleichung mit einer Unbekannten zu gelangen. In unserem Beispiel ohne z aus der 1. und 3. Gleichung und v aus der 2. und 1. erhalten wir 2 Gleichungen mit X und bei :

Lösen wir diese Gleichungen, finden wir: x = 0, y = 1/3.

Jetzt werden wir diese Zahlen in die 2. und 3. Gleichung einsetzen; dann bekommen wir:

v = 3/2 ; z = 16 / 9 = 1 7 / 9

150. Der Fall, wenn die Unbekannten in Form von Brüchen eingehen: 1/x

x" = 2, y" = 1 / 2, z" = 5;

1/x=2, 1/y=1/2, 1/z=5

x = 1 / 2 , y = 2 , z = 1 / 5 ;

151. Der Fall, wenn es nützlich ist, alle diese Gleichungen hinzuzufügen.

Angenommen, wir haben zum Beispiel das System:

Wenn wir alle drei Gleichungen addieren, finden wir:

Wenn wir alle Daten von der letzten Gleichung subtrahieren, erhalten wir:

___________________

Lösung von Exponentialgleichungen. Beispiele.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was Exponentialgleichung? Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen enthalten sind Indikatoren einige Grade. Und nur dort! Es ist wichtig.

Da bist du ja Beispiele für Exponentialgleichungen:

3 x 2 x = 8 x + 3

Beachten Sie! In den Grundlagen der Abschlüsse (unten) - nur Zahlen. BEI Indikatoren Grad (oben) - eine Vielzahl von Ausdrücken mit x. Wenn plötzlich ein x in der Gleichung an einer anderen Stelle als dem Indikator erscheint, zum Beispiel:

Dies wird eine Gleichung vom gemischten Typ sein. Solche Gleichungen haben keine klaren Regeln zum Lösen. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Hier werden wir uns beschäftigen Lösung von Exponentialgleichungen in seiner reinsten Form.

Tatsächlich werden sogar reine Exponentialgleichungen nicht immer eindeutig gelöst. Aber es gibt bestimmte Arten von Exponentialgleichungen, die gelöst werden können und sollten. Dies sind die Typen, die wir uns ansehen werden.

Lösung der einfachsten Exponentialgleichungen.

Beginnen wir mit etwas sehr Grundlegendem. Zum Beispiel:

Auch ohne Theorie ist durch einfache Auswahl klar, dass x = 2 ist. Mehr nicht, oder!? Kein anderer X-Wert würfelt. Und jetzt schauen wir uns die Lösung dieser kniffligen Exponentialgleichung an:

Was haben wir getan? Wir haben tatsächlich nur die gleichen Unterteile (Triples) weggeworfen. Völlig rausgeschmissen. Und, was gefällt, treffen Sie ins Schwarze!

Allerdings, wenn in der Exponentialgleichung links und rechts stehen das Gleiche Zahlen in jedem Grad, diese Zahlen können entfernt werden und gleich Exponenten. Mathematik erlaubt. Es bleibt eine viel einfachere Gleichung zu lösen. Es ist gut, oder?)

Erinnern wir uns jedoch ironisch: Sie können die Basen nur entfernen, wenn die Basennummern links und rechts in hervorragender Isolation sind! Ohne Nachbarn und Koeffizienten. Sagen wir in den Gleichungen:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , oder

Du kannst keine Dubletten entfernen!

Nun, das Wichtigste haben wir gemeistert. Wie man von bösen Exponentialausdrücken zu einfacheren Gleichungen übergeht.

"Hier sind diese Zeiten!" - du sagst. "Wer gibt so ein Primitiv auf die Kontrolle und Prüfungen!?"

Gezwungen zuzustimmen. Niemand wird. Aber jetzt wissen Sie, wohin Sie gehen müssen, wenn Sie verwirrende Beispiele lösen. Es ist notwendig, sich daran zu erinnern, wenn die gleiche Basisnummer links - rechts ist. Dann wird alles einfacher. Eigentlich sind das die Klassiker der Mathematik. Wir nehmen das ursprüngliche Beispiel und transformieren es in das gewünschte uns Geist. Natürlich nach den Regeln der Mathematik.

Betrachten Sie Beispiele, die zusätzlichen Aufwand erfordern, um sie so einfach wie möglich zu machen. Nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen.

Lösung einfacher Exponentialgleichungen. Beispiele.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen sind die Hauptregeln Aktionen mit Befugnissen. Ohne Kenntnis dieser Aktionen wird nichts funktionieren.

Zu Aktionen mit Grad muss man persönliche Beobachtung und Einfallsreichtum hinzufügen. Brauchen wir die gleichen Basiszahlen? Wir suchen sie also im Beispiel in expliziter oder verschlüsselter Form.

Mal sehen, wie das in der Praxis gemacht wird?

Geben wir uns ein Beispiel:

2 2x - 8x+1 = 0

Erster Blick auf Gründen. Sie... Sie sind anders! Zwei und acht. Aber es ist zu früh, um sich entmutigen zu lassen. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

Zwei und acht sind graduell verwandt.) Es ist durchaus möglich aufzuschreiben:

8x+1 = (2 3)x+1

Erinnern wir uns an die Formel von Handlungen mit Kräften:

(ein n) m = ein nm ,

es funktioniert im Allgemeinen super:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Das ursprüngliche Beispiel sieht so aus:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Wir überweisen 2 3 (x+1) nach rechts (niemand hat die elementaren Aktionen der Mathematik gestrichen!) erhalten wir:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Das ist praktisch alles. Basen entfernen:

Wir lösen dieses Monster und bekommen

Dies ist die richtige Antwort.

In diesem Beispiel hat uns die Kenntnis der Zweierpotenzen geholfen. Wir identifiziert in der Acht die verschlüsselte Zwei. Diese Technik (Kodierung gemeinsamer Basen unter verschiedenen Zahlen) ist ein sehr beliebter Trick bei Exponentialgleichungen! Ja, sogar in Logarithmen. Man muss die Potenzen anderer Zahlen in Zahlen erkennen können. Dies ist äußerst wichtig, um Exponentialgleichungen zu lösen.

Tatsache ist, dass es kein Problem ist, eine beliebige Zahl zu potenzieren. Multiplizieren, sogar auf einem Blatt Papier, und das ist alles. Zum Beispiel kann jeder 3 hoch fünf potenzieren. 243 wird sich herausstellen, wenn Sie das Einmaleins kennen.) Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger notwendig, nicht zu potenzieren, sondern umgekehrt ... welche Anzahl in welchem ​​Umfang verbirgt sich hinter der Zahl 243, oder sagen wir 343... Hier hilft Ihnen kein Taschenrechner weiter.

Sie müssen die Potenzen einiger Zahlen vom Sehen kennen, ja ... Sollen wir üben?

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen Zahlen sind:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Antworten (natürlich in einem Durcheinander!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Wenn Sie genau hinsehen, können Sie eine seltsame Tatsache erkennen. Es gibt mehr Antworten als Fragen! Nun, es passiert ... Zum Beispiel ist 2 6 , 4 3 , 8 2 alles 64.

Nehmen wir an, Sie haben die Informationen zur Bekanntschaft mit Zahlen zur Kenntnis genommen.) Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zum Lösen von Exponentialgleichungen gelten das Ganze Vorrat an mathematischem Wissen. Auch aus der unteren Mittelschicht. Du bist nicht direkt auf die Highschool gegangen, oder?

Zum Beispiel beim Lösen von Exponentialgleichungen hilft es sehr oft, den gemeinsamen Teiler aus Klammern zu setzen (Hallo Klasse 7!). Sehen wir uns ein Beispiel an:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Und wieder der erste Blick - auf das Gelände! Die Grundlagen der Abschlüsse sind unterschiedlich ... Drei und neun. Und wir wollen, dass sie gleich sind. Nun, in diesem Fall ist der Wunsch durchaus machbar!) Denn:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Nach den gleichen Regeln für Aktionen mit Grad:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Das ist toll, du kannst schreiben:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Wir haben aus den gleichen Gründen ein Beispiel gegeben. Und was dann!? Dreier kann man nicht rauswerfen ... Sackgasse?

Gar nicht. Erinnern Sie sich an die universellste und mächtigste Entscheidungsregel alle mathematische Aufgaben:

Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können!

Du siehst, alles ist geformt).

Was ist in dieser Exponentialgleichung kann tun? Ja, die linke Seite fragt direkt nach Klammern! Der gemeinsame Faktor von 3 2x deutet dies deutlich an. Probieren wir es aus und dann sehen wir weiter:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Das Beispiel wird immer besser!

Wir erinnern daran, dass wir zur Eliminierung von Basen einen reinen Grad ohne Koeffizienten benötigen. Die Zahl 70 stört uns. Teilen wir also beide Seiten der Gleichung durch 70, erhalten wir:

Op-pa! Alles ist in Ordnung!

Dies ist die endgültige Antwort.

Es kommt jedoch vor, dass das Ausrollen aus denselben Gründen erwirkt wird, ihre Liquidation jedoch nicht. Dies geschieht in Exponentialgleichungen anderer Art. Nehmen wir diesen Typ.

Änderung der Variablen beim Lösen von Exponentialgleichungen. Beispiele.

Lösen wir die Gleichung:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Zuerst - wie immer. Kommen wir zur Basis. Zur Zwei.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Wir erhalten die Gleichung:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Und hier werden wir hängen. Die vorherigen Tricks werden nicht funktionieren, egal wie Sie es drehen. Wir müssen aus dem Arsenal einen anderen mächtigen und vielseitigen Weg finden. Es heißt variable Substitution.

Das Wesen der Methode ist überraschend einfach. Anstelle eines komplexen Symbols (in unserem Fall 2 x) schreiben wir ein anderes, einfacheres (z. B. t). So ein scheinbar bedeutungsloser Ersatz führt zu erstaunlichen Ergebnissen!) Alles wird einfach klar und verständlich!

Also lass

Dann 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Wir ersetzen in unserer Gleichung alle Potenzen mit x durch t:

Na, es dämmert?) Quadratische Gleichungen noch nicht vergessen? Wir lösen durch die Diskriminante, wir erhalten:

Hier ist die Hauptsache, nicht aufzuhören, wie es passiert ... Das ist noch nicht die Antwort, wir brauchen x, nicht t. Wir kehren zu Xs zurück, d.h. Ersatz machen. Zuerst für t 1:

Das ist,

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten, ab t 2:

Ähm... 2 x links, 1 x rechts... Ein Problem? Ja, überhaupt nicht! Es reicht, sich daran zu erinnern (von Aktionen mit Grad, ja ...), dass eine Einheit besteht irgendein Zahl auf Null. Irgendein. Was auch immer Sie brauchen, wir stellen es bereit. Wir brauchen eine Zwei. Meint:

Jetzt ist das alles. Habe 2 Wurzeln:

Das ist die Antwort.

Bei Exponentialgleichungen lösen am Ende erhält man manchmal einen unbeholfenen Ausdruck. Typ:

Von den Sieben funktioniert eine Zwei durch einen einfachen Abschluss nicht. Sie sind keine Verwandten ... Wie kann ich hier sein? Jemand mag verwirrt sein ... Aber die Person, die auf dieser Seite das Thema "Was ist ein Logarithmus?" gelesen hat. , lächeln Sie nur sparsam und schreiben Sie mit fester Hand die absolut richtige Antwort auf:

In den Aufgaben „B“ der Prüfung darf es keine solche Antwort geben. Es ist eine bestimmte Nummer erforderlich. Aber in Aufgaben "C" - leicht.

Diese Lektion enthält Beispiele zum Lösen der gängigsten Exponentialgleichungen. Lassen Sie uns das wichtigste hervorheben.

Praktische Tipps:

1. Zunächst schauen wir uns an Gründe Grad. Mal sehen, ob sie nicht getan werden können das Gleiche. Versuchen wir dies durch aktive Nutzung Aktionen mit Befugnissen. Vergiss nicht, dass Zahlen ohne x auch in Potenzen umgewandelt werden können!

2. Wir versuchen, die Exponentialgleichung auf die Form zu bringen, wenn links und rechts gleich sind das Gleiche Zahlen in irgendeiner Weise. Wir gebrauchen Aktionen mit Befugnissen und Faktorisierung. Was in Zahlen gezählt werden kann – wir zählen.

3. Wenn der zweite Ratschlag nicht funktioniert hat, versuchen wir, die Variablensubstitution anzuwenden. Das Ergebnis kann eine einfach zu lösende Gleichung sein. Meistens - quadratisch. Oder gebrochen, was sich ebenfalls auf ein Quadrat reduziert.

4. Um Exponentialgleichungen erfolgreich lösen zu können, müssen Sie die Grade einiger Zahlen "vom Sehen" kennen.

Wie üblich sind Sie am Ende der Lektion eingeladen, ein wenig zu lösen.) Auf eigene Faust. Von einfach bis komplex.

Exponentialgleichungen lösen:

Schwieriger:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Wurzelprodukt finden:

2 3-x + 2 x = 9

Passiert?

Nun, dann das komplizierteste Beispiel (es wird jedoch im Kopf gelöst ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Was ist interessanter? Dann ist hier ein schlechtes Beispiel für Sie. Ziemlich ziehend bei erhöhtem Schwierigkeitsgrad. Ich werde darauf hinweisen, dass in diesem Beispiel Einfallsreichtum und die universellste Regel zum Lösen aller mathematischen Aufgaben sparen.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ein einfacheres Beispiel zur Entspannung):

9 2 x - 4 3 x = 0

Und zum Dessert. Finden Sie die Summe der Wurzeln der Gleichung:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dies ist eine Gleichung vom gemischten Typ! Was wir in dieser Lektion nicht berücksichtigt haben. Und was sie zu beachten haben, sie müssen gelöst werden!) Diese Lektion reicht völlig aus, um die Gleichung zu lösen. Nun, Einfallsreichtum ist gefragt ... Und ja, die siebte Klasse hilft dir (das ist ein Hinweis!).

Antworten (durcheinander, durch Semikolon getrennt):

eines; 2; 3; vier; es gibt keine Lösungen; 2; -2; -5; vier; 0.

Ist alles gelungen? Exzellent.

Es gibt ein Problem? Kein Problem! Im Sonderteil 555 werden alle diese Exponentialgleichungen mit ausführlichen Erläuterungen gelöst. Was, warum und warum. Und natürlich gibt es zusätzliche wertvolle Informationen zum Arbeiten mit allen möglichen Exponentialgleichungen. Nicht nur mit diesen.)

Eine letzte lustige Frage zum Nachdenken. In dieser Lektion haben wir mit Exponentialgleichungen gearbeitet. Warum habe ich hier kein Wort über ODZ gesagt? In Gleichungen ist das übrigens eine sehr wichtige Sache ...

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