При изучении математики часто можем наблюдать равенство двух выражений, содержащих арифметические действия. Рассмотрим два таких равенства. Произведение aв двенадцатой степени на a в пятой степени равно произведению a в восьмой степени на a в девятой степени. И частное a в двенадцатой степени, и а в четвертой степени равно произведению a во второй степени на a в шестой степени.
Первое равенство будет выполняться для любых значениях а, потому что aв двенадцатой степени умноженное на a в пятой степени равно a в семнадцатой степени, и a в восьмой степени умноженное на a в девятой степени тоже равно a в семнадцатой степени.
В свою очередь, второе равенство также выполняется при всех значениях переменной aкроме случая, когда a равно нулю. В левой части равенства частное a в двенадцатой степени и а в третьей степени равно a в девятой степени, в правой -произведение aво второй степени на a в седьмой степени тоже равно a в девятой степени. Но в левой части равенства делится на a в степени три. При a равно нулю мы получаем действие с нулем, а на него делить нельзя.
В первом случае возможными значениями переменной a представляет собой множество всех чисел. В равенстве номер два областью всех допустимых для нас значений переменной a для левой части равенства будет множество всех чисел за исключением нуля, а для правой его части - все числа. То есть область допустимых значений для этого равенства будут любые числа, исключая нуль.
Оба рассмотренных нами равенства выполняются для всех допустимых значениях переменной. Тождествами называют верные равенства при всех допустимых значениях переменных. Значит, наши равенства так же будут тождествами.
Если числовые равенства верные всегда, то тоже называются тождествами.
С примерами тождеств ранее вам приходилось уже встречаться. Равенства, которые выражают свойства чисел, тоже будут тождествами. Например, свойство сложения, которое мы знаем как переместительное, записанное равенством a + b = b + a. Оно выполняется при всех допустимых значениях переменных a и b. Так же, еще одним примером служит запись другого свойства сложения чисел - сочетательного a + (b + c) = (a + b) + c. Возможна и запись переместительного, сочетательного, распределительного свойств умножения чисел: ab = ba, a(bc) = (ab)c, a(b + c) = ab + ac. Есть тождествами и равенства a + 0 = a, a 0 = 0, a 1 = a, a (-1) = -a.
Существует понятие «выражения тождественно равные». Выражения тождественно равными называют те, у которых соответствующие значения равны при любых допустимых значениях переменных. Примерами таких выражений могут служить a в квадрате в четвертой степени и a в восьмой степени, а также произведение a на b, умноженное на произведение минус a в квадрате на b и произведение минус a в кубе на b в квадрате. Это объясняется тем, что после выполнения возможных действий в этих выражениях мы получим абсолютно одинаковые выражения.
Знания о тождественных выражениях нужны для выполнения тождественных преобразований, упрощающих решения многих трудных задач. Тождественные преобразования - это и есть замена одного выражения тождественно равным ему выражением. Тождественные преобразования выполнялись при решении уравнений, умножении одночленов, умножении многочлена на одночлен и многочлена на многочлен.
Цели урока:
1.Создать условия для систематизации и применения знаний для выполнения различных видов тождественных преобразований.
План урока:
1.Организация урока. Проверка домашнего задания.
2.Активизация познавательной деятельности.
3.Самостоятельная работа по вариантам с самопроверкой
4.Работа с интерактивной доской «Теоретический тест»
5.Физкультминутка
6. Работа с интерактивной доской «Найти ошибку». Индивидуальное задание у доски.
7. Математическая эстафета».
8.Выполнение заданий повышенного уровня сложности по учебнику.
9.Подведение итога урока. Рефлексия
Ход урока:
1. Организация урока. Проверка домашнего задания.
До урока на отворотах доски 2 уч-ся записывают решение № 36.16, 36.14 (в),36.13(в,г). (3 мин).
Сообщить тему урока, цель урока, домашнее задание: № 36.18(б),36.19(б)(по выбору), домашняя контрольная работа № 7 (стр 159) № 1,2,3(по вариантам).
2.Активизация познавательной деятельности через фронтальный теоретический опрос, и работа с презентацией слайд 1-6 опрос и занимательные задания.(7 мин)
Обращение к эпиграфу урока (слайд 1)
Так как тема нашего урока «Тождественные преобразования» вспомним:
Что подразумевают под тождественным преобразованием?(всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему)
Какие выражения называют тождественно равные? (левая и правая часть тождества)
Что такое тождество?(равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных)
Какие виды тождественных преобразований вы знаете?(с применением арифметических законов, раскрытие скобок, разложение на множители, действия с многочленами)
Работа устно:(слайд 2,3)
Записать на доске законы арифметических действий.(Шевцова А.)
Работа устно: Являются ли тождественно равными выражения (Слайд 4)
Проверить работу по записи законов.
Работа устно: (слайд 5,6)
3.Самостоятельная работа по вариантам в тетрадях, а на листиках записать только ответ, затем самопроверка (слайд7) (7 минут)
Упростить выражение.
|
В а р и а н т 1. |
В а р и а н т 2. |
|
1. 3b +(5 – 7 b) |
1. 5x + (11 – 7x) |
|
2. –(8c – 4) -4 |
2. - 3n –(8m – 3n) |
|
3. 3(8a – 4) + 6a |
3. 5(8 – c) +11c |
|
4. 7p – 2(3p – 1) |
4. 8a – 4(3a + 2) |
|
5. x - (x - (2x – 4)) |
5. 7b – (3b – (2 - 3b)) |
Ответы (слайд 8)
|
В а р и а н т 1. |
В а р и а н т 2. |
4. Работа с интерактивной доской «Теоретический тест». Фронтально. Учащиеся выходят к интерактивной доске и показывают ответы. (5 мин)
Следующий вид тождественных преобразований – это разложение на множители. Работа устно. Выполнение теста 1, 2(слайд 9,10,11)
Тест 1
Разложение многочлена на множители – это…
Представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов
- Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов
- Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов
Тест 2
Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители
5.Физкультминутка(2 мин)
6. Работа с интерактивной доской (5 мин)«Найти ошибку» (слайд 12). Выходят к доске по одному и исправляют ошибки.
Одновременно 2 ученика выполняют индивидуальное задание у доски с последующим объяснением.
Доказать тождество (a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)
Способ 1
Преобразуем левую часть равенства в правую.
(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a)=(a 2 + 3a) 2 (a 2 + 3a +2)
= (a 2 + 3a) 2 (a 2 + 2a + a +2)
A(a +3)(a(a +2) (a + 2))
A(a + 3)(a + 2)(a + 1)
A(a + 1)(a + 2)(a + 3) ч.т.д
Способ 2
Преобразуем правую часть равенства в левую.
a(a +1)(a +2)(a +3)
= (a(a +3))((a +1)(a +2)
= (a 2 + 3a) (a 2 + 3a +2)
= (a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) ч.т.д
7. Математическая эстафета» (слайд 13-14) (7 минут).
Работа по командам. 3 команды – 3ряда. У каждого ученика ряда находится задание. Эти же задания проектируются на экран доски. Ученики, получившие свое задание, его выполняют и записывают под номером на доске только ответ. Тот, кто раньше справился, может помочь члену своей команды. Побеждают учащиеся того ряда, которые раньше решат 8 примеров. Проверка итогов работы осуществляется тут же на экране.
8.Выполнение заданий повышенного уровня сложности по учебнику(5 мин)
9.Подведение итога урока. Рефлексия (2 мин)
(Как я на уроке работал – выбор круга одного из трех цветов - розовый, желтый, синий
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
ФИО
Горяинова Надежда Набиевна
Место работы
МАОУ СОШ №10
Предмет
алгебра
Класс
7
Тема и номер урока в теме
Тождества. Тождественные преобразования выражений.-2
Базовый учебник
«Алгебра». 7 класс. УМК Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.
Цель урока: Проверка и закрепление понятий «тождество», «тождественные преобразования», «подобные слагаемые». Систематизировать и обобщить знания учащихся о буквенных выражениях. Повторить свойства действий над числами. Формировать навыки тождественных преобразований целых выражений.
9. Задачи:
- обучающие:
1. Тренировка навыков устного счета.
2. Проверка умения применять знания при решении практических заданий.
3. Повторить алгоритм нахождения значения выражения.
Развивающие:
1. Развивать внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое, критическое, аналитическое мышления, математическую речь, воображение, память;
2. Учить их анализировать, рассуждать, высказывать свое мнение;
3. Формировать умение ориентироваться в нестандартной ситуации.
4. Развивать компьютерную грамотность.
Воспитательные:
1. Воспитывать внимательное отношение друг к другу;
2. Развивать самостоятельность, умение ориентироваться в нестандартной ситуации;
3. Воспитывать интерес к предмету.
Тип урока: закрепление пройденного материала.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.
Необходимое техническое оборудование: демонстрационный ПК – 1 штука (мультимедиа проектор и экран), подключение к Интернету
Структура и ход урока
Таблица 1.
СТРУКТУРА И ХОД УРОКА
№
Этап урока
Название используемых ЭОР
(с указанием порядкового номера из Таблицы 2)
Деятельность учителя
(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)
Деятельность ученика
Время
(в мин.)
1
2
3
5
6
7
1
Организационный момент.
_
Приветствует учащихся, контролирует готовность к уроку.
Отвечают на приветствие
1
2
Мотивация.
_
Работа в режиме презентации.
Озвучивает план урока, ставит совместно с учащимися проблему, формулирует тему, цель, задачи урока
Слайд 1
Воспринимают информацию, записывают тему урока в тетрадь, озвучивают учебные задачи
2
3
Актуализация знаний. Устный счет.
-
Формирует задание, формирует вопросы, анализирует результаты выполнения заданий.
Оценивает работу уч-ся.
Слайд 3-6
Воспринимают информацию, выполняют фронтально задания, анализируют результаты работы, делают выводы.
7
4
Закрепление полученных знаний.
ЭОР №1
Руководит деятельностью учащихся.
Часть учащихся работают с учебником № 95(а;б); №96 (а;б); 98(а;б)); 100 (а; б)
1 учащийся (сильный)- работает за компьютером.
Учитель
Выполняют практические индивидуальные задания.
5
Контроль и коррекция знаний.
ЭОР № 2
Формулирует и объясняет контрольное задание по данной теме.
Если учащихся в классе мало, то каждый по очереди выполняют контрольное задание на компьютере, остальные в это время продолжают работать с учебником № 105
Учитель
проверяет, контролирует, руководит.
Самостоятельно выполняют задание на компьютере или по учебнику.
17
6
Диагностика уровня усвоения материала.
ЭОР № 2
Анализирует работу учащихся, оценивает их деятельность.
Слушают, высказывают свое мнение, делают самооценку по закреплению учебного материала.
2
7
Подведение итогов. Домашнее задание.
Учитель даёт инструкции по выполнению домашней работы, отвечает на вопросы учащихся.
д/з: 95(в.г); 98(в;г); 103(а;г)
Записывают д/з в дневник, выставляют оценки.
2
Приложение к плану-конспекту урока
Тождества. Тождественные преобразования выражений
Таблица 2.
ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР
№
Название ресурса
Тип, вид ресурса
Форма предъявления информации (иллюстрация, презентация, видеофрагменты, тест, модель и т.д.)
Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР
П- модудь
Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания направлены на усвоение понятий «тождество» и «подобные слагаемые», формирование умений применять свойства действий к доказательству тождеств, раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые. При решении заданий учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные
2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
К-
Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для проверки усвоения учащимися понятий «тождество» и «подобные слагаемые»; умения применять свойства сложения и умножения к доказательству тождеств, умения раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.
Слайд 1
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Слайд 2
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Слайд 3
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Слайд 4.
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Слайд 5.
Коммунальное государственное учреждение
«Меновновская средняя школа»
Восточно-Казахстанской области
Конспект урока по алгебре
в 7 классе
«Тождественное преобразование рациональных выражений»
подготовила
учитель математики
Дерипаско Татьяна Александровна
г. Усть-Каменогорск
2013
Тема урока: «Тождественное преобразование рациональных выражений»
Цели урока:
образовательная — совершенствовать навыки действий с рациональными выражениями; формировать умения выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
воспитательная — воспитывать у школьников любознательность, чувство национальной гордости, патриотизма; создание положительного эмоционального фона на уроке;
развивающая – развивать интерес к математике и её истории, развивать внимание, учить проводить доказательные рассуждения, используя математическую речь; учить умению сосредотачиваться на учебной деятельности и предупреждать ошибки по невнимательности (развивать самоконтроль); развивать творчество учеников.
Этапы урока
1. Организация начала занятия. Сообщение темы и постановка цели.
2. Актуализация опорных знаний учащихся.
3. Закрепление знаний и способов действий.
4. Физкультурная минутка (развитие двигательной сферы, гимнастика для глаз).
5. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении. (вариативное).
6. Подведение итогов урока.
7. Рефлексия.
Ход урока
1. Организационный момент
Эмоциональный настрой на урок.
Друзья мои! Я очень рада
Войти в приветливый ваш класс
И для меня уже награда
Вниманье ваших умных глаз.
– Здравствуйте, садитесь!
Я рада всех вас видеть.
Я знаю каждый в классе гений,
Но без труда талант не впрок
Мы вместе проведем урок!
2. Мотивация урока.
«Если вы хотите плавать, смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их»,- советовал учащимся известный американский математик Джорж Пойа. Решение любой достаточно трудной задачи требует напряжённого труда, воспитывает волю, упорство, развивает любознательность, смекалку. И сегодня на уроке нам предстоит решить новую для нас задачу – научиться выполнять преобразование с рациональными выражениями. Ведь преобразование важная операция, с которой мы сталкиваемся на уроках математики.
Эпиграфом нашего сегодняшнего урока будут слова Льва Толстого
«Человек подобен дроби, числитель которой есть то, что человек представляет собой, а знаменатель- то, что он думает о себе»
Сегодня на уроке вы будете работать в группах.
При работе можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.
Дать самому установку: «понять и быть тем первым, который увидит ход решения».
На уроке, ребята, надо быть исполнительными и ответственными за учебный труд.
Тема нашего урока: » Тождественное преобразование рациональных выражений «
Сегодня на уроке мы будем совершенствовать навыки действий с рациональными выражениями; формировать умения выполнять их тождественные преобразования.
Сообщение темы и постановка цели. (Слайд № 1)
Если мы откроем Большой Энциклопедический словарь, то сможем прочитать, что обозначает слово «преобразование». Итак, «Преобразование — замена одного математического объекта аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам».
В Толковом Словаре Ожегова читаем: «преобразовать — совершенно переделать, превратить из одного вида в другой, из одной формы в другую…, изменить к лучшему».
Объясните мне, пожалуйста, зачем нужна замена одного математического объекта аналогичным ему объектом?
(Выслушиваются ответы детей.)
Т.о. тождественные преобразования алгебраических выражений представляют собой набор методов, позволяющих быстро и легко упростить сложное выражение и привести его к более компактному выражению. Целью тождественных преобразований может быть приведение выражения к виду, более удобному для численных расчетов или дальнейших преобразований.
2. Актуализация опорных знаний учащихся
Ребята, давайте вспомним, какие тождественные преобразования мы знаем.
К тождественным преобразованиям относятся:
приведение подобных членов;
раскрытие скобок;
разложение на множители;
приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.
(На этапе актуализации предложен кроссворд на повторение теоретических фактов, необходимых на уроке.)
На ваших партах лежат технологические карты урока, которые вам будут сегодня помогать работать. В карте на каждом этапе урока вы будете оценивать свою работу. Результаты работы будете заносить в личный оценочный лист.
Единственный путь, ведущий к знанию – это деятельность, т. е. ваша активная работа на уроке. Обратимся к технологической карте. Предлагаю выполнить следующие задания:
1 Учебный элемент.
задание: Отгадайте кроссворд.
У каждого на столе лежит кроссворд. Такой же кроссворд нарисован на доске. В течение 5 минут вы должны его отгадать. В кроссворд впишите слова, как они произносятся в свойствах, в определении и т.д.
По горизонтали:
Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется?
(Тождество)
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их ______, а знаменатель оставить тем же.
(Числители)
При вычитании дробей с разными знаменателями, применяя правило, мы используем _____.
(Алгоритм)
Для нахождения общего знаменателя надо найти _______
(НОК)
Для сокращения дробей находим ______.
(НОД)
По вертикали:
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель – произведению знаменателей. Что это? ________
(Правило)
Разделить числитель и знаменатель дроби на общие множители, значит __________.
(Сократить)
Частное двух дробей равно произведению делимого на дробь, обратную _________.
(Делителю)
Что это: _______.
(Свойство)
А сейчас проведем проверку.
Без ошибок – 5.
1-3 ошибки – 4.
4-5 ошибок – 3.
Более 6 ошибок – плохо!
2.задание: Найдите соответствие между формулами.
а 2 + в 2 — 2ав а 3 — в 3
а 2 + в 2 (а – в) (а + в)
а 2 — в 2 (а+ в) 2
(
а — в) (а 2 + в 2 +а в) (а + в) (а 2 + в 2 -а в)
а 3 + в 3 (а- в) 2
2ав +а 2 + в 2
2. Учебный элемент
Закрепление знаний и способов действий.
Рассмотрим примеры, включающие в себя все действия с дробями. Порядок их выполнения — такой же, как и с числовыми дробями. Существует два способа записи таких примеров:
1) «цепочкой» — для несложных примеров;
2) по действиям – для более сложных.
Цель этапа — организовать познавательную деятельность учащихся, подготовить их к усвоению нового материала. (Работа в парах)
задание: Выполнить действия и найти правильный ответ. (взаимопроверка).
2.задание:
Из готовых высказываний составить алгоритм преобразования рациональных выражений (работа в группе)
выполнить вычитание дробей
дробь умножить на полученную дробь
выполнить деление в (в скобках)
найти сумму дроби и частного
умножить полученную сумму на дробь
полученное произведение разделить на дробь
Критерии оценок:
6 — 7 заданий оценка «5»
4 – 5 задания оценка «4»
3 задания оценка «3»
Физминутка
Проведем небольшую зарядку.
Чтоб глаза твои зоркие были,
Чтоб в очках тебе не ходить,
Эти легкие движенья предлагаю повторить
3.Учебный элемент. Цель: выработать навык преобразования рациональных выражений.
Задание для тестовой работы в трех уровнях.
1. Выполнить действия
Критерии оценок:
6 заданий – оценка «5»
5 заданий — оценка «4»
4 -3 задания — оценка «3»
4. Подведение итогов урока
Ребята давайте вспомним тему нашего урока.
Какие цели мы с вами ставили перед собой. Как вы думаете, мы достигли данной цели. Давайте вспомним, какими правилами пользовались при выполнении действий с дробями.
«Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто» французский инженер-физик Лауэ.
Чтобы мы с вами не смогли забыть, данную тему мы с вами в дневники запишем домашнее задание.
5. Информация о домашнем (вариативном) задании, инструкция о его выполнении
Даны 3 различных варианта домашнего задания, каждому из вас предлагается решить один из них по выбору (задания имеют «подсказку» — сложность задания).
6. Рефлексия
— Я внимательно наблюдала за вашей работой и пришла к выводу, что каждый из вас уже готов самостоятельно обдумывать способы и находить решения примеров по нашей сегодняшней теме. Поэтому я предлагаю вам провести рефлексию.
П
еред вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что тема урока была интересна, что хорошо и с пользой потрудились на уроке, узнали что-то новое, то нарисуйте себя на вершине высокой горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже.
Список использованной литературы
1. Манвелов С.Г. Задания по математике на развитие самоконтроля учащихся. М.: Просвещение. 1997 г.
2.Миндюк М.Б., Минюки Н.Г. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре 8 класс. М. Изд-во «Генжер”. 1996 г.
Использованные материалы и Интернет-ресурсы
http://www.layoutsparks.com/
Открытый урок
по математике
в 7 классе
«Тождества. Тождественное преобразование выражений».
Прокофьева Наталья Викторовна,
Учитель математики
Цели урока
Образовательные:
- ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;
- рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств;
- проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного для восприятия нового.
Развивающая : развивать мышление, речь учащихся.
Воспитательная : воспитывать трудолюбие, аккуратность, правильность записи решения упражнений.
Тип урока: изучение нового материала
Оборудование: проектор, презентация, доска, учебник, рабочая тетрадь.
План урока
- Организационный момент (нацелить учащихся на урок)
- Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)
- Устные упражнения
- Изучение нового материала (Ознакомление и первичное закрепление понятий «тождество», «тождественные преобразования»).
- Тренировочные упражнения (Формирование понятий «тождество», «тождественные преобразования»).
- Подведение итогов урока (Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке).
- Сообщение домашнего задания (Разъяснить содержание домашнего задания)
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Вопросы по домашнему заданию.
Разбор решения у доски.
Математика нужна
Без нее никак нельзя
Учим, учим мы, друзья,
Что же помним мы с утра?
II. Устные упражнения.
Сделаем разминку.
- Результат сложения. (Сумма)
- Сколько цифр вы знаете? (Десять)
- Сотая часть числа. (Процент)
- Результат деления? (Частное)
- Наименьшее натуральное число? (1)
- Можно ли при делении натуральных чисел получить ноль? (нет)
- Чему равна сумма чисел от -200 до 200? (0)
- Назовите наибольшее целое отрицательное число. (-1)
- На какое число нельзя делить? (0)
- Результат умножения? (Произведение)
- Наибольшее двузначное число? (99)
- Чему равно произведение от -200 до 200? (0)
- Результат вычитания. (Разность)
- Сколько граммов в килограмме? (1000)
- Переместительное свойство сложения. (От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется)
- Переместительное свойство умножения. (От перестановки мест множителей произведение не изменяется)
- Сочетательное свойство сложения. (Чтобы к сумме двух чисел прибавить какое-нибудь число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего)
- Сочетательное свойство умножения. (чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего)
- Распределительное свойство. (Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты)
III. Изучение нового материала .
Учитель. (Слайд 2,3)
Найдем значение выражений при х=5 и у=4
3(х+у)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны.
(Слайд 4,5)
Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. При х=1 и у=2 они принимают равные значения:
2х+у=2*1+2=4
2ху=2*1*2=4
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х=3, у=4, то
2х+у=2*3+4=10
2ху=2*3*4=24
Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
(Слайд 6,7)
Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными.
Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.
Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
(Слайд 8,9)
Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались. Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Можно привести и другие примеры тождеств (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).
а + 0 = а
а * 1 = а
а + (-а) = 0
а * (-b) = - ab
a-b=a + (-b)
(-a) * (-b) = ab
Определение: Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Учитель:
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уде приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила этих преобразований:
Учащиеся:
- (Слайд 10) Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
- (Слайд 11) Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;
- (Слайд 12) Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.
Учитель:
Пример 1. Приведем подобные слагаемые
5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х
Каким правилом мы воспользовались?
Ученик:
Мы воспользовались правилом приведения подобных слагаемых. Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Учитель:
Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b-3c) = 2a + b – 3c
Применили правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс».
Ученик:
Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Учитель:
Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4b – с) = a – 4b + c
Воспользовались правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус».
На каком свойстве основано данное преобразование?
Ученик:
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения.
IV. Тренировочные упражнения
(Перед началом проводим физкультминутку
Быстро встали, улыбнулись.
Выше-выше потянулись.
Ну-ка, плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Сели, встали. Сели, встали.
И на месте побежали.
Молодцы, присаживайтесь).
№85 Устно
№86 Устно
№88 Устно
№95ав
№98ав
№90ав
№92ав
№96ав
V. Подведение итогов урока .
Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают на них по желанию.
- Какие два выражения называются тождественно равными? Приведите примеры.
- Какое равенство называется тождеством? Привести примером.
- Какие тождественные преобразования вам известны?
ВЫВОД: Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны. 3(х+у) = 3х+3у
Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. при х=1 и у=2 они принимают равные значения: 2х+у=2*1+2=4 2ху=2*1*2=4 при х=3, у=4 значения выражений разные 2х+у=2*3+4=10 2ху=2*3*4=24
ВЫВОД: Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными. Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
ТОЖДЕСТВО Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами. Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались.
Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac
Можно привести и другие примеры тождеств: а + 0 = а а * 1 = а а + (-а) = 0 а * (- b) = - ab а- b = a + (- b) (-a) * (-b) = ab Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть; Пример 1. Приведем подобные слагаемые 5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х
Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки; Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c
Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4 b – с) = a – 4 b + c
Домашнее задание: п. 5, №91, 97, 99 Спасибо за урок!
