Ennen laskimien tuloa opiskelijat ja opettajat laskivat neliöjuuret käsin. On olemassa useita tapoja laskea luvun neliöjuuri manuaalisesti. Jotkut niistä tarjoavat vain likimääräisen ratkaisun, toiset antavat tarkan vastauksen.

Askeleet

Alkutekijähajotelma

Kerro juuriluku tekijöiksi, jotka ovat neliölukuja. Riippuen juurinumerosta, saat likimääräisen tai tarkan vastauksen. Neliöluvut ovat lukuja, joista voidaan ottaa koko neliöjuuri. Tekijät ovat lukuja, jotka kerrottuna antavat alkuperäisen luvun. Esimerkiksi luvun 8 tekijät ovat 2 ja 4, koska 2 x 4 = 8, luvut 25, 36, 49 ovat neliölukuja, koska √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Neliötekijät ovat tekijöitä, jotka ovat neliölukuja. Yritä ensin kertoa juuriluku neliötekijöiksi.

• Laske esimerkiksi 400:n neliöjuuri (manuaalisesti). Yritä ensin laskea 400 neliötekijöiksi. 400 on 100:n kerrannainen, eli jaollinen 25:llä - tämä on neliöluku. Jakamalla 400 luvulla 25, saat 16. Luku 16 on myös neliöluku. Näin ollen 400 voidaan laskea neliötekijöiksi 25 ja 16, eli 25 x 16 = 400.
• Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: √400 = √(25 x 16).

1. Joidenkin termien tulon neliöjuuri on yhtä suuri kuin kunkin termin neliöjuuren tulo, eli √(a x b) = √a x √b. Käytä tätä sääntöä ja ota kunkin neliötekijän neliöjuuri ja kerro tulokset löytääksesi vastauksen.

   • Esimerkissämme otetaan neliöjuuri luvuista 25 ja 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jos radikaaliluku ei kerrota kahdeksi neliötekijäksi (ja niin tapahtuu useimmissa tapauksissa), et voi löytää tarkkaa vastausta kokonaislukuna. Mutta voit yksinkertaistaa ongelmaa jakamalla juuriluvun neliötekijäksi ja tavalliseksi tekijäksi (luku, josta ei voida ottaa koko neliöjuurta). Sitten otat neliöjuuren neliötekijästä ja otat tavallisen kertoimen juuren.

   • Laske esimerkiksi luvun 147 neliöjuuri. Lukua 147 ei voi laskea kahteen neliötekijään, mutta se voidaan laskea seuraaviin tekijöihin: 49 ja 3. Ratkaise tehtävä seuraavasti:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Tarvittaessa arvioi juuren arvo. Nyt voit arvioida juuren arvon (etsi likimääräinen arvo) vertaamalla sitä juurilukua lähimpänä (lukuviivan molemmilla puolilla) olevien neliölukujen juuriin. Saat juuren arvon desimaalilukuna, joka on kerrottava juurimerkin takana olevalla luvulla.

   • Palataanpa esimerkkiimme. Juuriluku on 3. Sitä lähimmät neliöluvut ovat luvut 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Siten √3:n arvo on välillä 1 ja 2. Koska √3:n arvo on todennäköisesti lähempänä 2:ta kuin 1:tä, arviomme on: √3 = 1,7. Kerromme tämän arvon juurimerkin luvulla: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Jos teet laskut laskimella, saat 12,13, mikä on melko lähellä vastaustamme.
     • Tämä menetelmä toimii myös suurilla numeroilla. Oletetaan esimerkiksi √35. Juuriluku on 35. Sitä lähimmät neliöluvut ovat luvut 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Näin ollen √35:n arvo on välillä 5 ja 6. Koska √35:n arvo on paljon lähempänä 6:ta kuin se on 5 (koska 35 on vain 1 vähemmän kuin 36), voimme todeta, että √35 on hieman pienempi kuin 6. Varmentaminen laskimella antaa meille vastauksen 5.92 - olimme oikeassa.

4. Toinen tapa on hajottaa juuriluku alkutekijöiksi. Alkutekijät ovat lukuja, jotka ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään. Kirjoita alkutekijät riville ja etsi identtisten tekijöiden parit. Sellaiset tekijät voidaan ottaa pois juuren merkistä.

   • Laske esimerkiksi 45:n neliöjuuri. Jaamme juuriluvun alkutekijöiksi: 45 \u003d 9 x 5 ja 9 \u003d 3 x 3. Siten √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 voidaan ottaa pois juurimerkistä: √45 = 3√5. Nyt voimme arvioida √5.
   • Harkitse toista esimerkkiä: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sinulla on kolme kerrointa 2s; ota niitä pari ja ota ne pois juuren merkistä.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nyt voimme arvioida √2 ja √11 ja löytää likimääräisen vastauksen.

   Laske neliöjuuri manuaalisesti

   Sarakejaon käyttö

   1. Tämä menetelmä sisältää pitkän jaon kaltaisen prosessin ja antaa tarkan vastauksen. Piirrä ensin pystysuora viiva, joka jakaa arkin kahteen puolikkaaseen, ja vedä sitten vaakaviiva oikealle ja hieman arkin yläreunan alapuolelle pystyviivaan. Jaa nyt juuriluku lukupareihin aloittaen desimaalipilkun jälkeisestä murto-osasta. Joten numero 79520789182.47897 kirjoitetaan muodossa "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Lasketaan esimerkiksi luvun 780.14 neliöjuuri. Piirrä kaksi viivaa (kuten kuvassa) ja kirjoita numero vasempaan yläkulmaan "7 80, 14". On normaalia, että ensimmäinen numero vasemmalta on pariton numero. Vastaus (annetun luvun juuri) kirjoitetaan oikeaan yläkulmaan.

   2. Kun annetaan ensimmäinen numeropari (tai yksi luku) vasemmalta, etsi suurin kokonaisluku n, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin kyseessä oleva lukupari (tai yksi luku). Toisin sanoen etsi neliöluku, joka on lähimpänä, mutta pienempi kuin ensimmäinen numeropari (tai yksi luku) vasemmalta, ja ota neliöjuuri kyseisestä neliöluvusta; saat numeron n. Kirjoita löydetty n oikeaan yläkulmaan ja neliö n oikeaan alakulmaan.

      • Meidän tapauksessamme ensimmäinen numero vasemmalla on numero 7. Seuraavaksi 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Vähennä juuri löytämäsi luvun n neliö ensimmäisestä numeroparista (tai yhdestä luvusta) vasemmalta. Kirjoita laskennan tulos aliosan (luvun n neliön) alle.

      • Esimerkissämme vähennä 4 7:stä saadaksesi 3.

   4. Ota toinen numeropari muistiin ja kirjoita se edellisessä vaiheessa saadun arvon viereen. Tuplaa sitten oikea yläkulman numero ja kirjoita tulos oikeaan alakulmaan, johon on liitetty "_×_=".

      • Esimerkissämme toinen numeropari on "80". Kirjoita 3:n perään "80". Sitten oikeasta yläkulmasta tuplaamalla saadaan 4. Kirjoita oikeasta alakulmasta "4_×_=".

   5. Täytä oikealla olevat kohdat.

      • Meidän tapauksessamme, jos laitamme numeron 8 väliviivojen sijaan, niin 48 x 8 \u003d 384, mikä on enemmän kuin 380. Siksi 8 on liian suuri luku, mutta 7 on hyvä. Kirjoita 7 väliviivojen sijaan ja saa: 47 x 7 \u003d 329. Kirjoita 7 oikeasta yläkulmasta - tämä on luvun 780.14 halutun neliöjuuren toinen numero.

   6. Vähennä tuloksena oleva luku vasemmalla olevasta nykyisestä numerosta. Kirjoita edellisen vaiheen tulos nykyisen luvun alle vasemmalle, etsi ero ja kirjoita se vähennetyn luvun alle.

      • Esimerkissämme vähennä 329 luvusta 380, joka on yhtä kuin 51.

   7. Toista vaihe 4. Jos purettu lukupari on alkuperäisen luvun murto-osa, laita kokonaisluvun ja murto-osien erotin (pilkku) haluttuun neliöjuureen oikeasta yläkulmasta. Siirrä vasemmalla seuraava numeropari alas. Tuplaa oikea yläkulman numero ja kirjoita tulos oikeaan alakulmaan, johon on liitetty "_×_=".

      • Esimerkissämme seuraava purettava lukupari on luvun 780.14 murto-osa, joten laita kokonaisluvun ja murto-osien erotin haluttuun neliöjuureen ylhäältä oikealta. Pura 14 ja kirjoita ylös vasempaan alakulmaan. Kaksinkertainen yläoikea (27) on 54, joten kirjoita "54_×_=" oikeaan alakulmaan.

   8. Toista vaiheet 5 ja 6. Etsi oikealla olevien väliviivojen sijaan suurin luku (viivoiden sijaan sinun on korvattava sama luku), jotta kertolaskutulos on pienempi tai yhtä suuri kuin nykyinen vasemmalla oleva luku.

      • Esimerkissämme 549 x 9 = 4941, mikä on pienempi kuin nykyinen numero vasemmalla (5114). Kirjoita oikeaan yläkulmaan 9 ja vähennä kertolaskutulos vasemmalla olevasta nykyisestä luvusta: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jos haluat löytää lisää desimaaleja neliöjuurelle, kirjoita nollapari nykyisen luvun viereen vasemmalle ja toista vaiheet 4, 5 ja 6. Toista vaiheet, kunnes saat tarvitsemasi vastauksen tarkkuuden (numero desimaalin tarkkuudella).

      Prosessin ymmärtäminen

      1. Tämän menetelmän hallitsemiseksi kuvittele numero, jonka neliöjuuren haluat löytää neliön S pinta-alaksi. Tässä tapauksessa etsit tällaisen neliön sivun L pituutta. Laske L:n arvo, jolle L² = S.

         Syötä kirjain jokaiselle vastauksesi numerolle. Merkitse A:lla L:n arvon (haluttu neliöjuuri) ensimmäinen numero. B on toinen numero, C kolmas ja niin edelleen.

         Määritä kirjain jokaiselle alkunumeroparille. Merkitään S a:lla arvon S ensimmäinen numeropari, S b:llä toinen numeropari ja niin edelleen.

         Selitä tämän menetelmän yhteys pitkän jaon kanssa. Kuten jakooperaatiossa, jossa joka kerta, kun olemme kiinnostuneita vain yhdestä jaettavan luvun seuraavasta numerosta, neliöjuurta laskettaessa työskentelemme numeroparin kanssa peräkkäin (saadaksemme neliöjuuren arvon seuraavan numeron) .

      2. Tarkastellaan luvun S ensimmäistä numeroparia Sa (esimerkissämme Sa = 7) ja etsitään sen neliöjuuri. Tässä tapauksessa neliöjuuren haetun arvon ensimmäinen numero A on sellainen luku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin S a (eli etsimme sellaista A:ta, joka täyttää epäyhtälön A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Oletetaan, että meidän on jaettava 88962 seitsemällä; tässä ensimmäinen vaihe on samanlainen: tarkastelemme jaollisen luvun 88962 ensimmäistä numeroa (8) ja valitsemme suurimman luvun, joka kerrottuna 7:llä antaa arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 8. Eli etsimme luku d, jolle epäyhtälö on tosi: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Kuvittele henkisesti neliö, jonka pinta-ala sinun on laskettava. Etsit L:tä eli neliön sivun pituutta, jonka pinta-ala on S. A, B, C ovat numeroita luvussa L. Voit kirjoittaa sen eri tavalla: 10A + B \u003d L (kaksi -numeroinen numero) tai 100A + 10B + C \u003d L (kolminumeroiselle numerolle) ja niin edelleen.

         • Anna olla (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Muista, että 10A+B on luku, jonka B tarkoittaa ykkösiä ja A kymmeniä. Jos esimerkiksi A=1 ja B=2, niin 10A+B on yhtä kuin luku 12. (10A+B)² on koko neliön pinta-ala, 100A² on suuren sisäneliön pinta-ala, B² on pienen sisemmän neliön pinta-ala, 10A × B on kummankin suorakulmion pinta-ala. Lisäämällä kuvattujen kuvioiden pinta-alat löydät alkuperäisen neliön alueen.

Juurikaavat. neliöjuurten ominaisuudet.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Edellisellä oppitunnilla selvitimme, mikä neliöjuuri on. On aika selvittää, mitkä ovat kaavat juurille, mitä ovat juuren ominaisuudet ja mitä sille kaikelle voi tehdä.

Juurikaavat, juuriominaisuudet ja säännöt toimille juurilla- Se on pohjimmiltaan sama asia. Neliöjuurille on yllättävän vähän kaavoja. Mikä tietysti miellyttää! Pikemminkin voit kirjoittaa paljon kaikenlaisia ​​kaavoja, mutta vain kolme riittää käytännölliseen ja varmaan työhön juurien kanssa. Kaikki muu kumpuaa näistä kolmesta. Vaikka monet eksyvät juurien kolmeen kaavaan, kyllä ​​...

Aloitetaan yksinkertaisimmasta. Tässä hän on:

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Lukutaidon merkkinä monien tietojen joukossa aakkoset ovat ensimmäisellä sijalla. Seuraava, sama "merkki"-elementti, ovat yhteenlasku-kerto-taidot ja niiden vieressä, mutta merkitykseltään käänteinen, aritmeettiset vähennys-jakooperaatiot. Kaukana koululapsuudessa opitut taidot palvelevat uskollisesti yötä päivää: TV, sanomalehti, tekstiviestit, Ja kaikkialla luemme, kirjoitamme, laskemme, lisäämme, vähennämme, kerromme. Ja kerro minulle, oletko usein joutunut juurtumaan elämään, paitsi maalla? Esimerkiksi tällainen viihdyttävä ongelma, kuten luvun 12345 neliöjuuri... Onko ruutipulloissa vielä ruutia? Voimmeko tehdä sen? Kyllä, mikään ei ole helpompaa! Missä on laskimeni... Ja ilman sitä, kädestä käteen, heikko?

Selvitetään ensin, mikä se on - luvun neliöjuuri. Yleisesti ottaen "juuren erottaminen luvusta" tarkoittaa aritmeettisen toimenpiteen suorittamista, joka on vastakkainen potenssiin nostamiseen - tässä on vastakohtien yhtenäisyys elämänsovelluksessa. oletetaan, että neliö on luvun kertolasku itsessään, eli kuten koulussa opetettiin, X * X = A tai muussa merkinnässä X2 = A, ja sanoin "X neliö on A". Sitten käänteisongelma kuulostaa tältä: luvun A neliöjuuri on luku X, joka neliöitynä on yhtä suuri kuin A.

Neliöjuuren purkaminen

Aritmetiikan koulukurssilta tunnetaan "sarakkeessa" laskemisen menetelmiä, jotka auttavat suorittamaan kaikki laskelmat käyttämällä neljää ensimmäistä aritmeettista toimintoa. Valitettavasti ... Neliön, eikä vain neliön, tällaisten algoritmien juuria ei ole olemassa. Ja tässä tapauksessa, kuinka poimia neliöjuuri ilman laskinta? Neliöjuuren määritelmän perusteella on vain yksi johtopäätös - on tarpeen valita tuloksen arvo numeroiden peräkkäisellä laskennalla, jonka neliö lähestyy juurilausekkeen arvoa. Vain ja kaikki! Tunti tai kaksi ei ehdi kulumaan, koska voit laskea käyttämällä tunnettua menetelmää kertomalla "sarakkeeksi", mihin tahansa neliöjuureen. Jos sinulla on taitoja, muutama minuutti riittää tähän. Jopa ei aivan edistynyt laskin tai PC-käyttäjä tekee sen yhdellä iskulla - edistystä.

Mutta vakavasti, neliöjuuren laskenta suoritetaan usein käyttämällä "tykistöhaarukka" -tekniikkaa: ensinnäkin he ottavat luvun, jonka neliö vastaa suunnilleen juurilauseketta. On parempi, jos "meidän neliömme" on hieman pienempi kuin tämä lauseke. Sitten he korjaavat luvun oman taitoymmärryksensä mukaan, esimerkiksi kertovat kahdella ja ... neliöivät sen uudelleen. Jos tulos on suurempi kuin juuren alla oleva luku, peräkkäin säätämällä alkuperäistä numeroa, lähestyen vähitellen juuren alla olevaa "kollegaansa". Kuten näette - ei laskinta, vain kyky laskea "sarakkeessa". Tietenkin on olemassa monia tieteellisesti perusteltuja ja optimoituja algoritmeja neliöjuuren laskemiseen, mutta "kotikäyttöön" yllä oleva tekniikka antaa 100% luottamuksen tulokseen.

Kyllä, melkein unohdin, vahvistaaksemme lisääntyneen lukutaitomme laskemme neliöjuuren aiemmin ilmoitetusta numerosta 12345. Teemme sen askel askeleelta:

1. Ota puhtaasti intuitiivisesti X=100. Lasketaan: X * X = 10000. Intuitio on huipulla - tulos on alle 12345.

2. Kokeillaan, myös puhtaasti intuitiivisesti, X = 120. Sitten: X * X = 14400. Ja jälleen intuitiolla järjestys - tulos on enemmän kuin 12345.

3. Yllä saadaan "haarukka" 100 ja 120. Valitaan uudet luvut - 110 ja 115. Saamme vastaavasti 12100 ja 13225 - haarukka kapenee.

4. Kokeilemme "ehkä" X = 111. Saamme X * X = 12321. Tämä luku on jo melko lähellä 12345. Vaaditun tarkkuuden mukaisesti "sovitusta" voidaan jatkaa tai lopettaa saatuun tulokseen. Siinä kaikki. Kuten luvattiin - kaikki on hyvin yksinkertaista ja ilman laskinta.

Aika vähän historiaa...

Jopa pythagoralaiset, koulun opiskelijat ja Pythagoraan seuraajat, ajattelivat neliöjuurien käyttöä 800 eKr. ja juuri siellä "törmäsin" uusiin löytöihin numeroiden alalla. Ja mistä se tuli?

1. Tehtävän ratkaisu juuren erottelulla antaa tuloksen uuden luokan lukujen muodossa. Niitä kutsuttiin irrationaalisiksi, toisin sanoen "kohtuuttomiksi", koska. niitä ei ole kirjoitettu kokonaisena numerona. Klassisin esimerkki tällaisesta on 2:n neliöjuuri. Tämä tapaus vastaa neliön diagonaalin laskemista, jonka sivu on 1 - tässä se on Pythagoraan koulukunnan vaikutus. Kävi ilmi, että kolmiossa, jonka sivujen yksikkökoko on hyvin tarkka, hypotenuusalla on koko, joka ilmaistaan ​​numerolla, jolla "ei ole loppua". Joten matematiikassa ilmestyi

2. Tiedetään, että Kävi ilmi, että tämä matemaattinen operaatio sisältää vielä yhden saaliin - juurista erotettaessa emme tiedä mikä neliö minkä luvun, positiivisen tai negatiivisen, on juurilauseke. Tämä epävarmuus, yhden operaation kaksinkertainen tulos, kirjataan ylös.

Tähän ilmiöön liittyvien ongelmien tutkimisesta on tullut matematiikan suunta, jota kutsutaan kompleksisen muuttujan teoriaksi, jolla on suuri käytännön merkitys matemaattisessa fysiikassa.

On uteliasta, että sama kaikkialla läsnä oleva I. Newton käytti juuren - radikaalin - merkintää "Universaalisessa aritmetiikassa" ja juuri nykyaikainen juuren kirjoitustapa on tunnettu vuodesta 1690 ranskalaisen Rollin kirjasta "Algebra Manual". ".

Tässä artikkelissa esittelemme luvun juuren käsite. Toimimme peräkkäin: aloitamme neliöjuuresta, siitä siirrymme kuutiojuuren kuvaukseen, jonka jälkeen yleistetään juuren käsite määrittelemällä n:nnen asteen juuren. Samalla esittelemme määritelmiä, merkintöjä, annamme esimerkkejä juurista ja annamme tarvittavat selitykset ja kommentit.

Neliöjuuri, aritmeettinen neliöjuuri

Ymmärtääksesi luvun juuren määritelmän ja erityisesti neliöjuuren, on oltava . Tässä vaiheessa kohtaamme usein luvun toisen potenssin - luvun neliön.

Aloitetaan neliöjuuren määritelmät.

Määritelmä

A:n neliöjuuri on luku, jonka neliö on .

Tuodakseen esimerkkejä neliöjuurista, ota useita lukuja, esimerkiksi 5 , -0,3 , 0,3 , 0 ja neliöi ne, saamme vastaavasti luvut 25 , 0,09 , 0,09 ja 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 ja 0 2 = 0 0 = 0). Sitten yllä olevan määritelmän mukaan 5 on luvun 25 neliöjuuri, −0,3 ja 0,3 ovat 0,09:n neliöjuuri ja 0 on nollan neliöjuuri.

On huomattava, että millekään luvulle ei ole olemassa a , jonka neliö on yhtä suuri kuin a . Nimittäin millekään negatiiviselle luvulle a ei ole olemassa reaalilukua b, jonka neliö on yhtä suuri kuin a. Yhtälö a=b 2 on todellakin mahdoton mille tahansa negatiiviselle a:lle, koska b 2 on ei-negatiivinen luku mille tahansa b:lle. Täten, reaalilukujen joukossa ei ole negatiivisen luvun neliöjuurta. Toisin sanoen reaalilukujoukossa negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole määritelty eikä sillä ole merkitystä.

Tämä johtaa loogiseen kysymykseen: "Onko millä tahansa ei-negatiivisella a:lla neliöjuuri"? Vastaus on kyllä. Tämän tosiasian perusteluna voidaan pitää rakentavaa menetelmää neliöjuuren arvon määrittämiseen.

Sitten herää seuraava looginen kysymys: "Mikä on tietyn ei-negatiivisen luvun a kaikkien neliöjuurien lukumäärä - yksi, kaksi, kolme tai jopa enemmän"? Tässä on vastaus siihen: jos a on nolla, niin nollan ainoa neliöjuuri on nolla; jos a on jokin positiivinen luku, niin luvun a neliöjuurten määrä on yhtä suuri kuin kaksi ja juuret ovat . Perustellaan tämä.

Aloitetaan tapauksesta a=0 . Osoitetaan ensin, että nolla on todellakin nollan neliöjuuri. Tämä seuraa ilmeisestä yhtälöstä 0 2 =0·0=0 ja neliöjuuren määritelmästä.

Todistetaan nyt, että 0 on nollan ainoa neliöjuuri. Käytetään päinvastaista menetelmää. Oletetaan, että on jokin nollasta poikkeava luku b, joka on nollan neliöjuuri. Tällöin ehdon b 2 =0 tulee täyttyä, mikä on mahdotonta, koska mille tahansa nollasta poikkeavalle b:lle lausekkeen b 2 arvo on positiivinen. Olemme tulleet ristiriitaan. Tämä todistaa, että 0 on nollan ainoa neliöjuuri.

Siirrytään tapauksiin, joissa a on positiivinen luku. Yllä sanoimme, että millä tahansa ei-negatiivisella luvulla on aina neliöjuuri, olkoon b luvun a neliöjuuri. Oletetaan, että on olemassa luku c , joka on myös a:n neliöjuuri. Tällöin neliöjuuren määritelmän mukaan yhtälöt b 2 =a ja c 2 =a pätevät, mistä seuraa, että b 2 −c 2 =a−a=0, mutta koska b 2 −c 2 =( b−c) (b+c) , sitten (b−c) (b+c)=0 . Tuloksena oleva tasa-arvo voimassa reaalilukujen toimintojen ominaisuuksia mahdollista vain kun b−c=0 tai b+c=0 . Siten luvut b ja c ovat yhtä suuria tai vastakkaisia.

Jos oletetaan, että on olemassa luku d, joka on toinen neliöjuuri luvusta a, niin jo annettujen kaltaisilla päätelmillä todistetaan, että d on yhtä suuri kuin luku b tai luku c. Joten positiivisen luvun neliöjuurten lukumäärä on kaksi ja neliöjuuret ovat vastakkaisia ​​lukuja.

Neliöjuurilla työskentelyn helpottamiseksi negatiivinen juuri on "erotettu" positiivisesta. Tätä tarkoitusta varten se esittelee aritmeettisen neliöjuuren määritelmä.

Määritelmä

Ei-negatiivisen luvun aritmeettinen neliöjuuri a on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin .

Luvun a aritmeettisen neliöjuuren merkintä on hyväksytty. Etumerkkiä kutsutaan aritmeettiseksi neliöjuuren merkiksi. Sitä kutsutaan myös radikaalin merkiksi. Siksi voit osittain kuulla sekä "juuri" että "radikaali", mikä tarkoittaa samaa objektia.

Aritmeettisen neliöjuuren merkin alla olevaa numeroa kutsutaan juurinumero, ja lauseke juurimerkin alla - radikaali ilmaisu, kun taas termi "radikaaliluku" korvataan usein termillä "radikaalilauseke". Esimerkiksi merkinnöissä luku 151 on radikaaliluku ja merkinnässä lauseke a on radikaalilauseke.

Lukeessa sana "aritmeettinen" jätetään usein pois, esimerkiksi merkintä luetaan "seitsemän pisteen 29 sadasosan neliöjuureksi". Sana "aritmeettinen" lausutaan vain, kun he haluavat korostaa, että puhumme luvun positiivisesta neliöjuuresta.

Esitetyn merkintätavan valossa aritmeettisen neliöjuuren määritelmästä seuraa, että mille tahansa ei-negatiiviselle luvulle a .

Positiivisen luvun a neliöjuuret kirjoitetaan käyttämällä aritmeettista neliöjuuren merkkiä ja . Esimerkiksi luvun 13 neliöjuuret ovat ja . Nollan aritmeettinen neliöjuuri on nolla, eli . Negatiivisten lukujen a kohdalla emme liitä merkintöihin merkitystä ennen kuin tutkimme kompleksiluvut. Esimerkiksi ilmaisut ja ovat merkityksettömiä.

Neliöjuuren määritelmän perusteella todistetaan neliöjuurien ominaisuuksia, joita käytetään usein käytännössä.

Tämän alaluvun lopuksi todetaan, että luvun neliöjuuret ovat muotoa x 2 =a olevia ratkaisuja muuttujan x suhteen.

kuutiojuuri

Kuutiojuuren määritelmä luvun a on annettu samalla tavalla kuin neliöjuuren määritelmä. Vain se perustuu luvun, ei neliön, kuution käsitteeseen.

Määritelmä

a:n kuutiojuuri kutsutaan lukua, jonka kuutio on yhtä suuri kuin a.

Tuodaan esimerkkejä kuutiojuurista. Tätä varten ota useita lukuja, esimerkiksi 7 , 0 , −2/3 , ja kuutioi ne: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Sitten voidaan kuutiojuuren määritelmän perusteella sanoa, että luku 7 on luvun 343 kuutiojuuri, 0 on nollan kuutiojuuri ja −2/3 on −8/27:n kuutiojuuri.

Voidaan osoittaa, että luvun a kuutiojuuri, toisin kuin neliöjuuri, on aina olemassa, eikä vain ei-negatiiviselle a, vaan myös mille tahansa reaaliluvulle a. Voit tehdä tämän käyttämällä samaa menetelmää, jonka mainitsimme neliöjuuren tutkimisessa.

Lisäksi annetulla luvulla a on vain yksi kuutiojuuri. Todistakaamme viimeinen väite. Tarkastellaan tätä varten kolmea tapausta erikseen: a on positiivinen luku, a=0 ja a on negatiivinen luku.

On helppo osoittaa, että positiivisen a:n kuutiojuuri ei voi olla negatiivinen tai nolla. Todellakin, olkoon b a:n kuutiojuuri, niin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa yhtälö b 3 =a . On selvää, että tämä yhtälö ei voi olla totta negatiiviselle b:lle ja b=0:lle, koska näissä tapauksissa b 3 =b·b·b on negatiivinen luku tai vastaavasti nolla. Joten positiivisen luvun a kuutiojuuri on positiivinen luku.

Oletetaan nyt, että luvun b lisäksi luvusta a on vielä yksi kuutiojuuri, merkitään se c. Sitten c 3 =a. Siksi b 3 −c 3 =a−a=0 , mutta b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(tämä on lyhennetty kertolasku kuutioiden ero), josta (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Tuloksena oleva yhtälö on mahdollinen vain kun b−c=0 tai b 2 +b c+c 2 =0 . Ensimmäisestä yhtälöstä meillä on b=c ja toisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska sen vasen puoli on positiivinen luku mille tahansa positiiviselle luvulle b ja c kolmen positiivisen termin b 2 , b c ja c 2 summana. Tämä todistaa positiivisen luvun a kuutiojuuren ainutlaatuisuuden.

Jos a=0, a:n ainoa kuutiojuuri on nolla. Todellakin, jos oletetaan, että on olemassa luku b , joka on nollasta poikkeava kuutiojuuri, niin yhtälön b 3 =0 tulee päteä, mikä on mahdollista vain kun b=0 .

Negatiivisen a kohdalla voidaan väittää samalla tavalla kuin positiivisen a:n tapauksessa. Ensin osoitamme, että negatiivisen luvun kuutiojuuri ei voi olla yhtä suuri kuin positiivinen luku tai nolla. Toiseksi oletetaan, että negatiivisella luvulla on toinen kuutiojuuri, ja osoitamme, että se on välttämättä sama kuin ensimmäinen.

Jokaisella reaaliluvulla a on siis aina kuutiojuuri ja vain yksi.

Annetaan aritmeettisen kuutiojuuren määritelmä.

Määritelmä

Ei-negatiivisen luvun aritmeettinen kuutiojuuri a kutsutaan ei-negatiivinen luku, jonka kuutio on yhtä suuri kuin a.

Ei-negatiivisen luvun a aritmeettinen kuutiojuuri merkitään , merkkiä kutsutaan aritmeettisen kuutiojuuren etumerkiksi, numeroa 3 tässä merkinnässä ns. juuriindikaattori. Numero juurimerkin alla on juurinumero, juurimerkin alla oleva lauseke on radikaali ilmaisu.

Vaikka aritmeettinen kuutiojuuri määritellään vain ei-negatiivisille luvuille a, on myös kätevää käyttää merkintöjä, joissa negatiiviset luvut ovat aritmeettisen kuutiojuuren merkin alla. Ymmärrämme ne seuraavasti: , jossa a on positiivinen luku. Esimerkiksi, .

Puhumme kuutiojuurten ominaisuuksista juurien yleisissä artikkeliominaisuuksissa.

Kuutiojuuren arvon laskemista kutsutaan kuutiojuuren poimimiseksi, tätä toimintoa käsitellään artikkelissa juurien purkaminen: menetelmät, esimerkit, ratkaisut.

Tämän alaluvun lopuksi sanomme, että a:n kuutiojuuri on muotoa x 3 =a oleva ratkaisu.

N:s juuri, n:n aritmeettinen juuri

Yleistämme juuren käsitteen luvusta - esittelemme n:nnen juuren määrittäminen n:lle.

Määritelmä

a:n n:s juuri on luku, jonka n:s potenssi on yhtä suuri kuin a.

Tästä määritelmästä käy selvästi ilmi, että ensimmäisen asteen juuri luvusta a on itse luku a, koska tutkittaessa tutkintoa luonnollisella indikaattorilla otimme 1 = a.

Yllä tarkastelimme n:nnen asteen juuren erikoistapauksia, kun n=2 ja n=3 - neliöjuuri ja kuutiojuuri. Toisin sanoen neliöjuuri on toisen asteen juuri ja kuutiojuuri kolmannen asteen juuri. N:nnen asteen juurien tutkimiseksi arvoilla n=4, 5, 6, ... ne on kätevää jakaa kahteen ryhmään: ensimmäinen ryhmä - parillisten asteiden juuret (eli n=4, 6 , 8, ...), toinen ryhmä - juuret parittomat asteet (eli n = 5, 7, 9, ... ). Tämä johtuu siitä, että parillisten asteiden juuret ovat samanlaisia ​​kuin neliöjuuri ja parittomien asteiden juuret ovat samanlaisia ​​kuin kuutiojuuret. Käsitellään niitä vuorotellen.

Aloitetaan juurista, joiden potenssit ovat parilliset luvut 4, 6, 8, ... Kuten olemme jo todenneet, ne ovat samanlaisia ​​kuin luvun a neliöjuuri. Toisin sanoen minkä tahansa parillisen asteen juuri luvusta a on olemassa vain ei-negatiiviselle a:lle. Lisäksi, jos a=0, niin a:n juuri on yksikäsitteinen ja yhtä suuri kuin nolla, ja jos a>0, niin luvusta a on kaksi parillisen asteen juuria, ja ne ovat vastakkaisia ​​lukuja.

Perustelkaamme viimeinen väite. Olkoon b parillisen asteen juuri (merkitsimme sitä 2·m, missä m on jokin luonnollinen luku) arvosta a. Oletetaan, että on luku c - toinen 2 m:n a:n juuri. Silloin b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Mutta tiedämme muodon b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), sitten (b-c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Tästä yhtälöstä seuraa, että b−c=0 , tai b+c=0 , tai b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Kaksi ensimmäistä yhtälöä tarkoittavat, että luvut b ja c ovat yhtä suuria tai b ja c ovat vastakkaisia. Ja viimeinen yhtälö pätee vain b=c=0:lle, koska sen vasen puoli sisältää lausekkeen, joka ei ole negatiivinen mille tahansa b:lle ja c:lle ei-negatiivisten lukujen summana.

Parittoman n:n n:nnen asteen juuret ovat samanlaisia ​​kuin kuutiojuuri. Toisin sanoen minkä tahansa luvun a parittoman asteen juuri on olemassa mille tahansa reaaliluvulle a, ja tietylle luvulle a se on ainutlaatuinen.

Parittoman 2·m+1-asteisen juuren ainutlaatuisuus luvusta a todistetaan analogisesti kuutiojuuren ainutlaatuisuuden todistuksen kanssa luvusta a. Vain täällä tasa-arvon sijaan a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) yhtälö muotoa b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Viimeisessä sulussa oleva lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m-2 + c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Esimerkiksi m=2:lle meillä on b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Kun a ja b ovat molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia, niiden tulo on positiivinen luku, niin lauseke b 2 +c 2 +b·c , joka on korkeimman sisäkkäisasteen suluissa, on positiivinen positiivisten summana. numeroita. Nyt siirryttäessä peräkkäin edellisten sisäkkäisasteiden suluissa oleviin lausekkeisiin, varmistamme, että ne ovat myös positiivisia positiivisten lukujen summana. Tuloksena saadaan, että yhtälö b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 mahdollista vain kun b−c=0 eli kun luku b on yhtä suuri kuin luku c .

On aika käsitellä n:nnen asteen juurien merkintää. Tätä varten se on annettu n:nnen asteen aritmeettisen juuren määrittäminen.

Määritelmä

Ei-negatiivisen luvun a. n:nnen asteen aritmeettinen juuri kutsutaan ei-negatiivinen luku, jonka n:s potenssi on yhtä suuri kuin a.

Neliön pinta-ala on 81 dm². Löydä hänen puolensa. Oletetaan, että neliön sivun pituus on X desimetriä. Sitten tontin pinta-ala on X² neliödesimetriä. Koska kunnon mukaan tämä ala on 81 dm², niin X² = 81. Neliön sivun pituus on positiivinen luku. Positiivinen luku, jonka neliö on 81, on luku 9. Tehtävää ratkaistaessa oli löydettävä luku x, jonka neliö on 81, eli ratkaistava yhtälö X² = 81. Tällä yhtälöllä on kaksi juurta: x 1 = 9 ja x 2 \u003d - 9, koska 9² \u003d 81 ja (- 9)² \u003d 81. Sekä numeroita 9 että - 9 kutsutaan luvun 81 neliöjuuriksi.

Huomaa, että yksi neliöjuurista X= 9 on positiivinen luku. Sitä kutsutaan 81:n aritmeettiseksi neliöjuureksi ja merkitään √81, joten √81 = 9.

Luvun aritmeettinen neliöjuuri a on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin a.

Esimerkiksi luvut 6 ja -6 ovat luvun 36 neliöjuuria. Luku 6 on luvun 36 aritmeettinen neliöjuuri, koska 6 on ei-negatiivinen luku ja 6² = 36. Luku -6 ei ole aritmeettinen juuri.

Luvun aritmeettinen neliöjuuri a merkitty seuraavasti: √ a.

Etumerkkiä kutsutaan aritmeettiseksi neliöjuuren merkiksi; a kutsutaan juurilausekkeeksi. Ilmaisu √ a lukea näin: luvun aritmeettinen neliöjuuri a. Esimerkiksi √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tapauksissa, joissa on selvää, että puhumme aritmeettisesta juuresta, he sanovat lyhyesti: "neliöjuuri a«.

Lukujen neliöjuuren löytämistä kutsutaan neliöjuuren ottamiseksi. Tämä toiminto on päinvastainen kuin neliöinti.

Mikä tahansa luku voi olla neliö, mutta jokainen luku ei voi olla neliöjuuri. Esimerkiksi on mahdotonta erottaa luvun neliöjuurta - 4. Jos tällainen juuri oli olemassa, merkitse se kirjaimella X, saisimme väärän yhtälön x² \u003d - 4, koska vasemmalla on ei-negatiivinen luku ja oikealla negatiivinen luku.

Ilmaisu √ a järkevää vain silloin, kun a ≥ 0. Neliöjuuren määritelmä voidaan kirjoittaa lyhyesti seuraavasti: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Tasa-arvo (√ a)² = a voimassa a ≥ 0. Näin ollen varmistaaksesi, että ei-negatiivisen luvun neliöjuuri a on yhtä suuri b, eli että √ a =b, sinun on tarkistettava, että seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät: b ≥ 0, b² = a.

Murtoluvun neliöjuuri

Lasketaan. Huomaa, että √25 = 5, √36 = 6, ja tarkista, päteekö yhtälö.

Kuten ja silloin tasa-arvo on totta. Niin, .

Lause: Jos a≥ 0 ja b> 0, eli murtoluvun juuri on yhtä kuin osoittajan juuri jaettuna nimittäjän juurella. On todistettava, että: ja .

Vuodesta √ a≥0 ja √ b> 0 sitten.

Ominaisuuden avulla nostaa murtoluku potenssiin ja määrittää neliöjuuri lause on todistettu. Katsotaanpa muutama esimerkki.

Laske , todistetun lauseen mukaan .

Toinen esimerkki: Todista se , jos a ≤ 0, b < 0. .

Toinen esimerkki: Laske .

.

Neliöjuuren muunnos

Kertoimen ottaminen juuren merkin alta. Olkoon ilmaisu annettu. Jos a≥ 0 ja b≥ 0, niin tuotteen juuren lauseella voimme kirjoittaa:

Tällaista muutosta kutsutaan juurimerkin huomioimiseksi. Harkitse esimerkkiä;

Laske klo X= 2. Suora korvaus X= 2 radikaalilausekkeessa johtaa monimutkaisiin laskelmiin. Näitä laskelmia voidaan yksinkertaistaa, jos poistamme ensin tekijät juurimerkin alta: . Korvaamalla nyt x = 2, saamme:.

Joten kun tekijä otetaan pois juurimerkin alta, radikaalilauseke esitetään tulona, ​​jossa yksi tai useampi tekijä on ei-negatiivisten lukujen neliöitä. Sitten sovelletaan juuritulolausetta ja otetaan kunkin tekijän juuri. Tarkastellaan esimerkkiä: Yksinkertaistaa lauseke A = √8 + √18 - 4√2 ottamalla tekijät pois juurimerkin alta kahdesta ensimmäisestä termistä, saamme:. Korostamme tasa-arvoa voimassa vain kun a≥ 0 ja b≥ 0. jos a < 0, то .