Definition 1. Ein Punkt x einer unendlichen Geraden heißt Grenzpunkt der Folge (x n), wenn in einer beliebigen e-Umgebung dieses Punktes unendlich viele Elemente der Folge (x n) liegen.

Lemma 1. Wenn x ein Grenzpunkt der Folge (x k ) ist, können wir aus dieser Folge eine Teilfolge (x n k ) auswählen, die gegen die Zahl x konvergiert.

Kommentar. Auch die gegenteilige Aussage trifft zu. Wenn aus der Folge (x k) eine Teilfolge ausgewählt werden kann, die gegen die Zahl x konvergiert, dann ist die Zahl x der Grenzpunkt der Folge (x k). Tatsächlich gibt es in jeder e-Umgebung des Punktes x unendlich viele Elemente der Teilfolge und damit der Folge selbst (x k ).

Aus Lemma 1 folgt, dass wir den Grenzpunkt einer Folge anders definieren können, äquivalent zu Definition 1.

Definition 2. Ein Punkt x einer unendlichen Geraden heißt Grenzpunkt einer Folge (x k), wenn aus dieser Folge eine gegen x konvergierende Teilfolge ausgewählt werden kann.

Lemma 2. Jede konvergente Folge hat nur einen Grenzpunkt, der mit dem Grenzwert dieser Folge zusammenfällt.

Kommentar. Wenn die Folge konvergiert, dann hat sie nach Lemma 2 nur einen Grenzpunkt. Wenn (xn) jedoch nicht konvergent ist, kann es mehrere Grenzpunkte (und im Allgemeinen unendlich viele Grenzpunkte) haben. Zeigen wir zum Beispiel, dass (1+(-1) n ) zwei Grenzpunkte hat.

Tatsächlich hat (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... zwei Grenzpunkte 0 und 2, weil Teilfolgen (0)=0,0,0,... und (2)=2,2,2,... dieser Folge haben Grenzen der Zahlen 0 bzw. 2. Diese Folge hat keine anderen Grenzpunkte. Tatsächlich sei x ein beliebiger Punkt auf der Zahlenachse außer den Punkten 0 und 2. Nehmen wir also e > 0 an

klein, so dass e - Umgebungen der Punkte 0, x und 2 sich nicht schneiden. Die e-Umgebung der Punkte 0 und 2 enthält alle Elemente der Folge und daher kann die e-Umgebung des Punktes x nicht unendlich viele Elemente (1+(-1) n ) enthalten und ist daher kein Grenzpunkt dieser Folge.

Satz. Jede beschränkte Folge hat mindestens einen Grenzpunkt.

Kommentar. Keine Zahl x größer als , ist ein Grenzpunkt der Folge (x n), d.h. - der größte Grenzpunkt der Sequenz (x n).

Sei x eine beliebige Zahl größer als . Wählen wir e>0 so klein, dass

und x 1 О(x), rechts von x 1 gibt es endlich viele Elemente der Folge (x n) oder gar keine, d.h. x ist kein Grenzpunkt der Folge (x n ).

Definition. Der größte Grenzpunkt der Folge (x n) wird Obergrenze der Folge genannt und mit dem Symbol bezeichnet. Aus der Bemerkung folgt, dass jede beschränkte Folge eine Obergrenze hat.

Ebenso wird das Konzept einer unteren Grenze eingeführt (als kleinster Grenzpunkt der Folge (x n )).

Damit haben wir die folgende Aussage bewiesen. Jede beschränkte Folge hat Ober- und Untergrenzen.

Lassen Sie uns den folgenden Satz ohne Beweis formulieren.

Satz. Damit die Folge (x n) konvergent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie beschränkt ist und dass ihre Ober- und Untergrenze übereinstimmen.

Die Ergebnisse dieses Abschnitts führen zum folgenden Hauptsatz von Bolzano-Weierstrass.

Satz von Bolzano-Weierstraß. Aus jeder beschränkten Folge kann man eine konvergente Teilfolge auswählen.

Nachweisen. Da die Folge (x n ) beschränkt ist, hat sie mindestens einen Grenzpunkt x. Dann können wir aus dieser Folge eine Teilfolge auswählen, die zum Punkt x konvergiert (folgt aus Definition 2 des Grenzpunkts).

Kommentar. Aus jeder beschränkten Folge kann man eine monoton konvergente Folge isolieren.

Definition v.7. Ein Punkt x € R auf der Zahlengeraden heißt Grenzpunkt einer Folge (xn), wenn es für jede Umgebung U (x) und jede natürliche Zahl N möglich ist, ein zu dieser Umgebung gehörendes Element xn mit einer Zahl größer als zu finden LG, d.h. x 6 R - Grenzpunkt wenn. Mit anderen Worten: Ein Punkt x ist ein Grenzpunkt für (xn), wenn eine seiner Umgebungen Elemente dieser Folge mit beliebig großen Zahlen enthält, wenn auch möglicherweise nicht alle Elemente mit Zahlen n > N. Daher ist die folgende Aussage ziemlich offensichtlich . Aussage b.b. Wenn lim(xn) = 6 6 R, dann ist b der einzige Grenzpunkt der Folge (xn). Tatsächlich fallen aufgrund der Definition 6.3 des Grenzwerts einer Folge alle ihre Elemente ab einer bestimmten Zahl in jede beliebig kleine Umgebung von Punkt 6, und daher können Elemente mit beliebig großen Zahlen nicht in die Umgebung eines anderen Punktes fallen . Folglich ist die Bedingung der Definition 6.7 nur für einen einzelnen Punkt 6 erfüllt. Allerdings ist nicht jeder Grenzpunkt (manchmal auch dünner kondensierter Punkt genannt) einer Folge ihr Grenzwert. Somit hat die Folge (b.b) keinen Grenzwert (siehe Beispiel 6.5), aber zwei Grenzpunkte x = 1 und x = - 1. Die Folge ((-1)pp) hat zwei unendliche Punkte +oo und als Grenzpunkte - mit dem erweiterten Zahlenstrahl, dessen Vereinigung durch ein Symbol oo bezeichnet wird. Deshalb können wir annehmen, dass die unendlichen Grenzpunkte zusammenfallen und der unendliche Punkt oo nach (6.29) der Grenzwert dieser Folge ist. Grenzpunkte der Folgezahlengeraden. Beweis des Weierstrass-Tests und des Cauchy-Kriteriums. Die Folge (jn) sei gegeben und die Zahlen k bilden eine aufsteigende Folge positiver ganzer Zahlen. Dann wird die Folge (Vnb mit yn = xkn> eine Teilfolge der ursprünglichen Folge genannt. Wenn (i„) die Zahl 6 als Grenzwert hat, dann hat natürlich jede seiner Teilfolgen denselben Grenzwert, da sie von einer bestimmten Zahl ausgeht alle Elemente sowohl der Originalfolge als auch aller ihrer Teilfolgen fallen in eine beliebige gewählte Umgebung von Punkt 6. Gleichzeitig ist jeder Grenzpunkt einer Teilfolge auch ein Grenzpunkt für die Folge. Satz 9. Von jeder Folge, die a Grenzpunkt kann man eine Teilfolge wählen, die diesen Grenzpunkt als Grenzwert hat. Sei b der Grenzpunkt der Folge (xn), dann gemäß Definition 6. 7 Grenzpunkt, für jedes n gibt es ein Element, das zur Umgebung U (6, 1/n) des Punktes b mit dem Radius 1/n gehört. Die Teilfolge bestehend aus den Punkten ijtj, ...1 ..., wobei zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N ist, hat einen Grenzwert am Punkt 6. Tatsächlich kann man für ein beliebiges e > 0 N wählen so dass. Dann fallen alle Elemente der Teilfolge, beginnend mit der Zahl km, in die ^-Umgebung U(6, e) von Punkt 6, was der Bedingung 6.3 der Definition des Grenzwerts der Folge entspricht. Der umgekehrte Satz ist ebenfalls wahr. Grenzpunkte der Folgezahlengeraden. Beweis des Weierstrass-Tests und des Cauchy-Kriteriums. Satz 8.10. Wenn eine Folge eine Teilfolge mit Grenzwert 6 hat, dann ist b der Grenzpunkt dieser Folge. Aus Definition 6.3 des Grenzwertes einer Folge folgt, dass ab einer bestimmten Anzahl alle Elemente der Teilfolge mit Grenzwert b in eine Umgebung U(b,​e) mit beliebigem Radius e fallen. Da die Elemente der Teilfolge sind gleichzeitig Elemente der Folge (xn) > die Elemente xn fallen mit ebenso vielen beliebig großen Zahlen in diese Umgebung, und dies bedeutet aufgrund der Definition 6.7, dass b der Grenzpunkt der Folge (n) ist. Bemerkung 0.2. Die Sätze 6.9 und 6.10 gelten auch für den Fall, dass der Grenzpunkt unendlich ist, wenn wir beim Beweis der Merto-Nachbarschaft von U(6, 1 /n) die Nachbarschaft (oder Nachbarschaften) berücksichtigen. Die Bedingung, unter der eine konvergente Teilfolge vorliegt aus einer Folge isoliert werden kann, wird durch den folgenden Satz festgestellt. Satz 6.11 (Bolzano - Weierstrass). Jede beschränkte Folge enthält eine Teilfolge, die gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Alle Elemente der Folge (an) seien zwischen den Zahlen a und 6 , also xn € [a, b] Vn € N. Teilen Sie das Segment [a , b] in zwei Hälften. Dann enthält mindestens eine seiner Hälften unendlich viele Elemente der Folge, da sonst das gesamte Segment [a, b] b] würde eine endliche Anzahl davon enthalten, was unmöglich ist. Sei ] das der Hälften des Segments [a , 6], das eine unendliche Menge von Elementen der Folge (zn) enthält (oder wenn beide Hälften solche sind). , dann eines von ihnen). Ebenso aus dem Segment, das eine unendliche Menge von Elementen der Sequenz enthält usw. In Fortsetzung dieses Prozesses werden wir ein System verschachtelter Segmente mit bn - an = (6- a)/2P konstruieren. Nach dem Prinzip der verschachtelten Segmente gibt es zu allen diesen Segmenten einen Punkt x. Dieser Punkt ist der Grenzpunkt für die Folge (xn) – Tatsächlich gibt es für jede E-Nachbarschaft U(x, e) = (xx + e) ​​​​​​Punkt x ein Segment C U(x, e) (it Es genügt, n aus der Ungleichung ( auszuwählen, die unendlich viele Elemente der Folge (sn) enthält. Nach Definition 6.7 ist x der Grenzpunkt dieser Folge. Dann gibt es nach Satz 6.9 eine Teilfolge, die gegen den Punkt x konvergiert. Die im Beweis dieses Theorems verwendete Argumentationsmethode (manchmal auch Bolzano-Weyer-Strass-Lemma genannt) und mit der sequentiellen Halbierung der betrachteten Segmente verbunden ist, ist als Bolzano-Methode bekannt. Dieser Satz vereinfacht den Beweis vieler komplexer Theoreme erheblich. Es ermöglicht Ihnen, eine Reihe wichtiger Theoreme auf andere (manchmal einfachere) Weise zu beweisen. Anhang 6.2. Beweis des Weierstrass-Tests und des Cauchy-Kriteriums Zunächst beweisen wir Aussage 6.1 (Weierstrass-Test für die Konvergenz einer beschränkten monotonen Folge). Nehmen wir an, dass die Folge (jn) nicht abnehmend ist. Dann ist die Menge ihrer Werte nach oben beschränkt und hat nach Satz 2.1 ein Supremum, das wir mit sup(xn) be R bezeichnen. Aufgrund der Eigenschaften des Supremums (siehe 2.7) sind Grenzpunkte der Folge die Zahl Linie. Beweis des Weierstrass-Tests und des Cauchy-Kriteriums. Gemäß Definition 6.1 gilt für eine nicht abnehmende Folge oder Dann > Ny und unter Berücksichtigung von (6.34) erhalten wir, dass der Grenzwert der Folge der Definition 6.3 entspricht, d. h. 31im(sn) und lim(xn) = 66R. Wenn die Folge (xn) nicht wachsend ist, ist der Beweisverlauf ähnlich. Kommen wir nun zum Beweis der Hinlänglichkeit des Kochia-Kriteriums für die Konvergenz einer Folge (siehe Aussage 6.3), da die Notwendigkeit der Kriteriumsbedingung aus Satz 6.7 folgt. Die Folge (jn) sei grundlegend. Gemäß Definition 6.4 kann man bei einem beliebigen € > 0 eine Zahl N(s) finden, so dass m^N und n^N implizieren. Wenn wir dann m - N annehmen, erhalten wir für Vn > N € £. Da die betrachtete Folge eine endliche Anzahl von Elementen mit einer Anzahl von nicht mehr als N hat, folgt aus (6.35), dass die Grundfolge beschränkt ist (zum Vergleich siehe die Beweis von Satz 6.2 über die Beschränktheit einer konvergenten Folge). Für eine Menge von Werten einer beschränkten Folge gibt es Infimum- und Supremum-Grenzen (siehe Satz 2.1). Für die Menge der Elementwerte für n > N bezeichnen wir diese Flächen mit an = inf xn bzw. bjy = sup xn. Wenn N zunimmt, nimmt das genaue Infimum nicht ab und das genaue Supremum nimmt nicht zu, d. h. . Bekomme ich eine Klimaanlage? Segmente Nach dem Prinzip der verschachtelten Segmente gibt es einen gemeinsamen Punkt, der zu allen Segmenten gehört. Bezeichnen wir es mit b. Somit ergibt sich beim From-Vergleich (6. 36) und (6.37) als Ergebnis erhalten wir, dass der Definition 6.3 des Grenzwertes der Folge entspricht, d.h. 31im(x„) und lim(sn) = 6 6 R. Bolzano begann, grundlegende Folgen zu studieren. Aber er verfügte nicht über eine strenge Theorie der reellen Zahlen und war daher nicht in der Lage, die Konvergenz der Fundamentalfolge zu beweisen. Cauchy tat dies und ging dabei vom Prinzip der verschachtelten Segmente aus, das Cantor später konkretisierte. Nicht nur das Kriterium für die Konvergenz einer Folge trägt den Namen Cauchy, auch die Grundfolge wird oft als Cauchy-Folge bezeichnet, und das Prinzip der verschachtelten Segmente ist nach Cantor benannt. Fragen und Aufgaben 8.1. Beweisen Sie: 6.2. Nennen Sie Beispiele für nichtkonvergente Folgen mit Elementen, die zu den Mengen Q und R\Q gehören. 0,3. Unter welchen Bedingungen bilden die Terme arithmetischer und geometrischer Folgen abnehmende und steigende Folgen? 6.4. Beweisen Sie die Beziehungen, die sich aus der Tabelle ergeben. 6.1. 6.5. Konstruieren Sie Beispiele für Folgen, die zu den unendlichen Punkten +oo, -oo, oo tendieren, und ein Beispiel für eine Folge, die zum Punkt 6 € R konvergiert. c.v. Kann eine unbeschränkte Folge nicht b.b. sein? Wenn ja, dann geben Sie ein Beispiel. um 7. Konstruieren Sie ein Beispiel für eine divergente Folge bestehend aus positiven Elementen, die weder einen endlichen noch einen unendlichen Grenzwert hat. 6.8. Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (jn), die durch die wiederkehrende Formel sn+i = sin(xn/2) unter der Bedingung „1 = 1“ gegeben ist. 6.9. Beweisen Sie, dass lim(xn)=09 gilt, wenn sn+i/xn-»g€ .

Teilen Sie das Segment [ A 0 ,B 0 ] in zwei gleiche Segmente halbieren. Mindestens eines der resultierenden Segmente enthält unendlich viele Terme der Folge. Bezeichnen wir es als [ A 1 ,B 1 ] .

Im nächsten Schritt wiederholen wir den Vorgang mit dem Segment [ A 1 ,B 1 ]: Teilen Sie es in zwei gleiche Segmente und wählen Sie daraus dasjenige aus, auf dem unendlich viele Glieder der Folge liegen. Bezeichnen wir es als [ A 2 ,B 2 ] .

Wenn wir den Prozess fortsetzen, erhalten wir eine Folge verschachtelter Segmente

wobei jedes nachfolgende die Hälfte des vorherigen ist und eine unendliche Anzahl von Gliedern der Folge enthält ( X k } .

Die Längen der Segmente tendieren gegen Null:

Aufgrund des Cauchy-Cantor-Prinzips verschachtelter Segmente gibt es einen einzigen Punkt ξ, der zu allen Segmenten gehört:

Durch Konstruktion auf jedem Segment [A M ,B M ] Es gibt unendlich viele Glieder der Folge. Wählen wir nacheinander aus

unter Beachtung der Bedingung steigender Zahlen:

Dann konvergiert die Teilfolge zum Punkt ξ. Dies folgt aus der Tatsache, dass der Abstand von bis ξ die Länge des Segments, das sie enthält, nicht überschreitet [A M ,B M ] , Wo

Erweiterung auf den Fall eines Raums beliebiger Dimension

Der Satz von Bolzano-Weierstrass lässt sich leicht auf den Fall eines Raums beliebiger Dimension verallgemeinern.

Gegeben sei eine Folge von Punkten im Raum:

(Der untere Index ist die Nummer des Sequenzmitglieds, der obere Index ist die Koordinatennummer). Wenn die Folge von Punkten im Raum begrenzt ist, dann gilt für jede der numerischen Koordinatenfolgen:

auch begrenzt ( - Koordinatennummer).

Aufgrund der eindimensionalen Version des Bolzano-Weirstraß-Theorems aus der Folge ( X k) können wir eine Teilfolge von Punkten auswählen, deren erste Koordinaten eine konvergente Folge bilden. Aus der resultierenden Teilfolge wählen wir erneut eine Teilfolge aus, die entlang der zweiten Koordinate konvergiert. In diesem Fall bleibt die Konvergenz entlang der ersten Koordinate erhalten, da jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenfalls konvergiert. Usw.

Nach N wir erhalten eine bestimmte Abfolge von Schritten

Dies ist eine Teilfolge von und konvergiert entlang jeder der Koordinaten. Daraus folgt, dass diese Teilfolge konvergiert.

Geschichte

Satz von Bolzano-Weierstraß (für den Fall N= 1) wurde erstmals 1817 vom tschechischen Mathematiker Bolzano bewiesen. In Bolzanos Werk fungierte es als Lemma beim Beweis des Satzes über Zwischenwerte einer stetigen Funktion, der heute als Satz von Bolzano-Cauchy bekannt ist. Diese und andere Ergebnisse, die Bolzano lange vor Cauchy und Weierstrass bewiesen hatte, blieben jedoch unbeachtet.

Nur ein halbes Jahrhundert später entdeckte und bewies Weierstraß, unabhängig von Bozen, diesen Satz wieder. Ursprünglich als Satz von Weierstrass bezeichnet, bevor Bolzanos Arbeit bekannt und akzeptiert wurde.

Heute trägt dieser Satz die Namen Bozen und Weierstraß. Dieser Satz wird oft aufgerufen Bolzano-Weierstrass-Lemma, und manchmal Grenzpunkt-Lemma.

Der Bolzano-Weierstrass-Satz und das Konzept der Kompaktheit

Der Satz von Bolzano-Weierstrass begründet die folgende interessante Eigenschaft einer beschränkten Menge: jede Folge von Punkten M enthält eine konvergente Teilfolge.

Beim Beweisen verschiedener Aussagen in der Analysis greifen sie oft auf die folgende Technik zurück: Sie bestimmen eine Folge von Punkten, die eine gewünschte Eigenschaft hat, und wählen dann daraus eine Teilfolge aus, die diese ebenfalls hat, aber bereits konvergent ist. Auf diese Weise wird beispielsweise der Satz von Weierstrass bewiesen, dass eine auf einem Intervall stetige Funktion beschränkt ist und ihren größten und kleinsten Wert annimmt.

Die Wirksamkeit einer solchen Technik im Allgemeinen sowie der Wunsch, den Satz von Weierstrass auf beliebige metrische Räume auszudehnen, veranlassten den französischen Mathematiker Maurice Fréchet, das Konzept im Jahr 1906 einzuführen Kompaktheit. Die durch den Satz von Bolzano-Weierstrass festgelegte Eigenschaft beschränkter Mengen in , besteht im übertragenen Sinne darin, dass die Punkte der Menge ziemlich „nah“ oder „kompakt“ liegen: Nachdem wir unendlich viele Schritte entlang dieser Menge gemacht haben, werden wir dies tun Mit Sicherheit kommen wir einem Punkt im Weltraum so nahe, wie wir möchten.

Frechet führt die folgende Definition ein: set M angerufen kompakt, oder kompakt, wenn jede Folge ihrer Punkte eine Teilfolge enthält, die gegen einen Punkt dieser Menge konvergiert. Es wird davon ausgegangen, dass am Set M Die Metrik ist definiert, das heißt, sie ist es

Es wird ein Beweis des Bolzano-Weierstrass-Theorems gegeben. Hierzu wird das Lemma auf verschachtelten Segmenten verwendet.

Inhalt

Siehe auch: Lemma auf verschachtelten Segmenten

Aus jeder beschränkten Folge reeller Zahlen kann eine Teilfolge ausgewählt werden, die gegen eine endliche Zahl konvergiert. Und aus jeder unbeschränkten Folge – einer unendlich großen Teilfolge, die gegen oder gegen konvergiert.

Das Bolzano-Weierstrass-Theorem lässt sich auf diese Weise formulieren.

Aus jeder Folge reeller Zahlen ist es möglich, eine Teilfolge auszuwählen, die entweder gegen eine endliche Zahl oder gegen oder gegen konvergiert.

Beweis des ersten Teils des Satzes

Um den ersten Teil des Satzes zu beweisen, wenden wir das Nested-Segment-Lemma an.

Die Folge sei beschränkt. Das bedeutet, dass es eine positive Zahl M gibt, sodass für alle n gilt:
.
Das heißt, alle Mitglieder der Sequenz gehören zu dem Segment, das wir als bezeichnen. Hier . Länge des ersten Segments. Nehmen wir ein beliebiges Element der Sequenz als erstes Element der Teilsequenz. Bezeichnen wir es als .

Teilen Sie das Segment in zwei Hälften. Wenn seine rechte Hälfte unendlich viele Elemente der Sequenz enthält, dann nimm die rechte Hälfte als nächstes Segment. Ansonsten nehmen wir die linke Hälfte. Als Ergebnis erhalten wir ein zweites Segment, das unendlich viele Elemente der Sequenz enthält. Die Länge dieses Segments. Wenn wir hier die rechte Hälfte nehmen würden; und - falls übrig. Als zweites Element der Teilfolge nehmen wir jedes zum zweiten Segment gehörende Element der Folge mit einer Zahl größer als n 1 . Bezeichnen wir es als ().

Auf diese Weise wiederholen wir den Vorgang des Teilens der Segmente. Teilen Sie das Segment in zwei Hälften. Wenn seine rechte Hälfte unendlich viele Elemente der Sequenz enthält, dann nimm die rechte Hälfte als nächstes Segment. Ansonsten nehmen wir die linke Hälfte. Als Ergebnis erhalten wir ein Segment, das unendlich viele Elemente der Sequenz enthält. Die Länge dieses Segments. Als Element der Teilfolge nehmen wir jedes Element der Folge, das zu einem Segment mit einer Zahl größer als n gehört k.

Als Ergebnis erhalten wir eine Teilfolge und ein System verschachtelter Segmente
.
Darüber hinaus gehört jedes Element der Teilsequenz zum entsprechenden Segment:
.

Da die Längen der Segmente gegen Null tendieren, gibt es gemäß dem Lemma für verschachtelte Segmente einen eindeutigen Punkt c, der zu allen Segmenten gehört.

Zeigen wir, dass dieser Punkt der Grenzwert der Teilfolge ist:
.
In der Tat, da die Punkte und c zu einem Längensegment gehören, dann
.
Denn nach dem Zwischensequenzsatz gilt
. Von hier
.

Der erste Teil des Satzes ist bewiesen.

Beweis des zweiten Teils des Satzes

Die Folge sei unbegrenzt. Das bedeutet, dass es für jede Zahl M ein n gibt, so dass
.

Betrachten Sie zunächst den Fall, dass die Folge rechts unbeschränkt ist. Das heißt, für jedes M > 0 , es gibt n davon
.

Nehmen Sie als erstes Element der Teilsequenz ein beliebiges Element der Sequenz, das größer als eins ist:
.
Als zweites Element der Teilfolge nehmen wir jedes beliebige Element der Folge, das größer als zwei ist:
,
und zu .
Usw. Als k-tes Element der Teilfolge nehmen wir ein beliebiges Element
,
Und .
Als Ergebnis erhalten wir eine Teilfolge, deren jedes Element die Ungleichung erfüllt:
.

Wir geben die Zahlen M und N M ein und verbinden sie mit den folgenden Beziehungen:
.
Daraus folgt, dass man für jede Zahl M eine natürliche Zahl wählen kann, so dass für alle natürlichen Zahlen k > ist
Das bedeutet es
.

Betrachten Sie nun den Fall, dass die Folge rechts beschränkt ist. Da es unbegrenzt ist, muss es unbegrenzt bleiben. In diesem Fall wiederholen wir die Begründung mit geringfügigen Änderungen.

Wir wählen eine Teilfolge so, dass ihre Elemente die Ungleichungen erfüllen:
.
Dann geben wir die Zahlen M und N M ein und verbinden sie mit den folgenden Beziehungen:
.
Dann kann man für jede Zahl M eine natürliche Zahl wählen, so dass für alle natürlichen Zahlen k > N M die Ungleichung gilt.
Das bedeutet es
.

Der Satz ist bewiesen.

Siehe auch: