Mit dem Unterschied, dass wir statt "flacher" Graphen die gängigsten räumlichen Oberflächen betrachten und auch lernen, wie man sie korrekt von Hand baut. Ich habe lange nach Softwaretools zum Erstellen von 3D-Zeichnungen gesucht und ein paar gute Anwendungen gefunden, aber trotz aller Benutzerfreundlichkeit lösen diese Programme ein wichtiges praktisches Problem nicht gut. Tatsache ist, dass die Schüler in absehbarer historischer Zukunft immer noch mit einem Lineal mit Bleistift bewaffnet sein werden und selbst mit einer hochwertigen "Maschinen" -Zeichnung viele nicht in der Lage sein werden, sie korrekt auf kariertes Papier zu übertragen. Daher im Handbuch Besondere Aufmerksamkeit achtete auf die Technik der manuellen Konstruktion, und ein wesentlicher Teil der Illustrationen auf der Seite ist ein handgefertigtes Produkt.

Wie unterscheidet sich dieses Referenzmaterial von Analoga?

Aufgrund meiner guten praktischen Erfahrung weiß ich sehr gut, welche Oberflächen in echten Problemen der höheren Mathematik am häufigsten behandelt werden, und ich hoffe, dass dieser Artikel Ihnen hilft, Ihr Gepäck schnell mit relevantem Wissen und angewandten Fähigkeiten aufzufüllen, was zu 90-95% Fälle sind sollte genügen.

Was müssen Sie jetzt wissen?

Das elementarste:

Erstens müssen Sie in der Lage sein richtig bauen räumliches kartesisches Koordinatensystem (siehe Anfang des Artikels Graphen und Eigenschaften von Funktionen) .

Was werden Sie gewinnen, nachdem Sie diesen Artikel gelesen haben?

Flasche Nachdem Sie die Materialien der Lektion gemeistert haben, lernen Sie, wie Sie die Art der Oberfläche anhand ihrer Funktion und / oder Gleichung schnell bestimmen, sich vorstellen, wie sie sich im Raum befindet, und natürlich Zeichnungen anfertigen. Es ist in Ordnung, wenn beim ersten Lesen nicht alles in Ihren Kopf passt - Sie können später bei Bedarf jederzeit zu jedem Absatz zurückkehren.

Informationen liegen in der Macht aller – für ihre Erschließung braucht man kein Superwissen, besonderes künstlerisches Talent und räumliches Vorstellungsvermögen.

Start!

In der Praxis ist meist die räumliche Oberfläche gegeben Funktion zweier Variablen oder eine Gleichung der Form (die Konstante der rechten Seite ist meistens gleich null oder eins). Die erste Bezeichnung ist eher typisch für die mathematische Analyse, die zweite - für Analytische Geometrie. Die Gleichung ist im Wesentlichen implizit gegeben Funktion von 2 Variablen, die in typischen Fällen leicht auf die Form reduziert werden kann. Ich erinnere Sie an das einfachste Beispiel c :

–Ebenengleichung nett.

ist die Ebenenfunktion in ausdrücklich .

Fangen wir damit an:

Allgemeine Ebenengleichungen

Auf typische Möglichkeiten der Anordnung von Ebenen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird gleich zu Beginn des Artikels ausführlich eingegangen. Ebenengleichung. Trotzdem gehen wir noch einmal auf Gleichungen ein, die für die Praxis von großer Bedeutung sind.

Zunächst müssen Sie die Gleichungen von Ebenen, die parallel zu den Koordinatenebenen sind, vollständig erkennen. Fragmente von Ebenen werden normalerweise als Rechtecke dargestellt, die in den letzten beiden Fällen wie Parallelogramme aussehen. Standardmäßig können Sie beliebige Abmessungen wählen (natürlich innerhalb vernünftiger Grenzen), während es wünschenswert ist, dass der Punkt, an dem die Koordinatenachse die Ebene „durchdringt“, das Symmetriezentrum ist:


Genau genommen hätten die Koordinatenachsen an einigen Stellen mit einer gepunkteten Linie dargestellt werden müssen, aber um Verwirrung zu vermeiden, werden wir diese Nuance vernachlässigen.

– (linke Zeichnung) die Ungleichheit definiert den am weitesten von uns entfernten Halbraum, ausschließlich der Ebene selbst;

– (mittlere Zeichnung) die Ungleichung definiert den rechten Halbraum, einschließlich der Ebene;

– (rechte Zeichnung) eine doppelte Ungleichung spezifiziert eine "Schicht", die sich zwischen den Ebenen befindet, einschließlich beider Ebenen.

Für das Selbsttraining:

Beispiel 1

Zeichne einen durch Ebenen begrenzten Körper
Erstellen Sie ein System von Ungleichungen, die den gegebenen Körper definieren.

Ein alter Bekannter sollte unter der Mine Ihres Bleistifts hervorkommen Quader. Vergessen Sie nicht, dass unsichtbare Kanten und Flächen mit einer gepunkteten Linie gezeichnet werden müssen. Fertige Zeichnung am Ende der Lektion.

Bitte, NICHT VERGESSEN Lernaufgaben, auch wenn sie zu einfach erscheinen. Andernfalls kann sich herausstellen, dass sie es einmal verpasst haben, es zweimal verpasst haben und dann eine Stunde damit verbracht haben, eine dreidimensionale Zeichnung in einem echten Beispiel zu schleifen. Darüber hinaus hilft die mechanische Arbeit, den Stoff viel effizienter zu lernen und Intelligenz zu entwickeln! Es ist kein Zufall, dass in Kindergarten und Grundschule, Kinder sind mit Zeichnen, Modellieren, Gestalten und anderen Aufgaben für die Feinmotorik der Finger geladen. Verzeiht mir die Abschweifung, aber meine beiden Notizbücher zur Entwicklungspsychologie sollen nicht verschwinden =)

Wir werden die folgende Gruppe von Ebenen bedingt als „direkte Proportionen“ bezeichnen - dies sind Ebenen, die durch die Koordinatenachsen verlaufen:

2) die Gleichung der Form definiert eine Ebene, die durch die Achse verläuft;

3) Die Gleichung der Form definiert eine Ebene, die durch die Achse verläuft.

Obwohl das formale Zeichen offensichtlich ist (welche Variable fehlt in der Gleichung - die Ebene geht durch diese Achse), ist es immer nützlich, die Essenz der stattfindenden Ereignisse zu verstehen:

Beispiel 2

Flugzeug bauen

Wie baut man am besten? Ich schlage folgenden Algorithmus vor:

Zuerst schreiben wir die Gleichung in die Form um, woraus klar ersichtlich ist, dass das „y“ nehmen kann irgendein Werte. Wir fixieren den Wert , das heißt, wir betrachten die Koordinatenebene . Der Gleichungssatz räumliche Linie in der gegebenen Koordinatenebene liegen. Lassen Sie uns diese Linie auf der Zeichnung zeichnen. Die Linie verläuft durch den Ursprung, um sie zu konstruieren, reicht es aus, einen Punkt zu finden. Lassen . Setze einen Punkt beiseite und zeichne eine Linie.

Nun zurück zur Ebenengleichung. Da nimmt das "y". irgendein Werte, so wird die in der Ebene konstruierte Gerade kontinuierlich nach links und rechts „nachgebildet“. So entsteht unsere Ebene, die durch die Achse verläuft. Um die Zeichnung zu vervollständigen, legen wir links und rechts von der geraden Linie zwei parallele Linien beiseite und „schließen“ das symbolische Parallelogramm mit horizontalen Quersegmenten:

Da der Zustand keine zusätzlichen Einschränkungen auferlegte, konnte das Fragment des Flugzeugs etwas kleiner oder etwas größer dargestellt werden.

Wir wiederholen noch einmal die Bedeutung der räumlichen linearen Ungleichung anhand des Beispiels. Wie bestimmt man den Halbraum, den es definiert? Nehmen wir einen Punkt nicht besessen Ebene, zum Beispiel einen Punkt aus dem uns am nächsten liegenden Halbraum und setze seine Koordinaten in die Ungleichung ein:

Erhalten richtige Ungleichheit, was bedeutet, dass die Ungleichung den unteren (bezüglich der Ebene ) Halbraum definiert, während die Ebene selbst nicht in die Lösung einbezogen wird.

Beispiel 3

Flugzeuge bauen
a) ;
b) .

Dies sind Aufgaben zum Selbstbau, bei Schwierigkeiten ähnlich argumentieren. Kurze Anweisungen und Zeichnungen am Ende der Lektion.

In der Praxis sind insbesondere achsparallele Ebenen üblich. Ein Sonderfall, wenn die Ebene durch die Achse geht, war gerade in Absatz "b", und jetzt werden wir ein allgemeineres Problem analysieren:

Beispiel 4

Flugzeug bauen

Lösung: Die Variable "z" nimmt nicht explizit an der Gleichung teil, was bedeutet, dass die Ebene parallel zur Applikatachse ist. Lassen Sie uns die gleiche Technik wie in den vorherigen Beispielen verwenden.

Schreiben wir die Ebenengleichung in die Form um woraus klar ist, dass "Z" nehmen kann irgendein Werte. Lassen Sie es uns reparieren und in der "nativen" Ebene die übliche "flache" gerade Linie zeichnen. Um es zu bauen, ist es bequem, Referenzpunkte zu nehmen.

Da nimmt "Z". alle Werte, dann „vervielfacht“ sich die konstruierte Gerade kontinuierlich nach oben und unten und bildet so die gewünschte Ebene . Zeichnen Sie sorgfältig ein Parallelogramm angemessener Größe:

Bereit.

Gleichung einer Ebene in Segmenten

Die wichtigste angewandte Sorte. Wenn ein alle Chancen allgemeine Gleichung der Ebene von Null verschieden, dann kann es dargestellt werden als , Was heisst Ebenengleichung in Segmenten. Offensichtlich schneidet die Ebene die Koordinatenachsen in den Punkten , und der große Vorteil einer solchen Gleichung ist die Einfachheit des Zeichnens:

Beispiel 5

Flugzeug bauen

Lösung: Zuerst setzen wir die Gleichung der Ebene in Segmenten zusammen. Wirf den freien Term nach rechts und teile beide Teile durch 12:

Nein, das ist kein Tippfehler und alle Dinge passieren im Weltraum! Wir untersuchen die vorgeschlagene Oberfläche auf die gleiche Weise, wie wir sie kürzlich für Flugzeuge verwendet haben. Wir schreiben die Gleichung in die Form um , woraus folgt, dass "Z" nimmt irgendein Werte. Wir fixieren und konstruieren eine Ellipse in der Ebene. Da nimmt "Z". alle Werte, dann wird die konstruierte Ellipse kontinuierlich nach oben und unten "repliziert". Es ist leicht zu verstehen, dass die Oberfläche endlos:

Diese Fläche heißt Elliptischer Zylinder. Eine Ellipse (in beliebiger Höhe) wird aufgerufen führen Zylinder, und parallele Linien, die durch jeden Punkt der Ellipse gehen, werden aufgerufen Erstellen Zylinder (die es buchstäblich bilden). Achse ist Symmetrieachse Oberfläche (aber nicht Teil davon!).

Die Koordinaten jedes Punktes, der zu einer gegebenen Fläche gehört, erfüllen notwendigerweise die Gleichung .

Räumlich Die Ungleichung definiert das "Innere" des unendlichen "Rohrs", einschließlich der zylindrischen Oberfläche selbst, und dementsprechend definiert die entgegengesetzte Ungleichung die Menge von Punkten außerhalb des Zylinders.

Bei praktischen Problemen ist der häufigste Fall, wann führen Zylinder ist Kreis:

Beispiel 8

Konstruieren Sie die durch die Gleichung gegebene Fläche

Es ist unmöglich, ein endloses „Rohr“ darzustellen, daher beschränkt sich die Kunst in der Regel auf das „Schneiden“.

Zuerst ist es bequem, einen Radiuskreis in der Ebene zu bauen und dann ein paar weitere Kreise darüber und darunter. Die resultierenden Kreise ( Führer Zylinder) sauber verbunden durch vier parallele gerade Linien ( Erstellen Zylinder):

Vergessen Sie nicht, gepunktete Linien für unsichtbare Linien zu verwenden.

Die Koordinaten jedes Punktes, der zu einem gegebenen Zylinder gehört, erfüllen die Gleichung . Die Koordinaten jedes Punktes, der streng innerhalb des "Rohres" liegt, erfüllen die Ungleichung , und die Ungleichheit definiert eine Menge von Punkten des äußeren Teils. Zum besseren Verständnis empfehle ich, mehrere spezifische Punkte im Raum zu betrachten und sich selbst davon zu überzeugen.

Beispiel 9

Konstruieren Sie eine Fläche und finden Sie ihre Projektion auf eine Ebene

Wir schreiben die Gleichung in die Form um woraus folgt, dass "x" nimmt irgendein Werte. Lassen Sie uns das Flugzeug fixieren und einzeichnen Kreis– zentriert am Ursprung, Einheitsradius. Da "x" kontinuierlich dauert alle Werte, dann erzeugt der konstruierte Kreis einen Kreiszylinder mit einer Symmetrieachse . Zeichne einen weiteren Kreis führen Zylinder) und verbinden Sie sie sorgfältig mit geraden Linien ( Erstellen Zylinder). An einigen Stellen stellten sich Überlagerungen heraus, aber was ist zu tun, so eine Neigung:

Diesmal habe ich mich auf ein Stück des Zylinders in der Lücke beschränkt und das ist kein Zufall. In der Praxis ist es oft notwendig, nur einen kleinen Ausschnitt der Oberfläche darzustellen.

Hier stellten sich übrigens 6 Generatoren heraus - zwei zusätzliche gerade Linien "schließen" die Oberfläche von der oberen linken und unteren rechten Ecke.

Kommen wir nun zur Projektion des Zylinders auf die Ebene. Viele Leser verstehen, was eine Projektion ist, aber lassen Sie uns trotzdem fünf Minuten lang Sportunterricht nehmen. Bitte stehen Sie auf und neigen Sie Ihren Kopf über die Zeichnung, sodass die Spitze der Achse senkrecht zu Ihrer Stirn steht. Wie der Zylinder aus diesem Winkel aussieht, ist seine Projektion auf die Ebene. Aber es scheint ein endloser Streifen zu sein, eingeschlossen zwischen geraden Linien, einschließlich der geraden Linien selbst. Diese Projektion ist genau Domain Funktionen (obere „Rinne“ des Zylinders), (untere „Rinne“).

Verdeutlichen wir uns die Situation übrigens mit Projektionen auf andere Koordinatenebenen. Lassen Sie die Sonnenstrahlen von der Seite der Spitze und entlang der Achse auf den Zylinder scheinen. Der Schatten (Projektion) eines Zylinders auf eine Ebene ist ein ähnlicher unendlicher Streifen - ein Teil der Ebene, der von geraden Linien ( - beliebig) begrenzt wird, einschließlich der geraden Linien selbst.

Aber die Projektion auf das Flugzeug ist etwas anders. Betrachtet man den Zylinder von der Spitze der Achse aus, so wird er in einen Kreis mit Einheitsradius projiziert mit der wir mit dem Bau begonnen haben.

Beispiel 10

Konstruieren Sie eine Fläche und finden Sie ihre Projektionen auf Koordinatenebenen

Dies ist eine Aufgabe zur eigenständigen Entscheidung. Wenn die Bedingung nicht sehr klar ist, quadrieren Sie beide Seiten und analysieren Sie das Ergebnis; herauszufinden, welchen Teil des Zylinders die Funktion genau angibt. Verwenden Sie die Konstruktionstechnik, die oben wiederholt verwendet wurde. Kurze Lösung, Zeichnung und Kommentare am Ende der Lektion.

Elliptische und andere zylindrische Flächen können relativ zu den Koordinatenachsen versetzt werden, zum Beispiel:

(auf den bekannten Gründen eines Artikels über Linien 2. Ordnung) - ein Zylinder mit Einheitsradius mit einer Symmetrielinie, die durch einen Punkt parallel zur Achse verläuft. In der Praxis kommen solche Zylinder jedoch recht selten vor, und es ist absolut unglaublich, eine zylindrische Oberfläche zu treffen, die in Bezug auf die Koordinatenachsen „schief“ ist.

Parabolische Zylinder

Wie der Name schon sagt, führen ein solcher Zylinder ist Parabel.

Beispiel 11

Konstruieren Sie eine Fläche und finden Sie ihre Projektionen auf die Koordinatenebenen.

Konnte diesem Beispiel nicht widerstehen =)

Lösung: Wir folgen den ausgetretenen Pfaden. Schreiben wir die Gleichung in der Form um, woraus folgt, dass „Z“ jeden Wert annehmen kann. Lassen Sie uns eine gewöhnliche Parabel in der Ebene fixieren und konstruieren, nachdem wir zuvor die trivialen Referenzpunkte markiert haben. Da nimmt "Z". alle Werte, dann wird die konstruierte Parabel kontinuierlich nach oben und unten bis ins Unendliche "nachgebildet". Wir legen dieselbe Parabel beispielsweise in einer Höhe (in der Ebene) beiseite und verbinden sie sorgfältig mit parallelen Linien ( Generatoren des Zylinders):

Ich erinnere mich nützliche Technik: wenn anfangs kein Vertrauen in die Qualität der Zeichnung besteht, dann ist es besser, die Linien zuerst dünn mit einem Bleistift zu zeichnen. Dann bewerten wir die Qualität der Skizze, finden die Bereiche heraus, in denen die Oberfläche vor unseren Augen verborgen ist, und üben erst dann Druck auf den Stift aus.

Projektionen.

1) Die Projektion eines Zylinders auf eine Ebene ist eine Parabel. Zu beachten ist, dass in dieser Fall kann nicht darüber reden Domänen einer Funktion von zwei Variablen- aus dem Grund, dass die Zylindergleichung nicht auf die Funktionsform reduzierbar ist.

2) Die Projektion des Zylinders auf die Ebene ist eine Halbebene, einschließlich der Achse

3) Und schließlich ist die Projektion des Zylinders auf die Ebene die gesamte Ebene.

Beispiel 12

Parabelzylinder konstruieren:

a) , beschränken uns auf ein Fragment der Oberfläche im nahen Halbraum;

b) dazwischen

Bei Schwierigkeiten haben wir es nicht eilig und argumentieren analog zu den vorherigen Beispielen, zum Glück ist die Technik gründlich ausgearbeitet. Es ist nicht kritisch, wenn die Oberflächen etwas klobig ausfallen – wichtig ist, dass das Grundbild korrekt wiedergegeben wird. Ich selbst kümmere mich nicht besonders um die Schönheit der Linien, wenn ich eine erträgliche „C-Klasse“ -Zeichnung bekomme, mache ich sie normalerweise nicht erneut. In der Beispiellösung wurde übrigens noch eine weitere Technik verwendet, um die Qualität der Zeichnung zu verbessern ;-)

Hyperbolische Zylinder

Führer solche Zylinder sind Hyperbeln. Diese Art von Oberfläche ist nach meinen Beobachtungen viel seltener als die vorherigen Typen, daher beschränke ich mich auf eine einzige schematische Zeichnung eines hyperbolischen Zylinders:

Das Prinzip der Argumentation ist hier genau das gleiche - das Übliche Schule Übertreibung aus der Ebene "vervielfacht" sich kontinuierlich nach oben und unten bis ins Unendliche.

Die betrachteten Zylinder gehören zu den sogenannten Flächen 2. Ordnung, und jetzt werden wir weiterhin andere Vertreter dieser Gruppe kennenlernen:

Ellipsoid. Kugel und Kugel

Die kanonische Gleichung eines Ellipsoids in einem rechtwinkligen Koordinatensystem hat die Form , wobei positive Zahlen sind ( Achswellen Ellipsoid), was im allgemeinen Fall anders. Ein Ellipsoid heißt auftauchen, so und Karosserie von dieser Fläche begrenzt. Der Körper ist, wie viele vermutet haben, durch die Ungleichheit gegeben und die Koordinaten jedes inneren Punktes (sowie jedes Oberflächenpunktes) erfüllen notwendigerweise diese Ungleichung. Das Design ist symmetrisch zu den Koordinatenachsen und Koordinatenebenen:

Der Ursprung des Begriffs "Ellipsoid" ist ebenfalls offensichtlich: Wenn die Oberfläche von Koordinatenebenen "geschnitten" wird, gibt es in den Abschnitten drei verschiedene (im allgemeinen Fall)

Eine zylindrische Oberfläche ist eine Oberfläche, die aus allen Linien besteht, die eine bestimmte Linie L schneiden und parallel zu einer bestimmten Linie I verlaufen. In diesem Fall wird die Linie L als Führung der zylindrischen Oberfläche bezeichnet, und jede der Linien, aus denen diese Oberfläche besteht, und parallel zur Linie heißt Erzeugende (Abb. 89). Im Folgenden werden nur solche Zylinderflächen betrachtet, deren Führungen in einer der Koordinatenebenen liegen und deren Generatoren parallel zu der zu dieser Ebene senkrechten Koordinatenachse sind.

Betrachten wir eine Linie L in der Oxy-Ebene, die die Gleichung im Oxy-Koordinatensystem hat

Bauen wir eine zylindrische Oberfläche mit Generatoren parallel zur Oz-Achse und der Führung L (Abb. 90). Zeigen wir, dass Gleichung (39) die Gleichung dieser Fläche sein wird, wenn sie sich auf das Koordinatensystem im Raum bezieht. Sei ein beliebiger Fixpunkt der konstruierten Zylinderfläche.

Bezeichne mit N den Schnittpunkt der Führung L und der Mantellinie, die durch den Punkt M verläuft. Der Punkt ist offensichtlich die Projektion des Punktes M auf die Ebene. Daher haben die Punkte M und N dieselbe Abszisse und dieselbe Ordinate j. Aber der Punkt N liegt auf der Kurve L, und seine x- und y-Koordinaten erfüllen die Gleichung (39) dieser Kurve. Daher erfüllen auch die Koordinaten des Punktes diese Gleichung, da sie nicht enthält. Somit erfüllen die Koordinaten jedes Punktes dieser zylindrischen Oberfläche die Gleichung (39). Die Koordinaten von Punkten, die nicht auf dieser Fläche liegen, erfüllen Gleichung (39) nicht, da diese Punkte auf eine Ebene außerhalb der Kurve projiziert werden

Somit enthält die Gleichung, bezogen auf das Koordinatensystem im Raum, nicht die Gleichung einer zylindrischen Fläche mit achsparallelen Erzeugenden und der Führung L, die in der Ebene durch dieselbe Gleichung gegeben ist

Im Weltraum wird die Führung L durch ein System von zwei Gleichungen bestimmt:

In ähnlicher Weise kann gezeigt werden, dass eine Gleichung, die y nicht enthält, und eine Gleichung, die kein y enthält, zylindrische Oberflächen im Oxy-Raum mit Generatoren parallel zu den Achsen definieren

Betrachten Sie Beispiele für zylindrische Oberflächen.

1. Durch die Gleichung definierte Oberfläche

ist zylindrisch und wird als elliptischer Zylinder bezeichnet (Abb. 91).

Seine Generatoren sind achsparallel und die Führung ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b, die in der Ebene liegen. Insbesondere dann, wenn die Führung ein Kreis und die Fläche ein gerader Kreiszylinder ist. Seine Gleichung

2. Durch die Gleichung definierte zylindrische Oberfläche

wird als hyperbolischer Zylinder bezeichnet (Abb. 92). Die Erzeuger dieser Fläche sind parallel zur Achse a, und die in der Ebene mit der reellen Halbachse a und der imaginären Halbachse b liegende Hyperbel dient als Führung.

3. Durch die Gleichung definierte zylindrische Oberfläche

wird als parabolischer Zylinder bezeichnet (Abb. 93). Seine Führung ist eine in der Ebene liegende Parabel, und die Generatoren sind parallel zur Ochsenachse.

Kommentar. Eine Gerade im Raum kann bekanntlich durch die Gleichungen verschiedener Ebenenpaare gegeben werden, die sich entlang dieser Geraden schneiden. In ähnlicher Weise kann eine Kurve im Raum unter Verwendung der Gleichungen verschiedener Oberflächen definiert werden, die sich entlang dieser Kurve schneiden.

ZYLINDRISCHE OBERFLÄCHEN

Parametername	Bedeutung
Betreff des Artikels:	ZYLINDRISCHE OBERFLÄCHEN
Rubrik (thematische Kategorie)	Mathe

OBERFLÄCHEN

Sei G eine Gerade und - ein Nicht-Null-Vektor, der nicht parallel zur Ebene der Linie Г ist (wenn Г eine flache Linie ist.

Bestimmung 10. Zylindrische Oberfläche mit Führung G und Generatoren parallel zum Vektor , ist es üblich, die Punktmenge aller möglichen Geraden parallel zum Vektor zu nennen und die Linie G überqueren.

Das zu lösende Hauptproblem: Wie findet man die Gleichung einer zylindrischen Oberfläche, wenn die Gleichungen der Linie Г und die Koordinaten des Vektors gegeben sind? .

(28)

Es bleibt, den Parameter t aus diesen Gleichungen auszuschließen.

Wir haben die folgenden Regeln zum Aufstellen der Gleichung einer zylindrischen Oberfläche erhalten:

Wenn die Richtung der zylindrischen Oberfläche durch die Gleichungen (27) gegeben ist und die Generatoren parallel zum Vektor sind , dann genügt es, um die Gleichung der Oberfläche zu erstellen, in den Gleichungen (27) x durch x - mt, y durch y - nt, z durch z - pt zu ersetzen und den Parameter aus den resultierenden Gleichungen auszuschließen.

Beispiel 1 Schreiben Sie eine Gleichung für eine zylindrische Oberfläche, wenn die Generatoren parallel zum Vektor = (3, 2, -1) sind und die Führung G die Gleichungen hat

Beispiel 2. Schreiben Sie eine Gleichung für eine zylindrische Oberfläche, wenn die Hilfslinie eine Linie ist liegen in der Ebene (HOY), und die Generatoren sind parallel zur Achse (ОZ).

Lösung. Ein Vektor parallel zu den Generatoren ist ein Vektor. Wir ersetzen x in den Gleichungen des Leitfadens durch x - 0‣‣‣t, ᴛ.ᴇ. x wird durch x ersetzt. Ebenso wird y durch y ersetzt. Aber z wird durch z - t ersetzt. Aus der zweiten Gleichung erhalten wir z = t. Dies bedeutet, dass z unabhängig von x und y alle möglichen reellen Werte annehmen kann und x und y durch dieselbe Gleichung f (x, y) \u003d 0 in Beziehung stehen, wie in der Gleichung des Leitfadens. Die Gleichung einer zylindrischen Oberfläche lautet in diesem Fall f(x, y) = 0.

Folge. Gleichungen , , y2 = 2px Definieren Sie zylindrische Oberflächen mit den Hilfslinien Ellipse, Hyperbel bzw. Parabel. Ihre Generatoren sind parallel zur Achse (ОZ).

Wenn die Führung der zylindrischen Fläche eine Linie zweiter Ordnung ist, wird die Fläche normalerweise aufgerufen Zylinder zweiter Ordnung.

Kommentar. Beachten Sie, dass die Gleichungen f(x, y) = 0, f(x, z) = 0, f(y, z) = 0, auf den Ebenen (XOY), (XOZ) und (YOZ) definieren , bzw. einige Zeilen. Aber in einem affinen Koordinatensystem im Raum definieren sie Zylinder mit Generatoren parallel zur Achse (ОZ), (ОУ) bzw. (ОХ).

ZYLINDRISCHE OBERFLÄCHEN - Konzept und Typen. Klassifizierung und Merkmale der Kategorie "ZYLINDRISCHE OBERFLÄCHEN" 2017, 2018.

Lektion Nummer 10.

Thema:Oberflächen der Revolution.
Zylindrische Oberflächen

Theoretische Informationen.

1. Oberflächen der Revolution.

Grenze. Eine Rotationsfläche ist eine Fläche, die durch Rotation einer ebenen Geraden  um eine in der Ebene dieser Geraden liegende Achse entsteht.

Lassen
, dann kann es durch die Gleichungen gegeben werden

Die Gleichung der Oberfläche, die durch die Drehung der Linie  um die Achse gebildet wird Unze wird aussehen wie:

(1)

2. Zylindrische Oberflächen.

Gegeben seien eine flache Linie  im Raum und ein Vektor nicht parallel zur Ebene dieser Linie.

Definition. Eine zylindrische Oberfläche ist eine Menge von Punkten im Raum, die auf geraden Linien parallel zu einem gegebenen Vektor liegen und eine gegebene Linie  schneiden.

Die Linie  heißt Führung der Zylinderfläche, die Geraden heißen Generatoren.

Betrachten Sie einen Sonderfall: Die Hilfslinie  liegt in der Ebene xOy: und ist gegeben durch die Gleichungen:
und der Richtungsvektor von Generatoren hat Koordinaten
,
.

In diesem Fall hat die Gleichung einer Zylinderfläche die Form

. (2)

Übungen.

1. Erhalten Sie die Gleichung der Rotationsfläche (1).

   Erhalten Sie die Gleichung einer zylindrischen Oberfläche (2).

Grundlegende typische Aufgaben.

1. Aufstellung der Gleichung der Rotationsfläche nach den Gleichungen der Führung und der Rotationsachse.

   Erstellung der Gleichung einer zylindrischen Oberfläche nach den Gleichungen der Führung und des Führungsvektors von Generatoren.

Beispiele für Problemlösungen.

Aufgabe 1. Im Flugzeug yOz Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt (0; 4; 0) mit Radius 1. Schreiben Sie die Gleichung für die Oberfläche, die durch die Rotation dieses Kreises um die Achse entsteht Unze.

Yeshenie.

Gleichungen eines in einer Ebene liegenden Kreises yOz zentriert am Punkt (0; 4; 0) mit Radius 1, haben die Form

(3)

Wenn sich dieser Kreis um die Oz-Achse dreht, entsteht eine Fläche, die Torus genannt wird. Lassen M ein beliebiger Punkt auf dem Torus ist. Lassen Sie uns den Punkt durchgehen M Ebene , senkrecht zur Rotationsachse, d.h. Achsen Unze, im Abschnitt erhalten wir einen Kreis. Bezeichne den Mittelpunkt dieses Kreises P, und der Schnittpunkt der Ebene  mit dem Kreis, der die Rotationsfläche bildet, ist N.

Geben Sie die Koordinaten des Punktes an M(x, j, z), dann P(0, 0, z), während N(0, , z). Da die Punkte M und N auf dem im Punkt zentrierten Kreis liegen P, dann

,

.

Wir schreiben die letzte Gleichheit in Koordinaten

. (4)

Der Punkt N liegt auf einem Kreis, bei dessen Drehung ein Torus gebildet wird, was bedeutet, dass seine Koordinaten die Gleichungen (3) erfüllen müssen, wir schreiben die erste Gleichung des Systems (3)

,

,

.

Lassen Sie uns die letzte Gleichung quadrieren.

und ersetzen Sie den Ausdruck für aus Gleichheit (4) erhalten wir

Gleichung (5) ist die erforderliche.

Aufgabe 2. Schreiben Sie eine Gleichung für eine zylindrische Fläche, wenn die Führung in einer Ebene liegt xOy und hat die Gleichung
, und die Generatoren sind parallel zum Vektor (1; 2; –1).

Lassen Sie den Punkt M(x, j, z) ist ein beliebiger Punkt der Zylinderfläche. Lassen Sie uns den Punkt durchgehen M Erstellen l, schneidet es die Führung an diesem Punkt
. Da die Führung in der Ebene liegt xOy, dann
. Stellen Sie die kanonischen Gleichungen der Geraden auf l

.

Gleichsetzen Sie den ersten und zweiten Bruch mit dem letzten

(6)

Punkt N liegt auf der Führung, daher erfüllen seine Koordinaten seine Gleichung:

.

Ersetzen von Ausdrücken für und aus System (6) erhalten wir

. (7)

(7) ist die erforderliche Gleichung.

a) eine Ellipse
;

b) Hyperbeln
;

c) Parabeln
.

a) Die Führung liegt in der Ebene
und hat die Gleichung , und die Generatoren sind parallel zum Vektor (1; 0; 1);

b) die Führung liegt in der Ebene yOz und hat die Gleichung
, und die Generatoren sind parallel zur Achse Ochse;

c) die Führung liegt in der xOz-Ebene und ist ein Kreis
, und die Generatoren sind parallel zur Oy-Achse.

Schreiben Sie die Gleichung für eine zylindrische Oberfläche, wenn:

a) die Orientierung ist durch die Gleichungen gegeben
und die Erzeugende ist parallel zum Vektor
;

b) die Orientierung wird durch die Gleichungen gegeben
und die Erzeugende ist parallel zur Linie x= j= z.

a)
,
,
, M(2; 0; 1);

b) l:
, M(2; –1; 1).

Lektion Nummer 11.

Thema:konische Flächen.

Theoretische Informationen.

Gegeben seien eine flache Linie  und ein Punkt im Raum S nicht in der Ebene dieser Linie liegen.

Definition. Eine Kegelfläche ist eine Menge von Punkten im Raum, die auf Linien liegen, die durch einen bestimmten Punkt verlaufen. S und schneidet diese Linie .

Die Linie  heißt die Führung der Kegelfläche, der Punkt S- ein Scheitelpunkt, die Linien werden Generatoren genannt.

Betrachten Sie einen Sonderfall: Der Scheitelpunkt S fällt mit dem Ursprung zusammen, die Hilfslinie  liegt in einer Ebene parallel zur Ebene xOy: z= c, und ist durch die Gleichung gegeben:
.

In diesem Fall hat die Gleichung der Kegelfläche die Form

. (1)

Wenn die Führung eine Ellipse ist, die auf der Achse zentriert ist Unze,

dann erhalten wir eine Fläche, die Kegel zweiter Ordnung genannt wird, die Gleichung dieser Fläche hat die Form:

. (2)

Achse Unze in diesem Fall ist die Achse des Kegels zweiter Ordnung.

Kegelschnitte zweiter Ordnung:

Die Ebene  soll nicht durch die Spitze des Kegels zweiter Ordnung gehen, dann schneidet die Ebene  den Kegel:

a) entlang einer Ellipse, wenn  alle Erzeuger des Kegels schneidet;

b) durch Hyperbel, wenn  parallel zu zwei Generatoren des Kegels ist;

c) entlang einer Parabel, wenn  parallel zu einer Erzeugenden des Kegels ist.

Übungen.

Erhalten Sie die Gleichung der Kegelfläche (1).

Erhalten Sie die Kegelflächengleichung zweiter Ordnung (2).

Grundlegende typische Aufgaben.

Aufstellung der Gleichung einer Kegelfläche durch die Koordinaten des Scheitelpunkts und die Gleichung der Führung.

Beispiele für Problemlösungen.

Aufgabe 1. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kegelfläche auf, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt und deren Richtlinie durch die Gleichungen gegeben ist

Lassen Sie den Punkt M(x, j, z) ist ein beliebiger Punkt der Kegelfläche. Ziehen wir durch diesen Punkt eine Erzeugende l, schneidet es die Führung an diesem Punkt
. Wir schreiben die kanonischen Gleichungen der Geraden l, als Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt geht N und die Spitze des Kegels O(0, 0, 0)

,

.

Lassen Sie uns aus dem letzten System und ausdrücken:
,
. Da Punkt N auf der Führungskegelfläche liegt, dann müssen ihre Koordinaten die Gleichungen der Führung erfüllen:

(3)

Lassen Sie uns die gefundenen Ausdrücke in die zweite Gleichung des Systems (3) einsetzen.

,

,

,

. (4)

,
. (5)

Wir setzen (4) und (5) in die erste Gleichung des Systems (3) ein

,

.

Die resultierende Gleichung ist die gesuchte Gleichung der Kegelfläche.; Lineare Abhängigkeit Vektoren. Koordinatensystem. Orthonormale Basis. Linear Operationen Oben Vektoren in Koordinaten. Skalar Arbeit Vektoren. Vektor Arbeit Vektoren ...

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