Physik und Mathematik kommen ohne den Begriff der „Vektorgröße“ nicht aus. Es muss bekannt und anerkannt sein und damit operieren können. Das solltest du unbedingt lernen, um nicht verwirrt zu werden und keine dummen Fehler zu machen.

Wie unterscheidet man einen Skalarwert von einem Vektorwert?

Der erste hat immer nur eine Eigenschaft. Dies ist sein Zahlenwert. Die meisten Skalare können sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Beispiele sind elektrische Ladung, Arbeit oder Temperatur. Aber es gibt Skalare, die nicht negativ sein können, wie Länge und Masse.

Eine Vektorgröße ist neben einer Zahlengröße, die immer modulo genommen wird, auch durch eine Richtung gekennzeichnet. Daher kann es grafisch dargestellt werden, dh in Form eines Pfeils, dessen Länge gleich dem Modul des in eine bestimmte Richtung gerichteten Werts ist.

Beim Schreiben wird jede Vektorgröße durch ein Pfeilzeichen auf dem Buchstaben angezeigt. Wenn es sich um einen numerischen Wert handelt, wird der Pfeil nicht geschrieben oder modulo genommen.

Welche Aktionen werden am häufigsten mit Vektoren ausgeführt?

Zunächst ein Vergleich. Sie können gleich sein oder nicht. Im ersten Fall sind ihre Module gleich. Aber das ist nicht die einzige Bedingung. Sie müssen auch die gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben. Im ersten Fall sollten sie als gleiche Vektoren bezeichnet werden. Im zweiten sind sie entgegengesetzt. Wenn mindestens eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, sind die Vektoren nicht gleich.

Dann kommt die Zugabe. Dies kann nach zwei Regeln erfolgen: einem Dreieck oder einem Parallelogramm. Die erste schreibt vor, zuerst einen Vektor zu verschieben, dann von seinem Ende den zweiten. Das Ergebnis der Addition ist dasjenige, das vom Anfang des ersten bis zum Ende des zweiten gezeichnet werden muss.

Die Parallelogrammregel kann verwendet werden, wenn Sie Vektorgrößen in der Physik hinzufügen müssen. Im Gegensatz zur ersten Regel sollten sie hier von einem Punkt verschoben werden. Dann bauen Sie sie zu einem Parallelogramm auf. Das Ergebnis der Aktion sollte als Diagonale des Parallelogramms betrachtet werden, das vom selben Punkt aus gezogen wird.

Wenn eine Vektorgröße von einer anderen subtrahiert wird, werden sie wieder von einem Punkt aus aufgetragen. Nur das Ergebnis ist ein Vektor, der mit dem übereinstimmt, der vom Ende des zweiten bis zum Ende des ersten gezogen wird.

Welche Vektoren werden in der Physik untersucht?

Es gibt so viele von ihnen, wie es Skalare gibt. Sie können sich einfach merken, welche Vektorgrößen es in der Physik gibt. Oder die Vorzeichen kennen, mit denen sie berechnet werden können. Für diejenigen, die die erste Option bevorzugen, wird sich ein solcher Tisch als nützlich erweisen. Es enthält die wichtigsten vektoriellen physikalischen Größen.

Jetzt ein wenig mehr über einige dieser Größen.

Der erste Wert ist Geschwindigkeit

Es lohnt sich, damit zu beginnen, Beispiele für Vektorgrößen zu geben. Dies liegt daran, dass es unter den ersten untersucht wird.

Geschwindigkeit ist definiert als ein Merkmal der Bewegung eines Körpers im Raum. Sie gibt einen Zahlenwert und eine Richtung an. Geschwindigkeit ist also eine Vektorgröße. Darüber hinaus ist es üblich, es in Typen zu unterteilen. Die erste ist die lineare Geschwindigkeit. Es wird eingeführt, wenn eine geradlinige gleichförmige Bewegung betrachtet wird. In diesem Fall ist es gleich dem Verhältnis des vom Körper zurückgelegten Weges zur Bewegungszeit.

Die gleiche Formel kann für ungleichmäßige Bewegungen verwendet werden. Nur dann wird es durchschnittlich. Außerdem muss das zu wählende Zeitintervall unbedingt so kurz wie möglich sein. Wenn das Zeitintervall gegen Null geht, ist der Geschwindigkeitswert bereits augenblicklich.

Betrachtet man eine beliebige Bewegung, so ist hier die Geschwindigkeit immer eine vektorielle Größe. Schließlich muss es in Komponenten zerlegt werden, die entlang jedes Vektors gerichtet sind, der die Koordinatenlinien lenkt. Außerdem ist er als zeitliche Ableitung des Radiusvektors definiert.

Der zweite Wert ist Stärke

Sie bestimmt das Maß für die Intensität der Einwirkung, die von anderen Körpern oder Feldern auf den Körper ausgeübt wird. Da die Kraft eine Vektorgröße ist, hat sie notwendigerweise ihren eigenen Modulowert und ihre eigene Richtung. Da es auf den Körper wirkt, ist auch der Punkt, an dem die Kraft angreift, wichtig. Um eine visuelle Darstellung der Kraftvektoren zu erhalten, können Sie sich auf die folgende Tabelle beziehen.

Auch die resultierende Kraft ist ebenfalls eine Vektorgröße. Sie ist definiert als die Summe aller auf den Körper einwirkenden mechanischen Kräfte. Um es zu bestimmen, muss nach dem Prinzip der Dreiecksregel addiert werden. Nur müssen Sie die Vektoren der Reihe nach vom Ende des vorherigen verschieben. Das Ergebnis ist dasjenige, das den Anfang des ersten mit dem Ende des letzten verbindet.

Die dritte Größe ist die Verschiebung

Während der Bewegung beschreibt der Körper eine bestimmte Linie. Es wird eine Flugbahn genannt. Diese Linie kann völlig unterschiedlich sein. Wichtiger ist sie nicht Aussehen, und die Start- und Endpunkte der Bewegung. Sie sind durch ein Segment verbunden, das Verschiebung genannt wird. Auch dies ist eine Vektorgröße. Außerdem wird es immer vom Beginn der Bewegung bis zu dem Punkt geleitet, an dem die Bewegung gestoppt wurde. Es ist üblich, es mit dem lateinischen Buchstaben r zu bezeichnen.

Hier kann die Frage auftauchen: „Ist der Weg eine Vektorgröße?“. Generell gilt diese Aussage nicht. Der Weg ist gleich der Länge der Trajektorie und hat keine bestimmte Richtung. Eine Ausnahme ist die Situation, wenn eine geradlinige Bewegung in eine Richtung betrachtet wird. Dann stimmt der Betrag des Verschiebungsvektors mit dem Pfad überein, und ihre Richtung erweist sich als gleich. Daher kann bei Betrachtung einer Bewegung entlang einer geraden Linie ohne Änderung der Bewegungsrichtung der Pfad in die Beispiele für Vektorgrößen aufgenommen werden.

Der vierte Wert ist die Beschleunigung

Es ist ein Merkmal der Geschwindigkeitsänderungsrate. Außerdem kann die Beschleunigung sowohl positive als auch negative Werte haben. Bei geradliniger Bewegung ist es in Richtung höherer Geschwindigkeit gerichtet. Wenn die Bewegung entlang einer krummlinigen Bahn erfolgt, wird der Vektor ihrer Beschleunigung in zwei Komponenten zerlegt, von denen eine entlang des Radius auf den Krümmungsmittelpunkt gerichtet ist.

Ordnen Sie den durchschnittlichen und momentanen Wert der Beschleunigung zu. Die erste ist als Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung über einen bestimmten Zeitraum zu dieser Zeit zu berechnen. Wenn das betrachtete Zeitintervall gegen Null geht, spricht man von Momentanbeschleunigung.

Fünfter Wert - Momentum

Auf andere Weise wird es auch als Bewegungsbetrag bezeichnet. Das Momentum ist eine Vektorgröße, da es in direktem Zusammenhang mit der auf den Körper ausgeübten Geschwindigkeit und Kraft steht. Beide haben eine Richtung und geben sie dem Impuls.

Letztere ist per Definition gleich dem Produkt aus Körpermasse und Geschwindigkeit. Mit dem Begriff des Impulses eines Körpers kann man das bekannte Newtonsche Gesetz auch anders schreiben. Es stellt sich heraus, dass die Impulsänderung gleich dem Produkt aus Kraft und Zeitintervall ist.

In der Physik spielt der Impulserhaltungssatz eine wichtige Rolle, der besagt, dass in einem geschlossenen Körpersystem dessen Gesamtimpuls konstant ist.

Wir haben ganz kurz aufgelistet, welche Größen (Vektoren) im Studium der Physik untersucht werden.

Das Problem des unelastischen Stoßes

Bedingung. Auf den Schienen befindet sich eine feste Plattform. Ein Auto nähert sich ihm mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s. Die Massen der Plattform und des Waggons betragen 10 bzw. 40 Tonnen. Das Auto trifft auf die Plattform, eine automatische Kupplung tritt auf. Es ist notwendig, die Geschwindigkeit des Waggon-Plattform-Systems nach dem Aufprall zu berechnen.

Lösung. Zuerst müssen Sie die Notation eingeben: die Geschwindigkeit des Autos vor dem Aufprall - v1, das Auto mit der Plattform nach der Kopplung - v, die Masse des Autos m1, das Gewicht der Plattform - m2. Je nach Problemstellung muss der Wert der Geschwindigkeit v ermittelt werden.

Die Regeln zur Lösung solcher Aufgaben erfordern eine schematische Darstellung des Systems vor und nach der Interaktion. Es ist sinnvoll, die OX-Achse entlang der Schienen in die Richtung zu lenken, in der sich das Auto bewegt.

Unter diesen Bedingungen kann das Wagensystem als geschlossen betrachtet werden. Dies wird dadurch bestimmt, dass äußere Kräfte vernachlässigt werden können. Die Schwerkraft und die Reaktion des Trägers werden ausgeglichen, und die Reibung auf den Schienen wird nicht berücksichtigt.

Nach dem Impulserhaltungssatz ist ihre Vektorsumme vor der Interaktion von Fahrzeug und Plattform gleich der Summe für den Koppler nach dem Aufprall. Zuerst bewegte sich die Plattform nicht, also war ihr Impuls Null. Nur der Waggon bewegte sich, sein Impuls ist das Produkt aus m1 und v1.

Da der Aufprall unelastisch war, d.h. der Waggon an der Plattform haftete und dann zusammen in die gleiche Richtung zu rollen begann, änderte der Impuls des Systems nicht die Richtung. Aber seine Bedeutung hat sich geändert. Nämlich das Produkt aus der Summe der Masse des Waggons mit der Plattform und der gewünschten Geschwindigkeit.

Sie können die folgende Gleichheit schreiben: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Dies gilt für die Projektion von Impulsvektoren auf die ausgewählte Achse. Daraus lässt sich leicht die Gleichheit ableiten, die zur Berechnung der gewünschten Geschwindigkeit erforderlich ist: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

Gemäß den Regeln sollten Sie die Werte für die Masse von Tonnen in Kilogramm umrechnen. Daher sollten Sie beim Einsetzen in die Formel zunächst die bekannten Werte mit Tausend multiplizieren. Einfache Berechnungen ergeben eine Zahl von 0,75 m/s.

Antworten. Die Geschwindigkeit des Waggons mit der Plattform beträgt 0,75 m/s.

Den Körper in Teile teilen

Bedingung. Die Geschwindigkeit einer fliegenden Granate beträgt 20 m/s. Es zerbricht in zwei Teile. Die Masse des ersten beträgt 1,8 kg. Sie bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 50 m/s weiter in die Richtung, in die die Granate geflogen ist. Das zweite Fragment hat eine Masse von 1,2 kg. Was ist seine Geschwindigkeit?

Lösung. Die Fragmentmassen seien mit den Buchstaben m1 und m2 bezeichnet. Ihre Geschwindigkeiten sind jeweils v1 und v2. Die Anfangsgeschwindigkeit der Granate ist v. In der Aufgabe müssen Sie den Wert v2 berechnen.

Damit sich das größere Fragment weiter in die gleiche Richtung wie die gesamte Granate bewegt, muss das zweite in die entgegengesetzte Richtung fliegen. Wählen wir für die Richtung der Achse diejenige, die beim Anfangsimpuls war, so fliegt nach dem Bruch das große Bruchstück entlang der Achse und das kleine Bruchstück gegen die Achse.

Bei diesem Problem darf das Impulserhaltungsgesetz angewendet werden, da die Explosion einer Granate sofort auftritt. Trotz der Tatsache, dass die Schwerkraft auf die Granate und ihre Teile wirkt, hat sie daher keine Zeit zu handeln und die Richtung des Impulsvektors mit seinem Modulwert zu ändern.

Die Summe der Vektorwerte des Impulses nach dem Granatenstoß ist gleich dem davor. Wenn wir das Impulserhaltungsgesetz des Körpers in Projektion auf die OX-Achse aufschreiben, sieht es so aus: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Es ist einfach, die gewünschte Geschwindigkeit daraus auszudrücken. Es wird durch die Formel bestimmt: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Nach Substitution von Zahlenwerten und Berechnungen werden 25 m / s erhalten.

Antworten. Die Geschwindigkeit eines kleinen Fragments beträgt 25 m/s.

Problem beim Fotografieren in einem Winkel

Bedingung. Ein Werkzeug ist auf einer Plattform der Masse M montiert. Daraus wird ein Projektil der Masse m abgefeuert. Er hebt in einem Winkel α zum Horizont mit einer Geschwindigkeit v (relativ zum Boden) ab. Es ist erforderlich, die Geschwindigkeit der Plattform nach dem Schuss herauszufinden.

Lösung. Bei diesem Problem können Sie den Impulserhaltungssatz in Projektion auf die OX-Achse verwenden. Aber nur in dem Fall, wenn die Projektion der äußeren resultierenden Kräfte gleich Null ist.

Für die Richtung der OX-Achse müssen Sie die Seite auswählen, auf der das Projektil fliegen soll, und parallel zur horizontalen Linie. In diesem Fall sind die Projektionen der Schwerkraft und die Reaktion des Trägers auf OX gleich Null.

Das Problem wird allgemein gelöst, da es keine spezifischen Daten für bekannte Größen gibt. Die Formel ist die Antwort.

Der Impuls des Systems vor dem Schuss war gleich Null, da die Plattform und das Projektil stationär waren. Die gewünschte Geschwindigkeit der Plattform sei mit dem lateinischen Buchstaben u bezeichnet. Dann wird sein Impuls nach dem Schuss als Produkt aus der Masse und der Projektion der Geschwindigkeit bestimmt. Da die Plattform zurückrollt (entgegen der Richtung der OX-Achse), wird der Impulswert mit einem Minuszeichen angezeigt.

Der Impuls des Projektils ist das Produkt aus seiner Masse und der Projektion der Geschwindigkeit auf die OX-Achse. Aufgrund der Tatsache, dass die Geschwindigkeit in einem Winkel zum Horizont gerichtet ist, ist ihre Projektion gleich der Geschwindigkeit multipliziert mit dem Kosinus des Winkels. Bei wörtlicher Gleichheit sieht es so aus: 0 = - Mu + mv * cos α. Daraus wird durch einfache Transformationen die Antwortformel erhalten: u = (mv * cos α) / M.

Antworten. Die Geschwindigkeit der Plattform wird durch die Formel u = (mv * cos α) / M bestimmt.

Problem bei der Flussüberquerung

Bedingung. Die Breite des Flusses über seine gesamte Länge ist gleich und gleich l, seine Ufer sind parallel. Die Geschwindigkeit der Wasserströmung im Fluss v1 und die Eigengeschwindigkeit des Bootes v2 sind bekannt. eines). Beim Überqueren ist der Bug des Bootes strikt auf das gegenüberliegende Ufer gerichtet. Wie weit wird es flussabwärts getragen? 2). In welchem ​​Winkel α sollte der Bug des Bootes ausgerichtet sein, damit er das gegenüberliegende Ufer streng senkrecht zum Abfahrtspunkt erreicht? Wie viel Zeit t wird für eine solche Überfahrt benötigt?

Lösung. eines). Die volle Geschwindigkeit des Bootes ist die Vektorsumme der beiden Größen. Der erste davon ist der Flusslauf, der entlang der Ufer geleitet wird. Die zweite ist die Eigengeschwindigkeit des Bootes senkrecht zum Ufer. Die Zeichnung zeigt zwei ähnliche Dreiecke. Die erste wird durch die Breite des Flusses und die Entfernung, die das Boot zurücklegt, gebildet. Der zweite sind Geschwindigkeitsvektoren.

Daraus folgt folgender Eintrag: s / l = v1 / v2. Nach der Transformation erhält man eine Formel für den gewünschten Wert: s = l * (v1 / v2).

2). In dieser Version des Problems steht der Gesamtgeschwindigkeitsvektor senkrecht zu den Böschungen. Sie ist gleich der Vektorsumme von v1 und v2. Der Sinus des Winkels, um den der eigene Geschwindigkeitsvektor abweichen muss, ist gleich dem Verhältnis der Module v1 und v2. Um die Fahrzeit zu berechnen, müssen Sie die Breite des Flusses durch die berechnete Gesamtgeschwindigkeit teilen. Der Wert des letzteren wird nach dem Satz des Pythagoras berechnet.

v = √(v22 – v12), dann t = l / (√(v22 – v12)).

Antworten. eines). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Vektoren sind ein mächtiges Werkzeug in Mathematik und Physik. Die Grundgesetze der Mechanik und Elektrodynamik werden in der Sprache der Vektoren formuliert. Um die Physik zu verstehen, müssen Sie lernen, wie man mit Vektoren arbeitet.

Dieses Kapitel enthält eine detaillierte Darstellung des Materials, das für den Beginn des Studiums der Mechanik erforderlich ist:

! Vektoraddition

! Multipliziere einen Skalar mit einem Vektor

! Winkel zwischen Vektoren

! Projektion eines Vektors auf eine Achse

! Vektoren und Koordinaten im Flugzeug

! Vektoren und Koordinaten im Raum

! Skalarprodukt von Vektoren

Es wird nützlich sein, im ersten Jahr des Studiums der analytischen Geometrie und der linearen Algebra auf den Text dieses Anhangs zurückzukommen, um beispielsweise zu verstehen, woher die Axiome des linearen und des euklidischen Raums stammen.

7.1 Skalare und vektorielle Größen

Beim Studium der Physik begegnen wir zwei Arten von Größen - Skalar und Vektor.

Definition. Eine skalare Größe oder Skalar ist eine physikalische Größe, für deren Angabe (in geeigneten Einheiten) eine einzelne Zahl erforderlich ist.

In der Physik gibt es viele Skalare. Körpergewicht 3 kg, Lufttemperatur 10 C, Netzspannung 220 V. . . In all diesen Fällen wird die für uns interessante Menge durch eine einzige Zahl angegeben. Daher sind Masse, Temperatur und elektrische Spannung Skalare.

Aber ein Skalar in der Physik ist nicht nur eine Zahl. Ein Skalar ist eine Zahl, die mit der Dimension 1 ausgestattet ist. Angesichts der Masse können wir also nicht m = 3 schreiben; Sie müssen die Maßeinheit angeben, z. B. m = 3 kg. Und wenn wir in der Mathematik die Zahlen 3 und 220 addieren können, dann funktioniert es in der Physik nicht, 3 Kilogramm und 220 Volt zu addieren: Wir haben das Recht, nur die Skalare zu addieren, die dieselbe Dimension haben (Masse mit Masse, Spannung mit Spannung , usw.).

Definition. Eine Vektorgröße oder ein Vektor ist eine physikalische Größe, die gekennzeichnet ist durch: 1) einen nicht negativen Skalar; 2) Richtung im Raum. In diesem Fall wird der Skalar als Modul des Vektors oder als dessen Absolutwert bezeichnet.

Angenommen, ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h. Aber das sind unvollständige Verkehrsinformationen, oder? Es kann auch wichtig sein, wohin das Auto fährt, in welche Richtung. Daher ist es wichtig, nicht nur den Modul (Absolutwert) der Fahrzeuggeschwindigkeit zu kennen, in diesem Fall sind es 60 km/h, sondern auch deren Richtung im Raum. Geschwindigkeit ist also ein Vektor.

Ein anderes Beispiel. Angenommen, auf dem Boden liegt ein Ziegelstein mit einer Masse von 1 kg. Auf den Stein wirkt eine Kraft von 100 N (das ist der Kraftmodul oder sein Absolutwert). Wie bewegt sich der Stein? Die Frage ist bedeutungslos, bis die Richtung der Kraft angegeben ist. Wenn die Kraft nach oben wirkt, bewegt sich der Ziegel nach oben. Wenn die Kraft horizontal wirkt, bewegt sich der Ziegel horizontal. Und wenn die Kraft vertikal nach unten wirkt, bewegt sich der Ziegel überhaupt nicht, er wird nur in den Boden gedrückt. Wir sehen also, dass Kraft auch ein Vektor ist.

Eine Vektorgröße in der Physik hat auch eine Dimension. Die Dimension eines Vektors ist die Dimension seines Moduls.

Wir werden Vektoren durch Buchstaben mit einem Pfeil bezeichnen. Damit kann der Geschwindigkeitsvektor bezeichnet werden

durch ~v und der Kraftvektor durch F . Eigentlich ist dieser Vektor ein Pfeil oder, wie man sagt, ein gerichtetes Segment (Abb. 7.1).

Reis. 7.1. Vektor ~v

Der Startpunkt des Pfeils wird als Anfang des Vektors und der Endpunkt (Spitze) des Pfeils bezeichnet

das Ende des Vektors. In der Mathematik bezeichnet man einen Vektor, der bei Punkt A beginnt und bei Punkt B endet

auch AB; wir werden manchmal eine solche Notation brauchen.

Ein Vektor, dessen Anfang und Ende zusammenfallen, heißt Nullvektor (oder Null) und

bezeichnet mit ~ . Der Nullvektor ist einfach ein Punkt; es hat keine bestimmte Richtung.

Die Länge des Nullvektors ist natürlich Null.

1 Es gibt auch dimensionslose Skalare: Reibungskoeffizient, Wirkungsgrad, Brechungsindex des Mediums. . . Der Brechungsindex von Wasser ist also 1; 33, das ist eine erschöpfende Information, diese Zahl hat keine Dimension.

Das Zeichnen von Pfeilen löst das Problem der grafischen Darstellung von Vektorgrößen vollständig. Die Richtung des Pfeils gibt die Richtung des gegebenen Vektors an, und die Länge des Pfeils in einem geeigneten Maßstab ist der Betrag dieses Vektors.

Angenommen, zwei Autos bewegen sich mit Geschwindigkeiten u = 30 km/h und v = 60 km/h aufeinander zu. Dann haben die Vektoren ~u und ~v der Autogeschwindigkeiten entgegengesetzte Richtungen, und die Länge des Vektors ~v ist doppelt so groß (Abb. 7.2).

Reis. 7.2. Der Vektor ~v ist doppelt so lang

Wie Sie bereits verstanden haben, bezeichnet ein Buchstabe ohne Pfeil (z. B. u oder v im vorherigen Absatz) den Modul des entsprechenden Vektors. In der Mathematik wird der Modulus eines Vektors ~v normalerweise mit j~vj bezeichnet, aber Physiker werden, wenn es die Situation zulässt, v ohne Pfeil bevorzugen.

Vektoren heißen kollinear, wenn sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen.

Seien zwei kollineare Vektoren vorhanden. Wenn ihre Richtungen zusammenfallen, werden die Vektoren als gleichgerichtet bezeichnet; Wenn ihre Richtungen unterschiedlich sind, werden die Vektoren als entgegengesetzt gerichtet bezeichnet. Also oben in Abb. 7.2 Die Vektoren ~u und ~v sind entgegengesetzt gerichtet.

Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie gleichgerichtet sind und gleiche Module haben (Abb. 7.3).

Reis. 7.3. Die Vektoren ~a und b sind gleich: ~a = b

Die Gleichheit von Vektoren bedeutet also keineswegs die unabdingbare Übereinstimmung ihrer Anfänge und Enden: Wir können einen Vektor parallel zu sich selbst verschieben, und in diesem Fall erhalten wir einen Vektor, der dem ursprünglichen entspricht. Eine solche Übertragung wird ständig in Fällen verwendet, in denen es wünschenswert ist, die Anfänge von Vektoren auf einen Punkt zu reduzieren, beispielsweise wenn die Summe oder Differenz von Vektoren ermittelt wird. Wir wenden uns nun der Betrachtung von Operationen auf Vektoren zu.

Beim Studium verschiedener Zweige der Physik, Mechanik und technischen Wissenschaften gibt es Größen, die vollständig bestimmt werden, indem ihre Zahlenwerte festgelegt werden, genauer gesagt, die vollständig bestimmt werden, indem die Zahl verwendet wird, die als Ergebnis ihrer Messung durch eine homogene Größe angenommen wird eine Einheit. Solche Mengen werden aufgerufen Skalar oder kurz Skalare. Skalare Größen sind beispielsweise Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Masse, Körpertemperatur, Dichte, Arbeit, elektrische Kapazität usw. Da eine skalare Größe durch eine Zahl (positiv oder negativ) bestimmt wird, kann sie auf die aufgetragen werden entsprechende Koordinatenachse. Beispielsweise bilden sie oft die Achse Zeit, Temperatur, Länge (Weg) und andere.

Neben skalaren Größen gibt es bei verschiedenen Problemstellungen Größen, für deren Bestimmung neben dem Zahlenwert auch deren Richtung im Raum bekannt sein muss. Solche Mengen werden aufgerufen Vektor. Physikalische Beispiele für vektorielle Größen sind die Verschiebung eines sich im Raum bewegenden materiellen Punktes, die Geschwindigkeit und Beschleunigung dieses Punktes, sowie die auf ihn wirkende Kraft, die Stärke eines elektrischen oder magnetischen Feldes. Vektorgrößen werden beispielsweise in der Klimatologie verwendet. Betrachten Sie ein einfaches Beispiel aus der Klimatologie. Wenn wir sagen, dass der Wind mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s weht, dann führen wir einen Skalarwert der Windgeschwindigkeit ein, aber wenn wir sagen, dass der Nordwind mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s weht, dann in In diesem Fall ist die Windgeschwindigkeit bereits eine Vektorgröße.

Vektorgrößen werden durch Vektoren dargestellt.

Zur geometrischen Darstellung von Vektorgrößen werden gerichtete Strecken verwendet, also Strecken, die eine feste Richtung im Raum haben. In diesem Fall ist die Länge des Segments gleich dem numerischen Wert der Vektorgröße und seine Richtung stimmt mit der Richtung der Vektorgröße überein. Ein gerichtetes Segment, das eine gegebene Vektorgröße charakterisiert, wird aufgerufen ein geometrischer Vektor oder nur ein Vektor.

Der Vektorbegriff spielt sowohl in der Mathematik als auch in vielen Bereichen der Physik und Mechanik eine wichtige Rolle. Viele physikalische Größen lassen sich durch Vektoren darstellen, und diese Darstellung trägt sehr oft zur Verallgemeinerung und Vereinfachung von Formeln und Ergebnissen bei. Oft werden vektorielle Größen und die sie repräsentierenden Vektoren miteinander identifiziert: Sie sagen zum Beispiel, dass Kraft (oder Geschwindigkeit) ein Vektor ist.

Elemente der Vektoralgebra werden in folgenden Disziplinen verwendet: 1) elektrische Maschinen; 2) automatisierter Elektroantrieb; 3) elektrische Beleuchtung und Bestrahlung; 4) unverzweigte Wechselstromkreise; 5) angewandte Mechanik; 6) Theoretische Mechanik; 7) Physik; 8) Hydraulik: 9) Maschinenteile; 10) Materialstärke; 11) Verwaltung; 12) Chemie; 13) Kinematik; 14) Statik usw.

2. Definition eines Vektors. Ein Liniensegment wird durch zwei gleiche Punkte definiert - seine Enden. Aber man kann ein gerichtetes Segment betrachten, das durch ein geordnetes Paar von Punkten definiert ist. Über diese Punkte ist bekannt, welcher von ihnen der erste (Anfang) und welcher der zweite (Ende) ist.

Ein gerichtetes Segment wird als ein geordnetes Paar von Punkten verstanden, von denen der erste - Punkt A - als Anfang und der zweite - B - als Ende bezeichnet wird.

Dann unter Vektor im einfachsten Fall wird das gerichtete Segment selbst verstanden, und in anderen Fällen sind unterschiedliche Vektoren unterschiedliche Äquivalenzklassen von gerichteten Segmenten, bestimmt durch eine bestimmte Äquivalenzbeziehung. Außerdem kann die Äquivalenzrelation unterschiedlich sein, was die Art des Vektors bestimmt („frei“, „fest“, etc.). Einfach ausgedrückt werden innerhalb einer Äquivalenzklasse alle darin enthaltenen gerichteten Segmente als vollkommen gleich behandelt, und jedes kann gleichermaßen die gesamte Klasse darstellen.

Vektoren spielen eine wichtige Rolle bei der Untersuchung infinitesimaler Raumtransformationen.

Bestimmung 1. Eine gerichtete Strecke (oder, was dasselbe ist, ein geordnetes Punktepaar) nennen wir Vektor. Die Richtung auf dem Segment ist normalerweise mit einem Pfeil gekennzeichnet. Beim Schreiben wird über der Buchstabenbezeichnung des Vektors ein Pfeil platziert, zum Beispiel: (in diesem Fall muss der Buchstabe, der dem Anfang des Vektors entspricht, vorangestellt werden). In Büchern werden die Buchstaben, die einen Vektor bezeichnen, oft fett geschrieben, zum Beispiel: a.

Als Vektoren werden auch die sogenannten Nullvektoren bezeichnet, deren Anfang und Ende zusammenfallen.

Ein Vektor, dessen Anfang mit seinem Ende zusammenfällt, heißt Null. Der Nullvektor wird mit oder einfach 0 bezeichnet.

Den Abstand zwischen Anfang und Ende eines Vektors nennt man seinen Länge(und auch Modul und Absolutwert). Die Länge eines Vektors wird mit | bezeichnet | oder | |. Die Länge eines Vektors oder der Betrag eines Vektors ist die Länge des entsprechenden gerichteten Segments: | | = .

Die Vektoren werden aufgerufen kollinear, wenn sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen, kurz gesagt, wenn es eine Linie gibt, zu der sie parallel sind.

Die Vektoren werden aufgerufen koplanar, wenn es eine Ebene gibt, zu der sie parallel sind, können sie durch Vektoren dargestellt werden, die auf derselben Ebene liegen. Der Nullvektor wird als kollinear zu jedem Vektor betrachtet, da er keine bestimmte Richtung hat. Seine Länge ist natürlich Null. Offensichtlich sind zwei beliebige Vektoren koplanar; aber natürlich sind nicht alle drei Vektoren im Raum koplanar. Da zueinander parallele Vektoren parallel zur gleichen Ebene sind, sind kollineare Vektoren sogar noch koplanarer. Das Gegenteil gilt natürlich nicht: koplanare Vektoren sind möglicherweise nicht kollinear. Aufgrund der obigen Bedingung ist der Nullvektor mit jedem Vektor kollinear und mit jedem Vektorpaar koplanar, d. h. wenn mindestens einer der drei Vektoren Null ist, dann sind sie koplanar.

2) Das Wort "koplanar" bedeutet im Wesentlichen: "mit einer gemeinsamen Ebene", dh "in der gleichen Ebene angeordnet". Da es sich hier aber um freie Vektoren handelt, die beliebig (ohne Änderung der Länge und Richtung) übertragen werden können, müssen wir koplanare Vektoren parallel zur gleichen Ebene nennen, denn in diesem Fall können sie so übertragen werden, dass sie ausfallen in einer Ebene liegen.

Um die Rede zu verkürzen, werden wir uns auf einen Begriff einigen: Wenn mehrere freie Vektoren parallel zu derselben Ebene sind, werden wir sagen, dass sie koplanar sind. Insbesondere sind zwei Vektoren immer koplanar; Um dies zu überprüfen, genügt es, sie vom selben Punkt aus zu verschieben. Es ist ferner klar, dass die Richtung der Ebene, in der zwei gegebene Vektoren parallel sind, vollständig bestimmt ist, wenn diese zwei Vektoren nicht parallel zueinander sind. Jede Ebene, zu der die gegebenen koplanaren Vektoren parallel sind, wird einfach die Ebene der gegebenen Vektoren genannt.

Bestimmung 2. Die beiden Vektoren werden aufgerufen gleich wenn sie kollinear sind, haben sie dieselbe Richtung und dieselbe Länge.

Es muss immer daran erinnert werden, dass die Gleichheit der Längen zweier Vektoren nicht die Gleichheit dieser Vektoren bedeutet.

Im Sinne der Definition sind zwei Vektoren, die separat gleich dem dritten sind, einander gleich. Offensichtlich sind alle Nullvektoren einander gleich.

Aus dieser Definition folgt direkt, dass wir durch die Wahl eines beliebigen Punktes A" den Vektor A" B" konstruieren können (und nur einen), der einem gegebenen Vektor entspricht, oder, wie sie sagen, den Vektor auf den Punkt A" übertragen können.

Kommentar. Für Vektoren gibt es keine Konzepte von "größer als" oder "kleiner als", d.h. sie sind gleich oder ungleich.

Ein Vektor, dessen Länge gleich eins ist, wird aufgerufen Single Vektor und wird mit e bezeichnet Der Einheitsvektor, dessen Richtung mit der Richtung des Vektors a zusammenfällt, wird genannt ortom Vektor und mit a bezeichnet.

3. Über eine andere Definition eines Vektors. Beachten Sie, dass sich das Konzept der Gleichheit von Vektoren erheblich von dem Konzept der Gleichheit beispielsweise von Zahlen unterscheidet. Jede Zahl ist nur sich selbst gleich, mit anderen Worten, zwei gleiche Zahlen können unter allen Umständen als ein und dieselbe Zahl betrachtet werden. Bei Vektoren ist die Situation, wie wir sehen, anders: Per Definition gibt es verschiedene, aber gleiche Vektoren. Obwohl wir in den meisten Fällen nicht zwischen ihnen unterscheiden müssen, kann es gut sein, dass wir uns irgendwann für den Vektor interessieren und nicht für einen anderen gleichen Vektor A"B".

Um das Konzept der Gleichheit von Vektoren zu vereinfachen (und einige der damit verbundenen Schwierigkeiten zu beseitigen), geht man manchmal dazu über, die Definition eines Vektors zu verkomplizieren. Wir werden diese komplizierte Definition nicht verwenden, aber wir werden sie formulieren. Um Verwirrung zu vermeiden, schreiben wir "Vektor" (mit einem Großbuchstaben), um das unten definierte Konzept zu bezeichnen.

Bestimmung 3. Gegeben sei ein gerichtetes Segment. Die Menge aller gerichteten Strecken, die einer gegebenen im Sinne von Definition 2 gleich sind, heißt Vektor.

Somit definiert jedes gerichtete Segment einen Vektor. Es ist leicht zu sehen, dass zwei gerichtete Segmente genau dann denselben Vektor definieren, wenn sie gleich sind. Für Vektoren bedeutet Gleichheit dasselbe wie für Zahlen: Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie derselbe Vektor sind.

Bei einer Parallelverschiebung des Raums bilden ein Punkt und sein Bild ein geordnetes Punktpaar und definieren ein gerichtetes Segment, und alle solchen gerichteten Segmente sind gleich im Sinne von Definition 2. Daher kann eine parallele Verschiebung des Raums mit a identifiziert werden Aus all diesen gerichteten Segmenten zusammengesetzter Vektor.

Aus dem Grundstudium der Physik ist bekannt, dass eine Kraft durch eine gerichtete Strecke dargestellt werden kann. Aber es kann nicht durch einen Vektor dargestellt werden, da die Kräfte, die durch gleich gerichtete Segmente dargestellt werden, im Allgemeinen unterschiedliche Wirkungen erzeugen. (Wirkt auf einen elastischen Körper eine Kraft, so kann die sie darstellende gerichtete Strecke nicht einmal entlang der Geraden, auf der sie liegt, übertragen werden.)

Dies ist nur einer der Gründe, warum es notwendig ist, neben Vektoren, also Mengen (oder, wie sie sagen, Klassen) von gleich gerichteten Segmenten, einzelne Vertreter dieser Klassen zu betrachten. Unter diesen Umständen wird die Anwendung von Definition 3 durch eine Vielzahl von Vorbehalten erschwert. Wir werden uns an Definition 1 halten, und durch die allgemeine Bedeutung wird es immer klar sein, ob wir über einen wohldefinierten Vektor sprechen, oder irgendein gleicher an seiner Stelle eingesetzt werden kann.

Im Zusammenhang mit der Definition des Vektors lohnt es sich, die Bedeutung einiger in der Literatur gefundener Wörter zu erläutern.

Wir sind von vielen verschiedenen materiellen Objekten umgeben. Material, weil man sie anfassen, riechen, sehen, hören und vieles mehr machen kann. Was sind diese Gegenstände, was passiert mit ihnen oder wird passieren, wenn etwas getan wird: werfen, aufbiegen, in den Ofen stellen. Warum passiert ihnen etwas und wie genau passiert es? All diese Studien Physik. Spielen Sie ein Spiel: Denken Sie an einen Gegenstand im Raum, beschreiben Sie ihn in wenigen Worten, ein Freund muss erraten, was es ist. Geben Sie die Merkmale des beabsichtigten Themas an. Adjektive: weiß, groß, schwer, kalt. Erraten? Das ist ein Kühlschrank. Die aufgeführten Spezifikationen sind keine wissenschaftlichen Messungen Ihres Kühlschranks. Am Kühlschrank kann man verschiedene Dinge messen. Wenn es lang ist, dann ist es groß. Wenn Farbe, dann ist es weiß. Wenn Temperatur, dann kalt. Und wenn es Masse ist, dann stellt sich heraus, dass es schwer ist. Stellen Sie sich vor, dass ein Kühlschrank aus verschiedenen Blickwinkeln erkundet werden kann. Masse, Länge, Temperatur – das ist die physikalische Größe.

Aber das ist nur eine kleine Eigenschaft des Kühlschranks, die einem sofort in den Sinn kommt. Bevor Sie einen neuen Kühlschrank kaufen, können Sie sich mit einer Reihe physikalischer Größen vertraut machen, anhand derer Sie beurteilen können, was er ist, besser oder schlechter, und warum er mehr kostet. Stellen Sie sich vor, wie vielfältig alles um uns herum ist. Und wie unterschiedlich sind die Eigenschaften?

Bezeichnung der physikalischen Größe

Alle physikalischen Größen werden normalerweise mit Buchstaben bezeichnet, häufiger mit dem griechischen Alphabet. ABER! Ein und dieselbe physikalische Größe kann mehrere Buchstabenbezeichnungen haben (in unterschiedlicher Literatur).

Und umgekehrt können unterschiedliche physikalische Größen mit demselben Buchstaben bezeichnet werden.

Trotz der Tatsache, dass Sie möglicherweise nicht auf einen solchen Buchstaben gestoßen sind, bleibt die Bedeutung einer physikalischen Größe und ihre Teilnahme an Formeln dieselbe.

Vektor- und Skalargrößen

In der Physik gibt es zwei Arten von physikalischen Größen: Vektor und Skalar. Ihr Hauptunterschied ist das Vektorphysikalische Größen haben eine Richtung. Welche Richtung hat eine physikalische Größe? Zum Beispiel nennen wir die Anzahl der Kartoffeln in einer Tüte gewöhnliche Zahlen oder Skalare. Die Temperatur ist ein weiteres Beispiel für eine solche Größe. Andere sehr wichtige Größen in der Physik haben eine Richtung, zum Beispiel Geschwindigkeit; wir müssen nicht nur die Bewegungsgeschwindigkeit des Körpers angeben, sondern auch den Weg, auf dem er sich bewegt. Auch Impuls und Kraft haben eine Richtung, ebenso wie die Verschiebung: Wenn jemand einen Schritt macht, kann man nicht nur erkennen, wie weit er gegangen ist, sondern auch, wohin er tritt, also die Richtung seiner Bewegung bestimmen. Vektorgrößen sind besser zu merken.

Warum ist über den Buchstaben ein Pfeil?

Ein Pfeil wird nur über den Buchstaben von vektoriellen physikalischen Größen gezeichnet. Nach dem Weg in der Mathematik Vektor! Additions- und Subtraktionsoperationen an diesen physikalischen Größen werden gemäß den mathematischen Regeln für Operationen mit Vektoren durchgeführt. Der Ausdruck "Geschwindigkeitsmodul" oder "Absolutwert" bedeutet genau "Geschwindigkeitsvektormodul", dh den Zahlenwert der Geschwindigkeit ohne Berücksichtigung der Richtung - des Plus- oder Minuszeichens.

Bezeichnung von Vektorgrößen

Die Hauptsache, an die man sich erinnern sollte

1) Was ist eine Vektorgröße?
2) Wie unterscheidet sich ein Skalarwert von einem Vektorwert?
3) Vektorphysikalische Größen;
4) Bezeichnung einer Vektorgröße

In der Physik gibt es mehrere Kategorien von Größen: Vektor und Skalar.

Was ist eine Vektorgröße?

Eine Vektorgröße hat zwei Hauptmerkmale: Richtung und Modul. Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihr Modulowert und ihre Richtung gleich sind. Um eine Vektorgröße zu bezeichnen, werden am häufigsten Buchstaben verwendet, über denen ein Pfeil angezeigt wird. Ein Beispiel für eine Vektorgröße ist Kraft, Geschwindigkeit oder Beschleunigung.

Um das Wesen einer Vektorgröße zu verstehen, sollte man sie aus geometrischer Sicht betrachten. Ein Vektor ist ein Liniensegment, das eine Richtung hat. Die Länge eines solchen Segments entspricht dem Wert seines Moduls. Ein physikalisches Beispiel einer Vektorgröße ist die Verschiebung eines sich im Raum bewegenden materiellen Punktes. Parameter wie die Beschleunigung dieses Punktes, die Geschwindigkeit und die darauf wirkenden Kräfte, das elektromagnetische Feld werden ebenfalls als vektorielle Größen dargestellt.

Betrachten wir eine richtungsunabhängige Vektorgröße, so kann ein solches Segment gemessen werden. Das Ergebnis zeigt jedoch nur Teilmerkmale des Werts an. Für seine vollständige Messung sollte der Wert mit anderen Parametern des gerichteten Segments ergänzt werden.

In der Vektoralgebra gibt es ein Konzept Nullvektor. Unter diesem Begriff versteht man einen Punkt. Die Richtung des Nullvektors wird als unbestimmt angesehen. Der Nullvektor ist durch die fett gedruckte arithmetische Null gekennzeichnet.

Wenn wir das alles analysieren, können wir schlussfolgern, dass alle gerichteten Segmente Vektoren definieren. Zwei Segmente definieren nur dann einen Vektor, wenn sie gleich sind. Beim Vergleich von Vektoren gilt die gleiche Regel wie beim Vergleich von skalaren Größen. Gleichberechtigung bedeutet vollständige Übereinstimmung in allen Belangen.

Was ist ein Skalarwert?

Im Gegensatz zu einem Vektor hat eine skalare Größe nur einen Parameter - es ist sein Zahlenwert. Zu beachten ist, dass der analysierte Wert sowohl einen positiven als auch einen negativen Zahlenwert haben kann.

Beispiele sind Masse, Spannung, Frequenz oder Temperatur. Mit solchen Werten können Sie verschiedene arithmetische Operationen durchführen: Addition, Division, Subtraktion, Multiplikation. Für eine skalare Größe ist eine solche Eigenschaft wie Richtung nicht charakteristisch.

Eine skalare Größe wird durch einen numerischen Wert gemessen, sodass sie auf der Koordinatenachse angezeigt werden kann. Beispielsweise bilden sie sehr oft die Achse der zurückgelegten Strecke, der Temperatur oder der Zeit.

Hauptunterschiede zwischen Skalar- und Vektorgrößen

Aus den obigen Beschreibungen ist ersichtlich, dass der Hauptunterschied zwischen Vektorgrößen und skalaren Größen darin liegt Eigenschaften. Eine Vektorgröße hat eine Richtung und einen Betrag, während eine skalare Größe nur einen numerischen Wert hat. Natürlich kann eine Vektorgröße wie eine Skalargröße gemessen werden, aber eine solche Eigenschaft wird nicht vollständig sein, da es keine Richtung gibt.

Um den Unterschied zwischen einer skalaren Größe und einer vektoriellen Größe deutlicher darzustellen, soll ein Beispiel gegeben werden. Dazu nehmen wir ein solches Wissensgebiet wie Klimatologie. Wenn wir sagen, dass der Wind mit einer Geschwindigkeit von 8 Metern pro Sekunde weht, wird ein Skalarwert eingeführt. Aber wenn wir sagen, dass der Nordwind mit einer Geschwindigkeit von 8 Metern pro Sekunde weht, dann sprechen wir über den Vektorwert.

Vektoren spielen eine große Rolle in der modernen Mathematik sowie in vielen Bereichen der Mechanik und Physik. Die meisten physikalischen Größen lassen sich als Vektoren darstellen. Dies ermöglicht eine Verallgemeinerung und wesentliche Vereinfachung der verwendeten Formeln und Ergebnisse. Oft werden Vektorwerte und Vektoren miteinander identifiziert. In der Physik hört man zum Beispiel, dass Geschwindigkeit oder Kraft ein Vektor ist.