Numerische Funktion eine solche Entsprechung zwischen einer Zahlenmenge heißt X und viele R reelle Zahlen, bei denen jede Zahl aus der Menge X stimmt mit einer einzelnen Zahl aus einem Satz überein R. Viele X genannt Funktionsumfang
. Funktionen werden durch Buchstaben gekennzeichnet f, g, h usw. Wenn f ist eine auf dem Set definierte Funktion X, dann die reelle Zahl y, entsprechend der Zahl X ihre Vielzahl X, oft bezeichnet f(x) und schreibe
y = f(x). Variable X heißt Argument. Die Menge der Zahlen des Formulars f(x) genannt Funktionsumfang
Eine Funktion wird mit einer Formel definiert. Zum Beispiel , y = 2X - 2. Wenn bei der Definition einer Funktion mit einer Formel deren Definitionsbereich nicht angegeben ist, wird angenommen, dass der Geltungsbereich der Funktion der Definitionsbereich des Ausdrucks ist f(x).
1. Die Funktion wird aufgerufen eintönig auf einem gewissen Intervall A, wenn es auf diesem Intervall zu- oder abnimmt
2. Die Funktion wird aufgerufen zunehmend auf einem Intervall A, wenn für irgendwelche Zahlen in ihrer Menge A die folgende Bedingung erfüllt ist: .
Der Graph einer ansteigenden Funktion hat ein Merkmal: Wenn Sie sich entlang der Abszissenachse von links nach rechts entlang des Intervalls bewegen ABER die Ordinaten der Diagrammpunkte nehmen zu (Abb. 4).
3. Die Funktion wird aufgerufen abnehmend in irgendeinem Abstand ABER, wenn für irgendwelche Zahlen ihre Sätze ABER Bedingung ist erfüllt: .
Der Graph einer abnehmenden Funktion hat ein Merkmal: Wenn Sie sich entlang der Abszissenachse von links nach rechts entlang des Intervalls bewegen ABER die Ordinaten der Diagrammpunkte nehmen ab (Abb. 4).
4. Die Funktion wird aufgerufen eben
auf irgendeinem Satz X, wenn die Bedingung erfüllt ist: 
.
Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse (Abb. 2).
5. Die Funktion wird aufgerufen seltsam
auf irgendeinem Satz X, wenn die Bedingung erfüllt ist: 
.
Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung (Abb. 2).
6. Wenn Funktion y = f(x)
f(x) f(x), dann sagen wir, dass die Funktion y = f(x) akzeptiert kleinster Wert
bei =f(x) bei X= x(Abb. 2, die Funktion nimmt an der Stelle mit den Koordinaten (0;0) den kleinsten Wert an).
7. Wenn Funktion y = f(x) ist auf der Menge X definiert und existiert so, dass für alle die Ungleichung f(x) f(x), dann sagen wir, dass die Funktion y = f(x) akzeptiert Höchster Wert bei =f(x) bei X= x(Abb. 4, die Funktion hat nicht den größten und kleinsten Wert) .
Wenn für diese Funktion y = f(x) Alle aufgeführten Eigenschaften werden untersucht, dann sagen sie das lernen Funktionen.
Grenzen.
Die Zahl A wird Grenzwert von f-ii genannt, da x gegen ∞ strebt, wenn für jedes E>0 δ (E)>0 existiert, sodass für alle x die Ungleichung |x|>δ die Ungleichung |F(x) erfüllt )-A| Die Zahl A wird Grenzwert der Funktion genannt, wenn X gegen X 0 strebt, wenn für jedes E > 0 δ (E) > 0 gilt, sodass für alle X ≠ X 0 die Ungleichung |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A| EINSEITIGE GRENZEN. Bei der Bestimmung des Grenzwertes strebt X willkürlich, also von jeder Seite, gegen X0. Wenn X gegen X0 tendiert, also immer kleiner als X0 ist, dann heißt die Grenze die Grenze am linken Punkt X0. Oder linke Grenze. Die rechte Grenze ist ähnlich definiert. Dieses Material wurde nach dem Landesbildungsstandard zusammengestellt Mathematikunterricht in der 9. Klasse zum Thema: „Numerische Funktionen, ihre Eigenschaften und Grafiken“, Lehrbuch von A.G. Mordkovich. Lektion über Entwicklungskontrolle und Entdeckung neuen Wissens Um die Vorschau von Präsentationen zu verwenden, erstellen Sie ein Google-Konto (Konto) und melden Sie sich an: https://accounts.google.com Numerische Funktionen, ihre Eigenschaften und Graphen. Mathematikunterricht in der 9. Klasse bei der Abschlusszertifizierung der IDPO-Untergruppe Nr. 9 Zavodskoy Bezirk Saratov 25.10.2013 Inschrift "Der einzige Weg, der zum Wissen führt, ist Aktivität." Bernhard Show Kreative Arbeit Überlege dir eine "stückweise" Funktion, baue ein Diagramm und lies es. Lösung y = Mündliche Arbeit Benennen Sie die Funktion und setzen Sie sie analytisch Theoretischer Überblick Formulieren Sie die Definition einer numerischen Funktion. Was man den Umfang einer Funktion nennt. Was man den Graphen einer Funktion nennt. Listen Sie Möglichkeiten auf, eine Funktion zu definieren. Welche Funktion heißt steigend (fallend). Welche Funktion heißt gerade (ungerade). Welche Zahl nennt man den kleinsten (größten) Wert der Funktion. Welche Funktion wird als eingeschränkt bezeichnet. Tests im GIA-Format (Grundstufe) Antworten Option Nr. 5 Option Nr. 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3 Durchführen von Gia-Übungen Nr. 1. Stellen Sie die Funktion y \u003d x 2 - 4 +3 graphisch dar und ermitteln Sie anhand des Diagramms die Intervalle der Monotonie. Für welche Werte von a hat die Gerade y=a zwei Punkte mit dem Graphen dieser Funktion gemeinsam? Antwort: a>3, a = -1 Nr. 2. Löse graphisch die Ungleichung x -2 ≤ -x 3 Antwort: x ≤ -1 Ich lernte ich lernte ich wiederholte ich fest Heute im Unterricht Technologische Karte einer Mathematikstunde in der 9. Klasse zum Thema: „Numerische Funktionen, ihre Eigenschaften und Grafiken“, Lehrbuch von A. G. Mordkovich. Eine Lektion in Entwicklungskontrolle und der Entdeckung neuen Wissens. Unterrichtsphasen Bühnenaufgaben Lehrertätigkeit Studentische Aktivitäten UUD 1. Organisatorische Selbstbestimmung zu Lernaktivitäten (1) Günstig gestalten psychologisch Stimmung für die Arbeit Begrüßung, Mobilmachung Aufmerksamkeit der Kinder. Sie melden Fehlzeiten, stimmen in den Geschäftsrhythmus des Unterrichts ein. Persönlich: Selbstbestimmung Regulierung : Einschätzung der Unterrichtsbereitschaft 2. Das Ziel und die Ziele des Unterrichts festlegen. Motivation der Bildungstätigkeit der Schüler. (3) Aktualisierung von Grundkenntnissen und Tätigkeitsmethoden Informiert das Thema und den Zweck der Lektion, schreibt das Datum an die Tafel. Heute in der Lektion werden wir das Studium des Kapitels "Numerische Funktionen" zusammenfassen. Wir werden weiterhin die Fähigkeiten des Zeichnens und Lesens von Diagrammen der studierten Funktionen üben und sehen, wie tief das gelernte Thema in den Prüfungstests präsentiert wird. Notizen in einem Notizbuch machen Regulatorisch: Zielsetzung Gesprächig:Vorbereitung zur Reflexion 3. Wissensaktualisierung (12) Aktualisierung von Grundkenntnissen und Tätigkeitsmethoden zur Vorbereitung auf die Kontrollstunde. Für die Lektion wurden Sie gebeten, eine "stückweise" Funktion zu entwickeln, ein Diagramm zu erstellen und es zu lesen. Lass uns deine Arbeit sehen. 1. Ruft nach Belieben 2 Schüler an die Tafel. 2. Führt eine parallele Diashow mit Graphen aller untersuchten numerischen Funktionen durch. (Anhang Nr. 2). 3. Führt ein Frontalgespräch zu theoretischen Themen (Anhang Nr. 3) 4. Gibt Noten für d / s für mündliche Arbeiten unter Berücksichtigung von d / s. 1. Zwei Personen arbeiten am Vorstand. (Anhang Nr. 1) 2. Die restlichen Schüler des Ortes nennen die abgebildete Funktion, stellen sie analytisch auf. 3. Studierende beteiligen sich aktiv an der mündlichen Befragung. Regulierung: freiwillige Selbstregulation in einer schwierigen Situation Gesprächig: seine Gedanken äußern seine Meinung vertreten Kognitiv: Fähigkeit, Wissen für praktische Aufgaben anzuwenden Persönlich: Bildung nachhaltiger Lernmotivation und Neufestigung 4. Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen (8) Zwischenreflexion Wir haben die Eigenschaften numerischer Funktionen untersucht und wiederholt. Lassen Sie uns ein wenig testen und sich vergewissern, wie stark Ihr Wissen ist. Die vorgeschlagenen Tests entsprechen dem Basis-Schwierigkeitsgrad, Sie haben 7 Minuten Zeit. Ich wünsche Ihnen Erfolg! 1. Verteilt Tests (Anlage Nr. 4) 2. Sammelt nach Ablauf der Zeit Zettel ein, schreibt die richtigen Antworten an die Tafel Option Nummer 5 Option Nummer 6 3142
3. Viele haben den Test gut gemacht, einige haben erkannt, dass sie wiederholt werden müssen. Lösen Sie den Test, indem Sie sich notfalls Notizen in einem Notizbuch machen. Nach Ablauf der Zeit übergeben Sie die Blätter. Überprüfe ihre Antworten. Regulierung: die Qualität und das Niveau des Wissenserwerbs verstehen Kognitiv: Wählen Sie die effektivsten Methoden zur Lösung von Problemen Persönlich: Bildung von Selbstbeobachtungs- und Selbstbeherrschungsfähigkeiten 5. Anwendung von Wissen und Fähigkeiten in einer neuen Situation. (fünfzehn) Entwicklung von Forschungskompetenzen, Selbstdiagnose und Selbstkorrektur von Ergebnissen Übungsleistung (GIA) #1 Zeichnen Sie die Funktion Y \u003d x 2 -4 +3 mit dem Diagramm,
Finden Sie Intervalle der Monotonie. Für welche Werte von a hat die Gerade y=a zwei Punkte mit dem Graphen dieser Funktion gemeinsam? (Anhang Nr. 5) Schreibt die Aufgabe kurz an die Tafel, ruft den Schüler zur Lösung auf, überwacht die kompetente Lösung der Aufgabe. Schätzt. Nr. 2. Löse graphisch die Ungleichung x-2 ≤ -x 3 (Anhang Nr. 6) Fordert die Schüler auf, Graphen von Funktionen zu erstellen, erklärt, wie die Lösung einer Ungleichung mithilfe von Testpunkten auf dem Graphen bestimmt wird (Schraffur) Zwei Personen bearbeiten einzeln die Karten auf dem Sideboard, der Rest vervollständigt die Lösung von Aufgabe Nr. 1 im Heft. Funktionsgraphen werden auf dem interaktiven Whiteboard angezeigt. Sie schlagen vor, die Ungleichung durch Auswahl oder algebraisch zu lösen. Vervollständigen Sie die Lösung der Ungleichung, schreiben Sie die Antwort. Persönlich: Bildung kognitiven Interesses am Forschungsgegenstand, nachhaltige Motivation zum Studium und Festigung des Neuen Kognitiv: Analysieren Sie das Objekt und heben Sie die wesentlichen und nicht wesentlichen Merkmale hervor. Gesprächig:organisieren die pädagogische Zusammenarbeit mit dem Lehrer und den Klassenkameraden. Regulierung: eine neue Ebene der Einstellung zu sich selbst als Subjekt der Aktivität bestimmen 6. Informationen zu Hausaufgaben (2) Sicherstellen, dass die Kinder Zweck, Inhalt und Methoden der Hausaufgaben verstehen Stufe 1: n7, Nr. 27,29 wiederholen Stufe 2: Punkt 7, Nr. 30,33 wiederholen Hausaufgaben aufschreiben 7.Reflexion.(4) Geben Sie eine qualitative Einschätzung der Arbeit der Klasse und einzelner Schüler Initiieren Sie die Reflexion der Kinder über die Motivation ihrer eigenen Aktivitäten und der Interaktion mit dem Lehrer und anderen Kindern 1. schlägt vor, den Vorschlag fortzusetzen „Heute im Unterricht Ich wiederholte... Ich habe es repariert... Ich lernte … Ich habe erfahren …" 2. Angebot, auf der Karte die Aussage anzukreuzen, die für die Arbeit im Unterricht am besten geeignet ist 3. Noten 1. Fragen beantworten 2. Auf Karten markieren (Anhang Nr. 7) Kognitiv: Reflexion der Methoden und Bedingungen des Handelns, ein angemessenes Verständnis der Gründe für Erfolg und Misserfolg, Kontrolle und Bewertung des Prozesses und der Ergebnisse von Aktivitäten Gesprächig: die Fähigkeit, seine Gedanken auszudrücken, Argumentation Anhang 1. (Hausaufgabenbesprechung) Lösung Anlage 2 Mündliche Arbeit Benennen Sie eine Funktion und definieren Sie sie analytisch Anhang 3 Theoretische Erhebung ALLGEMEINE LEKTION ZUM THEMA "FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN". Unterrichtsziele: Methodisch: Steigerung der aktiv-kognitiven Aktivität der Studierenden durch individuell-selbstständiges Arbeiten und den Einsatz von Testaufgaben entwickelnder Art. Lernprogramm: elementare Funktionen, ihre grundlegenden Eigenschaften und Graphen wiederholen. Führen Sie das Konzept der gegenseitig inversen Funktionen ein. Systematisieren Sie das Wissen der Schüler zum Thema; tragen zur Festigung von Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Berechnung von Logarithmen bei, bei der Anwendung ihrer Eigenschaften bei der Lösung von nicht standardmäßigen Aufgaben; die Konstruktion von Funktionsgraphen mit Hilfe von Transformationen wiederholen und Fertigkeiten und Fähigkeiten beim selbstständigen Lösen von Aufgaben testen. Lehrreich: Bildung von Genauigkeit, Gelassenheit, Verantwortungsbewusstsein, Fähigkeit, unabhängige Entscheidungen zu treffen. Entwicklung: Entwicklung von intellektuellen Fähigkeiten, mentalen Operationen, Sprache, Gedächtnis. Entwickeln Sie eine Liebe und ein Interesse an Mathematik; während des Unterrichts, um die Entwicklung der Unabhängigkeit des Denkens der Schüler in pädagogischen Aktivitäten zu gewährleisten. Unterrichtsart: Verallgemeinerung und Systematisierung. Ausrüstung: Tafel, Computer, Beamer, Leinwand, pädagogische Literatur. Inschrift der Lektion:„Mathematik sollte später gelehrt werden, damit es den Verstand in Ordnung bringt.“ (M. W. Lomonossow). WÄHREND DER KLASSEN Überprüfung der Hausaufgaben. Wiederholung von Exponential- und Logarithmusfunktionen mit Basis a = 2, Darstellung ihrer Graphen in der gleichen Koordinatenebene, Analyse ihrer relativen Lage. Betrachten Sie die gegenseitige Abhängigkeit zwischen den Haupteigenschaften dieser Funktionen (OOF und FZF). Geben Sie den Begriff der zueinander inversen Funktionen an. Betrachten Sie Exponential- und Logarithmusfunktionen mit der Basis a = ½ s um sicherzustellen, dass die gegenseitige Abhängigkeit der aufgeführten Eigenschaften eingehalten wird und z abnehmende gegenseitig inverse Funktionen. Organisation der unabhängigen Arbeit eines Testtyps zur Entwicklung des Geistes Systematisierungsoperationen zum Thema "Funktionen und ihre Eigenschaften". FUNKTIONSEIGENSCHAFTEN: eines). y \u003d │x│; 2). Zunahmen über den gesamten Definitionsbereich; 3). OOF: (- ∞; + ∞) ; vier). y \u003d Sünde x; 5). Verringert sich um 0< а < 1 ; 6). y \u003d x³; 7). ORF: (0; + ∞) ; acht). Allgemeine Funktion; 9). y = √x; zehn). OOF: (0; + ∞) ; elf). Nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab; 12). y = kx + v; 13). OZF: (- ∞; + ∞) ; vierzehn). Steigt, wenn k > 0; fünfzehn). OOF: (- ∞; 0) ; (0; +∞) ; 16). y \u003d cos x; 17). Hat keine Extrempunkte; achtzehn). ORF: (- ∞; 0) ; (0; +∞) ; 19). Verringert um< 0 ; zwanzig). y \u003d x²; 21). OOF: x ≠ πn; 22). y \u003d k / x; 23). Eben; 25). Fällt ab, wenn k > 0; 26). AUS: [ 0; +∞) ; 27). y \u003d tgx; 28). Steigt um< 0; 29). ORF: [ 0; +∞) ; dreißig). seltsam; 31). y = logx; 32). OOF: x ≠ πn/2; 33). y \u003d ctgx; 34). Erhöht sich, wenn a > 1. Führen Sie während dieser Arbeit eine Befragung der Studierenden zu einzelnen Aufgaben durch: Nr. 1. a) Stellen Sie die Funktion graphisch dar b) Stellen Sie die Funktion graphisch dar Nr. 2. a) Berechnen Sie: b) Berechnen Sie: Nummer 3. a) Vereinfachen Sie den Ausdruck b) Vereinfachen Sie den Ausdruck Hausaufgabe: Nr. 1. Berechnen: a) in) G) Nr. 2. Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion: a) in) OGO SPO Rjasaner Pädagogische Hochschule AUFSATZ Thema: „Numerische Funktionen und ihre Eigenschaften. Direkte und umgekehrt proportionale Abhängigkeiten» Titowa Elena Wladimirowna Fachrichtung: 050709 „Lehramt an Grundschulklassen mit Zusatzausbildung im Bereich Vorschulpädagogik“ Kurs: 1 Gruppe: 2 Abteilung: Schule Leiter: Pristuplyuk Olga Nikolaevna Einleitung ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2 Möglichkeiten zum Einstellen von Funktionen…………………………………………………….6 2.1 Das Konzept der direkten Proportionalität………………..9 3.1
Funktionale Propädeutik im Grundstudium Mathematik ... .11 3.2 Lösen von Problemen für proportional abhängige Größen……18 Liste der verwendeten Literatur………………………………..22 Einführung In der Mathematik tauchte die Idee einer Funktion zusammen mit dem Begriff der Größe auf. Es war eng mit geometrischen und mechanischen Darstellungen verbunden. Der Begriff Funktion (von lat. Leistung) wurde erstmals 1694 von Leibniz eingeführt. Unter Funktion verstand er die Abszissen, Ordinaten und andere Segmente, die einem Punkt zugeordnet sind, der eine bestimmte Linie beschreibt. Das Analytischer Ausdruck, bestehend aus einer Variablen und einer Konstante. Mit anderen Worten, die Funktion wird durch verschiedene Arten von Formeln ausgedrückt: y=ax+b, y==axІ+bx+c usw. Die Haupttrends in der Entwicklung der modernen Schulbildung spiegeln sich in den Ideen der Humanisierung, Humanisierung, des aktivitätsbasierten und schülerzentrierten Ansatzes zur Organisation des Bildungsprozesses wider. Im Mittelpunkt des Mathematikunterrichts an einer allgemeinbildenden Schule steht das Prioritätsprinzip der Entwicklungsfunktion von Bildung. Daher ist das Studium des Konzepts einer numerischen Funktion in der Grundschule eine ziemlich wichtige Komponente bei der Bildung mathematischer Darstellungen von Schulkindern. Für einen Grundschullehrer ist es notwendig, sich auf das Studium dieses Konzepts zu konzentrieren, da eine direkte Beziehung zwischen der Funktion und vielen Bereichen menschlicher Aktivität besteht, die den Kindern in Zukunft den Einstieg in die Welt der Wissenschaft erleichtern wird. Außerdem ,
Studierende lernen in der Regel formal die Definition des Funktionsbegriffs, haben keine ganzheitliche Sicht auf funktionale Abhängigkeit, d.h. können ihr Wissen nicht auf die Lösung mathematischer und praktischer Probleme anwenden; assoziieren Sie eine Funktion ausschließlich mit einem analytischen Ausdruck, in dem die Variable bei ausgedrückt durch eine Variable X; kann Darstellungen einer Funktion auf verschiedenen Modellen nicht interpretieren; finde es schwierig, Funktionsgraphen nach ihren Eigenschaften zu zeichnen usw. Die Gründe für diese Schwierigkeiten liegen nicht nur und weniger in der Methode des Studiums von funktionalem Material im Algebra-Kurs, sondern in der Unvorbereitetheit des studentischen Denkens für die Wahrnehmung und Assimilation des Begriffs "Funktion". 1. Numerische Funktionen 1.1 Entwicklung des Begriffs der funktionalen Abhängigkeit in der Mathematik Analysieren wir den Verlauf der Entwicklung pädagogischer Ideen im Bereich des Unterrichtens der wichtigsten Komponente der Mathematik - der funktionalen Abhängigkeit. Die Funktionslinie des Schulkurses Mathematik ist einer der führenden Kurse in Algebra, Algebra und dem Beginn der Analysis. Das Unterrichtsmaterial dieser Linie zeichnet sich vor allem dadurch aus, dass mit ihm vielfältige Zusammenhänge im Mathematikunterricht hergestellt werden können. Im Laufe mehrerer Jahrhunderte hat sich der Funktionsbegriff verändert und verbessert. Die Notwendigkeit, funktionale Abhängigkeiten im Schulfach Mathematik zu untersuchen, steht seit der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts im Fokus der pädagogischen Fachpresse. Diesem Thema wurde in ihren Arbeiten von so bekannten Methodologen wie M. V. Ostrogradsky, V. N. Shklarevich, S. I. Shokhor-Trottsky, V. E. Serdobinsky, V. P. Sheremetevsky viel Aufmerksamkeit geschenkt. Erste Stufe- die Phase der Einführung des Funktionsbegriffs (hauptsächlich durch einen analytischen Ausdruck) in den Schulmathematikunterricht. Zweite Phase die einführung des funktionsbegriffs in den unterricht der gymnasialen algebra ist vor allem durch den übergang zu einer graphischen darstellung der funktionalen abhängigkeit und die erweiterung des bereichs der untersuchten funktionen gekennzeichnet. Dritter Abschnitt Die Entwicklung der Russischen Schule begann in den 20er Jahren. zwanzigsten Jahrhunderts. Eine Analyse der methodologischen Literatur der Sowjetzeit zeigte, dass die Einführung des Funktionsbegriffs in einen Schulmathematikkurs von hitzigen Diskussionen begleitet wurde, und ermöglichte uns, vier Hauptprobleme zu identifizieren, bei denen es Meinungsverschiedenheiten zwischen den Methodologen gab, nämlich: 1) Zweck und Bedeutung des Studiums des Funktionsbegriffs durch Studierende; 2) Ansätze zur Definition einer Funktion; 3) die Frage der funktionalen Propädeutik; 4) Ort und Umfang des Funktionsmaterials im Schulmathematikunterricht. Vierte Stufe aufgrund der Übertragung der Wirtschaft der RSFSR auf eine geplante Basis 1934 erhielt die Schule das erste stabile Lehrbuch von A. P. Kiselev „Algebra“, das unter der Redaktion von A. P. Barsukov in zwei Teilen überarbeitet wurde. Die Abschnitte "Funktionen und ihre Graphen", "Quadratische Funktion" wurden in den zweiten Teil aufgenommen. Darüber hinaus wurden im Abschnitt "Verallgemeinerung des Gradbegriffs" die Exponentialfunktion und ihr Diagramm und im Abschnitt "Logarithmen" die logarithmische Funktion und ihr Diagramm betrachtet. Darin wurde die Funktion durch das Konzept einer Variablen definiert: "Jene Variable, deren numerische Werte sich in Abhängigkeit von den numerischen Werten einer anderen ändern, wird als abhängige Variable oder als Funktion einer anderen Variablen bezeichnet ." Es spiegelt jedoch nicht die Idee der Korrespondenz wider und es wird kein analytischer Ausdruck erwähnt, was den Schluss zulässt, dass diese Definition einen erheblichen Nachteil hat. Der Wissenschaftler betrachtete die Bildung einer Vorstellung von einer Funktion als eine Manifestation des Formalismus in der Lehre. Er war der Meinung, dass in der High School der Funktionsbegriff auf der Grundlage des Korrespondenzbegriffs studiert werden sollte. Diese Zeit ist gekennzeichnet durch Zeitmangel, um Funktionen zu studieren, schlecht durchdachte Übungssysteme, Missverständnisse der Schüler über die wahre Essenz des Funktionskonzepts, geringes Niveau an funktionalen und grafischen Fähigkeiten von Schulabsolventen. Damit entstand erneut die Notwendigkeit, den Mathematikunterricht an weiterführenden Schulen zu reformieren. Die Umstrukturierung der gesamten Schulmathematik auf der Grundlage des mengentheoretischen Ansatzes markierte die fünfte Stufe in der Entwicklung der Idee der funktionalen Abhängigkeit. Die Idee eines mengentheoretischen Ansatzes wurde von einer Gruppe französischer Wissenschaftler verfolgt, die sich unter dem Pseudonym Nicolas Bourbaki zusammenschlossen. In der Stadt Roymond (Frankreich, 1959) wurde eine internationale Konferenz abgehalten, auf der der Sturz aller konventionellen Kurse proklamiert wurde. Der Schwerpunkt lag auf den Strukturen und Vereinheitlichungen der gesamten Schulmathematik auf der Grundlage der Mengenlehre. Eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Reformideen spielten die Artikel von V. L. Goncharov, in denen der Autor auf die Bedeutung der frühen und langfristigen funktionellen Propädeutik hinwies, die Verwendung von Übungen vorschlug, die darin bestanden, eine Reihe von Vor- angegebene numerische Substitutionen in demselben gegebenen wörtlichen Ausdruck. Die Stabilisierung von Programmen und Lehrbüchern schuf die Grundlage für positive Veränderungen in der Qualität des funktionalen Wissens der Schüler. In den späten sechziger und frühen siebziger Jahren erschien neben negativen Kritiken die Presse, in der sich das Wissen der Schulabsolventen über Funktionen und Stundenpläne gewissermaßen verbesserte. Das allgemeine Niveau der mathematischen Entwicklung der Schüler insgesamt blieb jedoch unzureichend. Der Schullehrplan für Mathematik widmete der formalen Ausbildung weiterhin zu viel Zeit und widmete der Entwicklung der Fähigkeit der Schüler zum selbstständigen Lernen nicht genügend Aufmerksamkeit. So, numerische Funktion ist eine Entsprechung zwischen der numerischen Menge R von reellen Zahlen, in der jede Zahl aus der Menge X einer einzelnen Zahl aus der Menge R entspricht. Dementsprechend repräsentiert X den Definitionsbereich der Funktion (OOF). Die Funktion selbst wird mit lateinischen Kleinbuchstaben (f, d, e, k) bezeichnet. Wenn die Funktion f auf der Menge X definiert ist, dann wird die reelle Zahl y, die der Zahl x aus der Menge X entspricht, als f(x) bezeichnet (y=f(x)). Die Variable x wird aufgerufen Streit. Die Menge der Zahlen der Form f(x) für alle x heißt Funktionsumfangf.
Am häufigsten werden Funktionen durch verschiedene Arten von Formeln angegeben: y=2x+3, y=x², y=3xі, y=?3x², wobei x eine reelle Zahl ist, y die ihr entsprechende einzelne Zahl. Mit einer Formel können Sie jedoch angeben viele Funktionen, deren Unterschied nur durch den Definitionsbereich bestimmt wird: Y= 2x-3, wobei x zur Menge der reellen Zahlen gehört und y=2x-3, X - Zugehörigkeit zur Menge der natürlichen Zahlen. Bei der Angabe einer Funktion mit einer Formel wird der OOF oft nicht angegeben (OOF ist der Definitionsbereich des Ausdrucks f (x)). Es ist auch recht bequem, numerische Funktionen visuell darzustellen, d.h. unter Verwendung der Koordinatenebene. Wie viele andere haben numerische Funktionen Eigenschaften: Zunehmend, abnehmend, Monotonie, Definitionsbereich und Umfang einer Funktion, Beschränktheit und Unbeschränktheit, Gerade und Ungerade, Periodizität. Umfang und Umfang einer Funktion. In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen R untersucht. Dies bedeutet, dass das Argument einer Funktion nur die reellen Werte annehmen kann, für die die Funktion definiert ist, d.h. es akzeptiert auch nur reale Werte. Die Menge X aller zulässigen reellen Werte des Arguments x, für die die Funktion y = f(x) definiert ist, heißt Definitionsbereich der Funktion. Die Menge Y aller reellen y-Werte, die eine Funktion annimmt, wird als Bereich der Funktion bezeichnet. Nun können wir eine Funktion genauer definieren: Die Regel (Gesetz) der Korrespondenz zwischen den Mengen X und Y, wonach für jedes Element aus der Menge X genau ein Element aus der Menge Y gefunden werden kann, heißt a Funktion. Gerade und ungerade Funktionen. Wenn für irgendein x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f (- x) = f (x), dann heißt die Funktion gerade; gilt: f (- x) = - f (x), so heißt die Funktion ungerade. Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch um die Y-Achse (Abb. 5), und der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch um den Ursprung (Abb. 6). Periodische Funktion. Eine Funktion f (x) ist periodisch, wenn es eine von Null verschiedene Zahl T gibt, so dass für jedes x aus dem Definitionsbereich der Funktion f (x + T) = f (x) gilt. Diese kleinste Zahl wird Periode der Funktion genannt. Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch. Aber die wichtigste Eigenschaft zum Erlernen der Funktion in Grundschulklassen ist monoton. Monotone Funktion. Wenn für zwei beliebige Werte der Argumente x1 und x2 die Bedingung x2 > x1 f (x2) > f (x1) impliziert, dann ist die Funktion | f(x) | heißt zunehmend; wenn für beliebige x1 und x2 die Bedingung x2 > x1 impliziert f (x2) In der Grundschule manifestiert sich die Funktion in Form von direkten und umgekehrt proportionalen Abhängigkeiten. Direkte Proportionalität ist zuallererst
Funktion, was unter Verwendung der Formel y=kx gegeben werden kann, wobei k eine reelle Zahl ungleich Null ist. Der Name der Funktion y = kx ist den in dieser Formel enthaltenen Variablen x und y zugeordnet. Wenn ein Attitüde zwei Größen gleich einer anderen Zahl als Null sind, dann werden sie aufgerufen direkt proportional. K ist der Proportionalitätskoeffizient. Im Allgemeinen ist die Funktion y=kx ein mathematisches Modell vieler realer Situationen, die im Anfangskurs der Mathematik betrachtet werden. Nehmen wir zum Beispiel an, dass in einer Packung 2 kg Mehl sind und x solche Packungen gekauft wurden, dann ist die gesamte Masse des gekauften Mehls y. Dies kann als Formel wie folgt geschrieben werden: y=2x wobei 2=k. Die direkte Proportionalität hat eine Reihe von Eigenschaften: xmehrmals erhöht (verringert) sich der entsprechende positive Wert von y um den gleichen Betrag. 2.3 Das Konzept der umgekehrten Proportionalität. Inverse proportionale Eigenschaften: Wenn die Werte der Variablenxundjsind also positive reelle Zahlen mit steigender (fallender) Variablexmehrmals wird der entsprechende Wert von y um den gleichen Betrag verringert (erhöht). Praktischer Teil Das Konzept der funktionalen Abhängigkeit ist eines der führenden in der mathematischen Wissenschaft, daher ist die Bildung dieses Konzepts bei den Schülern eine wichtige Aufgabe in der zielgerichteten Tätigkeit des Lehrers zur Entwicklung des mathematischen Denkens und der kreativen Aktivität von Kindern. Die Entwicklung des funktionalen Denkens setzt zunächst die Entwicklung der Fähigkeit voraus, neue Zusammenhänge zu entdecken, allgemeine Lerntechniken und Fertigkeiten zu beherrschen. Im Grundstudium der Mathematik sollte der funktionalen Propädeutik eine bedeutende Rolle zukommen, die die Studierenden auf das Studium systematischer Kurse in Algebra und Geometrie vorbereitet und sie auch in der dialektischen Natur des Denkens und dem Verständnis der kausalen Zusammenhänge unterrichtet zwischen den Phänomenen der umgebenden Realität. In diesem Zusammenhang werden wir die Hauptrichtungen der propädeutischen Arbeit in der Anfangsphase des Fachunterrichts nach dem Programm von L.G. Peterson: Der Mengenbegriff, die Entsprechung von Elementen zweier Mengen und Funktionen. Abhängigkeit der Ergebnisse arithmetischer Operationen von der Änderung von Komponenten. Tabellarische, verbale, analytische, grafische Methoden zum Einstellen einer Funktion. Lineare Abhängigkeit. Koordinatensystem, erste und zweite Koordinate, geordnetes Paar. Lösen der einfachsten kombinatorischen Probleme: Zusammenstellen und Zählen der Anzahl möglicher Permutationen, Teilmengen von Elementen einer endlichen Menge. Verwendung einer systematischen Aufzählung natürlicher Werte von einer und zwei Variablen bei der Lösung von Plotproblemen. Ausfüllen von Tabellen mit arithmetischen Berechnungen, Daten aus den Bedingungen angewandter Probleme. Auswahl der Daten aus der Tabelle nach Bedingung. Abhängigkeit zwischen proportionalen Werten; angewandte Untersuchung ihrer Graphen. Die Inhalte des Grundkurses Mathematik ermöglichen es den Studierenden, sich ein Bild von einem der wichtigsten Begriffe der Mathematik zu machen - Idee der Konformität.Bei der Durchführung von Aufgaben zum Ermitteln der Werte von Ausdrücken und zum Ausfüllen von Tabellen stellen die Schüler fest, dass jedes Zahlenpaar nicht mehr als einer als Ergebnis erhaltenen Zahl entspricht. Um dies zu verstehen, müssen jedoch die Inhalte der Tabellen analysiert werden. Bilden Sie alle möglichen Beispiele für die Addition zweier einstelliger Zahlen mit der Antwort 12. Bei der Bewältigung dieser Aufgabe stellen die Schüler eine Beziehung zwischen zwei Begriffsgruppen her. Die festgestellte Entsprechung ist eine Funktion, da jeder Wert des ersten Terms einem einzelnen Wert des zweiten Terms bei einer konstanten Summe entspricht. In einer Vase stehen 10 Äpfel. Wie viele Äpfel bleiben übrig, wenn 2 Äpfel genommen werden? 3 Äpfel? 5 Äpfel? Tragen Sie Ihre Lösung in die Tabelle ein. Wovon hängt das Ergebnis ab? Um wie viele Einheiten ändert es sich? Wieso den? Dieses Problem stellt tatsächlich die Funktion dar bei = 10 - X, wobei die Variable X nimmt die Werte 2, 3, 5 an. Als Ergebnis dieser Aufgabe sollten die Schüler schlussfolgern: Je größer der Subtrahend, desto kleiner der Wert der Differenz. Die Idee der funktionalen Korrespondenz ist auch in Übungen der Form vorhanden: Verbinden Sie die mathematischen Ausdrücke und die entsprechenden Zahlenwerte mit einem Pfeil: 15 + 6 27 35 Einführung Buchstabensymbole ermöglicht es Ihnen, die Schüler mit den wichtigsten Konzepten der modernen Mathematik vertraut zu machen - einer Variablen, einer Gleichung, einer Ungleichung, die zur Entwicklung des funktionalen Denkens beiträgt, da die Idee der funktionalen Abhängigkeit eng mit ihnen verbunden ist. Bei der Arbeit mit einer Variablen erkennen die Schüler, dass die im Ausdruck enthaltenen Buchstaben unterschiedliche Zahlenwerte annehmen können und der wörtliche Ausdruck selbst eine verallgemeinerte Schreibweise von Zahlenausdrücken ist. Von großer propädeutischer Bedeutung ist die Erfahrung der Studierenden, sich mit Übungen weiter zu verständigen Musterbildung in Zahlenfolgen und deren Fortsetzung: 1, 2, 3, 4… (bei = X + 1) 1, 3, 5, 7… (bei= 2 X + 1) Konzept Mengen, zusammen mit dem Zahlenbegriff, ist der Hauptbegriff des mathematischen Grundstudiums. Das Material dieses Abschnitts ist die ergiebigste Quelle für die Umsetzung indirekter funktionaler Propädeutik. Erstens ist es die Abhängigkeit (umgekehrt proportional) zwischen der gewählten Mengeneinheit (Maß) und ihrem numerischen Wert (Maß) - je größer das Maß, desto kleiner die Zahl, die man erhält, wenn man den Wert mit diesem Maß misst. Daher ist es wichtig, dass die Schüler bei der Arbeit mit jeder Größe Erfahrungen mit der Messung von Größen mit verschiedenen Maßen sammeln, um bewusst zuerst ein geeignetes und dann ein einzelnes Maß zu wählen. Zweitens werden bei der Untersuchung der Größen, die die Bewegungs-, Arbeits-, Kauf- und Verkaufsprozesse charakterisieren, Vorstellungen über die Beziehung zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Entfernung, Preis, Menge und Kosten bei der Lösung von Textproblemen der folgenden Typen gebildet - zu bringen zur Einheit (Finden des vierten Proportionalen) , Finden des Unbekannten durch zwei Differenzen, proportionale Division. Von besonderer Schwierigkeit für die Schüler ist das Verständnis der Beziehung zwischen diesen Größen, da das Konzept der "proportionalen Abhängigkeit" nicht Gegenstand spezieller Studien und Assimilationen ist. Im Programm von L.G. Peterson löst dieses Problem methodisch mit den folgenden Techniken: - Beheben von Problemen mit fehlenden Daten ("offener" Zustand): Vasya ist 540 m von der Schule entfernt und Pascha 480 m. Wer wohnt näher? Wer kommt schneller ans Ziel? Sasha kaufte Hefte für 30 Rubel und Bleistifte für 45 Rubel. Für welche Artikel hat er am meisten Geld ausgegeben? Welche Artikel hat er mehr gekauft? Bei der Analyse der Texte dieser Aufgaben stellen die Schüler fest, dass ihnen Daten fehlen und dass die Antworten auf die Fragen vom Preis und der Geschwindigkeit abhängen. - Festlegen der Bedingungen von Aufgaben nicht nur in einer Tabelle (wie in der klassischen Technik vorgeschlagen), sondern auch in Form eines Diagramms. Auf diese Weise können Sie die im Problem berücksichtigten Abhängigkeiten "visualisieren". Wenn sich bewegende Objekte also zu unterschiedlichen Zeiten (2 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden, 6 Stunden) dieselbe Entfernung von 12 km zurücklegen, wird mit dem Schema die umgekehrte Beziehung klar interpretiert - je mehr Teile (Zeit), desto kleiner jedes Teil (Geschwindigkeit). - Ändern einer der Aufgabendaten und Vergleichen der Ergebnisse der Problemlösung. 48 kg Äpfel wurden in die Schulkantine gebracht. Wie viele Kisten könnten mitgebracht werden, wenn in allen Kisten gleich viele Äpfel wären? Die Studierenden vervollständigen die Aufgabenstellung und fixieren den Zusammenhang zwischen Größen mit verschiedenen Mitteln der Strukturierung des theoretischen Wissens - tabellarisch, grafisch und mündlich. Hier ist es sinnvoll, auf das Vielfache der betrachteten Größen zu achten – wie oft eine der Größen größer ist, ist die andere gleich oft größer (kleiner) bei konstantem Drittel. In der Grundschule werden die Schüler implizit eingeführt tabellarische, analytische, verbale, graphische Arten der Einstellung von Funktionen. So lässt sich beispielsweise der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Weg wie folgt ausdrücken: A) wörtlich: „um die Entfernung zu finden, musst du die Geschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren“; B) analytisch: s= V t; C) Tabelle: v = 5 km/h Eine grafische Möglichkeit, die Abhängigkeit zwischen v , t, s ermöglicht es Ihnen, sich eine Vorstellung von der Geschwindigkeit als Änderung des Orts eines sich bewegenden Objekts pro Zeiteinheit (zusammen mit der allgemein akzeptierten - als zurückgelegte Entfernung pro Zeiteinheit) und einem Vergleich der Bewegungsdiagramme zu machen von zwei Körpern (die sich unabhängig voneinander bewegen) verdeutlicht die Vorstellung von Geschwindigkeit als eine die Bewegungsgeschwindigkeit charakterisierende Größe. Zusammengesetzte numerische Ausdrücke(mit und ohne Klammern) ermöglicht die Berechnung ihrer Werte nach den Regeln der Aktionsreihenfolge den Schülern zu erkennen, dass das Ergebnis von der Reihenfolge der Aktionen abhängt. Ordne die Klammern so an, dass du die richtigen Gleichheiten erhältst. 20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26 Im Zuge von L.G. Peterson werden die Schüler implizit eingeführt lineare Abhängigkeit, als Spezialfall einer Funktion. Diese Funktion kann durch eine Formel der Form definiert werden bei= ch + b, wo X- unabhängige Variable, k und b- Zahlen. Ihr Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen. Nach 350 Kilometern Fahrt setzte sich der Zug t Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h in Bewegung. Wie viele Kilometer hat der Zug insgesamt zurückgelegt?(350 + 60 t) Bei der Durchführung von Aufgaben mit benannten Nummern sind sich die Schüler der Abhängigkeit bewusst der Zahlenwert von Größen aus der Verwendung unterschiedlicher Maßeinheiten. Dasselbe Segment wurde zuerst in Zentimetern, dann in Dezimetern gemessen. Im ersten Fall haben wir eine Nummer 135 mehr bekommen als im zweiten. Wie lang ist das Segment in Zentimetern? (Abhängigkeit bei= 10 X) Während des Studiums des ersten Mathematikkurses bilden die Schüler das Konzept einer natürlichen Zahlenreihe, eines Segments einer natürlichen Reihe, und nehmen die Eigenschaften einer natürlichen Zahlenreihe auf - Unendlichkeit, Ordnung usw., Form die Idee der Möglichkeit einer unbegrenzten Zunahme einer natürlichen Zahl oder einer Abnahme ihres Anteils. Im Mathematikunterricht in den Klassen 3-4 wird viel Wert darauf gelegt, den Schülern die Anwendung beizubringen Formeln, ihre unabhängige Schlussfolgerung. Hier ist es wichtig, den Schülern beizubringen, dieselben Informationen in verschiedenen Formen darzustellen – grafisch und analytisch, wobei den Schülern das Recht gegeben wird, die Form entsprechend ihrem kognitiven Stil zu wählen. Von großem Interesse für die Schüler sind Aufgaben im Zusammenhang mit der Analyse von Tabellen mit Variablenwerten, dem "Entdecken" von Abhängigkeiten zwischen ihnen und dem Schreiben in Form einer Formel. Um die Fähigkeit der Schüler, Formeln abzuleiten, zu schulen, müssen Sie ihnen beibringen, verschiedene Aussagen in mathematischer Sprache (in Form von Gleichheiten) aufzuschreiben: Ein Kugelschreiber ist dreimal so teuer wie ein Bleistift R = zu + 3); Nummer a bei Division durch 5 ergibt sich ein Rest von 2 ( a= 5 b + 2); Die Länge des Rechtecks ist 12 cm größer als die Breite ( a = b + 12). Voraussetzung ist die Diskussion möglicher Optionen für die Werte dieser Größen mit Ausfüllen der entsprechenden Tabellen. Ein besonderer Platz im Kurs von L.G. Peterson übernehmen damit zusammenhängende Aufgaben mathematische Forschung: Stellen Sie sich die Zahl 16 auf unterschiedliche Weise als Produkt zweier Faktoren vor. Finden Sie für jede Methode die Summe der Faktoren. In welchem Fall haben Sie den kleinsten Betrag erhalten? Machen Sie dasselbe mit den Zahlen 36 und 48. Was ist die Vermutung? Bei der Durchführung solcher Aufgaben (Untersuchung der Beziehung zwischen der Anzahl der Ecken eines Polygons und dem Gesamtwert der Gradmaße der Winkel, zwischen dem Wert des Umfangs von Figuren unterschiedlicher Formen mit derselben Fläche usw.) verbessern sich die Schüler ihre Fähigkeiten im Umgang mit einer Tabelle, da es bequem ist, die Lösung in der Tabelle zu fixieren. Darüber hinaus wird das tabellarische Verfahren zum Festlegen der Lösung zum Lösen nicht standardmäßiger mathematischer Probleme durch das Verfahren der geordneten Aufzählung oder der rationalen Auswahl verwendet. In der Klasse sind 13 Kinder. Jungen haben so viele Zähne wie Mädchen Finger und Zehen haben. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen sind in der Klasse? (Jeder Junge hat genau 32 Zähne.) Zahlenkompositionsübungen; Private Berechnungsmethoden (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 5 = 12 10: 2); Auswertung von Summe, Differenz, Produkt, Quotient. Bei solchen Aufgaben ist es wichtig, Informationen multisensorisch darzustellen. Wie ändert sich die Summe, wenn ein Term um 10 erhöht und der zweite um 5 verringert wird? Wie ändert sich die Fläche eines Rechtecks (oder das Produkt zweier Zahlen), wenn eine der Seiten (eine der Zahlen) um 3 erhöht wird? Ein erheblicher Teil der Schüler führt ähnliche Aufgaben aus, indem sie bestimmte Zahlenwerte ersetzt. Methodisch gebildet in dieser Situation wird die Bedingung grafisch und analytisch interpretieren. (a+ 3) · b = a· b+ 3 ·b
Das Konzept der Funktion in der High School ist damit verbunden Koordinatensystem. Im Zuge von L.G. Peterson enthält Material für propädeutische Arbeit in dieser Richtung: Nummerisches Segment, numerischer Strahl, Koordinatenstrahl; Pythagoreische Tafel, Koordinaten in der Ebene (Koordinatenwinkel); Bewegungsdiagramme; Kreis-, Säulen- und Liniendiagramme, die die Beziehung zwischen diskreten Werten visuell darstellen. Also das Studium arithmetischer Operationen, das Erhöhen und Verringern der Zahl um mehrere Einheiten oder mehrere Male, die Beziehung zwischen den Komponenten und den Ergebnissen arithmetischer Operationen, das Lösen von Problemen zum Auffinden des vierten Anteils, zum Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Entfernung; Preis, Menge und Wert; die Masse eines einzelnen Gegenstands, ihre Anzahl und Gesamtmasse; Arbeitsproduktivität, Zeit und Arbeit; usw. liegen einerseits der Bildung des Funktionsbegriffs zugrunde, andererseits werden sie anhand von Funktionsbegriffen untersucht. Es sollte beachtet werden, dass die grafische Modellierung einen ziemlich großen propädeutischen Wert hat: grafische Interpretation der Problemstellung, Zeichnen, Zeichnen und mehr. Informationen, die in grafischer Form präsentiert werden, sind leichter zu verstehen, umfangreich und eher bedingt, entworfen, um nur Informationen über die wesentlichen Merkmale des Objekts zu enthalten, um die grafischen Fähigkeiten der Schüler zu schulen. Darüber hinaus soll das Ergebnis der Propädeutik der funktionalen Abhängigkeit eine hohe geistige Aktivität jüngerer Schüler, die Entwicklung intellektueller, allgemeinfachlicher und spezifischer mathematischer Fähigkeiten und Fertigkeiten sein. All dies schafft eine solide Grundlage nicht nur für die Lösung der methodischen Probleme der Elementarmathematik - die Bildung von Rechenfähigkeiten, die Fähigkeit, Textprobleme zu lösen usw. -, sondern auch für die Umsetzung von Entwicklungsmöglichkeiten für mathematische Inhalte und nicht weniger wichtig für für das erfolgreiche Studium der Funktionen in der High School. 3.2 Lösen von Problemen für proportional abhängige Größen Ein Problem zu lösen bedeutet durch eine logisch richtige Abfolge von Handlungen. und Operationen mit explizit oder indirekt im Problem vorhandenen Nummern, Mengen, Beziehungen, um die Anforderung der Aufgabe zu erfüllen (um ihre Frage zu beantworten). Die wichtigsten in Mathematik sind Arithmetik und algebraisch Wege zur Lösung von Problemen. Bei Arithmetik Weg Die Antwort auf die Frage des Problems wird als Ergebnis der Durchführung von Arithmetik gefunden Aktionen auf Zahlen. Verschiedene arithmetische Methoden zur Lösung desselben Problems sind unterschiedlich Beziehungen zwischen Daten, Daten und Unbekannten, Daten und Gesuchtem, die der Wahl von arithmetischen Operationen oder einer Folge zugrunde liegt Verwendung dieser Beziehungen bei der Auswahl von Aktionen. Eine Textaufgabe arithmetisch zu lösen ist eine komplexe Tätigkeit, entscheidend. Es kann jedoch in mehrere Phasen unterteilt werden: 1. Wahrnehmung und Analyse des Aufgabeninhalts. 2. Suchen und erstellen Sie einen Plan zur Lösung des Problems. 3. Umsetzung des Lösungsplans. Formulierung des Fazits zur Erfüllung der Anforderung Aufgabe (Antwort auf die Frage der Aufgabe). 4. Überprüfung der Lösung und Behebung eventueller Fehler. Probleme bei der proportionalen Division werden auf unterschiedliche Weise eingeführt: Sie können anbieten um ein vorgefertigtes Problem zu lösen, oder Sie können es zuerst zusammenstellen, indem Sie das Problem transformieren um die vierte proportionale zu finden. In beiden Fällen der Erfolg der Lösung Probleme für die proportionale Teilung werden durch eine solide Lösungskompetenz bestimmt Problem, das vierte Proportional zu finden, daher als Ausbildung, ist es notwendig, für die Lösung von Problemen der entsprechenden Art für das Finden zu sorgen vierte proportional. Deshalb ist die zweite vorzuziehen. benannte Möglichkeiten zur Einführung von Problemen bei der proportionalen Teilung. Weiter geht es mit der Lösung vorgefertigter Probleme aus dem Lehrbuch sowie zusammengestellter Probleme Lehrer, einschließlich verschiedener Gruppen von Mengen, müssen Sie zuerst feststellen, was Mengen, auf die sich die Aufgabe bezieht, dann schreibe die Aufgabe kurz in die Tabelle, zuvor die Frage des Problems in zwei Fragen geteilt, wenn es das Wort enthält jeder. Die Entscheidung, in der Regel, führen die Schüler selbst durch, analysieren nur mit einzelnen Schülern durchgeführt. Anstelle einer kurzen Notiz können Sie dies tun Bild. Wenn es sich bei dem Problem beispielsweise um Materiestücke, Drahtspulen und usw., dann können sie als Segmente dargestellt werden, indem man die entsprechende Zahl schreibt die Werte dieser Größen. Beachten Sie, dass es nicht notwendig ist, jedes Mal eine kurze Zusammenfassung durchzuführen. Aufzeichnung oder Zeichnung, wenn der Schüler nach dem Lesen des Problems weiß, wie er es lösen kann lassen Sie ihn entscheiden, und diejenigen, die es schwierig finden, verwenden eine kurze Notiz oder Zeichnung Um die Aufgabe zu lösen. Nach und nach sollen die Aufgaben durch Einführung schwieriger werden zusätzliche Daten (zum Beispiel: „Im ersten Stück waren 16 m Materie und im zweiten 2 mal weniger.“) oder indem Sie eine Frage stellen (zum Beispiel: „Wie viele Meter war im ersten Stück mehr Materie als im zweiten?). Wenn Sie sich mit der Lösung des Problems der unverhältnismäßigen Teilung vertraut machen, können Sie gehen auf andere Weise: zuerst vorgefertigte Probleme lösen und später durchführen Transformation des Problems der Suche nach dem vierten proportional zum Problem der proportionale Aufteilung und nach deren Lösung sowohl die Aufgaben selbst als auch vergleichen ihre Entscheidungen. Die Verallgemeinerung der Fähigkeit, Probleme des betrachteten Typs zu lösen, wird durch Übungen unterstützt kreative Natur. Nennen wir einige davon. Vor der Lösung ist es sinnvoll zu fragen, welche der Fragen des Problems in der Antwort beantwortet werden. größere Anzahl und warum, und nach der Entscheidung zu prüfen, ob ich dieser Spezies entspreche die resultierenden Zahlen, was eine der Möglichkeiten sein wird, die Lösung zu überprüfen. Kann weiter sein Finden Sie heraus, ob die gleichen Zahlen in der Antwort erhalten werden konnten und unter welchen Bedingungen. Nützliche Übungen zur Vorbereitung von Aufgabenstellungen durch Studierende mit deren anschließender Lösung, sowie Aufgabentransformationsübungen. Es ist vor allem die Zusammenstellung ähnliche Aufgaben wie gelöst. Also, nachdem das Problem mit den Mengen gelöst wurde: Preis, Menge und Kosten - schlagen Sie vor, ein ähnliches Problem zu erstellen und zu lösen gleichen Größen oder mit anderen, wie Geschwindigkeit, Zeit und Entfernung. Dies ist die Zusammenstellung von Aufgaben nach ihrer Lösung, separat geschrieben Aktionen, und in Form eines Ausdrucks, dies ist die Zusammenstellung und Lösung von Problemen nach ihren kurze schematische Notation 1 Weg: X \u003d 15 * 30 / 8 \u003d 56 Rubel 25 Kopeken 2-Wege: Die Stoffmenge wurde um das 15/8-fache erhöht, was bedeutet, dass das Geld 15/8-mal mehr gezahlt wird X \u003d 30 * 15/8 \u003d 56 Rubel 25 Kopeken 2.
Ein gewisser Herr rief einen Zimmermann und ließ den Hof bauen. Er gab ihm 20 Arbeiter und fragte, wie viele Tage sie für ihn einen Hof bauen würden. Der Zimmermann antwortete: in 30 Tagen. Und der Meister muss in 5 Tagen bauen, und dafür fragte er den Zimmermann: Wie viele Leute braucht man, damit man mit ihnen in 5 Tagen einen Hof bauen kann; und der Zimmermann fragt dich, Rechenmeister, verwirrt: Wie viele Leute braucht er, um in 5 Tagen einen Hof zu bauen? Eine unvollendete kurze Bedingung steht an der Tafel: Ich wähle: Anteil Option II: ohne Proportionen ICH. II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 Arbeiter 3.
Sie nahmen 560 Soldaten Lebensmittel für 7 Monate, und ihnen wurde befohlen, 10 Monate im Dienst zu sein, und sie wollten Menschen von sich wegnehmen, damit es genug Lebensmittel für 10 Monate gab. Die Frage ist, wie viele Personen sollen reduziert werden? Alte Aufgabe. Lösen Sie dieses Problem ohne Proportion: (Die Anzahl der Monate erhöht sich um einen Faktor, was bedeutet, dass die Anzahl der Soldaten um einen Faktor abnimmt. 560 - 392 = 168 (Soldaten müssen reduziert werden) In der Antike gab es für die Lösung vieler Arten von Problemen spezielle Regeln, um sie zu lösen. Uns bekannte Probleme für die direkte und umgekehrte Proportionalität, bei denen es notwendig ist, die vierten mal drei Werte zweier Größen zu finden, wurden als Probleme für die "Dreifachregel" bezeichnet. Wenn für drei Werte fünf Werte angegeben wurden und der sechste gefunden werden musste, wurde die Regel "fünf" genannt. In ähnlicher Weise gab es für die vier Mengen eine "Regel der Siebenheit". Aufgaben zur Anwendung dieser Regeln wurden auch Aufgaben zur „komplexen Tripelregel“ genannt. 4.
Drei Hühner legten in 3 Tagen 3 Eier. Wie viele Eier legen 12 Hühner in 12 Tagen? Wie oft hat sich die Zahl der Hühner erhöht? (4 Mal) Wie hat sich die Anzahl der Eier verändert, wenn sich die Anzahl der Tage nicht verändert hat? (4 mal erhöht) Wie oft hat sich die Anzahl der Tage erhöht? (4 Mal) Wie hat sich die Anzahl der Eier verändert? (4 mal erhöht) X \u003d 3 * 4 * 4 \u003d 48 (Eier) 5
. Wenn ein Schreiber 15 Blätter in 8 Tagen schreiben kann, wie viele Schreiber braucht man, um 405 Blätter in 9 Tagen zu schreiben? Von der Zunahme der Arbeitstage Betrachten Sie ein komplexeres Problem mit vier Größen. 6.
Für die Beleuchtung von 18 Räumen wurden in 48 Tagen 120 Tonnen Kerosin verbraucht und in jedem Raum brannten 4 Lampen. Wie viele Tage reichen 125 Pfund Kerosin, wenn 20 Räume beleuchtet sind und in jedem Raum 3 Lampen brennen? Die Anzahl der Kerosinverbrauchstage nimmt mit der Zunahme der Zimmer ab 20
mal. X = 48 * * : = 60 (Tage) Schließlich hat X = 60. Das bedeutet, dass 125 Pfund Kerosin für 60 Tage reichen. Fazit Das im Rahmen der Modulpädagogik entwickelte methodische System zur Erforschung funktionaler Abhängigkeiten in der Grundschule ist eine Ganzheit, die sich aus der Beziehung der Hauptkomponenten (Ziel, Inhalt, Organisation, Technik, Diagnostik) und Prinzipien (Modularität, bewusste Perspektive, Offenheit, Ausrichtung der Ausbildung auf die Persönlichkeitsentwicklung des Schülers), Vielseitigkeit der methodischen Beratung). Der modulare Ansatz ist ein Mittel zur Verbesserung des Prozesses des Studiums der funktionalen Abhängigkeit bei Grundschülern, der es ermöglicht: Schülern - das System des funktionalen Wissens und der Handlungsmethoden sowie praktische (operative) Fähigkeiten zu beherrschen; der Lehrer - um ihr mathematisches Denken auf der Grundlage von funktionalem Material zu entwickeln, um die Unabhängigkeit beim Lernen zu kultivieren. Die methodische Unterstützung des Prozesses des Erlernens von Funktionen in der Grundschule basiert auf modularen Programmen, die die Grundlage für die Hervorhebung der grundlegenden Muster bilden, die für das Verständnis des Themas, die erfolgreiche und vollständige Aufnahme des Inhalts des Unterrichtsmaterials erforderlich sind, und der Erwerb solider Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten durch die Studierenden. Literaturverzeichnis.
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Rjasan
Theoretischer Teil
1.1 Entwicklung des Begriffs der funktionalen Abhängigkeit in der Mathematik…………………………….………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… .
Numerische Funktionen
1.3 Funktionseigenschaften …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………
2. Direkte und umgekehrte Proportionen
2.2 Eigenschaften einer direkten proportionalen Beziehung……………………………………………….10
2.3 Das Konzept der umgekehrten Proportionalität und seine Eigenschaften……………………………………………………………………-
Praktischer Teil
Schlussfolgerung ……………………………………………………… 21 ....... 21
In der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts. es gab einen Übergang von einer visuellen Darstellung des Funktionsbegriffs zu einer analytischen Definition. Der Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli und dann der Akademiker Leonhard Euler glaubten, dass die Funktion
Heute wissen wir, dass eine Funktion nicht nur in mathematischer Sprache, sondern auch grafisch ausgedrückt werden kann. Der Pionier dieser Methode war Descartes. Diese Entdeckung spielte eine große Rolle bei der Weiterentwicklung der Mathematik: Es gab einen Übergang von Punkten zu Zahlen, von Linien zu Gleichungen, von Geometrie zu Algebra. So wurde es möglich, gemeinsame Methoden zur Lösung von Problemen zu finden.
Andererseits wurde es dank der Koordinatenmethode möglich, geometrisch unterschiedliche Abhängigkeiten darzustellen.
Daher geben Graphen eine visuelle Darstellung der Art der Beziehung zwischen Größen; sie werden häufig in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie verwendet.
Dies bedeutet, dass vor der Einführung des Begriffs „Funktion“ an der Bildung funktionaler Denkfähigkeiten gearbeitet werden muss, damit „in dem Moment, in dem die allgemeine Idee der funktionalen Abhängigkeit in das Bewusstsein der Schüler eintreten sollte, dies der Fall ist Bewusstsein war ausreichend vorbereitet für das Objektive und Effektive, und nicht nur für die formale Wahrnehmung eines neuen Konzepts und der damit verbundenen Ideen und Fähigkeiten“ (A.Ya. Khhinchin)
Die Entwicklung der Idee der funktionalen Abhängigkeit verlief in mehreren Stufen:
I. Ya. Khinchin widmete diesem Problem in seinen Werken große Aufmerksamkeit.
Der moderne Funktionsbegriff unterscheidet sich deutlich von den bisherigen. Es spiegelt alle Eigenschaften und Abhängigkeiten, die es hat, vollständiger wider.
1.2 Möglichkeiten zum Einstellen von Funktionen
1.3 Funktionseigenschaften.
Eine Funktion gilt als gegeben, wenn: der Funktionsumfang X gegeben ist; der Wertebereich der Funktion Y ist gegeben; die Regel (das Gesetz) der Entsprechung bekannt ist, und zwar so, dass für jeden Wert des Arguments nur ein Wert der Funktion gefunden werden kann. Diese Anforderung der Eindeutigkeit der Funktion ist obligatorisch.
Eingeschränkte und unbegrenzte Funktionen. Eine Funktion heißt beschränkt, falls es eine positive Zahl M gibt, so dass | f(x) | M für alle x-Werte. Wenn es keine solche Zahl gibt, dann ist die Funktion unbeschränkt.
2. Direkte und umgekehrt proportionale Abhängigkeiten.
2.1 Das Konzept der direkten Proportionalität.
2.2 Eigenschaften einer direkten proportionalen Beziehung.
Wenn die Werte der Variablenxundj
Der Definitionsbereich der Funktion y=kx ist die Menge der reellen Zahlen R;
Ein Graph der direkten Proportionalität ist eine gerade Linie, die durch den Ursprung verläuft;
Für k>0 wächst die Funktion y=kx über den gesamten Definitionsbereich (für k
Wenn die Funktion f eine direkte Proportionalität ist, dann sind (x1,y1),(x2,y2) Paare von entsprechenden Variablen x und y, wobei x ungleich Null ist, dann x1/x2=y1/y2.
Umgekehrte Proportionalität- Das Funktion, was unter Verwendung der Formel y=k/x gegeben werden kann, wobei k eine reelle Zahl ungleich Null ist. Der Name der Funktion y = k/x ist den Variablen x und y zugeordnet, deren Produkt gleich einer reellen Zahl ungleich Null ist.
Definitionsbereich und Geltungsbereich der Funktion y=k/x ist die Menge der reellen Zahlen R;
Der Graph der direkten Proportionalität ist eine Übertreibung;
Für k 0 jeweils Abnahmen über den gesamten Definitionsbereich, Zweige - nach unten)
Wenn die Funktion f umgekehrt proportional ist, dann sind (x1,y1),(x2,y2) Paare von entsprechenden Variablen x und y, wobei x ungleich Null ist, dann x1/x2=y2/y1.
3.1 Funktionale Propädeutik im Grundstudium Mathematik
d) grafisch (unter Verwendung eines Koordinatenstrahls oder -winkels).
Bei der Analyse der Zahlen in der Tabelle fällt den Schülern leicht auf, dass sich die Zahlen in der ersten Reihe um eins erhöhen, die Zahlen in der zweiten Reihe um vier. Die Aufgabe des Lehrers besteht darin, auf die Beziehung der Werte der Variablen zu achten a und b. Um die angewandte Orientierung der mathematischen Bildung zu stärken, ist es notwendig, diese Situation „wiederzubeleben“, sie in den Handlungsstatus zu überführen.
Mathematikunterricht nach dem Programm von L.G. Peterson vermittelt den Schülern die Assimilation der Beziehung zwischen den Ergebnissen und Komponenten arithmetischer Operationen, über die sich eine Vorstellung bildet Die "Geschwindigkeit", mit der sich das Ergebnis von Rechenoperationen in Abhängigkeit von der Änderung der Komponenten ändert:
Hühner
Tage
Eier
3
3
3
12
12
X
Musst herausfinden:
(Die Anzahl der Schreiber nimmt mit der Zunahme der Blätter mit der Zeit zu und ab
(Schreiber)).
Die Anzahl der Kerosinverbrauchstage steigt mit zunehmender Kerosinmenge
Zeiten und von der Reduzierung der Lampen um die Hälfte.
Demidova T. E., Tonkikh A. P., Theorie und Praxis der Lösung von Textproblemen: Proc. Zuschuss für Studenten. höher päd. Lehrbuch Betriebe. - M .: Verlagszentrum "Academy", 2002. -288 p.
Fridman L. M. Mathematik: Lehrbuch für Lehrer und Studenten pädagogischer Universitäten und Hochschulen. - M.: Schulpresse, 2002. - 208s.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Grundlagen des Grundkurses Mathematik: Proc. Zuschuss für Studenten ped. uch - u nach special. „Unterrichten in den ersten Klassen ist Allgemeinbildung. Schule" - M.: Aufklärung, 1998. - 320s.
Stoilova L.P. Mathematik: Lehrbuch für Studenten. höher Päd. Lehrbuch Betriebe. - M .: Verlagszentrum "Akakdemiya", 1999. - 424 p.
Pekhletsky I. D. Mathematik: Lehrbuch. - 2. stereotype Ausgabe - M .: Verlagszentrum "Akademie"; Meisterschaft, 2002. – 304 S.
Kryuchkova V.V. Arbeit an Problemen mit proportionalen Werten im Entwicklungsmodus: Methodischer Leitfaden für Lehrer des Anfangs. Klassen: Teil 2 / Ryazan Regional Institute for the Development of Education. Rjasan, 1996. - 75s.
Padun T. A. Nicht-Standardaufgaben im Kurs der Elementarmathematik: Methodisch. Empfohlen Um Grundschullehrern / Ryaz zu helfen. Region in - t Entwicklung der Bildung. - Rjasan, 2003 - 85er Jahre.
Glazer G. I. Geschichte der Mathematik in der Schule: IX - X-Zellen. Ein Leitfaden für Lehrer. - M.: Aufklärung, 1983. - 351 S., mit Abb.
Dorofeev G.V. Humanitär orientierter Kurs - die Grundlage des Fachs "Mathematik" in einer allgemeinbildenden Schule // Mathematik in der Schule. - 1997. - Nr. 4. - S.59-66, p. 59.
Aktuelle Probleme der Methodik des Mathematikunterrichts in den Grundschulklassen. / Ed. MI Moro, A.M. Pyschkalo. - M.: Pädagogik, 1977. - 262 p.
Bantova M.A., Beltyukova G.V. Methoden des Mathematikunterrichts in der Grundschule. - M.: Pädagogik, 1984. - 301 p.
Davydov V. V. Mathematik, Klasse 3: Ein Lehrbuch für eine 4-jährige Grundschule. - M.: Verlagszentrum "Akademie", 1998. - 212 p.
Moro MI ua Mathematik: Ein Lehrbuch für die 3. Klasse einer dreijährigen Grundschule und die 4. Klasse einer vierjährigen Grundschule. / Ed. Kalyagina Yu.M. - M.: Aufklärung, 1997. - 240 S.
Peterson LG Mathematik, 3. Klasse. Ch. 1, 2. Lehrbuch für die 4-jährige Grundschule. -M.: Balass, 2001.
