Aufgaben, deren Lösung ist Logarithmische Ausdrücke umwandeln, ziemlich oft auf der Prüfung gefunden.

Um sie mit minimalem Zeitaufwand erfolgreich zu bewältigen, ist es neben den grundlegenden logarithmischen Identitäten notwendig, einige weitere Formeln zu kennen und richtig anzuwenden.

Dies ist: a log a b = b, wobei a, b > 0, a ≠ 1 (Ergibt sich direkt aus der Definition des Logarithmus).

log a b = log c b / log c a oder log a b = 1/log b a
wobei a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
wobei a, b > 0, a ≠ 1, m, n ´ R, n ≠ 0.

ein Protokoll c b = b Protokoll c ein
wobei a, b, c > 0 und a, b, c ≠ 1

Um die Gültigkeit der vierten Gleichung zu zeigen, logarithmieren wir die linke und rechte Seite zur Basis a. Wir erhalten log a (a log c b) = log a (b log c a) oder log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log mit b = log mit b.

Wir haben die Gleichheit von Logarithmen bewiesen, was bedeutet, dass die Ausdrücke unter den Logarithmen auch gleich sind. Formel 4 hat sich bewährt.

Beispiel 1

Berechnen Sie 81 log 27 5 log 5 4 .

Lösung.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Daher

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Dann 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Sie können die folgende Aufgabe selbst erledigen.

Berechnen Sie (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Als Hinweis: 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Antwort: 5.

Beispiel 2

Berechnen (√11) Protokoll √3 9 Protokoll 121 81 .

Lösung.

Lassen Sie uns die Ausdrücke ersetzen: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (Formel 3 wurde verwendet).

Dann ist (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Beispiel 3

Berechnen Sie log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Lösung.

Wir ersetzen die im Beispiel enthaltenen Logarithmen durch Logarithmen zur Basis 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Dann log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + Protokoll 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Nach Öffnen der Klammern und Kürzen ähnlicher Terme erhalten wir die Zahl 3. (Wenn man den Ausdruck vereinfacht, kann man log 2 3 mit n bezeichnen und den Ausdruck vereinfachen

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Antwort: 3.

Sie können Folgendes selbst tun:

Berechne (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Hier ist ein Übergang zu Logarithmen zur Basis 3 und eine Zerlegung in Primfaktoren großer Zahlen notwendig.

Antwort: 1/2

Beispiel 4

Drei Zahlen sind gegeben A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Ordnen Sie sie in aufsteigender Reihenfolge an.

Lösung.

Transformieren wir die Zahlen A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Vergleichen wir sie

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 und log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Oder 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Antworten. Daher die Reihenfolge der Platzierung von Zahlen: C; ABER; BEI.

Beispiel 5

Wie viele ganze Zahlen sind im Intervall (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Lösung.

Lassen Sie uns bestimmen, zwischen welchen Potenzen der Zahl 3 die Zahl 1/16 liegt. Wir bekommen 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Da die Funktion y \u003d log 3 x zunimmt, dann log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Vergleichen Sie Protokoll 6 (4 / 3) und 1 / 5 . Und dazu vergleichen wir die Zahlen 4/3 und 6 1/5. Erhöhen Sie beide Zahlen in die 5. Potenz. Wir erhalten (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

Protokoll 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Daher enthält das Intervall (log 3 1 / 16 ; log 6 48) das Intervall [-2; 4] und Ganzzahlen -2 werden darauf platziert; -eines; 0; eines; 2; 3; vier.

Antwort: 7 ganze Zahlen.

Beispiel 6

Berechnen Sie 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Lösung.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 log 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Dann gilt 3 lglg2/lg3 – lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = –1.

Antwort 1.

Beispiel 7

Es ist bekannt, dass log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Finden Sie log 2 (√3 - 1) + log 2 (√6 + 2).

Lösung.

Zahlen (√3 + 1) und (√3 - 1); (√6 - 2) und (√6 + 2) sind konjugiert.

Führen wir die folgende Transformation von Ausdrücken durch

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Dann ist log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – Log 2 (√3 + 1) + Log 2 2 – Log 2 (√6 – 2) = 1 – Log 2 (√3 + 1) + 1 – Log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Antwort: 2 - A.

Beispiel 8.

Vereinfache und finde den ungefähren Wert des Ausdrucks (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Lösung.

Wir reduzieren alle Logarithmen auf eine gemeinsame Basis von 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010 (Der ungefähre Wert von lg 2 kann mit einer Tabelle, einem Rechenschieber oder einem Taschenrechner ermittelt werden).

Antwort: 0,3010.

Beispiel 9.

Berechnen Sie log a 2 b 3 √(a 11 b -3), wenn log √ a b 3 = 1. (In diesem Beispiel ist a 2 b 3 die Basis des Logarithmus).

Lösung.

Wenn log √ a b 3 = 1, dann 3/(0,5 log a b = 1. Und log a b = 1/6.

Dann log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) dass log und b = 1/6 wir erhalten (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Antwort: 2.1.

Sie können Folgendes selbst tun:

Berechnen Sie log √3 6 √2,1, wenn log 0,7 27 = a.

Antwort: (3 + a) / (3a).

Beispiel 10

Berechnen Sie 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Lösung.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (Formel 4))

Wir erhalten 9 + 6 = 15.

Antwort: 15.

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Logarithmische Ausdrücke, Lösung von Beispielen. In diesem Artikel werden wir Probleme im Zusammenhang mit der Lösung von Logarithmen betrachten. Die Aufgaben werfen die Frage auf, den Wert des Ausdrucks zu finden. Es sollte beachtet werden, dass das Konzept des Logarithmus in vielen Aufgaben verwendet wird und es äußerst wichtig ist, seine Bedeutung zu verstehen. Wie bei der USE wird der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen, bei angewandten Problemen und auch bei Aufgaben im Zusammenhang mit dem Studium von Funktionen verwendet.

Hier sind Beispiele, um die eigentliche Bedeutung des Logarithmus zu verstehen:

Logarithmische Grundidentität:

Eigenschaften von Logarithmen, die Sie sich immer merken müssen:

*Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

* * *

* Der Logarithmus des Quotienten (Bruch) ist gleich der Differenz der Logarithmen der Faktoren.

* * *

* Der Logarithmus des Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis.

* * *

*Übergang zur neuen Basis

* * *

Weitere Eigenschaften:

* * *

Das Berechnen von Logarithmen ist eng mit der Verwendung der Eigenschaften von Exponenten verbunden.

Wir listen einige davon auf:

Die Essenz dieser Eigenschaft besteht darin, dass sich beim Übertragen des Zählers auf den Nenner und umgekehrt das Vorzeichen des Exponenten in das Gegenteil ändert. Zum Beispiel:

Folge dieser Eigenschaft:

* * *

Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis gleich, aber die Exponenten werden multipliziert.

* * *

Wie Sie sehen können, ist das eigentliche Konzept des Logarithmus einfach. Die Hauptsache ist, dass eine gute Übung erforderlich ist, die eine bestimmte Fähigkeit verleiht. Formelkenntnisse sind natürlich obligatorisch. Wenn die Fähigkeit, elementare Logarithmen umzuwandeln, nicht ausgebildet ist, kann man beim Lösen einfacher Aufgaben leicht einen Fehler machen.

Übe, löse zuerst die einfachsten Beispiele aus dem Mathekurs und gehe dann zu komplexeren über. In Zukunft werde ich auf jeden Fall zeigen, wie die „hässlichen“ Logarithmen gelöst werden, solche wird es bei der Klausur nicht geben, aber sie sind interessant, nicht verpassen!

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Die aufgeführten Gleichungen bei der Umwandlung von Ausdrücken mit Logarithmen werden sowohl von rechts nach links als auch von links nach rechts verwendet.

Es ist erwähnenswert, dass Sie sich die Konsequenzen der Eigenschaften nicht merken müssen: Bei der Durchführung von Transformationen können Sie mit den grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen und anderen Fakten (z. B. denen für b≥0) auskommen, aus denen die entsprechenden Konsequenzen folgen. Der „Nebeneffekt“ dieses Vorgehens ist lediglich, dass die Lösung etwas länger dauert. Zum Beispiel, um auf die Konsequenz zu verzichten, die durch die Formel ausgedrückt wird , und ausgehend von den grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen müssen Sie eine Kette von Transformationen der folgenden Form durchführen: .

Dasselbe gilt für die letzte Eigenschaft aus der obigen Liste, die der Formel entspricht , da es auch aus den Grundeigenschaften von Logarithmen folgt. Das Wichtigste zum Verständnis ist, dass es bei dem Grad einer positiven Zahl mit einem Logarithmus im Exponenten immer möglich ist, die Basis des Grades und die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus zu vertauschen. Fairerweise stellen wir fest, dass Beispiele für die Umsetzung solcher Transformationen in der Praxis selten sind. Nachfolgend geben wir einige Beispiele.

Konvertieren numerischer Ausdrücke mit Logarithmen

Wir haben uns an die Eigenschaften von Logarithmen erinnert, jetzt ist es an der Zeit zu lernen, wie man sie in die Praxis umsetzt, um Ausdrücke umzuwandeln. Es ist natürlich, mit der Transformation von numerischen Ausdrücken zu beginnen und nicht von Ausdrücken mit Variablen, da es bequemer und einfacher ist, die Grundlagen zu lernen. Wir werden dies also tun und mit sehr einfachen Beispielen beginnen, um zu lernen, wie man die gewünschte Eigenschaft des Logarithmus auswählt, aber wir werden die Beispiele schrittweise komplizieren, bis zu dem Punkt, an dem mehrere Eigenschaften in a angewendet werden müssen Zeile, um das Endergebnis zu erhalten.

Auswahl der gewünschten Eigenschaft von Logarithmen

Es gibt nicht so wenige Eigenschaften von Logarithmen, und es ist klar, dass Sie in der Lage sein müssen, die geeignete aus ihnen auszuwählen, die in diesem speziellen Fall zum gewünschten Ergebnis führt. Normalerweise ist dies nicht schwierig, indem die Form des Logarithmus oder Ausdrucks, der konvertiert wird, mit den Typen des linken und rechten Teils der Formeln verglichen wird, die die Eigenschaften von Logarithmen ausdrücken. Wenn die linke oder rechte Seite einer der Formeln mit dem angegebenen Logarithmus oder Ausdruck übereinstimmt, dann ist es höchstwahrscheinlich diese Eigenschaft, die während der Transformation verwendet werden sollte. Die folgenden Beispiele zeigen dies deutlich.

Beginnen wir mit Beispielen für die Transformation von Ausdrücken mit der Definition des Logarithmus, der der Formel a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 entspricht.

Beispiel.

Berechnen Sie, wenn möglich: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Lösung.

Im Beispiel zeigt Buchstabe a) deutlich die Struktur a log a b , wobei a=5 , b=4 . Diese Zahlen erfüllen die Bedingungen a>0 , a≠1 , b>0 , sodass Sie die Gleichheit a log a b =b sicher verwenden können. Wir haben 5 log 5 4=4 .

b) Hier sind a=10 , b=1+2 π , Bedingungen a>0 , a≠1 , b>0 erfüllt. In diesem Fall tritt die Gleichheit 10 lg(1+2 π) =1+2 π auf.

c) Und in diesem Beispiel haben wir es mit einem Grad der Form a log a b zu tun, wobei und b=ln15 . So .

Trotz Zugehörigkeit zur selben Form a log a b (hier a=2 , b=−7 ), lässt sich der Ausdruck unter dem Buchstaben d) nicht durch die Formel a log a b =b umwandeln. Der Grund ist, dass es keinen Sinn macht, weil es eine negative Zahl unter dem Logarithmuszeichen enthält. Außerdem erfüllt die Zahl b = –7 nicht die Bedingung b > 0 , was einen Rückgriff auf die Formel a log a b = b unmöglich macht, da sie die Bedingungen a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 erfordert. Wir können also nicht über die Berechnung des Werts 2 log 2 (−7) sprechen. In diesem Fall wäre das Schreiben von 2 log 2 (−7) = −7 ein Fehler.

Ebenso ist es im Beispiel unter Buchstabe e) unmöglich, eine Lösung der Form anzugeben , da der ursprüngliche Ausdruck keinen Sinn ergibt.

Antworten:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) Ausdrücke sind nicht sinnvoll.

Es ist oft nützlich, eine positive Zahl als Potenz einer positiven Nicht-Eins-Zahl mit einem Logarithmus im Exponenten umzuwandeln. Sie basiert auf der gleichen Definition des Logarithmus a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , jedoch wird die Formel von rechts nach links angewendet, also in der Form b=a log a b . Beispiel: 3=e ln3 oder 5=5 log 5 5 .

Fahren wir mit der Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen zur Transformation von Ausdrücken fort.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Lösung.

In den Beispielen unter den Buchstaben a), b) und c) sind die Ausdrücke log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 angegeben, die keinen Sinn ergeben, da die Basis des Logarithmus keine negative Zahl enthalten soll , Null oder Eins, weil wir den Logarithmus nur für eine positive Basis ohne Einheit definiert haben. Daher kann es in den Beispielen a) - c) nicht darum gehen, den Wert des Ausdrucks zu finden.

Bei allen anderen Aufgaben enthalten die Basen der Logarithmen natürlich positive Zahlen ohne Einheit 7 , e , 10 , 3,75 bzw. 5 π 7 , und Einheiten stehen überall unter den Vorzeichen der Logarithmen. Und wir kennen die Eigenschaft des Logarithmus der Einheit: log a 1=0 für jedes a>0 , a≠1 . Somit sind die Werte der Ausdrücke b) - f) gleich Null.

Antworten:

a), b), c) die Ausdrücke ergeben keinen Sinn, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Beispiel.

Berechnen Sie: a) , b) inne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Lösung.

Es ist klar, dass wir die Eigenschaft des Logarithmus der Basis verwenden müssen, was der Formel log a a=1 für a>0 , a≠1 entspricht. Tatsächlich stimmt bei Aufgaben unter allen Buchstaben die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus mit seiner Basis überein. Daher möchte ich gleich sagen, dass der Wert jedes der angegebenen Ausdrücke 1 ist. Ziehen Sie jedoch keine voreiligen Schlussfolgerungen: Bei den Aufgaben unter den Buchstaben a) - d) sind die Werte der Ausdrücke wirklich gleich eins, und bei den Aufgaben e) und f) ergeben die ursprünglichen Ausdrücke keinen Sinn, also nicht gesagt werden, dass die Werte dieser Ausdrücke gleich 1 sind.

Antworten:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) Ausdrücke sind nicht sinnvoll.

Beispiel.

Finden Sie den Wert: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Lösung.

Offensichtlich sind unter den Vorzeichen der Logarithmen einige Basisgrade. Auf dieser Grundlage verstehen wir, dass die Eigenschaft des Basisgrades hier nützlich ist: log a a p = p, wobei a > 0, a ≠ 1 und p eine beliebige reelle Zahl ist. Unter Berücksichtigung dessen erhalten wir folgende Ergebnisse: a) log 3 3 11 =11 , b) , in) . Kann man für das Beispiel unter dem Buchstaben d) eine ähnliche Gleichheit der Form log −10 (−10) 6 =6 schreiben? Nein, das geht nicht, weil log −10 (−10) 6 keinen Sinn ergibt.

Antworten:

a) log 3 3 11 = 11, b) , in) d) Der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck als Summe oder Differenz von Logarithmen derselben Basis aus: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Lösung.

a) Das Produkt steht unter dem Vorzeichen des Logarithmus, und wir kennen die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . In unserem Fall sind die Zahl in der Basis des Logarithmus und die Zahlen im Produkt positiv, das heißt, sie erfüllen die Bedingungen der ausgewählten Eigenschaft, daher können wir sie sicher anwenden: .

b) Hier verwenden wir die Eigenschaft des Logarithmus des Quotienten , wobei a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . In unserem Fall ist die Basis des Logarithmus eine positive Zahl e, Zähler und Nenner π sind positiv, erfüllen also die Bedingungen der Eigenschaft, also haben wir das Recht, die gewählte Formel zu verwenden: .

c) Beachten Sie zunächst, dass der Ausdruck lg((−5) (−12)) sinnvoll ist. Aber gleichzeitig haben wir nicht das Recht, die Formel für den Logarithmus des Produkts log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 anzuwenden , da die Zahlen −5 und −12 negativ sind und die Bedingungen x>0 , y>0 nicht erfüllen. Das heißt, es ist unmöglich, eine solche Transformation durchzuführen: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Aber was soll man machen? In solchen Fällen muss der ursprüngliche Ausdruck vorab transformiert werden, um negative Zahlen zu vermeiden. Wir werden ausführlich über ähnliche Fälle der Umwandlung von Ausdrücken mit negativen Zahlen unter dem Vorzeichen des Logarithmus in einem von sprechen, aber jetzt geben wir eine Lösung für dieses Beispiel, die im Voraus klar und ohne Erklärung ist: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Antworten:

a) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Ausdruck: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Lösung.

Hier helfen uns dieselben Eigenschaften des Logarithmus des Produkts und des Logarithmus des Quotienten, die wir in den vorherigen Beispielen verwendet haben, nur dass wir sie jetzt von rechts nach links anwenden. Das heißt, wir konvertieren die Summe der Logarithmen in den Logarithmus des Produkts und die Differenz der Logarithmen in den Logarithmus des Quotienten. Wir haben
a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Antworten:

a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Beispiel.

Entfernen Sie den Grad unter dem Vorzeichen des Logarithmus: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Lösung.

Es ist leicht zu erkennen, dass wir es mit Ausdrücken wie log a b p zu tun haben. Die entsprechende Eigenschaft des Logarithmus ist log a b p = p log a b , wobei a>0 , a≠1 , b>0 , p eine beliebige reelle Zahl ist. Das heißt, unter den Bedingungen a>0 , a≠1 , b>0 können wir vom Logarithmus des Grades log a b p zum Produkt p·log a b übergehen. Führen wir diese Transformation mit den gegebenen Ausdrücken durch.

a) In diesem Fall a=0,7 , b=5 und p=11 . Also log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5 .

b) Hier sind die Bedingungen a>0 , a≠1 , b>0 erfüllt. Deshalb

c) Der Ausdruck log 3 (−5) 6 hat die gleiche Struktur log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Aber für b ist die Bedingung b>0 nicht erfüllt, was die Anwendung der Formel log a b p = p log a b unmöglich macht. Warum also kannst du die Arbeit nicht erledigen? Es ist möglich, aber eine vorherige Transformation des Ausdrucks ist erforderlich, auf die wir weiter unten im Abschnitt unter der Überschrift ausführlich eingehen werden. Die Lösung wird so aussehen: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 = 6 log 3 5.

Antworten:

a) log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 = 6 log 3 5 .

Nicht selten muss die Formel für den Logarithmus des Grads bei der Durchführung von Transformationen von rechts nach links in der Form p log a b \u003d log a b p angewendet werden (dies erfordert die gleichen Bedingungen für a, b und p). Beispiel: 3 ln5=ln5 3 und lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Beispiel.

a) Berechnen Sie den Wert von log 2 5, wenn bekannt ist, dass lg2≈0.3010 und lg5≈0.6990. b) Schreiben Sie den Bruch als Logarithmus zur Basis 3.

Lösung.

a) Die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus ermöglicht es uns, diesen Logarithmus als Verhältnis von Dezimallogarithmen darzustellen, deren Werte uns bekannt sind: . Es bleibt nur, die Berechnungen durchzuführen, die wir haben .

b) Hier genügt es, die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis zu verwenden und sie von rechts nach links, also im Formular, anzuwenden . Wir bekommen .

Antworten:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

An dieser Stelle haben wir die Transformation der einfachsten Ausdrücke unter Verwendung der grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen und der Definition eines Logarithmus ziemlich genau betrachtet. In diesen Beispielen mussten wir eine Eigenschaft verwenden und sonst nichts. Jetzt können Sie ruhigen Gewissens zu Beispielen übergehen, deren Transformation die Verwendung mehrerer Eigenschaften von Logarithmen und anderer zusätzlicher Transformationen erfordert. Wir werden sie im nächsten Absatz behandeln. Aber lassen Sie uns vorher kurz auf Beispiele für die Anwendung von Konsequenzen aus den grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen eingehen.

Beispiel.

a) Entfernen Sie die Wurzel unter dem Vorzeichen des Logarithmus. b) Wandeln Sie den Bruch in einen Logarithmus zur Basis 5 um. c) Entfernen Sie die Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus und an seiner Basis. d) Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks . e) Ersetzen Sie den Ausdruck durch eine Potenz zur Basis 3.

Lösung.

a) Erinnern wir uns an das Korollar aus der Eigenschaft des Gradlogarithmus , dann können Sie sofort antworten: .

b) Hier verwenden wir die Formel von rechts nach links haben wir .

c) In diesem Fall führt die Formel zum Ergebnis . Wir bekommen .

d) Und hier genügt es, das Korollar anzuwenden, dem die Formel entspricht . So .

e) Die Eigenschaft des Logarithmus ermöglicht es uns, das gewünschte Ergebnis zu erzielen: .

Antworten:

a) . b) . in) . G) . e) .

Mehrere Eigenschaften konsequent anwenden

Echte Aufgaben zum Transformieren von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen sind normalerweise komplizierter als die, die wir im vorherigen Absatz behandelt haben. Bei ihnen erhält man das Ergebnis in der Regel nicht in einem Schritt, sondern die Lösung besteht bereits in der sequentiellen Anwendung einer Eigenschaft nach der anderen, nebst weiteren identischen Transformationen, wie Klammern öffnen, gleiche Terme kürzen, Brüche kürzen etc . Kommen wir also solchen Beispielen näher. Daran ist nichts Kompliziertes, die Hauptsache ist, vorsichtig und konsequent zu handeln und die Reihenfolge zu beachten, in der die Aktionen ausgeführt werden.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert eines Ausdrucks (log 3 15 − log 3 5) 7 log 7 5.

Lösung.

Die Differenz der Logarithmen in Klammern durch die Eigenschaft des Logarithmus des Quotienten kann durch den Logarithmus ersetzt werden log 3 (15:5) , und dann seinen Wert berechnen log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Und der Wert des Ausdrucks 7 log 7 5 nach der Definition des Logarithmus ist 5 . Setzen wir diese Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein, erhalten wir (log 3 15 − log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Hier ist eine Lösung ohne Erklärung:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= Log 3 3 5=1 5=5 .

Antworten:

(log 3 15 − log 3 5) 7 log 7 5 = 5.

Beispiel.

Welchen Wert hat der numerische Ausdruck log 3 log 2 2 3 −1 ?

Lösung.

Transformieren wir zunächst den Logarithmus, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, nach der Formel des Gradlogarithmus: log 2 2 3 =3. Also log 3 log 2 2 3 =log 3 3 und dann log 3 3=1 . Also log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Antworten:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Beispiel.

Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung.

Die Formel für die Umwandlung in eine neue Basis des Logarithmus ermöglicht die Darstellung des Verhältnisses von Logarithmen zu einer Basis als log 3 5 . In diesem Fall nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form an. Nach Definition des Logarithmus 3 log 3 5 =5 , das heißt , und der Wert des resultierenden Ausdrucks ist aufgrund derselben Definition des Logarithmus gleich zwei.

Hier ist eine kurze Version der Lösung, die normalerweise gegeben wird: .

Antworten:

.

Für einen reibungslosen Übergang zu den Informationen des nächsten Absatzes werfen wir einen Blick auf die Ausdrücke 5 2+log 5 3 und lg0.01 . Ihre Struktur passt zu keiner der Eigenschaften von Logarithmen. Was passiert also, wenn sie nicht mit den Eigenschaften von Logarithmen umgerechnet werden können? Es ist möglich, wenn Sie vorläufige Transformationen durchführen, die diese Ausdrücke für die Anwendung der Eigenschaften von Logarithmen vorbereiten. So 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, und lg0,01=lg10 −2 = −2 . Weiter werden wir im Detail verstehen, wie eine solche Vorbereitung von Ausdrücken durchgeführt wird.

Ausdrücke vorbereiten, um die Eigenschaften von Logarithmen anzuwenden

Logarithmen im umgewandelten Ausdruck unterscheiden sich sehr oft in der Struktur der Notation vom linken und rechten Teil von Formeln, die den Eigenschaften von Logarithmen entsprechen. Aber ebenso oft beinhaltet die Transformation dieser Ausdrücke die Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen: Ihre Verwendung erfordert nur eine vorbereitende Vorbereitung. Und diese Vorbereitung besteht darin, bestimmte identische Transformationen durchzuführen, die Logarithmen in eine Form bringen, die zum Anwenden von Eigenschaften geeignet ist.

Fairerweise stellen wir fest, dass fast jede Transformation von Ausdrücken als vorläufige Transformationen fungieren kann, von der banalen Reduktion ähnlicher Begriffe bis zur Verwendung trigonometrischer Formeln. Dies ist verständlich, da die konvertierten Ausdrücke beliebige mathematische Objekte enthalten können: Klammern, Module, Brüche, Wurzeln, Grade usw. Daher muss man bereit sein, jede erforderliche Transformation durchzuführen, um weiter von den Eigenschaften von Logarithmen zu profitieren.

Nehmen wir gleich an, dass wir uns in diesem Abschnitt nicht die Aufgabe stellen, alle denkbaren Vorabtransformationen zu klassifizieren und zu analysieren, die es uns erlauben, die Eigenschaften von Logarithmen oder die Definition eines Logarithmus in Zukunft anzuwenden. Hier konzentrieren wir uns auf nur vier von ihnen, die die charakteristischsten sind und in der Praxis am häufigsten anzutreffen sind.

Und nun ausführlich zu jedem von ihnen, wonach im Rahmen unseres Themas nur noch die Transformation von Ausdrücken mit Variablen unter den Vorzeichen von Logarithmen behandelt werden muss.

Auswahl von Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Basis

Beginnen wir gleich mit einem Beispiel. Lassen Sie uns einen Logarithmus haben. Offensichtlich ist seine Struktur in dieser Form nicht förderlich für die Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen. Ist es möglich, diesen Ausdruck irgendwie zu transformieren, um ihn zu vereinfachen oder seinen Wert noch besser zu berechnen? Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns die Zahlen 81 und 1/9 im Kontext unseres Beispiels genauer an. Hier ist leicht zu sehen, dass diese Zahlen als Potenz von 3 dargestellt werden können, nämlich 81=3 4 und 1/9=3 −2 . In diesem Fall wird der ursprüngliche Logarithmus im Formular dargestellt und die Formel kann angewendet werden . So, .

Die Analyse des analysierten Beispiels lässt folgende Überlegung aufkommen: Man kann versuchen, nach Möglichkeit den Grad unter dem Vorzeichen des Logarithmus und an seiner Basis hervorzuheben, um die Eigenschaft des Logarithmus des Grads bzw. seiner Folge anzuwenden. Es bleibt nur noch herauszufinden, wie man diese Grade herausgreifen kann. Wir werden einige Empfehlungen zu diesem Thema geben.

Manchmal ist es ziemlich offensichtlich, dass die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und / oder in seiner Basis eine ganzzahlige Potenz darstellt, wie in dem oben diskutierten Beispiel. Fast ständig hat man es mit Zweierpotenzen zu tun, die gut bekannt sind: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512 = 2 9 , 1024 = 2 10 . Dasselbe gilt für die Grade des Tripels: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Im Allgemeinen schadet es nicht, wenn es welche gibt Tabelle der Potenzen natürlicher Zahlen innerhalb von zehn. Es ist auch nicht schwierig, mit ganzzahligen Potenzen von Zehn, Hundert, Tausend usw. zu arbeiten.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert oder vereinfachen Sie den Ausdruck: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Lösung.

a) Offensichtlich ist 216=6 3 , also log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Die Potenztabelle der natürlichen Zahlen erlaubt uns, die Zahlen 343 und 1/243 als Potenzen von 7 3 bzw. 3 −4 darzustellen. Daher ist die folgende Transformation des gegebenen Logarithmus möglich:

c) Da 0,000001=10 −6 und 0,001=10 −3, dann log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Antworten:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2 .

In komplexeren Fällen müssen Sie auf die Potenzen von Zahlen zurückgreifen.

Beispiel.

Ändern Sie den Ausdruck in die einfachere Form log 3 648 log 2 3 .

Lösung.

Mal sehen, wie die Zahl 648 in Primfaktoren zerlegt wird:

Das heißt, 648 = 2 3 3 4 . Auf diese Weise, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Jetzt wandeln wir den Logarithmus des Produkts in die Summe der Logarithmen um, danach wenden wir die Eigenschaften des Gradlogarithmus an:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Aufgrund der Folgerung der Eigenschaft des Logarithmus des Grads, der der Formel entspricht , das Produkt log32 log23 ist das Produkt , und es ist bekannt, dass es gleich eins ist. In Anbetracht dessen erhalten wir 3 Log 3 2 Log 2 3+4 Log 2 3=3 1+4 Log 2 3=3+4 Log 2 3.

Antworten:

Protokoll 3 648 Protokoll 2 3=3+4 Protokoll 2 3.

Sehr oft sind Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Basis Produkte oder Verhältnisse der Wurzeln und / oder Potenzen einiger Zahlen, zum Beispiel , . Ähnliche Ausdrücke können als Grad dargestellt werden. Dazu wird der Übergang von Wurzeln zu Graden durchgeführt und angewendet. Mit diesen Transformationen können Sie die Grade unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Basis auswählen und dann die Eigenschaften von Logarithmen anwenden.

Beispiel.

Berechnen: a) , b).

Lösung.

a) Der Ausdruck in der Basis des Logarithmus ist das Produkt von Potenzen mit gleichen Basen, durch die entsprechende Eigenschaft von Potenzen, die wir haben 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Lassen Sie uns nun den Bruch unter dem Vorzeichen des Logarithmus umwandeln: Gehen wir von der Wurzel zum Grad über, danach verwenden wir die Eigenschaft des Verhältnisses von Graden mit denselben Basen: .

Es bleibt übrig, die erhaltenen Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck einzusetzen, verwenden Sie die Formel und beenden Sie die Transformation:

b) Da 729=3 6 und 1/9=3 −2 , kann der ursprüngliche Ausdruck umgeschrieben werden als .

Wenden Sie als Nächstes die Eigenschaft der Wurzel des Exponenten an, wechseln Sie von der Wurzel zum Exponenten und verwenden Sie die Verhältniseigenschaft der Potenzen, um die Basis des Logarithmus in eine Potenz umzuwandeln: .

Unter Berücksichtigung des letzten Ergebnisses haben wir .

Antworten:

a) , b).

Es ist klar, dass im allgemeinen Fall verschiedene Transformationen verschiedener Ausdrücke erforderlich sein können, um Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus und in seiner Basis zu erhalten. Lassen Sie uns ein paar Beispiele geben.

Beispiel.

Welchen Wert hat der Ausdruck: a) , b) .

Lösung.

Außerdem stellen wir fest, dass der gegebene Ausdruck die Form log A B p hat, wobei A=2 , B=x+1 und p=4 . Wir haben numerische Ausdrücke dieser Art gemäß der Eigenschaft des Logarithmus des Grades log a b p \u003d p log a b transformiert. Daher möchte ich mit einem bestimmten Ausdruck dasselbe tun und von log 2 (x + 1) 4 ausgehen bis 4 log 2 (x + 1) . Und jetzt berechnen wir den Wert des ursprünglichen Ausdrucks und den nach der Transformation erhaltenen Ausdruck, zum Beispiel mit x=−2 . Wir haben log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , und 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- bedeutungsloser Ausdruck. Dies wirft eine berechtigte Frage auf: „Was haben wir falsch gemacht“?

Und der Grund ist folgender: Wir haben die Transformation log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) durchgeführt, basierend auf der Formel log a b p = p log a b , aber wir haben das Recht, nur diese Formel anzuwenden wenn die Bedingungen a >0 , a≠1 , b>0 , p - jede reelle Zahl. Das heißt, die von uns durchgeführte Transformation findet statt, wenn x+1>0 , was dasselbe ist wie x>−1 (für A und p sind die Bedingungen erfüllt). Allerdings besteht in unserem Fall die ODZ der Variable x für den ursprünglichen Ausdruck nicht nur aus dem Intervall x> −1 , sondern auch aus dem Intervall x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Die Notwendigkeit, ODZ zu berücksichtigen

Analysieren wir weiter die Transformation des von uns gewählten Ausdrucks log 2 (x+1) 4 , und sehen wir uns nun an, was mit der ODZ passiert, wenn an den Ausdruck 4 log 2 (x+1) übergeben wird. Im vorherigen Absatz haben wir die ODZ des ursprünglichen Ausdrucks gefunden – dies ist die Menge (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Lassen Sie uns nun den Bereich der akzeptablen Werte der Variablen x für den Ausdruck 4 log 2 (x+1) finden. Sie wird durch die Bedingung x+1>0 bestimmt, die der Menge (−1, +∞) entspricht. Es ist offensichtlich, dass beim Übergang von log 2 (x+1) 4 zu 4·log 2 (x+1) der Bereich der zulässigen Werte schmaler wird. Und wir haben uns darauf geeinigt, Reformen zu vermeiden, die zu einer Einengung der ODZ führen, da dies zu verschiedenen negativen Folgen führen kann.

Hier ist es für sich selbst erwähnenswert, dass es nützlich ist, die ODZ bei jedem Schritt der Transformation zu kontrollieren und nicht zuzulassen, dass sie sich verengt. Und wenn es plötzlich in einem Stadium der Transformation zu einer Verengung der ODZ kam, dann lohnt es sich, sehr genau zu prüfen, ob diese Transformation zulässig ist und ob wir das Recht hatten, sie durchzuführen.

Fairerweise sagen wir, dass wir in der Praxis meist mit Ausdrücken arbeiten müssen, bei denen die ODZ von Variablen so ist, dass es uns erlaubt, die Eigenschaften von Logarithmen ohne Einschränkungen in der uns bereits bekannten Form zu verwenden, sowohl von links nach rechts als auch von von rechts nach links, wenn Transformationen durchgeführt werden. Daran gewöhnt man sich schnell und fängt an, die Transformationen mechanisch durchzuführen, ohne darüber nachzudenken, ob es möglich wäre, sie durchzuführen. Und in solchen Momenten schleichen sich glücklicherweise komplexere Beispiele durch, bei denen die ungenaue Anwendung der Eigenschaften von Logarithmen zu Fehlern führt. Sie müssen also immer wachsam sein und sicherstellen, dass die ODZ nicht eingeengt wird.

Es schadet nicht, die Haupttransformationen anhand der Eigenschaften von Logarithmen gesondert hervorzuheben, was sehr sorgfältig durchgeführt werden muss, was zu einer Verengung des DPV und damit zu Fehlern führen kann:

Einige Transformationen von Ausdrücken gemäß den Eigenschaften von Logarithmen können auch zum Gegenteil führen - der Erweiterung der ODZ. Wenn Sie beispielsweise von 4 log 2 (x+1) zu log 2 (x+1) 4 gehen, wird die ODZ von der Menge (−1, +∞) auf (−∞, −1)∪(−1, +∞) erweitert ) . Solche Transformationen finden statt, wenn Sie innerhalb der ODZ für den ursprünglichen Ausdruck bleiben. Die eben erwähnte Transformation 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 findet also auf der ODZ-Variablen x für den ursprünglichen Ausdruck 4 log 2 (x+1) statt, also wenn x+1> 0 , was dasselbe ist wie (−1, +∞) .

Nachdem wir nun die Nuancen besprochen haben, auf die Sie achten müssen, wenn Sie Ausdrücke mit Variablen mithilfe der Eigenschaften von Logarithmen konvertieren, müssen Sie noch herausfinden, wie diese Konvertierungen korrekt durchgeführt werden sollten.

X+2>0 . Funktioniert es in unserem Fall? Um diese Frage zu beantworten, werfen wir einen Blick auf den DPV der x-Variablen. Sie wird durch das System der Ungleichheiten bestimmt , was der Bedingung x+2>0 entspricht (siehe ggf. Artikel Lösung von Ungleichungssystemen). Daher können wir die Eigenschaft des Gradlogarithmus sicher anwenden.

Wir haben
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Sie können auch anders vorgehen, da Ihnen die ODZ dies ermöglicht, zum Beispiel so:

Antworten:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Und was tun, wenn die mit den Eigenschaften von Logarithmen verbundenen Bedingungen auf der ODZ nicht erfüllt sind? Wir werden dies anhand von Beispielen behandeln.

Lassen Sie uns den Ausdruck lg(x+2) 4 – lg(x+2) 2 vereinfachen. Die Transformation dieses Ausdrucks erlaubt im Gegensatz zum Ausdruck aus dem vorherigen Beispiel keine freie Verwendung der Eigenschaft des Gradlogarithmus. Wieso den? Die ODZ der Variablen x ist in diesem Fall die Vereinigung zweier Intervalle x>−2 und x<−2 . При x>−2 können wir die Eigenschaft des Gradlogarithmus getrost anwenden und wie im obigen Beispiel vorgehen: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Aber die ODZ enthält ein weiteres Intervall x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 und weiter aufgrund der Potenzeigenschaften von lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Der resultierende Ausdruck kann gemäß der Eigenschaft des Logarithmus des Grades transformiert werden, da |x+2|>0 für beliebige Werte der Variablen. Wir haben log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Jetzt können Sie das Modul loswerden, da es seine Arbeit getan hat. Da wir bei x+2 transformieren<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Betrachten wir ein weiteres Beispiel, um die Arbeit mit Modulen vertraut zu machen. Lassen Sie uns aus dem Ausdruck konzipieren auf die Summe und Differenz der Logarithmen der linearen Binome x−1 , x−2 und x−3 übergehen. Zuerst finden wir die ODZ:

Auf dem Intervall (3, +∞) sind die Werte der Ausdrücke x−1 , x−2 und x−3 positiv, sodass wir die Eigenschaften des Logarithmus von Summe und Differenz sicher anwenden können:

Und im Intervall (1, 2) sind die Werte des Ausdrucks x−1 positiv und die Werte der Ausdrücke x−2 und x−3 negativ. Daher stellen wir auf dem betrachteten Intervall x−2 und x−3 unter Verwendung des Modulo als −|x−2| dar und −|x−3| beziehungsweise. Dabei

Jetzt können wir die Eigenschaften des Logarithmus des Produkts und des Quotienten anwenden, da auf dem betrachteten Intervall (1, 2) die Werte der Ausdrücke x−1 , |x−2| und |x−3| - positiv.

Wir haben

Die erhaltenen Ergebnisse können kombiniert werden:

Im Allgemeinen ermöglicht eine ähnliche Argumentation, basierend auf den Formeln für den Logarithmus des Produkts, des Verhältnisses und des Grades, drei praktisch nützliche Ergebnisse zu erhalten, die sehr bequem zu verwenden sind:

• Der Logarithmus des Produkts zweier beliebiger Ausdrücke X und Y der Form log a (X·Y) kann durch die Summe der Logarithmen log a |X|+log a |Y| ersetzt werden , a>0 , a≠1 .
• Der spezielle Logarithmus log a (X:Y) kann durch die Differenz der Logarithmen log a |X|−log a |Y| ersetzt werden , a>0 , a≠1 , X und Y sind beliebige Ausdrücke.
• Vom Logarithmus eines Ausdrucks B zu einer geraden Potenz p der Form log a B p kann man zum Ausdruck p log a |B| übergehen , wobei a>0 , a≠1 , p eine gerade Zahl und B ein beliebiger Ausdruck ist.

Ähnliche Ergebnisse finden sich beispielsweise in Anweisungen zum Lösen von Exponential- und Logarithmusgleichungen in der Sammlung mathematischer Probleme für Studienbewerber, herausgegeben von M. I. Skanavi.

Beispiel.

Den Ausdruck vereinfachen .

Lösung.

Es wäre gut, die Eigenschaften des Logarithmus von Grad, Summe und Differenz anzuwenden. Aber können wir das hier? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die ODZ kennen.

Definieren wir es:

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Ausdrücke x+4 , x−2 und (x+4) 13 über den Bereich möglicher Werte der Variablen x sowohl positive als auch negative Werte annehmen können. Daher müssen wir Module durcharbeiten.

Moduleigenschaften ermöglichen Ihnen das Umschreiben als , so

Außerdem hindert Sie nichts daran, die Eigenschaft des Logarithmus des Grads zu verwenden und dann ähnliche Terme zu verwenden:

Eine weitere Abfolge von Transformationen führt zum gleichen Ergebnis:

und da der Ausdruck x−2 sowohl positive als auch negative Werte auf der ODZ annehmen kann, wenn man einen geraden Exponenten 14 nimmt

Art des Unterrichts: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens

Ziele:

• Aktualisierung der Kenntnisse der Studierenden über Logarithmen und deren Eigenschaften im Rahmen einer verallgemeinernden Wiederholung und Vorbereitung auf die Prüfung;
• Förderung der Entwicklung der geistigen Aktivität der Schüler, der Fähigkeit, theoretisches Wissen bei der Durchführung von Übungen anzuwenden;
• Förderung der Entwicklung persönlicher Qualitäten der Schüler, Fähigkeiten zur Selbstkontrolle und Selbsteinschätzung ihrer Aktivitäten; pflege Fleiß, Geduld, Ausdauer, Unabhängigkeit.

Ausrüstung: Computer, Beamer, Präsentation (Anhang 1), Karten mit Hausaufgaben (Sie können eine Datei mit einer Aufgabe in einem elektronischen Tagebuch anhängen).

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment. Hallo, mach dich bereit für den Unterricht.

II. Besprechung der Hausaufgaben.

III. Nachricht über das Thema und den Zweck der Lektion. Motivation.(Folie 1) Präsentation.

Wir setzen die verallgemeinernde Wiederholung des Mathematikkurses zur Prüfungsvorbereitung fort. Und heute werden wir in der Lektion über Logarithmen und ihre Eigenschaften sprechen.

Aufgaben zur Berechnung von Logarithmen und zur Umformung logarithmischer Ausdrücke sind in den Kontroll- und Messmaterialien sowohl der Grund- als auch der Profilstufe zwingend vorhanden. Daher besteht der Zweck unserer Lektion darin, Ideen über die Bedeutung des Konzepts „Logarithmus“ wiederherzustellen und die Fähigkeiten zum Konvertieren logarithmischer Ausdrücke zu aktualisieren. Notieren Sie das Thema der Lektion in Ihren Heften.

IV. Wissensaktualisierung.

1. /mündlich/ Erinnern wir uns zunächst an den sogenannten Logarithmus. (Folie 2)

(Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (wobei a > 0, a? 1) ist der Exponent, auf den Sie die Zahl a erhöhen müssen, um die Zahl b zu erhalten.)

Log a b = n<->ein n \u003d b, (a> 0, ein 1, b> 0)

„LOGARIFM“ ist also „EXPONENT“!

(Folie 3) Dann kann a n = b umgeschrieben werden als = b ist die logarithmische Hauptidentität.

Wenn die Basis a \u003d 10 ist, wird der Logarithmus als Dezimal bezeichnet und mit lgb bezeichnet.

Wenn a \u003d e, dann wird der Logarithmus als natürlich bezeichnet und mit lnb bezeichnet.

2. /geschrieben/ (Folie 4) Füllen Sie die Lücken aus, um die richtigen Gleichungen zu erhalten:

Protokoll? x + Log a ? = anmelden ? (?y)

einloggen? - Protokoll ? y = Protokoll ? (x/?)

Protokoll x ? = pLog ? (?)

Untersuchung:

eines; eines; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

Dies sind Eigenschaften von Logarithmen. Und eine weitere Gruppe von Eigenschaften: (Folie 5)

Untersuchung:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Mündliche Arbeit

(Folie 6) Nr. 1. Berechnung:

A B C D) ; e) .

Antworten : a) 4; b) - 2; in 2; d) 7; e) 27.

(Folie 7) Nr. 2. Finde X:

a) ; b) (Antworten: a) 1/4; b) 9).

Nummer 3. Macht es Sinn, einen solchen Logarithmus zu betrachten:

a) ; b) ; in) ? (Nein)

VI. Eigenständiges Arbeiten in Gruppen, starke Studenten - Berater. (Folie 8)

#1 Rechnen: .

#2 Vereinfachen:

Nr. 3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks if

#4 Vereinfachen Sie den Ausdruck:

#5 Berechnen:

#6 Berechnen:

#7 Berechnen:

#8 Berechnen:

Nach Fertigstellung - Überprüfung und Besprechung der vorbereiteten Lösung oder mit Hilfe einer Dokumentenkamera.

VII. Lösen einer Aufgabe mit erhöhter Komplexität(ein starker Schüler ist an der Tafel, der Rest ist in Heften) (Folie 9)

Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

VIII. Hausaufgaben (auf Karten) werden differenziert.(Folie 10)

Nr. 1. Berechnung:

Anweisung

Schreiben Sie den gegebenen logarithmischen Ausdruck auf. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Notation verkürzt und sieht so aus: lg b ist der Dezimallogarithmus. Wenn der Logarithmus die Zahl e zur Basis hat, dann wird der Ausdruck geschrieben: ln b ist der natürliche Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn Sie die Summe zweier Funktionen finden, müssen Sie sie nur einzeln differenzieren und die Ergebnisse addieren: (u+v)" = u"+v";

Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten zu multiplizieren und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion zu addieren: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Divisorfunktion zu subtrahieren und zu dividieren all dies durch die Divisorfunktion im Quadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Wenn eine komplexe Funktion gegeben ist, muss die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren multipliziert werden. Sei y=u(v(x)), dann y"(x)=y"(u)*v"(x).

Mit dem oben Erhaltenen können Sie fast jede Funktion unterscheiden. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Es gibt auch Aufgaben zur Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Sei die Funktion y=e^(x^2+6x+5) gegeben, du musst den Wert der Funktion am Punkt x=1 finden.
1) Finde die Ableitung der Funktion: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Berechnen Sie den Wert der Funktion am gegebenen Punkt y"(1)=8*e^0=8

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Nützlicher Rat

Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Dies wird viel Zeit sparen.

Quellen:

• konstante Ableitung

Was ist also der Unterschied zwischen einer irrationalen Gleichung und einer rationalen? Wenn die unbekannte Variable unter dem Quadratwurzelzeichen liegt, gilt die Gleichung als irrational.

Anweisung

Die Hauptmethode zum Lösen solcher Gleichungen ist die Methode, beide Teile zu erhöhen Gleichungen in ein Quadrat. Jedoch. Das ist natürlich, der erste Schritt ist, das Zeichen loszuwerden. Technisch ist diese Methode nicht schwierig, kann aber manchmal zu Problemen führen. Zum Beispiel die Gleichung v(2x-5)=v(4x-7). Wenn Sie beide Seiten quadrieren, erhalten Sie 2x-5=4x-7. Eine solche Gleichung ist nicht schwer zu lösen; x=1. Aber die Nummer 1 wird nicht vergeben Gleichungen. Wieso den? Ersetzen Sie die Einheit in der Gleichung anstelle des x-Werts, und die rechte und die linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben, das heißt. Ein solcher Wert gilt nicht für eine Quadratwurzel. Daher ist 1 eine fremde Wurzel, und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Die irrationale Gleichung wird also mit der Methode des Quadrierens ihrer beiden Teile gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst wurde, müssen fremde Wurzeln abgeschnitten werden. Setzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung ein.

Betrachten Sie einen anderen.
2x+vx-3=0
Natürlich kann diese Gleichung mit der gleichen Gleichung wie die vorherige gelöst werden. Transferverbindungen Gleichungen, die keine Quadratwurzel haben, auf die rechte Seite und verwenden Sie dann die Quadrierungsmethode. Lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber eine andere, elegantere. Geben Sie eine neue Variable ein; vx=y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung wie 2y2+y-3=0. Das ist die übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1=1 und y2=-3/2. Als nächstes lösen Sie zwei Gleichungen vx=1; vx \u003d -3/2. Die zweite Gleichung hat keine Nullstellen, aus der ersten finden wir x=1. Vergessen Sie nicht die Notwendigkeit, die Wurzeln zu überprüfen.

Das Lösen von Identitäten ist ganz einfach. Dies erfordert identische Transformationen, bis das Ziel erreicht ist. So wird mit Hilfe einfachster Rechenoperationen die Aufgabe gelöst.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff.

Anweisung

Die einfachsten Transformationen dieser Art sind algebraisch abgekürzte Multiplikationen (wie das Quadrat der Summe (Differenz), die Differenz der Quadrate, die Summe (Differenz), der Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten sind.

Tatsächlich ist das Quadrat der Summe zweier Terme gleich dem Quadrat des ersten plus zweimal dem Produkt aus dem ersten und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten, d. h. (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Vereinfachen Sie beides

Allgemeine Lösungsprinzipien

Wiederholen Sie aus einem Lehrbuch über mathematische Analyse oder höhere Mathematik, das ein bestimmtes Integral ist. Wie Sie wissen, ist die Lösung eines bestimmten Integrals eine Funktion, deren Ableitung einen Integranden ergibt. Diese Funktion heißt Stammfunktion. Nach diesem Prinzip werden die Basisintegrale konstruiert.
Bestimmen Sie anhand der Form des Integranden, welches der Tabellenintegrale in diesem Fall geeignet ist. Dies lässt sich nicht immer sofort feststellen. Oft macht sich die tabellarische Form erst nach mehreren Umformungen zur Vereinfachung des Integranden bemerkbar.

Variable Substitutionsmethode

Wenn der Integrand eine trigonometrische Funktion ist, deren Argument ein Polynom ist, versuchen Sie es mit der Methode der Variablenänderung. Ersetzen Sie dazu das Polynom im Argument des Integranden durch eine neue Variable. Bestimmen Sie anhand des Verhältnisses zwischen neuer und alter Variable die neuen Integrationsgrenzen. Finden Sie durch Differenzieren dieses Ausdrucks ein neues Differential in . So erhalten Sie eine neue Form des alten Integrals, die jedem Tabellenintegral nahe kommt oder sogar diesem entspricht.

Lösung von Integralen zweiter Art

Wenn das Integral ein Integral der zweiten Art ist, der Vektorform des Integranden, müssen Sie die Regeln für den Übergang von diesen Integralen zu skalaren Integralen anwenden. Eine solche Regel ist das Ostrogradsky-Gauß-Verhältnis. Dieses Gesetz ermöglicht es, von der Rotorströmung einer Vektorfunktion zu einem dreifachen Integral über die Divergenz eines gegebenen Vektorfeldes zu gelangen.

Substitution von Integrationsgrenzen

Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, müssen die Integrationsgrenzen ersetzt werden. Setzen Sie zuerst den Wert der Obergrenze in den Ausdruck für die Stammfunktion ein. Sie erhalten eine Nummer. Als nächstes subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl eine weitere Zahl, die resultierende untere Grenze für die Stammfunktion. Wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist, dann ist es beim Einsetzen in die Stammfunktion notwendig, bis zur Grenze zu gehen und herauszufinden, wozu der Ausdruck tendiert.
Wenn das Integral zweidimensional oder dreidimensional ist, müssen Sie die geometrischen Grenzen der Integration darstellen, um zu verstehen, wie das Integral berechnet wird. Tatsächlich können beispielsweise im Fall eines dreidimensionalen Integrals die Integrationsgrenzen ganze Ebenen sein, die das zu integrierende Volumen begrenzen.