कोई भी पूर्ण द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0दिमाग में लाया जा सकता है एक्स 2 + (बी/ए) एक्स + (सी/ए) = 0, यदि हम पहले प्रत्येक पद को गुणांक a से विभाजित करते हैं x2. और अगर हम नए नोटेशन पेश करते हैं (बी/ए) = पीऔर (सी/ए) = क्यू, तो हमारे पास समीकरण होगा एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0, जिसे गणित में कहा जाता है कम द्विघात समीकरण.
कम द्विघात समीकरण की जड़ें और गुणांक पीऔर क्यूआपस में जुड़ा हुआ। यह पुष्टि की जाती है विएटा का प्रमेय, फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा के नाम पर, जो 16 वीं शताब्दी के अंत में रहते थे।
प्रमेय. घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0दूसरे गुणांक के बराबर पी, विपरीत चिन्ह के साथ लिया जाता है, और जड़ों का गुणनफल - मुक्त पद के लिए क्यू.
हम इन अनुपातों को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:
रहने दो एक्स 1और x2कम समीकरण की विभिन्न जड़ें एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0. विएटा के प्रमेय के अनुसार x1 + x2 = -pऔर एक्स 1 एक्स 2 = क्यू.
इसे सिद्ध करने के लिए, आइए समीकरण में प्रत्येक मूल x 1 और x 2 को प्रतिस्थापित करें। हमें दो सच्ची समानताएँ मिलती हैं:
एक्स 1 2 + पीएक्स 1 + क्यू = 0
एक्स 2 2 + पीएक्स 2 + क्यू = 0
पहली समानता से दूसरे को घटाएं। हम पाते हैं: 
x 1 2 - x 2 2 + p(x 1 - x 2) = 0
हम वर्ग सूत्र के अंतर के अनुसार पहले दो पदों का विस्तार करते हैं:
(एक्स 1 - एक्स 2) (एक्स 1 - एक्स 2) + पी (एक्स 1 - एक्स 2) = 0
शर्त के अनुसार, मूल x 1 और x 2 भिन्न हैं। इसलिए, हम समानता को (x 1 - x 2) ≠ 0 से कम कर सकते हैं और p व्यक्त कर सकते हैं।
(एक्स 1 + एक्स 2) + पी = 0;
(एक्स 1 + एक्स 2) = -पी।
पहली समानता सिद्ध होती है।
दूसरी समानता को सिद्ध करने के लिए, हम पहले समीकरण को प्रतिस्थापित करते हैं
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 गुणांक p के बजाय, इसकी समान संख्या (x 1 + x 2) है:
एक्स 1 2 - (एक्स 1 + एक्स 2) एक्स 1 + क्यू \u003d 0
समीकरण के बाएँ पक्ष को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:
एक्स 1 2 - एक्स 2 2 - एक्स 1 एक्स 2 + क्यू \u003d 0;
x 1 x 2 = q, जिसे सिद्ध किया जाना था।
विएटा का प्रमेय अच्छा है क्योंकि, द्विघात समीकरण की जड़ों को जाने बिना भी, हम उनके योग और गुणनफल की गणना कर सकते हैं .
Vieta की प्रमेय दिए गए द्विघात समीकरण की पूर्णांक जड़ों को निर्धारित करने में मदद करती है। लेकिन कई छात्रों के लिए, यह इस तथ्य के कारण कठिनाइयों का कारण बनता है कि वे कार्रवाई के स्पष्ट एल्गोरिदम को नहीं जानते हैं, खासकर अगर समीकरण की जड़ों में अलग-अलग संकेत होते हैं।
तो, दिए गए द्विघात समीकरण का रूप x 2 + px + q \u003d 0 है, जहाँ x 1 और x 2 इसके मूल हैं। वियत प्रमेय के अनुसार x 1 + x 2 = -p और x 1 x 2 = q.
हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं:.
यदि समीकरण में अंतिम पद ऋण चिह्न से पहले आता है, तो मूल x 1 और x 2 के अलग-अलग चिह्न होते हैं। इसके अलावा, छोटे मूल का चिह्न समीकरण में दूसरे गुणांक के चिह्न के समान है।
इस तथ्य के आधार पर कि विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को जोड़ते समय, उनके मॉड्यूल घटाए जाते हैं, और परिणाम के सामने मापांक में बड़ी संख्या का चिन्ह रखा जाता है, आपको निम्नानुसार आगे बढ़ना चाहिए:
- संख्या q के ऐसे गुणनखंड ज्ञात कीजिए ताकि उनका अंतर संख्या p के बराबर हो;
- प्राप्त संख्याओं में से छोटी संख्या के सामने समीकरण के दूसरे गुणांक का चिह्न लगाएं; दूसरी जड़ का विपरीत चिन्ह होगा।
आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1.
समीकरण x 2 - 2x - 15 = 0 को हल कीजिए।
फेसला.
आइए ऊपर प्रस्तावित नियमों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें। तब हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि इस समीकरण के दो भिन्न मूल होंगे, क्योंकि डी \u003d बी 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
अब, संख्या 15 (1 और 15, 3 और 5) के सभी गुणनखंडों में से, हम उन्हें चुनते हैं जिनका अंतर 2 के बराबर है। ये संख्याएँ 3 और 5 होंगी। हम छोटी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं। , अर्थात। समीकरण के दूसरे गुणांक का चिह्न। इस प्रकार, हमें समीकरण x 1 \u003d -3 और x 2 \u003d 5 की जड़ें मिलती हैं।
जवाब। x 1 = -3 और x 2 = 5।
उदाहरण 2.
समीकरण x 2 + 5x - 6 = 0 को हल कीजिए।
फेसला.
आइए देखें कि क्या इस समीकरण की जड़ें हैं। ऐसा करने के लिए, हम विवेचक पाते हैं:
डी \u003d बी 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं।
संख्या 6 के संभावित गुणनखंड 2 और 3, 6 और 1 हैं। अंतर 6 और 1 के एक जोड़े के लिए 5 है। इस उदाहरण में, दूसरे पद के गुणांक में धन का चिह्न है, इसलिए छोटी संख्या का होगा एक ही चिन्ह। लेकिन दूसरे नंबर से पहले माइनस साइन होगा।
उत्तर: x 1 = -6 और x 2 = 1।
Vieta के प्रमेय को पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए भी लिखा जा सकता है। अतः यदि द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0जड़ें x 1 और x 2 हैं, तो वे समानता को संतुष्ट करते हैं
एक्स 1 + एक्स 2 = -(बी/ए)और एक्स 1 एक्स 2 = (सी/ए). हालाँकि, पूर्ण द्विघात समीकरण में इस प्रमेय का अनुप्रयोग बल्कि समस्याग्रस्त है, क्योंकि यदि जड़ें हैं, तो उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक संख्या है। और भिन्नों के चयन के साथ कार्य करना काफी कठिन है। लेकिन अभी भी एक रास्ता है।
पूर्ण द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 पर विचार करें। इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणांक a से गुणा करें। समीकरण (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 का रूप लेगा। अब आइए एक नए चर का परिचय दें, उदाहरण के लिए t = ax।
इस मामले में, परिणामी समीकरण t 2 + bt + ac = 0 के रूप में कम द्विघात समीकरण में बदल जाएगा, जिसके मूल t 1 और t 2 (यदि कोई हो) को Vieta प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।
इस स्थिति में, मूल द्विघात समीकरण के मूल होंगे
एक्स 1 = (टी 1 / ए) और एक्स 2 = (टी 2 / ए)।
उदाहरण 3.
समीकरण 15x 2 - 11x + 2 = 0 को हल करें।
फेसला.
हम एक सहायक समीकरण बनाते हैं। आइए समीकरण के प्रत्येक पद को 15 से गुणा करें:
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
हम परिवर्तन t = 15x करते हैं। हमारे पास है:
टी 2 - 11टी + 30 = 0.
वियत प्रमेय के अनुसार, इस समीकरण के मूल t 1 = 5 और t 2 = 6 होंगे।
हम प्रतिस्थापन t = 15x पर लौटते हैं:
5 = 15x या 6 = 15x। इस प्रकार x 1 = 5/15 और x 2 = 6/15। हम कम करते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त करते हैं: x 1 = 1/3 और x 2 = 2/5।
जवाब। x 1 = 1/3 और x 2 = 2/5।
वियत प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों के समाधान में महारत हासिल करने के लिए, छात्रों को यथासंभव अभ्यास करने की आवश्यकता है। ठीक यही सफलता का रहस्य है।
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द्विघात समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक अनुप्रयोग है VIETA सूत्र, जिसका नाम फ्रेंकोइस वियत के नाम पर रखा गया था।
वह एक प्रसिद्ध वकील थे, और 16 वीं शताब्दी में फ्रांसीसी राजा के साथ सेवा की। अपने खाली समय में उन्होंने खगोल विज्ञान और गणित का अध्ययन किया। उन्होंने द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित किया।
सूत्र के लाभ:
1 . सूत्र को लागू करके, आप जल्दी से समाधान पा सकते हैं। क्योंकि आपको वर्ग में दूसरा गुणांक दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है, फिर उसमें से 4ac घटाएं, विवेचक खोजें, इसके मान को मूल खोजने के लिए सूत्र में बदलें।
2 . समाधान के बिना, आप जड़ों के संकेतों को निर्धारित कर सकते हैं, जड़ों के मूल्यों को उठा सकते हैं।
3 . दो अभिलेखों की प्रणाली को हल करने के बाद, जड़ों को स्वयं खोजना मुश्किल नहीं है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में, मूलों का योग ऋण चिह्न वाले दूसरे गुणांक के मान के बराबर होता है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल तीसरे गुणांक के मान के बराबर होता है।
4 . दिए गए मूलों के अनुसार द्विघात समीकरण लिखिए, अर्थात् प्रतिलोम समस्या को हल कीजिए। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग सैद्धांतिक यांत्रिकी में समस्याओं को हल करने में किया जाता है।
5 . जब अग्रणी गुणांक एक के बराबर हो तो सूत्र को लागू करना सुविधाजनक होता है।
नुकसान:
1
. सूत्र सार्वभौमिक नहीं है।
विएटा का प्रमेय ग्रेड 8
सूत्र
यदि x 1 और x 2 दिए गए द्विघात समीकरण x 2 + px + q \u003d 0 के मूल हैं, तो:
उदाहरण
एक्स 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - समीकरण की जड़ें x 2 - 2x - 3 \u003d 0।
पी = -2, क्यू = -3।
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -पी,
एक्स 1 एक्स 2 = -1 3 = -3 = क्यू।
उलटा प्रमेय
सूत्र
यदि संख्याएँ x 1 , x 2 , p, q शर्तों से जुड़ी हैं:
तब x 1 और x 2 समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं।
उदाहरण
आइए इसकी जड़ों से द्विघात समीकरण बनाते हैं:
एक्स 1 \u003d 2 -? 3 और x 2 \u003d 2 +? 3.
पी \u003d एक्स 1 + एक्स 2 \u003d 4; पी = -4; क्यू \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
वांछित समीकरण का रूप है: x 2 - 4x + 1 = 0।
I. वियत का प्रमेयकम द्विघात समीकरण के लिए।
घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x 2 +px+q=0विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी; एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 1) x 2 -x-30=0.यह घटा हुआ द्विघात समीकरण है ( x 2 +px+q=0), दूसरा गुणांक पी = -1, और मुक्त अवधि क्यू = -30।सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि दिए गए समीकरण के मूल हैं और मूल (यदि कोई हो) को पूर्णांकों के रूप में व्यक्त किया जाएगा। इसके लिए, यह पर्याप्त है कि विवेचक एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग हो।
विभेदक का पता लगाना डी=बी 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
अब, विएटा प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, अर्थात। ( -पी), और उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है, अर्थात। ( क्यू) फिर:
एक्स 1 + एक्स 2 = 1; एक्स 1 एक्स 2 \u003d -30।हमें ऐसी दो संख्याओं को चुनने की आवश्यकता है ताकि उनका गुणनफल के बराबर हो -30 , और योग है इकाई. ये हैं नंबर -5 और 6 . उत्तर: -5; 6.
उदाहरण 2) x 2 +6x+8=0.हमारे पास दूसरे गुणांक के साथ कम द्विघात समीकरण है पी=6और मुक्त सदस्य क्यू = 8. सुनिश्चित करें कि पूर्णांक जड़ें हैं। आइए जानें विवेचक डी1 डी1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . विवेचक D 1 संख्या का पूर्ण वर्ग है 1 , इसलिए इस समीकरण के मूल पूर्णांक हैं। हम वियत प्रमेय के अनुसार जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होता है -पी=-6, और जड़ों का उत्पाद है क्यू = 8. ये हैं नंबर -4 और -2 .
असल में: -4-2=-6=-पी; -4∙(-2)=8=q. उत्तर - 4; -2।
उदाहरण 3) x 2 +2x-4=0. इस घटे हुए द्विघात समीकरण में, दूसरा गुणांक पी=2, और मुक्त अवधि क्यू = -4. आइए जानें विवेचक डी1, क्योंकि दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। डी1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. विवेचक किसी संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए हम करते हैं निष्कर्ष: इस समीकरण के मूल पूर्णांक नहीं हैं और इन्हें विएटा के प्रमेय का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है।इसलिए, हम इस समीकरण को हमेशा की तरह, सूत्रों के अनुसार (इस मामले में, सूत्रों के अनुसार) हल करते हैं। हम पाते हैं:
उदाहरण 4)।इसके मूलों का प्रयोग करते हुए एक द्विघात समीकरण लिखिए यदि x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
फेसला।वांछित समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा: x 2 +px+q=0, इसके अलावा, Vieta प्रमेय पर आधारित है -p=x1 +x2=-7+4=-3 →पी=3; क्यू = एक्स 1 x 2=-7∙4=-28 . तब समीकरण रूप लेगा: x2 +3x-28=0.
उदाहरण 5)।इसके मूलों का प्रयोग करते हुए एक द्विघात समीकरण लिखिए यदि :
द्वितीय. विएटा का प्रमेयपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए ax2+bx+c=0.
जड़ों का योग शून्य है बीद्वारा विभाजित ए, जड़ों का उत्पाद है साथद्वारा विभाजित ए:
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -बी / ए; एक्स 1 एक्स 2 \u003d सी / ए।
आज यह पद्य में गाए जाने योग्य है
जड़ों के गुणों पर, विएटा का प्रमेय।
कौन सा बेहतर है, कहते हैं, इस की स्थिरता:
आपने जड़ों को गुणा किया - और अंश तैयार है
अंश में साथ, हर में ए।
और मूलों का योग भी भिन्न होता है
माइनस के साथ भी यह अंश
क्या परेशानी है
अंशों में में, हर में ए.
(स्कूल लोककथाओं से)
एपिग्राफ में, फ्रांकोइस विएटा का उल्लेखनीय प्रमेय बिल्कुल सटीक नहीं दिया गया है। वास्तव में, हम एक द्विघात समीकरण लिख सकते हैं जिसका कोई मूल नहीं है और उनका योग और गुणनफल लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 2x + 12 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है। लेकिन, औपचारिक रूप से, हम उनके उत्पाद (x 1 x 2 \u003d 12) और योग (x 1 + x 2 \u003d -2) को लिख सकते हैं। हमारी छंद चेतावनी के साथ प्रमेय के अनुरूप होंगे: "यदि समीकरण की जड़ें हैं", अर्थात। डी 0.
इस प्रमेय का पहला व्यावहारिक अनुप्रयोग एक द्विघात समीकरण का संकलन है जिसने मूल दिए हैं। दूसरा: यह आपको कई द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल करने की अनुमति देता है। इन कौशलों के विकास में सबसे पहले स्कूली पाठ्यपुस्तकों की ओर ध्यान आकर्षित किया जाता है।
यहां हम विएटा प्रमेय का उपयोग करके हल की गई अधिक जटिल समस्याओं पर विचार करेंगे।
उदाहरण 1
समीकरण 5x 2 - 12x + c \u003d 0 की जड़ों में से एक दूसरे से तीन गुना बड़ा है। के साथ खोजें।
फेसला।
माना दूसरा मूल x2 है।
तब पहला मूल x1 = 3x2 है।
वियत प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग 12/5 = 2.4 है।
आइए समीकरण 3x2 + x2 = 2.4 बनाएं।
इसलिए x 2 \u003d 0.6। इसलिए एक्स 1 \u003d 1.8।
उत्तर: सी \u003d (एक्स 1 एक्स 2) ए \u003d 0.6 1.8 5 \u003d 5.4।
उदाहरण 2
यह ज्ञात है कि x 1 और x 2 समीकरण x 2 - 8x + p = 0, और 3x 1 + 4x 2 = 29 के मूल हैं। p ज्ञात कीजिए।
फेसला।
वियत प्रमेय के अनुसार x 1 + x 2 = 8, और शर्त के अनुसार 3x 1 + 4x 2 = 29।
इन दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, हम मान x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5 पाते हैं।
और इसलिए पी = 15।
उत्तर: पी = 15.
उदाहरण 3
समीकरण 3x 2 + 8 x - 1 \u003d 0 की जड़ों की गणना किए बिना, x 1 4 + x 2 4 खोजें
फेसला।
ध्यान दें कि विएटा प्रमेय के अनुसार x 1 + x 2 = -8/3 और x 1 x 2 = -1/3 और व्यंजक को रूपांतरित करें
क) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 - 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) 2 - 2 (x 1 x 2) 2 \u003d ((-8/3) 2 - 2 (-1/3)) 2 - 2 (-1/3) 2 \u003d 4898/9
उत्तर: 4898/9।
उदाहरण 4
पैरामीटर के किन मूल्यों पर समीकरण की सबसे बड़ी और सबसे छोटी जड़ों के बीच का अंतर है
2x 2 - (a + 1) x + (a - 1) \u003d 0 उनके गुणनफल के बराबर है।
फेसला।
यह द्विघात समीकरण है। इसके 2 अलग-अलग मूल होंगे यदि D > 0। दूसरे शब्दों में, (a + 1) 2 - 8 (a - 1)> 0 या (a - 3) 2> 0। इसलिए, हमारे पास सभी के लिए 2 जड़ें हैं। a = 3 को छोड़कर।
निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि x 1> x 2 और x 1 + x 2 \u003d (a + 1) / 2 और x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2 प्राप्त करें। समस्या की स्थिति के आधार पर x 1 - x 2 \u003d (a - 1) / 2। तीनों शर्तों को एक साथ पूरा करना होगा। एक प्रणाली के रूप में पहले और अंतिम समीकरणों पर विचार करें। इसे बीजीय योग विधि द्वारा आसानी से हल किया जाता है।
हमें x 1 \u003d a / 2, x 2 \u003d 1/2 मिलता है। आइए देखें क्या एदूसरी समानता पूरी होगी: x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2. आइए प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करें और हमारे पास होगा: ए/4 = (ए -1)/2। तब, a = 2. यह स्पष्ट है कि यदि a = 2, तो सभी शर्तें पूरी होती हैं।
उत्तर: जब a = 2.
उदाहरण 5
a का सबसे छोटा मान क्या है जिसके लिए समीकरण के मूलों का योग होता है
x 2 - 2a (x - 1) - 1 \u003d 0 इसकी जड़ों के वर्गों के योग के बराबर है।
फेसला।
सबसे पहले, आइए समीकरण को विहित रूप में लाएं: x 2 - 2ax + 2a - 1 \u003d 0. इसकी जड़ें होंगी यदि D / 4 0. इसलिए: a 2 - (2a - 1) 0. या (ए -1) 2 0. और यह शर्त किसी भी ए के लिए मान्य है।
हम वियत प्रमेय लागू करते हैं: x 1 + x 2 \u003d 2a, x 1 x 2 \u003d 2a - 1. हम गणना करते हैं
x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2। या प्रतिस्थापन के बाद x 1 2 + x 2 2 \u003d (2a) 2 - 2 (2a - 1) \u003d 4a 2 - 4a + 2. यह एक समानता बनाने के लिए बनी हुई है जो समस्या की स्थिति से मेल खाती है: x 1 + x 2 \u003d x 1 2 + x 2 2 । हमें मिलता है: 2a \u003d 4a 2 - 4a + 2. इस द्विघात समीकरण की 2 जड़ें हैं: एक 1 \u003d 1 और एक 2 \u003d 1/2। उनमें से सबसे छोटा -1/2 है।
उत्तर: 1/2।
उदाहरण 6
समीकरण ax 2 + inx + c \u003d 0 के गुणांकों के बीच संबंध ज्ञात कीजिए यदि इसकी जड़ों के घनों का योग इन जड़ों के वर्गों के गुणनफल के बराबर है।
फेसला।
हम इस तथ्य से आगे बढ़ेंगे कि इस समीकरण की जड़ें हैं और इसलिए, वीटा के प्रमेय को इस पर लागू किया जा सकता है।
तब समस्या की स्थिति इस प्रकार लिखी जाएगी: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 x 2 2। या: (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \u003d (x 1 x 2) 2.
आपको दूसरे कारक को बदलने की जरूरत है। x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2 \u003d ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) - x 1 x 2.
हमें (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2) \u003d (x 1 x 2) 2 मिलता है। यह गुणांक के माध्यम से जड़ों के योग और उत्पादों को बदलने के लिए बनी हुई है।
(-बी/ए)((बी/ए) 2 – 3 सी/ए) = (सी/ए) 2। इस अभिव्यक्ति को आसानी से रूप में परिवर्तित किया जा सकता है बी (3 एसी - बी 2) / ए \u003d सी 2.अनुपात पाया जाता है।
टिप्पणी।यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि परिणामी संबंध दूसरे के पूरा होने के बाद ही विचार करने के लिए समझ में आता है: डी 0।
उदाहरण 7
चर a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x 2 + 2ax + 3a 2 - 6a - 2 \u003d 0 के मूलों के वर्गों का योग सबसे बड़ा मान है।
फेसला।
यदि इस समीकरण की जड़ें x 1 और x 2 हैं, तो उनका योग x 1 + x 2 \u003d -2a, और गुणनफल x 1 x 2 \u003d 3a 2 - 6a - 2 है।
हम x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 \u003d (-2a) 2 - 2 (3a 2 - 6a - 2) \u003d -2a 2 + 12a + 4 की गणना करते हैं \u003d -2 (ए - 3) 2 + 22।
अब यह स्पष्ट है कि यह व्यंजक a = 3 पर सबसे बड़ा मान लेता है।
यह जांचना बाकी है कि क्या मूल द्विघात समीकरण की जड़ें \u003d 3 पर हैं। हम प्रतिस्थापन द्वारा जांचते हैं और हमें मिलता है: x 2 + 6x + 7 \u003d 0 और इसके लिए D \u003d 36 - 28\u003e 0।
इसलिए, उत्तर है: a = 3 के लिए।
उदाहरण 8
समीकरण 2x 2 - 7x - 3 \u003d 0 के मूल x 1 और x 2 हैं। दिए गए द्विघात समीकरण के गुणांकों का त्रिगुण योग ज्ञात कीजिए, जिनकी जड़ें संख्याएँ X 1 \u003d 1 / x 1 और X 2 \u003d 1 / x 2 हैं। (*)
फेसला।
जाहिर है, x 1 + x 2 \u003d 7/2 और x 1 x 2 \u003d -3/2। हम दूसरे समीकरण को इसकी जड़ों द्वारा x 2 + px + q \u003d 0 के रूप में बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम विएटा प्रमेय के विपरीत अभिकथन का उपयोग करते हैं। हमें मिलता है: पी \u003d - (एक्स 1 + एक्स 2) और क्यू \u003d एक्स 1 एक्स 2।
(*) के आधार पर इन सूत्रों में प्रतिस्थापित करने के बाद: p \u003d - (x 1 + x 2) / (x 1 x 2) \u003d 7/3 और q \u003d 1 / (x 1 x 2) \ u003d - 2/3।
वांछित समीकरण का रूप लेगा: x 2 + 7/3 x - 2/3 = 0. अब हम आसानी से इसके गुणांक के तीन गुना योग की गणना कर सकते हैं:
3(1 + 7/3 - 2/3) = 8. उत्तर प्राप्त हुआ।
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विएटा का प्रमेय
आज्ञा देना और घटाए गए द्विघात समीकरण की जड़ों को निरूपित करना
(1)
.
तब मूलों का योग गुणांक के बराबर होता है, जो विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है। जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
;
.
एकाधिक जड़ों के बारे में एक नोट
यदि समीकरण (1) का विवेचक शून्य है, तो इस समीकरण का एक मूल है। लेकिन, बोझिल फॉर्मूलेशन से बचने के लिए, आम तौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि इस मामले में, समीकरण (1) में दो बहु, या बराबर जड़ें हैं:
.
सबूत एक
आइए समीकरण (1) के मूल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र लागू करें:
;
;
.
जड़ों का योग ज्ञात करना:
.
उत्पाद खोजने के लिए, हम सूत्र लागू करते हैं:
.
फिर
.
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमाण दो
यदि संख्याएँ और द्विघात समीकरण (1) के मूल हैं, तो
.
हम कोष्ठक खोलते हैं।
.
इस प्रकार, समीकरण (1) रूप लेगा:
.
(1) की तुलना में हम पाते हैं:
;
.
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
उलटा वीटा प्रमेय
मनमानी संख्या होने दें। तब और द्विघात समीकरण के मूल हैं
,
कहाँ पे
(2)
;
(3)
.
विएटा के विलोम प्रमेय का प्रमाण
द्विघात समीकरण पर विचार करें
(1)
.
हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि यदि और , तो और समीकरण (1) के मूल हैं।
स्थानापन्न (2) और (3) में (1):
.
हम समीकरण के बाईं ओर की शर्तों को समूहित करते हैं:
;
;
(4)
.
में स्थानापन्न (4) :
;
.
में स्थानापन्न (4) :
;
.
समीकरण पूरा हो गया है। अर्थात् संख्या समीकरण (1) का मूल है।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय
अब पूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें
(5)
,
जहाँ , और कुछ संख्याएँ हैं। और ।
हम समीकरण (5) को इससे विभाजित करते हैं:
.
अर्थात्, हमने उपरोक्त समीकरण प्राप्त किया है
,
कहाँ पे ; .
फिर पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए वियत प्रमेय का निम्न रूप है।
मान लीजिए और पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ों को निरूपित करें
.
फिर जड़ों का योग और उत्पाद सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
.
घन समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय
इसी तरह, हम एक घन समीकरण की जड़ों के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। घन समीकरण पर विचार करें
(6)
,
जहाँ , , , कुछ संख्याएँ हैं। और ।
आइए इस समीकरण को इसके द्वारा विभाजित करें:
(7)
,
कहाँ पे , , ।
मान लीजिए, समीकरण (7) (और समीकरण (6)) के मूल हैं। फिर
.
समीकरण (7) से तुलना करने पर हम पाते हैं:
;
;
.
nth डिग्री समीकरण के लिए Vieta की प्रमेय
इसी तरह, आप nth डिग्री के समीकरण के लिए, जड़ों , , ... , , के बीच संबंध पा सकते हैं
.
nth डिग्री समीकरण के लिए Vieta के प्रमेय का निम्न रूप है:
;
;
;
.
इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में समीकरण लिखते हैं:
.
फिर हम गुणांकों को , , , ... पर समान करते हैं और मुक्त पद की तुलना करते हैं।
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।
से। मी। निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव एट अल।, बीजगणित: शैक्षणिक संस्थानों की 8 वीं कक्षा के लिए एक पाठ्यपुस्तक, मॉस्को, शिक्षा, 2006।
