Tämä artikkeli sisältää perustiedot aiheesta todellisia lukuja. Ensin annetaan reaalilukujen määritelmä ja annetaan esimerkkejä. Seuraavaksi näytetään reaalilukujen sijainti koordinaattiviivalla. Ja lopuksi analysoidaan, kuinka todelliset luvut annetaan numeeristen lausekkeiden muodossa.

Sivulla navigointi.

Reaalilukujen määritelmä ja esimerkkejä

Reaaliluvut lausekkeina

Reaalilukujen määritelmän perusteella on selvää, että reaaliluvut ovat:

• mikä tahansa luonnollinen luku;
• mikä tahansa kokonaisluku ;
• mikä tahansa tavallinen murtoluku (sekä positiivinen että negatiivinen);
• mikä tahansa sekanumero;
• mikä tahansa desimaaliluku (positiivinen, negatiivinen, äärellinen, ääretön jaksollinen, ääretön ei-jaksollinen).

Mutta hyvin usein reaalilukuja voidaan nähdä muodossa jne. Lisäksi reaalilukujen summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat myös reaalilukuja (katso operaatioita reaalilukujen kanssa). Nämä ovat esimerkiksi reaalilukuja.

Ja jos mennään pidemmälle, niin reaaliluvuista käyttämällä aritmeettisia merkkejä, juurimerkkejä, asteita, logaritmisia, trigonometrisia toimintoja jne. voit muodostaa kaikenlaisia ​​numeerisia lausekkeita, joiden arvot ovat myös reaalilukuja. Esimerkiksi lausekearvot ja ovat todellisia lukuja.

Tämän artikkelin lopuksi toteamme, että seuraava askel luvun käsitteen laajentamisessa on siirtyminen reaaliluvuista kompleksiluvut.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. jne. Matematiikka. Luokka 6: oppikirja oppilaitoksille.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 8 solulle. koulutusinstituutiot.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).

Tekijänoikeus älykkäillä opiskelijoilla

Kaikki oikeudet pidätetään.
Tekijänoikeuslain suojaama. Mitään sivuston osaa, mukaan lukien sisäiset materiaalit ja ulkoinen suunnittelu, ei saa jäljentää missään muodossa tai käyttää ilman tekijänoikeuksien haltijan etukäteen antamaa kirjallista lupaa.

Luonnolliset luvut määritellään positiivisiksi kokonaisluvuiksi. Luonnollisia lukuja käytetään esineiden laskemiseen ja moniin muihin tarkoituksiin. Tässä numerot:

Tämä on luonnollinen numerosarja.
Onko nolla luonnollinen luku? Ei, nolla ei ole luonnollinen luku.
Kuinka monta luonnollista lukua on? Luonnollisia lukuja on ääretön joukko.
Mikä on pienin luonnollinen luku? Yksi on pienin luonnollinen luku.
Mikä on suurin luonnollinen luku? Sitä ei voida määrittää, koska luonnollisia lukuja on ääretön joukko.

Luonnollisten lukujen summa on luonnollinen luku. Joten luonnollisten lukujen a ja b yhteenlasku:

Luonnollisten lukujen tulo on luonnollinen luku. Joten luonnollisten lukujen a ja b tulo:

c on aina luonnollinen luku.

Luonnollisten lukujen ero Aina ei ole luonnollista lukua. Jos minuendi on suurempi kuin osaluku, niin luonnollisten lukujen ero on luonnollinen luku, muuten se ei ole.

Luonnollisten lukujen osamäärä Luonnollista lukua ei aina ole. Jos luonnollisille luvuille a ja b

missä c on luonnollinen luku, se tarkoittaa, että a on tasaisesti jaollinen b:llä. Tässä esimerkissä a on osinko, b on jakaja, c on osamäärä.

Luonnollisen luvun jakaja on luonnollinen luku, jolla ensimmäinen luku on tasan jaollinen.

Jokainen luonnollinen luku on jaollinen 1:llä ja itsellään.

Yksinkertaiset luonnolliset luvut ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään. Tässä tarkoitamme täysin jakautunutta. Esimerkki, numerot 2; 3; 5; 7 on jaollinen vain 1:llä ja itsellään. Nämä ovat yksinkertaisia ​​luonnollisia lukuja.

Yhtä ei pidetä alkulukuna.

Lukuja, jotka ovat suurempia kuin yksi ja jotka eivät ole alkulukuja, kutsutaan yhdistelmäluvuiksi. Esimerkkejä yhdistelmäluvuista:

Yhtä ei pidetä yhdistelmälukuna.

Luonnollisten lukujen joukko koostuu yhdestä, alkuluvuista ja yhdistelmäluvuista.

Luonnollisten lukujen joukko on merkitty latinalaisella kirjaimella N.

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskuominaisuudet:

lisäyksen kommutatiivinen ominaisuus

lisäyksen assosiatiivinen ominaisuus

(a + b) + c = a + (b + c);

kertolaskun kommutatiivinen ominaisuus

kertomisen assosiatiivinen ominaisuus

(ab)c = a(bc);

kertolaskun jakautumisominaisuus

a (b + c) = ab + ac;

Kokonaislukuja

Kokonaisluvut ovat luonnollisia lukuja, nolla ja luonnollisten lukujen vastakohta.

Luonnollisten lukujen vastaiset luvut ovat negatiivisia kokonaislukuja, esimerkiksi:

1; -2; -3; -4;…

Kokonaislukujoukkoa merkitään latinalaisella kirjaimella Z.

Rationaaliset luvut

Rationaaliluvut ovat kokonaislukuja ja murtolukuja.

Mikä tahansa rationaalinen luku voidaan esittää jaksollisena murtolukuna. Esimerkkejä:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Esimerkeistä voidaan nähdä, että mikä tahansa kokonaisluku on jaksollinen murtoluku, jonka jakso on nolla.

Mikä tahansa rationaalinen luku voidaan esittää murto-osana m/n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Esitetään edellisen esimerkin luku 3,(6) tällaisena murtolukuna:

Toinen esimerkki: rationaalinen luku 9 voidaan esittää yksinkertaisena murtolukuna 18/2 tai 36/4.

Toinen esimerkki: rationaalinen luku -9 voidaan esittää yksinkertaisena murtolukuna -18/2 tai -72/8.

Tämä artikkeli on omistettu aiheen "rationaaliset luvut" tutkimukselle. Seuraavassa on rationaalisten lukujen määritelmiä, esimerkkejä ja kuinka määrittää, onko luku rationaalinen vai ei.

Rationaaliset luvut. Määritelmät

Ennen kuin annamme rationaalilukujen määritelmän, muistetaan, mitä muut lukujoukot ovat ja miten ne liittyvät toisiinsa.

Luonnolliset luvut yhdessä vastakohtiensa ja luvun nollan kanssa muodostavat joukon kokonaislukuja. Kokonaislukujen murtolukujen joukko puolestaan ​​muodostaa rationaalilukujen joukon.

Määritelmä 1. Rationaaliluvut

Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää positiivisena yhteisenä murtolukuna a b, negatiivisena yhteisenä murtolukuna a b tai lukuna nolla.

Siten voimme jättää useita rationaalisten lukujen ominaisuuksia:

1. Mikä tahansa luonnollinen luku on rationaalinen luku. On selvää, että jokainen luonnollinen luku n voidaan esittää murto-osana 1 n .
2. Mikä tahansa kokonaisluku, mukaan lukien luku 0, on rationaalinen luku. Todellakin, mikä tahansa positiivinen kokonaisluku ja negatiivinen kokonaisluku voidaan helposti esittää positiivisena tai negatiivisena yhteisenä murtolukuna. Esimerkiksi 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Mikä tahansa positiivinen tai negatiivinen yhteinen murtoluku a b on rationaalinen luku. Tämä seuraa suoraan yllä olevasta määritelmästä.
4. Mikä tahansa sekaluku on rationaalinen. Loppujen lopuksi sekaluku voidaan esittää tavallisena virheellisenä murtolukuna.
5. Mikä tahansa äärellinen tai jaksollinen desimaaliluku voidaan esittää yhteisenä murtolukuna. Siksi jokainen jaksollinen tai viimeinen desimaali on rationaalinen luku.
6. Äärettömät ja toistuvat desimaalit eivät ole rationaalilukuja. Niitä ei voida esittää tavallisten murtolukujen muodossa.

Otetaan esimerkkejä rationaalisista luvuista. Numerot 5 , 105 , 358 , 1100055 ovat luonnollisia, positiivisia ja kokonaislukuja. Loppujen lopuksi nämä ovat rationaalisia lukuja. Luvut - 2 , - 358 , - 936 ovat negatiivisia kokonaislukuja, ja ne ovat myös määritelmän mukaan rationaalisia. Yhteiset murtoluvut 3 5 , 8 7 , - 35 8 ovat myös esimerkkejä rationaalisista luvuista.

Yllä oleva rationaalisten lukujen määritelmä voidaan muotoilla tiiviimmin. Vastataan jälleen kysymykseen, mikä on rationaalinen luku.

Määritelmä 2. Rationaaliluvut

Rationaaliluvut ovat niitä lukuja, jotka voidaan esittää murtolukuna ± z n, jossa z on kokonaisluku, n on luonnollinen luku.

Voidaan osoittaa, että tämä määritelmä vastaa edellistä rationaalilukujen määritelmää. Muista, että murto-osan palkki on sama kuin jakomerkki. Ottaen huomioon kokonaislukujen jaon säännöt ja ominaisuudet, voimme kirjoittaa seuraavat reilut epäyhtälöt:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Siten voi kirjoittaa:

z n = z n , p p ja z > 0 0 , p p ja z = 0 - z n , p p ja z< 0

Itse asiassa tämä ennätys on todiste. Annamme esimerkkejä rationaalisista luvuista toisen määritelmän perusteella. Tarkastellaan lukuja - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 ja - 1 3 5 . Kaikki nämä luvut ovat rationaalisia, koska ne voidaan kirjoittaa murtolukuna kokonaisluvun osoittajalla ja luonnollisella nimittäjällä: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Esitämme vielä yhden vastaavan muodon rationaalilukujen määritelmästä.

Määritelmä 3. Rationaaliset luvut

Rationaaliluku on luku, joka voidaan kirjoittaa äärettömänä tai äärettömänä jaksollisena desimaalilukuna.

Tämä määritelmä seuraa suoraan tämän kohdan ensimmäisestä määritelmästä.

Tee yhteenveto ja muotoile yhteenveto tästä kohteesta:

1. Positiiviset ja negatiiviset murto- ja kokonaisluvut muodostavat rationaalilukujen joukon.
2. Jokainen rationaalinen luku voidaan esittää murtolukuna, jonka osoittaja on kokonaisluku ja nimittäjä luonnollinen luku.
3. Jokainen rationaalinen luku voidaan esittää myös desimaalilukuna: äärellinen tai ääretön jaksollinen.

Mikä luku on järkevä?

Kuten olemme jo havainneet, mikä tahansa luonnollinen luku, kokonaisluku, säännöllinen ja väärä tavallinen murtoluku, jaksollinen ja viimeinen desimaaliluku ovat rationaalilukuja. Tämän tiedon avulla voit helposti määrittää, onko luku rationaalinen.

Käytännössä ei kuitenkaan usein tarvitse käsitellä lukuja, vaan numeerisia lausekkeita, jotka sisältävät juuria, potenssia ja logaritmeja. Joissakin tapauksissa vastaus kysymykseen "Onko luku rationaalinen?" on kaukana itsestään selvästä. Katsotaanpa, kuinka vastata tähän kysymykseen.

Jos luku annetaan lausekkeena, joka sisältää vain rationaalilukuja ja aritmeettisia operaatioita niiden välillä, niin lausekkeen tulos on rationaaliluku.

Esimerkiksi lausekkeen 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) arvo on rationaalinen luku ja se on 18 .

Siten monimutkaisen numeerisen lausekkeen yksinkertaistaminen antaa sinun määrittää, onko sen antama luku rationaalinen.

Nyt käsitellään juuren merkkiä.

Osoittautuu, että luvun m asteen n juurena annettu luku m n on rationaalinen vain, kun m on jonkin luonnollisen luvun n:s potenssi.

Katsotaanpa esimerkkiä. Numero 2 ei ole järkevä. Kun taas 9, 81 ovat rationaalilukuja. 9 ja 81 ovat täydellisiä neliöitä numeroille 3 ja 9. Luvut 199 , 28 , 15 1 eivät ole rationaalilukuja, koska juurimerkin alla olevat luvut eivät ole minkään luonnollisten lukujen täydellisiä neliöitä.

Otetaan nyt monimutkaisempi tapaus. Onko luku 243 5 järkevä? Jos nostat 3:n viidenteen potenssiin, saat 243 , joten alkuperäinen lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Siksi tämä luku on rationaalinen. Otetaan nyt numero 121 5 . Tämä luku ei ole rationaalinen, koska ei ole luonnollista lukua, jonka nosto viidenteen potenssiin antaisi 121.

Jotta saadaan selville, onko jonkin luvun a logaritmi kantaan b rationaaliluku, on käytettävä ristiriitamenetelmää. Selvitetään esimerkiksi, onko luku log 2 5 rationaalinen. Oletetaan, että tämä luku on rationaalinen. Jos näin on, se voidaan kirjoittaa tavallisena murto-osona log 2 5 \u003d m n. Logaritmin ominaisuuksien ja asteen ominaisuuksien perusteella seuraavat yhtäläisyydet ovat tosia:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Ilmeisesti viimeinen yhtälö on mahdoton, koska vasen ja oikea puoli sisältävät vastaavasti parittomia ja parillisia lukuja. Siksi tehty oletus on väärä, eikä luku log 2 5 ole rationaalinen luku.

On syytä huomata, että määritettäessä numeroiden rationaalisuutta ja irrationaalisuutta ei pidä tehdä äkillisiä päätöksiä. Esimerkiksi irrationaalisten lukujen tulon tulos ei aina ole irrationaaliluku. Havainnollistava esimerkki: 2 · 2 = 2 .

On myös irrationaalisia lukuja, joiden nostaminen irrationaaliseen potenssiin antaa rationaaliluvun. Potenssissa muotoa 2 log 2 3 kanta ja eksponentti ovat irrationaalisia lukuja. Itse luku on kuitenkin rationaalinen: 2 log 2 3 = 3 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Reaaliluvun käsite: oikea numero- (reaaliluku), mikä tahansa ei-negatiivinen tai negatiivinen luku tai nolla. Reaalilukujen avulla ilmaista kunkin fyysisen suuren mittaukset.

todellinen, tai oikea numero syntyi tarpeesta mitata maailman geometriset ja fysikaaliset suureet. Lisäksi juurin erottamiseen, logaritmin laskemiseen, algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseen jne.

Luonnolliset luvut muodostuivat laskennan kehityksen myötä ja rationaaliset luvut, joiden tarve hallita kokonaisuuden osia, sitten reaalilukuja (todellisia) käytetään jatkuvien määrien mittaamiseen. Näin ollen tarkasteltavien lukukannan laajentaminen on johtanut reaalilukujen joukkoon, joka koostuu rationaalilukujen lisäksi muista alkioista ns. irrationaalisia lukuja.

Reaalilukujen joukko(merkitty R) ovat rationaali- ja irrationaalilukujen joukkoja yhdistettyinä.

Todelliset luvut jaetaanjärkevää ja irrationaalinen.

Reaalilukujen joukko merkitään ja kutsutaan usein todellinen tai numeroviiva. Reaaliluvut koostuvat yksinkertaisista objekteista: koko ja rationaalisia lukuja.

Luku, joka voidaan kirjoittaa suhteeksi, missäm on kokonaisluku ja non luonnollinen lukurationaalinen luku.

Mikä tahansa rationaalinen luku voidaan helposti esittää äärellisenä murto-osana tai äärettömänä jaksollisena desimaalilukuna.

Esimerkki,

Ääretön desimaali, on desimaaliluku, jossa on ääretön määrä numeroita desimaalipilkun jälkeen.

Numerot, joita ei voida esittää sellaisenaan irrationaalisia lukuja.

Esimerkki:

Mikä tahansa irrationaalinen luku on helppo esittää äärettömänä ei-jaksollisena desimaalilukuna.

Esimerkki,

Rationaaliset ja irrationaaliset luvut luovat joukko reaalilukuja. Kaikki reaaliluvut vastaavat yhtä pistettä koordinaattiviivalla, jota kutsutaan numeroviiva.

Numeerisissa sarjoissa käytetään seuraavaa merkintää:

• N- luonnollisten lukujen joukko;
• Z- joukko kokonaislukuja;
• K- joukko rationaalisia lukuja;
• R on reaalilukujen joukko.

Äärettömän desimaalimurtoluvun teoria.

Reaaliluku määritellään seuraavasti ääretön desimaali, eli:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

jossa ± on yksi symboleista + tai −, luvun merkki,

a 0 on positiivinen kokonaisluku,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… on desimaalien sarja, ts. numeerisen joukon elementtejä {0,1,…9}.

Ääretön desimaaliluku voidaan selittää lukuna, joka on lukuviivalla rationaalisten pisteiden välillä, kuten:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n ja ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) kaikille n = 0,1,2,…

Reaalilukujen vertailu äärettöminä desimaalilukuina tapahtuu bitti kerrallaan. esimerkiksi, oletetaan, että annetaan 2 positiivista lukua:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Jos a 0 0, sitten α<β ; jos a0 > b0 sitten α>β . Kun a 0 = b 0 Siirrytään seuraavaan vertailuun. Jne. Kun α≠β , joten rajallisen määrän vaiheita jälkeen kohdataan ensimmäinen numero n, sellasta a n ≠ b n. Jos a n n, sitten α<β ; jos a n > b n sitten α>β .

Mutta samalla on tylsää kiinnittää huomiota siihen, että numero a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Siksi, jos jonkin vertailtavan luvun tietue, joka alkaa tietystä numerosta, on jaksollinen desimaalimurto, jonka jaksossa on 9, se on korvattava vastaavalla tietueella, jossa jaksossa on nolla.

Aritmeettiset operaatiot, joissa on äärettömiä desimaalilukuja, ovat jatkuvaa jatkoa vastaaville rationaalisten lukujen operaatioille. esimerkiksi, reaalilukujen summa α ja β on todellinen luku α+β , joka täyttää seuraavat ehdot:

∀ a',a',b',b'∈ Q(a′⩽ α ⩽ a")∧ (b'⩽ β ⩽ b")⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a"+b")

Samalla tavalla määrittelee äärettömien desimaalilukujen kertomisen.