Ratkaisumenetelmät kombinatorisia ongelmia
Luettelo mahdollisista vaihtoehdoista
Yksinkertaiset ongelmat ratkaistaan tavallisella täydellisellä mahdollisten vaihtoehtojen luettelolla ilman kääntämistä erilaisia pöytiä ja suunnitelmia.
Tehtävä 1.
Mitä kaksinumeroisia lukuja voidaan muodostaa luvuista 1, 2, 3, 4, 5?
Vastaus: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
Tehtävä 2.
Ivanov, Gromov ja Orlov osallistuvat 100 metrin viimeiseen kilpailuun. nimi mahdollisia vaihtoehtoja jakelu palkinnot.
Vastaus:
Vaihtoehto 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Vaihtoehto 2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Vaihtoehto 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Vaihtoehto 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Vaihtoehto 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Vaihtoehto 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.
Tehtävä 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta ilmoittautuivat tanssisaliklubiin. Millaiset tytön ja pojan tanssiparit voivat muodostaa?
Vastaus:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Nataša - Petja, 10) Nataša - Kolja, 11) Nataša - Vitya, 12) Nataša - Oleg, 13) Sveta - Petja, 14) Sveta - Kolja, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.
Mahdollisten vaihtoehtojen puu
Erilaisia kombinatorisia ongelmia ratkaistaan laatimalla erityisiä järjestelmiä. Ulkoisesti tällainen järjestelmä muistuttaa puuta, joten menetelmän nimi - mahdollisten vaihtoehtojen puu.
Tehtävä 4.
Mitä kolminumeroisia lukuja voidaan muodostaa luvuista 0, 2, 4?
Päätös.Rakennetaan puu mahdollisista vaihtoehdoista, koska 0 ei voi olla luvun ensimmäinen numero.
Vastaus: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.
Tehtävä 5.
Koulumatkailijat päättivät tehdä matkan vuoristojärvelle. Matkan ensimmäinen vaihe voidaan ylittää junalla tai bussilla. Toinen vaihe ajetaan kajakeilla, polkupyörillä tai kävellen. Ja matkan kolmas vaihe on kävellen tai köysiradalla. Mitä matkustusvaihtoehtoja koulumatkalaisilla on?
Päätös.Rakennetaan mahdollisista vaihtoehdoista puu, joka merkitsee matkaa junalla P, bussilla - A, kajakilla - B, pyörällä - C, kävellen - X, köysiradalla - K.
Vastaus:Kuvassa on lueteltu kaikki 12 mahdollista koulumatkailijan matkustusvaihtoehtoa.
Tehtävä 6.
Kirjoita ylös kaikki mahdolliset vaihtoehdot viiden oppitunnin aikataululle päivässä aineista: matematiikka, venäjä, historia, Englannin kieli, liikunnan ja matematiikan pitäisi olla toinen oppitunti.
Päätös.Rakennetaan mahdollisista vaihtoehdoista puu, joka tarkoittaa M - matematiikkaa, R - venäjää, I - historiaa, A - englantia, F - liikuntakasvatusta.
Vastaus:Vaihtoehtoja on yhteensä 24:
|
R |
R |
R |
R |
R |
R |
Ja |
Ja |
Ja |
Ja |
Ja |
Ja |
MUTTA |
MUTTA |
MUTTA |
MUTTA |
MUTTA |
MUTTA |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
Tehtävä 7.
Sasha menee kouluun housuissa tai farkuissa ja käyttää heille harmaita, sinisiä, vihreitä tai ruudullisia paitoja, vaihdettavat kengät ottaa kenkiä tai tennareita.
a) Kuinka monta päivää Sasha pystyy näyttämään uudella tavalla?
b) Kuinka monta päivää hän kävelee tennareissa?
c) Kuinka monta päivää hän käyttää ruudullista paitaa ja farkkuja?
Päätös.Rakennetaan mahdollisista vaihtoehdoista puu, joka merkitsee B - housut, D - farkut, C - harmaa paita, D - sininen paita, Z - vihreä paita, P - ruudullinen paita, T - kengät, K - tennarit.
Vastaus:a) 16 päivää; b) 8 päivää; c) 2 päivää.
Taulukko
Voit ratkaista kombinatorisia tehtäviä taulukoiden avulla. Ne, kuten mahdollisten vaihtoehtojen puu, edustavat visuaalisesti tällaisten ongelmien ratkaisua.
Tehtävä 8.
Kuinka monta paritonta kaksinumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
Päätös.Tehdään taulukko: vasemmalla ensimmäinen sarake on etsimiesi numeroiden ensimmäiset numerot, yläreunassa ensimmäinen rivi on toiset numerot.
Vastaus: 28.
Tehtävä 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha ja Igor valmistautuivat esiintymään osoitteessa uudenvuoden loma. Nimeä mahdolliset vaihtoehdot, jos vain yksi tyttö ja yksi poika voivat olla johtajia.
Päätös.Tehdään taulukko: vasemmalla ensimmäisessä sarakkeessa on tyttöjen nimet, ylhäällä ensimmäisellä rivillä poikien nimet.
Vastaus:Kaikki mahdolliset vaihtoehdot on lueteltu taulukon riveillä ja sarakkeilla.
kertolasku sääntö
Tätä kombinatoristen ongelmien ratkaisumenetelmää käytetään, kun ei tarvitse luetella kaikkia mahdollisia vaihtoehtoja, mutta on tarpeen vastata kysymykseen - kuinka monta niistä on olemassa.
Tehtävä 10.
AT jalkapalloturnaus mukana on useita joukkueita. Kävi ilmi, että he kaikki käyttivät valkoista, punaista, sinistä ja valkoista shortseissa ja T-paitoissa. vihreät värit ja kaikki mahdolliset vaihtoehdot esiteltiin. Kuinka monta joukkuetta osallistui turnaukseen?
Päätös.
Alushousut voivat olla valkoisia, punaisia, sinisiä tai vihreitä, ts. vaihtoehtoja on 4. Jokaisessa näistä vaihtoehdoista on 4 jerseyn värivaihtoehtoa.
4 x 4 = 16.
Vastaus: 16 joukkuetta.
Tehtävä 11.
6 opiskelijaa läpäisee matematiikan kokeen. Kuinka monella tavalla ne voidaan sijoittaa luetteloon?
Päätös.
Ensimmäinen luettelossa voi olla mikä tahansa 6 opiskelijasta,
luettelon toinen voi olla mikä tahansa jäljellä olevista viidestä opiskelijasta,
kolmas - joku jäljellä olevista 4 opiskelijasta,
neljäs - mikä tahansa jäljellä olevista 3 opiskelijasta,
viides - mikä tahansa kahdesta jäljellä olevasta opiskelijasta,
kuudes - viimeinen 1 opiskelija.
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
Vastaus: 720 tapaa.
Tehtävä 12.
Kuinka monta parillista kaksinumeroista lukua voidaan tehdä numeroista 0, 2, 3, 4, 6, 7?
Päätös.
Ensimmäinen sisään kaksinumeroinen numeroa voi olla 5 (luku 0 ei voi olla luvun ensimmäinen), kaksinumeroisen luvun toinen voi olla 4 numeroa (0, 2, 4, 6, koska luvun on oltava parillinen).
5 x 4 = 20.
Vastaus: 20 numeroa.
Tehtävät uuden aineiston yhdistämisen ratkaisemiseksi
Tehtävä 1. Kuinka monella tavalla 5 osallistujaa voivat finaaliin
juoksu viidellä juoksumatolla?
Päätös: R 5 \u003d 5! \u003d 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 \u003d 120 tapaa.
Tehtävä numero 2. Kuinka paljon kolminumeroisia lukuja voidaan muodostaa luvuista 1,2,3, jos jokainen
Esiintyykö numero numeron kuvassa vain kerran?
Päätös: Kolmen elementin kaikkien permutaatioiden lukumäärä on P 3 =3!, missä 3!=1 * 2 * 3=6
Tämä tarkoittaa, että on kuusi kolminumeroista numeroa, jotka koostuvat luvuista 1,2,3.
Tehtävä numero 3. Kuinka monella tavalla neljä poikaa voi kutsua neljä kuudesta
tytöt tanssimaan?
Päätös: Kaksi poikaa ei voi kutsua samaa tyttöä samaan aikaan. Ja
vaihtoehtoja, joissa samat tytöt tanssivat eri poikien kanssa,
katsotaan erilaiseksi, joten:
Tehtävä #4. Kuinka monta erilaista kolminumeroista lukua voidaan muodostaa luvuista 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 edellyttäen, että kutakin numeroa käytetään vain numeron syöttämisessä
kerran?
Päätös: Ongelman tilanteessa ehdotetaan laskea mahdollisten yhdistelmien lukumäärä alkaen
kolme numeroa, jotka on otettu ehdotetuista yhdeksästä numerosta, järjestyksen mukaan
numeroiden järjestyksellä yhdistelmässä on väliä (esim. numerot 132)
ja 231 erilaista). Toisin sanoen, sinun on löydettävä sijoittelujen määrä yhdeksästä
kolme elementtiä.
Sijoittelujen lukumäärän kaavan mukaan löydämme:
Vastaus: 504 kolminumeroista numeroa.
Tehtävä nro 5 Kuinka monella tavalla voidaan valita 7 henkilön joukosta kolmen hengen toimikunta?
Päätös: Jotta voit harkita kaikkia mahdollisia palkkioita, sinun on harkittava kaikkia
7:stä koostuvan joukon mahdolliset 3-elementtiset osajoukot
Ihmisen. Haluttu määrä tapoja on
Tehtävä numero 6. Kilpailuun osallistuu 12 joukkuetta. Kuinka monta vaihtoehtoa on
palkintopaikkojen (1, 2, 3) jako?
Päätös: A 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 vaihtoehtoa palkintojen jakamiseen.
Vastaus: 1320 vaihtoehtoa.
Tehtävä numero 7. Yleisurheilukilpailuissa kouluamme edusti joukkue
10 urheilijaa. Kuinka monella tavalla valmentaja voi määrittää, mitkä heistä
juoksee 4x100m viestissä ensimmäisessä, toisessa, kolmannessa ja neljännessä vaiheessa?
Päätös: Valinta 10-4, tilaus huomioiden: 
tavoilla.
Vastaus: 5040 tapaa.
Tehtävä numero 8. Kuinka monella tavalla voi punainen, musta, sininen ja
vihreitä palloja?
Päätös: Ensinnäkin voit laittaa minkä tahansa neljästä pallosta (4 tapaa) päälle
toinen - mikä tahansa kolmesta jäljellä olevasta (3 tapaa), kolmas sija - mikä tahansa
loput kaksi (2 tapaa), neljännellä sijalla - jäljellä oleva viimeinen pallo.
Yhteensä 4 3 2 1 = 24 tapaa.
P 4 = 4! \u003d 1 2 3 4 \u003d 24. Vastaus: 24 tapaa.
Tehtävä numero 9. Opiskelijoille annettiin luettelo 10 kirjasta, jotka heidän oli luettava aikanaan
loma-aika. Kuinka monella tavalla opiskelija voi valita niistä kuusi kirjaa?
Päätös: Valinta 6/10 tilauksesta riippumatta: 
tavoilla.
Vastaus: 210 tapaa.
Tehtävä numero 10. 9. luokalla on 7 oppilasta, 10 luokalla 9 oppilasta ja 11 luokalla 8 oppilasta. varten
työskennellä koulun sivustolla, on tarpeen erottaa kaksi opiskelijaa luokasta 9,
kolme 10:stä ja yksi 11:stä. Kuinka monta tapaa valita
oppilaat töihin koulun alueelle?
Päätös: Valinta kolmesta sarjasta tilauksesta riippumatta, jokainen valinta alkaen
ensimmäisestä sarjasta (C 7 2) voidaan yhdistää jokaisen valinnan kanssa
toinen (C 9 3)) ja jokaisella valinnalla kolmas (C 8 1) säännön mukaan
kertolasku saadaan:
Vastaus: 14 112 tapaa.
Tehtävä numero 11. Yhdeksäsluokkalaiset Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha ja Olya juoksivat luokse
vaihtaa tennispöytään, jossa peli oli jo käynnissä. Kuinka monta
viisi yhdeksäsluokkalaista, jotka juoksivat pöytään, voivat kestää
jono pöytätenniseen?
Päätös: Kuka tahansa yhdeksäsluokkalainen voi olla jonon ensimmäinen, kuka tahansa heistä toinen.
loput kolme, kolmas - mikä tahansa jäljellä olevista kahdesta ja neljäs -
yhdeksäsluokkalainen, joka juoksi toiseksi viimeiseksi, ja viides oli viimeinen. Tekijä:
kertosääntö, viidellä opiskelijalla on 5 4321=120 tapaa
Koko: px
Aloita impressio sivulta:
transkriptio
1 1 Kombinatoriikan peruskäsitteet 1 Liite Määritelmä Kaikkien luonnollisten lukujen tuloa 1:stä n:ään kutsutaan n-kertoimeksi ja kirjoitetaan Esimerkki Laske 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Esimerkki Laske! 7! 5! 5!! Olkoon näistä kirjaimista kolme kirjainta: 7 1! Permutaatiot 5 3 A, B, C Tehdään kaikki mahdolliset yhdistelmät ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (yhteensä yhdistelmät) Näemme, että ne eroavat toisistaan vain kirjainten järjestyksessä Määritelmä Yhdistelmät n elementistä, jotka eroavat toisistaan vain elementtien järjestyksen perusteella, kutsutaan permutaatioiksi Permutaatioita merkitään symbolilla n, jossa n on kunkin permutaatioon sisältyvien elementtien lukumäärä 3 3! Permutaatioiden lukumäärä voidaan laskea kaavalla n tai kertoimella: n n 1 n 3 1 n n! Siten kolmen elementin permutaatioiden lukumäärä kaavan mukaan on, joka on yhtäpitävä yllä olevan esimerkin tuloksen kanssa 5 0 Esimerkki Laske,! ! ! - 5! 5! -viisitoista! 5! 150! ! yksi! Esimerkki Kuinka monta eri viisinumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1, 3, 4, 5, jos mikään numero ei toistu numerossa?
25! Esimerkki Kilpailuun osallistui neljä joukkuetta Kuinka monta vaihtoehtoa paikkojen jakamiseen on mahdollista? 4! Sijoitus Olkoon neljä kirjainta A, B, C, D Muodosta kaikki vain kahden kirjaimen yhdistelmät, saamme: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Näemme, että kaikki tuloksena olevat yhdistelmät eroavat joko kirjaimin tai järjestyksensä perusteella (yhdistelmiä BA ja AB pidetään erilaisina) Määritelmä M elementin yhdistelmiä n elementillä, jotka eroavat toisistaan joko itse elementtien tai elementtien järjestyksen perusteella, kutsutaan sijoitteluiksi. merkitään n A m n kunkin yhdistelmän elementtien lukumäärällä , missä m on kaikkien käytettävissä olevien elementtien lukumäärä, A n m m! (m n)! Esimerkki Kuinka monta vaihtoehtoa on kolmen palkinnon jakamiseen, jos 7 joukkuetta osallistuu arvontaan? 3 7! 7! A! 4! 10 Esimerkki Kuinka monta erilaista nelinumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 0, 1, 8, 9? 4 10! kymmenen! A!! Esimerkki Kuinka monta aikatauluvaihtoehtoa voidaan luoda yhdelle päivälle, jos niitä on yhteensä 8 aiheita, ja vain kolme niistä voidaan sisällyttää päivän aikatauluun? 3 8! kahdeksan! A! 5! Esimerkki Kuinka monta vaihtoehtoa kolmen lahjakortin jakamiseksi eriprofiiliseen parantolaan voidaan tehdä viidelle hakijalle? 3 5! 5! A!!
3 Yhdistelmät Määritelmä Yhdistelmät ovat kaikki mahdollisia yhdistelmiä m elementistä n:llä, jotka eroavat toisistaan vähintään vähintään yksi elementti (tässä m ja n kokonaislukuja, ja n 4 Satunnaisilmiötä voidaan luonnehtia sen esiintymistiheyden suhteella kokeiden lukumäärään, joissa kaikissa kokeiden samoissa olosuhteissa se voisi tapahtua tai ei. Näiden säännönmukaisuuksien kirjaamiseksi ja tutkimiseksi , esittelemme joitain peruskäsitteitä ja määritelmiä Määritelmä Mitä tahansa toimintaa, ilmiötä, havaintoa, jolla on useita eri lopputuloksia, jotka toteutetaan tietyissä olosuhteissa, kutsutaan testiksi Määritelmä Tämän toiminnan tai havainnon tulosta kutsutaan satunnaiseksi tapahtumaksi. Esimerkiksi luvun esiintyminen kolikkoa heitettäessä on satunnainen tapahtuma, koska se on voinut tapahtua tai ei. Määritelmä Jos olemme kiinnostuneita jostakin tietystä tapahtumasta kaikista mahdollisista mahdollisia tapahtumia, niin kutsumme sitä halutuksi tapahtumaksi (tai halutuksi lopputulokseksi) Määritelmä Kaikki tarkasteltavat tapahtumat katsotaan yhtä mahdollisiksi, ne, joilla on yhtäläiset mahdollisuudet tapahtua. Joten noppaa heittäessä 1-piste, 3, 4 , 5 tai pisteet voivat näkyä testitulokset ovat yhtä todennäköisiä Toisin sanoen tasa-arvo tarkoittaa tasa-arvoa, yksittäisten testitulosten symmetriaa tietyissä olosuhteissa Tapahtumat merkitään yleensä latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: A, B, C, D Määritelmä Tapahtumat ovat kutsutaan yhteensopimattomaksi, jos kaksi niistä ei voi esiintyä tässä kokeessa. Muuten tapahtumia kutsutaan yhteisiksi, joten kun kolikkoa heitetään, numeron esiintyminen sulkee pois vaakunan samanaikaisen esiintymisen; tämä on esimerkki yhteensopimattomista tapahtumista 4 5 Tarkastellaan toista esimerkkiä. Oletetaan, että kohteeseen piirretään ympyrä, timantti ja kolmio. Yksi laukaus ammutaan Tapahtuma A osui ympyrään, tapahtuma B osui timanttiin, tapahtuma C osuu kolmioon Sitten tapahtumat A ja B, A ja C, C ja B ovat yhteensopimattomia Määritelmä Tapahtumaa kutsutaan luotettavaksi, jos se tapahtuu tässä testissä välttämättä Esimerkiksi voitto lottolipulla on luotettava tapahtuma Luotettavat tapahtumat merkitään kirjaimella U Määritelmä Tapahtumaa kutsutaan mahdottomaksi, jos se ei voi tapahtua tämä testi Esimerkiksi noppaa heittäessä on mahdotonta saada 7 pistettä Mahdoton tapahtuma merkitty kirjaimella V Määritelmä Täydellinen tapahtumajärjestelmä A 1, A, A 3, A n on joukko yhteensopimattomia tapahtumia, joiden esiintyminen joista ainakin yksi on pakollinen tässä kokeessa. Joten yhden, kahden, kolmen, neljän, viiden, kuuden pisteen menetys leikkivää luuta heittäessä on täydellinen tapahtumajärjestelmä, koska kaikki nämä tapahtumat ovat yhteensopimattomia ja esiintyminen Vähintään yksi niistä vaaditaan Määritelmä Jos koko järjestelmä koostuu kahdesta tapahtumasta, niin tällaisia tapahtumia kutsutaan vastakkaiksi ja niitä merkitään A:lla ja A:lla Esimerkki On yksi arpalipuke "6/45", jota hän ei voi voittaa Ovatko nämä tapahtumat yhteensopimattomia ? Esimerkki Yhdessä laatikossa on 30 numeroitua palloa. Selvitä, mitkä seuraavista tapahtumista ovat mahdottomia, varmoja, vastakkaisia: numeroitu pallo vedetään (; parillinen pallo on vedetty (pariton pallo on vedetty (C); pallo ilman numeroa arvotaan (D) Mitkä heistä muodostavat täydellisen ryhmän?Esimerkki Ovatko tapahtumat totta vai mahdotonta, että yksi noppaa heitetään: 5 pistettä; 7 pistettä; 1:stä pisteisiin? Mitkä tapahtumat tässä kokeessa muodostaa täydellinen ryhmä? 5 6 Määritelmä Usean tapahtuman summa on tapahtuma, joka koostuu vähintään yhden niistä tapahtumisesta testin tuloksena Tapahtumien A ja B summa, merkitty (A + ja tarkoittaa, että tapahtuma A, tai B tai A ja B yhdessä on tapahtunut Määritelmä Usean tapahtuman tuloa kutsutaan tapahtumaksi , joka koostuu kaikkien näiden tapahtumien yhteisestä esiintymisestä testin tuloksena Tapahtumien A ja B tulo tarkoittaa: AB 3 Todennäköisyyden määrittäminen tapahtuma Satunnaisia tapahtumia toteutuu erilaisilla mahdollisuuksilla Jotkut esiintyvät useammin, toiset harvemmin Tapahtuman toteutumismahdollisuuksien kvantifioimiseksi otetaan käyttöön tapahtuman todennäköisyyden käsite Määritelmä Tapahtuman A todennäköisyys on luvun suhde. M suotuisia tuloksia kokonaismäärään N yhtä todennäköisiä tuloksia, jotka muodostavat täydellisen ryhmän: Tietyn tapahtuman todennäköisyys on 1, mahdoton 0, satunnainen: 0 (1 Tämä on klassinen todennäköisyyden määritelmä Tapahtuman A suhteellinen esiintyvyys n testit: M N * (Esimerkki Yksi kirjain valitaan satunnaisesti sanasta "poliklinikka" Millä todennäköisyydellä tämä on vokaali? Mikä on K-kirjain? Mikä on vokaali tai K-kirjain? Kirjaimia yhteensä 11 Tapahtuma A kokeen tuloksena ilmestyi vokaalikirjain Tapahtuma B kirjain K ilmestyi Tapahtumaa A suosii viisi tapahtumaa (5 vokaalia), tapahtumaa B suosii kaksi m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Todennäköisyysteorian peruslauseet ja kaavat Todennäköisyyslisäyslause Todennäköisyys, että jokin yhteensopimattomista tapahtumista tapahtuu, on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa: 7 A A A A A 1 n 1 A n Kahden yhteisen tapahtuman summan todennäköisyys A A Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa (1 Määritelmä Olkoot A ja B kaksi saman testin satunnaista tapahtumaa Nimitys: A B A Todennäköisyyskerroinlause Todennäköisyys kahden riippumattoman tapahtuman samanaikainen esiintyminen on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo A 7 Matematiikka (BkPl-100) M.P. Kharlamov 2011/2012 lukuvuosi, 1. lukukausi Luento 5. Aihe: Kombinatoriikka, johdatus todennäköisyyslaskentaan 1 Aihe: Kombinatoriikka Kombinatoriikka on matematiikan haara, jota tutkitaan Matematiikan ja informatiikan laitos Matematiikka Opetus- ja metodologinen kokonaisuus etätekniikalla opiskeleville toisen asteen ammatillisen koulutuksen opiskelijoille Moduuli 6 Todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilastotieteen elementit AIHE. TODENNÄKÖISYYDEN LIITTYMÄ- JA KERTOAMINEN Teoriat Satunnaisten tapahtumien operaatiot. Tapahtumien algebra. Tapahtumien yhteensopivuuden käsite. Täydellinen tapahtumaryhmä. Satunnaisten tapahtumien riippuvuus ja riippumattomuus. Ehdollinen Luento Todennäköisyysteoria Peruskäsitteet Kokeilutaajuus Todennäköisyys Todennäköisyysteoria on matematiikan osa, joka tutkii satunnaisten ilmiöiden kuvioita. Satunnaiset tapahtumat ovat tapahtumia, jotka Oppitunti 3 JOHDANTO TODENNÄKÖISYYSTEORIAN METODOLOGISET SUOSITUKSET MISIS 2013 HYVÄKSYTTY: D.E. Kaputkin Vuorten opetusministeriön kanssa tehdyn sopimuksen täytäntöönpanon opetus- ja menetelmätoimikunnan puheenjohtaja. 1 OSA I. TODENNÄKÖISYYSTEORIA LUKU 1. 1. Kombinatoriikan elementit Määritelmä 1. Esimerkit: Määritelmä. -factorial on numero, joka on merkitty !, while! = 1** * kaikille luonnollisille luvuille 1, ; sitä paitsi, 1) Kuinka monta kolminumeroista luonnollista lukua on vain kaksi numeroa vähemmän kuin viisi? Vain viisi numeroa on alle 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Loput viisi numeroa ovat vähintään 5: ( ; ; ; ; ) 1. ratkaisutapa Luento 3 Aihe Todennäköisyyslaskennan päälauseet ja kaavat Aiheen sisältö Tapahtumien algebra. Todennäköisyyksien yhteenlaskulauseet. Ehdollinen todennäköisyys. Todennäköisyyksien kertolaskulauseet. Kokonaistodennäköisyyskaava. Luennon aihe: TAPAHTUMAN ALGEBRAT TODENNÄKÖISUUDEN PERUSLAUSEET Tapahtumien algebra Tapahtumien summaa kutsutaan tapahtumaksi S = +, joka koostuu vähintään yhden niistä tapahtumisesta Tapahtumien tulo ja on ns. Korkeamman matematiikan laitos Luennot todennäköisyysteoriasta ja matemaattisesta tilastosta Osasto. Todennäköisyysteoria Todennäköisyysteorian aiheena on tiettyjen homogeenisten massojen säännönmukaisuuksien tutkimus SISÄLTÖ TEEMA III. JOHDANTO TODENNÄKÖISYYSTEORIAAN... 2 1. VIITEAINEISTOT... 2 1.1. PERUSKÄSITTEET JA MÄÄRITELMÄT... 2 1.2. TOIMENPITEET SATUNNAISISIIN TAPAHTUMAT... 4 1.3. KLASSINEN MÄÄRITELMÄ Luento 2. Todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskulauseet Tapahtuman summa ja tulo LIITTOVALTION TALOUSARVIOKOULUTUSLAITOS KORKEAN AMMATILLINEN KOULUTUSLAITOS "Tšeljabinskin valtion kulttuuri- ja taideakatemia" Informatiikan laitos TODENNÄKÖISYYSTEORIA SATUNNAISEN TAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYS Kolmogorovin aksioomit Vuonna 1933 AN Kolmogorov kirjassaan "Todennäköisyysteorian peruskäsitteet" antoi aksiomaattisen perustelun todennäköisyysteorialle. "Tämä tarkoittaa, että sen jälkeen POHJOINEN PIIRIN OPETUSLAITOS TYÖOHJELMA Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen luokka Käytetyt opetusvälineet: Oppikirja: Tyurin Yu.N. jne. Todennäköisyysteoria ja tilastot. M., MTsNMO: JSC Liittovaltion koulutusvirasto Valtion korkea-asteen ammatillinen oppilaitos "KANSALLINEN TUTKIMUS Tomskin ammattikorkeakoulu" LUENTO TEORIASTA KOMBINATORIAALINEN TODENNÄKÖISYYS Aihe 5 Luennon sisältö 1 Johdanto 2 3 4 Seuraava kappale 1 Johdanto 2 3 4 Ongelma... Ongelma... Ongelma... ... ja ratkaisu: Tyttö LUENTO TAPAHTUMAN TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITTÄMISESTÄ Tapahtuman todennäköisyys viittaa todennäköisyysteorian peruskäsitteisiin ja ilmaisee tapahtuman objektiivisen mahdollisuuden mittaa Käytännön toiminnan kannalta on tärkeää I Todennäköisyyden määritelmä ja sen laskemisen perussäännöt Todennäköisyystutkimus Todennäköisyysteorian aihe Ongelmakirja Chudesenko, todennäköisyysteoria, variantti Kaksi noppaa heitetään. Määritä todennäköisyys, että: a pisteiden määrän summa ei ylitä N ; b pisteiden määrän tulo ei ylitä N; sisään Kokoonpano: Lääketieteellisen ja biologisen fysiikan laitoksen apulaisprofessori Romanova N.Yu. Todennäköisyyslaskenta 1 luento Johdanto. Todennäköisyysteoria on matemaattinen tiede, joka tutkii satunnaisten ilmiöiden kuvioita. MVDubatovskaja Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilastot Luento 3 Todennäköisyyksien määritysmenetelmät 0 Klassinen todennäköisyyksien määrittely Kutsumme mitä tahansa kokeen mahdollisista tuloksista alkeellisiksi Luento 3 Aihe Todennäköisyyslaskennan päälauseet ja kaavat Aiheen sisältö Tapahtumien algebra. Todennäköisyyksien yhteenlaskulauseet. Ehdollinen todennäköisyys. Todennäköisyyksien kertolaskulauseet. Algebran pääluokat Luento 1. Aihe: TODENNÄKÖISYYDEN MÄÄRITTÄMISEEN LIITTYVÄT PERUSLÄHESTYMISTAVAT Todennäköisyysteorian aihe. Historiallinen tausta M.P. Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Tiivistelmä Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot Yhteenveto ensimmäisestä osasta (kysymykset ja vastaukset) Dr. phys.-math. Tieteiden professori Mihail Pavlovich Kharlamov Todennäköisyysteoria Luentosuunnitelma P Todennäköisyydestä tieteenä P Todennäköisyyden perusmääritelmät P Satunnaisen tapahtuman taajuus Todennäköisyyden määritelmä P 4 Kombinatorian soveltaminen laskemiseen Todennäköisyysteorian elementit Satunnaiset tapahtumat Deterministiset prosessit Tieteessä ja tekniikassa tarkastellaan prosesseja, joiden lopputulos voidaan varmuudella ennustaa: Jos johtimen päihin sovelletaan eroa AIHE 1 Kombinatoriikka Todennäköisyyksien laskeminen Tehtävä 1B Jalkapallon jalkapallon cupiin osallistuu 17 joukkuetta Kuinka monella tavalla kulta-, hopea- ja pronssimitalit jaetaan? Sikäli kuin ( σ-algebra - satunnaisten tapahtumien kenttä - Kolmogorovin aksioomien ensimmäinen ryhmä - Kolmogorovin aksioomien toinen ryhmä - todennäköisyysteorian peruskaavat - todennäköisyyslaskennan lause - ehdollinen todennäköisyys Todennäköisyysteorian perusteet Luento 2 Sisältö 1. Ehdollinen todennäköisyys 2. Tapahtumien tulon todennäköisyys 3. Tapahtumien summan todennäköisyys 4. Kokonaistodennäköisyyskaava Riippuvat ja riippumattomat tapahtumat Määritelmä N. G. TAKTAROV TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA MATEMAATTISET TILASTOT: LYHYT KURSSI ESIMERKKEIN JA RATKAISUILLA Tekstiä on korjattu ja täydennetty TIIVISTELMÄ Kirja on oppikirja, jossa se on ytimekäs, yksinkertainen ja helposti lähestyttävä Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö Liittovaltion valtion budjettitaloudellinen korkea-asteen koulutuslaitos "Saratovin valtion sosioekonominen yliopisto" Ongelmia todennäköisyysteoriassa ja matemaattisessa tilastossa. Satunnaiset tapahtumat Tehtävä. N kohteen erässä tuotteissa on piilotettu vika. Millä todennäköisyydellä k satunnaisesti otetusta kohteesta TODENNÄKÖISYYSTEORIA. TEHTÄVÄT. Sisällysluettelo (aiheittain) 1. Todennäköisyyden klassisen määritelmän kaava. Kombinatoriikan elementit. Geometrinen todennäköisyys 4. Tapahtumat. Yhteen- ja kertolaskulauseet Kombinatoriset kaavat Olkoon joukko, joka koostuu n alkiosta. Merkitään se U n:llä. N elementin permutaatio on annettu järjestys joukossa U n. Esimerkkejä permutaatioista: 1) jakauma LUKU 5 TODENNÄKÖISYYSTEORIAN ALUKSET 5 Todennäköisyysteorian aksioomat Eri tapahtumat voidaan luokitella seuraavasti: Mahdoton tapahtuma Tapahtuma, jota ei voi tapahtua Tietty tapahtuma PRCTICUM Kombinatoriikan peruskaavat Tapahtumatyypit Tapahtumiin kohdistuvat toimet Klassinen todennäköisyys Geometrinen todennäköisyys Kombinatoriikan peruskaavat Kombinatoriikka tutkii yhdistelmien lukumäärää, Kokonaistodennäköisyyskaava. Olkoon tapahtumaryhmä H 1, H 2,..., H n, jolla on seuraavat ominaisuudet: 1) Kaikki tapahtumat ovat pareittain yhteensopimattomia: H i H j =; i, j = 1,2,...,n; ij 2) Heidän liittonsa VENÄJÄN FEDERAATIOIN OPETUSMINISTERIÖ IVANOVO VALTION ENERGIA-YLIOPISTO KORKEAN MATEMATIIKAN LAITOS TODENNÄKÖISYYSTEORIAN METODISET OHJEET Kokoanut: VENÄJÄN FEDERAATIN KULTTUURIMINISTERIÖ LIITTOVALTION TALOUSARVIO KORKEAAMATILLINEN KOULUTUSLAITOS "ST. Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilastotieteen tohtori Fysikaalisten matematiikan tohtori. Tieteiden professori Mihail Pavlovich Kharlamov "sivu" metodologisilla materiaaleilla http://inter.vags.ru/hmp RANEPAn Volgogradin haara (FGOU) Vorobjov V.V. "Lyceum", Kalachinsk, Omskin alue Työpaja todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen ongelmien ratkaisemisesta Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilastotieteen tohtori Fysikaalisten matematiikan tohtori. Tieteiden professori Mihail Pavlovich Kharlamov "sivu" metodologisilla materiaaleilla http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp RANEPAn Volgogradin haara TODENNÄKÖISYYSTEORIA. SATUNNAISTEN ARVOJEN JAKELU Tehtävä. Valitse oikea vastaus:. Satunnaisen tapahtuman A suhteellinen esiintymistiheys on arvo, joka on yhtä suuri kuin ... a) suosivien tapausten lukumäärän suhde TODENNÄKÖISYYSTEORIAN PERUSKÄSITTEET. 3.1. Satunnaisia tapahtumia. Jokainen tiede, tutkiessaan aineellisen maailman ilmiöitä, toimii tietyillä käsitteillä, joiden joukossa on välttämättä perustavanlaatuisia; Korkea-asteen ammatillinen koulutus Perustutkinto V. S. Mkhitaryan, V. F. Shishov, A. Yu. Kozlov Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot Oppikirja Suosittelee Educational and Methodological Association for Education SISÄLTÖ OSA I. TODENNÄKÖISYYSTEORIA Esipuhe................................................... ................ ......... 6 OSA I. SATUNNAISET TAPAHTUMAT ................... ............... 7 LUKU 1. Elementtien kombinatorinen analyysi ........................ Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilastotieteen tohtori Fysikaalisten matematiikan tohtori. Tieteiden professori Mihail Pavlovich Kharlamov Internet-resurssi metodologisilla materiaaleilla http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgogradin haara Chiv - S tapahtuma, joka koostuu siitä, että järjestelmä ei ole suljettu, voidaan kirjoittaa: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Samalla tavalla kuin tehtävien 2.5, 2.6 ratkaisussa saadaan S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö KAZAN NATIONAL RESEARCH TECHNICAL TODENNÄKÖISYYSTEORIA Kombinatoriikka, tulo- ja summasäännöt Kombinatoriikka tieteenä Liittovaltion koulutusvirasto Tomskin osavaltion ohjausjärjestelmien ja radioelektroniikan yliopisto NE Lugina TODENNÄKÖISYYSTEORIAN TYÖPAJA Oppikirja Tomsk 2006 Arvostelijat: Cand. Luento Satunnaiset tapahtumat Määritelmä. Alkeistulos (tai alkeistapahtuma) on mikä tahansa yksinkertainen (eli tietyn kokemuksen puitteissa jakamaton) kokemuksen tulos. Kaikkien perustulosten joukko LIITTOVALTION OPETUSVIRASTO Valtion korkea-asteen ammatillinen oppilaitos Uljanovskin valtion teknillinen yliopisto S. G. Valeev S. V. Kurkina Test 4. Todennäköisyyslaskenta Tämän aiheen ohjaustyö sisältää neljä tehtävää. Esitetään niiden toteuttamiseen tarvittavat todennäköisyysteorian peruskäsitteet. Tehtävien 50 50 ratkaiseminen edellyttää aiheen tuntemusta Osio "Todennäköisyys ja tilastot" E.M. Udalova. Primorsky District, school 579 Todennäköisyysteoria on matemaattinen tiede, jonka avulla voit löytää muiden satunnaisten tapahtumien todennäköisyydet joidenkin satunnaisten tapahtumien todennäköisyyksistä Tehtävä 1. Uurnassa on 40 palloa. Todennäköisyys, että 2 vedettyä palloa on valkoisia, on 7 60. Kuinka monta valkoista palloa on uurnassa? Niiden tapojen lukumäärä, joilla k kohdetta voidaan valita joukosta n, on yhtä suuri kuin C k 4 Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö Valtion ammatillisen korkeakoulun "Habarovskin valtion talous- ja oikeusakatemian" osasto VENÄJÄN FEDERAATIOIN OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖN LIITTOVALTAINEN KOULUTUSVIRASTO GOUVPO "Permin osavaltion yliopisto" Assoc. V.V. Morozenko UDC 59. (075.8) Korkeamman matematiikan teorian laitos LIITTOVALTION KOULUTUSVIRASTO Valtion ammatillinen korkeakoulu "Tomskin ammattikorkeakoulu" L. I. Konstantinova TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA MATEMAATTIIKKA Liittovaltion valtion budjettitalouden korkea-asteen koulutuslaitoksen liittovaltion rautatieliikenneviraston sivuliike "Siperian valtionyliopisto" Matriisideterminantin määritelmä Neliömatriisi koostuu yhdestä alkiosta A = (a). Tällaisen matriisin determinantti on A = det(a) = a. () a Neliömatriisi 2 2 koostuu neljästä elementistä A = TOMSKIN RAUTATIELIIKENNE OLETKO SGUPS YKSITYISTEHTÄVIEN KERÄYS “Kombinatoriikka elementtejä. Todennäköisyysteorian perusteet" harjoittaa todennäköisyyslaskentaa ja matemaattista tilastotietoa
À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì VENÄJÄN OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ Liittovaltion valtion budjetinen korkea-asteen ammatillinen koulutuslaitos "Ukhta State Technical University" (USTU) Kurinpitotyöpaja MVDubatov Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot Luento 4 Yhteen- ja kertolaskulauseet Kokonaistodennäköisyyskaava Bayes-kaava Olkoon ja B yhteensopimattomia tapahtumia ja todennäköisyyksiä TEHTÄVÄT: 1. Kirjoita hakasulkeiden avulla muistiin joukko luonnollisia lukuja, jotka sijaitsevat säteellä numeroiden 10 ja 15 välissä. Mikä luvuista on 0; kymmenen; yksitoista; 12; viisitoista; 50 kuuluu tähän sarjaan? 2. Kirjoita joukko muistiin LIITTOVALTION OPETUSVIRASTO Valtion korkea-asteen koulutuslaitos "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNICAL UNIVERSITY" L.I. KONSTANTINOV Luento 5 Aihe Bernoulli-kaavio. Aiheen sisältö Bernoulli-skeema. Bernoullin kaava. Todennäköisin onnistumisluku Bernoulli-järjestelmässä. Binomiaalinen satunnaismuuttuja. Newtonin binomiaalin pääluokat, kaavio Osaston opiskelun seurauksena opiskelijan tulee: tietää: ¾ kombinatoriikan peruskäsitteitä; ¾ todennäköisyyden klassinen määritelmä; ¾ satunnaismuuttujan määritelmä; ¾ satunnaismuuttujan matemaattiset ominaisuudet: matemaattinen odotus ja varianssi; pystyä: ¾ ratkaista tehtäviä tapahtuman todennäköisyyden selvittämiseksi; ¾ ratkaista tehtäviä satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ja varianssin löytämiseksi. Kombinatoriikan peruskäsitteet Matematiikan osiossa, jota kutsutaan kombinatoriikaksi, ratkaistaan joukkojen huomioimiseen ja näiden joukkojen elementtien erilaisten yhdistelmien kokoamiseen liittyviä ongelmia. Jos esimerkiksi otamme 10 erilaista numeroa 0, 1, 2, ..., 9 ja teemme niistä yhdistelmiä, saamme erilaisia lukuja, esimerkiksi 345, 534, 1036, 5671, 45 jne. Näemme, että jotkut näistä yhdistelmistä eroavat vain numerojärjestyksen (345 ja 534), toiset niihin sisältyvien numeroiden (1036, 5671) ja toisten myös numeroiden lukumäärän (345 ja 45) osalta. Siten saadut yhdistelmät täyttävät erilaisia ehtoja. Koostumussäännöistä riippuen voidaan erottaa kolme tyyppiä yhdistelmiä: sijoittelut, permutaatiot ja yhdistelmät. Tutustutaan kuitenkin ensin faktoriaalin käsitteeseen. Kaikkien luonnollisten lukujen tuloa 1:stä n:ään kutsutaan n-faktoriaaliksi. 1. Majoitukset
. N elementin järjestelyt, m kukin, ovat sellaisia yhteyksiä, jotka eroavat toisistaan joko itse elementtien tai niiden järjestyksen mukaan. Esimerkki. Kuinka monta kaksinumeroista lukua voidaan muodostaa viidestä numerosta 1, 2, 3, 4, 5, jos mikään niistä ei toistu? Päätös. Koska kaksinumeroiset luvut eroavat toisistaan joko itse numeroiden tai niiden järjestyksen perusteella, vaadittu luku on yhtä suuri kuin viiden elementin sijoittelujen lukumäärä kahdella: Harjoittele. Kuinka monella tavalla kolme henkilöä voidaan valita kahdeksasta ehdokkaasta kolmeen virkaan? Vastaus: 336. 2. Permutaatiot
. N alkion permutaatiot ovat sellaisia kaikkien n alkuaineiden yhdisteitä, jotka eroavat toisistaan alkuaineiden järjestyksen suhteen. Esimerkki. Olkoon kolme kirjainta A, B, C. Kuinka monta yhdistelmää näistä kirjaimista voidaan tehdä? Päätös. Kolmen elementin permutaatioiden määrä voidaan laskea kaavalla: 3! == 6. Harjoittele. Kuinka monella tavalla 7 henkilöä voi istua 7 paikassa? Päätös. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Vastaus: 5040. 3. Esimerkki.Kuinka monella tavalla voidaan valita kolme hoitajaa, jos luokassa on 30 oppilasta? Päätös. Koska sinun on valittava 3 30 opiskelijasta, voit tehdä yhdistelmiä, jotka eroavat toisistaan vähintään yhdellä elementillä, ts. yhdistelmät 30-3: Vastaus: 4060. Harjoittele. Kuinka monella tavalla 15 työntekijästä voidaan muodostaa 5 hengen ryhmiä? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Vastaus: 3003. Kysymyksiä itsehillintää varten 1. Listaa kombinatoriikan päätehtävät. 2. Mitä kutsutaan permutaatioiksi? 3. Kirjoita muistiin kaava n alkion permutaatioille. 4. Mitä kutsutaan sijoitteluiksi? 5. Kirjoita muistiin kaava n elementin sijoitusten lukumäärälle m:llä. 6. Mitä kutsutaan yhdistelmiksi? 7. Kirjoita muistiin n alkion yhdistelmien lukumäärän kaava m:llä. Ohjaustehtävä KÄYTÄNNÖN TEHTÄVÄT ITSENHALLINTAAN Kuinka monta vaihtoehtoa on kolmen palkinnon jakamiseen, jos 7 joukkuetta osallistuu arvontaan? Kuinka monella tapaa konferenssiin voidaan valita kaksi opiskelijaa, jos ryhmässä on 33 henkilöä? Ratkaise yhtälöt 15 hengen ryhmästä tulee valita esimies ja 4 prikaatin jäsentä. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä? Morsekoodin kirjaimet koostuvat symboleista (pisteistä ja viivoista). Kuinka monta kirjainta voidaan esittää, jos jokaisen kirjaimen vaaditaan sisältävän enintään viisi merkkiä? Kuinka monella tavalla neljän väriset nauhat voivat koostua seitsemästä erivärisestä nauhasta? Kuinka monella tavalla yhdeksästä ehdokkaasta voidaan valita neljä henkilöä neljään eri virkaan? Kuinka monella tavalla voit valita 3 kortista kuudesta? Ennen valmistumista 30 opiskelijan ryhmä vaihtoi valokuvia. Kuinka monta valokuvaa jaettiin. Kuinka monella tavalla 10 vierasta voi istua kymmeneen paikkaan juhlapöytään? Kuinka monta peliä 20 jalkapallojoukkueen on pelattava yhden kierroksen mestaruuskilpailuissa? Kuinka monella tavalla 12 henkilöä voidaan jakaa ryhmiin, jos jokaisessa joukkueessa on 6 henkilöä? Todennäköisyysteoria Yhdeksän erilaista kirjaa on järjestetty satunnaisesti yhdelle hyllylle. Laske todennäköisyys, että neljä tiettyä kirjaa sijoitetaan vierekkäin (tapahtuma C). Kymmenestä lipusta voittaa 2. Määritä todennäköisyys, että 5 satunnaisesti otetusta lipusta yksi voittaa. Korttipakasta (52 korttia) vedetään satunnaisesti 3 korttia. Etsi todennäköisyys, että se on kolme, seitsemän, ässä. Lapsi leikkii jaetun aakkoston viidellä kirjaimella A, K, R, W, Y. Millä todennäköisyydellä hän saa sanan "katto" satunnaisella kirjainten järjestelyllä peräkkäin. Laatikko sisältää 6 valkoista ja 4 punaista palloa. Kaksi palloa otetaan satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä ne ovat samanvärisiä? Ensimmäisessä uurnassa on 6 mustaa ja 4 valkoista palloa, toisessa 5 mustaa ja 7 valkoista palloa. Jokaisesta uurnasta vedetään yksi pallo. Mikä on todennäköisyys, että molemmat pallot ovat valkoisia? Satunnaismuuttuja, satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja varianssi Todennäköisyys, että opiskelija löytää tarvitsemansa kirjan kirjastosta, on 0,3. Laadi jakelulaki kirjastojen lukumäärästä, joissa hän vierailee, jos kaupungissa on neljä kirjastoa. Metsästäjä ampuu riistaa ennen ensimmäistä osumaa, mutta onnistuu tekemään enintään neljä laukausta. Laske osumien määrän varianssi, jos todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,7. Laske satunnaismuuttujan X matemaattinen odotus, jos sen jakautumisen laki on annettu taulukosta: X R Tehtaalla on neljä automaattilinjaa. Todennäköisyys, että työvuoron aikana ensimmäinen rivi ei vaadi säätöä, on 0,9, toinen - 0,8, kolmas - 0,75, neljäs - 0,7. löytää matemaattinen odotus niiden rivien lukumäärästä, jotka eivät vaadi säätöä työvuoron aikana. X R V. VASTAUKSET Kombinatoriikka Todennäköisyysteoria Satunnaismuuttuja, satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja varianssi. 0,046656 2. 0,3 3. 13 EMBED-yhtälö.3 1415 4. 13 EMBED-yhtälö.3 1415 5.13 EMBED-yhtälö.3 1415 6.13EMBED-yhtälö.3 1415. Root EntryEquation Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö Natiiviyhtälö NativeEquation
Yhdistelmät
. N:n alkuaineen yhdistelmät, kukin m, ovat sellaisia yhdisteitä, jotka eroavat toisistaan ainakin yhdellä alkuaineella.
Kombinatoriikka
Kuinka monta eri viisinumeroista lukua voidaan tehdä numeroista 1, 3, 5, 7, 9, jos mikään numero ei toistu numerossa?
a) 13 EMBED-yhtälö.3 1415. b) 13 EMBED-yhtälö.3 1415.
Kuinka monta 5:llä jaollista nelinumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 0, 1, 2, 5, 7, jos jokainen luku ei saa sisältää samoja numeroita?
Urna sisältää 7 punaista ja 6 sinistä palloa. Kaksi palloa otetaan ulos uurnasta samanaikaisesti. Mikä on todennäköisyys, että molemmat pallot ovat punaisia (tapahtuma A)?
Kirjoita jakaumalaki kuuden laukauksen maaliin osumien lukumäärälle, jos yhdellä laukauksella osumisen todennäköisyys on 0,4.
1
2
3
4
0,3
0,1
0,2
0,4
Etsi satunnaismuuttujan X varianssi, kun tiedät sen jakauman lain:
0
1
2
3
4
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02
. b) 13 EMBED-yhtälö.3 1415. 5. 13 EMBED-yhtälö.3 1415. 6.13 EMBED-yhtälö.3 1415. 7. 13 EMBED-yhtälö.3 1415. 8. 13 EMBED-yhtälö.3 14113.MB 14115.MB 10.13 EMBED-yhtälö.3 1415. 11. 13 EMBED-yhtälö.3 1415. 12. 13 EMBED-yhtälö.3 1415. 13.190.14.924.
1. 13 EMBED Yhtälö.3 1415 2.13 EMBED Yhtälö.3 1415 3. 13 EMBED Yhtälö.3 1415 4. 13 EMBED Yhtälö.3 14155. 13 EMBED Yhtälö.3 14156 14156 MBED 14156 13 MBED .13.15
1.
0
1
2
3
4
5
6
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096
1
2
3
4
0,21
0,147
0,343
