विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों के लिए एक शब्द है जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिनका मान ज्ञात होना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) को खोजना जिसके लिए प्रणाली एक सच्ची समानता बन जाती है, या यह स्थापित करना कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की समांगी प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद के दाहिने हिस्से का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, उनमें से एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकती है।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे करें और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम खोजें। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

सामान्य शिक्षा स्कूल कार्यक्रम के 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और इसे बहुत विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-दर-टर्म जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोगों के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय योग तब उपयोगी होता है जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ हों।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

यह उदाहरण से देखा जा सकता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक वर्ग ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विभेदक का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

जाने-माने सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विभेदक है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक ही समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में समन्वय अक्ष पर प्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को आलेखित करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य हल होंगे।

ग्राफिक विधि में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निकाय का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजना आवश्यक है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। एक मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n-पंक्तियाँ और m-स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संभव पंक्तियों की संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ इकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होने चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहाँ K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और |K| - मैट्रिक्स निर्धारक। |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि बड़ी संख्या में चर और समीकरणों के साथ सिस्टम को हल करते समय बोझिल प्रविष्टियों को कम करना संभव बनाती है।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर को खोजने के लिए किया जाता है।

गाऊसी विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गाऊसी समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, कहता है कि यदि निकाय के समीकरणों में से किसी एक को तुल्य समीकरण से बदल दिया जाए, तो परिणामी निकाय भी मूल समीकरण के तुल्य होगा।

गॉस विधि मध्य विद्यालय के छात्रों के लिए समझना मुश्किल है, लेकिन गणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में पढ़ रहे बच्चों की सरलता को विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त शब्द एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को पंक्तियों में से एक के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन करना जारी रखता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह संकेतन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर होते हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद होते हैं।

स्कूली गणित में रैखिक समीकरण काफी हानिरहित और समझने योग्य विषय हैं। लेकिन, अजीब तरह से पर्याप्त, रैखिक समीकरणों को हल करते समय नीले रंग से त्रुटियों की संख्या अन्य विषयों की तुलना में थोड़ी कम है - द्विघात समीकरण, लघुगणक, त्रिकोणमिति और अन्य। अधिकांश त्रुटियों के कारण समीकरणों के सामान्य समान परिवर्तन हैं। सबसे पहले, यह संकेतों में भ्रम है जब शब्दों को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाता है, साथ ही भिन्न और भिन्नात्मक गुणांक के साथ काम करते समय त्रुटियां भी होती हैं। हाँ हाँ! रैखिक समीकरणों में भी भिन्न होते हैं! आसपास। थोड़ा नीचे, हम ऐसे बुरे समीकरणों का भी विश्लेषण करेंगे।)

ठीक है, चलो बिल्ली को पूंछ से न खींचे और उसका पता लगाना शुरू करें, क्या हम? तब हम पढ़ते और समझते हैं।)

एक रैखिक समीकरण क्या है? उदाहरण।

आमतौर पर, एक रैखिक समीकरण का निम्न रूप होता है:

कुल्हाड़ी + बी = 0,

जहां ए और बी कोई संख्या है। कुछ भी: पूर्णांक, भिन्नात्मक, ऋणात्मक, अपरिमेय - हर कोई हो सकता है!

उदाहरण के लिए:

7x + 1 = 0 (यहाँ a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (यहाँ a = 1, b = -3)

x/2 - 1.1 = 0 (यहाँ a = 1/2, b = -1.1)

सामान्य तौर पर, आप समझते हैं, मुझे आशा है।) सब कुछ सरल है, जैसे एक परी कथा में। कुछ समय के लिए... और अगर हम सामान्य संकेतन ax+b=0 पर करीब से नज़र डालें, और थोड़ा सोचें? क्योंकि ए और बी कोई संख्या! और यदि हमारे पास, मान लीजिए, a = 0 और b = 0 (कोई भी संख्या ली जा सकती है!), तो हमें क्या मिलेगा?

0 = 0

लेकिन यह सब मजेदार नहीं है! और यदि, मान लीजिए, a = 0, b = -10? तब यह काफी बकवास निकला:

0 = 10.

जो बहुत, बहुत कष्टप्रद है और पसीने और खून से जीते गणित में विश्वास को कमजोर करता है ... खासकर परीक्षा और परीक्षा में। लेकिन इन समझ से बाहर और अजीब समानताओं में से, आपको एक्स खोजने की भी जरूरत है! जो बिल्कुल नहीं है! और यहाँ भी अच्छी तरह से तैयार छात्र, कभी-कभी, जैसा कि वे कहते हैं, गिर सकते हैं, स्तब्ध हो जाते हैं ... लेकिन चिंता न करें! इस पाठ में हम ऐसे सभी आश्चर्यों पर भी विचार करेंगे। और इस तरह की समानताओं से x भी निश्चित रूप से मिल जाएगा।) इसके अलावा, यह बहुत ही बहुत सरलता से x की खोज की जाती है। हाँ हाँ! आश्चर्यजनक लेकिन सत्य।)

ठीक है, यह समझ में आता है। लेकिन आप कार्य की उपस्थिति से कैसे जान सकते हैं कि हमारे पास एक रैखिक समीकरण है, और कोई अन्य नहीं है? दुर्भाग्य से, केवल उपस्थिति से समीकरण के प्रकार को पहचानना हमेशा संभव नहीं होता है। बात यह है कि न केवल रूप ax + b = 0 के समीकरणों को रैखिक कहा जाता है, बल्कि किसी भी अन्य समीकरणों को भी कहा जाता है, जो समान परिवर्तनों द्वारा, एक तरह से या किसी अन्य रूप में, इस रूप में कम हो जाते हैं। आप कैसे जानते हैं कि यह फिट बैठता है या नहीं? जब तक आप उदाहरण को लगभग हल नहीं कर लेते - लगभग कुछ भी नहीं। यह परेशान करने वाला है। लेकिन कुछ प्रकार के समीकरणों के लिए, एक त्वरित नज़र से, तुरंत निश्चित रूप से कहना संभव है कि यह रैखिक है या नहीं।

ऐसा करने के लिए, हम एक बार फिर किसी भी रैखिक समीकरण की सामान्य संरचना की ओर मुड़ते हैं:

कुल्हाड़ी + बी = 0

ध्यान दें कि एक रैखिक समीकरण में हमेशाकेवल चर x . है पहली डिग्री मेंऔर कुछ नंबर! और बस! और कुछ नहीं। इसी समय, लॉगरिदम और अन्य एक्सोटिक्स के तहत, रूट के नीचे, कोई x वर्ग, क्यूबेड नहीं हैं। और (सबसे महत्वपूर्ण!) कोई अंश नहीं हर में x के साथ!लेकिन हर या भाग में संख्याओं के साथ भिन्न प्रति संख्या- सरलता!

उदाहरण के लिए:

यह एक रैखिक समीकरण है। समीकरण में केवल x की पहली शक्ति और संख्याएँ हैं। और उच्च शक्तियों में कोई x नहीं हैं - वर्ग, घन, और इसी तरह। हाँ, यहाँ भिन्न हैं, लेकिन साथ ही वे भिन्नों के हर में बैठते हैं केवल संख्याएँ।अर्थात् दो और तीन। दूसरे शब्दों में, कोई नहीं है x . द्वारा विभाजन.

और यहाँ समीकरण है

इसे अब रैखिक नहीं कहा जा सकता है, हालाँकि यहाँ भी, केवल संख्याएँ हैं और पहली डिग्री तक x हैं। क्योंकि, अन्य बातों के अलावा, भिन्न भी होते हैं हर में x के साथ. और सरलीकरण और परिवर्तनों के बाद, ऐसा समीकरण कुछ भी बन सकता है: रैखिक, और वर्ग - कोई भी।

रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें? उदाहरण।

तो आप रैखिक समीकरणों को कैसे हल करते हैं? पढ़िए और चौंकिए।) रैखिक समीकरणों का संपूर्ण समाधान सिर्फ दो मुख्य बातों पर आधारित है। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें।

1) प्राथमिक क्रियाओं और गणित के नियमों का एक सेट।

यह कोष्ठकों का उपयोग है, कोष्ठक खोलना, भिन्नों के साथ कार्य करना, ऋणात्मक संख्याओं के साथ कार्य करना, गुणन तालिका, इत्यादि। यह ज्ञान और कौशल न केवल रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए, बल्कि सामान्य रूप से सभी गणित के लिए आवश्यक हैं। और, यदि यह एक समस्या है, तो निम्न ग्रेड याद रखें। नहीं तो मुश्किल होगी...

2)

उनमें से केवल दो हैं। हाँ हाँ! इसके अलावा, ये बहुत ही बुनियादी समान परिवर्तन न केवल रैखिक, बल्कि सामान्य रूप से गणित के किसी भी समीकरण के समाधान के अंतर्गत आते हैं! एक शब्द में, किसी अन्य समीकरण का हल - द्विघात, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, अपरिमेय, आदि। - एक नियम के रूप में, इन बहुत ही बुनियादी परिवर्तनों से शुरू होता है। लेकिन सटीक रैखिक समीकरणों का समाधान, वास्तव में, उन पर (रूपांतरण) समाप्त होता है। तैयार उत्तर।) तो आलसी मत बनो और लिंक के माध्यम से चलो।) इसके अलावा, रैखिक समीकरणों का भी विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।

खैर, मुझे लगता है कि उदाहरणों का विश्लेषण शुरू करने का समय आ गया है।

शुरू करने के लिए, वार्म-अप के रूप में, कुछ प्राथमिक पर विचार करें। बिना किसी अंश और अन्य घंटियों और सीटी के। उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

एक्स - 2 \u003d 4 - 5x

यह एक क्लासिक रैखिक समीकरण है। सभी x प्रथम घात से अधिकतम हैं और कहीं भी x से कोई विभाजन नहीं है। इस तरह के समीकरणों में समाधान योजना हमेशा समान और डरावनी के लिए सरल होती है: x के साथ सभी शब्दों को बाईं ओर एकत्र किया जाना चाहिए, और बिना x (यानी संख्याओं) के सभी शब्दों को दाईं ओर एकत्र किया जाना चाहिए। तो चलिए इकट्ठा करना शुरू करते हैं।

ऐसा करने के लिए, हम पहला समान परिवर्तन लॉन्च करते हैं। हमें -5x को बाईं ओर और -2 को दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। निश्चित रूप से संकेत के परिवर्तन के साथ।) तो हम स्थानांतरित करते हैं:

एक्स + 5x = 4 + 2

कुंआ। आधी लड़ाई हो चुकी है: x को ढेर में इकट्ठा किया जाता है, संख्याएं भी। अब हम बाईं ओर समान देते हैं, और हम दाईं ओर गिनते हैं। हम पाते हैं:

6x = 6

पूर्ण सुख के लिए अब हमारे पास क्या कमी है? हाँ, ताकि एक साफ़ X बाईं ओर बना रहे! और छह हस्तक्षेप करते हैं। मैं इससे छुटकारा कैसे पाऊं? अब हम दूसरा समान परिवर्तन शुरू करते हैं - हम समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करते हैं। और - वोइला! उत्तर तैयार है।)

एक्स = 1

बेशक, उदाहरण काफी आदिम है। सामान्य विचार प्राप्त करने के लिए। अच्छा, चलो कुछ और महत्वपूर्ण करते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:

आइए इसका विस्तार से विश्लेषण करें।) यह भी एक रैखिक समीकरण है, हालाँकि ऐसा लगता है कि यहाँ भिन्न हैं। लेकिन भिन्नों में दो से भाग होता है और तीन से भाग होता है, लेकिन x वाले व्यंजक से कोई विभाजन नहीं होता! तो हम तय करते हैं। सभी समान परिवर्तनों का उपयोग करना, हाँ।)

हम पहले क्या करेंगे? X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर? सिद्धांत रूप में, यह संभव है और इसलिए। व्लादिवोस्तोक के माध्यम से सोची के लिए उड़ान भरें।) या आप सार्वभौमिक और शक्तिशाली विधि का उपयोग करके तुरंत सबसे छोटा रास्ता अपना सकते हैं। यदि आप निश्चित रूप से समान परिवर्तनों को जानते हैं।)

शुरू करने के लिए, मैं एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता हूं: आप इस समीकरण के बारे में सबसे ज्यादा क्या नोटिस और नापसंद करते हैं? 100 में से 99 लोग कहते हैं: भिन्न!और वे सही होंगे।) तो आइए पहले उनसे छुटकारा पाएं। समीकरण के लिए ही सुरक्षित।) तो चलिए तुरंत शुरू करते हैं दूसरा समान परिवर्तन- गुणा से। बाईं ओर को किससे गुणा किया जाए कि हर सुरक्षित रूप से कम हो जाए? यह सही है, डबल। और दाहिनी ओर? तीन के लिए! लेकिन ... गणित एक सनकी महिला है। वह, आप जानते हैं, केवल दोनों भागों को गुणा करने की आवश्यकता है एक ही नंबर के लिए!प्रत्येक भाग को उसकी अपनी संख्या से गुणा करें - यह काम नहीं करता ... हम क्या करने जा रहे हैं? कुछ... एक समझौते की तलाश करें। हमारी इच्छाओं को पूरा करने के लिए (अंशों से छुटकारा पाएं) और गणित को अपमानित न करें। और आइए दोनों भागों को छह से गुणा करें!) यानी समीकरण में शामिल सभी अंशों के सामान्य भाजक द्वारा। फिर, एक झटके में, दो कम हो जाएंगे, और तीन!)

यहां हम गुणा करते हैं। पूरी बाईं ओर और पूरी दाहिनी ओर पूरी तरह से! इसलिए, हम कोष्ठक का उपयोग करते हैं। यह प्रक्रिया कैसी दिखती है:

आइए अब इन कोष्ठकों को खोलें:

अब, 6 को 6/1 के रूप में निरूपित करते हुए, छः को बाएँ और दाएँ भिन्नों में से प्रत्येक से गुणा करें। यह भिन्नों का सामान्य गुणन है, लेकिन, ऐसा ही हो, मैं विस्तार से लिखूंगा:

और यहाँ - ध्यान! मैंने अंश (x-3) को कोष्ठक में लिया! यह सब इसलिए है क्योंकि भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को पूरी तरह से और पूरी तरह से गुणा किया जाता है! और एक्स -3 अभिव्यक्ति के साथ एक ठोस निर्माण के साथ काम करना आवश्यक है। लेकिन अगर आप अंश इस तरह लिखते हैं:

6x - 3,

लेकिन हमारे पास सब कुछ ठीक है और हमें इसे खत्म करने की जरूरत है। आगे क्या करना है? बाईं ओर के अंश में कोष्ठक खोलें? किसी भी मामले में नहीं! भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए आपने और मैंने दोनों भागों को 6 से गुणा किया, और खुले कोष्ठक के साथ भाप स्नान नहीं किया। इस स्तर पर, हमें चाहिए हमारे अंशों को कम करें।गहरी संतुष्टि की भावना के साथ, हम सभी हरों को कम करते हैं और बिना किसी भिन्न के समीकरण प्राप्त करते हैं, एक रूलर में:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

और अब शेष कोष्ठक खोले जा सकते हैं:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

समीकरण बस बेहतर और बेहतर होता जा रहा है! अब हम फिर से पहले समान परिवर्तन को याद करते हैं। एक पत्थर के चेहरे के साथ, हम निम्न ग्रेड से मंत्र दोहराते हैं: x के साथ - बाईं ओर, x के बिना - दाईं ओर. और इस परिवर्तन को लागू करें:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

हम बाईं ओर समान देते हैं और दाईं ओर गिनते हैं:

13x = 39

दोनों भागों को 13 से विभाजित करना बाकी है। यानी दूसरा परिवर्तन फिर से लागू करें। हम विभाजित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

एक्स = 3

काम हो गया है। जैसा कि आप देख सकते हैं, इस समीकरण में, हमें पहला परिवर्तन (शब्दों का स्थानांतरण) एक बार और दूसरे को दो बार लागू करना था: समाधान की शुरुआत में हमने अंशों से छुटकारा पाने के लिए गुणा (6 से) का उपयोग किया था, और समाधान के अंत में हमने x से पहले गुणांक से छुटकारा पाने के लिए विभाजन (13 से) का उपयोग किया। और किसी भी (हाँ, कोई!) रैखिक समीकरण के समाधान में एक ही क्रम या किसी अन्य में इन समान परिवर्तनों का संयोजन होता है। कहां से शुरू करना है यह विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। कहीं हस्तांतरण के साथ शुरू करना अधिक लाभदायक है, और कहीं (इस उदाहरण में) - गुणा (या विभाजन) के साथ।

हम सरल से जटिल तक काम करते हैं। अब फ्रैंक टिन पर विचार करें। भिन्नों और कोष्ठकों के एक समूह के साथ। और मैं आपको बताऊंगा कि कैसे ओवरस्ट्रेन नहीं करना है।)

उदाहरण के लिए, यहाँ एक समीकरण है:

हम एक मिनट के लिए समीकरण देखते हैं, हम भयभीत होते हैं, लेकिन फिर भी हम खुद को एक साथ खींचते हैं! मुख्य समस्या यह है कि कहां से शुरू करें? आप दाईं ओर भिन्न जोड़ सकते हैं। आप कोष्ठकों में भिन्नों को घटा सकते हैं। आप दोनों भागों को किसी चीज़ से गुणा कर सकते हैं। या साझा करें ... तो अभी भी क्या संभव है? उत्तर: सब कुछ संभव है! गणित सूचीबद्ध कार्यों में से किसी को भी प्रतिबंधित नहीं करता है। और कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किस क्रम में क्रियाओं और परिवर्तनों को चुनते हैं, उत्तर हमेशा वही होगा - सही। जब तक, निश्चित रूप से, किसी कदम पर आप अपने परिवर्तनों की पहचान का उल्लंघन नहीं करते हैं और इस तरह गलतियाँ नहीं करते हैं ...

और, गलती न करने के लिए, इस तरह के फैंसी उदाहरणों में, इसकी उपस्थिति का मूल्यांकन करना और अपने दिमाग में यह पता लगाना हमेशा सबसे उपयोगी होता है: एक उदाहरण में क्या किया जा सकता है ताकि ज्यादा से ज्यादाइसे एक चरण में सरल करें?

यहाँ हम अनुमान लगा रहे हैं। बाईं ओर हर में छक्के हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं उन्हें पसंद नहीं करता, लेकिन उन्हें हटाना बहुत आसान है। मुझे समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने दें! फिर बाईं ओर के छक्के सुरक्षित रूप से कम हो जाएंगे, कोष्ठक में अंश अभी तक कहीं नहीं जाएंगे। खैर, कोई बड़ी बात नहीं। हम उनके साथ थोड़ी देर बाद निपटेंगे।) लेकिन दाईं ओर, भाजक 2 और 3 घटेंगे। यह इस क्रिया (6 से गुणा) के साथ है कि हम एक चरण में अधिकतम सरलीकरण प्राप्त करते हैं!

गुणन के बाद, हमारा पूरा बुरा समीकरण इस तरह बन जाता है:

यदि आप यह नहीं समझते हैं कि यह समीकरण कैसे निकला, तो आपने पिछले उदाहरण के विश्लेषण को अच्छी तरह से नहीं समझा। और मैंने कोशिश की, वैसे ...

तो चलिए इसे खोलते हैं:

अब सबसे तार्किक कदम यह होगा कि बाईं ओर के अंशों को अलग किया जाए, और दाईं ओर 5x भेजा जाए। उसी समय, हम दाईं ओर समान देते हैं। हम पाते हैं:

पहले से काफी बेहतर। अब लेफ्ट साइड ने खुद को गुणा के लिए तैयार कर लिया है। बाईं ओर से क्या गुणा किया जाए कि पांच और चार दोनों तुरंत कम हो जाएं? 20 बजे! लेकिन समीकरण के दोनों पक्षों में हमारे पास नकारात्मक पक्ष भी हैं। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 20 से नहीं, बल्कि -20 से गुणा करना सबसे सुविधाजनक होगा। फिर, एक झटके में, माइनस गायब हो जाएंगे, और अंश।

यहां हम गुणा करते हैं:

उन लोगों के लिए जो अभी भी इस कदम को नहीं समझते हैं, इसका मतलब है कि समस्याएं समीकरणों में नहीं हैं। समस्याएं मूल में हैं! फिर से, कोष्ठक खोलने का सुनहरा नियम याद रखें:

यदि संख्या को कोष्ठक में किसी व्यंजक से गुणा किया जाता है, तो इस संख्या को इसी व्यंजक के प्रत्येक पद से क्रमिक रूप से गुणा किया जाना चाहिए। इसके अलावा, यदि संख्या सकारात्मक है, तो विस्तार के बाद के भावों के संकेत संरक्षित हैं। यदि नकारात्मक है, तो वे उलट जाते हैं:

a(b+c) = ab+ac

-ए (बी + सी) = -एबी-एसी

दोनों भागों को -20 से गुणा करने के बाद माइनस गायब हो गए। और अब हम कोष्ठकों को बाईं ओर भिन्नों से गुणा करते हैं सकारात्मक संख्या 20. इसलिए, इन कोष्ठकों को खोलते समय, उनके अंदर के सभी चिन्ह संरक्षित रहते हैं। लेकिन भिन्नों के अंशों में कोष्ठक कहाँ से आए, मैंने पिछले उदाहरण में पहले ही विस्तार से बताया था।

और अब आप भिन्नों को कम कर सकते हैं:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

शेष कोष्ठक का विस्तार करें। फिर से, हम सही ढंग से खोलते हैं। पहले कोष्ठक को धनात्मक संख्या 4 से गुणा किया जाता है और इसलिए, खोले जाने पर सभी चिन्ह संरक्षित रहते हैं। लेकिन दूसरे कोष्ठक को से गुणा किया जाता है नकारात्मकसंख्या -5 है और इसलिए, सभी चिह्न उलट दिए गए हैं:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

खाली जगह बाकी हैं। x से बाईं ओर, बिना x से दाईं ओर:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

लगभग इतना ही। बाईं ओर, आपको एक स्वच्छ X की आवश्यकता है, और संख्या -35 रास्ते में आ जाती है। इसलिए हम दोनों भागों को (-35) से विभाजित करते हैं। मैं आपको याद दिलाता हूं कि दूसरा पहचान परिवर्तन हमें दोनों भागों को गुणा और विभाजित करने की अनुमति देता है जो भी होसंख्या। नकारात्मक सहित।) यदि केवल शून्य नहीं! बेझिझक साझा करें और उत्तर प्राप्त करें:

एक्स = 2/35

इस बार X भिन्नात्मक निकला। ठीक है। ऐसा उदाहरण।)

जैसा कि हम देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों (यहां तक ​​​​कि सबसे मुड़ वाले) को हल करने का सिद्धांत काफी सरल है: हम मूल समीकरण लेते हैं और समान परिवर्तनों द्वारा, हम क्रमिक रूप से उत्तर तक इसे सरल बनाते हैं। मूल बातें के साथ, बिल्कुल! यहां मुख्य समस्याएं मूल बातें के साथ गैर-अनुपालन में हैं (कहते हैं, कोष्ठक से पहले एक माइनस है, और वे खोलते समय संकेतों को बदलना भूल गए), साथ ही साथ केले अंकगणित में भी। तो बुनियादी बातों की उपेक्षा मत करो! वे बाकी सभी गणित की नींव हैं!

रैखिक समीकरणों को हल करने की कुछ तरकीबें। या विशेष अवसर।

सब कुछ कुछ नहीं होगा। हालाँकि ... रैखिक समीकरणों में, ऐसे मज़ेदार मोती हैं, जो उन्हें हल करने की प्रक्रिया में, एक मजबूत स्तब्धता में ड्राइव कर सकते हैं। एक उत्कृष्ट छात्र भी।)

उदाहरण के लिए, यहां एक हानिरहित दिखने वाला समीकरण है:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

चौड़ी जम्हाई लेते हुए और थोड़ा ऊबते हुए, हम बाईं ओर के सभी X और दाईं ओर के सभी नंबरों को इकट्ठा करते हैं:

7x-4x-3x = 5-2-3

हम समान देते हैं, विचार करें और प्राप्त करें:

0 = 0

इतना ही! जारी किया गया प्राइमरचिक फोकस! अपने आप में, यह समानता कोई आपत्ति नहीं उठाती है: शून्य वास्तव में शून्य के बराबर है। लेकिन एक्स चला गया है! एक ट्रेस के बिना! और हमें उत्तर में लिखना होगा, x बराबर क्या है?. अन्यथा, निर्णय पर विचार नहीं किया जाता है, हाँ।) क्या करें?

घबराए नहीं! ऐसे गैर-मानक मामलों में, गणित की सबसे सामान्य अवधारणाएं और सिद्धांत बचाते हैं। एक समीकरण क्या है? समीकरण कैसे हल करें? समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है?

एक समीकरण को हल करने का अर्थ है खोजना सबचर x के मान, जो, में प्रतिस्थापित किए जाने पर प्रारंभिकसमीकरण हमें सही समानता (पहचान) देगा!

लेकिन हमारे पास सही समानता है पहले से ही किया हुआ! 0 = 0, या कहीं नहीं!) यह अनुमान लगाया जाना बाकी है कि हमें यह समानता किस x पर मिलती है। किस प्रकार के x को प्रतिस्थापित किया जा सकता है प्रारंभिकसमीकरण यदि, प्रतिस्थापित करते समय, वे सभी अभी भी शून्य हो गया है?क्या आपने अभी तक इसका पता नहीं लगाया है?

हाँ बिल्कुल! Xs को प्रतिस्थापित किया जा सकता है कोई भी!!! बिल्कुल कोई। आप जो चाहते हैं, उन्हें अंदर डाल दें। कम से कम 1, कम से कम -23, कम से कम 2.7 - जो भी हो! वे अभी भी कम हो जाएंगे और परिणामस्वरूप शुद्ध सत्य बना रहेगा। इसे आज़माएं, इसे बदलें और अपने लिए देखें।)

यहाँ आपका उत्तर है:

x कोई संख्या है.

वैज्ञानिक संकेतन में यह समानता इस प्रकार लिखी जाती है:

यह प्रविष्टि इस प्रकार है: "X कोई वास्तविक संख्या है।"

या दूसरे रूप में, अंतराल पर:

जैसा आप चाहें, इसे व्यवस्थित करें। यह सही और पूरी तरह से पूर्ण उत्तर है!

और अब मैं अपने मूल समीकरण में सिर्फ एक संख्या को बदलने जा रहा हूँ। आइए अब इस समीकरण को हल करें:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

हम फिर से शर्तों को स्थानांतरित करते हैं, गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

और आपको यह चुटकुला कैसा लगा? एक साधारण रैखिक समीकरण था, लेकिन एक समझ से बाहर समानता थी

0 = 1…

वैज्ञानिक शब्दों में, हमारे पास है गलत समानता।लेकिन रूसी में यह सच नहीं है। बकवास। बकवास।) शून्य के लिए एक के बराबर नहीं है!

और अब हम फिर से सोचते हैं कि मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर किस प्रकार का x हमें देगा सही समानता?कौन सा? लेकिन कोई नहीं! जो भी एक्स आप प्रतिस्थापित करते हैं, सब कुछ कम हो जाएगा और बकवास होगा।)

यहाँ उत्तर है: कोई समाधान नहीं.

गणितीय संकेतन में, ऐसा उत्तर इस प्रकार तैयार किया जाता है:

इसमें लिखा है: "X खाली सेट से संबंधित है।"

गणित में इस तरह के उत्तर भी काफी सामान्य हैं: हमेशा किसी भी समीकरण की जड़ें सिद्धांत रूप में नहीं होती हैं। कुछ समीकरणों की जड़ें बिल्कुल नहीं हो सकती हैं। बिल्कुल भी।

यहाँ दो आश्चर्य हैं। मुझे आशा है कि अब समीकरण में Xs का अचानक गायब होना आपको हमेशा के लिए भ्रमित नहीं करेगा। मामला काफी जाना-पहचाना है।)

और फिर मैं एक तार्किक प्रश्न सुनता हूं: क्या वे ओजीई या यूएसई में होंगे? परीक्षा में, अपने आप में एक कार्य के रूप में - नहीं। बहुत आसान। लेकिन OGE में या पाठ समस्याओं में - आसानी से! तो अब - हम प्रशिक्षण लेते हैं और निर्णय लेते हैं:

उत्तर (अव्यवस्था में): -2; -एक; कोई संख्या; 2; कोई समाधान नहीं; 7/13.

सब कुछ ठीक हो गया? बढ़िया! परीक्षा में आपके अच्छे अवसर हैं।

कुछ फिट नहीं है? हम्म ... दुख, बिल्कुल। तो कहीं कमी है। या तो आधारों में या समान परिवर्तनों में। या यह साधारण असावधानी की बात है। पाठ को फिर से पढ़ें। इसके लिए यह कोई ऐसा विषय नहीं है जिसे कोई बिना गणित के इतनी आसानी से कर सकता है ...

सफलता मिले! वह निश्चित रूप से आप पर मुस्कुराएगी, मेरा विश्वास करो!)

समीकरण। दूसरे शब्दों में, सभी समीकरणों का समाधान इन परिवर्तनों से शुरू होता है। रैखिक समीकरणों को हल करते समय, यह (समाधान) समान परिवर्तनों पर होता है और अंतिम उत्तर के साथ समाप्त होता है।

अज्ञात चर के लिए गैर-शून्य गुणांक का मामला।

कुल्हाड़ी+बी=0, ए 0

हम सदस्यों को x के साथ एक तरफ और संख्याओं को दूसरी तरफ स्थानांतरित करते हैं। यह याद रखना सुनिश्चित करें कि समीकरण के विपरीत दिशा में शर्तों को स्थानांतरित करते समय, आपको चिह्न बदलने की आवश्यकता होती है:

कुल्हाड़ी:(ए)=-बी:(ए)

हम कम करते हैं एपर एक्सऔर हमें मिलता है:

एक्स=-बी:(ए)

यही उत्तर है। यदि आप जांचना चाहते हैं कि कोई संख्या है या नहीं -बी ० ए)हमारे समीकरण की जड़, तो हमें इसके बजाय प्रारंभिक समीकरण में स्थानापन्न करने की आवश्यकता है एक्सयह वही संख्या है:

a(-b:(a))+b=0 (वे। 0=0)

क्योंकि यह समानता सत्य है, तब -बी ० ए)और सत्य समीकरण की जड़ है।

जवाब: एक्स=-बी:(ए), ए 0।

पहला उदाहरण:

5x+2=7x-6

हम शर्तों को एक तरफ स्थानांतरित करते हैं एक्स, और संख्या के दूसरी तरफ:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

अज्ञात गुणांक के साथ, उन्होंने इसे कम कर दिया और उत्तर प्राप्त किया:

यही उत्तर है। यदि आपको यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या संख्या 4 वास्तव में हमारे समीकरण का मूल है, तो हम मूल समीकरण में x के बजाय इस संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं:

5*4+2=7*4-6 (वे। 22=22)

क्योंकि यह समानता सत्य है, तो 4 समीकरण का मूल है।

दूसरा उदाहरण:

प्रश्न हल करें:

5x+14=x-49

अज्ञात और संख्याओं को अलग-अलग दिशाओं में स्थानांतरित करने पर, हमें मिला:

हम समीकरण के भागों को गुणांक द्वारा विभाजित करते हैं एक्स(4 पर) और प्राप्त करें:

तीसरा उदाहरण:

प्रश्न हल करें:

सबसे पहले, हम सभी पदों को गुणा करके अज्ञात के गुणांक में तर्कहीनता से छुटकारा पाते हैं:

इस फॉर्म को सरलीकृत माना जाता है, क्योंकि संख्या में हर में संख्या का मूल होता है। हमें अंश और हर को समान संख्या से गुणा करके उत्तर को सरल बनाने की आवश्यकता है, हमारे पास यह है:

समाधान नहीं होने का मामला।

प्रश्न हल करें:

2x+3=2x+7

सबके लिए एक्सहमारा समीकरण सच्ची समानता नहीं बनेगा। यानी हमारे समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

एक विशेष मामला अनंत संख्या में समाधान है।

प्रश्न हल करें:

2x+3=2x+3

x और संख्याओं को अलग-अलग दिशाओं में स्थानांतरित करने और समान पदों को लाने पर, हमें समीकरण मिलता है:

यहाँ भी दोनों भागों को 0 से विभाजित करना संभव नहीं है, क्योंकि यह वर्जित है। हालांकि, जगह में डाल रहा है एक्सकोई भी संख्या, हमें सही समानता मिलती है। अर्थात् प्रत्येक संख्या ऐसे समीकरण का हल है। इस प्रकार, समाधान की एक अनंत संख्या है।

उत्तर: अनंत संख्या में समाधान।

दो पूर्ण रूपों की समानता का मामला।

कुल्हाड़ी+बी=सीएक्स+डी

कुल्हाड़ी-सीएक्स=डी-बी

(ए-सी) एक्स = डी-बी

एक्स = (डी-बी): (ए-सी)

जवाब: एक्स = (डी-बी): (ए-सी), अगर डब और असी, अन्यथा अपरिमित रूप से कई समाधान हैं, लेकिन यदि ए = सी, ए डब, तो कोई उपाय नहीं हैं।

एक रैखिक समीकरण एक बीजीय समीकरण है जिसका बहुपदों की पूर्ण डिग्री एक के बराबर होती है। रैखिक समीकरणों को हल करना स्कूली पाठ्यक्रम का हिस्सा है, न कि सबसे कठिन। हालांकि, कुछ अभी भी इस विषय के पारित होने में कठिनाइयों का अनुभव करते हैं। हम आशा करते हैं कि इस सामग्री को पढ़ने के बाद आपके लिए सभी कठिनाइयाँ अतीत में बनी रहेंगी। तो, चलिए इसका पता लगाते हैं। रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें।

सामान्य फ़ॉर्म

रैखिक समीकरण को इस प्रकार दर्शाया गया है:

• ax + b = 0, जहाँ a और b कोई भी संख्या है।

भले ही a और b कोई भी संख्या हो, लेकिन उनके मान समीकरण के हलों की संख्या को प्रभावित करते हैं। समाधान के कई विशेष मामले हैं:

• अगर a=b=0, समीकरण में अनंत समाधान हैं;
• अगर a=0, b≠0, समीकरण का कोई हल नहीं है;
• अगर a≠0, b=0, समीकरण का एक हल है: x = 0.

इस घटना में कि दोनों संख्याओं में गैर-शून्य मान हैं, चर के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए समीकरण को हल करना होगा।

कैसे तय करें?

एक रेखीय समीकरण को हल करने का अर्थ है कि एक चर किसके बराबर है। यह कैसे करना है? हाँ, यह बहुत आसान है - सरल बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करना और स्थानांतरण के नियमों का पालन करना। यदि समीकरण आपके सामने सामान्य रूप में प्रकट हुआ, तो आप भाग्य में हैं, आपको बस इतना करना है:

1. b को समीकरण के दायीं ओर ले जाएँ, चिन्ह बदलना न भूलें (स्थानांतरण नियम!), इस प्रकार, ax + b = 0 के रूप के व्यंजक से ax = -b के रूप का व्यंजक प्राप्त करना चाहिए।
2. नियम लागू करें: कारकों में से एक को खोजने के लिए (x - हमारे मामले में), आपको उत्पाद (-बी हमारे मामले में) को दूसरे कारक (ए - हमारे मामले में) से विभाजित करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, फॉर्म की अभिव्यक्ति प्राप्त की जानी चाहिए: x \u003d -b / a।

बस इतना ही - समाधान मिल गया है!

अब आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें:

1. 2x + 4 = 0 - b को दाईं ओर ले जाएं, जो इस स्थिति में 4 है
2. 2x = -4 - b को a से भाग दें (ऋण चिह्न को न भूलें)
3. एक्स=-4/2=-2

बस इतना ही! हमारा हल: x = -2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण का समाधान खोजना काफी सरल है, लेकिन अगर हम सामान्य रूप में समीकरण को पूरा करने के लिए भाग्यशाली हैं तो सब कुछ इतना आसान है। ज्यादातर मामलों में, ऊपर वर्णित दो चरणों में समीकरण को हल करने से पहले, मौजूदा अभिव्यक्ति को सामान्य रूप में लाना भी आवश्यक है। हालाँकि, यह भी कोई कठिन काम नहीं है। आइए कुछ विशेष मामलों को उदाहरणों के साथ देखें।

विशेष मामलों का समाधान

सबसे पहले, आइए उन मामलों पर एक नज़र डालें जिनका वर्णन हमने लेख की शुरुआत में किया था और समझाते हैं कि अनंत संख्या में समाधान और कोई समाधान नहीं होने का क्या अर्थ है।

• अगर a=b=0, समीकरण इस तरह दिखेगा: 0x + 0 = 0. पहला चरण निष्पादित करने पर, हमें मिलता है: 0x = 0. इस बकवास का क्या अर्थ है, आप क्षमा करें! आखिर आप चाहे किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करें, आपको हमेशा शून्य ही मिलेगा! सही! इसलिए, वे कहते हैं कि समीकरण के अनंत समाधान हैं - आप जो भी संख्या लेंगे, समानता सत्य होगी, 0x \u003d 0 या 0 \u003d 0।
• अगर a=0, b≠0, समीकरण इस तरह दिखेगा: 0x + 3 = 0. हम पहला कदम उठाते हैं, हमें 0x = -3 मिलता है। फिर से बकवास! यह स्पष्ट है कि यह समानता कभी सत्य नहीं होगी! इसलिए वे कहते हैं कि समीकरण का कोई हल नहीं है।
• अगर a≠0, b=0, समीकरण इस तरह दिखेगा: 3x + 0 = 0. पहला कदम उठाते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 3x = 0. समाधान क्या है? यह आसान है, एक्स = 0।

अनुवाद में कठिनाइयाँ

वर्णित विशेष मामले वे सभी नहीं हैं जिनसे रैखिक समीकरण हमें आश्चर्यचकित कर सकते हैं। कभी-कभी पहली नज़र में समीकरण को पहचानना मुश्किल होता है। आइए एक उदाहरण लेते हैं:

• 12x - 14 = 2x + 6

क्या यह एक रैखिक समीकरण है? लेकिन दाईं ओर शून्य का क्या? हम निष्कर्ष पर नहीं पहुंचेंगे, हम कार्य करेंगे - हम अपने समीकरण के सभी घटकों को बाईं ओर स्थानांतरित करेंगे। हम पाते हैं:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

अब पसंद से घटाना, हम प्राप्त करते हैं:

• 10x - 20 = 0

सीखा? अब तक का सबसे रैखिक समीकरण! जिसका हल: x = 20/10 = 2.

क्या होगा अगर हमारे पास यह उदाहरण है:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

हाँ, यह भी एक रैखिक समीकरण है, केवल और अधिक परिवर्तन करने की आवश्यकता है। आइए पहले कोष्ठक का विस्तार करें:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - अब स्थानांतरण करें:
4. 25x - 4 = 0 - पहले से ही ज्ञात योजना के अनुसार समाधान खोजना बाकी है:
5. 25x=4
6. एक्स = 4/25 = 0.16

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ हल हो गया है, मुख्य बात चिंता करना नहीं है, बल्कि कार्य करना है। याद रखें, यदि आपके समीकरण में केवल पहली डिग्री और संख्याओं के चर हैं, तो यह एक रैखिक समीकरण है, जो कि शुरू में कैसा भी दिखता है, इसे सामान्य रूप में घटाया जा सकता है और हल किया जा सकता है। हमें उम्मीद है कि सब कुछ आपके लिए काम करेगा! सफलता मिले!

इस लेख में, हम ऐसे समीकरणों को रैखिक समीकरणों के रूप में हल करने के सिद्धांत पर विचार करते हैं। आइए हम इन समीकरणों की परिभाषा लिखें और सामान्य रूप निर्धारित करें। हम अन्य बातों के अलावा, व्यावहारिक उदाहरणों का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों के समाधान खोजने के लिए सभी स्थितियों का विश्लेषण करेंगे।

कृपया ध्यान दें कि नीचे दी गई सामग्री में एक चर वाले रैखिक समीकरणों की जानकारी है। एक अलग लेख में दो चर वाले रैखिक समीकरणों पर विचार किया जाता है।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

एक रैखिक समीकरण क्या है

परिभाषा 1

रेखीय समीकरणइस तरह लिखा गया एक समीकरण है:
एक एक्स = बी, कहाँ पे एक्स- चर, एऔर बी- कुछ नंबर।

इस सूत्रीकरण का उपयोग यू.एन. मकारिचेव द्वारा बीजगणित पाठ्यपुस्तक (ग्रेड 7) में किया गया है।

उदाहरण 1

रैखिक समीकरणों के उदाहरण होंगे:

3x = 11(एक चर समीकरण एक्सपर ए = 5और बी = 10);

− 3 , 1 y = 0 (चर के साथ रैखिक समीकरण आप, कहाँ पे ए \u003d - 3, 1और बी = 0);

एक्स = -4और - एक्स = 5 , 37(रैखिक समीकरण, जहां संख्या एस्पष्ट रूप से लिखा गया है और क्रमशः 1 और -1 के बराबर है। पहले समीकरण के लिए बी = - 4;दूसरे के लिए - बी = 5, 37) आदि।

विभिन्न शिक्षण सामग्री में अलग-अलग परिभाषाएँ हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, विलेनकिन एन.वाई.ए. रैखिक में वे समीकरण भी शामिल हैं जिन्हें रूप में बदला जा सकता है एक एक्स = बीशब्दों को एक हिस्से से दूसरे हिस्से में एक संकेत परिवर्तन के साथ स्थानांतरित करके और समान शर्तों को लाकर। यदि हम इस व्याख्या का अनुसरण करते हैं, तो समीकरण 5 एक्स = 2 एक्स + 6 -रैखिक भी।

और यहाँ बीजगणित (ग्रेड 7) मोर्दकोविच ए.जी. की पाठ्यपुस्तक है। निम्नलिखित विवरण निर्दिष्ट करता है:

परिभाषा 2

एक चर x के साथ एक रैखिक समीकरण रूप का एक समीकरण है ए एक्स + बी = 0, कहाँ पे एऔर बीकुछ संख्याएँ हैं, जिन्हें रैखिक समीकरण के गुणांक कहा जाता है।

उदाहरण 2

इस तरह के रैखिक समीकरणों का एक उदाहरण हो सकता है:

3 एक्स - 7 = 0 (ए = 3, बी = - 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (ए = 1, 8, बी = 7, 9)।

लेकिन रैखिक समीकरणों के उदाहरण भी हैं जिनका हम पहले ही ऊपर उपयोग कर चुके हैं: एक एक्स = बी, उदाहरण के लिए, 6 एक्स = 35.

हम तुरंत सहमत होंगे कि इस लेख में एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण द्वारा, हम लेखन के समीकरण को समझेंगे ए एक्स + बी = 0, कहाँ पे एक्स- चर; ए, बी गुणांक हैं। हम एक रैखिक समीकरण के इस रूप को सबसे अधिक न्यायसंगत मानते हैं, क्योंकि रैखिक समीकरण पहली डिग्री के बीजीय समीकरण होते हैं। और ऊपर बताए गए अन्य समीकरण, और समकक्ष परिवर्तनों द्वारा दिए गए समीकरणों के रूप में ए एक्स + बी = 0, हम रैखिक समीकरणों को कम करने वाले समीकरणों के रूप में परिभाषित करते हैं।

इस दृष्टिकोण के साथ, समीकरण 5 x + 8 = 0 रैखिक है, और 5 एक्स = −8- एक समीकरण जो एक रैखिक को कम करता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने का सिद्धांत

इस बात पर विचार करें कि किसी दिए गए रैखिक समीकरण के मूल कैसे होंगे और यदि हां, तो कितने और उन्हें कैसे निर्धारित किया जाए।

परिभाषा 3

एक रैखिक समीकरण की जड़ों की उपस्थिति का तथ्य गुणांक के मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है एऔर बी।आइए इन शर्तों को लिखें:

• पर एक 0रैखिक समीकरण का एक ही मूल x = - b a है;
• पर ए = 0और बी 0एक रैखिक समीकरण की कोई जड़ नहीं होती है;
• पर ए = 0और बी = 0एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल होते हैं। वास्तव में, इस मामले में, कोई भी संख्या एक रैखिक समीकरण की जड़ बन सकती है।

आइए एक स्पष्टीकरण दें। हम जानते हैं कि किसी समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, किसी दिए गए समीकरण को एक तुल्य समीकरण में बदलना संभव है, जिसका अर्थ है कि इसके मूल मूल समीकरण के समान हैं, या इसकी कोई जड़ भी नहीं है। हम निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तन कर सकते हैं:

• शब्द को एक भाग से दूसरे भाग में ले जाना, चिन्ह को विपरीत में बदलना;
• एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित करें।

इस प्रकार, हम रैखिक समीकरण को रूपांतरित करते हैं ए एक्स + बी = 0, शब्द को स्थानांतरित करना बीबाईं ओर से दाईं ओर एक संकेत परिवर्तन के साथ। हम पाते हैं: ए · एक्स = - बी।

इसलिए, हम समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित करते हैं ए,जिसके परिणामस्वरूप x = - b a के रूप की समानता होती है। तभी एक 0मूल समीकरण ए एक्स + बी = 0समानता x = - b a के बराबर है, जिसमें मूल - b a स्पष्ट है।

विरोधाभास से, यह प्रदर्शित करना संभव है कि पाया गया जड़ ही एकमात्र है। हम पाए गए रूट का पदनाम निर्धारित करते हैं - b a as एक्स 1।आइए मान लें कि अंकन के साथ रैखिक समीकरण की एक और जड़ है एक्स 2।और निश्चित रूप से: एक्स 2 एक्स 1,और यह, बदले में, अंतर के माध्यम से समान संख्याओं की परिभाषा के आधार पर, स्थिति के बराबर है एक्स 1 - एक्स 2 ≠ 0।उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए, हम जड़ों को प्रतिस्थापित करके निम्नलिखित समानताएं बना सकते हैं:
ए एक्स 1 + बी = 0और ए · एक्स 2 + बी = 0।
संख्यात्मक समानता की संपत्ति समानता के कुछ हिस्सों का शब्द-दर-अवधि घटाव करना संभव बनाती है:

ए एक्स 1 + बी - (ए एक्स 2 + बी) = 0 - 0, यहां से: ए (एक्स 1 - एक्स 2) + (बी - बी) = 0और इसके बाद में ए (एक्स 1 - एक्स 2) = 0।समानता ए (एक्स 1 - एक्स 2) = 0गलत है, क्योंकि यह शर्त पहले दी गई थी कि एक 0और एक्स 1 - एक्स 2 ≠ 0।प्राप्त विरोधाभास इस बात के प्रमाण के रूप में कार्य करता है कि एक 0रेखीय समीकरण ए एक्स + बी = 0केवल एक जड़ है।

आइए हम शर्तों के दो और खंडों की पुष्टि करें जिनमें शामिल हैं ए = 0।

कब ए = 0रेखीय समीकरण ए एक्स + बी = 0के रूप में लिखा जाएगा 0 एक्स + बी = 0. किसी संख्या को शून्य से गुणा करने का गुण हमें यह दावा करने का अधिकार देता है कि चाहे किसी भी संख्या को लिया जाए एक्स, इसे समानता में प्रतिस्थापित करना 0 एक्स + बी = 0, हमें बी = 0 मिलता है। समानता ख = 0 के लिए मान्य है; अन्य मामलों में जब बी 0समानता अमान्य हो जाती है।

इस प्रकार, जब ए = 0और बी = 0 , कोई भी संख्या रैखिक समीकरण का मूल हो सकती है ए एक्स + बी = 0, चूंकि इन शर्तों के तहत, के बजाय प्रतिस्थापित करना एक्सकिसी भी संख्या में, हमें सही संख्यात्मक समानता मिलती है 0 = 0 . कब ए = 0और बी 0रेखीय समीकरण ए एक्स + बी = 0जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी, क्योंकि निर्दिष्ट शर्तों के तहत, के बजाय प्रतिस्थापित करना एक्सकोई भी संख्या, हमें गलत संख्यात्मक समानता मिलती है बी = 0.

उपरोक्त सभी तर्क हमें एक एल्गोरिथम लिखने का अवसर देते हैं जो किसी भी रैखिक समीकरण का हल खोजना संभव बनाता है:

• रिकॉर्ड के प्रकार से हम गुणांक के मान निर्धारित करते हैं एऔर बीऔर उनका विश्लेषण करें;
• पर ए = 0और बी = 0समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल होंगे, अर्थात्। कोई भी संख्या दिए गए समीकरण का मूल बन जाएगी;
• पर ए = 0और बी 0
• पर ए, शून्य से भिन्न, हम मूल रैखिक समीकरण के एकमात्र मूल की खोज शुरू करते हैं:

1. स्थानांतरण गुणांक बीदायीं ओर संकेत के विपरीत दिशा में परिवर्तन के साथ, रैखिक समीकरण को रूप में लाना एक एक्स = -बी;
2. परिणामी समानता के दोनों भागों को संख्या से विभाजित करें ए, जो हमें दिए गए समीकरण का वांछित मूल देगा: x = - b a ।

दरअसल, क्रियाओं का वर्णित क्रम इस प्रश्न का उत्तर है कि रैखिक समीकरण का हल कैसे खोजा जाए।

अंत में, हम स्पष्ट करते हैं कि फॉर्म के समीकरण एक एक्स = बीएक समान एल्गोरिथ्म द्वारा हल किया जाता है जिसमें केवल अंतर होता है कि संख्या बीइस तरह के एक अंकन में पहले ही समीकरण के वांछित भाग में स्थानांतरित कर दिया गया है, और कब एक 0आप समीकरण के भागों को तुरंत एक संख्या से विभाजित कर सकते हैं ए.

इस प्रकार, समीकरण का हल खोजने के लिए एक एक्स = बी,हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करते हैं:

• पर ए = 0और बी = 0समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल होंगे, अर्थात्। कोई भी संख्या उसका मूल बन सकती है;
• पर ए = 0और बी 0दिए गए समीकरण के मूल नहीं होंगे;
• पर ए, शून्य के बराबर नहीं, समीकरण के दोनों पक्ष संख्या से विभाज्य हैं ए, जो के बराबर एक एकल जड़ को खोजना संभव बनाता है बी ० ए.

रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 3

एक रैखिक समीकरण को हल करना आवश्यक है 0 एक्स - 0 = 0.

फेसला

दिए गए समीकरण को लिखने से हम देखते हैं कि ए = 0और बी = -0(या बी = 0जो वही है)। इस प्रकार, दिए गए समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल या कोई भी संख्या हो सकती है।

जवाब: एक्स- कोई संख्या।

उदाहरण 4

यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या समीकरण की जड़ें हैं 0 एक्स + 2, 7 = 0.

फेसला

रिकॉर्ड से, हम निर्धारित करते हैं कि a \u003d 0, b \u003d 2, 7। अत: दिए गए समीकरण के मूल नहीं होंगे।

जवाब:मूल रैखिक समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उदाहरण 5

एक रैखिक समीकरण दिया गया है 0 , 3 x - 0 , 027 = 0।इसे हल करने की जरूरत है।

फेसला

समीकरण लिखकर, हम यह निर्धारित करते हैं कि a \u003d 0, 3; b = - 0 , 027 , जो हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि दिए गए समीकरण का एक ही मूल है।

एल्गोरिथ्म का अनुसरण करते हुए, हम b को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, संकेत बदलते हुए, हमें मिलता है: 0.3 x = 0.027.अगला, हम परिणामी समानता के दोनों हिस्सों को एक \u003d 0, 3 से विभाजित करते हैं, फिर: x \u003d 0, 027 0, 3।

आइए दशमलव को विभाजित करें:

0.027 0.3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0.09

प्राप्त परिणाम दिए गए समीकरण का मूल है।

समाधान को संक्षेप में इस प्रकार लिखें:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09।

जवाब:एक्स = 0, 09।

स्पष्टता के लिए, हम रिकॉर्ड के समीकरण का हल प्रस्तुत करते हैं एक एक्स = बी.

उदाहरण संख्या

समीकरण दिए गए हैं: 1) 0 x = 0; 2) 0 एक्स = - 9; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . इनका समाधान करना जरूरी है।

फेसला

सभी दिए गए समीकरण रिकॉर्ड के अनुरूप हैं एक एक्स = बी. आइए इसे बारी-बारी से मानें।

समीकरण 0 x = 0 , a = 0 और . में बी = 0, जिसका अर्थ है: कोई भी संख्या इस समीकरण का मूल हो सकती है।

दूसरे समीकरण में 0 x = -9: a = 0 और b = -9 ,अत: इस समीकरण के मूल नहीं होंगे।

अंतिम समीकरण के रूप में - 3 8 x = - 3 3 4 हम गुणांक लिखते हैं: a = - 3 8, b = - 3 3 4, अर्थात्। समीकरण की एक ही जड़ है। चलो उसे ढूंढते हैं। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को a से विभाजित करें, हमें परिणाम मिलता है: x = - 3 3 4 - 3 8। आइए ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए नियम लागू करके भिन्न को सरल करें, फिर मिश्रित संख्या को एक साधारण भिन्न में परिवर्तित करें और साधारण भिन्नों को विभाजित करें:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

समाधान को संक्षेप में इस प्रकार लिखें:

3 8 x = - 3 3 4, x = - 3 3 4 - 3 8, x = 10।

जवाब: 1) एक्स- कोई भी संख्या, 2) समीकरण का कोई मूल नहीं है, 3) x = 10।

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