irrationaalinen luku- se ei ole järkevää oikea numero, eli sitä ei voida esittää murtolukuna \(\frac(m)(n)\) (kahden kokonaisluvun suhteena), missä m on kokonaisluku, n- luonnollinen luku. Irrationaaliluku voidaan esittää äärettömänä ei-jaksollisena desimaalilukuna.
Irrationaalisella luvulla ei voi olla tarkka arvo. Esimerkiksi kahden neliöjuuri on irrationaalinen luku.
Sarja on merkitty irrationaalisia lukuja suuri Englantilainen kirje\(minä\) .
Rationali- ja irrationaalilukujen joukko muodostaa joukon todellisia lukuja. Reaalilukujen joukko on merkitty kirjaimella \(R\) .
neliöjuuri(aritmeettinen neliöjuuri) ei-negatiivista lukua \(a\) kutsutaan sellaiseksi ei-negatiivinen luku, jonka neliö on \(a\) . \(\displaystyle (\sqrt(a)=x,\ ((x)^(2))=a;\ x,a\ge 0)\).
Likimääräiset arvot neliöjuuri alkaen annettu numero jopa yksi, kaksi peräkkäin luonnolliset luvut, joista ensimmäisen neliö on pienempi ja toisen neliö on suurempi kuin annettu luku.
Ensimmäistä näistä numeroista kutsutaan puutteellisen juuren likimääräiseksi arvoksi, toista - ylimääräisen juuren likimääräiseksi arvoksi.
Juuren likimääräiset arvot kirjoitetaan seuraavasti: \(\sqrt(10)\noin 3 (\ s \ viikkoa); \ \sqrt(10)\noin4 (\ s \ est)\).
Esimerkki 1. Etsi likimääräinen arvo \(\sqrt3\) kahdella desimaalilla. Arvioidaan radikaali ilmaisu 3 ensin kokonaislukuina. Vuodesta 1< 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .
Etsitään nyt kymmenesosien määrä. Tätä varten neliöimme desimaalimurtoluvut 1.1; 1,2; 1,3; ... kunnes arvostamme jälleen radikaalilausekkeen 3 tällaisilla luvuilla. Meillä on: 1.12 = 1.21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24. 2.89 lähtien< 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .
Sadasosien lukumäärän selvittämiseksi neliöimme peräkkäin desimaalimurtoluvut 1,71; 1,72; 1,73; ..., arvioimalla jälleen radikaalilauseketta 3. Meillä on: 1,712 = 2,9241; 1,722 = 2,9584; 1,732 = 2,9929; 1,742 = 3,0276. Vuodesta 1.732< 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .
Esimerkki 2 Laske \(\sqrt(138384)\) .
Ratkaisu: Jaetaan luku kasvoiksi: 13 "83" 84 - niitä on kolme, mikä tarkoittaa, että tuloksen tulisi olla kolminumeroinen luku. Tuloksen ensimmäinen numero on 3, koska 3 2< 13, тогда как 4 2 >13. Vähentämällä 9 luvusta 13, saamme 4. Määrittämällä seuraavan kasvot 4:lle, saamme A= 483. Kaksinkertaistamalla tuloksen käytettävissä olevan osan, eli luvun 3, saadaan a= 6. Valitaan nyt suurin numero x niin, että kaksinumeroisen luvun tulo kirves päällä x oli pienempi kuin 483. Tämä luku on 7, koska 67 * 7 = 469 on pienempi kuin 483, kun taas 68 * 8 = 544 on enemmän kuin 483. Tuloksen toinen numero on siis 7.
Vähentämällä 469 luvusta 483, saamme 14. Määrittämällä viimeisen reunan tämän luvun oikealle puolelle saadaan b= 1484. Tuloksen käytettävissä olevan osan kaksinkertaistaminen, ts. numero 37, saamme B= 74. Valitaan nyt sellainen suurin luku y niin että kolminumeroisen luvun tulo kirjoittaja päällä y ei ylittänyt 1484. Tämä luku on 2, koska 742 * 2 = 1484. Numero 2 on tuloksen viimeinen numero. Vastaus oli 372.
\(\sqrt(138384)=372\) .
Jos juuria ei poisteta, laitetaan pilkku annetun luvun viimeisen numeron jälkeen ja muodostetaan lisää kasvoja, joista jokainen on muotoa 00. Tässä tapauksessa juuren purkamisprosessi on loputon; se pysähtyy, kun vaadittu tarkkuus saavutetaan.
OIKEAT NUMEROT II
§ 39 Neliöjuurien erottaminen rationaaliluvuista
Kuten tiedämme, rationaalisten lukujen joukossa kertolasku on aina mahdollista. Erityisesti tuote m / n m / n . Tätä tuotetta kutsutaan luvun neliöksi. m / n ja merkitty ( m / n ) 2:
( m / n ) 2 = m / n m / n
Joten jos tietty luku on rationaalinen, niin sen neliö on myös rationaalinen luku. Tämä luku on selvästi positiivinen. Ja nyt esitämme käänteisen ongelman: onko jokainen positiivinen rationaaliluku jonkin rationaaliluvun neliö? Algebrallisten yhtälöiden kielellä tämä ongelma voidaan muotoilla seuraavasti. Annettu yhtälö
X 2 = a ,
missä a on jokin positiivinen rationaalinen luku, ja X - tuntematon arvo. Kysymys kuuluu: onko tällä yhtälöllä aina rationaaliset juuret? Vastaus tähän kysymykseen osoittautuu kielteiseksi. rationaalinen luku a voidaan valita niin, että yhtälö X 2 = a ei ole yhtä rationaalista juurta. Tästä olemme vakuuttuneita erityisesti seuraavan lauseen avulla.
Lause.Ei ole olemassa rationaalilukua, jonka neliö on 2.
Todistus suoritetaan ristiriitaisesti. Oletetaan, että on olemassa rationaalinen luku m / n , jonka neliö on 2: ( m / n ) 2 = 2.
Jos kokonaislukuja t ja P on samat kertoimet, sitten murto-osa m / n voidaan lyhentää. Siksi voimme alusta alkaen olettaa, että murto-osa m / n vähentymätön.
Tilanteesta ( m / n ) 2 = 2 tästä seuraa
t 2 = 2P 2 . .
Numerosta 2 lähtien P 2 on parillinen, sitten luku t 2:n on oltava parillinen. Mutta sitten luku on parillinen t . (Todista se!) Joten t = 2k , missä k on jokin kokonaisluku. Korvaa tämä lauseke sanalla t kaavaan t 2 = 2P 2 saa: 4 k 2 = 2P 2, mistä
P 2 =2k 2 .
Siinä tapauksessa numero P 2 on parillinen; mutta silloin luvun on oltava parillinen P . Osoittautuu, että numerot t ja P jopa. Ja tämä on ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että murto-osa m / n vähentymätön. Siksi alkuperäinen oletuksemme murto-osan olemassaolosta m / n , tyydyttävä ehto ( m / n ) 2 = 2., on väärä. On vielä tunnustettava, että kaikkien rationaalisten lukujen joukossa ei ole ketään, jonka neliö olisi yhtä suuri kuin 2. Siksi yhtälö
X 2 = 2
joukossa järkevää numerot ovat ratkaisemattomia. Samanlainen johtopäätös voitaisiin tehdä monista muista muodon yhtälöistä
X 2 = a ,
missä a on positiivinen kokonaisluku. Siitä huolimatta VIII luokalla puhuimme toistuvasti tällaisten yhtälöiden juurista. Ja yhtälön positiivinen juuri X 2 = a annoimme jopa erityisen nimen "luvun neliöjuuri". a ” ja otti käyttöön sille erityisen nimityksen: √ a .
Joten √2 ei kuulu rationaalilukuihin. Mutta kuinka sitten voidaan luonnehtia √2? Vastataksesi tähän kysymykseen, muistetaan sääntö neliöjuurien erottamisesta. Kun tätä sääntöä sovelletaan numeroon 2, se antaa:
Tässä tapauksessa juuren purkaminen ei voi päättyä mihinkään vaiheeseen. Muuten √2 olisi yhtä suuri kuin jokin äärellinen desimaaliluku ja siksi se olisi rationaalinen luku. Ja tämä on ristiriidassa edellä todistetun lauseen kanssa. Näin ollen, kun otetaan 2:n neliöjuuri, saadaan ääretön desimaalimurto. Tämä murto-osa ei voi olla jaksollinen, muuten se, kuten mikä tahansa muukin ääretön jaksollinen murto-osa, voitaisiin esittää kahden kokonaisluvun suhteena. Ja tämä on myös ristiriidassa edellä todistetun lauseen kanssa. Siten √2 voidaan ajatella äärettömänä ei-jaksollisena desimaalilukuna.
Joten esimerkiksi kokonaislukujen juurien erottaminen johtaa meidät äärettömiin ei-jaksollisiin desimaalilukuihin.
Seuraavissa kappaleissa tarkastellaan toista ongelmaa, jolla ei yleisesti ottaen ole mitään tekemistä juurien poimimisen kanssa, mutta joka johtaa meidät myös äärettömiin ei-jaksollisiin desimaalilukuihin.
Harjoitukset
305. Ilmoita useita luonnollisia lukuja, joiden neliöjuuret olisivat rationaalilukuja.
306. Osoita, että jos luonnollisen luvun neliöjuuri on rationaaliluku, niin tämä rationaalinen luku on välttämättä kokonaisluku.
307. Todista, että yhtälö X Rationaalisten lukujen joukossa 3 = 5 ei ole juuria.
Olemme jo aiemmin osoittaneet, että $1\frac25$ on lähellä $\sqrt2$. Jos se olisi täsmälleen yhtä suuri kuin $\sqrt2$, . Tällöin suhde - $\frac(1\frac25)(1)$, joka voidaan muuttaa kokonaislukujen suhteeksi $\frac75$ kertomalla murtoluvun ylä- ja alaosa viidellä, olisi haluttu arvo.
Mutta valitettavasti $1\frac25$ ei ole $\sqrt2$:n tarkka arvo. Tarkemman vastauksen $1\frac(41)(100)$ antaa relaatio $\frac(141)(100)$. Saavutamme vielä suuremman tarkkuuden, kun rinnastamme $\sqrt2$ arvoon $1\frac(207)(500)$. Tässä tapauksessa kokonaislukujen suhde on $\frac(707)(500)$. Mutta $1\frac(207)(500)$ ei myöskään ole tarkka neliöjuuren arvo 2. Kreikkalaiset matemaatikot käyttivät paljon aikaa ja vaivaa laskeakseen $\sqrt2$:n tarkan arvon, mutta he eivät koskaan onnistuneet. He eivät pystyneet esittämään suhdetta $\frac(\sqrt2)(1)$ kokonaislukujen suhteena.
Lopuksi suuri kreikkalainen matemaatikko Euclid osoitti, että riippumatta siitä, kuinka laskelmien tarkkuus kasvaa, on mahdotonta saada tarkkaa arvoa $\sqrt2$. Ei ole murto-osaa, joka neliötettynä johtaisi 2:een. Pythagoraan sanotaan olevan ensimmäinen, joka päätyi tähän johtopäätökseen, mutta tämä selittämätön tosiasia teki tutkijaan niin suuren vaikutuksen, että hän vannoi itsensä ja vannoi oppilailtansa pitävän. tämä löytö on salaisuus. Tämä tieto ei kuitenkaan välttämättä pidä paikkaansa.
Mutta jos lukua $\frac(\sqrt2)(1)$ ei voida esittää kokonaislukujen suhteena, ei lukua, joka sisältää $\sqrt2$, esimerkiksi $\frac(\sqrt2)(2)$ tai $\frac (4)(\sqrt2)$ ei myöskään voida esittää kokonaislukujen suhdelukuna, koska kaikki tällaiset murtoluvut voidaan muuntaa $\frac(\sqrt2)(1)$ kerrottuna jollakin luvulla. Joten $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Tai $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, joka voidaan muuntaa kertomalla ylä- ja alaosa $\sqrt2$:lla, jolloin saadaan $\frac(4) (\sqrt2)$. (Emme saa unohtaa, että riippumatta siitä, mikä luku $\sqrt2$ on, jos kerromme sen $\sqrt2$:lla, saamme 2.)
Koska lukua $\sqrt2$ ei voida esittää kokonaislukujen suhteena, sitä kutsutaan irrationaalinen luku. Toisaalta kutsutaan kaikkia lukuja, jotka voidaan esittää kokonaislukujen suhteena järkevää.
Kaikki kokonais- ja murtoluvut, sekä positiiviset että negatiiviset, ovat rationaalisia.
Kuten käy ilmi, useimmat neliöjuuret ovat irrationaalisia lukuja. Rationaaliset neliöjuuret koskevat vain neliönumerosarjaan sisältyviä lukuja. Näitä lukuja kutsutaan myös täydellisiksi neliöiksi. Rationaaliset luvut ovat myös murto-osia, jotka koostuvat näistä täydellisistä neliöistä. Esimerkiksi $\sqrt(1\frac79)$ on rationaalinen luku, koska $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ tai $1\frac13$ (4 on juuri neliö 16, ja 3 on 9:n neliöjuuri).
