Intuitiivinen ajatus numerosta on ilmeisesti yhtä vanha kuin ihmiskunta itse, vaikka sen kaikkia varhaisia ​​kehitysvaiheita on periaatteessa mahdotonta jäljittää varmasti. Ennen kuin henkilö oppi laskemaan tai keksi sanoja numeroille, hänellä epäilemättä oli visuaalinen, intuitiivinen käsitys numerosta, jonka ansiosta hän pystyi erottamaan yhden henkilön ja kaksi ihmistä tai kaksi ja monta ihmistä. Mitä primitiiviset ihmiset aluksi he tiesivät vain "yksi", "kaksi" ja "monia", vahvistaa se tosiasia, että joissakin kielissä, esimerkiksi kreikassa, on kolme kieliopillisia muotoja: yksikkö, kaksoisnumero ja monikko. Myöhemmin ihminen oppi erottamaan kahden ja kolmen puun ja kolmen ja neljän ihmisen välillä. Laskeminen liitettiin alun perin hyvin tiettyyn esinejoukkoon, ja numeroiden ensimmäiset nimet olivat adjektiiveja. Esimerkiksi sanaa "kolme" käytettiin vain yhdistelmissä "kolme puuta" tai "kolme ihmistä"; ajatus, että näillä sarjoilla on jotain yhteistä - kolminaisuuden käsite - vaatii korkea aste abstraktio. Siitä, että tili syntyi ennen adventtia Tämän abstraktiotason todistaa se tosiasia, että sanoilla "yksi" ja "ensimmäinen" sekä "kaksi" ja "toinen" ei ole monissa kielissä mitään yhteistä keskenään, kun taas primitiivin ulkopuolella sijaitsevilla sanoilla tili "yksi" , "kaksi", "monet", sanat "kolme" ja "kolmas", "neljä" ja "neljäs" osoittavat selvästi kardinaali- ja järjestyslukujen välisen suhteen.

Numeroiden nimet, jotka ilmaisevat hyvin abstrakteja ajatuksia, ilmestyivät epäilemättä myöhemmin kuin ensimmäiset karkeat symbolit, jotka osoittavat esineiden lukumäärää tietyssä populaatiossa. AT muinaiset ajat primitiivisiä numeerisia tietueita tehtiin lovien muodossa kepissä, solmuina köydessä, joka oli asetettu kiviriville, ja ymmärrettiin, että laskettavan joukon elementtien ja numerotietueen symbolit. Mutta tällaisten numeeristen tietueiden lukemiseen numeroiden nimiä ei käytetty suoraan. Nyt tunnistamme yhdellä silmäyksellä kahden, kolmen ja neljän elementin joukot; viidestä, kuudesta tai seitsemästä elementistä koostuvat joukot ovat hieman vaikeampia tunnistaa yhdellä silmäyksellä. Ja tämän rajan ulkopuolella on käytännössä mahdotonta määrittää niiden lukumäärää silmällä, ja analyysiä tarvitaan joko tilin muodossa tai tietyssä elementtien strukturoinnissa. Tunnisteiden laskeminen näyttää olleen ensimmäinen tekniikka, jota käytettiin vastaavia tapauksia: merkintöjen lovet löytyivät tietyt ryhmät aivan kuten kun äänestysliput lasketaan, ne ryhmitellään usein viiden tai kymmenen nippuihin. Sormilaskenta oli hyvin yleistä, ja on täysin mahdollista, että joidenkin numeroiden nimet ovat peräisin juuri tästä laskentamenetelmästä.

Tilin tärkeä ominaisuus on numeroiden nimien yhdistäminen tiettyyn laskentajärjestelmään. Esimerkiksi sana "kaksikymmentäkolme" ei ole vain termi, joka tarkoittaa hyvin määriteltyä (elementtien lukumäärän mukaan) objektiryhmää; se on yhdistelmätermi, joka tarkoittaa "kaksi kertaa kymmenen ja kolme". Tässä näkyy selvästi luvun kymmenen rooli kollektiivisena yksikkönä tai säätiönä; ja todellakin monet ihmiset laskevat kymmenillä, koska, kuten Aristoteles totesi, meillä on kymmenen sormea ​​käsissämme ja jaloissamme. Samasta syystä käytettiin viittä tai kahtakymmentä kantaa. Ihmiskunnan historian kehityksen varhaisessa vaiheessa luvut 2, 3 tai 4 otettiin lukujärjestelmän perustaksi; joskus joissakin mittauksissa tai laskelmissa käytettiin kantaa 12 ja 60.

Ihminen alkoi laskea kauan ennen kuin oppi kirjoittamaan, joten kirjallisia asiakirjoja ei ole säilynyt, jotka todistaisivat sanoista, jotka merkitsivät numeroita muinaisina aikoina. Nomadiheimoille on ominaista numeroiden suulliset nimet, mutta mitä tulee kirjallisiin, niiden tarve ilmaantui vasta siirtyessä vakiintuneeseen elämäntapaan, maatalousyhteisöjen muodostumiseen. Tarvittiin myös lukujen kirjaamisjärjestelmä, ja silloin luotiin perusta matematiikan kehitykselle.

Numeroiden perustyypit

Toisin kuin oktaavit, sedenions S niillä ei ole vaihtoehtoisuuden ominaisuutta, mutta ne säilyttävät vallan assosiatiivisuuden ominaisuuden.

Positiivisen kokonaisluvun x esittämiseksi tietokoneen muistissa se muunnetaan binäärilukujärjestelmään. Tuloksena oleva luku binäärilukujärjestelmässä x 2 on vastaavan koneellinen merkintä desimaaliluku x 10. Negatiivisten lukujen kirjoittamiseksi ns. luvun lisäkoodi, joka saadaan lisäämällä yksi tietyn negatiivisen luvun moduulin käänteiseen esitykseen binäärilukujärjestelmässä.

Reaalilukujen esitys tietokoneen muistissa (in tietokone Tiede termiä liukuluku käytetään kuvaamaan niitä) on joitain rajoituksia, jotka liittyvät käytettyyn numerojärjestelmään sekä numeroille varattuun rajoitettuun muistiin. Siten vain osa todellisista luvuista voidaan esittää tarkasti tietokoneen muistissa ilman häviötä. Yleisimmässä kaaviossa liukulukuluku kirjoitetaan lohkona bittejä, joista osa on luvun mantissa, osa astetta ja yksi bitti on varattu edustamaan luvun etumerkkiä (tarvittaessa, merkkibitti saattaa puuttua).

Määrä on abstraktio, jota käytetään määrälliset ominaisuudet esineitä. Nousemassa takaisin sisään primitiivinen yhteiskunta tilin tarpeista luvun käsite muuttui ja rikastui ja muuttui tärkeimmäksi matemaattinen käsite. kirjoitettujen merkkien mukaan(symbolit) numeroita käytetään numeroiden kirjoittamiseen.

Numeroiden perustyypit

Vastaanotettu luonnollisella tilillä; luonnolliset luvut on merkitty . Että. (joskus nolla sisältyy myös luonnollisten lukujen joukkoon, eli). Luonnolliset luvut suljetaan yhteen- ja kertolaskussa (mutta ei vähennys- tai jakolaskussa). Luonnolliset luvut ovat kommutatiivisia ja assosiatiivisia yhteen- ja kertolaskussa, ja luonnollisten lukujen kertominen on distributiivista yhteenlaskettaessa.

Kokonaislukuja, jotka saadaan yhdistämällä luonnollisia lukuja negatiivisten lukujen ja nollan kanssa, merkitään . Kokonaisluvut suljetaan yhteen-, vähennys- ja kertolaskuissa (mutta ei jakolaskussa).

Rationaaliset luvut ovat lukuja, jotka esitetään muodossa m/n (n≠0), missä m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Rationaalisille luvuille määritellään kaikki neljä "klassista" aritmeettista operaatiota: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku (paitsi nollalla jako). Etumerkkiä käytetään merkitsemään rationaalilukuja.

Oikeat (oikeat) numerot edustavat rationaalisten lukujen joukon laajennusta, joka on suljettu joidenkin alle (tärkeää matemaattinen analyysi) toiminnot kulku rajalle. Reaalilukujen joukko on merkitty . Sitä voidaan pitää rationaalisten lukujen kentän täydennyksenä normin avulla, joka on tavallinen absoluuttinen arvo. Rationaalilukujen lisäksi se sisältää joukon irrationaalisia lukuja, joita ei voida esittää kokonaislukujen suhteena. Sen lisäksi, että ne jaetaan rationaalisiin ja irrationaalisiin, ne jaetaan myös algebrallisiin ja transsendenttisiin. Lisäksi jokainen transsendentaalinen luku on irrationaalinen, jokainen rationaalinen luku on algebrallinen.

Monimutkaiset luvut, jotka ovat reaalilukujoukon laajennus. Ne voidaan kirjoittaa lomakkeeseen z = x + iy, missä i- niin sanottu. kuvitteellinen yksikkö, jolle i 2 = -1. Ongelmanratkaisussa käytetään kompleksilukuja kvanttimekaniikka, hydrodynamiikka, elastisuusteoria jne.

Luetteloiduille numerosarjoille seuraava lauseke on tosi:

Luonnolliset luvut, joilla on vain itsensä ja yksi tekijöinä. Rivi alkuluvut on muotoa: Mikä tahansa luonnollinen luku N voidaan esittää alkulukujen potenssien tulona: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Tätä ominaisuutta käytetään laajasti käytännön kryptografiassa.

Numerot - tyypit, käsitteet ja operaatiot, luonnolliset ja muun tyyppiset luvut.

Numero - peruskäsite matematiikka, jonka avulla määritetään esineiden ja niiden osien määrälliset ominaisuudet, numerointi, vertailu. Lukuihin voidaan soveltaa erilaisia ​​aritmeettisia operaatioita: yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku-, eksponentio- ja muita.

Operaatioon osallistuvia lukuja kutsutaan operandeiksi. Suoritetun toiminnon mukaan ne saavat eri nimet. AT yleinen tapaus Toimintakaavio voidaan esittää seuraavasti:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

Jakooperaatiossa ensimmäistä operandia kutsutaan osinkoksi (tämä on jaettavan luvun nimi). Toinen (jolla se jaetaan) on jakaja, ja tulos on osamäärä (se näyttää kuinka monta kertaa jaollinen on suurempi kuin jakaja).

Numeroiden tyypit

Jakotoiminta voi sisältää erilaisia ​​numeroita. Jaon tulos voi olla kokonaisluku tai murtoluku. Matematiikassa niitä on seuraavat tyypit numerot:

• Laskennassa käytetään luonnollisia lukuja. Niistä erottuu alkulukujen osajoukko, jolla on vain kaksi jakajaa: yksi ja itse. Kaikkia muita lukuun ottamatta 1 kutsutaan yhdistelmäluvuiksi ja niillä on enemmän kuin kaksi jakajaa (esimerkkejä alkuluvuista: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne.);
• Kokonaisluvut - joukko, joka koostuu niiden negatiivisista, positiivisista luvuista ja nollasta. Kun jaetaan yksi kokonaisluku toisella, osamäärä voi olla kokonaisluku tai reaaliluku (murtoluku). Niistä voidaan erottaa täydellinen lukujen osajoukko - yhtä suuri kuin summa kaikki sen jakajat (mukaan lukien 1) paitsi itse. Muinaiset kreikkalaiset tiesivät vain neljä täydellistä lukua. Täydellisten lukujen sarja: 6, 28, 496, 8128, 33550336… Tähän mennessä ei ole tiedossa ainuttakaan paritonta täydellistä lukua;
• Rational - esitettävissä murto-osana a / b, jossa a on osoittaja ja b on nimittäjä (tällaisten lukujen osamäärää ei yleensä lasketa);
• Todellinen (todellinen) - sisältää kokonaisluvun ja murto-osan. Sarja sisältää rationaalisen ja ir rationaalisia lukuja(esitetty ei-jaksollisena äärettömänä desimaalilukuna). Tällaisten lukujen osamäärä on yleensä reaaliarvo.

Toteutukseen liittyy useita ominaisuuksia aritmeettinen operaatio- divisioonat. Niiden ymmärtäminen on tärkeää oikean tuloksen saamiseksi:

• Et voi jakaa nollalla (matematiikassa tämä operaatio ei ole järkevää);
• Kokonaislukujako on operaatio, joka vain laskee koko osa(murtoluku hylätään);
• Kokonaisluvun jaon jäännösosan laskeminen antaa tulokseksi kokonaisluvun, joka on jäljellä toiminnon suorittamisen jälkeen (esimerkiksi jaettuna 17 kahdella, kokonaislukuosa on 8, jakoosa on 1).

Numeron pyhyyden ymmärtämiseksi on hyödyllistä irtautua hetkeksi puhtaasti esoteerisesta lähestymistavasta ja nähdä kuinka se yhdistyy ideoiden kanssa. perinteinen tiede numeroiden muodosta. tietosanakirja kirjoittaa numerosta seuraavaa: "Luku, yksi matematiikan peruskäsitteistä; syntyi muinaisista ajoista ja vähitellen laajeni ja yleistyi. Tilin yhteydessä yksittäisiä kohteita syntyi positiivisten kokonaislukujen (luonnollisten) lukujen käsite ja sitten ajatus luonnollisen lukusarjan äärettömyydestä: 1, 2, 3, 4... . Negatiivisen luvun käsite syntyi intiaanien keskuudessa VI-XI-luvuilla. Tarvitaan sisään tarkka ilmaisu suureiden suhteet (esimerkiksi neliön lävistäjän suhde sen kylkeen) johtivat irrationaalisten lukujen käyttöönottoon, jotka ilmaistaan ​​rationaalisilla luvuilla vain suunnilleen; rationaalinen ja irrationaalisia lukuja muodostavat joukon reaalilukuja. Reaalilukuteoria sai lopullisen kehityksensä vasta 1800-luvun jälkipuoliskolla matemaattisen analyysin tarpeiden yhteydessä. Neliön ja neliön ratkaisun yhteydessä kuutioyhtälöt otettiin käyttöön 1500-luvulla kompleksiluvut". Matematiikka jakaa luvut useisiin ryhmiin tai lajikkeisiin, joista jokaista voidaan tarkastella tavallisesta tai ehkä metafyysisestä näkökulmasta.

Numeroiden suhde

Reaaliluvut, jotka ovat rationaalilukujen ja irrationaalilukujen joukon liitto. Mikä tahansa reaaliluku voidaan periaatteessa esittää koordinaattiviivalla siten, että jokainen reaaliluku ja jokainen piste tällä viivalla vastaavat toisiaan. Reaaliluku voi olla mikä tahansa positiivinen tai negatiivinen luku tai nolla. Metafyysisestä näkökulmasta tämä ryhmä numerot vastaavat aineellista olemisen tasoa ja ovat määrän merkki. Reaalilukujen avulla ilmaistaan ​​kaikkien fyysisten suureiden mittaukset.Luvut ovat rationaalisia, jotka voidaan esittää äärettömänä desimaalilukuna. Ne ovat muotoa m/n, missä m ja n ovat kokonaislukuja ja u ei ole yhtä suuri kuin 0. Jokainen ääretön desimaali on rationaalinen luku. Rationaalilukujen summaa, erotusta, tuloa ja osamäärää pidetään myös rationaalisena. Rationaalilukuja ovat kokonaisluvut, murtoluvut, positiiviset luvut, negatiiviset luvut ja jopa nolla. Metafysikaalisesta näkökulmasta katsottuna rationaaliluvuilla tarkoitetaan niitä suureita, jotka voidaan mitata varmasti ja tarkasti.

Numeroiden tyypit

Irrationaaliset luvut viittaavat joukkoon reaalilukuja, jotka voidaan ilmaista äärettömän desimaalin muodossa ei-jaksollinen murto-osa. Niitä ei voida ilmaista täsmälleen muodossa m/n, missä m ja n ovat kokonaislukuja. Esimerkkejä tällaisista irrationaalisista luvuista ovat 2:n neliöjuuri; 0,1010010001; lg2; cos20±; .... Metafyysisesti katsottuna irrationaaliset luvut kuuluvat näiden vaikeasti havaittavien ilmiöiden alaan hienovarainen maailma joita ei voida mitata absoluuttisella tarkkuudella. Kelvollinen näkymä lukuja pidetään eräänlaisina kompleksilukuina, jotka sisältävät lukuja muotoa x + iy, missä x ja y ovat reaalilukuja ja i on ns. imaginaariyksikkö (luku, jonka neliö on -1); x:tä kutsutaan kompleksilukujen reaaliosaksi ja y:tä imaginaariosaksi. Kompleksiluvut, jotka eivät ole todellisia (for<>0), kutsutaan joskus imaginaariluvuiksi, sillä x=0 kompleksilukuja kutsutaan puhtaasti imaginaarisiksi. Toisin sanoen, kuvitteellisia lukuja ovat kompleksiluvut, joiden reaaliosa on nolla ja joita merkitään z=bi. Metafyysisesti katsottuna kompleksiluvut ovat sellaisia ​​suureita, joilla on pyhää suunnitelmaa. Luvut on myös jaettu positiivisiin, jotka sisältävät reaalilukuja, jotka ovat suurempia kuin nolla ja negatiivisia lukuja, päinvastoin kuin positiiviset, on pienempi kuin nolla. Metafyysisestä näkökulmasta kaikki positiivisia lukuja viitata fyysistä maailmaa, ja negatiiviset - olemisen hienovaraiselle tasolle, toisin sanoen astraali-mentaalialueelle.

Kuitenkin edellä puhuttiin vain luvun ulkoisesta, pyhyydestä puuttuvasta, puhtaasti kvantitatiivisesta luonteesta. Numerolla on kuitenkin myös puhtaasti sisäinen pyhä puoli, jota nykyaikainen matematiikka ei tunne ja joka määrää ennalta numeroiden ilmentymisen luonteen. X puhuu tästä hyvää.

"Symboliikassa numerot eivät ole vain määrän ilmaisua, vaan ideoita - voimia, joista jokaisella on oma erityisluonne. nykyaikainen ymmärrys ovat vain ulkokuori. Kaikki luvut on johdettu yhdestä (joka vastaa mystistä, paljastamatonta ja dimensioimatonta pistettä). Lisäksi ykseydestä syntynyt luku uppoaa yhä syvemmälle aineeseen, yhä monimutkaisempiin prosesseihin, "maailmaan". Ensimmäiset kymmenen numeroa kreikkalaisessa järjestelmässä (tai kaksitoista tuumaa Itäinen perinne) liittyvät henkeen: ne ovat pohjimmiltaan arkkityyppejä ja symboleja. Loput ovat näiden peruslukujen yhdistelmän tulos. Muinaiset kreikkalaiset olivat erittäin kiinnostuneita numeroiden symboliikasta. Esimerkiksi Pythagoras huomautti, että "kaikki on järjestetty numeroiden mukaan". Platon piti numeroa harmonian olemuksena ja harmoniaa kosmoksen ja ihmisen perustana väittäen, että harmonian rytmit ovat "samanlaisia ​​kuin sielumme jaksolliset värähtelyt". Lukujen filosofiaa kehittivät edelleen juutalaiset, gnostikot ja kabbalistit, mukaan lukien myös alkemistit. Samat yleismaailmalliset peruskäsitteet löytyvät Itämainen ajattelu- esimerkiksi Lao Tzussa: "Yksi synnyttää kaksi, kaksi synnyttää kolme ja yksi tulee kolmesta" - uusi yhtenäisyys tai uusi järjestys- kuin neljä. Moderni symbolinen logiikka ja ryhmäteoria palaavat ajatukseen määrällinen mittaus laadun perustana. Pire uskoi, että luonnonlait ja ihmishenki perustuvat yleiset periaatteet ja ne voivat sijaita samoilla linjoilla".

Numeroiden tyypit. Oikeita lukuja jaetaan myös algebrallisiin ja ei-algebrallisiin lukuihin. Algebrallinen luku on sellainen, joka tyydyttää algebrallinen yhtälö kokonaislukukertoimilla. Nämä numerot sisältävät numerot: 2:n juuri; Z:n juuri; Ei-algebralliset tai transsendentaaliset luvut ovat lukuja, jotka eivät täytä mitään algebrallista yhtälöä kokonaislukukertoimilla. Transsendentaaliset luvut kuuluvat irrationaalisten lukujen ryhmään, vaikka irrationaaliset luvut eivät aina ole transsendenttisia. Lukua a^b pidetään transsendenttisena, jos luvut a ja b ovat algebralliset luvut, mutta samaan aikaan<>0; a<>1 ja in - irrationaaliluku. Transsendentaaliset luvut ovat monien rationaalisten suureiden sinejä, samoin kuin desimaalilogaritmit kokonaislukuja, joita ei edusta yksi ja sen jälkeen nollia. Suurin osa kuuluisia esimerkkejä transsendentaaliset luvut ovat s (jonka likimääräinen arvo on 2,718281) ja PI (jonka likimääräinen arvo on 3,1415296...)

P. D. Uspensky jakaa matematiikan lukutieteenä kahteen tyyppiin:

a) äärellisen ja vakioita, joka on keinotekoinen kurinalaisuus, joka on luotu ratkaisemaan erityisiä tehtäviä ehdollisista tiedoista;

b) äärettömän ja muuttujia, mikä on tarkempaa tietoa todellisesta maailmasta. Esimerkkejä toisen tyypin matematiikasta, joka rikkoo ensimmäisen tyypin matematiikan keinotekoisia aksioomia, ovat niin sanotut "transfiniitiset luvut", jotka sijaitsevat äärettömän tuolla puolella.