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Beschriftungen der Folien:

Theorie zum Thema: „Problemlösung aus Interesse“.

Typ 1: Wandeln Sie Prozent in Dezimalzahlen um. Prozent  Anteil A%  A dividiert durch 100 Aufgaben: 20%, 75%, 125%, 50%, 40%, 1%, 70%, 35%, 80% .... Füllen Sie die Tabelle aus 1% 5% 10 % 20 % 25 % 50 % 75 % 100 %

Typ 2: Wandeln Sie einen Bruch in einen Prozentsatz um. Zahl  Prozent A  A mal 100% Brüche in Prozent umwandeln: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, thematische Aufgaben) Ordnen Sie die Brüche, die die Anteile eines bestimmten Werts ausdrücken, und die ihnen entsprechenden Prozentsätze zu. A.1/4; B) 3/5; c) 0,5; D) 0,05 1) 5 %; 2) 25 %; 3) 50 %; 4) 60 % Antwort: A B C D

Typ 3: Ermitteln eines Prozentsatzes einer Zahl. X% von A 1) X% wird als Dezimalbruch dargestellt 2) Die Zahl A wird mit dem Dezimalbruch multipliziert. Die Aufgabe ist ein Beispiel. In einem Monat produzierte das Unternehmen 500 Geräte. 20 % der hergestellten Geräte haben die Qualitätskontrolle nicht bestanden. Wie viele Geräte haben die Qualitätskontrolle nicht bestanden? Lösung. Sie müssen 20 % der Gesamtzahl der hergestellten Geräte (500) finden. 20 % = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 der insgesamt hergestellten Geräte haben die Qualitätskontrolle nicht bestanden.

Typ 4: Finden Sie eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes. Und das ist X%: 1) X% wird als Dezimalbruch dargestellt 2) A wird durch einen Dezimalbruch geteilt. Die Aufgabe ist ein Beispiel. Zur Prüfungsvorbereitung löste der Student 38 Aufgaben aus dem Handbuch zum Selbststudium. Das sind 25 % der Anzahl aller Aufgaben im Handbuch. Wie viele Aufgaben sind in diesem Selbststudienhandbuch gesammelt? Lösung. Wir wissen nicht, wie viele Aufgaben in dem Handbuch stehen. Aber andererseits wissen wir, dass 38 Aufgaben 25 % ihrer Gesamtzahl ausmachen. 25 % = 0,25 38/0,25 = 152. Es gibt 152 Probleme in dieser Sammlung.

Tipp 5: Finden Sie den Prozentsatz zweier Zahlen. A- und B-Nummern. Wie viel % ist B von A? 1) B / A 2) Multipliziere den resultierenden Quotienten mit 100% Die Aufgabe ist eine Stichprobe. In der Klasse sind 30 Schüler. 15 davon sind Mädchen. Wie viel Prozent Mädchen sind in der Klasse? Lösung. Um herauszufinden, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist, müssen Sie die Zahl, die Sie finden möchten, durch die Gesamtzahl dividieren und mit 100 % multiplizieren. Also, 1) 15 / 30 = 0,5 2) 0,5 * 100 % = 50 % Die Aufgabe ist eine Stichprobe. 1 Stunde lang produzierte der Automat 240 Teile. Nach dem Umbau dieser Maschine begann er 288 gleiche Teile pro Stunde zu produzieren. Um wie viel Prozent hat sich die Produktivität der Maschine erhöht? Lösung. Die Produktivität der Maschine hat sich um 288-240=48 Teile pro Stunde erhöht. Sie müssen herausfinden, wie viel Prozent von 240 Teilen 48 Teile sind. Um herauszufinden, wie viel Prozent der Zahl 48 von der Zahl 240 sind, musst du die Zahl 48 durch 240 teilen und das Ergebnis mit 100 % multiplizieren. 48/240 *100% =20% Antwort: Maschinenproduktivität um 20% gesteigert

Typ 6: Erhöhen Sie die Zahl um einen Prozentsatz. Verringern Sie die Zahl um einen Prozentsatz. A ist eine Zahl; um X% steigen, dann hat es sich um (1 + x / 100) mal erhöht. : 1) die Zahl A wird mit 2) (1 + x / 100) multipliziert. Die Aufgabe ist ein Beispiel. . Bei der letztjährigen Matheprüfung haben 140 Gymnasiasten eine Eins bekommen. In diesem Jahr ist die Zahl der exzellenten Studierenden um 15 % gestiegen. Wie viele Leute haben dieses Jahr Einsen in ihrer Matheprüfung bekommen? Lösung. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - Zahl; wir verringern um X%, dann verringert es sich um (1 - x / 100) Mal. : 1) die Zahl A wird mit 2) (1 - x / 100) multipliziert. Die Aufgabe ist ein Beispiel. Vor einem Jahr haben 100 Kinder die Schule abgeschlossen. Und dieses Jahr gibt es 25 % weniger Absolventen. Wie viele Absolventen dieses Jahr? Lösung. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Typ7: Lösungskonzentration. Die Aufgabe ist ein Beispiel. Ein Kilogramm Salz wurde in 9 Liter Wasser gelöst. Wie hoch ist die Konzentration der resultierenden Lösung? (Die Masse von 1 Liter Wasser beträgt 1 kg) (Peterson 6-Zellen) Lösung 1) Die Masse des gelösten Stoffes beträgt 1 kg 2) Die Masse der gesamten Lösung 1 + 9 \u003d 10 (kg) 9 kg ist die Masse Wasser in der Lösung (nicht zu verwechseln mit der Gesamtmasse der Lösung ) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - Lösungskonzentration

Typ 8: Der Metallanteil in der Legierung. Aufgabe - Probe 1. Es gibt ein Stück einer Legierung aus Kupfer und Zinn mit einer Gesamtmasse von 12 kg, die 45 % Kupfer enthält. Wie viel reines Zinn muss diesem Legierungsstück zugesetzt werden, damit die resultierende Legierung 40 % Kupfer enthält? Lösung.1)12 . 0,45 = 5,4 (kg) - reines Kupfer in der ersten Legierung; 2) 5,4: 0,4 = 13,5 (kg) - Gewicht der neuen Legierung; 3) 13,5- 12 = 1,5 (kg) Dose. Antwort: Sie benötigen 1,5 kg Dose.

Aufgabe - Probe 2. Es gibt zwei Legierungen, bestehend aus Kupfer, Zink und Zinn. Es ist bekannt, dass die erste Legierung 40% Zinn und die zweite 26% Kupfer enthält. Der Zinkanteil in der ersten und zweiten Legierung ist gleich. Nachdem 150 kg der ersten Legierung und 250 kg der zweiten geschmolzen wurden, wurde eine neue Legierung erhalten, in der sich 30% Zink herausstellte. Bestimmen Sie, wie viel Kilogramm Zinn in der resultierenden neuen Legierung enthalten sind. Da der Zinkanteil in der ersten und zweiten Legierung gleich ist und sich in der dritten Legierung als 30 % herausstellte, beträgt der Zinkanteil in der ersten und zweiten Legierung 30 %. 250 * 0,3 \u003d 75 (kg) - Zink in der zweiten Legierung; 250 * 0,26 \u003d 65 (kg) - Kupfer in der zweiten Legierung; 250-(75+65)= 110 (kg) Zinn in der zweiten Legierung; 150 . 0,4 = 60 (kg) - Zinn in der ersten Legierung; 110 + 60 = 170 (kg) - Zinn in der dritten Legierung. Antwort: 170 kg. 1 Legierung 2 Legierung Neue Legierung (3) Kupfer 26 % Zink 30 % 30 % 30 % Zinn 40 % ?kg Gewicht 150kg 250kg 150+250=400

Typ 9: Auf „Trockenmasse“. Fast jedes Produkt - Äpfel, Wassermelonen, Pilze, Kartoffeln, Müsli, Brot usw. besteht aus Wasser und Trockensubstanz. Außerdem enthalten sowohl frische als auch getrocknete Lebensmittel Wasser. Während des Trocknungsprozesses verdunstet nur Wasser und die Masse der Trockenmasse ändert sich nicht. AG Mordkovich „Mathematik 6“ Aufgabe Nr. 362 Die Aufgabe ist eine Stichprobe. Frischer Pilz enthält 90 % Wasser und getrocknet - 15 %. Wie viele getrocknete Pilze werden aus 17 kg frischen gewonnen? Wie viele frische Pilze braucht man, um 3,4 kg getrocknete zu bekommen? Lösung. Machen wir eine Tabelle: Teil 1 der Aufgabe: Stoff Masse des Stoffes (kg) Wasseranteil in Prozent Trockenmasse in Prozent Trockenmasse (kg) Frischer Pilz 17kg 90% 10% 17*0,1=1,7 Getrockneter Pilz X kg 15% 85% X * 0,85 \u003d 0,85x Da die Masse der Trockenmasse in trockenen und frischen Pilzen unverändert bleibt, erhalten wir die Gleichung: 0,85x \u003d 1,7, x \u003d 1,7: 0,85, x \u003d 2.

Teil 2 der Aufgabe: Stoff Masse des Stoffes (kg) Wasseranteil Wasseranteil Trockenmasse (kg) Frischer Pilz х 90% 10% 0,1х Getrockneter Pilz 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2,89 0,1 x = 2,89, x = 2,89: 0,1, x = 28,9. Antwort: Aus 17 kg frischen Pilzen erhält man 2 kg getrocknete; Um 3,4 kg getrocknete Pilze zu erhalten, müssen Sie 28,9 kg frische nehmen.

Heute schweifen wir ein wenig von Standardlogarithmen, Integralen, Trigonometrie usw. ab und betrachten gemeinsam eine wichtigere Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik, die in direktem Zusammenhang mit unserer rückständigen russischen Ressourcenwirtschaft steht. Und um genau zu sein, betrachten wir das Problem der Einlagen, Zinsen und Kredite. Denn es sind die Aufgaben mit Prozentzahlen, die neu im zweiten Teil des Einheitlichen Staatsexamens Mathematik hinzugekommen sind. Ich nehme gleich vor, dass zur Lösung dieser Aufgabe nach den Vorgaben des Einheitlichen Staatsexamens gleich drei Hauptpunkte angeboten werden, d.h. Prüfer halten diese Aufgabe für eine der schwierigsten.

Gleichzeitig müssen Sie, um eine dieser Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zu lösen, nur zwei Formeln kennen, von denen jede jedem Schulabgänger gut zugänglich ist, aber aus Gründen, die ich nicht verstehe, diese Formeln sind Sowohl von Schullehrern als auch von Erstellern verschiedener Aufgaben zur Vorbereitung auf die Prüfung völlig ignoriert. Deshalb werde ich Ihnen heute nicht nur sagen, was diese Formeln sind und wie man sie anwendet, sondern ich werde jede dieser Formeln buchstäblich vor Ihren Augen herleiten, wobei ich als Grundlage Aufgaben aus der offenen USE-Bank in Mathematik nehme.

Daher stellte sich heraus, dass der Unterricht ziemlich umfangreich, ziemlich sinnvoll war, also machen Sie es sich bequem und wir beginnen.

Geld auf die Bank bringen

Zunächst möchte ich einen kleinen lyrischen Exkurs in Bezug auf Finanzen, Banken, Kredite und Einlagen machen, auf dessen Grundlage wir die Formeln erhalten, mit denen wir dieses Problem lösen werden. Lassen Sie uns also ein wenig von den Prüfungen, von den anstehenden Schulproblemen abschweifen und in die Zukunft blicken.

Nehmen wir an, Sie sind erwachsen geworden und werden eine Wohnung kaufen. Nehmen wir an, Sie kaufen keine schlechte Wohnung am Stadtrand, sondern eine hochwertige Wohnung für 20 Millionen Rubel. Nehmen wir gleichzeitig an, dass Sie einen mehr oder weniger normalen Job haben und 300.000 Rubel im Monat verdienen. In diesem Fall können Sie für das Jahr etwa drei Millionen Rubel sparen. Wenn Sie 300.000 Rubel im Monat verdienen, erhalten Sie für das Jahr natürlich einen etwas größeren Betrag - 3.600.000 -, aber lassen Sie diese 600.000 für Lebensmittel, Kleidung und andere tägliche Haushaltsfreuden ausgeben. Die gesamten Eingabedaten sind wie folgt: Es müssen zwanzig Millionen Rubel verdient werden, während uns nur drei Millionen Rubel pro Jahr zur Verfügung stehen. Eine natürliche Frage stellt sich: Wie viele Jahre müssen wir drei Millionen beiseite legen, um dieselben zwanzig Millionen zu bekommen. Es gilt als elementar:

\[\frac(20)(3)=6,....\bis 7\]

Wie wir jedoch bereits festgestellt haben, verdienen Sie 300.000 Rubel im Monat, was bedeutet, dass Sie kluge Leute sind und kein Geld "unter dem Kopfkissen" sparen, sondern es zur Bank bringen. Und daher werden jährlich Zinsen auf die Einlagen erhoben, die Sie zur Bank bringen. Nehmen wir an, Sie wählen eine zuverlässige, aber gleichzeitig mehr oder weniger profitable Bank, und deshalb wachsen Ihre Einlagen jährlich um 15%. Mit anderen Worten, wir können sagen, dass sich der Betrag auf Ihren Konten jedes Jahr um das 1,15-fache erhöht. Ich erinnere Sie an die Formel:

Lassen Sie uns berechnen, wie viel Geld nach jedem Jahr auf Ihren Konten sein wird:

Im ersten Jahr, wenn Sie gerade anfangen, Geld zu sparen, fallen keine Zinsen an, dh am Ende des Jahres sparen Sie drei Millionen Rubel:

Am Ende des zweiten Jahres fallen bereits Zinsen auf die drei Millionen Rubel an, die aus dem ersten Jahr übrig geblieben sind, d.h. Wir müssen mit 1,15 multiplizieren. Im zweiten Jahr haben Sie jedoch auch weitere drei Millionen Rubel gemeldet. Natürlich waren diese drei Millionen noch nicht verzinst, denn am Ende des zweiten Jahres erschienen diese drei Millionen erst auf dem Konto:

Also das dritte Jahr. Am Ende des dritten Jahres wird dieser Betrag verzinst, dh dieser Gesamtbetrag muss mit 1,15 multipliziert werden. Und wieder haben Sie das ganze Jahr über hart gearbeitet und drei Millionen Rubel beiseite gelegt:

\[\links(3m\cdot 1,15+3m \rechts)\cdot 1,15+3m\]

Lassen Sie uns ein weiteres viertes Jahr berechnen. Auch hier wird der gesamte Betrag, den wir am Ende des dritten Jahres hatten, mit 1,15 multipliziert, d.h. Der gesamte Betrag wird verzinst. Dazu gehören Zinsen auf Zinsen. Und zu dieser Summe kommen noch drei Millionen hinzu, denn im vierten Jahr hat man auch noch gearbeitet und auch gespart:

\[\left(\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Und jetzt öffnen wir die Klammern und sehen, wie viel wir am Ende des vierten Sparjahres haben werden:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(align)\]

Wie Sie sehen können, haben wir in Klammern Elemente einer geometrischen Folge, d.h. wir haben die Summe der Elemente einer geometrischen Folge.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass, wenn die geometrische Folge durch das Element $((b)_(1))$ sowie den Nenner $q$ gegeben ist, die Summe der Elemente gemäß der folgenden Formel berechnet wird:

Diese Formel muss bekannt sein und klar angewendet werden.

Bitte beachten Sie: die Formel n te Element klingt so:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Aufgrund dieses Abschlusses sind viele Studenten verwirrt. Insgesamt haben wir gerade n für die Summe n- Elemente und n-te Element hat Grad $n-1$. Mit anderen Worten, wenn wir nun versuchen, die Summe einer geometrischen Folge zu berechnen, müssen wir Folgendes berücksichtigen:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Lassen Sie uns den Zähler separat berechnen:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right ))^(2))=1,74900625\ca. 1,75\]

Wenn wir zur Summe der geometrischen Progression zurückkehren, erhalten wir insgesamt:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Als Ergebnis erhalten wir, dass sich unser Anfangsbetrag in vier Jahren des Sparens nicht vervierfacht, als hätten wir kein Geld auf der Bank eingezahlt, sondern verfünffacht, dh fünfzehn Millionen. Schreiben wir es separat:

4 Jahre → 5 mal

Mit Blick auf die Zukunft würde ich sagen, wenn wir nicht vier Jahre, sondern fünf Jahre gespart hätten, dann hätte sich unsere Ersparnis um das 6,7-fache erhöht:

5 Jahre → 6,7 Mal

Mit anderen Worten, am Ende des fünften Jahres hätten wir folgenden Betrag auf dem Konto:

Das heißt, bis zum Ende des fünften Sparjahres hätten wir unter Berücksichtigung der Zinsen für die Einzahlung bereits über zwanzig Millionen Rubel erhalten. Somit würde das gesamte Sparkonto aus Bankzinsen von fast sieben Jahren auf fünf Jahre, also um fast zwei Jahre, sinken.

Trotz der Tatsache, dass die Bank relativ niedrige Zinsen auf unsere Einlagen verlangt (15 %), ergeben diese 15 % nach fünf Jahren eine Steigerung, die unser Jahreseinkommen deutlich übersteigt. Gleichzeitig tritt der Hauptmultiplikatoreffekt in den letzten Jahren und sogar eher im letzten Sparjahr auf.

Warum habe ich das alles geschrieben? Natürlich nicht, um Sie aufzuregen, Geld zur Bank zu tragen. Denn wenn Sie Ihre Ersparnisse wirklich erhöhen möchten, müssen Sie sie nicht in eine Bank investieren, sondern in ein echtes Unternehmen, in dem dieselben Prozentsätze, d.h. die Rentabilität unter den Bedingungen der russischen Wirtschaft, selten unter 30% fallen, d.h. zweimal so viele Bankeinlagen.

Aber was bei all diesen Argumenten wirklich nützlich ist, ist eine Formel, die es uns ermöglicht, den endgültigen Betrag der Einzahlung anhand der Höhe der jährlichen Zahlungen sowie anhand der Zinsen, die die Bank berechnet, zu ermitteln. Schreiben wir also:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

An sich wird % anhand der folgenden Formel berechnet:

Auch diese Formel muss bekannt sein, ebenso wie die Grundformel für die Beitragshöhe. Und die Hauptformel wiederum kann die Berechnungen bei den Problemen mit Prozentsätzen, bei denen der Beitrag berechnet werden muss, erheblich reduzieren.

Warum Formeln statt Tabellen verwenden?

Viele werden sich wahrscheinlich die Frage stellen, warum all diese Schwierigkeiten überhaupt, ist es möglich, einfach jedes Jahr auf ein Tablet zu schreiben, wie sie es in vielen Lehrbüchern tun, jedes Jahr einzeln zu berechnen und dann die Gesamthöhe des Beitrags zu berechnen? Natürlich kann man die Summe einer geometrischen Folge im Allgemeinen vergessen und alles mit klassischen Tablets zählen – dies geschieht in den meisten Sammlungen zur Vorbereitung auf die Prüfung. Allerdings steigt erstens das Rechenvolumen stark an und zweitens steigt dadurch die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen.

Im Allgemeinen ist die Verwendung von Tischen anstelle dieser wunderbaren Formel dasselbe wie das Graben von Gräben mit Ihren Händen auf einer Baustelle, anstatt einen Bagger zu verwenden, der in der Nähe steht und voll funktionsfähig ist.

Na ja, oder dasselbe wie fünf mal zehn multiplizieren, ohne das Einmaleins zu verwenden, sondern zehnmal hintereinander fünf zu sich selbst zu addieren. Ich bin jedoch bereits abgeschweift, daher wiederhole ich die wichtigste Idee noch einmal: Wenn es eine Möglichkeit gibt, die Berechnungen zu vereinfachen und zu verkürzen, dann ist dies der richtige Weg.

Zinsen für Darlehen

Wir haben die Einlagen herausgefunden, also gehen wir zum nächsten Thema über, nämlich zu den Zinsen für Kredite.

Während du also sparst, dein Budget sorgfältig planst und über deine zukünftige Wohnung nachdenkst, hat dein Mitschüler und jetzt ein einfacher Arbeitsloser beschlossen, für heute zu leben und einfach einen Kredit aufgenommen. Gleichzeitig wird er dich immer noch necken und auslachen, heißt es, er hat ein Kredittelefon und einen Gebrauchtwagen, auf Kredit genommen, und du fährst immer noch U-Bahn und benutzt ein altes Tastentelefon. Für all diese billigen "Angeber" muss Ihr ehemaliger Klassenkamerad natürlich teuer bezahlen. Wie teuer - das berechnen wir gleich.

Zunächst eine kurze Einführung. Nehmen wir an, Ihr ehemaliger Klassenkamerad hat zwei Millionen Rubel auf Kredit genommen. Gleichzeitig muss er laut Vertrag x Rubel pro Monat bezahlen. Nehmen wir an, er hat einen Kredit zu einem Zinssatz von 20 % pro Jahr aufgenommen, was unter den derzeitigen Bedingungen ziemlich anständig aussieht. Gehen Sie außerdem davon aus, dass die Kreditlaufzeit nur drei Monate beträgt. Versuchen wir, all diese Größen in einer Formel zu verbinden.

Also ganz am Anfang, sobald Ihr ehemaliger Klassenkamerad die Bank verlassen hat, hat er zwei Millionen in der Tasche, und das ist seine Schuld. Gleichzeitig ist kein Jahr und kein Monat vergangen, aber dies ist erst der Anfang:

Dann fallen nach einem Monat Zinsen auf den geschuldeten Betrag an. Wie wir bereits wissen, reicht es zur Berechnung der Zinsen aus, die ursprüngliche Schuld mit einem Koeffizienten zu multiplizieren, der nach folgender Formel berechnet wird:

In unserem Fall sprechen wir von einer Rate von 20% pro Jahr, d.h. wir können schreiben:

Dies ist das Verhältnis des Betrags, der pro Jahr berechnet wird. Unser Klassenkamerad ist jedoch nicht sehr schlau und hat den Vertrag nicht gelesen, und tatsächlich wurde ihm ein Darlehen nicht zu 20% pro Jahr, sondern zu 20% pro Monat gewährt. Und bis zum Ende des ersten Monats fallen auf diesen Betrag Zinsen an, die sich um das 1,2-fache erhöhen. Unmittelbar danach muss die Person den vereinbarten Betrag bezahlen, d.h. x Rubel pro Monat:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Und wieder leistet unser Junge eine Zahlung in Höhe von $x$ Rubel.

Dann, bis zum Ende des dritten Monats, erhöht sich die Höhe seiner Schulden erneut um 20 %:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Und gemäß der Bedingung für drei Monate muss er vollständig bezahlen, dh nach Zahlung des letzten Drittels sollte sein Schuldenbetrag gleich Null sein. Wir können diese Gleichung schreiben:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Entscheiden wir:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

Vor uns liegt wieder eine geometrische Folge, oder vielmehr die Summe der drei Elemente einer geometrischen Folge. Schreiben wir es in aufsteigender Reihenfolge der Elemente um:

Jetzt müssen wir die Summe der drei Elemente einer geometrischen Folge finden. Lass uns schreiben:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Lassen Sie uns nun die Summe der geometrischen Progression finden:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Es sei daran erinnert, dass die Summe einer geometrischen Folge mit solchen Parametern $\left(((b)_(1));q \right)$ durch die Formel berechnet wird:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Dies ist die Formel, die wir gerade verwendet haben. Setzen Sie diese Formel in unseren Ausdruck ein:

Für weitere Berechnungen müssen wir herausfinden, was $((1,2)^(3))$ gleich ist. Leider können wir in diesem Fall nicht mehr wie beim letzten Mal in Form eines Doppelquadrats malen, aber wir können so rechnen:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Wir schreiben unseren Ausdruck um:

Dies ist ein klassischer linearer Ausdruck. Kommen wir zurück zur nächsten Formel:

Wenn wir es verallgemeinern, erhalten wir tatsächlich eine Formel, die Zinsen, Kredite, Zahlungen und Bedingungen miteinander verbindet. Die Formel geht so:

Hier ist sie, die wichtigste Formel der heutigen Videolektion, mit deren Hilfe mindestens 80 % aller wirtschaftswissenschaftlichen Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik im zweiten Teil berücksichtigt werden.

Bei echten Aufgaben werden Sie meistens um eine Zahlung oder etwas seltener um einen Kredit gebeten, dh um die Gesamtverschuldung, die unser Klassenkamerad zu Beginn der Zahlungen hatte. Bei komplexeren Aufgaben werden Sie gebeten, einen Prozentsatz zu finden, aber bei sehr komplexen, die wir in einer separaten Videolektion analysieren, werden Sie gebeten, den Zeitraum zu finden, in dem mit den gegebenen Kredit- und Zahlungsparametern unser arbeitsloser Klassenkamerad wird die Bank vollständig abbezahlen können.

Vielleicht denkt jetzt jemand, ich sei ein vehementer Gegner von Krediten, Finanzen und dem Bankensystem im Allgemeinen. Also nichts dergleichen! Im Gegenteil, ich glaube, dass Kreditinstrumente für unsere Wirtschaft sehr nützlich und unerlässlich sind, aber nur unter der Bedingung, dass der Kredit für die Geschäftsentwicklung aufgenommen wird. Im Extremfall können Sie einen Kredit für den Kauf eines Eigenheims, also einer Hypothek, oder für eine medizinische Notfallbehandlung aufnehmen - das war's, es gibt einfach keine anderen Gründe, einen Kredit aufzunehmen. Und allerlei Arbeitslose, die Kredite aufnehmen, um sich „Angeber“ zu kaufen und dabei am Ende gar nicht an die Folgen denken und zum Verursacher von Krisen und Problemen in unserer Wirtschaft werden.

Um auf das Thema der heutigen Lektion zurückzukommen, möchte ich anmerken, dass es auch notwendig ist, diese Formel zu kennen, die Kredite, Zahlungen und Zinsen sowie den Betrag einer geometrischen Progression verbindet. Mit Hilfe dieser Formeln werden realwirtschaftliche Probleme aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik gelöst. Nun, nachdem Sie das alles sehr gut wissen, wenn Sie verstehen, was ein Kredit ist und warum Sie ihn nicht aufnehmen sollten, gehen wir zur Lösung realwirtschaftlicher Probleme aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik über.

Wir lösen echte Probleme aus der Klausur in Mathematik

Beispiel 1

Die erste Aufgabe lautet also:

Am 31. Dezember 2014 nahm Alexei von der Bank einen Kredit in Höhe von 9.282.000 Rubel zu 10 % pro Jahr auf. Das Darlehensrückzahlungsschema sieht wie folgt aus: Am 31. Dezember jedes nächsten Jahres berechnet die Bank Zinsen auf den verbleibenden Schuldenbetrag (dh erhöht die Schulden um 10%), dann überweist Alexey X Rubel an die Bank. Wie hoch sollte der Betrag X sein, damit Alexey die Schulden in vier gleichen Raten (d. h. für vier Jahre) abbezahlen kann?

Das ist also ein Problem mit einem Kredit, also schreiben wir sofort unsere Formel auf:

Wir kennen das Darlehen - 9.282.000 Rubel.

Wir werden uns jetzt mit Prozenten befassen. Wir sprechen über 10% des Problems. Daher können wir sie übersetzen:

Wir können eine Gleichung aufstellen:

Wir haben eine gewöhnliche lineare Gleichung bezüglich $x$ erhalten, wenn auch mit ziemlich beachtlichen Koeffizienten. Versuchen wir es zu lösen. Suchen wir zuerst den Ausdruck $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Jetzt schreiben wir die Gleichung um:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Das ist es, unser Problem mit Prozentsätzen ist gelöst.

Das war natürlich nur die einfachste Aufgabe mit Prozenten aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik. In einer echten Prüfung wird es eine solche Aufgabe höchstwahrscheinlich nicht geben. Und wenn doch, können Sie sich sehr glücklich schätzen. Nun, für diejenigen, die gerne zählen und keine Risiken eingehen, gehen wir zu den nächsten schwierigeren Aufgaben über.

Beispiel #2

Am 31. Dezember 2014 hat Stepan 4.004.000 Rubel von einer Bank zu 20 % pro Jahr geliehen. Das Darlehensrückzahlungsschema sieht wie folgt aus: Am 31. Dezember jedes nächsten Jahres berechnet die Bank Zinsen auf den verbleibenden Schuldenbetrag (d. h. erhöht die Schulden um 20 %), dann leistet Stepan eine Zahlung an die Bank. Stepan zahlte die gesamte Schuld in 3 gleichen Raten ab. Wie viele Rubel weniger würde er der Bank geben, wenn er die Schulden in 2 gleichen Raten begleichen könnte.

Vor uns liegt ein Problem mit Krediten, also schreiben wir unsere Formel auf:

\[\]\

Was wissen wir? Erstens kennen wir den Gesamtkredit. Wir kennen auch die Prozentsätze. Lassen Sie uns das Verhältnis finden:

Was $n$ betrifft, so müssen Sie den Zustand des Problems sorgfältig lesen. Das heißt, zuerst müssen wir berechnen, wie viel er für drei Jahre bezahlt hat, d. h. $n=3$, und dann die gleichen Schritte erneut ausführen, aber die Zahlungen für zwei Jahre berechnen. Schreiben wir eine Gleichung für den Fall, dass die Zahlung für drei Jahre erfolgt:

Lösen wir diese Gleichung. Aber zuerst suchen wir den Ausdruck $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Wir schreiben unseren Ausdruck um:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Insgesamt beträgt unsere Zahlung 1900800 Rubel. Beachten Sie jedoch: Bei der Aufgabe mussten wir nicht eine monatliche Zahlung finden, sondern wie viel Stepan insgesamt für drei gleiche Zahlungen zahlen würde, dh für die gesamte Nutzungsdauer des Darlehens. Daher muss der resultierende Wert wieder mit drei multipliziert werden. Lass uns zählen:

Insgesamt zahlt Stepan 5.702.400 Rubel für drei gleiche Zahlungen. So viel wird es ihn kosten, den Kredit drei Jahre lang zu nutzen.

Betrachten Sie nun die zweite Situation, als Stepan sich zusammenriss, sich fertig machte und den gesamten Kredit nicht in drei, sondern in zwei gleichen Raten abbezahlte. Wir schreiben unsere gleiche Formel auf:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Aber das ist noch nicht alles, denn jetzt haben wir nur eine der beiden Zahlungen berechnet, also zahlt Stepan insgesamt genau das Doppelte:

Großartig, jetzt sind wir der endgültigen Antwort nahe. Aber Achtung: Wir haben auf keinen Fall eine endgültige Antwort erhalten, denn Stepan zahlt für drei Jahre Zahlungen 5.702.400 Rubel und für zwei Jahre Zahlungen 5.241.600 Rubel, also etwas weniger. Wie viel weniger? Um dies herauszufinden, müssen Sie den zweiten Zahlungsbetrag vom ersten Zahlungsbetrag abziehen:

Die endgültige Gesamtantwort beträgt 460.800 Rubel. Wie viel genau Stepan sparen wird, wenn er nicht drei, sondern zwei Jahre zahlt.

Wie Sie sehen, vereinfacht die Formel für die Verknüpfung von Zinsen, Laufzeiten und Zahlungen die Berechnung im Vergleich zu klassischen Tabellen erheblich, und leider verwenden die meisten Problemsammlungen aus unbekannten Gründen immer noch Tabellen.

Gesondert möchte ich Sie auf die Laufzeit des Darlehens und die Höhe der monatlichen Zahlungen hinweisen. Tatsache ist, dass dieser Zusammenhang aus den von uns aufgeschriebenen Formeln nicht direkt ersichtlich ist, aber sein Verständnis für die schnelle und effektive Lösung realer Probleme in der Prüfung notwendig ist. Tatsächlich ist dieser Zusammenhang sehr einfach: Je länger der Kredit aufgenommen wird, desto kleiner wird der Betrag in monatlichen Zahlungen, aber desto größer wird der Betrag über die gesamte Nutzungsdauer des Kredits. Und umgekehrt: Je kürzer die Laufzeit, desto höher die monatliche Rate, aber desto geringer die endgültige Überzahlung und desto geringer die Gesamtkosten des Kredits.

Natürlich sind alle diese Aussagen nur unter der Bedingung gleich, dass die Höhe des Darlehens und der Zinssatz in beiden Fällen gleich sind. Denken Sie im Allgemeinen vorerst nur an diese Tatsache - sie wird verwendet, um die schwierigsten Probleme zu diesem Thema zu lösen, aber jetzt analysieren wir ein einfacheres Problem, bei dem Sie nur den Gesamtbetrag des ursprünglichen Darlehens ermitteln müssen.

Beispiel #3

Also noch eine Aufgabe für einen Kredit und in Kombination die letzte Aufgabe im heutigen Video-Tutorial.

Am 31. Dezember 2014 nahm Vasily einen bestimmten Betrag von der Bank auf Kredit zu 13 % pro Jahr auf. Das Darlehensrückzahlungsschema sieht wie folgt aus: Am 31. Dezember jedes nächsten Jahres berechnet die Bank Zinsen auf den verbleibenden Schuldenbetrag (dh sie erhöht die Schulden um 13%), dann überweist Vasily 5.107.600 Rubel an die Bank. Welchen Betrag hat Vasily von der Bank geliehen, wenn er die Schulden in zwei gleichen Raten (für zwei Jahre) zurückgezahlt hat?

Also geht es bei diesem Problem erstmal wieder um Kredite, also schreiben wir unsere wunderbare Formel auf:

Mal sehen, was wir aus dem Zustand des Problems wissen. Erstens die Zahlung - sie entspricht 5.107.600 Rubel pro Jahr. Zweitens Prozentsätze, damit wir das Verhältnis finden können:

Darüber hinaus nahm Vasily je nach Zustand des Problems einen Kredit von der Bank für zwei Jahre auf, d.h. in zwei gleichen Raten bezahlt, also $n=2$. Lassen Sie uns alles ersetzen und beachten Sie auch, dass uns das Darlehen unbekannt ist, d.h. den Betrag, den er genommen hat, und bezeichnen wir ihn als $x$. Wir bekommen:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Schreiben wir unsere Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Das ist es, das ist die endgültige Antwort. Diesen Betrag nahm Vasily gleich zu Beginn auf.

Nun ist klar, warum wir in diesem Problem gebeten werden, einen Kredit nur für zwei Jahre aufzunehmen, denn hier tauchen zweistellige Zinsen auf, nämlich 13%, was quadratisch schon eine ziemlich „brutale“ Zahl ergibt. Dies ist jedoch nicht die Grenze - in der nächsten separaten Lektion werden wir komplexere Aufgaben betrachten, bei denen die Kreditlaufzeit ermittelt werden muss und der Zinssatz ein, zwei oder drei Prozent beträgt.

Im Allgemeinen lernen Sie, Probleme für Einlagen und Kredite zu lösen, sich auf Prüfungen vorzubereiten und diese "sehr gut" zu bestehen. Und wenn in den Materialien der heutigen Videolektion etwas nicht klar ist, zögern Sie nicht - schreiben Sie, rufen Sie an und ich werde versuchen, Ihnen zu helfen.

Lösen von Problemen in der Mathematik über die Anwendung von grundlegenden Konzepten von Interesse.

Probleme mit Prozentzahlen werden ab der 5. Klasse gelehrt.

Das Lösen von Problemen dieser Art ist eng mit drei Algorithmen verbunden:

1. einen Prozentsatz einer Zahl finden
2. Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes,
3. Prozent finden.

Im Unterricht mit den Schülern verstehen sie, dass ein Hundertstel Meter ein Zentimeter ist, ein Hundertstel Rubel ein Penny ist, ein Hundertstel Centner ein Kilogramm ist. Dass Hundertstel von Werten in der Praxis bequem sind, hat man schon lange gemerkt. Daher wurde ihnen ein spezieller Name geprägt - Prozent.

Ein Penny ist also ein Prozent von einem Rubel und ein Zentimeter ist ein Prozent von einem Meter.

Ein Prozent ist ein Hundertstel einer Zahl. Mathematisch wird ein Prozent wie folgt geschrieben: 1%.

Die Definition von einem Prozent kann geschrieben werden als: 1% \u003d 0,01. a

5 % = 0,05, 23 % = 0,23, 130 % = 1,3 usw.

Wie finde ich 1% einer Zahl?

Da 1 % ein Hundertstel ist, müssen Sie die Zahl durch 100 teilen. Das Teilen durch 100 kann durch Multiplizieren mit 0,01 ersetzt werden. Um also 1 % einer bestimmten Zahl zu finden, müssen Sie sie mit 0,01 multiplizieren. Und wenn Sie 5% der Zahl finden müssen, dann multiplizieren Sie diese Zahl mit 0,05 usw.

Beispiel. Finden: 25 % von 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Regel 1. Um eine bestimmte Anzahl von Prozenten einer Zahl zu finden, müssen Sie die Prozentsätze als Dezimalbruch schreiben und dann die Zahl mit diesem Dezimalbruch multiplizieren.

Beispiel. Der Dreher drehte 40 Teile in einer Stunde. Mit einem Fräser aus stärkerem Stahl begann er, 10 weitere Teile pro Stunde zu drehen. Um wie viel Prozent stieg die Arbeitsproduktivität?

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir herausfinden, wie viel Prozent 10 Teile von 40 sind. Dazu finden wir zuerst heraus, welcher Teil die Zahl 10 von der Zahl 40 ist. Wir wissen, dass wir 10 durch 40 teilen müssen. Das wird es fallen 0,25 aus. Schreiben wir es jetzt als Prozentsatz auf - 25 %.

Antwort: Die Dreherproduktivität stieg um 25 %.

Regel 2. Um herauszufinden, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist, müssen Sie die erste Zahl durch die zweite teilen und den resultierenden Bruch als Prozentsatz schreiben.

Beispiel. Mit einem geplanten Ziel von 60 Fahrzeugen pro Tag produzierte das Werk 66 Fahrzeuge. Zu wie viel Prozent hat die Anlage den Plan erfüllt?

66: 60 \u003d 1.1 - Dieser Teil besteht aus hergestellten Autos aus der Anzahl der Autos gemäß Plan. Schreiben wir in Prozent = 110 %.

Antwort: 110 %.

Beispiel. Bronze ist eine Legierung aus Zinn und Kupfer. Wie viel Prozent der Legierung ist Kupfer in einem Stück Bronze, bestehend aus 6 kg Zinn und 34 kg Kupfer?

1. 6+ 34 \u003d 40 (kg) - die Masse der gesamten Legierung.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - die Legierung ist Kupfer.

Antwort: 85 %.

Beispiel. Das Elefantenbaby verlor im Frühling 20 %, legte im Sommer 30 % zu, verlor im Herbst erneut 20 % und im Winter 10 %. Ist sein Gewicht dieses Jahr gleich geblieben? Falls geändert, um wie viel Prozent und in welche Richtung?

1. 100 - 20 = 80 (%) - nach dem Frühjahr.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - nach dem Sommer.
3. 104-104. 0,2 = 83,2 (%) - nach dem Herbst.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - nach dem Winter.

Antwort: Gewichtsverlust um 8,48 %.

Beispiel. Wir haben 20 kg Stachelbeeren zur Lagerung zurückgelassen, deren Beeren 99% Wasser enthalten. Der Wassergehalt in den Beeren ist auf 98 % gesunken. Wie viele Stachelbeeren werden das Ergebnis sein?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0,01 - der Anteil der Trockenmasse in Stachelbeeren zuerst.
2. zwanzig . 0,01 \u003d 0,2 (kg) - Trockenmasse.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0,02 - der Anteil an Trockenmasse in Stachelbeeren nach der Lagerung.
4. 0,2: 0,02 \u003d 10 (kg) - Stachelbeeren wurden.

Antwort: 10 kg.

Beispiel. Was passiert mit dem Preis eines Produkts, wenn dieser zuerst um 25 % erhöht und dann um 25 % gesenkt wird?

Lassen Sie den Preis des Produkts x Rubel betragen, dann kostet das Produkt nach der Erhöhung 125% des vorherigen Preises, d.h. 1,25x, und nach einem Rückgang um 25% beträgt sein Wert 75% oder 0,75 des erhöhten Preises, d.h.

0,75 0,1,25x = 0,9375x,

dann ging der Warenpreis um 6,25 % zurück.

x - 0,9375 x = 0,0625 x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Antwort: Der ursprüngliche Preis des Produkts ist um 6,25 % gesunken.

Regel 3. Um den Prozentsatz zweier Zahlen A und B zu ermitteln, müssen Sie das Verhältnis dieser Zahlen mit 100 % multiplizieren, dh (A: B) berechnen. 100%.

Beispiel. Finde eine Zahl, wenn 15 % davon 30 sind.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x ist eine gegebene Zahl;
0,15 . x = 300;
x = 200.

Antwort: 200.

Beispiel. Rohbaumwolle ergibt 24 % Fasern. Wie viel Rohbaumwolle sollte genommen werden, um 480 kg Fasern zu erhalten?

Schreiben wir 24% als Dezimalbruch von 0,24 und bekommen das Problem, eine Zahl aus ihrem bekannten Teil (Bruch) zu finden.
480: 0,24 = 2000 kg = 2 t

Antwort: 2t.

Beispiel. Wie viele kg Steinpilze müssen geerntet werden, um 1 kg getrocknete Pilze zu erhalten, wenn 50 % ihrer Masse bei der Verarbeitung frischer Pilze und 10 % der Masse verarbeiteter Pilze beim Trocknen übrig bleiben?

1 kg getrocknete Pilze sind 10 % oder 0,01 Teil verarbeitet, d.h.
1 kg: 0,1 = 10 kg verarbeitete Pilze, das sind 50 % oder 0,5 der geernteten Pilze, d.h.
10 kg: 0,05 = 20 kg.

Antwort: 20 kg.

Beispiel. Frische Pilze enthielten 90 Gew.-% Wasser und trockene 12 Gew.-%. Wie viele trockene Pilze werden aus 22 kg frischen gewonnen?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - Pilze nach Gewicht in frischen Pilzen; (0,1 ist 10 % Trockenmasse);
2. 2.2: 0,88 \u003d 2,5 (kg) - Trockenpilze, die aus frischen gewonnen werden (die Menge an Trockenmasse hat sich nicht geändert, aber ihr Anteil an Pilzen hat sich geändert und jetzt sind 2,2 kg 88% oder 0,88 Trockenpilze ).

Antwort: 2,5 kg.

Regel 4. Um eine Zahl anhand ihrer Prozentsätze zu finden, müssen Sie die Prozentsätze als Bruch ausdrücken und dann den Prozentwert durch diesen Bruch teilen.

In Aufgabenstellungen für Bankrechnungen findet man meist einfache und Zinseszinsen. Was ist der Unterschied zwischen einfachem und Zinseszinswachstum? Bei einfachem Wachstum wird der Prozentsatz jeweils ausgehend vom Anfangswert und bei komplexem Wachstum vom vorherigen Wert berechnet. Bei einfachem Wachstum ist 100 % der Anfangsbetrag, und bei komplexem Wachstum ist 100 % jedes Mal neu und gleich dem vorherigen Wert.

Beispiel. Die Bank zahlt einen Ertrag von 4 % pro Monat aus der Höhe der Einzahlung. 300.000 Rubel wurden auf das Konto eingezahlt, das Einkommen fällt jeden Monat an. Berechnen Sie den Wert des Beitrags nach 3 Monaten.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - der Anteil der Erhöhung der Einzahlung im Vergleich zum Vormonat.
2. 300 . 1,04 \u003d 312 (Tausend Rubel) - die Höhe des Beitrags nach 1 Monat.
3. 312 . 1,04 \u003d 324,48 (Tausend Rubel) - die Höhe des Beitrags nach 2 Monaten.
4. 324,48. 1,04 = 337,4592 (tausend r) = 337 459,2 (r) - der Wert des Beitrags nach 3 Monaten.

Oder Sie können die Absätze 2-4 durch einen ersetzen und das Konzept des Abschlusses mit den Kindern wiederholen: 300.1.043 \u003d 337,4592 (Tausend Rubel) \u003d 337.459,2 (r) - die Höhe des Beitrags nach 3 Monaten.

Antwort: 337.459,2 Rubel

Beispiel. Vasya las in der Zeitung, dass die Lebensmittelpreise in den letzten 3 Monaten um durchschnittlich 10 % pro Monat gestiegen sind. Um wie viel Prozent sind die Preise in 3 Monaten gestiegen?

Beispiel. Geld, das in Aktien eines bekannten Unternehmens investiert wird, bringt jährlich 20 % des Einkommens ein. In wie vielen Jahren wird sich die Investition verdoppeln?

Betrachten wir einen ähnlichen Aufgabenplan anhand konkreter Beispiele.

Beispiel. (Option 1 Nr. 16. OGE-2016. Mathematik. Typische Testaufgaben_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Das Sportgeschäft führt eine Aktion durch. Jeder Pullover kostet 400 Rubel. Beim Kauf von zwei Pullovern - 75 % Rabatt auf den zweiten Pullover. Wie viele Rubel muss ich während des Aktionszeitraums für den Kauf von zwei Pullovern bezahlen?

Je nach Zustand des Problems stellt sich heraus, dass der erste Jumper für 100% seiner ursprünglichen Kosten gekauft wird und der zweite für 100 - 75 = 25 (%), d.h. Insgesamt muss der Käufer 100 + 25 = 125 (%) der ursprünglichen Kosten bezahlen. Die Lösung kann dann auf drei Arten betrachtet werden.

1 Weg.

Wir akzeptieren 400 Rubel als 100%. Dann enthält 1 % 400: 100 = 4 (Rubel) und 125 %
vier . 125 = 500 (Rubel)

2-Wege.

Den Prozentsatz einer Zahl erhält man, indem man die Zahl mit dem Bruchteil multipliziert, der dem Prozentsatz entspricht, oder indem man die Zahl mit dem angegebenen Prozentsatz multipliziert und durch 100 dividiert.
400 . 1,25 = 500 oder 400. 125/100 = 500.

3 Wege.

Anwenden der Proportionseigenschaft:
400 Rubel. - 100 %
x reiben. - 125% erhalten wir x \u003d 125. 400 / 100 = 500 (Rubel)

Antwort: 500 Rubel.

Beispiel. (Option 4 Nr. 16. OGE-2016. Mathematik. Typische Testaufgaben_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Das Durchschnittsgewicht von Jungen im gleichen Alter wie Gosha beträgt 57 kg. Goshas Gewicht beträgt 150 % des Durchschnittsgewichts. Wie viele Kilogramm wiegt Gosha?

Ähnlich wie im oben besprochenen Beispiel können Sie eine Proportion vornehmen:

57kg - 100%
x kg - 150%, wir bekommen x \u003d 57. 150 / 100 = 85,5 (kg)

Antwort: 85,5 kg.

Beispiel. (Option 7 Nr. 16. OGE-2016. Mathematik. Typische Testaufgaben_ed. Yashchenko_2016 - 80er Jahre)

Nach dem Abschlag des Fernsehers betrug sein neuer Preis 0,52 des alten. Um wie viel Prozent ist der Preis durch den Abschlag gefallen?

1 Weg.

Lassen Sie uns zuerst den Anteil der Preisreduzierung finden. Wenn der ursprüngliche Preis mit 1 angenommen wird, dann ist 1 - 0,52 = 0,48 der Anteil des Preisnachlasses. Dann erhalten wir 0,48. 100 % = 48 %. Diese. der Preis sank durch den Preisnachlass um 48 %.

2-Wege.

Wenn die Anschaffungskosten als A angenommen werden, beträgt der neue Preis des Fernsehers nach dem Abschlag 0,52 A, d. h. er verringert sich um A - 0,52 A = 0,48 A.

Machen wir eine Proportion:
A - 100 %
0,48A - x% erhalten wir x = 0,48A. 100 / A = 48 (%).

Antwort: Der Preis ist durch den Preisnachlass um 48 % gesunken.

Beispiel. (Option 9 Nr. 16. OGE-2016. Mathematik. Typische Testaufgaben_ed. Yashchenko_2016 - 80er Jahre)

Das zum Verkauf stehende Produkt wurde um 15% reduziert, während es 680 Rubel kostete. Wie viel hat der Artikel vor dem Verkauf gekostet?

Vor der Preissenkung war das Produkt 100 % wert. Der Preis des Produkts nach dem Verkauf sank um 15%, d.h. wurde 100 - 15 = 85 (%), in Rubel entspricht dieser Wert 680 Rubel.

1 Weg.

680: 85 = 8 (Rubel) - in 1%
acht . 100 \u003d 800 (Rubel) - die Kosten der Ware vor dem Verkauf.

2-Wege.

Dies ist das Problem, eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes zu finden. Es wird gelöst, indem die Zahl durch den entsprechenden Prozentsatz geteilt und der resultierende Bruch in einen Prozentsatz umgewandelt wird, indem er mit 100 multipliziert wird, oder indem er durch den Bruch geteilt wird, der durch Umrechnung von Prozenten erhalten wird.
680:85. 100 \u003d 800 (Rubel) oder 680: 0,85 \u003d 800 (Rubel)

3 Wege.

Mit Anteil:
680 Rubel. - 85%
x reiben. - 100 % erhalten wir x = 680. 100 / 85 = 800 (Rubel)

Antwort: 800 Rubel kostet die Ware vor dem Verkauf.

Lösen von Problemen für Mischungen und Legierungen unter Verwendung der Konzepte "Prozent", "Konzentration", "% Lösung".

Die einfachsten Aufgaben dieser Art sind unten aufgeführt.

Beispiel. Wie viel kg Salz in 10 kg Salzwasser, wenn der Salzgehalt 15 % beträgt.

zehn . 0,15 = 1,5 (kg) Salz.

Antwort: 1,5 kg.

Der Prozentsatz einer Substanz in einer Lösung (z. B. 15 %), manchmal auch als prozentuale Lösung bezeichnet (z. B. 15 %ige Kochsalzlösung).

Beispiel. Die Legierung enthält 10 kg Zinn und 15 kg Zink. Wie hoch ist der Anteil von Zinn und Zink in der Legierung?

Der Anteil eines Stoffes an einer Legierung ist der Anteil, den das Gewicht eines bestimmten Stoffes am Gewicht der gesamten Legierung ausmacht.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - Legierung;
2. 10:25 Uhr 100 % = 40 % - Zinnanteil in der Legierung;
3. 15:25. 100 % = 60 % - Zinkanteil in der Legierung.

Antwort: 40 %, 60 %.

Bei Aufgaben dieser Art steht der Begriff „Konzentration“ im Vordergrund. Was ist es?

Betrachten wir zum Beispiel eine Lösung einer Säure in Wasser.

Lassen Sie das Gefäß 10 Liter einer Lösung enthalten, die aus 3 Liter Säure und 7 Liter Wasser besteht. Dann ist der relative (bezogen auf das Gesamtvolumen) Säuregehalt in der Lösung gleich. Diese Zahl bestimmt die Konzentration der Säure in der Lösung. Manchmal sprechen sie über den Prozentsatz der Säure in der Lösung. Im gegebenen Beispiel ist der Prozentsatz wie folgt: . Wie Sie sehen können, ist der Übergang von Konzentration zu Prozent und umgekehrt sehr einfach.

Lassen Sie also eine Mischung der Masse M einen Stoff der Masse m enthalten.

• die Konzentration eines bestimmten Stoffes in einem Gemisch (Legierung) ist eine Größe;
• der Prozentsatz einer gegebenen Substanz wird als c × 100 % bezeichnet;

Aus der letzten Formel folgt, dass bei bekannten Konzentrationen eines Stoffes und der Gesamtmasse eines Gemisches (Legierung) die Masse eines gegebenen Stoffes durch die Formel m=c×M bestimmt wird.

Probleme mit Mischungen (Legierungen) können in zwei Arten unterteilt werden:

1. Zum Beispiel sind zwei Mischungen (Legierungen) mit Massen m1 und m2 und Konzentrationen eines Stoffes in ihnen gleich c1 bzw. c2 angegeben. Gemische (Legierungen) werden entwässert (geschmolzen). Es ist erforderlich, die Masse dieses Stoffes in einer neuen Mischung (Legierung) und seine neue Konzentration zu bestimmen. Es ist klar, dass in der neuen Mischung (Legierung) die Masse des gegebenen Stoffes gleich c1m1+c2m2 und die Konzentration ist.
2. Ein bestimmtes Volumen der Mischung (Legierung) wird eingestellt, und von diesem Volumen beginnen sie, eine bestimmte Menge der Mischung (Legierung) zu gießen (entfernen) und dann die gleiche oder eine andere Menge der Mischung (Legierung) hinzuzufügen (zuzufügen). ) mit der gleichen Konzentration dieses Stoffes oder mit einer anderen Konzentration. Dieser Vorgang wird mehrmals durchgeführt.

Bei der Lösung solcher Probleme ist es notwendig, die Menge einer bestimmten Substanz und ihre Konzentration bei jeder Ebbe sowie bei jeder Zugabe der Mischung zu kontrollieren. Als Ergebnis einer solchen Steuerung erhalten wir eine Auflösungsgleichung. Betrachten wir spezifische Aufgaben.

Wenn die Massenkonzentration eines Stoffes in einer Verbindung P% beträgt, bedeutet dies, dass die Masse dieses Stoffes P% der Masse der gesamten Verbindung beträgt.

Beispiel. Die Silberkonzentration in einer Legierung von 300 g beträgt 87 %. Das bedeutet, dass reines Silber in der Legierung 261 g beträgt.

300 . 0,87 = 261 (g).

In diesem Beispiel wird die Konzentration eines Stoffes in Prozent ausgedrückt.

Das Verhältnis des Volumens einer reinen Komponente in Lösung zum Gesamtvolumen der Mischung wird als volumetrische Konzentration dieser Komponente bezeichnet.

Die Summe der Konzentrationen aller Komponenten, aus denen das Gemisch besteht, ist 1.

Wenn der Prozentsatz eines Stoffes bekannt ist, wird seine Konzentration durch die Formel ermittelt:
K \u003d P / 100%,
wobei K die Konzentration des Stoffes ist;
P ist der Prozentsatz des Stoffes (in Prozent).

Beispiel. (Option 8 Nr. 22. OGE-2016. Mathematik. Typische Testaufgaben_ed. Yashchenko_2016 - 80er Jahre)

Frisches Obst enthält 75 % Wasser, während Trockenfrüchte 25 % enthalten. Wie viel frisches Obst wird benötigt, um 45 kg Trockenfrüchte zuzubereiten?

Wenn frisches Obst 75% Wasser enthält, beträgt die Trockenmasse 100 - 75 = 25 (%) und getrocknet - 25%, dann beträgt die Trockenmasse in ihnen 100 - 25 = 75 (%).

Beim Lösen eines Problems können Sie die Tabelle verwenden:

Frisches Obst x 25 % = 0,25 0,25. X

Trockenfrüchte 45 75 % = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Da die Masse der Trockenmasse für frische und getrocknete Früchte ändert sich nicht, wir erhalten die Gleichung:

0,25 . x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - frisches Obst wird benötigt.

Antwort: 135 kg.

Beispiel. (Option 8 Nr. 11. Einheitliches Staatsexamen-2016. Mathematik. Typisch. Test. Aufgaben. Hrsg. Yashchenko 2016 -56s)

Durch Mischen von 70 % und 60 % Säurelösungen und Zugabe von 2 kg reinem Wasser wurde eine 50 % Säurelösung erhalten. Würde man statt 2 kg Wasser 2 kg einer 90 %igen Lösung der gleichen Säure zugeben, so würde man eine 70 %ige Lösung der Säure erhalten. Wie viel Kilogramm einer 70%igen Lösung wurden zur Herstellung der Mischung verwendet?

Gesamtgewicht, kg | Trockenmassekonzentration | Trockenmasse Masse
Ich x 70% \u003d 0,7 0,7. X
II in 60% = 0,6 0,6. bei
Wasser 2 - -
I + II + Wasser x + y + 2 50% \u003d 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90 % = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0,7 0,7. (x + y + 2)

Unter Verwendung der letzten Spalte aus der Tabelle werden wir 2 Gleichungen zusammenstellen:

0,7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) und 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Wenn wir sie zu einem System kombinieren und es lösen, erhalten wir x = 3 kg.

Antwort: 3 kg einer 70 %igen Lösung wurden verwendet, um eine Mischung zu erhalten.

Beispiel. (Option 2 Nr. 11. Einheitliches Staatsexamen-2016. Mathematik. Typisch. Test. Aufgaben. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Drei Kilogramm Kirschen kosten genauso viel wie fünf Kilogramm Kirschen und drei Kilogramm Kirschen kosten genauso viel wie zwei Kilogramm Erdbeeren. Um wie viel Prozent ist ein Kilogramm Erdbeeren billiger als ein Kilogramm Kirschen?

Aus dem ersten Satz des Problems erhalten wir die folgenden Gleichungen:

3h = 5v,
3v = 2k.
Daraus können wir ausdrücken: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

So können Sie einen Anteil machen:
5v/3 - 100%
3v / 2 - x%, wir erhalten x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% sind die Kosten für ein Kilogramm Erdbeeren von den Kosten für ein Kilogramm Kirschen.

Also, um 100 - 90 = 10 (%) - ist ein Kilogramm Erdbeeren billiger als ein Kilogramm Kirschen.

Antwort: Ein Kilogramm Erdbeeren ist 10 Prozent billiger als ein Kilogramm Kirschen.

Lösen von Problemen für Zinseszinsen unter Verwendung des Konzepts eines Erhöhungs- (Verringerungs-) Koeffizienten.

Um die positive Zahl A um p Prozent zu erhöhen, multiplizieren Sie die Zahl A mit dem Erhöhungsfaktor K = (1 + 0,01p).

Um die positive Zahl A um p Prozent zu reduzieren, multiplizieren Sie die Zahl A mit dem Reduktionsfaktor K = (1 - 0,01p).

Beispiel. (Option 29 Nr. 22. OGE-2015. Mathematik. Typische Prüfungsoptionen: 36 Optionen / herausgegeben von Yashchenko, 2015 - 224c)

Der Preis einer Ware wurde zweimal um denselben Prozentsatz gesenkt. Um wie viel Prozent sank der Preis der Ware jedes Mal, wenn die Anfangskosten 5.000 Rubel und die Endkosten 4.050 Rubel betrugen?

1 Weg.

Da der Preis eines Rohstoffs um die gleiche Anzahl von % gefallen ist, lassen Sie uns die Anzahl von % als x bezeichnen. Lassen Sie den Warenpreis zum ersten und zweiten Mal um x% senken, dann wurde der Warenpreis nach der ersten Senkung (100 - x)%.

Machen wir eine Proportion
5000 Rubel. - 100%
beim Reiben. - (100 - x)%, wir erhalten y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) Rubel - die Kosten der Ware nach der ersten Reduzierung.

Machen wir einen neuen Anteil für den neuen Preis:
fünfzig . (100 - x) reiben. - 100%
z reiben. - (100 - x)%, wir erhalten z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 Rubel - die Kosten der Ware nach der zweiten Reduzierung.

Wir erhalten die Gleichung 0,5. (100 - x) 2 \u003d 4050. Nachdem wir es gelöst haben, erhalten wir das x \u003d 10%.

2-Wege.

Da der Preis eines Rohstoffs um die gleiche Anzahl von % gefallen ist, lassen Sie uns die Anzahl von % als x bezeichnen, x% = 0,01 x.

Mit dem Konzept des Reduktionsfaktors erhalten wir sofort die Gleichung:
5000 . (1 - 0,01x) 2 = 4050.

Antwort: Der Preis der Ware ist jedes Mal um 10 % gesunken.

Beispiel. (Option 30 Nr. 22. OGE-2015. Mathematik. Typische Prüfungsoptionen: 36 Optionen / herausgegeben von Yashchenko, 2015 - 224c)

Der Preis einer Ware wurde zweimal um denselben Prozentsatz erhöht. Um wie viel Prozent stieg der Preis der Ware jedes Mal, wenn der Anfangspreis 3.000 Rubel und der Endpreis 3.630 Rubel betrug?

Da der Preis eines Gutes um die gleiche Anzahl von % gestiegen ist, lassen Sie uns die Anzahl von % durch x bezeichnen, x % = 0,01 x.

Mit dem Konzept des Vergrößerungsfaktors erhalten wir sofort die Gleichung:
3000 . (1 + 0,01x) 2 = 3630.

Wenn wir es lösen, erhalten wir x = 10%.

Antwort: 10 % Erhöhung des Warenpreises jedes Mal.

Beispiel. (Option 4 Nr. 11. Einheitliches Staatsexamen-2016. Mathematik. Typisch. Test. Ass. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Am Donnerstag stiegen die Aktien des Unternehmens um eine bestimmte Prozentzahl, und am Freitag fielen sie um die gleiche Prozentzahl. Infolgedessen begannen sie, 9 % billiger zu kosten als bei Handelseröffnung am Donnerstag. Um wie viel Prozent sind die Aktien des Unternehmens am Donnerstag im Kurs gestiegen?

Lassen Sie die Aktien des Unternehmens um x% steigen und fallen, x% = 0,01 x, und der Anfangswert der Aktien sei A. Unter Verwendung aller Bedingungen des Problems erhalten wir die Gleichung:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) EIN \u003d (1 - 0,09) EIN,
1 - (0,01 x) 2 \u003d 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x \u003d 0,3,
x = 30 %.

Antwort: Die Aktien des Unternehmens stiegen am Donnerstag um 30 Prozent.

Lösen von "Banking"-Problemen in der neuen Version des USE-2016 in Mathematik.

Beispiel. (Option 2 Nr. 17. Einheitliches Staatsexamen-2016. Mathematik. 50 Typen. rev. ed. Yashchenko 2016)

Am 15. Januar ist geplant, einen Kredit von der Bank für 15 Monate aufzunehmen. Die Bedingungen für die Rückgabe sind wie folgt:

Es ist bekannt, dass die achte Zahlung 108 Tausend Rubel betrug. Wie viel muss während der gesamten Kreditlaufzeit an die Bank zurückgezahlt werden?

Vom 2. bis 14. wird A/15 +0,01A gezahlt.

Danach beträgt die Schuldenhöhe 1,01 A - A / 15 - 0,01 A \u003d 14 A / 15.

Nach 2 Monaten erhalten wir: 1.01. 14A/15.

Zweite Zahlung A/15 + 0,01. 14A/15.

Dann beträgt die Schuld nach der zweiten Zahlung 13A/15.

In ähnlicher Weise erhalten wir, dass die achte Zahlung wie folgt aussehen wird:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08 A / 15.

Und je nach Zustand entspricht es 108 Tausend Rubel. Wir können also die Gleichung schreiben und lösen:

1,08 A / 15 \u003d 108,

A=1500 (Tausend Rubel) - der ursprüngliche Betrag der Schulden.

2) Um den Betrag zu ermitteln, der während der gesamten Kreditlaufzeit an die Bank zurückgezahlt werden muss, müssen wir den Betrag aller Zahlungen für den Kredit ermitteln.

Die Summe aller Zahlungen für das Darlehen sieht folgendermaßen aus:

(A / 15 + 0,01 A) + (A / 15 + 0,01. 14A / 15) + (A / 15 + 0,01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0,01. A /15) \u003d A + 0,01 A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0,01. 120 A)/15 = 1,08 A.

Also 1.08. 1500 \u003d 1620 (tausend Rubel) \u003d 1620000 Rubel müssen während der gesamten Leihfrist an die Bank zurückgegeben werden.

Antwort: 1620000 Rubel.

Beispiel. (Option 6 Nr. 17. Einheitliches Staatsexamen-2016. Mathematik. 50 Typen. rev. ed. Yashchenko 2016)

Am 15. Januar ist geplant, einen Kredit von der Bank für 24 Monate aufzunehmen. Die Bedingungen für die Rückgabe sind wie folgt:

• Am 1. eines jeden Monats erhöht sich die Verschuldung um 1 % gegenüber dem Ende des Vormonats;
• vom 2. bis 14. eines jeden Monats muss ein Teil der Schuld beglichen werden;
• Am 15. Tag jedes Monats muss die Schuld um denselben Betrag geringer sein als die Schuld am 15. Tag des Vormonats.

Es ist bekannt, dass für die ersten 12 Monate 177,75 Tausend Rubel an die Bank gezahlt werden müssen. Wie viel planen Sie zu leihen?

1) Sei A der Darlehensbetrag, 1 % = 0,01.

Dann 1,01A Schulden nach dem ersten Monat.

Vom 2. bis 14. wird A/24 +0,01A bezahlt.

Danach beträgt die Schuldenhöhe 1,01 A - A / 24 - 0,01 A \u003d A - A / 24 \u003d 23 A / 24.

Nach diesem Schema wird die Schuld um den gleichen Betrag geringer als die Schuld am 15. Tag des Vormonats.

Nach 2 Monaten erhalten wir: 1.01. 23A/24.

Zweite Zahlung A/24 + 0,01. 23A/24.

Dann beträgt die Schuld nach der zweiten Zahlung 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1,01 - 0,01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

Wir erhalten also, dass Sie für die ersten 12 Monate den folgenden Betrag an die Bank zahlen müssen:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + ... + A/24 + 0,01. 13A/24 = 12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

Und je nach Zustand entspricht es 177.375.000 Rubel. Wir können also die Gleichung schreiben und lösen:
711A / 1200 \u003d 177,75,
A = 300 (tausend Rubel) = 300.000 Rubel - es ist geplant, einen Kredit aufzunehmen.

Antwort: 300.000 Rubel.

Textaufgaben mit Prozentangaben richtig und schnell lösen zu können, ist nicht nur für Schülerinnen und Schüler, die kurz vor dem Bestehen der Prüfung in Mathematik auf Grund- oder Schwerpunktniveau stehen, notwendig, sondern auch für alle Erwachsenen, da solche Aufgaben im Alltag ständig begegnen. Preiserhöhungen, die Planung eines Familienbudgets, die gewinnbringende Geldanlage und viele andere Themen sind ohne diese Fähigkeiten nicht zu lösen. Zur Vorbereitung auf das Bestehen der Zertifizierungsprüfung ist es unbedingt erforderlich, die Problemlösung für Prozentsätze zu wiederholen: In der VERWENDUNG in Mathematik finden sie sich sowohl in der Basis- als auch in der Profilebene.

Muss mich erinnern

Ein Prozentsatz ist \(\frac(1)(100)\) Teil einer Zahl. Bezeichnet den Anteil von etwas im Verhältnis zum Ganzen. Das geschriebene Zeichen ist \(\%\) . Bei der Vorbereitung auf die Einheitliche Staatsprüfung zum Thema "Interesse" müssen sich Schüler sowohl in Moskau als auch in anderen Teilen der Russischen Föderation an folgende Formel erinnern:

\

Wie wende ich es an?

Um eine einfache Aufgabe mit Prozentangaben in der Klausur in Mathematik zu lösen, benötigst du:

1. Teilen Sie die angegebene Zahl durch \(100\) .
2. Multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit dem zu findenden Betrag \(\%\).

Um beispielsweise \(10\%\) aus \(300\) zu berechnen, würden Sie \(1\) Prozent durch Teilen von \(300:100=3\) finden. Und die Zahl \(3\cdot10=30\), die von der vorherigen Aktion erhalten wurde. Antwort: \(30\).

Dies sind die einfachsten Aufgaben. Schüler der 11. Klasse in der USE stehen vor der Notwendigkeit, komplexe Probleme mit Prozentsätzen zu lösen. In der Regel sprechen sie von Bankeinlagen oder Zahlungen. Sie können sich mit den Formeln und den Regeln für ihre Anwendung vertraut machen, indem Sie zum Abschnitt "Theoretische Referenz" gehen. Hier können Sie nicht nur die grundlegenden Definitionen wiederholen, sondern sich auch mit den Möglichkeiten zur Lösung komplexer Probleme für die Zinsen eines Bankdarlehens sowie mit Übungen aus anderen Bereichen der Algebra vertraut machen, z.

Jobtyp: 11
Thema: Aufgaben für Prozente

Bedingung

Elena hat eine Einzahlung in Höhe von 5500 Rubel bei der Bank getätigt. Die Verzinsung des Depots wird einmal jährlich berechnet und zum aktuellen Depotbetrag hinzugerechnet. Ein Jahr später hinterlegte Natalia den gleichen Betrag bei derselben Bank und zu denselben Bedingungen. Ein Jahr später schlossen Elena und Natalya gleichzeitig ihre Einzahlungen und nahmen das Geld. Infolgedessen erhielt Elena 739,2 Rubel mehr als Natalya. Finden Sie heraus, wie viel Prozent pro Jahr die Bank auf Einlagen berechnet hat?

Lösung anzeigen

Lösung

Der Prozentsatz pro Jahr sei x, dann war Elenas Beitrag nach einem Jahr:

5500 + 0,01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) Rubel und ein Jahr später - 5500(1 + 0,01x)^2 Rubel. Natalias Einzahlung war nur ein Jahr auf der Bank, also gleich 5500 (1 + 0,01x) Rubel. Und die Differenz zwischen den resultierenden Beiträgen von Elena und Natalia betrug 739,2 Rubel.

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:

5500(1+0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

Die Bank berechnet 12 % pro Jahr.

Antworten

Jobtyp: 11
Thema: Aufgaben für Prozente

Bedingung

Der Unternehmer Petrov erzielte 2005 einen Gewinn von 12.000 Rubel. Jedes weitere Jahr stieg sein Gewinn im Vergleich zum Vorjahr um 110 %. Wie viele Rubel hat Petrov 2008 verdient?

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Lösung

Im Jahr 2005 betrug der Gewinn 12.000 Rubel, jedes nächste Jahr stieg er um 110%, dh er wurde 210% \u003d 2,1 gegenüber dem Vorjahr. In drei Jahren ist es so weit 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 Rubel.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 11
Thema: Aufgaben für Prozente

Bedingung

Es gibt zwei Legierungen. Die erste Legierung enthält 12 % Eisen, die zweite 28 % Eisen. Die Masse der zweiten Legierung ist um 2 kg größer als die Masse der ersten. Aus diesen beiden Legierungen wurde eine dritte Legierung mit einem Eisengehalt von 21 % hergestellt. Finden Sie die Masse der dritten Legierung. Geben Sie Ihre Antwort in Kilogramm an.

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Lösung

Bezeichnen wir die Masse der ersten Legierung mit x kg. Dann ist die Masse der zweiten Legierung (x + 2) kg. Der Eisengehalt in der ersten Legierung beträgt 0,12 x kg, in der zweiten Legierung - 0,28 (x + 2) kg. Die dritte Legierung hat eine Masse x + x + 2 = 2x + 2 (kg), und ihr Eisengehalt ist 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1) kg.

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:

0,12x+ 0,28(x+2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

X = 7.

Die dritte Legierung hat eine Masse von 2 \cdot 7 + 2 = 16 (kg).

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 11
Thema: Aufgaben für Prozente

Bedingung

Der Preis eines Fernsehers in einem Geschäft sinkt vierteljährlich (drei Monate im Quartal) um den gleichen Prozentsatz des vorherigen Preises. Es ist bekannt, dass ein Fernseher im Wert von 50.000 Rubel zwei Quartale später für 41.405 Rubel verkauft wurde. Finden Sie den Prozentsatz heraus, um den die Kosten des Fernsehers vierteljährlich gesunken sind.

Lösung anzeigen

Lösung

Der Preis des Fernsehers betrug ursprünglich 50.000 Rubel. Ein Viertel später wurde sie 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0,01x) Rubel, wobei x der Prozentsatz ist, um den der Preis des Fernsehers vierteljährlich reduziert wird. Nach zwei Quartalen wurde sein Preis

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

So sank der Preis des Fernsehers vierteljährlich um 9 Prozent.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 11
Thema: Aufgaben für Prozente

Bedingung

2005 lebten 55.000 Menschen im Dorf. Im Jahr 2006 stieg die Einwohnerzahl infolge des Baus neuer Häuser um 6% und im Jahr 2007 um 10% gegenüber 2006. Finden Sie die Einwohnerzahl des Dorfes im Jahr 2007.

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Lösung

Im Jahr 2006 stieg die Einwohnerzahl des Dorfes um 6%, d.h. wurde 106%, was 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300 (Einwohner) entspricht. Im Jahr 2007 stieg die Einwohnerzahl des Dorfes um 10% (wurde 110%) im Vergleich zu 2006, d.h. die Einwohnerzahl des Dorfes betrug 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 Personen.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 11
Thema: Aufgaben für Prozente

Bedingung

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Lösung

3 Liter einer 14% igen wässrigen Lösung enthalten 3 \ cdot0,14 \u003d 0,42 Liter. etwas Substanz. 4 Liter Wasser hinzugefügt, wurden 7 Liter Lösung. In diesen 7 Litern einer neuen Lösung - 0,42 Liter einer Substanz. Finden wir die Konzentration der neuen Lösung: 0,42:7\cdot100=6%.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 11
Thema: Aufgaben für Prozente

Bedingung

Bauunternehmen gründeten ein Unternehmen mit einem genehmigten Kapital von 150 Millionen Rubel. Das erste Unternehmen steuerte 20% des genehmigten Kapitals bei, das zweite Unternehmen - 22,5 Millionen Rubel, das dritte - 0,3 des genehmigten Kapitals, das vierte Unternehmen steuerte den Rest bei.