Jokaisesta aritmeettisesta operaatiosta tulee joskus liian vaivalloista tallennettavaksi, ja sitä yritetään yksinkertaistaa. Se oli aiemmin sama lisäystoiminnon kanssa. Ihmisten oli tarpeen suorittaa toistuvia samantyyppisiä lisäyksiä, esimerkiksi laskea sadan persialaisen maton hinta, joiden hinta on 3 kultakolikkoa jokaista kohden. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Hankaluuden vuoksi merkintä keksittiin pienentää arvoon 3 * 100 = 300. Itse asiassa merkintä "kolme kertaa sata" tarkoittaa, että sinun on otettava sata kolminkertaista ja lisää ne yhteen. Kertominen juurtui, saavutti yleisen suosion. Mutta maailma ei seiso paikallaan, ja keskiajalla tuli tarpeelliseksi suorittaa samantyyppinen kertolasku. Muistan vanhan intialaisen arvoituksen viisasta miehestä, joka pyysi vehnänjyviä seuraavan määrän palkkiona tehdystä työstä: shakkilaudan ensimmäisestä solusta hän pyysi yhden jyvän, toisesta kaksi, kolmannesta neljä. , viides - kahdeksan ja niin edelleen. Näin ilmestyi ensimmäinen potenssien kertolasku, koska jyvien lukumäärä oli yhtä suuri kuin kaksi soluluvun potenssilla. Esimerkiksi viimeisessä solussa olisi 2*2*2*…*2 = 2^63 grains, mikä vastaa 18 merkin pituista lukua, mikä itse asiassa on arvoituksen tarkoitus.

Potenssikorotusoperaatio juurtui melko nopeasti, ja nopeasti tuli myös tarpeelliseksi suorittaa asteiden yhteen-, vähennys-, jako- ja kertolasku. Jälkimmäistä kannattaa harkita tarkemmin. Voimien lisäämiskaavat ovat yksinkertaisia ​​ja helppo muistaa. Lisäksi on erittäin helppo ymmärtää, mistä ne tulevat, jos tehotoiminto korvataan kertolaskulla. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä alkeisterminologia. Lauseke a ^ b (lue "a b:n potenssiin") tarkoittaa, että luku a tulee kertoa itsestään b kertaa, ja "a" kutsutaan asteen kantapääksi ja "b" on eksponentti. Jos potenssien kantaluvut ovat samat, kaavat johdetaan yksinkertaisesti. Tarkka esimerkki: etsi lausekkeen 2^3 * 2^4 arvo. Jotta tiedät, mitä pitäisi tapahtua, sinun tulee selvittää vastaus tietokoneelta ennen ratkaisun aloittamista. Kun tämä lauseke syötetään mihin tahansa online-laskimeen, hakukoneeseen, kirjoitetaan "potenssien kertominen eri kantajilla ja samalla tavalla" tai matemaattinen paketti, tulos on 128. Kirjoita nyt tämä lauseke: 2^3 = 2*2*2, ja 2^4 = 2*2*2*2. Osoittautuu, että 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Osoittautuu, että potenssien tulo, joilla on sama kanta, on yhtä suuri kuin kanta, joka on korotettu potenssiin, joka on yhtä suuri kuin kahden edellisen potenssin summa.

Saatat ajatella, että tämä on onnettomuus, mutta ei: mikä tahansa muu esimerkki voi vain vahvistaa tämän säännön. Yleisesti ottaen kaava näyttää siis tältä: a^n * a^m = a^(n+m) . On myös sääntö, että mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi. Tässä tulee muistaa negatiivisten potenssien sääntö: a^(-n) = 1 / a^n. Eli jos 2^3 = 8, niin 2^(-3) = 1/8. Tätä sääntöä käyttämällä voimme todistaa yhtälön a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) voidaan pienentää ja pysyy yhtenä. Tästä johdetaan sääntö, että potenssien, joilla on sama kanta, osamäärä on yhtä suuri kuin tämä kanta siinä asteessa, joka on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan osamäärä: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Esimerkki: Yksinkertaista lauseke 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Kertominen on kommutatiivinen operaatio, joten kertolaskujen eksponentit on ensin lisättävä: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Seuraavaksi sinun tulee käsitellä negatiivisen asteen jakoa. Jakajan eksponentti on vähennettävä osinkoeksponentista: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. osoittautuu, että negatiivisella asteella jakaminen on identtinen samanlaisella positiivisella eksponentilla kertomisen kanssa. Lopullinen vastaus on siis 8.

On esimerkkejä, joissa ei-kanoninen voimien kertominen tapahtuu. Voimien kertominen eri perusteilla on usein paljon vaikeampaa ja joskus jopa mahdotonta. On annettava useita esimerkkejä erilaisista mahdollisista lähestymistavoista. Esimerkki: yksinkertaista lauseke 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. On selvää, että potenssien kerroin on eri kanta. Mutta on huomattava, että kaikki emäkset ovat kolminkertaisen eri tehoja. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Käytä sääntöä (a^n) ^m = a^(n*m) , sinun tulee kirjoittaa lauseke uudelleen sopivampaan muotoon: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Vastaus: 3^11. Tapauksissa, joissa on erilaisia ​​emäksiä, sääntö a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n toimii yhtäläisille indikaattoreille. Esimerkiksi 3^3 * 7^3 = 21^3. Muuten, kun on olemassa erilaisia ​​emäksiä ja indikaattoreita, on mahdotonta tehdä täydellistä kertolaskua. Joskus voit osittain yksinkertaistaa tai turvautua tietotekniikan apuun.

Jos haluat nostaa tietyn luvun potenssiin, voit käyttää . Tarkastellaan nyt tarkemmin voimien ominaisuudet.

Eksponentiaaliset luvut avaavat suuria mahdollisuuksia, niiden avulla voimme muuntaa kertolaskuja yhteenlaskettavaksi, ja yhteenlasku on paljon helpompaa kuin kertolasku.

Esimerkiksi meidän on kerrottava 16 luvulla 64. Näiden kahden luvun tulo on 1024. Mutta 16 on 4x4 ja 64 on 4x4x4. Eli 16 kertaa 64=4x4x4x4x4, mikä on myös 1024.

Luku 16 voidaan esittää myös muodossa 2x2x2x2 ja 64 2x2x2x2x2x2, ja jos kerromme, saadaan taas 1024.

Nyt käytetään sääntöä. 16 = 4 2 tai 2 4 , 64 = 4 3 tai 2 6 , kun taas 1024 = 6 4 = 4 5 tai 2 10 .

Siksi ongelmamme voidaan kirjoittaa toisella tavalla: 4 2 x4 3 =4 5 tai 2 4 x2 6 =2 10, ja joka kerta saadaan 1024.

Voimme ratkaista useita samanlaisia ​​esimerkkejä ja nähdä, että lukujen kertominen potenssien kanssa pienenee eksponentien lisääminen, tai eksponentti, tietysti edellyttäen, että tekijöiden kantaluvut ovat yhtä suuret.

Näin ollen voimme kertomatta heti sanoa, että 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.

Tämä sääntö pätee myös jaettaessa lukuja potenssilla, mutta tässä tapauksessa esim jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenttista. Näin ollen 2 5:2 3 =2 2 , joka tavallisissa luvuissa on 32:8=4, eli 2 2 . Tehdään yhteenveto:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, missä m ja n ovat kokonaislukuja.

Ensi silmäyksellä saattaa näyttää siltä lukujen kertominen ja jako potenssien kanssa ei ole kovin kätevää, koska ensin sinun on esitettävä numero eksponentiaalisessa muodossa. Ei ole vaikeaa esittää numeroita 8 ja 16 tässä muodossa, eli 2 3 ja 2 4, mutta kuinka tehdä tämä numeroilla 7 ja 17? Tai mitä tehdä niissä tapauksissa, kun luku voidaan esittää eksponentiaalisessa muodossa, mutta lukujen eksponentiaalisten lausekkeiden perusteet ovat hyvin erilaisia. Esimerkiksi 8×9 on 2 3 x 3 2 , jolloin emme voi laskea eksponenttia yhteen. Ei 2 5 eikä 3 5 ole vastaus, eikä vastaus näiden kahden välillä.

Kannattaako tämän menetelmän kanssa sitten vaivautua ollenkaan? Ehdottomasti sen arvoista. Se tarjoaa valtavia etuja erityisesti monimutkaisiin ja aikaa vieviin laskelmiin.

Tehtyjen yhteen- ja vähennyslasku

On selvää, että lukuja, joilla on potenssit, voidaan lisätä muiden suureiden tapaan , lisäämällä ne yksitellen merkeineen.

Joten a 3:n ja b 2:n summa on a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kertoimet samojen muuttujien samat potenssit voidaan lisätä tai vähentää.

Joten 2a 2:n ja 3a 2:n summa on 5a 2 .

On myös selvää, että jos otetaan kaksi ruutua a, kolme ruutua a tai viisi ruutua a.

Mutta asteet erilaisia ​​muuttujia ja erilaisia ​​tutkintoja identtiset muuttujat, on lisättävä lisäämällä ne merkkeihinsä.

Joten 2:n ja 3:n summa on 2 + a 3:n summa.

On selvää, että a:n neliö ja a:n kuutio eivät ole kaksi kertaa a:n neliö, vaan kaksi kertaa a:n kuutio.

Arvojen a 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Vähennyslasku valtuudet suoritetaan samalla tavalla kuin lisääminen, paitsi että aliosan merkkejä on muutettava vastaavasti.

Tai:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4t 2b 6 \u003d -t 2b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Tehon kertolasku

Potensseilla varustetut luvut voidaan kertoa muiden suureiden tapaan kirjoittamalla ne peräkkäin joko kertolaskun kanssa tai ilman.

Joten tulos kertomalla a 3:lla b 2 on a 3 b 2 tai aaabb.

Tai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 v

Viimeisen esimerkin tulos voidaan järjestää lisäämällä samat muuttujat.
Lauseke saa muotoa: a 5 b 5 y 3 .

Vertaamalla useita lukuja (muuttujia) potenssiin, voimme nähdä, että jos mitkä tahansa niistä kerrotaan, niin tuloksena on luku (muuttuja), jonka potenssi on summa termien asteet.

Joten a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tässä 5 on kertolaskutuloksen teho, joka on yhtä suuri kuin 2 + 3, termien potenssien summa.

Joten a n.a m = a m+n.

Kun a n , a otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin n:n potenssi on;

Ja a m , otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin aste m on yhtä suuri;

Siksi, potenssit, joilla on sama kanta, voidaan kertoa lisäämällä eksponentit.

Joten a 2.a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Tai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kerro (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastaus: x 4 - y 4.
Kerro (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Tämä sääntö pätee myös lukuihin, joiden eksponentit ovat − negatiivinen.

1. Joten a -2 .a -3 = a -5 . Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jos a + b kerrotaan a - b:llä, tulos on a 2 - b 2: eli

Kahden luvun summan tai erotuksen kertomisen tulos on yhtä suuri kuin niiden neliöiden summa tai erotus.

Jos kahden luvun summa ja erotus korotetaan neliö-, tulos on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa tai erotus neljäs tutkinnon.

Joten (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2) ⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Toimivallan jako

Potenssiluvut voidaan jakaa kuten muutkin luvut vähentämällä jakajasta tai asettamalla ne murtolukumuotoon.

Joten a 3 b 2 jaettuna b 2:lla on a 3 .

5:n kirjoittaminen jaettuna 3:lla näyttää tältä $\frac $. Mutta tämä on yhtä kuin 2. Numerosarjassa
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mikä tahansa luku voidaan jakaa toisella, ja eksponentti on yhtä suuri ero jaollisten lukujen indikaattorit.

Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään..

Joten y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Eli $\frac = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . Eli $\frac = a^n$.

Tai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Sääntö koskee myös numeroita, joissa on negatiivinen asteen arvot.
Tulos jakamalla -5 luvulla -3 on -2.
Myös $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 tai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

On välttämätöntä hallita valtuuksien kerto- ja jakamista hyvin, koska tällaisia ​​​​operaatioita käytetään hyvin laajasti algebrassa.

Esimerkkejä esimerkkien ratkaisemisesta potenssien lukuja sisältävillä murtoluvuilla

1. Pienennä eksponenttia $\frac $:ssa Vastaus: $\frac $.

2. Pienennä eksponentit muodossa $\frac$. Vastaus: $\frac $ tai 2x.

3. Pienennä eksponentit a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
a 2.a -4 on -2 ensimmäinen osoittaja.
a 3 .a -3 on a 0 = 1, toinen osoittaja.
a 3 .a -4 on -1, yhteinen osoittaja.
Yksinkertaistuksen jälkeen: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Pienennä eksponentit 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
Vastaus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 tai 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.

5. Kerro (a 3 + b)/b 4 luvulla (a - b)/3.

6. Kerro (a 5 + 1)/x 2 luvulla (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kerro b 4 /a -2 luvulla h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jaa 4 /v 3 luvulla 3 /v 2 . Vastaus: a/y.

asteen ominaisuudet

Muistutamme, että tällä oppitunnilla ymmärrämme asteen ominaisuudet luonnollisilla indikaattoreilla ja nollalla. Rationaalisilla mittareilla varustettuja tutkintoja ja niiden ominaisuuksia käsitellään luokan 8 tunneilla.

Eksponentilla, jossa on luonnollinen eksponentti, on useita tärkeitä ominaisuuksia, joiden avulla voit yksinkertaistaa laskelmia eksponentiesimerkeissä.

Kiinteistö nro 1
Voimien tuote

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit lisätään.

a m a n \u003d a m + n, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Tämä tehojen ominaisuus vaikuttaa myös kolmen tai useamman potenssin tuloon.

• Yksinkertaista ilmaisu.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Esitä tutkinnona.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Esitä tutkinnona.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Huomaa, että ilmoitetussa ominaisuudessa oli kyse vain voimien kertomisesta samoilla perusteilla.. Se ei koske niiden lisäämistä.

Et voi korvata summaa (3 3 + 3 2) luvulla 3 5 . Tämä on ymmärrettävää, jos
laske (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kiinteistö nro 2
Yksityiset tutkinnot

Kun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, kanta pysyy ennallaan ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista.

• Kirjoita osamäärä potenssina
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Laskea.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Esimerkki. Ratkaise yhtälö. Käytämme osittaisten asteiden ominaisuutta.
3 8: t = 3 4

Vastaus: t = 3 4 = 81

Ominaisuuksien nro 1 ja 2 avulla voit helposti yksinkertaistaa lausekkeita ja suorittaa laskutoimituksia.

Esimerkki. Yksinkertaista ilmaisu.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Esimerkki. Etsi lausekkeen arvo asteominaisuuksien avulla.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Huomaa, että kiinteistö 2 käsitteli vain toimivallan jakoa samoilla perusteilla.

Et voi korvata erotusta (4 3 −4 2) arvolla 4 1 . Tämä on ymmärrettävää, jos lasket (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

Kiinteistö nro 3
Eksponentointi

Kun potenssi nostetaan potenssiksi, potenssin kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit kerrotaan.

(a n) m \u003d a n m, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Muistutamme, että osamäärä voidaan esittää murtolukuna. Siksi käsittelemme aihetta murto-osan nostamisesta potenssiin tarkemmin seuraavalla sivulla.

Kuinka moninkertaistaa voimat

Kuinka moninkertaistaa voimat? Mitkä voimat voidaan moninkertaistaa ja mitkä ei? Kuinka kerrot luvun potenssilla?

Algebrassa voit löytää potenssien tulon kahdessa tapauksessa:

1) jos tutkinnoilla on sama peruste;

2) jos asteilla on samat indikaattorit.

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, kantaluvun on pysyttävä samana ja eksponentit on lisättävä:

Kun asteet kerrotaan samoilla indikaattoreilla, kokonaisindikaattori voidaan ottaa pois suluista:

Mieti, kuinka voit moninkertaistaa konkreettisten esimerkkien avulla.

Eksponentin yksikköä ei kirjoiteta, mutta kertoessaan asteet otetaan huomioon:

Kerrottaessa asteiden lukumäärä voi olla mikä tahansa. On muistettava, että et voi kirjoittaa kertomerkkiä ennen kirjainta:

Lausekkeissa eksponentio suoritetaan ensin.

Jos sinun on kerrottava luku potenssilla, sinun on ensin suoritettava eksponentio ja vasta sitten - kertominen:

Voimien kertominen samalla pohjalla

Tämä opetusvideo on saatavilla tilauksesta

Onko sinulla jo tilaus? Tulla sisään

Tällä oppitunnilla opimme kertomaan voimat samalla pohjalla. Ensin muistellaan asteen määritelmää ja muotoillaan lause tasa-arvon pätevyydestä . Sitten annamme esimerkkejä sen soveltamisesta tiettyihin lukuihin ja todistamme sen. Käytämme myös lausetta erilaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Aihe: Tutkinto luonnollisella indikaattorilla ja sen ominaisuuksilla

Oppitunti: potenssien kertominen samoilla perusteilla (kaava)

1. Perusmääritelmät

Perusmääritelmät:

n- eksponentti,

— n-luvun potenssi.

2. Lauseen 1 lause

Lause 1. Mille tahansa numerolle a ja mikä tahansa luonnollinen n ja k tasa-arvo on totta:

Toisin sanoen: jos a- mikä tahansa numero; n ja k luonnolliset luvut, sitten:

Siksi sääntö 1:

3. Tehtävien selittäminen

Johtopäätös: erikoistapaukset vahvistivat Lauseen nro 1 oikeellisuuden. Todistakaamme se yleisessä tapauksessa, eli mille tahansa a ja mikä tahansa luonnollinen n ja k.

4. Lauseen 1 todistus

Annettu numero a- minkä tahansa; numeroita n ja k- luonnollinen. Todistaa:

Todistus perustuu tutkinnon määritelmään.

5. Esimerkkien ratkaisu Lauseen 1 avulla

Esimerkki 1: Esitä tutkinnona.

Seuraavien esimerkkien ratkaisemiseksi käytämme lausetta 1.

ja)

6. Lauseen 1 yleistys

Tässä yleistys:

7. Esimerkkien ratkaisu Lauseen 1 yleistyksen avulla

8. Erilaisten ongelmien ratkaiseminen Lauseen 1 avulla

Esimerkki 2: Laske (voit käyttää perusastetaulukkoa).

a) (taulukon mukaan)

b)

Esimerkki 3: Kirjoita potenssina kanta 2:lla.

a)

Esimerkki 4: Määritä numeron etumerkki:

, a - negatiivinen, koska eksponentti kohdassa -13 on pariton.

Esimerkki 5: Korvaa ( ) jalustalla varustetulla teholla r:

Meillä on, eli.

9. Yhteenveto

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. 6. painos. M.: Valaistuminen. 2010

1. Kouluavustaja (lähde).

1. Ilmaise tutkintona:

a B C D E)

3. Kirjoita potenssiksi kanta 2:

4. Määritä luvun etumerkki:

a)

5. Korvaa ( ) luvun potenssilla, jossa on kanta r:

a) r4() = r15; b) ( ) r 5 = r 6

Tehtyjen kertominen ja jakaminen samoilla eksponenteilla

Tällä oppitunnilla tutkimme potenssien kertomista samoilla eksponenteilla. Muistetaan ensin perusmääritelmät ja -lauseet potenssien kertomisesta ja jakamisesta samoilla kantakantoilla ja potenssin nostamisesta potenssiin. Sitten muotoilemme ja todistamme lauseita potenssien kertomisesta ja jaosta samoilla eksponenteilla. Ja sitten heidän avullaan ratkaisemme joukon tyypillisiä ongelmia.

Muistutus perusmääritelmistä ja -lauseista

Tässä a- tutkinnon perusta

— n-luvun potenssi.

Lause 1. Mille tahansa numerolle a ja mikä tahansa luonnollinen n ja k tasa-arvo on totta:

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, eksponentit lisätään, kanta pysyy ennallaan.

Lause 2. Mille tahansa numerolle a ja mikä tahansa luonnollinen n ja k, sellasta n > k tasa-arvo on totta:

Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, eksponentit vähennetään ja kanta pysyy ennallaan.

Lause 3. Mille tahansa numerolle a ja mikä tahansa luonnollinen n ja k tasa-arvo on totta:

Kaikki yllä olevat lauseet koskivat potenssia, joilla on sama perusteita, tällä oppitunnilla tarkastellaan tutkintoja samalla tavalla indikaattoreita.

Esimerkkejä potenssien kertomisesta samoilla eksponenteilla

Harkitse seuraavia esimerkkejä:

Kirjoitetaan lausekkeet tutkinnon määrittämiseksi.

Johtopäätös: Esimerkeistä sen huomaa , mutta tämä on vielä todistettava. Muotoilemme lauseen ja todistamme sen yleisessä tapauksessa, eli mille tahansa a ja b ja mikä tahansa luonnollinen n.

Lauseen 4 väite ja todiste

Kaikille numeroille a ja b ja mikä tahansa luonnollinen n tasa-arvo on totta:

Todiste Lause 4 .

Tutkinnon määritelmän mukaan:

Olemme siis todistaneet sen .

Potenssejen kertomiseen samalla eksponentilla riittää kertomalla kannat ja jättämään eksponentti ennalleen.

Lauseen 5 väite ja todiste

Laadimme lauseen potenssien jakamisesta samoilla eksponenteilla.

Mille tahansa numerolle a ja b() ja mikä tahansa luonnollinen n tasa-arvo on totta:

Todiste Lause 5 .

Kirjataan ylös ja tutkinnon määritelmän mukaan:

Lauseet sanoilla

Olemme siis todistaneet sen.

Asteiden jakamiseksi keskenään samoilla eksponenteilla riittää jakaa kanta toisella ja jättää eksponentti ennalleen.

Tyypillisten ongelmien ratkaisu Lauseen 4 avulla

Esimerkki 1: Ilmaise voimien tuotteena.

Seuraavien esimerkkien ratkaisemiseksi käytämme lausetta 4.

Ratkaise seuraava esimerkki muistamalla kaavat:

Lauseen 4 yleistys

Lauseen 4 yleistys:

Ratkaisuesimerkkejä käyttämällä yleistettyä lausetta 4

Tyypillisten ongelmien ratkaisemista jatkettiin

Esimerkki 2: Kirjoita tuotteen asteena.

Esimerkki 3: Kirjoita potenssi, jonka eksponentti on 2.

Laskuesimerkkejä

Esimerkki 4: Laske järkevimmällä tavalla.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ja muut Algebra 7 .M .: Koulutus. 2006

2. Kouluavustaja (lähde).

1. Esitä voimien tuotteena:

a) ; b) ; sisään) ; G) ;

2. Kirjoita tuotteen asteeksi:

3. Kirjoita asteen muodossa indikaattorilla 2:

4. Laske järkevimmällä tavalla.

Matematiikan oppitunti aiheesta "Voitten kertominen ja jako"

Osat: Matematiikka

Pedagoginen tavoite:

opiskelija oppii erottaa kerto- ja potenssien jakamisen ominaisuudet luonnollisella eksponentilla; soveltaa näitä ominaisuuksia samoihin emäksiin;

opiskelijalla on mahdollisuus osaa suorittaa astemuunnoksia eri perusteilla ja osata tehdä muunnoksia yhdistetyissä tehtävissä.

Tehtävät:

järjestää opiskelijoiden työ toistamalla aiemmin opittua materiaalia;

varmistaa lisääntymisen taso suorittamalla erilaisia ​​harjoituksia;

järjestää opiskelijoiden itsearviointia testaamalla.

Opin toimintoyksiköt: tutkinnon määrittäminen luonnollisella indikaattorilla; tutkinnon komponentit; yksityisen määritelmä; kertolaskun assosiatiivinen laki.

I. Esittelyn järjestäminen opiskelijoiden olemassa olevan tiedon hallitsemiseksi. (vaihe 1)

a) Tietojen päivittäminen:

2) Muotoile tutkinnon määritelmä luonnollisella indikaattorilla.

a n \u003d a a a a ... a (n kertaa)

b k \u003d b b b b a ... b (k kertaa) Perustele vastauksesi.

II. Harjoittelijan itsearvioinnin järjestäminen asiaankuuluvan kokemuksen asteen perusteella. (vaihe 2)

Koe itsetutkiskelua varten: (yksityistyö kahdessa versiossa.)

A1) Ilmaise tulo 7 7 7 7 x x x potenssina:

A2) Ilmaise tulona aste (-3) 3 x 2

A3) Laske: -2 3 2 + 4 5 3

Valitsen kokeeseen tehtävien lukumäärän luokkatason valmistelun mukaisesti.

Testiä varten annan avaimen itsetestausta varten. Kriteerit: hyväksytty-hylätty.

III. Opetus- ja käytännöntehtävä (vaihe 3) + vaihe 4. (Opiskelijat itse muotoilevat ominaisuudet)

laske: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Yksinkertaistaa: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

Tehtävien 1) ja 2) ratkaisun aikana opiskelijat ehdottavat ratkaisua, ja minä opettajana järjestän luokan löytääkseni keinon yksinkertaistaa valtuuksia kertomalla samoilla perusteilla.

Opettaja: Keksi tapa yksinkertaistaa voimavaroja, kun kerrot samalla pohjalla.

Klusteriin tulee merkintä:

Oppitunnin teema on muotoiltu. Valtuuksien moninkertaistaminen.

Opettaja: keksi sääntö tutkintojen jakamisesta samoilla perusteilla.

Perustelut: mikä toimenpide tarkistaa jakautumisen? a 5: a 3 = ? että a 2 a 3 = a 5

Palaan kaavioon - klusteriin ja täydennyn merkintää - ..jakaessa vähennä ja lisää oppitunnin aihe. ...ja tutkintojen jako.

IV. Viestintä opiskelijoille tiedon rajoista (minimi ja maksimi).

Opettaja: tämän päivän oppitunnin minimin tehtävänä on oppia soveltamaan kerto- ja jakolaskuominaisuuksia samoilla perusteilla ja maksimi: soveltamaan kerto- ja jakolaskua yhdessä.

Kirjoita taululle : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. Uuden materiaalin tutkimuksen organisointi. (vaihe 5)

a) Oppikirjan mukaan: nro 403 (a, c, e) tehtävät eri sanamuodoilla

Nro 404 (a, e, f) itsenäinen työ, sitten järjestän keskinäisen tarkastuksen, annan avaimet.

b) Millä m:n arvolla yhtälö pätee? a 16 a m \u003d a 32; x k x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Tehtävä: keksi samanlaisia ​​esimerkkejä jaosta.

c) nro 417(a), nro 418(a) Ansoja opiskelijoille: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Opitun yhteenvedon tekeminen, diagnostisten töiden tekeminen (joka rohkaisee opiskelijoita, ei opettajia, tutkimaan tätä aihetta) (vaihe 6)

diagnostinen työ.

Testata(Aseta avaimet testin takapuolelle).

Tehtävän vaihtoehdot: esitä asteina osamäärä x 15: x 3; edustaa potenssina tuloa (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; jolle m on yhtälö a 16 a m = a 32 tosi; etsi lausekkeen arvo h 0: h 2, jossa h = 0,2; laske lausekkeen arvo (5 2 5 0) : 5 2 .

Yhteenveto oppitunnista. Heijastus. Jaan luokan kahteen ryhmään.

Etsi ryhmän I argumentit: tutkinnon ominaisuuksien tuntemisen puolesta ja ryhmä II - argumentit, jotka sanovat, että voit tehdä ilman ominaisuuksia. Kuuntelemme kaikki vastaukset, teemme johtopäätökset. Seuraavilla tunneilla voit tarjota tilastotietoja ja nimetä rubriikin "Se ei sovi päähäni!"

Keskimääräinen ihminen syö 32 10 2 kg kurkkua elämänsä aikana.

Ampiainen pystyy tekemään välilaskuttoman lennon 3,2 10 2 km.

Lasin halkeilussa halkeama etenee noin 5 10 3 km/h nopeudella.

Sammakko syö elinaikanaan yli 3 tonnia hyttysiä. Käytä astetta, kirjoita kg.

Tuottelias on valtameren kala - kuu (Mola mola), joka munii jopa 300 000 000 munaa, joiden halkaisija on noin 1,3 mm yhdessä kutukerrassa. Kirjoita tämä luku käyttämällä astetta.

VII. Kotitehtävät.

Historiallinen viittaus. Mitä lukuja kutsutaan Fermat-luvuiksi.

P.19. #403, #408, #417

Käytetyt kirjat:

Oppikirja "Algebra-7", kirjoittajat Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk ja muut.

Didaktinen materiaali luokalle 7, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Matematiikan tietosanakirja.

Aikakauslehti "Quantum".

Asteiden ominaisuudet, formulaatiot, todisteet, esimerkit.

Kun numeron aste on määritetty, on loogista puhua asteen ominaisuudet. Tässä artikkelissa annamme luvun asteen perusominaisuudet koskettaen samalla kaikkia mahdollisia eksponenteja. Tässä annamme todisteet kaikista tutkinnon ominaisuuksista ja näytämme myös kuinka näitä ominaisuuksia sovelletaan esimerkkejä ratkaistaessa.

Sivulla navigointi.

Asteiden ominaisuudet luonnollisilla indikaattoreilla

Luonnollisen eksponentin potenssin määritelmän mukaan a n:n potenssi on n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a . Tämän määritelmän perusteella ja käyttämällä reaalilukujen kertolaskuominaisuudet, voimme saada ja perustella seuraavan asteen ominaisuudet luonnollisen eksponentin kanssa:

asteen pääominaisuus a m ·a n =a m+n, sen yleistys a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

samoilla kantakantoilla olevien osapotenssien ominaisuus a m:a n =a m−n ;

tuloasteominaisuus (a b) n =a n b n , sen laajennus (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

luontoissuorituksen osamäärä (a:b) n =a n:b n ;

eksponentio (a m) n =a m n, sen yleistys (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 · n 2 ·... n k ;

vertaamalla astetta nollaan:

• jos a>0, niin a n >0 mille tahansa luonnolliselle n:lle;
• jos a=0, niin an=0;
• jos a 2 m > 0 , jos a 2 m−1 n ;
• jos m ja n ovat luonnollisia lukuja, joissa m>n , niin 0m n :lle ja a>0:lle epäyhtälö a m >a n on tosi.

Huomaamme heti, että kaikki kirjoitetut yhtäläisyydet ovat identtinen määritetyissä olosuhteissa, ja niiden oikea ja vasen osa voidaan vaihtaa keskenään. Esimerkiksi murto-osan pääominaisuus a m a n = a m + n kanssa ilmaisujen yksinkertaistaminen käytetään usein muodossa a m+n = a m a n .

Katsotaanpa nyt jokaista niistä yksityiskohtaisesti.

Aloitetaan kahden saman kantavan potenssin tuotteen ominaisuudesta, jota kutsutaan tutkinnon pääominaisuus: mille tahansa reaaliluvulle a ja kaikille luonnollisille luvuille m ja n yhtälö a m ·a n =a m+n on tosi.

Todistakaamme tutkinnon pääominaisuus. Luonnollisella eksponentilla varustetun asteen määritelmän mukaan tuloksi voidaan kirjoittaa potenssien tulo, joilla on samat muodon a m a n kantakannat. . Kertolaskuominaisuuksien vuoksi tuloksena oleva lauseke voidaan kirjoittaa muodossa , ja tämä tulo on a:n potenssi luonnollisella eksponentilla m+n , eli a m+n . Tämä täydentää todistuksen.

Annetaan esimerkki, joka vahvistaa tutkinnon pääominaisuuden. Otetaan asteet, joilla on sama kantakanta 2 ja luonnolliset potenssit 2 ja 3, asteen pääominaisuuden mukaan voidaan kirjoittaa yhtälö 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Tarkastetaan sen pätevyys, jolle lasketaan lausekkeiden 2 2 · 2 3 ja 2 5 arvot. Suorittamalla eksponentio saadaan 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 ja 2 5 =2 2 2 2 2=32, koska saamme yhtäläiset arvot, niin yhtälö 2 2 2 3 = 2 5 on tosi, ja se vahvistaa tutkinnon pääominaisuuden.

Kertolaskuominaisuuksiin perustuva asteen pääominaisuus voidaan yleistää kolmen tai useamman potenssin tuloksi samoilla kanta- ja luonnollisilla eksponenteilla. Joten mille tahansa luonnollisten lukujen n 1 , n 2 , …, n k luvulle k yhtälö a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k on tosi.

Esimerkiksi (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Voit siirtyä seuraavaan asteiden ominaisuuteen luonnollisella indikaattorilla - samoilla perusteilla olevien osittaisten valtuuksien ominaisuus: mille tahansa nollasta poikkeavalle reaaliluvulle a ja mielivaltaisille luonnollisille luvuille m ja n, jotka täyttävät ehdon m>n , yhtälö a m:a n =a m−n on tosi.

Ennen kuin annat todisteen tästä ominaisuudesta, keskustelkaamme sanamuodon lisäehtojen merkityksestä. Ehto a≠0 on välttämätön nollalla jakamisen välttämiseksi, koska 0 n =0, ja kun tutustuimme jakoon, sovittiin, että nollalla jakaminen on mahdotonta. Ehto m>n otetaan käyttöön, jotta emme ylitä luonnollisia eksponenteja. Todellakin, m>n:lle eksponentti a m-n on luonnollinen luku, muuten se on joko nolla (m-n-n) tai negatiivinen luku (m-m-n a n =a (m-n) + n = a m Saadusta yhtälöstä a m−n a n = a m ja kertolaskusuhteesta seuraa, että a m−n on a m:n ja a n:n osittaispotenssi Tämä todistaa samoilla kantakantoilla olevien osapotenssien ominaisuuden.

Otetaan esimerkki. Otetaan kaksi astetta samoilla kantakantoilla π ja luonnollisilla eksponenteilla 5 ja 2, asteen tarkasteltu ominaisuus vastaa yhtälöä π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Harkitse nyt tuotteen tutkinnon omaisuus: minkä tahansa kahden reaaliluvun a ja b tuotteen luonnollinen aste n on yhtä suuri kuin asteiden a n ja b n tulo, eli (a b) n =a n b n .

Itse asiassa meillä on luonnollisella eksponentilla varustetun asteen määritelmän mukaan . Viimeinen tulo, joka perustuu kertolaskuominaisuuksiin, voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon , joka on yhtä suuri kuin a n b n .

Tässä on esimerkki: .

Tämä ominaisuus ulottuu kolmen tai useamman tekijän tulon asteeseen. Eli k tekijän tuotteen luonnollinen asteominaisuus n kirjoitetaan muodossa (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Selvyyden vuoksi näytämme tämän ominaisuuden esimerkin avulla. Kolmen tekijän tulolle potenssilla 7 meillä on .

Seuraava kiinteistö on luonnon omaisuutta: reaalilukujen a ja b, b≠0 osamäärä luonnolliseen potenssiin n on yhtä suuri kuin potenssien a n ja b n osamäärä, eli (a:b) n =a n:b n .

Todistus voidaan suorittaa käyttämällä edellistä ominaisuutta. Joten (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, ja yhtälöstä (a:b) n b n =a n seuraa, että (a:b) n on a n:n ja b n:n osamäärä.

Kirjoitetaan tämä ominaisuus tiettyjen lukujen esimerkillä: .

Nyt ääneen eksponentioominaisuus: mille tahansa reaaliluvulle a ja kaikille luonnollisille luvuille m ja n, potenssi a m:n potenssiin n on yhtä suuri kuin a:n potenssi, jonka eksponentti on m·n, eli (a m) n =a m·n .

Esimerkiksi (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Todiste tehoominaisuudesta asteella on seuraava yhtäläisyuksien ketju: .

Tarkasteltavaa ominaisuutta voidaan laajentaa asteen sisällä asteen sisällä ja niin edelleen. Esimerkiksi kaikille luonnollisille luvuille p, q, r ja s yhtälö . Selvyyden vuoksi annetaan esimerkki tietyillä luvuilla: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

On vielä mietittävä asteiden vertaamisen ominaisuuksia luonnolliseen eksponenttiin.

Aloitetaan todistamalla nollan ja potenssin vertailuominaisuus luonnollisella eksponentilla.

Perustellaan ensin, että a n >0 mille tahansa a>0:lle.

Kahden positiivisen luvun tulo on positiivinen luku, kuten kertolaskun määritelmästä seuraa. Tämä tosiasia ja kertolaskuominaisuudet antavat meille mahdollisuuden väittää, että minkä tahansa positiivisten lukujen kertomisen tulos on myös positiivinen luku. Ja a:n potenssi luonnollisella eksponentilla n on määritelmän mukaan n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a. Nämä argumentit antavat meille mahdollisuuden väittää, että millä tahansa positiivisella kannalla a n:n aste on positiivinen luku. Todistetun ominaisuuden perusteella 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 ja .

On aivan selvää, että minkä tahansa luonnollisen n:n kohdalla, jonka a=0, a n:n aste on nolla. Todellakin, 0 n = 0·0·…·0=0. Esimerkiksi 0 3 =0 ja 0 762 =0 .

Siirrytään negatiivisille perusteille.

Aloitetaan tapauksesta, jossa eksponentti on parillinen luku, merkitse se 2 m , missä m on luonnollinen luku. Sitten . Negatiivisten lukujen kertolaskusäännön mukaan jokainen muodon a a tulo on yhtä suuri kuin lukujen a ja a moduulien tulo, mikä tarkoittaa, että se on positiivinen luku. Siksi tuote on myös positiivinen. ja aste a 2 m . Tässä on esimerkkejä: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .

Lopuksi, kun a:n kanta on negatiivinen luku ja eksponentti on pariton luku 2 m−1, niin . Kaikki tulot a·a ovat positiivisia lukuja, myös näiden positiivisten lukujen tulo on positiivinen, ja sen kertominen jäljellä olevalla negatiivisella luvulla a johtaa negatiiviseen luvun. Tämän ominaisuuden ansiosta (−5) 3 17 n n on n todellisen epäyhtälön a vasemman ja oikean osan tulo. epäyhtälöiden ominaisuudet, todistettava epäyhtälö on muotoa a n n . Esimerkiksi tästä ominaisuudesta johtuen epäyhtälöt 3 7 7 ja .

On vielä todistettava viimeinen luetelluista voimien ominaisuuksista luonnollisilla eksponenteilla. Muotoillaan se. Kahdesta asteesta, joilla on luonnolliset indikaattorit ja samat positiiviset kantat, vähemmän kuin yksi, aste on suurempi, jonka indikaattori on pienempi; ja kahden asteen luonnollisilla indikaattoreilla ja samoilla kantaluvuilla, jotka ovat suurempia kuin yksi, aste, jonka indikaattori on suurempi, on suurempi. Siirrymme tämän ominaisuuden todisteeseen.

Todistetaan, että m>n ja 0m n. Tätä varten kirjoitetaan ero a m − a n ja verrataan sitä nollaan. Kirjoitettu ero sen jälkeen, kun n on otettu pois suluista, on muotoa a n ·(a m−n −1) . Tuloksena oleva tulo on negatiivinen positiivisen luvun a n ja negatiivisen luvun a m−n −1 tulona (a n on positiivinen positiivisen luvun luonnollisena potenssina ja ero a m−n −1 on negatiivinen, koska m−n >0 alkuehdon m>n vuoksi, mistä seuraa, että arvolla 0m−n se on pienempi kuin yksi). Siksi a m − a n m n , joka oli todistettava. Esimerkiksi annamme oikean epätasa-arvon.

Vielä on todistettava omaisuuden toinen osa. Osoitetaan, että m>n:lle ja a>1:lle a m >a n on tosi. Ero a m −a n, kun n on otettu pois suluista, on muotoa a n ·(a m−n −1) . Tämä tulo on positiivinen, koska a>1:lle n:n aste on positiivinen luku ja ero a m−n −1 on positiivinen luku, koska m−n>0 alkuehdon vuoksi, ja kun a>1, m−n:n aste on suurempi kuin yksi . Siksi a m − a n >0 ja a m >a n , joka oli todistettava. Tätä ominaisuutta kuvaa epäyhtälö 3 7 >3 2 .

Asteiden ominaisuudet kokonaislukueksponenteilla

Koska positiiviset kokonaisluvut ovat luonnollisia lukuja, kaikki positiivisten kokonaislukueksponenttien potenssien ominaisuudet ovat täsmälleen samat kuin edellisessä kappaleessa lueteltujen ja todistettujen potenssien ominaisuudet.

Määrittelimme asteen negatiivisella kokonaislukueksponentilla sekä asteen nollaeksponentilla, jotta kaikki yhtälöillä ilmaistujen asteiden luonnolliset eksponentit ominaisuudet pysyvät voimassa. Siksi kaikki nämä ominaisuudet pätevät sekä nollaeksponenteille että negatiivisille eksponenteille, kun taas tietysti asteiden kanta ovat nollasta poikkeavat.

Joten kaikki todelliset ja nollasta poikkeavat luvut a ja b sekä kaikki kokonaisluvut m ja n ovat totta asteiden ominaisuudet kokonaislukueksponenteilla:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m-n;
• (ab) n = anbn;
• (a:b) n =a n:bn;
• (a m) n = a mn;
• jos n on positiivinen kokonaisluku, a ja b ovat positiivisia lukuja ja a n n ja a−n>b−n ;
• jos m ja n ovat kokonaislukuja ja m>n , niin 0m n :lle ja a>1:lle epäyhtälö a m >a n täyttyy.

Kun a=0, potenssit a m ja a n ovat järkeviä vain, kun sekä m että n ovat positiivisia kokonaislukuja, eli luonnollisia lukuja. Näin ollen juuri kirjoitetut ominaisuudet pätevät myös niissä tapauksissa, joissa a=0 ja luvut m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja.

Kaikkien näiden ominaisuuksien todistaminen ei ole vaikeaa, tätä varten riittää, että käytetään asteen määritelmiä luonnollisella ja kokonaislukueksponentilla sekä toimintojen ominaisuuksia reaaliluvuilla. Todistetaan esimerkkinä, että tehoominaisuus pätee sekä positiivisille kokonaisluvuille että ei-positiivisille kokonaisluvuille. Tätä varten on osoitettava, että jos p on nolla tai luonnollinen luku ja q on nolla tai luonnollinen luku, niin yhtälöt (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) ja (a −p) −q =a (−p) (−q) . Tehdään se.

Positiivisille p:lle ja q:lle yhtäläisyys (a p) q =a p·q todistettiin edellisessä alaluvussa. Jos p=0, niin meillä on (a 0) q =1 q =1 ja a 0 q =a 0 =1, josta (a 0) q =a 0 q . Vastaavasti, jos q = 0, niin (a p) 0 = 1 ja a p 0 =a 0 = 1, mistä (a p) 0 =a p 0 . Jos sekä p=0 että q=0, niin (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0 0 =a 0 =1, mistä (a 0) 0 =a 0 0.

Osoitetaan nyt, että (a −p) q =a (−p) q . Negatiivisen kokonaislukueksponentin asteen määritelmän mukaan siis . Asteen osamäärän ominaisuudella meillä on . Koska 1 p =1·1·…·1=1 ja , niin . Viimeinen lauseke on määritelmän mukaan potenssi muotoa a −(p q) , joka kertolaskusääntöjen nojalla voidaan kirjoittaa muodossa (−p) q .

samoin .

Ja .

Samalla periaatteella voidaan todistaa kaikki muut asteen ominaisuudet kokonaislukueksponentilla, joka on kirjoitettu yhtäläisyyksiin.

Mukaan kirjoitetuista ominaisuuksista toiseksi viimeisessä kannattaa keskittyä epäyhtälön a −n >b −n todistukseen, joka pätee mille tahansa negatiiviselle kokonaisluvulle −n ja mille tahansa positiiviselle a ja b, jolle ehto a . Kirjoitamme ja muunnamme eron tämän epäyhtälön vasemman ja oikean osan välillä: . Koska ehdolla a n n siis b n − a n >0 . Tulo a n ·b n on myös positiivinen positiivisten lukujen a n ja b n tulona. Tällöin tuloksena oleva murto-osa on positiivinen positiivisten lukujen b n − a n ja a n b n osamääränä. Siten mistä a −n >b −n , joka oli todistettava.

Asteiden viimeinen ominaisuus kokonaislukueksponenteilla todistetaan samalla tavalla kuin asteiden analoginen ominaisuus luonnollisilla eksponenteilla.

Potenssien ominaisuudet rationaalisilla eksponenteilla

Määritimme asteen murto-eksponentilla laajentamalla asteen ominaisuuksia kokonaislukueksponentilla siihen. Toisin sanoen murto-eksponenteilla varustetuilla asteilla on samat ominaisuudet kuin asteilla kokonaislukueksponenteilla. Nimittäin:

1. Saman kantaluvun potenssien tuotteen ominaisuus jos a>0 , ja jos ja , niin jos a≥0 ;
2. osittaisten valtuuksien ominaisuus samoilla perusteilla a>0:lle;
3. murto-osan tuotteen ominaisuus jos a>0 ja b>0, ja jos ja, niin jos a>0 ja (tai) b>0;
4. osamäärän ominaisuus murto-osaan kun a>0 ja b>0 , ja jos , niin jos a≥0 ja b>0 ;
5. asteen ominaisuus asteessa jos a>0 , ja jos ja , niin jos a≥0 ;
6. ominaisuus verrata potenssia yhtäläisten rationaalisten eksponentien kanssa: kaikille positiivisille luvuille a ja b, a 0 epäyhtälö a p p on voimassa ja p p >b p ;
7. ominaisuus vertailla potenssia rationaalisten eksponentien ja yhtäläisten kantalukujen kanssa: rationaaliluvuilla p ja q p>q arvolla 0p q ja a>0:lla epäyhtälö a p >a q .

Asteiden ominaisuuksien todistaminen murto-eksponenteilla perustuu asteen määrittelyyn murto-eksponentilla, n:nnen asteen aritmeettisen juuren ominaisuuksiin ja kokonaislukueksponentin asteen ominaisuuksiin. Annetaan todiste.

Asteen määritelmän mukaan murto-eksponentilla ja sitten . Aritmeettisen juuren ominaisuudet antavat meille mahdollisuuden kirjoittaa seuraavat yhtälöt. Lisäksi käyttämällä asteen ominaisuutta kokonaislukueksponentin kanssa saamme , josta murto-eksponentilla varustetun asteen määritelmän mukaan saamme , ja saadun asteen eksponentti voidaan muuntaa seuraavasti: . Tämä täydentää todistuksen.

Toinen potenssien ominaisuus murto-osien eksponenteilla todistetaan täsmälleen samalla tavalla:


Loput yhtäläisyydet todistetaan vastaavilla periaatteilla:


Siirrymme seuraavan ominaisuuden todisteeseen. Osoittakaamme, että mille tahansa positiiviselle a ja b , a 0 epäyhtälö a p p on voimassa ja p p >b p . Kirjoitamme rationaaliluvun p muodossa m/n , missä m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Ehdot p 0 tässä tapauksessa vastaavat ehtoja m 0, vastaavasti. m>0 ja am m . Tästä epäyhtälöstä juurien ominaisuuden perusteella meillä on , ja koska a ja b ovat positiivisia lukuja, niin murto-eksponentilla varustetun asteen määritelmän perusteella tuloksena oleva epäyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon , eli a p p .

Vastaavasti kun m m >b m , mistä , eli ja a p >b p .

On vielä todistettava viimeinen listatuista ominaisuuksista. Osoitetaan, että rationaaliluvuilla p ja q p>q arvolla 0p q ja a>0:lla epäyhtälö a p >a q . Voimme aina vähentää rationaaliluvut p ja q yhteiseksi nimittäjäksi, saadaan tavalliset murtoluvut ja , missä m 1 ja m 2 ovat kokonaislukuja ja n on luonnollinen luku. Tässä tapauksessa ehto p>q vastaa ehtoa m 1 >m 2, mikä seuraa samoilla nimittäjillä olevien tavallisten murtolukujen vertailua koskevasta säännöstä. Sitten ominaisuudella verrata potenssia samoilla kanta- ja luonnollisilla eksponenteilla 0m 1 m 2:lle ja a>1:lle epäyhtälö a m 1 >a m 2 . Nämä juurien ominaisuuksien epätasa-arvot voidaan kirjoittaa uudelleen, vastaavasti ja . Ja asteen määritelmä rationaalisella eksponentilla antaa meille mahdollisuuden siirtyä epäyhtälöihin ja vastaavasti. Tästä tehdään lopullinen johtopäätös: p>q:lle ja 0p q:lle ja a>0:lle epäyhtälö a p >a q .

Asteiden ominaisuudet irrationaalisilla eksponenteilla

Sen perusteella, kuinka irrationaalisella eksponentilla varustettu aste määritellään, voimme päätellä, että sillä on kaikki rationaalisilla eksponenteilla varustettujen asteiden ominaisuudet. Joten mille tahansa a>0 , b>0 ja irrationaalisille luvuille p ja q seuraavat ovat totta asteiden ominaisuudet irrationaalisilla eksponenteilla:

1. a p aq = a p + q;
2. a p:a q = a p-q;
3. (a b) p = a p b p;
4. (a:b) p =a p:bp;
5. (a p) q = a pq;
6. kaikille positiivisille luvuille a ja b , a 0 epäyhtälö a p p on voimassa ja p p >b p ;
7. irrationaalisille luvuille p ja q p>q 0p q:lle ja a>0:lle epäyhtälö a p >a q .

Tästä voimme päätellä, että potenssilla, jolla on mikä tahansa reaalieksponentti p ja q, kun a>0 on samat ominaisuudet.

• Algebra - 10. luokka. Trigonometriset yhtälöt Oppitunti ja esitys aiheesta: "Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu" Lisämateriaalit Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit […]
• Kilpailu "MYYJÄ - KONSULTANTI" -paikkaan on avattu: Vastuualueet: matkapuhelinten ja matkaviestintäpalveluiden lisävarusteiden myynti Beeline-, Tele2-, MTS-tilaajille Beeline- ja Tele2-, MTS-palveluiden tariffisuunnitelmien ja -palvelujen liittäminen […]
• Kaavan A suuntaissärmiö on monitahoinen, jossa on 6 pintaa, joista jokainen on suunnikas. Kuutio on kuutio, jonka jokainen pinta on suorakulmio. Kaikille suuntaissärmiöille on ominaista 3 […]
• Н JA НН OIKEINTÄMINEN PUUN ERIOSISSA 2. Nimeä poikkeukset näihin sääntöihin. 3. Kuinka erottaa verbaalinen adjektiivi, jossa on pääte -n-, partisiipista, jossa on […]
• BRYANSKIN ALUEEN GOSTEKHNADZORIN TARKASTUS Kuitti valtionveron maksusta (Lataa-12,2 kb) Yksityishenkilöiden rekisteröintihakemukset (Lataus-12 kb) Oikeushenkilöiden rekisteröintihakemukset (Lataa-11,4 kb) 1. Uutta autoa rekisteröitäessä: 1.hakemus 2.passi […]
• Kuluttajien oikeuksien suojeluyhdistys Astana Saadaksesi pin-koodin päästäksesi tähän asiakirjaan verkkosivuillamme, lähetä tekstiviesti zan numeroon GSM-operaattoreiden tilaajat (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) lähettämällä tekstiviestin huoneeseen, […]
• Hyväksytään laki perhetiloista Hyväksytään liittovaltion laki vastikkeellisesta jakamisesta jokaiselle halukkaalle kansalaiselle Venäjän federaatio tai tontin kansalaisten perhe Sukutalon järjestämiseksi sille seuraavin ehdoin: 1. Tontti on varattu […]
• Pivoev V.M. Tieteen filosofia ja metodologia: oppikirja maisteri- ja jatko-opiskelijoille Petroskoi: PetrSU:n kustantamo, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb […]

Oppitunti aiheesta: "Säännöt potenssien kertomiseen ja jakamiseen samoilla ja eri eksponenteilla. Esimerkkejä"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 7
Käsikirja oppikirjalle Yu.N. Makarycheva käsikirja oppikirjalle A.G. Mordkovich

Oppitunnin tarkoitus: Opi suorittamaan operaatioita luvun potenssien kanssa.

Aluksi muistetaan käsite "luvun teho". Lauseke kuten $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ voidaan esittää muodossa $a^n$.

Päinvastoin on myös totta: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Tätä yhtäläisyyttä kutsutaan "tutkinnon kirjaamiseksi tuotteeksi". Se auttaa meitä päättämään, kuinka voimat kerrotaan ja jaetaan.
Muistaa:
a- tutkinnon perusta.
n- eksponentti.
Jos n = 1, mikä tarkoittaa numeroa a otettu kerran ja vastaavasti: $a^n= 1$.
Jos n = 0, sitten $a^0= 1$.

Miksi näin tapahtuu, voimme selvittää, kun tutustumme asteiden kerto- ja jakamissääntöihin.

kertolaskusäännöt

a) Jos potenssit, joilla on sama kanta, kerrotaan.
Kohteeseen $a^n * a^m$ kirjoitamme potenssit tulona: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Kuvasta näkyy, että numero a ovat ottaneet n+m kertaa, niin $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Esimerkki.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Tätä ominaisuutta on kätevä käyttää työn yksinkertaistamiseksi, kun luku nostetaan suureen tehoon.
Esimerkki.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jos potenssit kerrotaan eri kantaluvulla, mutta samalla eksponentilla.
Kohteeseen $a^n * b^n$ kirjoitamme potenssit tulona: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Jos vaihdamme tekijät ja laskemme tuloksena olevat parit, saamme: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Joten $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Esimerkki.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

jakosäännöt

a) Asteen kanta on sama, eksponentit ovat erilaisia.
Harkitse asteen jakamista suuremmalla eksponentilla jakamalla aste pienemmällä eksponentilla.

Joten se on välttämätöntä $\frac(a^n)(a^m)$, missä n>m.

Kirjoitamme asteet murtolukuna:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Mukavuuden vuoksi kirjoitamme jaon yksinkertaisena murtolukuna.

Nyt vähennetään murto-osaa.

Osoittautuu: $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
tarkoittaa, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Tämä ominaisuus auttaa selittämään tilanteen nostamalla luku nollan potenssiin. Oletetaan, että n=m, sitten $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Esimerkkejä.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Tutkinnon perusteet ovat erilaiset, indikaattorit ovat samat.
Oletetaan, että tarvitset $\frac(a^n)(b^n)$. Kirjoitamme lukujen potenssit murtolukuna:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Kuvitellaan mukavuuden vuoksi.

Murtolukujen ominaisuutta käyttämällä jaamme suuren osan pienten tuotteeksi, saamme.
$\underbrace(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Vastaavasti: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Esimerkki.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitset? Miksi sinun täytyy käyttää aikaa niiden tutkimiseen?

Lue tämä artikkeli, jos haluat oppia kaiken tutkinnoista, niiden tarkoituksesta ja tietojesi käyttämisestä jokapäiväisessä elämässä.

Ja tietysti tutkintojen tunteminen vie sinut lähemmäksi onnistuneesti OGE- tai Unified State -tutkintoa ja pääsyä unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos näet kaavojen sijaan hölynpölyä, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL+F5 (Windows) tai Cmd+R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on sama matemaattinen operaatio kuin yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmiskielellä käyttäen hyvin yksinkertaisia ​​esimerkkejä. Ole varovainen. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama esimerkki colan kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla: . Matemaatikot ovat ovelia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain kuvioita ja sitten keksivät tavan "laskea" ne nopeammin. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä kolapulloja, ja he keksivät tekniikan nimeltä kertolasku. Samaa mieltä, sitä pidetään helpommin ja nopeampana kuin.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, kovemmin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Ja mitä muita hankalia laskentatemppuja laiskot matemaatikot keksivät? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Jos sinun on kerrottava luku itsellään viisi kertaa, matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen potenssiin. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kahdesta viiteen potenssi on. Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat mielessään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Tätä varten tarvitset vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, se tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista tutkintoa kutsutaan neliö- numerot ja kolmas kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Kuvittele neliönmuotoinen allas, jonka mitat ovat metrejä metreinä. Allas on takapihallasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... allas ilman pohjaa! Altaan pohja on tarpeen peittää laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan pinta-ala.

Voit yksinkertaisesti laskea sormea ​​työntämällä, että altaan pohja koostuu kuutioista metri metriltä. Jos laattasi ovat metri metriltä, ​​tarvitset kappaleita. Se on helppoa... Mutta missä näit sellaisen laatan? Laatta on mieluummin cm cm. Ja sitten sinua piinaa "sormella laskeminen". Sitten sinun on kerrottava. Joten altaan pohjan yhdelle puolelle sovitamme laatat (palat) ja toiselle myös laatat. Kerrottuna, saat laatat ().

Huomasitko, että kerroimme saman luvun itsellään määrittääksemme altaan pohjan alueen? Mitä se tarkoittaa? Koska sama luku kerrotaan, voimme käyttää eksponentiotekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi lukua, sinun täytyy silti kertoa ne tai nostaa ne potenssiin. Mutta jos niitä on paljon, niin potenssiin nostaminen on paljon helpompaa ja myös laskuvirheitä tulee vähemmän. Kokeen kannalta tämä on erittäin tärkeää).
Joten, kolmekymmentä toiseen asteeseen on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen luvun toinen potenssi voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA jonkin luvun toinen potenssi. Neliö on kuva luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Tässä on sinulle tehtävä, laske kuinka monta ruutua on shakkilaudalla käyttämällä numeroruutua ... Toisella puolella soluja ja myös toisella. Niiden lukumäärän laskemiseksi sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jossa on sivu, voit laittaa kahdeksan. Hanki soluja. () Siis?

Esimerkki tosielämästä #3

Nyt kuutio tai luvun kolmas potenssi. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava tilavuus. (Muuten tilavuudet ja nesteet mitataan kuutiometreissä. Odottamatonta, eikö?) Piirrä allas: metrin kokoinen ja metrin syvä pohja ja yritä laskea kuinka monta metri kerrallaan kuutiota altaaseen tulee.

Osoita vain sormella ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä… kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme… Kuinka paljon siitä tuli? Etkö eksynyt? Onko vaikeaa laskea sormella? Jotta! Otetaan esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikot ovat, jos he tekevät sen liian helpoksi. Supistettiin kaikki yhteen toimintoon. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Ja mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten sen, minkä kerran laskit sormella, he tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin:

Jää vain muistaa astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, saadaksesi sinut vihdoin vakuuttuneeksi siitä, että tutkinnot ovat loaferien ja ovelien ihmisten keksimiä elämänongelmiensa ratkaisemiseksi, eikä ongelmien luomiseksi sinulle, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Esimerkki tosielämästä #4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset toisen miljoonan jokaista miljoonaa kohden. Toisin sanoen jokainen miljoonasta jokaisen vuoden alussa tuplaantuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuosien kuluttua? Jos nyt istut ja "lasket sormella", olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - mitä tapahtui, kahdella lisää, kolmantena vuonna ... Stop! Huomasit, että luku kerrotaan itsellään kerran. Joten kahdesta viiteen potenssiin on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja se, joka laskee nopeammin, saa nämä miljoonat... Kannattaako muistaa lukujen asteet, mitä mieltä olet?

Esimerkki tosielämästä #5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi lisää jokaista miljoonaa kohden. Se on hieno eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuodessa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kerrotaan itsestään kertaa. Neljäs teho on siis miljoona. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kolmesta neljänteen potenssi on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla luvun arvoon, teet elämästäsi paljon helpompaa. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei menisi sekaisin

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on luvun tehon "huipussa". Ei tieteellinen, mutta selkeä ja helppo muistaa...

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on kuva varmuuden vuoksi.

No, yleisesti ottaen, yleistääksesi ja muistaaksemme paremmin ... Tutkinto, jonka kanta on "" ja indikaattori "", luetaan "asteena" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

Luultavasti jo arvasit: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä, joita käytetään laskettaessa kohteita listattaessa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme kohteita, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano "kolmasosa" tai "nolla piste viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä nämä luvut mielestäsi ovat?

Numerot, kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuja. Yleisesti ottaen kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisten lukujen vastakohtaiset luvut (eli miinusmerkillä otettuja) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - silloin kun ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset ("miinus") luvut tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti osoittamaan velkoja: jos sinulla on puhelimesi saldo ruplissa, tämä tarkoittaa, että olet velkaa operaattorille ruplaa.

Kaikki murtoluvut ovat rationaalilukuja. Miten ne syntyivät, luuletko? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi-isämme huomasivat, että heillä ei ollut tarpeeksi luonnollisia lukuja mittaamaan pituutta, painoa, pinta-alaa jne. Ja he keksivät rationaalisia lukuja… Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna ääretön desimaaliluku. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
2. Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsellään:
3. Luvun kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkinnon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan mikä on ja ?

Määritelmän mukaan:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme tekijöitä tekijöihin, ja tulos on tekijöitä.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun aste, jossa on eksponentti, eli: , joka oli todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Ratkaisu: On tärkeää huomata se säännössämme välttämättä täytyy olla sama syy!
Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

vain voimatuotteille!

Älä missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

2. eli -luvun potenssi

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta se ei todellakaan ole totta.

Negatiivinen tutkinto

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero. Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia.

Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? MUTTA? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme, niin se käy.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoituksista

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Muistatko siis? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus! Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne vaihdettaisiin, sääntöä voitaisiin soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

koko nimeämme luonnolliset luvut, niiden vastakohdat (eli otettuna merkillä "") ja luvun.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysymme itseltämme: miksi näin on?

Harkitse pohjan tehoa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun ja saimme saman kuin se oli -. Millä luvulla pitää kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen on oltava yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot nollan itsellään, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa luvun nollaasteeseen, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä on totuus tästä? Matemaatikko päätti olla puuttumatta asiaan ja kieltäytyi nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sen nollatehoon.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi kokonaisluvut sisältävät negatiivisia lukuja. Ymmärtääksemme, mikä negatiivinen aste on, tehdään samoin kuin viime kerralla: kerrotaan jokin normaaliluku samalla negatiivisessa asteessa:

Täältä on jo helppo ilmaista haluttu:

Laajennamme nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku negatiiviselle potenssille on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille. Mutta samaan aikaan kanta ei voi olla tyhjä:(koska sitä ei voi jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Lauseketta ei ole määritetty tapaukselle. Jos sitten.

II. Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi: .

III. Luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiiviseen potenssiin, on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille: .

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Tiedän, tiedän, luvut ovat pelottavia, mutta tentissä pitää olla valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisu, jos et pystynyt ratkaisemaan sitä, niin opit käsittelemään niitä helposti kokeessa!

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" lukujen ympyrän laajentamista.

Harkitse nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat lisäksi kokonaislukuja.

Ymmärtääkseen mikä on "murto-aste" Tarkastellaanpa murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muista nyt sääntö "asteesta asteeseen":

Mikä luku täytyy nostaa potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri.

Toisin sanoen th asteen juuri on eksponentioinnin käänteisoperaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tätä erikoistapausta voidaan jatkaa: .

Lisää nyt osoittaja: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännöllä:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida erottaa juuria.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​​​lukuja ei voida nostaa murto-osaan, jolla on parillinen nimittäjä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Luku voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtoina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, ja nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta heti kun kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, saamme jälleen ongelmia: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen kantaeksponentti murto-osalla.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Potenssit, joissa on rationaalinen eksponentti, ovat erittäin hyödyllisiä juurilla olevien lausekkeiden muuntamiseen, esimerkiksi:

5 esimerkkiä harjoituksista

Analyysi 5 esimerkistä koulutusta varten

No, nyt - vaikein. Nyt analysoimme aste irrationaalisella eksponentilla.

Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteilla, lukuun ottamatta

Itse asiassa irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja;

...nolla teho- tämä on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse numero ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "valmistelu numero”, nimittäin numero;

...negatiivinen kokonaisluku eksponentti- On kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

MINNE OLEMME VARMUKSIA, ETTÄ MENET! (jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavallisesta säännöstä tutkinnon nostamiseksi asteeksi:

Katso nyt tulos. Muistuttaako hän sinua jostain? Muistamme kaavan neliöiden eron lyhentämiseksi:

AT Tämä tapaus,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Tuomme eksponenttimurtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Ei mitään erikoista, käytämme tavanomaisia ​​asteiden ominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määritelmä

Aste on muodon ilmaisu: , jossa:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n = 1, 2, 3,...)

Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin n tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:

Potentti kokonaislukueksponentilla (0, ±1, ±2,...)

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku määrä:

erektio nollatehoon:

Lauseke on epämääräinen, koska toisaalta missä tahansa asteessa on tämä, ja toisaalta mikä tahansa luku :nteen asteeseen asti on tämä.

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku määrä:

(koska sitä ei voi jakaa).

Vielä kerran nollasta: lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

• - luonnollinen luku;
• on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Tutkinnon ominaisuudet

Ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yritetään ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistakaamme ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

Määritelmän mukaan:

Joten tämän lausekkeen oikealla puolella saadaan seuraava tuote:

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : On tärkeää huomata, että säännössämme välttämättä on oltava samalla pohjalla. Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

Toinen tärkeä huomautus: tämä sääntö - vain voimatuotteille!

Minun ei missään tapauksessa pidä kirjoittaa niin.

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Järjestetään se uudelleen näin:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun -:s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaan:!

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta se ei todellakaan ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mitä pitäisi olla indeksi tutkinnon. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero .

Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia. Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? MUTTA? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme (:lla), saamme -.

Ja niin edelleen loputtomiin: jokaisen seuraavan kertolaskun yhteydessä merkki muuttuu. Voit muotoilla nämä yksinkertaiset säännöt:

1. jopa tutkinto, - numero positiivinen.
2. Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
3. Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
4. Nolla mihin tahansa tehoon on yhtä suuri kuin nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

onnistuitko? Tässä vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Tässä sinun on selvitettävä, kumpi on vähemmän: vai? Jos muistat sen, se tulee selväksi, mikä tarkoittaa, että kanta on pienempi kuin nolla. Eli sovelletaan sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme muistiin asteiden määritelmät ja jaamme ne toisiinsa, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin analysoimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

Ratkaisut :

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Muistatko siis? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus!

Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne käännetään, voitaisiin soveltaa sääntöä 3. Mutta miten tämä tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Jos kerrot sen, mikään ei muutu, eikö niin? Mutta nyt se näyttää tältä:

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä. Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan! Sitä ei voi korvata muuttamalla vain yhtä meille sopimatonta miinusta!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Eli nyt viimeinen sääntö:

Kuinka aiomme todistaa sen? Tietysti, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

No, nyt avataan sulut. Kuinka monta kirjainta tulee olemaan? kertaa kertoimilla - miltä se näyttää? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: yhteensä oli kertoimia. Eli se on määritelmän mukaan luvun potenssi, jossa on eksponentti:

Esimerkki:

Aste irrationaalisella eksponentilla

Keskitason tutkintotietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella indikaattorilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella, poikkeuksella - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli , irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja; nollaasteen luku on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse luku ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "numeron valmistelu", nimittäin numero; aste negatiivisella kokonaisluvulla - on ikään kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

On äärimmäisen vaikeaa kuvitella astetta irrationaalisen eksponentin kanssa (kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista avaruutta). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen objekti, jonka matemaatikot ovat luoneet laajentaakseen asteen käsitteen koko lukuavaruuteen.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, jos näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme parhaamme päästä eroon siitä! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

1)

2)

3)

Vastaukset:

1. Muista neliöiden kaava. Vastaus:.
2. Tuomme murtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi: .
3. Ei mitään erikoista, käytämme asteiden tavanomaisia ​​ominaisuuksia:

OSION YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Tutkinto kutsutaan lausekkeeksi muodossa: , jossa:

Aste kokonaislukueksponentilla

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

astetta, jonka indikaattori on negatiivinen ja murtoluku.

Aste irrationaalisella eksponentilla

eksponentti, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Tutkinnon ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

• Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa tutkinto, - numero positiivinen.
• Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
• Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa teho.
• Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri.

NYT SINULLA ON SANA...

Mitä pidät artikkelista? Kerro minulle alla olevissa kommenteissa, piditkö siitä vai et.

Kerro meille kokemuksistasi tehoominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!