Monimutkaiset luvut

Kuvitteellinen Ja kompleksiluvut. Abskissa ja ordinaatta

kompleksiluku. Konjugoi kompleksiluvut.

Operaatiot kompleksiluvuilla. Geometrinen

kompleksilukujen esitys. monimutkainen taso.

Kompleksiluvun moduuli ja argumentti. trigonometrinen

kompleksiluvun muoto. Operaatiot monimutkaisilla

numerot trigonometrisessa muodossa. Moivren kaava.

Perustietoa aiheesta kuvitteellinen Ja kompleksiluvut on annettu osiossa "Imaginaariset ja kompleksiluvut". Tarve näille uudentyyppisille numeroille ilmaantui tapauksen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisen yhteydessäD< 0 (здесь Don toisen asteen yhtälön diskriminantti). Pitkään aikaan nämä numerot eivät löytäneet fyysistä käyttöä, minkä vuoksi niitä kutsuttiin "imaginaarisiksi" numeroiksi. Nyt niitä käytetään kuitenkin erittäin laajasti fysiikan eri aloilla.

ja tekniikka: sähkötekniikka, hydro- ja aerodynamiikka, elastisuusteoria jne.

Monimutkaiset luvut on kirjoitettu seuraavasti:a+bi. Tässä a Ja b – todellisia lukuja , A i – kuvitteellinen yksikkö. e. i 2 = –1. Määrä a nimeltään abskissa, a b - ordinaattakompleksilukua + b.Kaksi kompleksilukuaa+bi Ja bi nimeltään konjugaatti kompleksiluvut.

Pääsopimukset:

1. Todellinen lukuAvoidaan kirjoittaa myös muotoonkompleksiluku:+ 0 i tai a - 0 i. Esimerkiksi merkinnät 5 + 0i ja 5-0 itarkoittavat samaa numeroa 5 .

2. Kompleksiluku 0 + binimeltään puhtaasti kuvitteellinen määrä. Äänitebitarkoittaa samaa kuin 0 + bi.

3. Kaksi kompleksilukuaa+bi Jac + dikatsotaan tasa-arvoisiksi, josa = c Ja b = d. Muuten kompleksiluvut eivät ole yhtä suuria.

Lisäys. Kompleksilukujen summaa+bi Ja c + dikutsutaan kompleksiluvuksi (a+c ) + (b+d ) minä .Täten, kun lisätään kompleksiluvut, niiden abskissat ja ordinaatit lisätään erikseen.

Tämä määritelmä noudattaa tavallisten polynomien käsittelyä koskevia sääntöjä.

Vähennyslasku. Kahden kompleksiluvun eroa+bi(vähennetty) ja c + di(vähennetty) kutsutaan kompleksiluvuksi (a-c ) + (b-d ) minä .

Täten, kun vähennetään kaksi kompleksilukua, niiden abskissat ja ordinaatit vähennetään erikseen.

Kertominen. Kompleksilukujen tuloa+bi Ja c + di kutsutaan kompleksiluvuksi.

(ac-bd ) + (ad+bc ) minä .Tämä määritelmä johtuu kahdesta vaatimuksesta:

1) numerot a+bi Ja c + dipitäisi kertoa kuten algebrallinen binomit,

2) numero isillä on pääominaisuus:i 2 = – 1.

ESIMERKKI ( a + bi )(bi) = a 2 +b 2 . Siten, tehdä työtä

kaksi konjugoitua kompleksilukua on yhtä suuri kuin todellinen

positiivinen luku.

Division. Jaa kompleksilukua+bi (jaettavissa) toisellec + di(jakaja) - tarkoittaa kolmannen numeron löytämistäe + fi(chat), joka kerrottuna jakajallac + di, mikä johtaa osinkoona + b.

Jos jakaja ei ole nolla, jako on aina mahdollista.

ESIMERKKI Etsi (8+i ) : (2 – 3 i) .

Ratkaisu. Kirjoita tämä suhde murtoluvuksi:

Kerrotaan sen osoittaja ja nimittäjä luvulla 2 + 3i

JA kaikkien muunnosten suorittamisen jälkeen saamme:

Kompleksilukujen geometrinen esitys. Reaaliluvut esitetään numerorivin pisteillä:

Tässä on pointti Atarkoittaa numeroa -3, pisteB on numero 2 ja O- nolla. Sitä vastoin kompleksiluvut esitetään koordinaattitason pisteillä. Tätä varten valitsemme suorakulmaiset (Carteesiset) koordinaatit samoilla asteikoilla molemmilla akseleilla. Sitten kompleksilukua+bi esitetään pisteellä P ja abskissa a ja ordinatta b (katso kuva). Tätä koordinaattijärjestelmää kutsutaan monimutkainen taso .

moduuli kompleksilukua kutsutaan vektorin pituudeksiOP, joka kuvaa kompleksilukua koordinaatissa ( integroitu) lentokone. Kompleksiluvun moduulia+bi merkitty | a+bi| tai kirje r

Kompleksiluku on luku, joka on muotoa z = x + i * y, jossa x ja y ovat reaalisia numeroita, ja i = imaginaariyksikkö (eli luku, jonka neliö on -1). Näkymän määrittäminen Perustelu integroitu numeroita, sinun täytyy nähdä kompleksiluku kompleksitasolla napakoordinaatistossa.

Ohje

1. Kone, jolla kompleksi numeroita, kutsutaan kompleksiksi. Tällä tasolla vaaka-akselilla on todellinen numeroita(x) ja pystyakseli on kuvitteellinen numeroita(y). Sellaisessa tasossa luku annetaan kahdella koordinaatilla z = (x, y). Napakoordinaattijärjestelmässä pisteen koordinaatit ovat moduuli ja argumentti. Moduuli on etäisyys |z| pisteestä alkuperään. Kutsutaanko kulmaa argumentiksi? pisteen ja koordinaattien esipuheen yhdistävän vektorin ja koordinaattijärjestelmän vaaka-akselin välillä (katso kuva).

2. Kuvasta voidaan nähdä, että kompleksin moduuli numeroita z = x + i * y löytyy Pythagoraan lauseesta: |z| = ? (x^2 + y^2). Lisäargumentti numeroita z löytyy kolmion terävänä kulmana - trigonometristen funktioiden sin, cos, tg:sin arvojen kautta? =y/? (x^2 + y^2), cos ? =x/? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Oletetaan, että luku z = 5 * (1 + ?3 * i) annetaan. Ensin valitaan todellinen ja kuvitteellinen osa: z = 5 +5 * ?3 * i. Osoittautuu, että reaaliosa x = 5 ja imaginaariosa y = 5 * ?3. Laske moduuli numeroita: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Etsi seuraavaksi kulman sini?: sin ? \u003d 5/10 \u003d 1/2. Sieltä saadaan argumentti numeroita z on 30°.

4. Esimerkki 2. Olkoon luku z = 5 * i. Kuvasta voidaan nähdä, että kulma = 90°. Tarkista tämä arvo yllä olevalla kaavalla. Kirjoita muistiin tämän koordinaatit numeroita kompleksitasolla: z = (0, 5). Moduuli numeroita|z| = 5. Kulman tg tangentti ? = 5 / 5 = 1. Mitä tästä seuraa? = 90°.

5. Esimerkki 3. Olkoon tarpeen löytää todiste 2 kompleksiluvun z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i summalle. Lisää nämä kaksi kompleksia lisäyssääntöjen mukaisesti numeroita: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Lisäksi laske yllä olevan kaavion mukaisesti argumentti: tg ? = 9/3 = 3.

Huomautus!
Jos luku z = 0, sen argumentin arvoa ei ole määritelty.

Hyödyllinen neuvo
Kompleksiluvun argumentin arvo määritetään tarkkuudella 2 * ? * k, jossa k on mikä tahansa kokonaisluku. Syyn arvo? sellainen -?

Vastaa tätä numeroa: .
Kompleksiluvun z moduulia merkitään yleensä | z| tai r.

Olkoon ja reaalilukuja siten, että kompleksiluku (tavallinen merkintä). Sitten

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mikä "kompleksiluvun moduuli" on muissa sanakirjoissa:

kompleksiluvun moduuli- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T ala fizika atitikmenys: engl. kompleksiluvun moduuli vok. Betrag der kompleksen Zahl, m rus. kompleksiluvun moduuli, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (moduuli) Luvun suuruus sen etäisyydellä 0:sta. Reaaliluvun x moduuli eli absoluuttinen arvo (merkitty |x|) on ero x:n ja 0:n välillä etumerkistä riippumatta. Siksi, jos x0, niin |x|=x ja jos x 0, niin |x|=–x... Taloussanakirja

Katso kompleksiluku itseisarvosta. Siirtymämoduuli kannan a logaritmijärjestelmästä kannan b järjestelmään on luku 1/logab ... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

Reaali- tai kompleksiluvun x itseisarvo tai moduuli on etäisyys x:stä origoon. Tarkemmin sanottuna: Reaaliluvun x itseisarvo on ei-negatiivinen luku, jota merkitään |x| ja määritellään seuraavasti: ... ... Wikipedia

Matematiikan moduuli, 1) Kompleksiluvun z = x + iy M. (tai itseisarvo) on luku ═ (juuri otetaan plusmerkillä). Esitettäessä kompleksilukua z trigonometrisessa muodossa z \u003d r (cos j + i sin j), reaaliluku r on ... ...

- (matematiikassa) mitta homogeenisten suureiden vertaamiseksi ja yhden niistä ilmaisemiseksi toisella; m ilmaistaan ​​numerona. Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja. Pavlenkov F., 1907. MODUULI (lat.). 1) numero, jolla ne kertovat ... ... Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja

Kompleksiluvun MODULUS, katso Absoluuttinen arvo (katso ABSOLUUTTIARVO). Siirtymämoduuli kannan a logaritmijärjestelmästä kannan b järjestelmään on luku 1/logab ... tietosanakirja

I Moduuli (latinan sanasta moduulimitta) arkkitehtuurissa, tavanomainen yksikkö, joka on otettu koordinoimaan rakennuksen tai kompleksin osien mittoja. Eri kansojen arkkitehtuurissa riippuen rakennuslaitteiden ominaisuuksista ja rakennusten koostumuksesta M. ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

I; m [alkaen lat. moduulimitta] 1. mitä. asiantuntija. Arvo, joka kuvaa mitä l. jäykän rungon ominaisuus. M. puristus. M. elastisuus. 2. Matematiikka. Reaaliluku, negatiivisen tai positiivisen luvun itseisarvo. M. kompleksiluku. M... tietosanakirja

Minkä tahansa matematiikan numeerinen ominaisuus. esine. Yleensä M:n arvo on ei-negatiivinen reaaliluku, alkio, jolla on tietty ominaisuus. ominaisuudet, jotka johtuvat tarkasteltavan objektijoukon ominaisuuksista. M:n käsite ...... Matemaattinen tietosanakirja

Määritelmä 8.3 (1).

Pituus |z| vektoria z = (x, y) kutsutaan kompleksiluvun z = x + yi moduuliksi

Koska kolmion kummankin sivun pituus ei ylitä sen kahden muun sivun pituuksien summaa ja kolmion molempien sivujen pituuksien eron itseisarvo ei ole pienempi kuin kolmannen sivun pituus , silloin epäyhtälöt tapahtuvat mille tahansa kahdelle kompleksiluvulle z 1 ja z 2

Määritelmä 8.3 (2).

Kompleksiluvun argumentti. Jos φ on nollasta poikkeavan vektorin z muodostama kulma todellisen akselin kanssa, niin mikä tahansa muodon kulma (φ + 2πn, jossa n on kokonaisluku ja vain sellainen kulma) on myös vektorin muodostama kulma. z todellisen akselin kanssa.

Joukkoa kaikista kulmista, jotka nollasta poikkeava vektori z = (x, y) muodostaa todellisen akselin kanssa, kutsutaan kompleksiluvun z = x + yi argumentiksi ja sitä merkitään arg z. Jokaista tämän joukon alkiota kutsutaan luvun z argumentin arvoksi (kuva 8.3(1)).

Riisi. 8.3(1).

Koska nollasta poikkeava tasovektori määräytyy yksiselitteisesti sen pituuden ja sen x-akselin kanssa muodostaman kulman perusteella, kaksi nollasta poikkeavaa kompleksilukua ovat yhtä suuret, jos ja vain, jos niiden absoluuttiset arvot ja argumentit ovat yhtä suuret.

Jos esimerkiksi luvun z argumentin φ arvoille asetetaan ehto 0≤φ<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Määritelmä 8.3.(3)

Kompleksiluvun trigonometrinen muoto. Kompleksiluvun z = x + yi ≠ 0 reaali- ja imaginaariosat ilmaistaan ​​sen moduulina r= |z| ja argumentti φ seuraavasti (sinin ja kosinin määritelmästä):

Tämän yhtälön oikeaa puolta kutsutaan kompleksiluvun z trigonometriseksi muodoksi. Käytämme sitä myös z = 0; tässä tapauksessa r = 0 ja φ voi saada minkä tahansa arvon - luvun 0 argumenttia ei ole määritelty. Joten mikä tahansa kompleksiluku voidaan kirjoittaa trigonometriseen muotoon.

On myös selvää, että jos kompleksiluku z kirjoitetaan muodossa

silloin luku r on sen moduuli, koska

Ja φ on yksi sen argumentin arvoista

Kompleksilukujen kirjoittamisen trigonometrinen muoto voi olla kätevä käyttää kompleksilukuja kerrottaessa, erityisesti sen avulla voit selvittää kompleksilukujen tuotteen geometrisen merkityksen.

Etsitään kompleksilukujen kerto- ja jakokaavat niiden merkintämuodon trigonometrisessa muodossa. Jos

sitten kompleksilukujen kertolaskusäännöllä (käyttäen summan sinin ja kosinin kaavoja)

Niinpä kompleksilukuja kerrottaessa niiden absoluuttiset arvot kerrotaan ja argumentit lisätään:

Soveltamalla tätä kaavaa peräkkäin n kompleksilukuon saamme

Jos kaikki n numerot ovat yhtä suuria, saamme

Minne

suoritettu

Siksi kompleksiluvulle, jonka itseisarvo on 1 (siis sillä on muoto

Tätä tasa-arvoa kutsutaan De Moivren kaavat

Toisin sanoen kompleksilukuja jaettaessa niiden moduulit jaetaan,

ja argumentit vähennetään.

Esimerkit 8.3(1).

Piirrä kompleksitasolle C joukko pisteitä, jotka täyttävät seuraavat ehdot:

Jota edustaa tiettyä kompleksilukua $z=a+bi$ kutsutaan annetun kompleksiluvun moduuliksi.

Tietyn kompleksiluvun moduuli lasketaan seuraavalla kaavalla:

Esimerkki 1

Laske annettujen kompleksilukujen moduuli $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Kompleksiluvun $z=a+bi$ moduuli lasketaan kaavalla: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Alkuperäiselle kompleksiluvulle $z_(1) =13$ saadaan $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) = 13 $

Alkuperäiselle kompleksiluvulle $\, z_(2) =4i$ saadaan $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Alkuperäiselle kompleksiluvulle $\, z_(3) =4+3i$ saadaan $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Määritelmä 2

Reaaliakselin positiivisen suunnan ja sädevektorin $\overrightarrow(OM) $ muodostamaa kulmaa $\varphi $, joka vastaa annettua kompleksilukua $z=a+bi$, kutsutaan tämän luvun argumentiksi ja on merkitty $\arg z$.

Huomautus 1

Tietyn kompleksiluvun moduulia ja argumenttia käytetään eksplisiittisesti, kun kompleksiluku esitetään trigonometrisessa tai eksponentiaalisessa muodossa:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrinen muoto;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ on eksponentiaalinen muoto.

Esimerkki 2

Kirjoita kompleksiluku trigonometrisessa ja eksponentiaalisessa muodossa, jotka saadaan seuraavilla tiedoilla: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Korvaa tiedot $r=3;\varphi =\pi $ vastaaviin kaavoihin ja saa:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrinen muoto

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ on eksponentiaalinen muoto.

2) Korvaa tiedot $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ vastaaviin kaavoihin ja saa:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrinen muoto

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ on eksponentiaalinen muoto.

Esimerkki 3

Määritä annettujen kompleksilukujen moduuli ja argumentti:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Löydämme moduulin ja argumentin käyttämällä kaavoja tietyn kompleksiluvun kirjoittamiseksi trigonometriseen ja eksponentiaaliseen muotoon.

\ \

1) Alkuperäiselle kompleksiluvulle $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ saadaan $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Alkuperäiselle kompleksiluvulle $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ hanki $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Alkuperäiselle kompleksiluvulle $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ saamme $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Alkuperäiselle kompleksiluvulle $z=13\cdot e^(i\pi ) $ saadaan $r=13;\varphi =\pi $.

Tietyn kompleksiluvun $z=a+bi$ argumentti $\varphi $ voidaan laskea seuraavilla kaavoilla:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]

Käytännössä tietyn kompleksiluvun $z=a+bi$ argumentin arvon laskemiseen käytetään yleensä seuraavaa kaavaa:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi,a

tai ratkaise yhtälöjärjestelmä

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Esimerkki 4

Laske annettujen kompleksilukujen argumentti: 1) $z=3$; 2) $z = 4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z = -5 $; 5) $z=-2i$.

Koska $z=3$, sitten $a=3,b=0$. Laske alkuperäisen kompleksiluvun argumentti kaavalla (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Koska $z=4i$, niin $a=0,b=4$. Laske alkuperäisen kompleksiluvun argumentti kaavalla (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]

Koska $z=1+i$, niin $a=1,b=1$. Laske alkuperäisen kompleksiluvun argumentti ratkaisemalla järjestelmä (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

Trigonometrian kurssista tiedetään, että $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ kulmassa, joka vastaa ensimmäistä koordinaattineljännestä ja on yhtä suuri kuin $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Koska $z=-5$, niin $a=-5,b=0$. Laske alkuperäisen kompleksiluvun argumentti kaavalla (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Koska $z=-2i$, niin $a=0,b=-2$. Laske alkuperäisen kompleksiluvun argumentti kaavalla (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Muistio 2

Lukua $z_(3) $ edustaa piste $(0;1)$, joten vastaavan sädevektorin pituus on yhtä suuri kuin 1, ts. $r=1$ ja argumentti $\varphi =\frac(\pi )(2) $ huomautuksen 3 mukaisesti.

Lukua $z_(4) $ edustaa piste $(0;-1)$, joten vastaavan sädevektorin pituus on yhtä suuri kuin 1, ts. $r=1$ ja argumentti $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ huomautuksen 3 mukaisesti.

Lukua $z_(5) $ edustaa piste $(2;2)$, joten vastaavan sädevektorin pituus on $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, ts. $r=2\sqrt(2) $ ja argumentti $\varphi =\frac(\pi )(4) $ suorakulmaisen kolmion ominaisuudella.