Harjoittele. Pisteet A (2.1), B (1.-2), C (-1.0) ovat kolmion ABC kärjet.
a) Etsi kolmion ABC sivujen yhtälöt.
b) Etsi kolmion ABC yhden mediaanin yhtälö.
c) Etsi yhtälö yhdelle kolmion ABC korkeudesta.
d) Etsi kolmion ABC yhden puolittajan yhtälö.
e) Etsi kolmion ABC pinta-ala.

Ratkaisu tee se laskimella.
Kolmiokoordinaatit on annettu: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektorikoordinaatit
Vektorien koordinaatit löytyvät kaavasta:
X = x j - x i; Y = y j - y i

Esimerkiksi vektorille AB

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
eKr(-2;2)
2) Vektorimoduulit

3) Suorien viivojen välinen kulma
Vektorien välinen kulma a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) löytyy kaavasta:

jossa a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Etsi sivujen AB ja AC välinen kulma

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektoriprojektio
Vektoriprojektio b vektoria kohti a löytyy kaavalla:

Etsi vektorin AB projektio vektoriin AC

5) Kolmion pinta-ala



Ratkaisu


Kaavan mukaan saamme:

6) Segmentin jako tässä suhteessa
Pisteen A sädevektori r, joka jakaa janan AB suhteessa AA:AB = m 1:m 2 , määritetään kaavalla:

Pisteen A koordinaatit löytyvät kaavoista:




Kolmion mediaaniyhtälö
Merkitsemme sivun BC keskipisteen kirjaimella M. Sitten löydämme pisteen M koordinaatit kaavoilla, joilla jana jaetaan puoliksi.


M(0;-1)
Löydämme mediaanin AM yhtälön käyttämällä kaavaa kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöön. Mediaani AM kulkee pisteiden A(2;1) ja M(0;-1) läpi, joten:

tai

tai
y=x-1 tai y-x+1=0
7) Suoran yhtälö


Suoran AB yhtälö

tai

tai
y = 3x -5 tai y -3x +5 = 0
Line AC yhtälö

tai

tai
y = 1/3 x + 1/3 tai 3y -x - 1 = 0
Linja BC yhtälö

tai

tai
y = -x -1 tai y + x +1 = 0
8) Kolmion korkeuden pituus, joka on vedetty kärjestä A
Etäisyys d pisteestä M 1 (x 1; y 1) suoraan Ax + By + C \u003d 0 on yhtä suuri kuin suuren itseisarvo:

Etsi pisteen A(2;1) ja suoran BC (y + x +1 = 0) välinen etäisyys

9) Korkeusyhtälö kärjen C kautta
Pisteen M 0 (x 0 ;y 0) kautta kulkevalla suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa Ax + By + C = 0 vastaan, on suuntavektori (A;B) ja siksi sitä edustavat yhtälöt:


Tämä yhtälö voidaan löytää myös toisella tavalla. Tätä varten etsitään suoran AB kaltevuus k 1.
Yhtälö AB: y = 3x -5 so. k 1 = 3
Etsitään kohtisuoran kaltevuus k kahden suoran kohtisuoran ehdosta: k 1 *k = -1.
Korvaamalla k 1:n sijaan tämän suoran kaltevuuden, saamme:
3k = -1, josta k = -1/3
Koska kohtisuora kulkee pisteen C(-1,0) läpi ja sen k = -1 / 3, etsimme sen yhtälöä muodossa: y-y 0 = k(x-x 0).
Korvaamalla x 0 \u003d -1, k \u003d -1/3, y 0 \u003d 0 saadaan:
y-0 = -1/3 (x-(-1))
tai
y = -1/3 x -1/3
Kolmion puolittajayhtälö
Etsitään kulman A puolittaja. Merkitään M:llä puolittajan ja sivun BC leikkauspiste.
Käytetään kaavaa:

AB-yhtälö: y -3x +5 = 0, AC-yhtälö: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Puolittaja puolittaa kulman, joten kulma NAK ≈ 26,5 0
Kaltevuuden AB tangentti on 3 (koska y -3x +5 = 0). Kaltevuuskulma on 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Puolittaja kulkee pisteen A(2,1) läpi kaavan avulla meillä on:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
tai
y = x-1
ladata

Esimerkki. Kolmion ABC kärkien koordinaatit on annettu: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Vaaditaan: 1) laske sivun BC pituus; 2) laadi yhtälö sivulle BC; 3) selvitä kolmion sisäkulma kärjessä B; 4) tee yhtälö AK:n korkeudelle vedettynä ylhäältä A; 5) selvittää homogeenisen kolmion painopisteen (sen mediaanien leikkauspisteen) koordinaatit; 6) piirrä koordinaattijärjestelmä.

Harjoittele. Annetut kolmion ABC kärkien koordinaatit: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Edellytetään:

1. kirjoita yhtälö pisteestä B vedetylle mediaanille ja laske sen pituus.
2. kirjoita yhtälö kärjestä A vedetylle korkeudelle ja laske sen pituus.
3. etsi kolmion ABC sisäkulman B kosini.

Tee piirustus.

Lataa ratkaisu

Esimerkki #3. Kolmion kärjet A(1;1), B(7;4), C(4;5) on annettu. Etsi: 1) sivun AB pituus; 2) sisäkulma A radiaaneina 0,001 tarkkuudella. Tee piirustus.
ladata

Esimerkki #4. Kolmion kärjet A(1;1), B(7;4), C(4;5) on annettu. Etsi: 1) kärjen C kautta piirretty korkeuden yhtälö; 2) kärjen C kautta piirretyn mediaanin yhtälö; 3) kolmion korkeuksien leikkauspiste; 4) kärjestä C lasketun korkeuden pituus. Piirrä.
ladata

Esimerkki #5. Kolmion ABC pisteet on annettu: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Määritä: 1) sivun AB pituus; 2) sivujen AB ja AC yhtälö ja niiden kaltevuus; 3) kolmion pinta-ala.

Löydämme vektorien koordinaatit kaavasta: X = x j - x i ; Y = y j - y i
tässä vektorin X,Y koordinaatit; x i, y i - pisteen A i koordinaatit; x j , y j - pisteen A j koordinaatit
Esimerkiksi vektorille AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Kolmion sivujen pituus
Vektorin a(X;Y) pituus ilmaistaan ​​sen koordinaatteina kaavalla:


Kolmion pinta-ala
Olkoot pisteet A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) kolmion kärjet, jolloin sen pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla:

Oikealla puolella on toisen asteen determinantti. Kolmion pinta-ala on aina positiivinen.
Ratkaisu. Ottaen A:n ensimmäiseksi kärjeksi saamme:

Kaavan mukaan saamme:

Suoran linjan yhtälö
Pisteiden A 1 (x 1; y 1) ja A 2 (x 2; y 2) kautta kulkeva suora viiva esitetään yhtälöillä:

Suoran AB yhtälö
Suoran suoran kanoninen yhtälö:

tai

tai
y = -3/4 x -15/4 tai 4v + 3x +15 = 0
Suoran AB kaltevuus on k = -3 / 4
Line AC yhtälö

tai

tai
y = 13 / 16x + 65 / 16 tai 16y -13x - 65 = 0
Suoran AB kaltevuus on k = 13 / 16

Harjoittele. Annettu pyramidin ABCD kärkien koordinaatit. Edellytetään:

1. Kirjoita vektorit ort-järjestelmään ja etsi näiden vektoreiden moduulit.
2. Etsi vektorien välinen kulma.
3. Etsi vektorin projektio vektoriin.
4. Etsi kasvojen ABC-alue.
5. Laske pyramidin ABCD tilavuus.

Ratkaisu
Esimerkki #1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Esimerkki 2
A 1 (5.2.1), A 2 (-3.9.3), A 3 (-1.3.5), A 4 (-1,-5.2): Esimerkki #3
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): Esimerkki 4

Harjoittele. Etsi terävä kulma suorien x + y -5 = 0 ja x + 4y - 8 = 0 välillä.
Suosituksia ratkaisuksi. Ongelma ratkaistaan ​​käyttämällä Angle between two lines -palvelua.
Vastaus: 30,96o

Esimerkki #1. Pisteiden A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) koordinaatit on annettu. Etsi reunan A1A2 pituus. Kirjoita yhtälö reunalle A1A4 ja pinnalle A1A2A3. Kirjoita yhtälö pisteestä A4 tasoon A1A2A3 pudonneelle korkeudelle. Etsi kolmion A1A2A3 pinta-ala. Laske kolmion muotoisen pyramidin tilavuus A1A2A3A4.

Löydämme vektorien koordinaatit kaavasta: X = x j - x i ; Y = y j - y i; Z = z j - z i
tässä vektorin X,Y,Z-koordinaatit; x i , y i , z i - pisteen A i koordinaatit ; x j , y j , z j - pisteen A j koordinaatit ;
Joten vektorille A 1 A 2 ne ovat seuraavat:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1; 1; -1)
A 1 A 3 (-2; 2; -2)
A 1 A 4 (-3; -1; -3)
A 2 A 3 (-3; 1; -1)
A 2 A 4 (-4; -2; -2)
A 3 A 4 (-1; -3; -1)
Vektorin a(X;Y;Z) pituus ilmaistaan ​​sen koordinaatteina kaavalla:

Tehtävä 1. Kolmion ABC kärkien koordinaatit on annettu: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Etsi: 1) sivun AB pituus; 2) sivujen AB ja BC yhtälöt ja niiden kaltevuus; 3) kulma B radiaaneina kahden desimaalin tarkkuudella; 4) korkeuden CD ja sen pituuden yhtälö; 5) mediaanin AE yhtälö ja tämän mediaanin ja korkeuden CD leikkauspisteen K koordinaatit; 6) sivun AB suuntaisen pisteen K kautta kulkevan suoran yhtälö; 7) pisteen M koordinaatit, joka sijaitsee symmetrisesti pisteeseen A suhteessa suoraan CD.

Ratkaisu:

1. Pisteiden A(x 1 ,y 1) ja B(x 2 ,y 2) välinen etäisyys d määritetään kaavalla

Sovellettaessa (1) saadaan sivun AB pituus:

2. Pisteiden A (x 1, y 1) ja B (x 2, y 2) kautta kulkevan suoran yhtälöllä on muoto

(2)

Korvaamalla kohdassa (2) pisteiden A ja B koordinaatit, saadaan sivun AB yhtälö:

Kun olet ratkaissut viimeisen yhtälön y:lle, löydämme sivun AB yhtälön suoran yhtälön muodossa, jossa on kaltevuus:

missä

Korvaamalla kohdassa (2) pisteiden B ja C koordinaatit, saadaan suoran BC yhtälö:

Tai

3. Tiedetään, että kahden suoran välisen kulman tangentti, joiden kulmakertoimet ovat vastaavasti yhtä suuret, lasketaan kaavalla

(3)

Haluttu kulma B muodostuu suorista AB ja BC, joiden kulmakertoimet löytyvät: Sovellettaessa (3) saadaan

Tai iloinen.

4. Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälöllä on muoto

(4)

Korkeus CD on kohtisuorassa sivuun AB nähden. Korkeus-CD:n kaltevuuden löytämiseksi käytämme viivojen kohtisuoran ehtoa. Siitä lähtien Korvaamalla (4) pisteen C koordinaatit ja löydetty korkeuskulmakerroin saadaan

Korkeuden CD pituuden selvittämiseksi määritämme ensin pisteen D koordinaatit - linjojen AB ja CD leikkauspisteen. Järjestelmän ratkaiseminen yhdessä:

löytö nuo. D(8;0).

Kaavan (1) avulla löydämme korkeus-CD:n pituuden:

5. Löytääksemme yhtälön mediaani-AE:lle määritämme ensin pisteen E koordinaatit, joka on sivun BC keskipiste, käyttämällä kaavoja, joilla jana jaetaan kahteen yhtä suureen osaan:

(5)

Siten,

Korvaamalla kohdassa (2) pisteiden A ja E koordinaatit, löydämme mediaaniyhtälön:

Korkeuden CD ja mediaanin AE leikkauspisteen koordinaattien löytämiseksi ratkaisemme yhdessä yhtälöjärjestelmän

Löydämme .

6. Koska haluttu suora on yhdensuuntainen sivun AB kanssa, niin sen kaltevuus on yhtä suuri kuin suoran AB kaltevuus. Korvaamalla kohdassa (4) löydetyn pisteen K koordinaatit ja kaltevuus saadaan

3x + 4v - 49 = 0 (KF)

7. Koska suora AB on kohtisuorassa suoraa CD vastaan, on suoralla AB haluttu piste M, joka sijaitsee symmetrisesti pisteeseen A suhteessa suoraan CD. Lisäksi piste D on janan AM keskipiste. Käyttämällä kaavoja (5) löydämme halutun pisteen M koordinaatit:

Kolmio ABC, korkeus CD, mediaani AE, suora KF ja piste M on rakennettu xOy-koordinaatistoon kuvassa 1. 1.

Tehtävä 2. Laadi yhtälö pisteiden paikalle, jonka etäisyyksien suhde tiettyyn pisteeseen A (4; 0) ja annettuun suoraan x \u003d 1 on yhtä suuri kuin 2.

Ratkaisu:

Koordinaatistossa xOy muodostetaan piste A(4;0) ja suora x = 1. Olkoon M(x;y) halutun pisteen mielivaltainen piste. Pudotetaan kohtisuora MB annettuun suoraan x = 1 ja määritetään pisteen B koordinaatit. Koska piste B on annetulla suoralla, sen abskissa on yhtä suuri kuin 1. Pisteen B ordinaatti on yhtä suuri kuin pisteen M ordinaatit. Siksi B(1; y) (kuva 2).

Tehtävän ehdon mukaan |MA|: |MV| = 2. Etäisyydet |MA| ja |MB| löydämme tehtävän 1 kaavalla (1):

Neliöimällä vasemman ja oikean puolen saamme

tai

Tuloksena oleva yhtälö on hyperbola, jossa todellinen puoliakseli on a = 2 ja imaginaari on

Määritellään hyperbelin polttopisteet. Hyperbolalle yhtäläisyys täyttyy, joten ja ovat hyperbelin polttopisteitä. Kuten näet, annettu piste A(4;0) on hyperbelin oikea fokus.

Määritetään tuloksena olevan hyperbolin epäkeskisyys:

Hyperbolin asymptoottiyhtälöillä on muoto ja . Siksi tai ja ovat hyperbolan asymptootteja. Ennen hyperbelin rakentamista rakennamme sen asymptootit.

Tehtävä 3. Laadi yhtälö pisteestä A (4; 3) yhtä kaukana olevien pisteiden paikasta ja suorasta y \u003d 1. Pelistä saatu yhtälö sen yksinkertaisimpaan muotoon.

Ratkaisu: Olkoon M(x; y) yksi halutun pistepaikan pisteistä. Pudotetaan kohtisuora MB pisteestä M annettuun suoraan y = 1 (kuva 3). Määritetään pisteen B koordinaatit. On selvää, että pisteen B abskissa on yhtä suuri kuin pisteen M abskissa ja pisteen B ordinaatit on 1, eli B (x; 1). Tehtävän ehdon mukaan |MA|=|MV|. Siksi yhtäläisyys on totta mille tahansa pisteelle M (x; y), joka kuuluu haluttuun pisteen paikkaan:

Tuloksena oleva yhtälö määrittelee paraabelin, jonka kärkipiste on pisteessä. Paraabeliyhtälön pelkistämiseksi sen yksinkertaisimpaan muotoon asetamme ja y + 2 = Y, jolloin paraabeliyhtälö saa muodon:

Kuinka oppia ratkaisemaan analyyttisen geometrian ongelmia?
Tyypillinen ongelma tasossa olevan kolmion kanssa

Tämä oppitunti luotiin lähestymisestä päiväntasaajaan tason geometrian ja avaruuden geometrian välillä. Tällä hetkellä on tarve systematisoida kertynyt tieto ja vastata erittäin tärkeään kysymykseen: kuinka oppia ratkaisemaan analyyttisen geometrian ongelmia? Vaikeus on siinä, että geometriassa on ääretön määrä tehtäviä, eikä mikään oppikirja voi sisältää kaikkia monia ja erilaisia ​​esimerkkejä. Ei ole funktion derivaatta viisi eriyttämissääntöä, taulukko ja muutama tekniikka….

Ratkaisu on olemassa! En sano ääneen sanoja, että olen kehittänyt jonkinlaisen suurenmoisen tekniikan, mutta mielestäni tarkasteltavaan ongelmaan on olemassa tehokas lähestymistapa, jonka avulla jopa täydellä vedenkeittimellä voidaan saavuttaa hyviä ja erinomaisia ​​tuloksia. Ainakin yleinen geometristen tehtävien ratkaisualgoritmi muotoutui hyvin selkeästi päässäni.

MITÄ SINUN TARVITSE TIETÄÄ JA KYKYÄ
onnistuneesti ratkaisemaan geometrian ongelmia?

Tästä ei pääse pakoon - jotta et tönäisi nappeja satunnaisesti nenälläsi, sinun on hallittava analyyttisen geometrian perusteet. Siksi, jos olet juuri aloittanut geometrian opiskelun tai olet unohtanut sen kokonaan, aloita oppitunnilla Vektorit tutille. Vektorien ja niiden kanssa suoritettavien toimien lisäksi sinun on tiedettävä tasogeometrian peruskäsitteet, erityisesti tasossa olevan suoran yhtälö Ja . Avaruuden geometriaa edustavat artikkelit Tasoyhtälö, Avaruuden suoran yhtälöt, Perustehtävät linjalla ja lentokoneella ja joitain muita oppitunteja. Kaarevat viivat ja toisen asteen tilapinnat erottuvat hieman toisistaan, eikä niissä ole niin paljon erityisiä ongelmia.

Oletetaan, että opiskelijalla on jo perustiedot ja -taidot analyyttisen geometrian yksinkertaisimpien ongelmien ratkaisemiseen. Mutta se tapahtuu näin: luet ongelman tilanteen ja ... haluat sulkea koko asian kokonaan, heittää sen kaukaiseen nurkkaan ja unohtaa sen kuin painajaisen. Lisäksi tämä ei ole pohjimmiltaan riippuvainen pätevyyden tasosta, itsekin kohtaan ajoittain tehtäviä, joihin ratkaisu ei ole ilmeinen. Kuinka toimia tällaisissa tapauksissa? Sinun ei tarvitse pelätä tehtävää, jota et ymmärrä!

Ensinnäkin, tulee asettaa arvoon onko se "taso" vai tilaongelma? Esimerkiksi, jos ehdossa esiintyy vektoreita, joilla on kaksi koordinaattia, niin tämä on tietysti tason geometria. Ja jos opettaja latasi kiitollisen kuuntelijan pyramidilla, niin siellä on selvästi tilan geometria. Ensimmäisen vaiheen tulokset ovat jo varsin hyviä, koska onnistuimme leikkaamaan valtavan määrän tarpeetonta tietoa tähän tehtävään!

Toinen. Ehto koskee pääsääntöisesti sinua jonkin geometrisen kuvion suhteen. Todellakin, kävele kotimaasi yliopiston käytävillä ja näet paljon huolestuneita kasvoja.

"Litteissä" ongelmissa, puhumattakaan ilmeisistä kohdista ja viivoista, suosituin hahmo on kolmio. Analysoimme sen erittäin yksityiskohtaisesti. Seuraavaksi tulee suunnikas, ja suorakulmio, neliö, rombi, ympyrä ja muut hahmot ovat paljon harvinaisempia.

Tilatehtävissä voivat lentää samat litteät hahmot + itse tasot ja yhteiset kolmiopyramidit suuntaissärmiöillä.

Kysymys kaksi - Tiedätkö kaiken tästä hahmosta? Oletetaan, että ehto koskee tasakylkistä kolmiota, ja muistat hyvin epämääräisesti, millainen kolmio se on. Avaamme koulun oppikirjan ja luemme tasakylkistä kolmiota. Mitä tehdä ... lääkäri sanoi, että rombi, joten rombi. Analyyttinen geometria on analyyttistä geometriaa, mutta ongelma auttaa ratkaisemaan itse kuvioiden geometriset ominaisuudet tunnemme koulun opetussuunnitelmasta. Jos et tiedä, mikä on kolmion kulmien summa, voit kärsiä pitkään.

Kolmanneksi. Yritä AINA seurata suunnitelmaa(luonnos / puhdas / henkisesti), vaikka ehto ei sitä vaadi. "Litteissä" tehtävissä Euclid itse käski ottaa viivaimen kynällä kädessään - eikä vain tilan ymmärtämiseksi, vaan myös itsetestauksen vuoksi. Tässä tapauksessa kätevin asteikko on 1 yksikkö = 1 cm (2 tetradisolua). Älkäämme puhuko huolimattomista opiskelijoista ja matemaatikoista, jotka pyörivät haudoissaan - tällaisissa ongelmissa on melkein mahdotonta tehdä virhettä. Tilatehtäviä varten teemme kaaviokuvan, joka auttaa myös tilan analysoinnissa.

Piirustuksen tai kaavamaisen piirustuksen avulla näet usein heti tavan ratkaista ongelma. Tietysti tätä varten sinun on tiedettävä geometrian perusta ja leikattava geometristen muotojen ominaisuudet (katso edellinen kappale).

neljäs. Ratkaisualgoritmin kehittäminen. Monet geometriatehtävät ovat monivaiheisia, joten on erittäin kätevää jakaa ratkaisu ja sen suunnittelu pisteisiin. Usein algoritmi tulee heti mieleen, kun olet lukenut ehdon tai saanut piirustuksen valmiiksi. Vaikeuksien sattuessa aloitamme ongelman KYSYMYKSESTÄ. Esimerkiksi ehdon mukaan "on vaadittava suora viiva ...". Tässä loogisin kysymys on: "Mitä riittää tietää tämän linjan rakentamiseen?". Oletetaan, että "me tiedämme pisteen, meidän täytyy tietää suuntavektori." Esitämme seuraavan kysymyksen: "Kuinka löytää tämä suuntavektori? Missä?" jne.

Joskus tulee "pistoke" - tehtävää ei ole ratkaistu ja se on siinä. Pysäytyksen syyt voivat olla seuraavat:

- Vakava puute perustiedoissa. Toisin sanoen, et tiedä tai (etkä) näe jotain hyvin yksinkertaista asiaa.

- Geometristen muotojen ominaisuuksien tietämättömyys.

– Tehtävä oli vaikea. Kyllä, se tapahtuu. Ei ole mitään järkeä höyryttää tuntikausia ja kerätä kyyneleitä nenäliinaan. Kysy neuvoa opettajaltasi, opiskelutovereiltasi tai kysy foorumilla. Lisäksi on parempi tehdä sen lausunto konkreettiseksi - siitä ratkaisun osasta, jota et ymmärrä. Huuto muodossa "Kuinka ratkaista ongelma?" ei näytä hyvältä... ja ennen kaikkea oman maineesi vuoksi.

Vaihe viisi. Ratkaisemme-tarkistamme, ratkaisemme-tarkistamme, ratkaisemme-tarkistamme-annamme vastauksen. On hyödyllistä tarkistaa tehtävän jokainen kohta heti sen tekemisen jälkeen. Tämä auttaa sinua löytämään virheen välittömästi. Kukaan ei luonnollisesti kiellä koko ongelman nopeaa ratkaisemista, mutta on olemassa vaara, että kaikki kirjoitetaan uudelleen (usein useita sivuja).

Tässä on ehkä kaikki tärkeimmät näkökohdat, joita on suositeltavaa noudattaa ongelmia ratkaistaessa.

Oppitunnin käytännön osaa edustaa geometria tasossa. Esimerkkejä on vain kaksi, mutta se ei näytä tarpeeksi =)

Käydään läpi algoritmin lanka, jonka juuri tarkastelin pienessä tieteellisessä työssäni:

Esimerkki 1

Suunnikkaalle on annettu kolme kärkeä. Etsi yläosa.

Aloitetaan selvittää asiaa:

Ensimmäinen askel: on selvää, että puhumme "tasaisesta" ongelmasta.

vaihe kaksi: Ongelma liittyy suunnikkaaseen. Kaikki muistavat tällaisen suunnikaskuvion? Ei tarvitse hymyillä, monet ihmiset ovat koulutettuja 30-40-50 tai sitä vanhempana, joten yksinkertaisetkin faktat voidaan pyyhkiä pois muistista. Suunnikkaan määritelmä löytyy oppitunnin esimerkistä 3 Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta.

Vaihe kolme: Tehdään piirustus, johon merkitään kolme tunnettua kärkeä. Hassua, että haluttu kohta on helppo rakentaa heti:

Rakentaminen on tietysti hyvä asia, mutta ratkaisu pitää formalisoida analyyttisesti.

Vaihe neljä: Ratkaisualgoritmin kehittäminen. Ensimmäinen asia, joka tulee mieleen, on, että piste voidaan löytää viivojen leikkauspisteenä. Niiden yhtälöt ovat meille tuntemattomia, joten meidän on käsiteltävä tämä ongelma:

1) Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Pisteiden mukaan etsi näiden sivujen suuntavektori . Tämä on yksinkertaisin oppitunnilla käsitelty tehtävä. Vektorit tutille.

Huomautus: on oikeampaa sanoa "sivun sisältävän suoran yhtälö", mutta tästä eteenpäin käytän lyhyyden vuoksi lauseita "sivun yhtälö", "sivun suuntausvektori" jne.

3) Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Pisteiden perusteella löydämme näiden sivujen suuntavektorin.

4) Laadi suoran yhtälö pisteen ja suuntavektorin avulla

Kohdissa 1-2 ja 3-4 itse asiassa ratkaisimme saman ongelman kahdesti, sitä muuten analysoidaan oppitunnin esimerkissä nro 3 Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla. Oli mahdollista mennä pidempään - löytää ensin suorien yhtälöt ja vasta sitten "vetää" niistä ulos suuntavektorit.

5) Nyt suorien yhtälöt tunnetaan. On vielä laadittava ja ratkaistava vastaava lineaarinen yhtälöjärjestelmä (katso saman oppitunnin esimerkit nro 4, 5 Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla).

Piste löytyi.

Tehtävä on melko yksinkertainen ja sen ratkaisu on ilmeinen, mutta on olemassa lyhyempi tapa!

Toinen tapa ratkaista:

Suunnikkaan diagonaalit jaetaan niiden leikkauspisteen mukaan. Merkkasin pisteen, mutta jotta piirustus ei sotkeutuisi, en piirtänyt diagonaaleja itse.

Laadi sivun yhtälö pisteillä :

Tarkistaaksesi, mielessään tai luonnoksessa, korvaa kunkin pisteen koordinaatit tuloksena olevassa yhtälössä. Etsitään nyt rinne. Tätä varten kirjoitamme yleisen yhtälön uudelleen yhtälön muodossa, jossa on kaltevuus:

Joten kaltevuustekijä on:

Samalla tavalla löydämme sivujen yhtälöt. En näe paljon järkeä maalata samaa, joten annan heti valmiin tuloksen:

2) Laske sivun pituus. Tämä on yksinkertaisin oppitunnilla käsitelty tehtävä. Vektorit tutille. Pisteitä varten käytämme kaavaa:

Saman kaavan avulla on helppo löytää muiden sivujen pituudet. Tarkastus suoritetaan erittäin nopeasti tavallisella viivaimella.

Käytämme kaavaa .

Etsitään vektorit:

Täten:

Muuten, matkan varrella löysimme sivujen pituudet.

Tuloksena:

No, se näyttää olevan totta, vakuuttamisen vuoksi voit kiinnittää kulmaan astelevyn.

Huomio! Älä sekoita kolmion kulmaa suorien viivojen väliseen kulmaan. Kolmion kulma voi olla tylppä, mutta suorien välinen kulma ei (katso artikkelin viimeinen kappale Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla). Yllä olevan oppitunnin kaavoja voidaan kuitenkin käyttää myös kolmion kulman selvittämiseen, mutta karheus on siinä, että ne kaavat antavat aina terävän kulman. Heidän avullaan ratkaisin tämän ongelman luonnoksella ja sain tuloksen. Ja puhtaaseen kopioon sinun on kirjoitettava siihen lisää tekosyitä.

4) Kirjoita yhtälö suorasta pisteestä, joka kulkee yhdensuuntaisen suoran kanssa.

Vakiotehtävä, jota käsitellään yksityiskohtaisesti oppitunnin esimerkissä nro 2 Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla. Suoran suoran yleisestä yhtälöstä vedä ulos suuntavektori . Muodostetaan suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista:

Kuinka löytää kolmion korkeus?

5) Tehdään korkeusyhtälö ja selvitetään sen pituus.

Tiukkoja määritelmiä ei voi paeta, joten sinun täytyy varastaa koulukirjasta:

kolmion korkeus kutsutaan kohtisuoraksi, joka on vedetty kolmion kärjestä vastakkaisen sivun sisältävään viivaan.

Eli on tarpeen muodostaa kohtisuoran yhtälö, joka on vedetty kärjestä sivulle. Tätä tehtävää tarkastellaan oppitunnin esimerkeissä nro 6, 7 Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla. Yhtälöstä poista normaalivektori. Muodostamme pisteen korkeusyhtälön ja suuntavektorin:

Huomaa, että emme tiedä pisteen koordinaatteja.

Joskus korkeusyhtälö saadaan kohtisuorien viivojen kaltevuuden suhteesta: . Tässä tapauksessa sitten: . Laadimme pisteen ja kaltevuuden korkeusyhtälön (katso oppitunnin alku Tason suoran yhtälö):

Korkeuden pituus löytyy kahdella tavalla.

On olemassa kiertotie:

a) etsi - korkeuden ja sivun leikkauspiste;
b) selvitä janan pituus kahdella tunnetulla pisteellä.

Mutta luokassa Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla harkittiin kätevää kaavaa pisteen ja suoran etäisyydelle. Kohta tiedetään: , suoran yhtälö tunnetaan myös: , Täten:

6) Laske kolmion pinta-ala. Avaruudessa kolmion pinta-ala lasketaan perinteisesti käyttämällä vektorien ristitulo, mutta tässä tasossa on annettu kolmio. Käytämme koulukaavaa:
Kolmion pinta-ala on puolet sen kannan tulosta kertaa sen korkeus.

Tässä tapauksessa:

Kuinka löytää kolmion mediaani?

7) Laadi mediaaniyhtälö.

Kolmion mediaani Kutsutaan janaa, joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen.

a) Etsi piste - sivun keskipiste. Käytämme keskipisteen koordinaattikaavat. Janan päiden koordinaatit tunnetaan: , sitten keskikohdan koordinaatit:

Täten:

Muodostamme mediaaniyhtälön pisteillä :

Yhtälön tarkistamiseksi sinun on korvattava pisteiden koordinaatit siihen.

8) Etsi korkeuden ja mediaanin leikkauspiste. Luulen, että kaikki ovat jo oppineet suorittamaan tämän taitoluistelun elementin putoamatta: