प्रत्यक्ष माप के लिए

1. मान लीजिए दो वोल्टता एक बार वोल्टमीटर पर मापी जाती है यू 1 = 10 वी, यू 2 \u003d 200 वी। वाल्टमीटर में निम्नलिखित विशेषताएं हैं: सटीकता वर्ग डी वर्ग टी \u003d 0.2, यूअधिकतम = 300 वी।

आइए हम इन मापों की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों को निर्धारित करें।

चूँकि दोनों माप एक ही उपकरण पर किए गए थे, तो D यू 1=डी यू 2 और सूत्र द्वारा परिकलित किए जाते हैं (B.4)

परिभाषा के अनुसार, सापेक्ष त्रुटियाँ यू 1 और यू 2 क्रमशः बराबर

1 \u003d 0.6 वी / 10 वी \u003d 0.06 \u003d 6%,

2 \u003d 0.6 वी / 200 वी \u003d 0.003 \u003d 0.3%।

1 और ε 2 के लिए उपरोक्त गणना परिणामों से यह देखा जा सकता है कि 1 2 से बहुत बड़ा है।

इसका तात्पर्य नियम से है: आपको ऐसी माप सीमा वाला उपकरण चुनना चाहिए कि रीडिंग पैमाने के अंतिम तीसरे में हों।

2. मान लीजिए कि किसी मान को कई बार मापा जाता है, अर्थात् उत्पादित किया जाता है एनइस मात्रा का व्यक्तिगत माप एक एक्स 1 , ए एक्स 2 ,...,एक एक्स 3 .

फिर, पूर्ण त्रुटि की गणना करने के लिए, निम्नलिखित ऑपरेशन किए जाते हैं:

1) सूत्र (B.5) का प्रयोग करके, समांतर माध्य ज्ञात कीजिए लेकिन 0 मापा मूल्य;

2) पाया गया अंकगणितीय माध्य से अलग-अलग मापों के वर्ग विचलन के योग की गणना करें और सूत्र (B.6) का उपयोग करके, मूल माध्य वर्ग त्रुटि का निर्धारण करें, जो एक निश्चित मात्रा के कई प्रत्यक्ष मापों में एकल माप की पूर्ण त्रुटि की विशेषता है। ;

3) सापेक्ष त्रुटि की गणना सूत्र (B.2) द्वारा की जाती है।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि की गणना

जब परोक्ष रूप से मापा जाता है

अप्रत्यक्ष माप में त्रुटियों की गणना एक अधिक कठिन कार्य है, क्योंकि इस मामले में वांछित मूल्य अन्य सहायक मात्राओं का एक कार्य है, जिसकी माप त्रुटियों की उपस्थिति के साथ होती है। आमतौर पर, माप में, चूकों को छोड़कर, मापा मूल्य की तुलना में यादृच्छिक त्रुटियां बहुत छोटी होती हैं। वे इतने छोटे हैं कि त्रुटियों की दूसरी और उच्च डिग्री माप सटीकता से बाहर हैं और उन्हें उपेक्षित किया जा सकता है। त्रुटि सूत्र प्राप्त करने के लिए त्रुटियों की लघुता के कारण
परोक्ष रूप से मापी गई मात्रा, विभेदक कलन की विधियों का उपयोग किया जाता है। किसी मात्रा के अप्रत्यक्ष माप के मामले में, जब कुछ वांछित गणितीय निर्भरता से जुड़ी मात्राओं को सीधे मापा जाता है, तो पहले सापेक्ष त्रुटि को निर्धारित करना अधिक सुविधाजनक होता है और पहले से ही
मिली सापेक्ष त्रुटि के माध्यम से, पूर्ण माप त्रुटि की गणना करें।

डिफरेंशियल कैलकुलस अप्रत्यक्ष माप में सापेक्ष त्रुटि को निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका प्रदान करता है।

वांछित मान दें लेकिनकार्यात्मक रूप से कई स्वतंत्र सीधे मापी गई मात्राओं से संबंधित है एक्स 1 ,
एक्स 2 , ..., एक्स के, अर्थात।

ए= एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स के).

मान की सापेक्ष त्रुटि का निर्धारण करने के लिए लेकिनसमीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें

एलएन ए= एलएन एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स के).

फिर फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक के अंतर की गणना की जाती है
ए= एफ(एक्स 1 ,एक्स 2 , ..., एक्स के),

डीएलएन ए= डीएलएन एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स के)

परिणामी व्यंजक में सभी संभव बीजीय परिवर्तन और सरलीकरण किए जाते हैं। उसके बाद, अंतर d के सभी प्रतीकों को त्रुटि D के प्रतीकों से बदल दिया जाता है, और स्वतंत्र चर के अंतर के सामने नकारात्मक संकेतों को सकारात्मक लोगों द्वारा बदल दिया जाता है, अर्थात, सबसे प्रतिकूल मामला लिया जाता है, जब सभी त्रुटियां जुड़ती हैं। इस मामले में, परिणाम की अधिकतम त्रुटि की गणना की जाती है।

ऊपर की दृष्टि में

लेकिन = डी लेकिन / लेकिन

यह व्यंजक मात्रा की सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है लेकिनअप्रत्यक्ष माप के साथ, यह मापा मूल्यों की सापेक्ष त्रुटियों के माध्यम से वांछित मूल्य की सापेक्ष त्रुटि को निर्धारित करता है। सापेक्ष त्रुटि सूत्र (B.11) के अनुसार गणना करने के बाद,
मूल्य की पूर्ण त्रुटि निर्धारित करें लेकिनसापेक्ष त्रुटि और परिकलित मान के गुणनफल के रूप में लेकिनअर्थात।

डी लेकिन = ε लेकिन, (बारह बजे)

जहाँ को एक विमाहीन संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है।

इसलिए, अप्रत्यक्ष रूप से मापी गई मात्रा की सापेक्ष और निरपेक्ष त्रुटियों की गणना निम्नलिखित क्रम में की जानी चाहिए:

1) एक सूत्र लिया जाता है जिसके अनुसार वांछित मूल्य की गणना की जाती है (गणना सूत्र);

2) गणना सूत्र के दोनों भागों का प्राकृतिक लघुगणक लिया जाता है;

3) वांछित मूल्य के प्राकृतिक लघुगणक के कुल अंतर की गणना की जाती है;

4) परिणामी व्यंजक में, सभी संभव बीजीय परिवर्तन और सरलीकरण किए जाते हैं;

5) अंतर के प्रतीक d को त्रुटि प्रतीक D द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि स्वतंत्र चर के अंतर के सामने सभी नकारात्मक संकेतों को सकारात्मक लोगों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (सापेक्ष त्रुटि अधिकतम होगी) और एक सापेक्ष त्रुटि सूत्र प्राप्त होता है;

6) मापी गई मात्रा की सापेक्ष त्रुटि की गणना की जाती है;

7) परिकलित सापेक्ष त्रुटि के अनुसार, अप्रत्यक्ष माप की निरपेक्ष त्रुटि की गणना सूत्र (B.12) के अनुसार की जाती है।

आइए अप्रत्यक्ष माप में सापेक्ष और निरपेक्ष त्रुटियों की गणना के कई उदाहरणों पर विचार करें।

1. वांछित मूल्य लेकिनसीधे मापा मात्रा से संबंधित एक्स, पर, जेडअनुपात

कहाँ पे एऔर बीस्थिर मूल्य हैं।

2. व्यंजक का प्राकृतिक लघुगणक लें (B.13)

3. वांछित मान के प्राकृतिक लघुगणक के कुल अंतर की गणना करें लेकिन, अर्थात्, हम अंतर करते हैं (बी.13)

4. हम परिवर्तन करते हैं। यह देखते हुए कि d ए= 0 क्योंकि ए= स्थिरांक, कोस पर/sin आप=सीटीजी आप, हम पाते हैं:

5. हम डिफरेंशियल के सिंबल को एरर के सिंबल से और डिफरेंशियल के सामने माइनस साइन को प्लस साइन से बदल देते हैं

6. हम मापा मूल्य की सापेक्ष त्रुटि की गणना करते हैं।

7. परिकलित सापेक्ष त्रुटि के आधार पर, अप्रत्यक्ष माप की पूर्ण त्रुटि की गणना सूत्र (बी.12) का उपयोग करके की जाती है, अर्थात।

पारा की वर्णक्रमीय रेखा की पीली तरंग दैर्ध्य एक विवर्तन झंझरी का उपयोग करके निर्धारित की जाती है (पीले तरंग दैर्ध्य के लिए सापेक्ष और पूर्ण त्रुटियों की गणना के लिए स्वीकृत अनुक्रम का उपयोग करके)।

1. इस मामले में पीले रंग की तरंग दैर्ध्य सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

कहाँ पे साथ मेंविवर्तन झंझरी का स्थिरांक है (अप्रत्यक्ष रूप से मापा गया मान); φ l स्पेक्ट्रम के दिए गए क्रम में पीली रेखा का विवर्तन कोण है (सीधे मापा गया मान); कजी स्पेक्ट्रम का क्रम है जिसमें अवलोकन किया गया था।

विवर्तन झंझरी स्थिरांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

कहाँ पे क h हरी रेखा के स्पेक्ट्रम का क्रम है; z - हरे रंग की ज्ञात तरंग दैर्ध्य (λz - स्थिर); z स्पेक्ट्रम के दिए गए क्रम में हरी रेखा का विवर्तन कोण है (सीधे मापा गया मान)।

फिर, व्यंजक को ध्यान में रखते हुए (बी.15)

(बी.16)

कहाँ पे कएच, कजी - वेधशालाएँ, जिन्हें स्थिर माना जाता है; एच, एल - अरे
सीधे मापने योग्य मात्रा के साथ।

व्यंजक (बी.16) एक विवर्तन झंझरी का उपयोग करके निर्धारित पीले तरंग दैर्ध्य के लिए गणना सूत्र है।

4.डी कएच = 0; डी कएफ = 0; डीλ एच = 0, चूंकि कएच, क W और w स्थिर मान हैं;

फिर

5. (बी.17)

जहां डीφ डब्ल्यू, डीφ एच पीले रंग के विवर्तन कोण को मापने में पूर्ण त्रुटियां हैं
और हरी स्पेक्ट्रम लाइनें।

6. पीली तरंग दैर्ध्य की सापेक्ष त्रुटि की गणना करें।

7. पीली तरंग दैर्ध्य की पूर्ण त्रुटि की गणना करें:

डी वेल = वेल।

पूर्ण त्रुटिअनुमानित संख्या इस संख्या और इसके सटीक मान के बीच के अंतर का मापांक है। . इससे यह पता चलता है कि यह या के भीतर संलग्न है।

उदाहरण 1उद्यम में 1284 कर्मचारी और कर्मचारी हैं। जब इस संख्या को 1300 तक पूर्णांकित किया जाता है, तो पूर्ण त्रुटि होती है |1300 - 1284|=16। जब 1280 तक पूर्णांकित किया जाता है, तो पूर्ण त्रुटि होती है |1280 - 1284| = 4.
रिश्तेदारों की गलतीसन्निकट संख्या को निरपेक्ष त्रुटि अनुपात कहते हैं...
संख्या के मान के मापांक की अनुमानित संख्या .
उदाहरण 2 . स्कूल में 197 छात्र हैं। हम इस संख्या को 200 तक पूर्णांकित करते हैं। पूर्ण त्रुटि है |200 - 197| = 3. सापेक्ष त्रुटि 3/|197| . है या 1.5%।

ज्यादातर मामलों में, अनुमानित संख्या का सटीक मान जानना असंभव है, और इसलिए त्रुटि का सटीक मान। हालांकि, यह स्थापित करना लगभग हमेशा संभव है कि त्रुटि (पूर्ण या सापेक्ष) एक निश्चित संख्या से अधिक न हो।

उदाहरण 3विक्रेता तरबूज को तराजू पर तौलता है। वजन के सेट में, सबसे छोटा 50 ग्राम है। वजन ने 3600 ग्राम दिया है। यह संख्या अनुमानित है। तरबूज का सही वजन अज्ञात है। लेकिन पूर्ण त्रुटि 50 ग्राम से अधिक नहीं है। सापेक्ष त्रुटि 50/3600 ≈1.4% से अधिक नहीं है।

उदाहरण 3 में, 50 ग्राम को सीमित पूर्ण त्रुटि के रूप में लिया जा सकता है, और 1.4% को सीमित सापेक्ष त्रुटि के रूप में लिया जा सकता है।
निरपेक्ष त्रुटि को ग्रीक अक्षर ("डेल्टा") या D . द्वारा निरूपित किया जाता है ए; सापेक्ष त्रुटि - ग्रीक अक्षर δ ("छोटा डेल्टा")। यदि सन्निकट संख्या को अक्षर A से निरूपित किया जाता है, तो = /|A|।

महत्वपूर्ण अंकअनुमानित संख्या ए अपने दशमलव प्रतिनिधित्व में कोई भी अंक है जो शून्य से अलग है, और शून्य यदि यह महत्वपूर्ण अंकों के बीच निहित है या संग्रहीत दशमलव स्थान का प्रतिनिधि है

उदाहरण।ए = 0.002080। यहाँ केवल प्रथम तीन शून्य सार्थक नहीं हैं।

एनसन्निकट संख्या A के प्रथम सार्थक अंक हैं वफ़ादार, यदि इस संख्या की पूर्ण त्रुटि व्यक्त किए गए अंक के आधे से अधिक नहीं है एन-वां महत्वपूर्ण अंक, बाएं से दाएं की गिनती। वे संख्याएँ जो सही नहीं होतीं कहलाती हैं संदिग्ध।

उदाहरण।अगर बीच में ए= 0.03450 सभी संख्याएँ सही हैं, तो .

अनुमानित नियम
संकल्पना	परिभाषा	उदाहरण या नोट
अनुमानित गणना	एक निश्चित सटीकता के साथ हमें ज्ञात संख्याओं पर की गई गणना, उदाहरण के लिए, एक प्रयोग में प्राप्त की गई।	गणना करते समय, हमेशा उस सटीकता को ध्यान में रखना आवश्यक है जिसकी आवश्यकता है या जिसे प्राप्त किया जा सकता है। यदि दी गई समस्याओं की अनुमति नहीं है या इसकी आवश्यकता नहीं है, तो बड़ी सटीकता के साथ गणना करना अस्वीकार्य है। और इसके विपरीत।
त्रुटियाँ	सटीक संख्या के बीच का अंतर एऔर इसका अनुमानित मूल्य लेकिनबुलाया त्रुटिअनुमानित संख्या दी। यदि यह ज्ञात हो कि || ए- ए |< D, то величина D называется पूर्ण त्रुटिअनुमानित मूल्य ए . अनुपात डी /|ए| = कहा जाता है रिश्तेदारों की गलती; उत्तरार्द्ध को अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।	3.14 संख्या का एक सन्निकटन है ए, इसकी त्रुटि 0.00159 है ..., पूर्ण त्रुटि को 0.0016 के बराबर माना जा सकता है, और सापेक्ष त्रुटि 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051% के बराबर है।
महत्वपूर्ण आंकड़े	संख्या के सभी अंक, बाईं ओर से 1 से, जो शून्य से अंतिम तक भिन्न है, जिसकी शुद्धता की पुष्टि आप कर सकते हैं।	केवल सही संकेत रखते हुए, अनुमानित संख्याएँ लिखी जानी चाहिए। यदि, उदाहरण के लिए, संख्या 52438 की पूर्ण त्रुटि 100 है, तो यह संख्या लिखी जानी चाहिए, उदाहरण के लिए, 524 के रूप में। 102 या 0.524। 10 5. आप अनुमानित संख्या की त्रुटि का अनुमान यह बताकर कर सकते हैं कि इसमें कितने वास्तविक सार्थक अंक हैं। यदि संख्या A = 47.542 अनुमानित संख्याओं पर संक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त होती है और यह ज्ञात है कि = 0.1%, तो a में 3 सही चिह्न हैं, अर्थात्। ए = 47.5
गोलाई	यदि अनुमानित संख्या में अतिरिक्त (या गलत) वर्ण हैं, तो इसे गोल किया जाना चाहिए।	गोल करते समय, केवल सही संकेत संरक्षित होते हैं; अतिरिक्त वर्णों को छोड़ दिया जाता है, और यदि पहला छोड़ा गया अंक . से बड़ा या उसके बराबर है 5 , तो अंतिम संग्रहित अंक एक से बढ़ जाता है।
अनुमानित संख्या पर संचालन	अनुमानित संख्याओं पर संचालन का परिणाम भी अनुमानित संख्या है। परिणाम के महत्वपूर्ण अंकों की संख्या की गणना निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके की जा सकती है: 1. अनुमानित संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय, परिणाम में उतने ही दशमलव स्थान होने चाहिए जितने दशमलव स्थानों की न्यूनतम संख्या के साथ दिए गए अनुमानित में हैं। 2. गुणा और भाग करते समय, परिणामस्वरूप, कई महत्वपूर्ण अंकों को सहेजा जाना चाहिए क्योंकि महत्वपूर्ण अंकों की सबसे छोटी संख्या के साथ अनुमानित डेटा हैं।

अनुमानित संख्याओं के साथ संचालन का परिणाम भी अनुमानित संख्या है। साथ ही, वे संख्याएं जो इन संख्याओं के सटीक अंकों पर संचालन द्वारा प्राप्त की जाती हैं, वे भी गलत हो सकती हैं।

उदाहरण 5अनुमानित संख्या 60.2 और 80.1 को गुणा किया जाता है। यह ज्ञात है कि लिखे गए सभी आंकड़े सही हैं, ताकि सही मान अनुमानित लोगों से केवल सौवें, हज़ारवें, आदि से भिन्न हो सकें। उत्पाद में हमें 4822.02 मिलता है। यहां, न केवल सौवें और दसवें की संख्या, बल्कि इकाइयों की संख्या भी गलत हो सकती है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कारकों को सटीक संख्या 60.25 और 80.14 को पूर्णांकित करके प्राप्त किया जाता है। तब सटीक उत्पाद 4828.435 होगा, इसलिए अनुमानित उत्पाद (2) में इकाइयों का अंक सटीक अंक (8) से 6 इकाइयों से भिन्न होता है।

अनुमानित गणना का सिद्धांत अनुमति देता है:

1) डेटा की सटीकता की डिग्री जानने के बाद, कार्रवाई करने से पहले ही परिणामों की सटीकता की डिग्री का आकलन करें;

2) परिणाम की आवश्यक सटीकता प्रदान करने के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ डेटा लें, लेकिन कैलकुलेटर को बेकार गणनाओं से बचाने के लिए बहुत अच्छा नहीं है;

3) गणना प्रक्रिया को स्वयं युक्तिसंगत बनाएं, इसे उन गणनाओं से मुक्त करें जो परिणाम की सटीक संख्या को प्रभावित नहीं करेंगे।

माप प्रक्रिया के व्यावहारिक कार्यान्वयन में, माप उपकरणों की सटीकता की परवाह किए बिना, कार्यप्रणाली की शुद्धता और संपूर्णता
माप, माप के परिणाम मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य से भिन्न होते हैं, अर्थात। माप त्रुटियाँ अपरिहार्य हैं। त्रुटि का मूल्यांकन करते समय, वास्तविक मान के बजाय वास्तविक मान लिया जाता है; इसलिए, माप त्रुटि का केवल अनुमानित अनुमान दिया जा सकता है। माप परिणाम की विश्वसनीयता का आकलन, अर्थात। माप त्रुटि का निर्धारण मेट्रोलॉजी के मुख्य कार्यों में से एक है।
त्रुटि मापी गई मात्रा के सही मान से माप परिणाम का विचलन है। त्रुटियों को सशर्त रूप से माप उपकरणों की त्रुटियों और माप परिणाम की त्रुटियों में विभाजित किया जा सकता है।
उपकरणों को मापने की त्रुटियांअध्याय 3 में चर्चा की गई।
माप त्रुटिएक संख्या है जो मापी गई मात्रा के मूल्य की अनिश्चितता की संभावित सीमाओं को दर्शाती है।
नीचे, एक वर्गीकरण दिया जाएगा और माप परिणाम की त्रुटियों पर विचार किया जाएगा।
संख्यात्मक अभिव्यक्ति के माध्यम सेअंतर करना निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ।
उत्पत्ति के आधार परत्रुटियां हैं वाद्य, पद्धतिगत, रीडिंग और सेटिंग्स।
अभिव्यक्ति के पैटर्न के अनुसारमाप त्रुटियों को विभाजित किया जाता है व्यवस्थित, प्रगतिशील, यादृच्छिक और सकल।
आइए हम संकेतित माप त्रुटियों पर अधिक विस्तार से विचार करें।

4.1. निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ

पूर्ण त्रुटिडी मापा एक्स और सही एक्स और मापा मात्रा के मूल्यों के बीच का अंतर है। मापा मूल्य की इकाइयों में पूर्ण त्रुटि व्यक्त की जाती है: डी = एक्स - ची।
चूंकि मापी गई मात्रा का सही मूल्य निर्धारित नहीं किया जा सकता है, व्यवहार में मापी गई मात्रा Xd के वास्तविक मूल्य का उपयोग इसके बजाय किया जाता है। वास्तविक मूल्य प्रयोगात्मक रूप से पर्याप्त रूप से सटीक विधियों और माप उपकरणों को लागू करके पाया जाता है। यह वास्तविक मूल्य से थोड़ा अलग है और समस्या को हल करने के लिए इसके बजाय इसका उपयोग किया जा सकता है। सत्यापन के दौरान, अनुकरणीय माप उपकरणों की रीडिंग को आमतौर पर वास्तविक मूल्य के रूप में लिया जाता है। इस प्रकार, व्यवहार में, सूत्र D »X - Xd द्वारा पूर्ण त्रुटि पाई जाती है। रिश्तेदारों की गलती d मापी गई मात्रा के सही (वास्तविक) मान के लिए पूर्ण माप त्रुटि का अनुपात है (इसे आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है): ।

4.2. वाद्य और पद्धति संबंधी त्रुटियां,
रीडिंग और सेटिंग्स

सहायक(उपकरण या हार्डवेयर) त्रुटियां वे हैं जो किसी दिए गए माप उपकरण से संबंधित हैं, इसके परीक्षण के दौरान निर्धारित की जा सकती हैं और इसके पासपोर्ट में दर्ज की जा सकती हैं।
ये त्रुटियां माप उपकरणों के डिजाइन और तकनीकी कमियों के साथ-साथ उनके पहनने, उम्र बढ़ने या खराबी के परिणाम के कारण होती हैं। वाद्य त्रुटियाँ, उपयोग किए गए माप उपकरणों की त्रुटियों के कारण, अध्याय 3 में विचार किया गया था।
हालाँकि, वाद्य त्रुटियों के अलावा, माप के दौरान ऐसी त्रुटियां भी होती हैं जिन्हें इस उपकरण के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, इसके पासपोर्ट में इंगित नहीं किया जा सकता है और कहा जाता है विधिवत,वे। डिवाइस के साथ ही नहीं, बल्कि इसके उपयोग की विधि से जुड़ा हुआ है।
पद्धति संबंधी त्रुटियांमाप पद्धति में अंतर्निहित घटना के सिद्धांत के विकास की अपूर्णता, मापी गई मात्रा का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किए जाने वाले संबंधों की अशुद्धियों और मापी गई मात्रा और उसके मॉडल के बीच विसंगति के कारण भी उत्पन्न हो सकता है।
कार्यप्रणाली माप त्रुटि को दर्शाने वाले उदाहरणों पर विचार करें।
अध्ययन का उद्देश्य एक वैकल्पिक वोल्टेज स्रोत है, जिसका आयाम मान उममापने की जरूरत है। अध्ययन की वस्तु के प्रारंभिक अध्ययन के आधार पर, एक साइनसॉइडल वोल्टेज जनरेटर को इसके मॉडल के रूप में अपनाया गया था। वैकल्पिक वोल्टेज के प्रभावी मूल्यों को मापने के लिए डिज़ाइन किए गए वाल्टमीटर का उपयोग करना, और साइनसॉइडल वोल्टेज के प्रभावी और आयाम मूल्यों के बीच संबंध जानने के लिए, हम माप परिणाम को फॉर्म में प्राप्त करते हैं उम = × यूवी,कहाँ पे यूवीवाल्टमीटर रीडिंग। वस्तु का अधिक गहन अध्ययन यह प्रकट कर सकता है कि मापा वोल्टेज का आकार साइनसॉइडल से भिन्न होता है और मापा मूल्य और वाल्टमीटर पढ़ने के मूल्य के बीच एक अधिक सही संबंध होता है। उम =क× यूवी,कहाँ पे क¹ . इस प्रकार, अध्ययन की वस्तु के स्वीकृत मॉडल की अपूर्णता एक पद्धतिगत माप त्रुटि की ओर ले जाती है डीयू = × यूवीक× यूवी.
इस त्रुटि को या तो मान की गणना करके कम किया जा सकता है कमापा वोल्टेज के वक्र के आकार के विश्लेषण के आधार पर, या मापने वाले उपकरण को बदलकर, वैकल्पिक वोल्टेज के आयाम मूल्यों को मापने के लिए डिज़ाइन किए गए वोल्टमीटर को लेकर।
पद्धतिगत त्रुटियों की घटना का एक बहुत ही सामान्य कारण यह है कि माप का आयोजन करते समय, हमें उस मूल्य को मापने (या जानबूझकर मापने) के लिए मजबूर किया जाता है जिसे मापा जाना चाहिए, लेकिन कुछ अन्य, करीब, लेकिन इसके बराबर नहीं।

ऐसी पद्धतिगत त्रुटि का एक उदाहरण एक परिमित प्रतिरोध के साथ वोल्टमीटर के साथ वोल्टेज को मापने में त्रुटि है (चित्र। 4.1)।
वाल्टमीटर के कारण सर्किट के उस खंड को शंटिंग कर दिया जाता है जहां वोल्टेज मापा जाता है, यह वोल्टमीटर से जुड़े होने से पहले की तुलना में कम हो जाता है। और वास्तव में, वोल्टमीटर जो वोल्टेज दिखाएगा वह अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है यू = मैं×आरवी. यह देखते हुए कि सर्किट में करंट मैं =इ/(री +आरवी),तब
< .
इसलिए, अध्ययन के तहत सर्किट के विभिन्न वर्गों में बदले में जुड़े एक ही वाल्टमीटर के लिए, यह त्रुटि अलग है: कम प्रतिरोध वाले वर्गों में यह नगण्य है, और उच्च प्रतिरोध वाले वर्गों में यह बहुत बड़ा हो सकता है। इस त्रुटि को समाप्त किया जा सकता है यदि वाल्टमीटर लगातार डिवाइस के संचालन की पूरी अवधि के लिए सर्किट के इस खंड से जुड़ा था (जैसा कि पावर प्लांट पैनल पर), लेकिन यह कई कारणों से नुकसानदेह है।
अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब माप की एक विधि को इंगित करना आम तौर पर मुश्किल होता है जिसमें पद्धति संबंधी त्रुटि शामिल नहीं होती है। उदाहरण के लिए, भट्ठी से रोलिंग मिल तक आने वाले गर्म सिल्लियों का तापमान मापा जाता है। प्रश्न यह है कि तापमान संवेदक (उदाहरण के लिए, एक थर्मोकपल) को कहाँ रखा जाए: रिक्त के नीचे, किनारे पर या रिक्त के ऊपर? हम इसे जहां भी रखेंगे, हम रिक्त शरीर के आंतरिक तापमान को नहीं मापेंगे, अर्थात। हमारे पास एक महत्वपूर्ण कार्यप्रणाली त्रुटि होगी, क्योंकि हम मापते हैं कि क्या आवश्यक है, लेकिन क्या आसान है (इसके केंद्र में थर्मोकपल लगाने के लिए प्रत्येक रिक्त में एक चैनल ड्रिल न करें)।
इस प्रकार, कार्यप्रणाली त्रुटियों की मुख्य विशिष्ट विशेषता यह है कि उन्हें उपकरण के पासपोर्ट में इंगित नहीं किया जा सकता है, लेकिन चयनित माप तकनीक का आयोजन करते समय प्रयोगकर्ता द्वारा स्वयं का मूल्यांकन किया जाना चाहिए, इसलिए उसे वास्तविक के बीच स्पष्ट रूप से अंतर करना चाहिए औसत दर्जे काउन्हें का आकार मापा जाना है।
पढ़ने में त्रुटिगलत रीडिंग से आता है। यह प्रेक्षक की व्यक्तिपरक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, प्रक्षेप त्रुटि, यानी, उपकरण पैमाने पर विभाजन अंशों का गलत पठन) और रीडिंग डिवाइस के प्रकार (उदाहरण के लिए, लंबन त्रुटि) के कारण होता है। डिजिटल माप उपकरणों का उपयोग करते समय कोई गिनती त्रुटियां नहीं होती हैं, जो बाद वाले की आशाजनक प्रकृति के कारणों में से एक है।
स्थापना त्रुटिसामान्य से माप की स्थिति के विचलन के कारण होता है, अर्थात। जिन शर्तों के तहत माप उपकरणों का अंशांकन और सत्यापन किया गया था। इसमें शामिल है, उदाहरण के लिए, तापमान में परिवर्तन, आपूर्ति वोल्टेज और अन्य प्रभावशाली मात्राओं से अंतरिक्ष में डिवाइस की गलत स्थापना या इसके पॉइंटर से शून्य तक त्रुटि।
व्यक्तिगत माप परिणामों और माप उपकरणों दोनों की सटीकता को चिह्नित करने के लिए माना गया प्रकार की त्रुटियां समान रूप से उपयुक्त हैं।

4.3. व्यवस्थित, प्रगतिशील, यादृच्छिक और सकल त्रुटियां

व्यवस्थित माप त्रुटिडीसी माप त्रुटि का घटक है जो समान मान के बार-बार माप के दौरान स्थिर या नियमित रूप से बदलता रहता है।
माप की तैयारी और संचालन के दौरान व्यवस्थित त्रुटियों की घटना के कारणों को आमतौर पर स्थापित किया जा सकता है। ये कारण बहुत विविध हैं: मापने वाले उपकरणों और विधियों की अपूर्णता, माप उपकरण की गलत स्थापना, माप उपकरणों के मानकों पर बाहरी कारकों (मात्रा को प्रभावित करने) का प्रभाव और माप वस्तु पर ही, की कमियां माप विधि (पद्धति संबंधी त्रुटियां), ऑपरेटर की व्यक्तिगत विशेषताएं (व्यक्तिपरक त्रुटियां) और आदि। अभिव्यक्ति की प्रकृति के अनुसार, व्यवस्थित त्रुटियों को स्थिर और परिवर्तनशील में विभाजित किया गया है। स्थिरांक में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, माप के मूल्य को फिट करने में अशुद्धि के कारण त्रुटियां, उपकरण पैमाने का गलत स्नातक, चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के सापेक्ष उपकरण की गलत स्थापना, आदि। परिवर्तनीय व्यवस्थित त्रुटियां माप प्रक्रिया पर मात्रा को प्रभावित करने के प्रभाव के कारण होती हैं और हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, जब डिवाइस के पावर स्रोत का वोल्टेज बदलता है, बाहरी चुंबकीय क्षेत्र, मापा वैकल्पिक वोल्टेज की आवृत्ति इत्यादि। मुख्य व्यवस्थित त्रुटियों की विशेषता यह है कि मात्राओं को प्रभावित करने पर उनकी निर्भरता एक निश्चित कानून के अधीन है। इस कानून का अध्ययन किया जा सकता है, और माप परिणाम को संशोधन करके परिष्कृत किया जा सकता है, यदि इन त्रुटियों के संख्यात्मक मान निर्धारित किए जाते हैं। व्यवस्थित त्रुटियों के प्रभाव को कम करने का एक अन्य तरीका ऐसी माप विधियों का उपयोग करना है जो उनके मूल्यों को निर्धारित किए बिना व्यवस्थित त्रुटियों के प्रभाव को बाहर करना संभव बनाता है (उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन विधि)।
माप परिणाम मापा मात्रा के सही मूल्य के करीब है, शेष गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटियां छोटी हैं। बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटियों की उपस्थिति माप की शुद्धता को निर्धारित करती है, एक गुणवत्ता जो व्यवस्थित त्रुटियों की निकटता को शून्य तक दर्शाती है। माप परिणाम उतना ही सही होगा जितना कि यह व्यवस्थित त्रुटियों से विकृत नहीं होता है, और जितना अधिक सही होगा, ये त्रुटियां उतनी ही छोटी होंगी।
प्रगतिशील(या बहाव) अप्रत्याशित त्रुटियाँ कहलाती हैं जो समय के साथ धीरे-धीरे बदलती हैं। ये त्रुटियां, एक नियम के रूप में, उपकरण के कुछ हिस्सों की उम्र बढ़ने की प्रक्रियाओं (बिजली की आपूर्ति का निर्वहन, प्रतिरोधों की उम्र बढ़ने, कैपेसिटर, यांत्रिक भागों की विकृति, स्व-रिकॉर्डिंग उपकरणों में पेपर टेप का संकोचन, आदि) के कारण होती हैं। प्रगतिशील त्रुटियों की एक विशेषता यह है कि उन्हें केवल एक निश्चित समय पर सुधार शुरू करके ठीक किया जा सकता है, और फिर अप्रत्याशित रूप से फिर से बढ़ सकता है। इसलिए, व्यवस्थित त्रुटियों के विपरीत, जिसे डिवाइस के पूरे सेवा जीवन के लिए एक बार मिले सुधार द्वारा ठीक किया जा सकता है, प्रगतिशील त्रुटियों के लिए सुधार की निरंतर पुनरावृत्ति की आवश्यकता होती है और अधिक बार, उनका अवशिष्ट मूल्य जितना छोटा होना चाहिए। प्रगतिशील त्रुटियों की एक और विशेषता यह है कि समय में उनका परिवर्तन एक गैर-स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया है और इसलिए, स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियाओं के एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत के ढांचे में, उन्हें केवल आरक्षण के साथ वर्णित किया जा सकता है।
यादृच्छिक माप त्रुटिमाप त्रुटि का घटक है, जो एक ही मात्रा के बार-बार माप के दौरान यादृच्छिक रूप से बदलता है। यादृच्छिक त्रुटियों का मूल्य और संकेत निर्धारित नहीं किया जा सकता है; माप परिणाम पर एक दूसरे से स्वतंत्र विभिन्न कारकों के एक साथ प्रभाव के कारण उनके अराजक परिवर्तन के कारण उन्हें सीधे ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। एक ही प्रेक्षक द्वारा समान परिस्थितियों में समान माप उपकरणों द्वारा एक ही मात्रा के कई मापों (इस मामले में, व्यक्तिगत मापों को अवलोकन कहा जाता है) में यादृच्छिक त्रुटियां पाई जाती हैं, अर्थात। समान-सटीक (समान फैलाव) माप पर। माप परिणाम पर यादृच्छिक त्रुटियों के प्रभाव को गणितीय आँकड़ों और संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों द्वारा ध्यान में रखा जाता है।
सकल माप त्रुटियाँ -यादृच्छिक माप त्रुटियाँ दी गई त्रुटि स्थितियों के तहत अपेक्षित अपेक्षा से काफी अधिक हैं।
सकल त्रुटियां (चूक) आमतौर पर उपकरण पर गलत रीडिंग, टिप्पणियों को रिकॉर्ड करने में त्रुटि, अत्यधिक प्रभावित मात्रा की उपस्थिति, माप उपकरणों की खराबी और अन्य कारणों से होती हैं। एक नियम के रूप में, सकल त्रुटियों वाले माप परिणामों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, इसलिए सकल त्रुटियों का माप सटीकता पर बहुत कम प्रभाव पड़ता है। चूक का पता लगाना हमेशा आसान नहीं होता, विशेष रूप से एक माप के साथ; एक बड़ी यादृच्छिक त्रुटि से एक सकल त्रुटि को अलग करना अक्सर मुश्किल होता है। यदि सकल त्रुटियां सामान्य हैं, तो हम सभी माप परिणामों पर संदेह करेंगे। इसलिए, सकल त्रुटियां माप की वैधता को प्रभावित करती हैं।
साधनों और माप परिणामों की त्रुटियों के वर्णित विभाजन के निष्कर्ष में यादृच्छिक, प्रगतिशील और व्यवस्थित घटकों में, इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है कि ऐसा विभाजन उनके विश्लेषण का एक बहुत ही सरल तरीका है। इसलिए, यह हमेशा याद रखना चाहिए कि वास्तव में, त्रुटि के ये घटक एक साथ प्रकट होते हैं और एक एकल गैर-स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया बनाते हैं। इस मामले में, माप परिणाम की त्रुटि को यादृच्छिक और व्यवस्थित डीसी त्रुटियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: डी = डीसी +। माप त्रुटियों में एक यादृच्छिक घटक शामिल होता है, इसलिए इसे एक यादृच्छिक चर माना जाना चाहिए।
माप त्रुटियों की अभिव्यक्ति की प्रकृति पर विचार हमें दिखाता है कि त्रुटियों का मूल्यांकन करने का एकमात्र सही तरीका हमें संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों द्वारा दिया गया है।

4.4. त्रुटियों के विवरण के लिए संभाव्य दृष्टिकोण

यादृच्छिक त्रुटियों के वितरण के नियम।समान मान के माप की श्रृंखला के दौरान यादृच्छिक त्रुटियों का पता लगाया जाता है। इस मामले में, माप परिणाम, एक नियम के रूप में, एक दूसरे के साथ मेल नहीं खाते हैं, क्योंकि कई अलग-अलग कारकों के कुल प्रभाव के कारण जिन्हें ध्यान में नहीं रखा जा सकता है, प्रत्येक नया माप भी मापा मात्रा का एक नया यादृच्छिक मूल्य देता है। सही माप के साथ, उनमें से पर्याप्त संख्या और व्यवस्थित त्रुटियों और चूकों को छोड़कर, यह तर्क दिया जा सकता है कि मापी गई मात्रा का सही मूल्य इन मापों के दौरान प्राप्त मूल्यों से आगे नहीं जाता है। यह तब तक अज्ञात रहता है जब तक यादृच्छिक त्रुटि का सैद्धांतिक रूप से संभावित मूल्य निर्धारित नहीं किया जाता है।
मान लीजिए A का मान मापा जाता है पीसमय और मूल्यों को देखा a1, a2, a3,…,a मैं,...,एक। एकल माप की यादृच्छिक निरपेक्ष त्रुटि अंतर द्वारा निर्धारित की जाती है
दी = ऐ - ए। (4.1)
ग्राफिक रूप से, व्यक्तिगत माप के परिणाम अंजीर में प्रस्तुत किए जाते हैं। 4.2.
पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या के लिए पीवही त्रुटियां, यदि उनके पास कई अलग-अलग मान हैं, दोहराए जाते हैं और इसलिए उनकी घटना की सापेक्ष आवृत्ति (आवृत्ति) स्थापित करना संभव है, यानी। प्राप्त समान डेटा की संख्या का अनुपात मीललिए गए मापों की कुल संख्या के लिए पी।जैसा कि माप जारी है, मात्रा लेकिनयह आवृत्ति नहीं बदलेगी, इसलिए इसे इन मापों में त्रुटि की संभावना माना जा सकता है: पी(ऐ) = मील / एन.

यादृच्छिक त्रुटियों की संभावना की उनके मूल्य पर सांख्यिकीय निर्भरता को कहा जाता है त्रुटि वितरण कानून या संभाव्यता वितरण कानून. यह कानून व्यक्तिगत माप के विभिन्न परिणामों की उपस्थिति की प्रकृति को निर्धारित करता है। वितरण कानूनों के दो प्रकार के विवरण हैं: अभिन्नऔर अंतर.
अभिन्न कानून, या संभाव्यता वितरण समारोहएफ(डी ) यादृच्छिक त्रुटि Di मेंi-वेंअनुभव, वे एक फ़ंक्शन कहते हैं जिसका मूल्य प्रत्येक डी के लिए एक घटना की संभावना है आर(डी), जिसमें यह तथ्य शामिल है कि यादृच्छिक त्रुटि Di कुछ मान D से कम मान लेती है, अर्थात। समारोह एफ(डी ) = पी [डि < डी ]. यह फ़ंक्शन, जब D -¥ से +¥ में बदलता है, 0 से 1 तक मान लेता है और कम नहीं होता है। यह असतत और सतत दोनों सभी यादृच्छिक चरों के लिए मौजूद है (चित्र 4.3 ए)।
यदि एक एफ(डी)एक बिंदु के बारे में सममित लेकिन,संगत प्रायिकता 0.5, तो प्रेक्षण परिणामों का वितरण सही मान के संबंध में सममित होगा लेकिन।इस मामले में, यह सलाह दी जाती है एफ(डी)एब्सिस्सा के साथ मूल्य डीए द्वारा शिफ्ट करें, अर्थात। त्रुटि के व्यवस्थित घटक को बाहर करें (डीए =डीसी)और त्रुटि के यादृच्छिक घटक का वितरण कार्य प्राप्त करें डी =(चित्र 4.3 ख)। त्रुटि संभावना वितरण समारोह डीत्रुटि के यादृच्छिक घटक के संभाव्यता वितरण फलन से केवल भुज अक्ष के अनुदिश त्रुटि के व्यवस्थित घटक के मान से एक बदलाव द्वारा भिन्न होता है डीसी.
अंतर कानून संभाव्यता वितरणएक सतत और अलग-अलग वितरण समारोह के साथ एक यादृच्छिक त्रुटि के लिए एफ(डी)फ़ंक्शन को कॉल करें . यह निर्भरता है संभाव्यता वितरण घनत्वत्रुटि वितरण के नियम के आधार पर संभाव्यता वितरण घनत्व के ग्राफ का एक अलग आकार हो सकता है। के लिए एफ(डी)अंजीर में दिखाया गया है। 4.3 ख, वितरण वक्र एफ(डी)एक घंटी के आकार के करीब एक आकृति है (चित्र 4.3 सी)।
यादृच्छिक त्रुटियों की घटना की संभावना वक्र से घिरे क्षेत्र द्वारा निर्धारित की जाती है एफ(डी)या उसका भाग और x-अक्ष (चित्र 4.3 c)। माना त्रुटि अंतराल के आधार पर .

अर्थ एफ(डी)डीडीएक आधार के साथ एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर एक संभाव्यता तत्व है डीडी औरसूच्याकार आकृति का भुज डी1,डी 2,क्वांटाइल कहा जाता है। जैसा एफ(+¥)= 1, फिर समानता ,
वे। वक्र के नीचे का क्षेत्र एफ(डी)सामान्यीकरण नियम के अनुसार, यह एक के बराबर है और सभी संभावित घटनाओं की संभावना को दर्शाता है।
विद्युत मापन के अभ्यास में, यादृच्छिक त्रुटियों के लिए सबसे आम वितरण कानूनों में से एक है सामान्य कानून(गॉस)।
सामान्य कानून की गणितीय अभिव्यक्ति का रूप है
,
कहाँ पे एफ(डी)- यादृच्छिक त्रुटि की संभावना घनत्व डी = एमैं-ए; एस - मानक विचलन। मानक विचलन को अवलोकन परिणामों के यादृच्छिक विचलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है Di (देखें सूत्र (4.1)):
.
s के दो मानों के लिए इस समीकरण द्वारा वर्णित वक्रों की प्रकृति को अंजीर में दिखाया गया है। 4.4. इन वक्रों से यह देखा जा सकता है कि छोटे s, अधिक बार छोटी यादृच्छिक त्रुटियाँ होती हैं, अर्थात। माप जितना अधिक सटीक होगा। माप के अभ्यास में, अन्य वितरण कानून हैं जिन्हें सांख्यिकीय प्रसंस्करण के आधार पर स्थापित किया जा सकता है।

प्रयोगात्मक डेटा। कुछ सबसे आम वितरण कानून GOST 8.011-84 में दिए गए हैं "माप सटीकता के संकेतक और माप परिणामों की प्रस्तुति के रूप।"
वितरण कानूनों की मुख्य विशेषताएं हैं: अपेक्षित मूल्यऔर फैलाव.
यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाइसका मूल्य है जिसके चारों ओर व्यक्तिगत टिप्पणियों के परिणामों को समूहीकृत किया जाता है। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एम [एक्स]इन मूल्यों की संभावना द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है .
निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, किसी को एकीकरण का सहारा लेना पड़ता है, जिसके लिए संभावना घनत्व की निर्भरता को जानना आवश्यक है एक्स,अर्थात। एफ (एक्स),कहाँ पे एक्स =डी।फिर .
इस अभिव्यक्ति का अर्थ है कि गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों की अनंत संख्या के योग के बराबर है एक्सअतिसूक्ष्म क्षेत्रों पर एफ (एक्स)डीएक्स,कहाँ पे च (एक्स) -प्रत्येक के लिए निर्देशांक एक्स,ए डीएक्स -एक्स-अक्ष के प्राथमिक खंड।
यदि यादृच्छिक त्रुटियों का एक सामान्य वितरण है, तो यादृच्छिक त्रुटि की गणितीय अपेक्षा शून्य है (चित्र। 4.4)। यदि हम परिणामों के सामान्य वितरण पर विचार करते हैं, तो गणितीय अपेक्षा मापी गई मात्रा के सही मूल्य के अनुरूप होगी, जिसे हम निरूपित करते हैं ए।
इस मामले में व्यवस्थित त्रुटि सही मूल्य से अवलोकन परिणामों की गणितीय अपेक्षा का विचलन है लेकिनमापित मान: डीसी = एम [एक्स]-ए, और यादृच्छिक त्रुटि एकल अवलोकन के परिणाम और गणितीय अपेक्षा के बीच का अंतर है: .
अवलोकनों की एक श्रृंखला का फैलाव गणितीय अपेक्षा के आसपास व्यक्तिगत टिप्पणियों के परिणामों के फैलाव (बिखरने) की डिग्री की विशेषता है:
डी[एक्स] =डीएक्स =एम[(ऐ-एमएक्स) 2]।
विचरण जितना छोटा होगा, व्यक्तिगत परिणामों का प्रसार उतना ही छोटा होगा, माप उतने ही सटीक होंगे। हालांकि, मापी गई मात्रा के प्रति वर्ग इकाइयों में फैलाव व्यक्त किया जाता है। इसलिए, अवलोकनों की एक श्रृंखला की सटीकता की विशेषता के रूप में, मानक विचलन (RMS) का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है, जो विचरण के वर्गमूल के बराबर होता है: .
यादृच्छिक त्रुटियों सहित यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण माना जाता है, सैद्धांतिक है, इसलिए वर्णित सामान्य वितरण को "आदर्श" माना जाना चाहिए, अर्थात यादृच्छिक त्रुटियों और माप परिणाम पर उनके प्रभाव का अध्ययन करने के लिए सैद्धांतिक आधार के रूप में।
इसके अलावा, इस वितरण को अलग-अलग सन्निकटन के साथ व्यवहार में लागू करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार की गई है। एक अन्य वितरण (छात्र वितरण) पर भी विचार किया जाता है, जिसका प्रयोग कम संख्या में प्रेक्षणों के लिए किया जाता है।
प्रत्यक्ष माप के परिणामों में त्रुटियों का अनुमान।इसे आयोजित होने दें पीसमान मात्रा का प्रत्यक्ष माप। सामान्य स्थिति में, प्रत्येक माप कार्य में, त्रुटि भिन्न होगी:
डीमैं =ऐ-ए,
जहां Di i-वें माप की त्रुटि है; ऐ-आई-वें माप का परिणाम।
चूँकि मापी गई मात्रा का सही मान एअज्ञात है, यादृच्छिक निरपेक्ष त्रुटि की गणना सीधे नहीं की जा सकती है। व्यावहारिक गणना में, के बजाय एउसके स्कोर का उपयोग करें। आमतौर पर यह माना जाता है कि वास्तविक मूल्य है माप की एक श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य:
. (4.2)
कहाँ पे एमैं-व्यक्तिगत माप के परिणाम; पी -माप की संख्या।
अब, व्यंजक (4.1) के समान, हम औसत मान से प्रत्येक माप के परिणाम का विचलन निर्धारित कर सकते हैं :
(4.3)
कहाँ पे वी मैं- औसत मूल्य से एकल माप के परिणाम का विचलन। यह याद रखना चाहिए कि माध्य मान से माप परिणाम के विचलन का योग शून्य है, और उनके वर्गों का योग न्यूनतम है, अर्थात।
और मि.
गणना की शुद्धता को नियंत्रित करने के लिए माप परिणामों को संसाधित करते समय इन गुणों का उपयोग किया जाता है।
फिर मूल्य अनुमान की गणना करें औसत वर्ग त्रुटिमाप की दी गई श्रृंखला के लिए

. (4.4)
संभाव्यता सिद्धांत के अनुसार, स्वतंत्र यादृच्छिक त्रुटियों के साथ पर्याप्त बड़ी संख्या में माप के लिए, अनुमान एसप्रायिकता में अभिसरण करता है एस।इस प्रकार,

. (4.5)
चूंकि अंकगणित माध्य एक यादृच्छिक चर भी है, अंकगणित माध्य के मानक विचलन की अवधारणा समझ में आती है। यह मान प्रतीक sav द्वारा दर्शाया जाएगा। यह दिखाया जा सकता है कि स्वतंत्र त्रुटियों के लिए
. (4.6)
sav का मान प्रसार की डिग्री को दर्शाता है . जैसा की ऊपर कहा गया है, मापा मूल्य के सही मूल्य के अनुमान के रूप में कार्य करता है, अर्थात। प्रदर्शन किए गए मापों का अंतिम परिणाम है। इसलिए, sav को माप परिणाम की मूल माध्य वर्ग त्रुटि भी कहा जाता है।
व्यवहार में, सूत्र (4.5) द्वारा गणना किए गए s के मान का उपयोग किया जाता है यदि उपयोग की गई माप विधि की सटीकता को चिह्नित करना आवश्यक है: यदि विधि सटीक है, तो व्यक्तिगत माप के परिणामों का बिखराव छोटा है, अर्थात। थोड़ा एस मूल्य . सपा का मूल्य , (4.6) द्वारा परिकलित एक निश्चित मात्रा के माप परिणाम की सटीकता को चिह्नित करने के लिए उपयोग किया जाता है, अर्थात। कई व्यक्तिगत प्रत्यक्ष मापों के परिणामों के गणितीय प्रसंस्करण द्वारा प्राप्त परिणाम।
माप के परिणामों का मूल्यांकन करते समय, कभी-कभी अवधारणा का उपयोग किया जाता है ज्यादा से ज्यादाया अधिकतम अनुमेय त्रुटि,जिसका मूल्य s या S के शेयरों में निर्धारित किया जाता है। वर्तमान में, अधिकतम त्रुटि स्थापित करने के लिए अलग-अलग मानदंड हैं, अर्थात, सहिष्णुता क्षेत्र ±D की सीमाएं, जिसमें यादृच्छिक त्रुटियां फिट होनी चाहिए। अधिकतम त्रुटि D = 3s (या 3 .) की परिभाषा एस) हाल ही में, माप के सूचना सिद्धांत के आधार पर, प्रोफेसर पी.वी. नोवित्स्की ने मान D = 2s का उपयोग करने की अनुशंसा की है।
अब हम महत्वपूर्ण अवधारणाओं का परिचय देते हैं आत्मविश्वास का स्तरऔर विश्वास अंतराल।जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अंकगणितीय माध्य , माप की कुछ श्रृंखलाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया, वास्तविक मूल्य का अनुमान है लेकिनऔर, एक नियम के रूप में, इसके साथ मेल नहीं खाता है, लेकिन त्रुटि के मूल्य से भिन्न होता है। रहने दो रोडएक संभावना है कि से मतभेद होना लेकिनअधिकतम डी, यानी। आर(-डी< लेकिन< + डी)=आरडी. संभावना रोडबुलाया आत्मविश्वास की संभावना,और मापा मूल्य के मूल्यों की सीमा से - डी टू + डी- विश्वास अंतराल।
उपरोक्त असमानताओं का अर्थ है कि प्रायिकता के साथ रोडसे कॉन्फिडेंस इंटरवल - डी टू + डी में सही अर्थ है लेकिन. इस प्रकार, यादृच्छिक त्रुटि को पूरी तरह से चिह्नित करने के लिए, दो संख्याओं का होना आवश्यक है - आत्मविश्वास की संभावना और इसके अनुरूप आत्मविश्वास अंतराल। यदि त्रुटि संभावनाओं का वितरण नियम ज्ञात है, तो विश्वास अंतराल को दिए गए विश्वास स्तर से निर्धारित किया जा सकता है। विशेष रूप से, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप के लिए सामान्य कानून का उपयोग करने के लिए अक्सर उचित होता है, जबकि माप की एक छोटी संख्या के लिए (पी< 20), जिसके परिणाम सामान्य वितरण से संबंधित हैं, छात्र के वितरण का उपयोग किया जाना चाहिए। इस वितरण में एक संभाव्यता घनत्व है जो व्यावहारिक रूप से सामान्य के साथ बड़े के लिए मेल खाता है पी,लेकिन छोटे में सामान्य से काफी अलग पी।
तालिका में। 4.1 छात्र के वितरण की तथाकथित मात्राओं को दर्शाता है ½ टी(एन)½ रोडमाप की संख्या के लिए पी= 2 - 20 और आत्मविश्वास की संभावनाएं आर = 0,5 - 0,999.
हालांकि, हम बताते हैं कि आमतौर पर छात्र की वितरण तालिका मूल्यों के लिए नहीं दी जाती है पीऔर रोड,और मूल्यों के लिए एम =एन-1और ए \u003d 1 - आरडी,उनका उपयोग करते समय क्या विचार करें। विश्वास अंतराल निर्धारित करने के लिए, यह डेटा के लिए आवश्यक है पीऔर रोडमात्रात्मक खोजें ½ टी(एन)½Rd और मानों की गणना करें एक = - एसपी× ½ टी(एन)½Rdi ए वी = + एसपी× ½ टी(एन)½Rd, जो कॉन्फिडेंस इंटरवल की निचली और ऊपरी सीमा होगी।

उपरोक्त पद्धति के अनुसार किसी दिए गए आत्मविश्वास की संभावना के लिए विश्वास अंतराल खोजने के बाद, माप परिणाम को फॉर्म में दर्ज किया जाता है ; डी =दीन¸ डीवी; रोड,
कहाँ पे - मापा मूल्य की इकाइयों में माप परिणाम के सही मूल्य का आकलन; डी - माप त्रुटि; डीडब्ल्यू = + एसपी× ½ टी(एन)½Рд और डीएन = - एसपी× ½ टी(एन)½Rd - माप त्रुटि की ऊपरी और निचली सीमा; आरडी - आत्मविश्वास की संभावना.

तालिका 4.1

	विश्वास के साथ छात्र के वितरण t(n) की मात्राओं का मान संभावनाओं रोड

अप्रत्यक्ष माप के परिणामों में त्रुटियों का आकलन।अप्रत्यक्ष माप के साथ, वांछित मूल्य लेकिनएक या अधिक सीधे मापी गई मात्राओं से कार्यात्मक रूप से संबंधित: एक्स,आप,..., टी. एक चर के लिए त्रुटि निर्धारित करने के सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब ए= एफ(एक्स). मात्रा की निरपेक्ष माप त्रुटि को नकारना एक्स±Dx से हमें प्राप्त होता है ए+डी ए= एफ (एक्स ±डी एक्स)।
इस समानता के दाहिने हाथ को एक टेलर श्रृंखला में विस्तारित करना और पहले की तुलना में उच्च शक्ति के लिए डीएक्स युक्त विस्तार शर्तों की उपेक्षा करना, हम प्राप्त करते हैं
ए + डीए »एफ (एक्स) ± डीएक्स या डीए » ± डीएक्स।
फ़ंक्शन की सापेक्ष माप त्रुटि अभिव्यक्ति से निर्धारित होती है
.
यदि मापा मूल्य लेकिनकई चर का एक कार्य है: ए =एफ(एक्स,वाई,...,टी),तो अप्रत्यक्ष माप के परिणाम की पूर्ण त्रुटि
.
अप्रत्यक्ष माप की आंशिक सापेक्ष त्रुटियां सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती हैं ; आदि। माप परिणाम की सापेक्ष त्रुटि
.
आइए हम यादृच्छिक त्रुटि की उपस्थिति में अप्रत्यक्ष माप के परिणाम का अनुमान लगाने की विशेषताओं पर भी ध्यान दें।
मात्रा के अप्रत्यक्ष माप के परिणामों की यादृच्छिक त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए लेकिनहम मान लेंगे कि मात्राओं के मापन में व्यवस्थित त्रुटियाँ एक्स, वाई,…, टीको बाहर रखा गया है, और समान मात्राओं के मापन में यादृच्छिक त्रुटियाँ एक दूसरे पर निर्भर नहीं करती हैं।
अप्रत्यक्ष माप के साथ, मापी गई मात्रा का मान सूत्र द्वारा पाया जाता है ,
मात्राओं का औसत या भारित औसत मान कहाँ हैं एक्स, वाई,…, टी।
मापा मूल्य के मानक विचलन की गणना करने के लिए लेकिनमाप के दौरान प्राप्त मानक विचलन का उपयोग करना उचित है एक्स, वाई,…, टी।
सामान्य शब्दों में, एक अप्रत्यक्ष माप के मानक विचलन को निर्धारित करने के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:
, (4.7)
कहाँ पे डीएक्स;उप;…;डीटी-अप्रत्यक्ष माप की तथाकथित आंशिक त्रुटियां ; ; …; ; ; ; … ; — आंशिक अवकलज लेकिनपर एक्स, वाई,…, टी;एसएक्स; एसवाई,…,अनुसूचित जनजाति, …-माप परिणामों के मानक विचलन एक्स, वाई,…, टी।
आइए हम समीकरण (4.7) को लागू करने के कुछ विशेष मामलों पर विचार करें, जब अप्रत्यक्ष और प्रत्यक्ष रूप से मापी गई मात्राओं के बीच कार्यात्मक निर्भरता सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है ए =क× एक्सए× आपबी× जेडजी ,कहाँ पे क-संख्यात्मक गुणांक (आयाम रहित)।
इस मामले में, सूत्र (4.7) निम्नलिखित रूप लेता है:
.
यदि एक ए =ख =जी = 1और ए =क× एक्स× आप× जेड,तब सापेक्ष त्रुटि सूत्र को फॉर्म में सरल बनाया जाता है .
यह सूत्र लागू होता है, उदाहरण के लिए, एक घनाभ टैंक की ऊंचाई, चौड़ाई और गहराई माप से आयतन माप के मानक विचलन की गणना करने के लिए।

4.5. यादृच्छिक और व्यवस्थित त्रुटियों के योग के नियम
जटिल माप उपकरणों की त्रुटि इसके व्यक्तिगत नोड्स (ब्लॉक) की त्रुटियों पर निर्भर करती है। कुछ नियमों के अनुसार त्रुटियों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है।
मान लीजिए, उदाहरण के लिए, मापने वाले उपकरण में शामिल हैं एमब्लॉक, जिनमें से प्रत्येक में स्वतंत्र यादृच्छिक त्रुटियां हैं। इसी समय, मूल-माध्य-वर्ग sk या अधिकतम का निरपेक्ष मान एमकप्रत्येक ब्लॉक के लिए त्रुटि।
अंकगणित योग या डिवाइस की अधिकतम त्रुटि देता है, जिसकी एक नगण्य संभावना है और इसलिए इसे पूरी तरह से डिवाइस की सटीकता का आकलन करने के लिए शायद ही कभी उपयोग किया जाता है। त्रुटियों के सिद्धांत के अनुसार, परिणामी त्रुटि sres और मेरेज़ूद्विघात जोड़ द्वारा निर्धारित या .
परिणामी सापेक्ष माप त्रुटि इसी तरह निर्धारित की जाती है: . (4.8)
किसी दिए गए कुल माप त्रुटि के साथ विकास के तहत उपकरणों के अलग-अलग ब्लॉकों की अनुमेय त्रुटियों को निर्धारित करने के लिए समीकरण (4.8) का उपयोग किया जा सकता है। एक उपकरण को डिजाइन करते समय, उन्हें आमतौर पर इसमें शामिल अलग-अलग ब्लॉकों के लिए समान त्रुटियां दी जाती हैं। यदि त्रुटियों के कई स्रोत हैं जो माप के अंतिम परिणाम को अलग तरह से प्रभावित करते हैं (या डिवाइस में अलग-अलग त्रुटियों वाले कई ब्लॉक होते हैं), तो वेटिंग कारकों को सूत्र (4.8) में पेश किया जाना चाहिए। किओ :
, (4.9)
जहाँ d1, d2,…, dm मापक यंत्र की अलग-अलग इकाइयों (ब्लॉकों) की सापेक्ष त्रुटियाँ हैं; के1,के2,… ,किमी- गुणांक जो माप परिणाम पर इस ब्लॉक की यादृच्छिक त्रुटि के प्रभाव की डिग्री को ध्यान में रखते हैं।
यदि मापने वाले उपकरण (या उसके ब्लॉक) में भी व्यवस्थित त्रुटियां हैं, तो कुल त्रुटि उनके योग से निर्धारित होती है: बड़ी संख्या में घटकों के लिए एक ही दृष्टिकोण मान्य है।
आंशिक त्रुटियों के प्रभाव का मूल्यांकन करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि माप की सटीकता मुख्य रूप से उन त्रुटियों पर निर्भर करती है जो पूर्ण मूल्य में बड़ी हैं, और कुछ छोटी त्रुटियों को बिल्कुल भी अनदेखा किया जा सकता है। तथाकथित के आधार पर आंशिक त्रुटि का अनुमान लगाया जाता है नगण्य त्रुटि की कसौटी,जो इस प्रकार है। आइए मान लें कि कुल त्रुटि dres सभी को ध्यान में रखते हुए सूत्र (4.8) द्वारा निर्धारित की जाती है एमआंशिक त्रुटियाँ, जिनमें से कुछ त्रुटि di का मान छोटा है। यदि कुल त्रुटि d¢res, त्रुटि di को ध्यान में रखे बिना गणना की जाती है, तो dres से 5% से अधिक नहीं होती है, अर्थात। ड्रेज़-डेरेज़ो< 0,05×dрез или 0,95×dрезतकनीकी गणना के अभ्यास में, एक कम कठोर मानदंड का अक्सर उपयोग किया जाता है - इन सूत्रों में 0.4 का गुणांक पेश किया जाता है।

4.6. माप परिणामों की प्रस्तुति के रूप

किसी माप का परिणाम तभी मूल्यवान होता है जब उसके अनिश्चितता अंतराल का अनुमान लगाया जा सकता है, अर्थात। विश्वसनीयता की डिग्री। इसलिए, माप परिणाम में मापी गई मात्रा का मान और इस मान की सटीकता की विशेषताएं शामिल होनी चाहिए, जो व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियां हैं। त्रुटियों के मात्रात्मक संकेतक, उनकी अभिव्यक्ति के तरीके, साथ ही माप परिणामों की प्रस्तुति के रूपों को GOST 8.011-72 "माप सटीकता के संकेतक और माप परिणामों की प्रस्तुति के रूपों" द्वारा नियंत्रित किया जाता है। आइए माप परिणामों की प्रस्तुति के मुख्य रूपों पर विचार करें।
प्रत्यक्ष एकल माप के परिणाम की त्रुटि कई कारकों पर निर्भर करती है, लेकिन मुख्य रूप से उपयोग किए गए माप उपकरणों की त्रुटि से निर्धारित होती है। इसलिए, पहले सन्निकटन में, माप परिणाम की त्रुटि के बराबर लिया जा सकता है
त्रुटि, जो माप सीमा में दिए गए बिंदु पर प्रयुक्त माप उपकरण की विशेषता है।
माप उपकरणों की त्रुटियां माप की सीमा में भिन्न होती हैं। इसलिए, प्रत्येक मामले में, प्रत्येक माप के लिए, संबंधित माप उपकरण की त्रुटि को सामान्य करने के सूत्रों (3.19) - (3.21) का उपयोग करके माप परिणाम की त्रुटि की गणना करना आवश्यक है। माप परिणाम की पूर्ण और सापेक्ष दोनों त्रुटियों की गणना की जानी चाहिए, क्योंकि उनमें से पहले परिणाम को गोल करने और इसकी सही रिकॉर्डिंग के लिए आवश्यक है, और दूसरा इसकी सटीकता की एक स्पष्ट तुलनात्मक विशेषता के लिए आवश्यक है।
एसआई त्रुटि सामान्यीकरण की विभिन्न विशेषताओं के लिए, ये गणना अलग-अलग तरीकों से की जाती है, इसलिए हम तीन विशिष्ट मामलों पर विचार करेंगे।
1. डिवाइस के वर्ग को एकल संख्या के रूप में दर्शाया गया है क्यू,एक घेरे में बंद। तब परिणाम की सापेक्ष त्रुटि (प्रतिशत में) g = क्यू,और इसकी पूर्ण त्रुटि D एक्स =क्यू× एक्स/ 100.
2. डिवाइस के वर्ग को एक नंबर द्वारा दर्शाया गया है पी(कोई सर्कल नहीं)। तब माप परिणाम की पूर्ण त्रुटि डी एक्स =पी× एक्सके / 100 जहां एक्सक- माप सीमा जिस पर इसे किया गया था, और सापेक्ष माप त्रुटि (प्रतिशत में) सूत्र द्वारा पाई जाती है ,
यानी इस मामले में, मापते समय, मापे गए मान को पढ़ने के अलावा एक्सनिश्चित होना चाहिए और माप की सीमा एक्सक ,अन्यथा, बाद में परिणाम की त्रुटि की गणना करना संभव नहीं होगा।
3. डिवाइस क्लास को फॉर्म में दो नंबरों द्वारा दर्शाया गया है सी/डी. इस मामले में, सापेक्ष त्रुटि की गणना करना अधिक सुविधाजनक है डीसूत्र द्वारा परिणाम (3.21), और उसके बाद ही निरपेक्ष त्रुटि का पता लगाएं डीएक्स =डी× एक्स/100.
त्रुटि की गणना करने के बाद, माप परिणाम प्रस्तुत करने के लिए निम्न रूपों में से एक का उपयोग निम्न रूप में किया जाता है: एक्स;± डीऔर डी, कहाँ पे एक्स- मापित मान; डी- पूर्ण माप त्रुटि; डी-सापेक्ष माप त्रुटि। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि की जाती है: "माप एक सापेक्ष त्रुटि के साथ किया गया था" डी= …%। मापित मान एक्स = (ए± डी), कहाँ पे लेकिन- माप परिणाम।
हालांकि, फॉर्म में मापा मूल्य के अनिश्चितता अंतराल की सीमाओं को इंगित करना अधिक स्पष्ट है: एक्स = (ए-डी)¸(ए+डी)या (ए-डी)< х < (ए+डी)माप की इकाइयों का संकेत।
माप परिणाम की प्रस्तुति का दूसरा रूप निम्नानुसार निर्धारित किया गया है: एक्स; डीसे दीनइससे पहले डीवी; आर,कहाँ पे एक्स- मापा मूल्य की इकाइयों में माप परिणाम; डी,डीएन,डीवी- क्रमशः, एक ही इकाइयों में इसकी निचली और ऊपरी सीमाओं के साथ माप त्रुटि; आर- संभावना जिसके साथ माप त्रुटि इन सीमाओं के भीतर है।
GOST 8.011-72 माप परिणामों की प्रस्तुति के अन्य रूपों की भी अनुमति देता है, जो उपरोक्त रूपों से भिन्न होते हैं, जिसमें वे माप त्रुटि के व्यवस्थित और यादृच्छिक घटकों की विशेषताओं को अलग से इंगित करते हैं। उसी समय, व्यवस्थित त्रुटि के लिए, इसकी संभाव्य विशेषताओं का संकेत दिया जाता है। इस मामले में, व्यवस्थित त्रुटि की मुख्य विशेषताएं गणितीय अपेक्षा M . हैं [ डीएक्ससी], मानक विचलन[ डीएक्ससी] और इसका कॉन्फिडेंस इंटरवल। त्रुटि के व्यवस्थित और यादृच्छिक घटकों को अलग करना उचित है यदि माप परिणाम का उपयोग आगे डेटा प्रोसेसिंग में किया जाएगा, उदाहरण के लिए, अप्रत्यक्ष माप के परिणाम को निर्धारित करने और इसकी सटीकता का आकलन करने, त्रुटियों को संक्षेप में आदि में।

GOST 8.011-72 द्वारा प्रदान किए गए माप परिणाम की प्रस्तुति के किसी भी रूप में आवश्यक डेटा होना चाहिए, जिसके आधार पर माप परिणाम की त्रुटि के लिए आत्मविश्वास अंतराल निर्धारित किया जा सकता है। सामान्य स्थिति में, एक विश्वास अंतराल स्थापित किया जा सकता है यदि त्रुटि वितरण कानून के रूप और इस कानून की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं को जाना जाता है।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि

त्रुटियों के सिद्धांत के तत्व

सटीक और अनुमानित संख्या

जब पूर्णांक डेटा मानों (2 पेंसिल, 100 पेड़) की बात आती है तो संख्या की सटीकता आमतौर पर संदेह से परे होती है। हालांकि, ज्यादातर मामलों में, जब किसी संख्या के सटीक मूल्य को इंगित करना असंभव होता है (उदाहरण के लिए, जब एक शासक के साथ किसी वस्तु को मापना, किसी उपकरण से परिणाम लेना, आदि), हम अनुमानित डेटा के साथ काम कर रहे हैं।

एक अनुमानित मान एक संख्या है जो सटीक मान से थोड़ा भिन्न होता है और इसे गणनाओं में बदल देता है। किसी संख्या के अनुमानित मान और उसके सटीक मान के बीच अंतर की डिग्री की विशेषता है त्रुटि .

त्रुटियों के निम्नलिखित मुख्य स्रोत हैं:

1. समस्या के निरूपण में त्रुटियाँगणित के संदर्भ में एक वास्तविक घटना के अनुमानित विवरण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है।

2. विधि की त्रुटियांसमस्या को हल करने में कठिनाई या असंभवता से जुड़ा हुआ है और इसे एक समान के साथ बदल रहा है, ताकि आप एक प्रसिद्ध और सुलभ समाधान विधि को लागू कर सकें और वांछित के करीब परिणाम प्राप्त कर सकें।

3. घातक त्रुटियां, प्रारंभिक डेटा के अनुमानित मूल्यों और अनुमानित संख्याओं पर गणना के प्रदर्शन के कारण जुड़ा हुआ है।

4. गोलाई त्रुटिकम्प्यूटेशनल टूल के उपयोग से प्राप्त प्रारंभिक डेटा, मध्यवर्ती और अंतिम परिणामों के मानों के पूर्णांकन से संबंधित है।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि

त्रुटियों के लिए लेखांकन संख्यात्मक विधियों के अनुप्रयोग का एक महत्वपूर्ण पहलू है, क्योंकि संपूर्ण समस्या को हल करने के अंतिम परिणाम की त्रुटि सभी प्रकार की त्रुटियों की बातचीत का उत्पाद है। इसलिए, त्रुटियों के सिद्धांत के मुख्य कार्यों में से एक प्रारंभिक डेटा की सटीकता के आधार पर परिणाम की सटीकता का अनुमान लगाना है।

यदि एक सटीक संख्या है और इसका अनुमानित मूल्य है, तो अनुमानित मूल्य की त्रुटि (त्रुटि) इसके मूल्य के सटीक मूल्य के निकटता की डिग्री है।

त्रुटि का सबसे सरल मात्रात्मक माप निरपेक्ष त्रुटि है, जिसे परिभाषित किया गया है:

(1.1.2-1)

जैसा कि सूत्र 1.1.2-1 से देखा जा सकता है, निरपेक्ष त्रुटि में माप की इकाइयाँ मान के समान होती हैं। इसलिए, निरपेक्ष त्रुटि के परिमाण से, सन्निकटन की गुणवत्ता के बारे में एक सही निष्कर्ष निकालना हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि , और हम बात कर रहे हैं एक मशीन के पुर्जे की, तो माप बहुत मोटे होते हैं, और अगर हम बर्तन के आकार के बारे में बात कर रहे हैं, तो वे बहुत सटीक हैं। इस संबंध में, सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा पेश की जाती है, जिसमें निरपेक्ष त्रुटि का मान अनुमानित मान के मापांक से संबंधित होता है ( ).

(1.1.2-2)

सापेक्ष त्रुटियों का उपयोग सुविधाजनक है, विशेष रूप से, क्योंकि वे मूल्यों और डेटा इकाइयों के पैमाने पर निर्भर नहीं करते हैं। सापेक्ष त्रुटि को भिन्न या प्रतिशत में मापा जाता है। तो, उदाहरण के लिए, अगर

,ए , तब , और अगर और ,

तो फिर .

किसी फ़ंक्शन की त्रुटि का संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन करने के लिए, आपको क्रियाओं की त्रुटि की गणना के लिए बुनियादी नियमों को जानना होगा:

· संख्याओं को जोड़ने और घटाने पर संख्याओं की निरपेक्ष त्रुटियाँ जोड़ देती हैं

· संख्याओं को गुणा और विभाजित करते समय उनकी सापेक्ष त्रुटियाँ एक दूसरे के ऊपर खड़ी हैं

· जब एक अनुमानित संख्या की शक्ति के लिए उठाया जाता है इसकी सापेक्ष त्रुटि को घातांक से गुणा किया जाता है

उदाहरण 1.1.2-1। एक समारोह दिया: . मान की निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों का पता लगाएं (अंकगणितीय संचालन करने के परिणाम की त्रुटि), यदि मान ज्ञात हैं, और 1 एक सटीक संख्या है और इसकी त्रुटि शून्य है।

इस प्रकार सापेक्ष त्रुटि का मान निर्धारित करने के बाद, कोई व्यक्ति निरपेक्ष त्रुटि का मान इस प्रकार पा सकता है: , जहां मूल्य की गणना अनुमानित मूल्यों के सूत्र द्वारा की जाती है

चूंकि मात्रा का सटीक मूल्य आमतौर पर अज्ञात होता है, गणना और उपरोक्त सूत्रों के अनुसार असंभव है। इसलिए, व्यवहार में, प्रपत्र की सीमांत त्रुटियों का मूल्यांकन किया जाता है:

(1.1.2-3)

कहाँ पे और - ज्ञात मान, जो निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों की ऊपरी सीमाएँ हैं, अन्यथा उन्हें कहा जाता है - सीमित निरपेक्ष और सीमित सापेक्ष त्रुटियाँ। इस प्रकार, सटीक मूल्य भीतर है:

यदि मान जाना जाता है, तो , और यदि मान ज्ञात है , तब

हमारे युग में, मनुष्य ने विभिन्न माप उपकरणों की एक विशाल विविधता का आविष्कार और उपयोग किया है। लेकिन उनके निर्माण की तकनीक कितनी भी सही क्यों न हो, उन सभी में कम या ज्यादा त्रुटि होती है। यह पैरामीटर, एक नियम के रूप में, उपकरण पर ही इंगित किया जाता है, और निर्धारित किए जा रहे मूल्य की सटीकता का आकलन करने के लिए, किसी को यह समझने में सक्षम होना चाहिए कि अंकन पर इंगित संख्याओं का क्या मतलब है। इसके अलावा, जटिल गणितीय गणनाओं में सापेक्ष और पूर्ण त्रुटियां अनिवार्य रूप से उत्पन्न होती हैं। इसका व्यापक रूप से सांख्यिकी, उद्योग (गुणवत्ता नियंत्रण) और कई अन्य क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। इस मूल्य की गणना कैसे की जाती है और इसके मूल्य की व्याख्या कैसे की जाती है - इस लेख में ठीक यही चर्चा की जाएगी।

पूर्ण त्रुटि

आइए हम x द्वारा प्राप्त मात्रा के अनुमानित मूल्य को निरूपित करें, उदाहरण के लिए, एकल माप के माध्यम से, और x 0 द्वारा इसका सटीक मान। अब आइए इन दो संख्याओं के बीच अंतर के मापांक की गणना करें। निरपेक्ष त्रुटि ठीक वह मान है जो हमें इस सरल ऑपरेशन के परिणामस्वरूप मिला है। सूत्रों की भाषा में व्यक्त इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x = | एक्स - एक्स0 |.

रिश्तेदारों की गलती

निरपेक्ष विचलन का एक महत्वपूर्ण दोष है - यह हमें त्रुटि के महत्व की डिग्री का आकलन करने की अनुमति नहीं देता है। उदाहरण के लिए, हम बाजार में 5 किलो आलू खरीदते हैं, और एक बेईमान विक्रेता ने वजन मापते समय अपने पक्ष में 50 ग्राम की गलती की। यानी निरपेक्ष त्रुटि 50 ग्राम थी। हमारे लिए, इस तरह की चूक एक छोटी सी बात होगी और हम इस पर ध्यान भी नहीं देंगे। कल्पना कीजिए कि अगर दवा बनाने में भी ऐसी ही गलती हो जाए तो क्या होगा? यहां सब कुछ बहुत अधिक गंभीर होगा। और एक मालवाहक कार लोड करते समय, विचलन इस मूल्य से बहुत अधिक होने की संभावना है। इसलिए, पूर्ण त्रुटि ही बहुत जानकारीपूर्ण नहीं है। इसके अलावा, अक्सर, एक सापेक्ष विचलन की अतिरिक्त गणना की जाती है, जो पूर्ण त्रुटि के अनुपात के बराबर संख्या के सटीक मान के बराबर होती है। यह निम्न सूत्र में लिखा गया है: = x / x 0 ।

त्रुटि गुण

मान लीजिए कि हमारे पास दो स्वतंत्र मात्राएँ हैं: x और y। हमें उनके योग के अनुमानित मूल्य के विचलन की गणना करने की आवश्यकता है। इस मामले में, हम निरपेक्ष त्रुटि की गणना उनमें से प्रत्येक के पूर्व-परिकलित निरपेक्ष विचलन के योग के रूप में कर सकते हैं। कुछ मापों में, ऐसा हो सकता है कि x और y मान निर्धारित करने में त्रुटियाँ एक दूसरे को रद्द कर दें। और यह भी हो सकता है कि जोड़ के परिणामस्वरूप विचलन जितना संभव हो उतना बढ़ जाएगा। इसलिए, कुल पूर्ण त्रुटि की गणना करते समय, सबसे खराब स्थिति को ध्यान में रखा जाना चाहिए। कई मानों के त्रुटि अंतर के लिए भी यही सच है। यह गुण केवल पूर्ण त्रुटि के लिए विशेषता है, और इसे सापेक्ष विचलन पर लागू नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह अनिवार्य रूप से गलत परिणाम देगा। आइए निम्नलिखित उदाहरण में इस स्थिति पर विचार करें।

मान लीजिए कि सिलेंडर के अंदर माप से पता चला है कि आंतरिक त्रिज्या (आर 1) 97 मिमी है, और बाहरी एक (आर 2) 100 मिमी है। इसकी दीवार की मोटाई निर्धारित करना आवश्यक है। सबसे पहले, अंतर खोजें: एच \u003d आर 2 - आर 1 \u003d 3 मिमी। यदि कार्य इंगित नहीं करता है कि पूर्ण त्रुटि किसके बराबर है, तो इसे मापने वाले उपकरण के आधे पैमाने के विभाजन के रूप में लिया जाता है। इस प्रकार, (आर 2) \u003d (आर 1) \u003d 0.5 मिमी। कुल निरपेक्ष त्रुटि है: Δ(h) = Δ(R 2) + (R 1) = 1 मिमी। अब हम सभी राशियों के सापेक्ष विचलन की गणना करते हैं:

(आर 1) \u003d 0.5 / 100 \u003d 0.005,

(आर 1) \u003d 0.5 / 97 0.0052,

(एच) = Δ(एच)/एच = 1/3 ≈ 0.3333>> (आर 1)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों त्रिज्याओं को मापने में त्रुटि 5.2% से अधिक नहीं है, और उनके अंतर की गणना में त्रुटि - सिलेंडर की दीवार की मोटाई - जितनी 33.(3)% थी!

निम्नलिखित गुण कहता है: कई संख्याओं के गुणनफल का सापेक्ष विचलन व्यक्तिगत कारकों के सापेक्ष विचलन के योग के लगभग बराबर होता है:

(xy) (x) + (y)।

इसके अलावा, अनुमानित मूल्यों की संख्या की परवाह किए बिना यह नियम सही है। सापेक्ष त्रुटि का तीसरा और अंतिम गुण यह है कि kth डिग्री की संख्या का सापेक्ष अनुमान लगभग | . में होता है कश्मीर | मूल संख्या की सापेक्ष त्रुटि से कई गुना अधिक।