पासा फेंकने के उदाहरण का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर विचार किया जा सकता है। प्रत्येक फेंक के साथ, गिराए गए अंक दर्ज किए जाते हैं। उन्हें व्यक्त करने के लिए 1 - 6 की सीमा में प्राकृतिक मूल्यों का उपयोग किया जाता है।

थ्रो की एक निश्चित संख्या के बाद, सरल गणनाओं का उपयोग करके, आप गिरे हुए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कर सकते हैं।

किसी भी श्रेणी मान को छोड़ने के साथ-साथ, यह मान यादृच्छिक होगा।

और अगर आप कई बार थ्रो की संख्या बढ़ाते हैं? बड़ी संख्या में थ्रो के साथ, अंक का अंकगणितीय माध्य मान एक विशिष्ट संख्या तक पहुंच जाएगा, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा का नाम मिला है।

तो, गणितीय अपेक्षा को एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में समझा जाता है। इस सूचक को संभावित मूल्यों के भारित योग के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है।

इस अवधारणा के कई पर्यायवाची शब्द हैं:

• अर्थ;
• औसत मूल्य;
• केंद्रीय प्रवृत्ति संकेतक;
• पहला क्षण।

दूसरे शब्दों में, यह एक संख्या से अधिक कुछ नहीं है जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मान वितरित किए जाते हैं।

मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में, गणितीय अपेक्षा को समझने के दृष्टिकोण कुछ भिन्न होंगे।

इसे इस प्रकार देखा जा सकता है:

• किसी निर्णय को अपनाने से प्राप्त औसत लाभ, उस स्थिति में जब इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से माना जाता है;
• जीतने या हारने की संभावित राशि (जुआ सिद्धांत), प्रत्येक दांव के लिए औसतन गणना की जाती है। कठबोली में, वे "खिलाड़ी के लाभ" (खिलाड़ी के लिए सकारात्मक) या "कैसीनो लाभ" (खिलाड़ी के लिए नकारात्मक) की तरह लगते हैं;
• जीत से प्राप्त लाभ का प्रतिशत।

सभी यादृच्छिक चरों के लिए गणितीय अपेक्षा अनिवार्य नहीं है। यह उन लोगों के लिए अनुपस्थित है जिनके पास संबंधित योग या अभिन्न में विसंगति है।

उम्मीद गुण

किसी भी सांख्यिकीय पैरामीटर की तरह, गणितीय अपेक्षा में निम्नलिखित गुण होते हैं:

गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र

गणितीय अपेक्षा की गणना निरंतरता (सूत्र ए) और विसंगति (सूत्र बी) दोनों की विशेषता वाले यादृच्छिक चर दोनों के लिए की जा सकती है:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, जहां xi यादृच्छिक चर के मान हैं, pi संभावनाएं हैं:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, जहां f(x) एक निश्चित संभाव्यता घनत्व है।

गणितीय अपेक्षा की गणना के उदाहरण

उदाहरण ए.

क्या स्नो व्हाइट के बारे में परी कथा में सूक्ति की औसत ऊंचाई का पता लगाना संभव है। यह ज्ञात है कि 7 सूक्तियों में से प्रत्येक की एक निश्चित ऊँचाई थी: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 और 0.81 मी.

गणना एल्गोरिथ्म काफी सरल है:

• विकास संकेतक (यादृच्छिक चर) के सभी मूल्यों का योग ज्ञात करें:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• परिणामी राशि को सूक्ति की संख्या से विभाजित किया जाता है:
  6,31:7=0,90.

इस प्रकार, एक परी कथा में सूक्ति की औसत ऊंचाई 90 सेमी है। दूसरे शब्दों में, यह सूक्ति के विकास की गणितीय अपेक्षा है।

कार्य सूत्र - एम (एक्स) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

गणितीय अपेक्षा का व्यावहारिक कार्यान्वयन

व्यावहारिक गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय अपेक्षा के सांख्यिकीय संकेतक की गणना का सहारा लिया जाता है। सबसे पहले, हम वाणिज्यिक क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। वास्तव में, हाइजेंस द्वारा इस सूचक की शुरूआत उन संभावनाओं के निर्धारण से जुड़ी है जो किसी घटना के लिए अनुकूल, या इसके विपरीत, प्रतिकूल हो सकती हैं।

इस पैरामीटर का व्यापक रूप से जोखिम मूल्यांकन के लिए उपयोग किया जाता है, खासकर जब वित्तीय निवेश की बात आती है।
इसलिए, व्यवसाय में, गणितीय अपेक्षा की गणना कीमतों की गणना करते समय जोखिम का आकलन करने के लिए एक विधि के रूप में कार्य करती है।

इसके अलावा, इस सूचक का उपयोग कुछ उपायों की प्रभावशीलता की गणना करते समय किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, श्रम सुरक्षा पर। इसके लिए धन्यवाद, आप किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना कर सकते हैं।

इस पैरामीटर के आवेदन का एक अन्य क्षेत्र प्रबंधन है। इसकी गणना उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, मैट का उपयोग करना। उम्मीदों, आप दोषपूर्ण भागों के निर्माण की संभावित संख्या की गणना कर सकते हैं।

वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान प्राप्त परिणामों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण के दौरान गणितीय अपेक्षा भी अपरिहार्य है। यह आपको लक्ष्य की उपलब्धि के स्तर के आधार पर किसी प्रयोग या अध्ययन के वांछित या अवांछनीय परिणाम की संभावना की गणना करने की भी अनुमति देता है। आखिरकार, इसकी उपलब्धि लाभ और लाभ से जुड़ी हो सकती है, और इसकी गैर-उपलब्धि - हानि या हानि के रूप में।

विदेशी मुद्रा में गणितीय अपेक्षा का उपयोग करना

विदेशी मुद्रा बाजार में लेनदेन करते समय इस सांख्यिकीय पैरामीटर का व्यावहारिक अनुप्रयोग संभव है। इसका उपयोग व्यापार लेनदेन की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, अपेक्षा के मूल्य में वृद्धि उनकी सफलता में वृद्धि का संकेत देती है।

यह भी याद रखना महत्वपूर्ण है कि गणितीय अपेक्षा को एक व्यापारी के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एकमात्र सांख्यिकीय पैरामीटर के रूप में नहीं माना जाना चाहिए। औसत मूल्य के साथ-साथ कई सांख्यिकीय मापदंडों के उपयोग से कई बार विश्लेषण की सटीकता बढ़ जाती है।

ट्रेडिंग खातों की टिप्पणियों की निगरानी में इस पैरामीटर ने खुद को अच्छी तरह साबित कर दिया है। उसके लिए धन्यवाद, जमा खाते पर किए गए कार्यों का त्वरित मूल्यांकन किया जाता है। ऐसे मामलों में जहां व्यापारी की गतिविधि सफल होती है और वह नुकसान से बचता है, केवल गणितीय अपेक्षा की गणना का उपयोग करने की अनुशंसा नहीं की जाती है। इन मामलों में, जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, जो विश्लेषण की प्रभावशीलता को कम करता है।

व्यापारियों की रणनीति के किए गए अध्ययनों से संकेत मिलता है कि:

• यादृच्छिक इनपुट पर आधारित रणनीति सबसे प्रभावी हैं;
• संरचित इनपुट पर आधारित रणनीति सबसे कम प्रभावी हैं।

सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए, यह समान रूप से महत्वपूर्ण है:

• धन प्रबंधन रणनीति;
• बाहर निकलने की रणनीतियाँ।

गणितीय अपेक्षा के रूप में इस तरह के एक संकेतक का उपयोग करके, हम मान सकते हैं कि 1 डॉलर का निवेश करने पर लाभ या हानि क्या होगी। यह ज्ञात है कि कैसीनो में अभ्यास किए जाने वाले सभी खेलों के लिए गणना की गई यह सूचक संस्था के पक्ष में है। यह वही है जो आपको पैसा बनाने की अनुमति देता है। खेलों की एक लंबी श्रृंखला के मामले में, ग्राहक द्वारा पैसे खोने की संभावना काफी बढ़ जाती है।

पेशेवर खिलाड़ियों के खेल छोटे समय अवधि तक सीमित होते हैं, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है और हारने का जोखिम कम हो जाता है। निवेश संचालन के प्रदर्शन में भी यही पैटर्न देखा जाता है।

एक निवेशक सकारात्मक अपेक्षा और कम समय में बड़ी संख्या में लेनदेन के साथ एक महत्वपूर्ण राशि कमा सकता है।

प्रत्याशा को लाभ के प्रतिशत (पीडब्लू) के औसत लाभ (एडब्ल्यू) और हानि की संभावना (पीएल) के औसत नुकसान (एएल) के बीच के अंतर के रूप में माना जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित पर विचार करें: स्थिति - 12.5 हजार डॉलर, पोर्टफोलियो - 100 हजार डॉलर, प्रति जमा जोखिम - 1%। लेनदेन की लाभप्रदता 20% के औसत लाभ के साथ 40% मामलों में है। हानि की स्थिति में, औसत हानि 5% है। एक व्यापार के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करने से $625 का मूल्य मिलता है।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है

गणितीय अपेक्षा, परिभाषा, असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, चयनात्मक, सशर्त अपेक्षा, गणना, गुण, कार्य, अपेक्षा का अनुमान, विचरण, वितरण कार्य, सूत्र, गणना उदाहरण

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गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा

गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता है। आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह जोखिम का आकलन करने, वित्तीय बाजारों में व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण है, और जुआ के सिद्धांत में रणनीतियों और खेल रणनीति के तरीकों के विकास में उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का माध्य मान, एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का माप। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).

गणितीय अपेक्षा है

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।

गणितीय अपेक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैजुआ सिद्धांत में, प्रत्येक बेट के लिए औसतन, एक खिलाड़ी जितनी जीत या हार सकता है, वह राशि। जुआरी की भाषा में, इसे कभी-कभी "गेमर्स एज" (यदि खिलाड़ी के लिए सकारात्मक हो) या "हाउस एज" (यदि खिलाड़ी के लिए नकारात्मक हो) कहा जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैप्रति जीत लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा करके नुकसान की संभावना को औसत नुकसान से गुणा किया जाता है।

गणितीय सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

एक यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। यादृच्छिक चर के एक सेट पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक है, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मूल्यों के लिए परिभाषित एक फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के वितरण का संयुक्त कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।

शब्द "उम्मीद" पियरे साइमन मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और "अदायगी के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से उत्पन्न हुआ था, जो पहली बार 17 वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल और क्रिश्चियन ह्यूजेंस के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। . हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन Pafnuty Lvovich Chebyshev (19 वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।

यादृच्छिक संख्यात्मक चर का वितरण नियम (वितरण फलन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का पूरी तरह से वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) जानना पर्याप्त है। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं गणितीय अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका हैं।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों पर एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इसका मूल्य यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मूल्य से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।

गणितीय अपेक्षा का एक सरल भौतिक अर्थ है: यदि एक इकाई द्रव्यमान को एक सीधी रेखा पर रखा जाता है, कुछ द्रव्यमान को कुछ बिंदुओं पर (एक असतत वितरण के लिए), या एक निश्चित घनत्व के साथ "स्मीयरिंग" (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए), तो गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु सीधे "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र" समन्वय होगा।

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि इसका "प्रतिनिधि" है और इसे अनुमानित अनुमानित गणना में बदल देता है। जब हम कहते हैं: "औसत दीपक संचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है", हम इसके द्वारा एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत देते हैं जो इसका वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर स्थान, अर्थात। स्थान का विवरण।

संभाव्यता सिद्धांत में एक स्थिति की विशेषताओं में, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी एक यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है।

एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, जिसके संभावित मूल्य हैं x1, x2,…, xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2,…, पीएन. हमें इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं हैं, हमें एक्स-अक्ष पर यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्याओं द्वारा चिह्नित करने की आवश्यकता है। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है ग्यारहवीं, और औसत के दौरान प्रत्येक मान xi को इस मूल्य की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करेंगे एम|एक्स|:

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक पर विचार किया - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है।

एक्सबड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीबोगरीब निर्भरता के कारण। यह निर्भरता उसी प्रकार की है जैसे आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर दृष्टिकोण के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य (संभाव्यता में अभिसरण) इसकी गणितीय अपेक्षा। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध की उपस्थिति से, एक परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध के अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है। दरअसल, एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, वितरण की एक श्रृंखला द्वारा विशेषता:

इसे उत्पादित होने दें एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित मूल्य लेता है। मान लीजिए मान x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, सामान्य अर्थ ग्यारहवींमील बार दिखाई दिया। आइए हम एक्स के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम|एक्स|हम निरूपित करेंगे एम*|एक्स|:

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनआवृत्तियों अनुकरणीय(संभाव्यता में अभिसरण) संबंधित संभावनाओं तक पहुंच जाएगा। इसलिए, यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों का अंकगणितीय माध्य एम|एक्स|प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह अपनी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभाव्यता में अभिसरण)। ऊपर दिए गए अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मान वाले प्रेक्षणों की श्रृंखला से अंकगणित माध्य के स्थायित्व के बारे में बात कर रहे हैं। प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और स्थिर हो जाता है, स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा तक पहुंचता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, प्रयोगशाला में किसी पिंड को सटीक पैमानों पर तौलना, तोलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मान मिलता है; अवलोकन की त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चरों के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन। हालांकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, हम जिन यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं, उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक अपेक्षा होती है।

एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा, अन्य स्थिति विशेषताओं का उपयोग कभी-कभी व्यवहार में किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।

यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्रा पर लागू होता है; एक सतत मात्रा के लिए, बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "बहुविध" कहा जाता है।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है। इस तरह के वितरण को "एंटीमॉडल" कहा जाता है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। एक विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल (यानी एक मोड होता है) और गणितीय अपेक्षा होती है, तो यह वितरण के समरूपता के केंद्र और मोड के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक और विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र द्विभाजित होता है।

सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका माध्य और बहुलक के साथ मेल खाती है।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का औसत मान है - एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण की एक संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स (डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:

गणितीय अपेक्षा की गणना Lebesgue अभिन्न के रूप में भी की जा सकती है एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलमात्रा एक्स:

स्वाभाविक रूप से, कोई भी अनंत गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर की अवधारणा को परिभाषित कर सकता है। एक विशिष्ट उदाहरण कुछ रैंडम वॉक में वापसी का समय है।

गणितीय अपेक्षा की सहायता से, वितरण की कई संख्यात्मक और कार्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित किया जाता है (एक यादृच्छिक चर के संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन उत्पन्न करना, विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से, विचरण , सहप्रसरण।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका स्थिर क्षण की भूमिका के समान होती है - बड़े पैमाने पर वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समन्वय - यांत्रिकी में। स्थान की अन्य विशेषताओं से, जिसकी मदद से वितरण को सामान्य शब्दों में वर्णित किया जाता है - माध्यिका, मोड, गणितीय अपेक्षा अधिक मूल्य में भिन्न होती है कि यह और संबंधित प्रकीर्णन विशेषता - फैलाव - संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों में होती है . सबसे बड़ी पूर्णता के साथ, बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा गणितीय अपेक्षा का अर्थ प्रकट होता है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

कुछ यादृच्छिक चर होने दें जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकता है (उदाहरण के लिए, एक डाई रोल में अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5, या 6) हो सकती है। अक्सर व्यवहार में, इस तरह के मूल्य के लिए सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य लेता है? प्रत्येक जोखिम भरे कार्य से हमारा औसत प्रतिफल (या हानि) क्या होगा?

मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या नियमित रूप से बार-बार भाग लेना)। मान लीजिए कि हर चौथा टिकट जीतता है, पुरस्कार 300 रूबल होगा, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल होगी। असीमित संख्या में भागीदारी के साथ, ऐसा ही होता है। तीन-चौथाई मामलों में, हम हारेंगे, हर तीन नुकसान में 300 रूबल की लागत आएगी। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार माइनस कॉस्ट), यानी चार भागीदारी के लिए, हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर प्रति टिकट 25 रूबल होगी।

हम एक पासा फेंकते हैं। यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को स्थानांतरित किए बिना, आदि), तो हमारे पास एक समय में औसतन कितने अंक होंगे? चूँकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से सम्भाव्य है, हम गूढ़ अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूंकि यह औसत है, इसलिए नाराज होने की कोई आवश्यकता नहीं है कि कोई विशेष थ्रो 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में इतनी संख्या वाला चेहरा नहीं है!

आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

आइए ऊपर की तस्वीर पर एक नजर डालते हैं। बाईं ओर एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। X का मान n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिया गया)। कोई अन्य मूल्य नहीं हो सकता। प्रत्येक संभावित मूल्य के तहत, इसकी संभावना नीचे हस्ताक्षरित है। दाईं ओर एक सूत्र है, जहाँ M(X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मूल्य का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मूल्य इस गणितीय अपेक्षा की ओर अग्रसर होगा।

चलिए वापस उसी प्लेइंग क्यूब पर चलते हैं। एक थ्रो में अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आप इस पर विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके स्वयं की गणना करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। 4 और 6 गिर गए। औसतन, यह 5 निकला, यानी 3.5 से बहुत दूर। उन्होंने इसे फिर से फेंक दिया, 3 गिर गए, यानी औसतन (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... गणितीय अपेक्षा से किसी तरह दूर। अब एक पागल प्रयोग करें - घन को 1000 बार रोल करें! और अगर औसत बिल्कुल 3.5 नहीं है, तो यह उसके करीब होगा।

आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। तालिका इस तरह दिखेगी:

तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है।

एक और बात यह है कि यह "उंगलियों पर" भी है, बिना सूत्र के, अधिक विकल्प होने पर यह मुश्किल होगा। ठीक है, मान लें कि 75% हारने वाले टिकट, 20% जीतने वाले टिकट और 5% जीतने वाले टिकट थे।

अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।

इसे साबित करना आसान है:

एक निरंतर गुणक को उम्मीद के संकेत से निकाला जा सकता है, जो है:

यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।

गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:

अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा, यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

मान लीजिए X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तब:

यह साबित करना भी आसान है) XYअपने आप में एक यादृच्छिक चर है, जबकि यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनऔर एममान, क्रमशः, तब XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभाव्यता घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह, वास्तव में, इस स्थिति की विशेषता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, कुछ - कम बार। उदाहरण के लिए, इस चार्ट पर विचार करें:

यहां एक्स- वास्तव में एक यादृच्छिक चर, एफ (एक्स)- वितरण घनत्व। इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों के दौरान, मान एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी। अधिक होने की संभावना 3 या कम हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक।

आइए, उदाहरण के लिए, एक समान वितरण है:

यह सहज ज्ञान युक्त समझ के अनुरूप है। मान लीजिए कि अगर हमें एक समान वितरण के साथ बहुत सारी यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं, तो प्रत्येक खंड |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।

गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू होते हैं, यहां भी लागू होते हैं।

अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के साथ गणितीय अपेक्षा का संबंध

सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटना की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। अक्सर, भिन्नता संकेतकों का स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और आगे के डेटा विश्लेषण के लिए उपयोग किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, जो एक मूल्यवान सांख्यिकीय विशेषता है।

सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता को दर्शाने वाला सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है फैलाव, जो सबसे निकट और सीधे गणितीय अपेक्षा से संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माध्य रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी उस सीमा को दर्शाता है जिस तक डेटा माध्य के चारों ओर बिखरा हुआ है।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। यह पता चला है कि विचरण विचलन का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच के अंतर को लिया जाता है, चुकता किया जाता है, जोड़ा जाता है और फिर इस जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और माध्य के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए चुकता किया जाता है कि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्या बन जाते हैं और जब उन्हें योग किया जाता है तो सकारात्मक और नकारात्मक विचलन के पारस्परिक रद्दीकरण से बचने के लिए। फिर, वर्ग विचलन को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन। विचलन चुकता है, और औसत माना जाता है। जादुई शब्द "फैलाव" का उत्तर सिर्फ तीन शब्द है।

हालांकि, अपने शुद्ध रूप में, जैसे, उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, फैलाव का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। उसके पास माप की एक सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र को देखते हुए, यह मूल डेटा इकाई का वर्ग है।

आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस गुना मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। माध्य मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

या हम पासे को कई बार घुमाएंगे। प्रत्येक थ्रो के दौरान पासे पर गिरने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकता है। एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या की ओर जाता है - गणितीय अपेक्षा एमएक्स. इस मामले में, एमएक्स = 3.5।

यह मूल्य कैसे आया? भीतर आएं एनपरीक्षणों एन 1एक बार 1 अंक गिर जाने पर, एन 2बार - 2 अंक और इसी तरह। फिर परिणामों की संख्या जिसमें एक बिंदु गिर गया:

इसी तरह परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक गिरे।

आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर x मान x1, x2, ..., xk को प्रायिकता p1, p2, ... के साथ ले सकता है। , पी.के.

एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx है:

गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। इसलिए, औसत वेतन का अनुमान लगाने के लिए, माध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात ऐसा मूल्य कि औसत वेतन से कम और अधिक प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या समान हो।

प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से कम है और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से बड़ा है, समान और 1/2 के बराबर है। माध्यिका सभी वितरणों के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।

मानक या मानक विचलनआँकड़ों में, औसत मान से अवलोकन डेटा या सेट के विचलन की डिग्री को कहा जाता है। अक्षर s या s द्वारा निरूपित। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा को माध्य के आसपास समूहीकृत किया गया है, और एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे बहुत दूर है। मानक विचलन एक मात्रा के वर्गमूल के बराबर होता है जिसे प्रसरण कहा जाता है। यह माध्य से विचलन वाले प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है। एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है:

उदाहरण। एक लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, एक यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना करें:

उतार-चढ़ाव- उतार-चढ़ाव, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य की परिवर्तनशीलता। एक विशेषता के अलग-अलग संख्यात्मक मान जो अध्ययन की गई आबादी में होते हैं, मूल्यों के रूप कहलाते हैं। जनसंख्या के पूर्ण लक्षण वर्णन के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करना आवश्यक बनाती है जो अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करना संभव बनाता है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

अवधि भिन्नता(आर) अध्ययन की गई आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है। यह संकेतक अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव का सबसे सामान्य विचार देता है, क्योंकि यह केवल विकल्पों के चरम मूल्यों के बीच का अंतर दिखाता है। विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता की सीमा को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र देती है।

औसत रैखिक विचलनउनके औसत मूल्य से विश्लेषित जनसंख्या के सभी मूल्यों के निरपेक्ष (मॉड्यूलो) विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

जुआ सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा हैएक जुआरी किसी दिए गए दांव पर जीत या हार की औसत राशि। यह एक खिलाड़ी के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह अधिकांश खेल स्थितियों के आकलन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और खेल स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए गणितीय अपेक्षा भी सबसे अच्छा उपकरण है।

मान लीजिए कि आप एक दोस्त के साथ सिक्का खेल रहे हैं, हर बार बराबर $1 की बाजी लगा रहे हैं, चाहे कुछ भी हो। पूंछ - तुम जीतते हो, सिर - तुम हारते हो। इसके पूंछ आने की संभावना एक से एक है और आप $ 1 से $ 1 पर दांव लगा रहे हैं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय रूप से बोलते हुए, आप यह नहीं जान सकते कि आप दो रोल के बाद आगे बढ़ेंगे या हारेंगे या 200 के बाद।

आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है। प्रति घंटा भुगतान वह राशि है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक घंटे में एक सिक्के को 500 बार पलट सकते हैं, लेकिन आप न तो जीतेंगे और न ही हारेंगे क्योंकि आपकी संभावनाएं न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। देखा जाए तो एक गंभीर खिलाड़ी की दृष्टि से इस तरह का सट्टा सिस्टम खराब नहीं है। लेकिन यह सिर्फ समय की बर्बादी है।

लेकिन मान लीजिए कि कोई व्यक्ति उसी गेम में आपके $1 के विरुद्ध $2 का दांव लगाना चाहता है। फिर आपको तुरंत प्रत्येक बेट से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक बेट जीतते हैं और दूसरा हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और $ 1 खो दें, दूसरे पर दांव लगाएं और $ 2 जीतें। आपने $1 पर दो बार बेट लगाया है और $1 से आगे हैं। तो आपके प्रत्येक एक डॉलर के दांव ने आपको 50 सेंट दिए।

यदि सिक्का एक घंटे में 500 बार गिरता है, तो आपका प्रति घंटा लाभ पहले से ही $250 होगा, क्योंकि। औसतन, आप $1 250 बार हारे और $2 250 बार जीते। $500 माइनस $250 बराबर $250 है, जो कि कुल जीत है। ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो कि एक दांव पर आपके द्वारा औसतन जीती जाने वाली राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर की शर्त लगाकर 250 डॉलर जीते, जो आपके दांव के 50 सेंट के बराबर है।

गणितीय अपेक्षा का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $2 की शर्त लगाने का फैसला किया है, आपको लगातार पहले दस टॉस पर हरा सकता है, लेकिन आप, 2-टू-1 बेटिंग लाभ के साथ, बाकी सभी बराबर होने के कारण, आप किसी भी शर्त के तहत प्रत्येक $1 के दांव पर 50 सेंट बनाते हैं। परिस्थितियाँ। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक शर्त या कई दांव जीतते हैं या हारते हैं, लेकिन केवल इस शर्त पर कि आपके पास लागतों की आसानी से भरपाई करने के लिए पर्याप्त नकदी है। यदि आप इसी तरह से सट्टा लगाते रहते हैं, तो एक लंबी अवधि में आपकी जीत व्यक्तिगत रोल में अपेक्षित मूल्यों के योग तक आ जाएगी।

हर बार जब आप सबसे अच्छा दांव लगाते हैं (एक शर्त जो लंबे समय में लाभदायक हो सकती है) जब ऑड्स आपके पक्ष में होते हैं, तो आप उस पर कुछ जीतने के लिए बाध्य होते हैं, चाहे आप इसे किसी दिए गए हाथ में खो दें या नहीं। इसके विपरीत, यदि आपने एक बदतर शर्त (एक शर्त जो लंबे समय में लाभहीन है) बनाई है, जब ऑड्स आपके पक्ष में नहीं हैं, तो आप कुछ खो देते हैं, चाहे आप जीतें या हारें।

यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ शर्त लगाते हैं, और यदि ऑड्स आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। सबसे खराब परिणाम के साथ दांव लगाने से, आप एक नकारात्मक उम्मीद रखते हैं, जो तब होता है जब ऑड्स आपके खिलाफ होते हैं। गंभीर खिलाड़ी केवल सबसे अच्छे परिणाम के साथ दांव लगाते हैं, सबसे खराब के साथ - वे गुना करते हैं। आपके पक्ष में बाधाओं का क्या अर्थ है? आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत हासिल कर सकते हैं। टेल मारने की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन सट्टेबाजी अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिलता है। इस मामले में संभावनाएं आपके पक्ष में हैं। आपको निश्चित रूप से 50 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक उम्मीद के साथ सबसे अच्छा परिणाम मिलता है।

यहाँ गणितीय अपेक्षा का अधिक जटिल उदाहरण है। मित्र एक से पांच तक की संख्या लिखता है और आपके $1 के विरुद्ध $5 की शर्त लगाता है कि आप संख्या नहीं चुनेंगे। क्या आप ऐसी शर्त से सहमत हैं? यहाँ क्या उम्मीद है?

औसतन, आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 होगी। संभावना है कि आप एक प्रयास में एक डॉलर खो देंगे। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, 4 से 1 हारने की संभावना के साथ। इसलिए, ऑड्स आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और सर्वोत्तम परिणाम की आशा कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो आप औसतन चार गुना $1 खो देंगे और एक बार $5 जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए आप 20 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ $1 अर्जित करेंगे।

एक खिलाड़ी जो ऊपर दिए गए उदाहरण के अनुसार दांव से अधिक जीतने वाला है, बाधाओं को पकड़ रहा है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह अवसरों को बर्बाद कर देता है। दांव लगाने वाला या तो सकारात्मक या नकारात्मक उम्मीद कर सकता है, इस पर निर्भर करता है कि वह बाधाओं को पकड़ रहा है या बर्बाद कर रहा है।

यदि आप $50 जीतने के लिए $10 जीतने के लिए 4 से 1 मौका देते हैं, तो आपको $ 2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी, क्योंकि औसतन, आप $10 का चार गुना जीतेंगे और एक बार $50 का नुकसान करेंगे, जो दर्शाता है कि प्रति बेट का नुकसान $10 होगा। लेकिन अगर आप $30 जीतने के लिए $30 की शर्त लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान बाधाओं के साथ, तो इस मामले में आपको $2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप फिर से $10 के लाभ के लिए चार गुना $10 जीतते हैं और एक बार $30 खो देते हैं। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पहला दांव खराब है और दूसरा अच्छा है।

गणितीय अपेक्षा किसी भी खेल की स्थिति का केंद्र है। जब कोई सट्टेबाज फ़ुटबॉल प्रशंसकों को $11 जीतने के लिए $10 की शर्त लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उन्हें प्रत्येक $10 के लिए 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसिनो क्रेप्स पास लाइन से भी पैसे का भुगतान करता है, तो घर की सकारात्मक अपेक्षा प्रत्येक $100 के लिए लगभग $1.40 है; इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि इस लाइन पर दांव लगाने वाला हर व्यक्ति औसतन 50.7% खो देता है और 49.3% बार जीतता है। निस्संदेह, यह प्रतीत होता है कि न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों के लिए भारी मुनाफा लाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने टिप्पणी की, "एक लंबी पर्याप्त दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना का एक हजारवां हिस्सा दुनिया के सबसे अमीर आदमी को दिवालिया कर देगा।"

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के मामले में पोकर का खेल सबसे अधिक उदाहरण और उदाहरण है।

पोकर में अपेक्षित मूल्य एक विशेष निर्णय से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है। सफल पोकर हमेशा सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ चालों को स्वीकार करने के बारे में है।

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ यह है कि निर्णय लेते समय हम अक्सर यादृच्छिक चर का सामना करते हैं (हम नहीं जानते कि कौन से कार्ड प्रतिद्वंद्वी के हाथ में हैं, कौन से कार्ड बाद के बेटिंग राउंड में आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जो कहता है कि पर्याप्त रूप से बड़े नमूने के साथ, एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए विशेष सूत्रों में, पोकर में निम्नलिखित सबसे अधिक लागू होता है:

पोकर खेलते समय, गणितीय अपेक्षा की गणना दांव और कॉल दोनों के लिए की जा सकती है। पहले मामले में, गुना इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में, पॉट की अपनी बाधाओं को। किसी विशेष चाल की गणितीय अपेक्षा का मूल्यांकन करते समय, यह याद रखना चाहिए कि एक गुना में हमेशा शून्य गणितीय अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड छोड़ना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।

उम्मीद आपको बताती है कि आप जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए आप क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। कैसीनो पैसा कमाते हैं क्योंकि उन सभी खेलों की गणितीय अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में है। खेलों की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, यह उम्मीद की जा सकती है कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावना" कैसीनो के पक्ष में है। हालांकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे उनके पक्ष में संभावनाएं बढ़ जाती हैं। वही निवेश के लिए जाता है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। उम्मीद है कि आपके लाभ का प्रतिशत प्रति जीत बार आपके औसत लाभ से घटाकर आपके औसत नुकसान के नुकसान की संभावना है।

पोकर को गणितीय अपेक्षा के संदर्भ में भी माना जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित कदम लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सबसे अच्छा नहीं हो सकता है, क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लें कि आपने पांच कार्ड ड्रा पोकर में एक पूरा घर मारा है। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है। आप जानते हैं कि यदि आप आगे बढ़ेंगे, तो वह फोन करेगा। तो उठाना सबसे अच्छी रणनीति की तरह दिखता है। लेकिन अगर आप उठाते हैं, तो शेष दो खिलाड़ी निश्चित रूप से फोल्ड हो जाएंगे। लेकिन अगर आप दांव लगाते हैं, तो आप पूरी तरह से आश्वस्त होंगे कि आपके बाद के अन्य दो खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप बेट बढ़ाते हैं, तो आपको एक यूनिट मिलती है, और बस कॉल करने पर आपको दो मिलते हैं। इसलिए कॉल करने से आपको एक उच्च सकारात्मक अपेक्षित मूल्य मिलता है और यह सबसे अच्छी रणनीति है।

गणितीय अपेक्षा इस बात का भी अंदाजा लगा सकती है कि कौन सी पोकर रणनीति कम लाभदायक है और कौन सी अधिक लाभदायक है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक विशेष हाथ खेलते हैं और आपको लगता है कि एंट्स सहित आपका औसत नुकसान 75 सेंट है, तो आपको उस हाथ को खेलना चाहिए क्योंकि यह फोल्डिंग से बेहतर है जब पूर्व $ 1 हो।

अपेक्षित मूल्य को समझने का एक अन्य महत्वपूर्ण कारण यह है कि यह आपको मन की शांति की भावना देता है कि आप एक शर्त जीतते हैं या नहीं: यदि आपने एक अच्छा दांव लगाया है या समय पर मुड़ा हुआ है, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि अर्जित की है या बचाई है। पैसा, जिसे एक कमजोर खिलाड़ी नहीं बचा सका। यदि आप निराश हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी का ड्रॉ पर बेहतर हाथ है, तो इसे मोड़ना बहुत कठिन है। यानी, दांव लगाने के बजाय आप न खेलकर जो पैसा बचाते हैं, वह आपकी रातोंरात या मासिक जीत में जुड़ जाता है।

बस याद रखें कि यदि आप हाथ बदलते हैं, तो आपका विरोधी आपको कॉल करेगा, और जैसा कि आप पोकर के मौलिक प्रमेय लेख में देखेंगे, यह आपके लाभों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुशी मनानी चाहिए। आप एक हाथ खोने का आनंद लेना भी सीख सकते हैं, क्योंकि आप जानते हैं कि आपके जूते में अन्य खिलाड़ी बहुत अधिक खो देंगे।

जैसा कि शुरुआत में सिक्का खेल उदाहरण में चर्चा की गई है, प्रति घंटा वापसी की दर गणितीय अपेक्षा से संबंधित है, और यह अवधारणा पेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जब आप पोकर खेलने जा रहे हों, तो आपको मानसिक रूप से यह अनुमान लगाना होगा कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणितीय गणनाओं का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप ड्रा लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $ 10 की शर्त लगाते हैं और फिर दो कार्ड बनाते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, तो आप अपने लिए गणना कर सकते हैं कि हर बार जब वे $ 10 की शर्त लगाते हैं तो वे लगभग $ 2 खो देते हैं। उनमें से प्रत्येक इसे एक घंटे में आठ बार करता है, जिसका अर्थ है कि तीनों को लगभग $48 प्रति घंटे का नुकसान होता है। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं, जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और आप उनमें से) को $48 साझा करना होगा, और प्रत्येक $12 प्रति घंटे का लाभ कमाएगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा दर प्रति घंटे तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोए गए धन की राशि का आपका हिस्सा है।

लंबी अवधि में, खिलाड़ी की कुल जीत अलग-अलग वितरणों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग है। जितना अधिक आप सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप जीतते हैं, और इसके विपरीत, जितना अधिक आप नकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप हारते हैं। नतीजतन, आपको एक ऐसे खेल को प्राथमिकता देनी चाहिए जो आपकी सकारात्मक अपेक्षा को अधिकतम कर सके या आपके नकारात्मक को नकार सके ताकि आप अपने प्रति घंटा लाभ को अधिकतम कर सकें।

खेल रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा

यदि आप जानते हैं कि कार्ड कैसे गिनें, तो आपको कैसीनो पर एक फायदा हो सकता है यदि वे आपको नोटिस नहीं करते हैं और आपको बाहर निकाल देते हैं। कैसीनो शराबी जुआरी से प्यार करते हैं और ताश के पत्तों की गिनती नहीं कर सकते। लाभ आपको समय के साथ हारने से अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। उम्मीद की गणनाओं का उपयोग करके अच्छा धन प्रबंधन आपको अपनी बढ़त को भुनाने और अपने नुकसान को कम करने में मदद कर सकता है। एक लाभ के बिना, आप दान के लिए पैसा देना बेहतर समझते हैं। स्टॉक एक्सचेंज पर खेल में, खेल की प्रणाली द्वारा लाभ दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। धन प्रबंधन की कोई भी राशि खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचाएगी।

एक सकारात्मक अपेक्षा शून्य से अधिक मूल्य द्वारा परिभाषित की जाती है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है, तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मापांक जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो उम्मीद भी टूट जाती है। आप तभी जीत सकते हैं जब आपके पास एक सकारात्मक गणितीय अपेक्षा, एक उचित खेल प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान पर खेलने से आपदा आती है।

गणितीय अपेक्षा और स्टॉक ट्रेडिंग

वित्तीय बाजारों में विनिमय व्यापार में गणितीय अपेक्षा काफी व्यापक रूप से मांग और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग व्यापार की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि यह मूल्य जितना बड़ा होगा, अध्ययन के तहत व्यापार को सफल मानने का उतना ही अधिक कारण होगा। बेशक, एक व्यापारी के काम का विश्लेषण केवल इस पैरामीटर की मदद से नहीं किया जा सकता है। हालांकि, गणना मूल्य, काम की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी वृद्धि कर सकता है।

गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर ट्रेडिंग खाता निगरानी सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। अपवाद के रूप में, हम उन रणनीतियों का हवाला दे सकते हैं जो ट्रेडों को खोने के "ओवरस्टेयिंग" का उपयोग करती हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए, उसके काम में बिल्कुल भी नुकसान नहीं हो सकता है। इस मामले में, केवल अपेक्षा से नेविगेट करना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

बाजार पर व्यापार में, गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है जब एक व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या अपने पिछले ट्रेडों के आंकड़ों के आधार पर किसी व्यापारी की आय की भविष्यवाणी करते समय।

धन प्रबंधन के संदर्भ में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक अपेक्षा के साथ व्यापार करते समय, कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सके। यदि आप इन शर्तों के तहत एक्सचेंज खेलना जारी रखते हैं, तो आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करते हैं, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।

यह स्वयंसिद्ध न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या ट्रेडों के लिए सही है, यह ऑड्स गेम्स के लिए भी सही है। इसलिए, एकमात्र मामला जहां आपको लंबे समय में लाभ उठाने का मौका मिलता है, वह है सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ सौदे करना।

नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; क्या मायने रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन पर विचार करने से पहले, आपको एक सकारात्मक उम्मीद के साथ एक खेल खोजना चाहिए।

यदि आपके पास वह खेल नहीं है, तो दुनिया में कोई भी राशि प्रबंधन आपको नहीं बचाएगा। दूसरी ओर, यदि आपके पास सकारात्मक उम्मीद है, तो उचित धन प्रबंधन के माध्यम से, इसे एक घातीय वृद्धि समारोह में बदलना संभव है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी छोटी है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक अनुबंध पर आधारित ट्रेडिंग सिस्टम कितना लाभदायक है। यदि आपके पास एक प्रणाली है जो एक व्यापार (फीस और स्लिपेज के बाद) पर प्रति अनुबंध $ 10 जीतती है, तो आप इसे एक प्रणाली से अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं जो प्रति व्यापार $ 1,000 का औसत लाभ दिखाता है (कमीशन की कटौती के बाद और फिसलन)।

महत्वपूर्ण यह नहीं है कि प्रणाली कितनी लाभदायक थी, बल्कि यह कहा जा सकता है कि यह प्रणाली भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाएगी। इसलिए, एक व्यापारी जो सबसे महत्वपूर्ण तैयारी कर सकता है, वह यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाता है।

भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य प्राप्त करने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि यथासंभव अधिक से अधिक सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़े गए प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाए गए प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किए गए प्रत्येक छोटे परिवर्तन से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या कम हो जाती है। आदर्श रूप से, आप एक काफी आदिम और सरल प्रणाली बनाना चाहते हैं जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार एक छोटा सा लाभ लाएगा। फिर, यह महत्वपूर्ण है कि आप समझें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक कि यह लाभदायक है। ट्रेडिंग में आप जो पैसा कमाते हैं वह प्रभावी धन प्रबंधन के माध्यम से अर्जित किया जाएगा।

एक व्यापार प्रणाली केवल एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है ताकि धन प्रबंधन का उपयोग किया जा सके। सिस्टम जो केवल एक या कुछ बाजारों में काम करते हैं (कम से कम एक न्यूनतम लाभ दिखाते हैं), या अलग-अलग बाजारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर हैं, संभवतः वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेंगे। अधिकांश तकनीकी रूप से उन्मुख व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे एक व्यापार प्रणाली के विभिन्न नियमों और मानकों को अनुकूलित करने में बहुत अधिक समय और प्रयास करते हैं। यह बिल्कुल विपरीत परिणाम देता है। ट्रेडिंग सिस्टम के मुनाफे को बढ़ाने पर ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ प्राप्त करने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने के लिए निर्देशित करें।

यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्या का खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की तलाश करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, यह पता लगा सकता है कि यह विधि तार्किक रूप से कैसी है, क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देती है। किसी भी, यहां तक ​​कि बहुत ही औसत दर्जे के व्यापारिक तरीकों पर लागू उचित धन प्रबंधन विधियां, बाकी काम करेंगी।

किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफलता के लिए तीन सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को हल करने की आवश्यकता होती है: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सफल लेनदेन की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत गणनाओं से अधिक है; अपना ट्रेडिंग सिस्टम सेट करें ताकि जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों का एक स्थिर सकारात्मक परिणाम प्राप्त करें।

और यहां, हमारे लिए, कामकाजी व्यापारियों के लिए, गणितीय अपेक्षाएं एक अच्छी मदद प्रदान कर सकती हैं। संभाव्यता के सिद्धांत में यह शब्द कुंजी में से एक है। इसके साथ, आप कुछ यादृच्छिक मूल्य का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की तरह है, यदि हम विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।

एक व्यापारिक रणनीति के संबंध में, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने के लिए, लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों के योग और उनके घटित होने की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित व्यापारिक रणनीति यह मानती है कि सभी कार्यों का 37% लाभ लाएगा, और शेष भाग - 63% - लाभहीन होगा। उसी समय, एक सफल लेनदेन से औसत आय $7 होगी, और औसत हानि $1.4 होगी। आइए निम्नलिखित प्रणाली का उपयोग करके व्यापार की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद लेनदेन से औसतन 1.708 डॉलर प्राप्त होंगे। चूंकि परिणामी दक्षता स्कोर शून्य से अधिक है, इस तरह की प्रणाली का उपयोग वास्तविक कार्य के लिए किया जा सकता है। यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही एक औसत नुकसान का संकेत देता है और इस तरह के व्यापार से बर्बादी होगी।

प्रति व्यापार लाभ की मात्रा को सापेक्ष मूल्य के रूप में% के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

- प्रति 1 लेन-देन आय का प्रतिशत - 5%;

- सफल व्यापारिक संचालन का प्रतिशत - 62%;

- प्रति 1 व्यापार हानि प्रतिशत - 3%;

- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;

यानी औसत लेन-देन 1.96% लाएगा।

एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है, जो ट्रेडों को खोने की प्रबलता के बावजूद, सकारात्मक परिणाम देगी, क्योंकि इसका MO>0 है।

हालांकि, अकेले इंतजार करना काफी नहीं है। अगर सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। प्रत्येक ऑपरेशन को औसतन केवल 0.5 डॉलर लाने दें, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम प्रति वर्ष 1000 लेनदेन मानता है? यह अपेक्षाकृत कम समय में बहुत गंभीर राशि होगी। यह तार्किक रूप से इसका अनुसरण करता है कि एक अच्छी ट्रेडिंग सिस्टम की एक और पहचान को एक छोटी होल्डिंग अवधि माना जा सकता है।

स्रोत और लिंक

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nsu.ru - नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी की शैक्षिक वेबसाइट

webmath.ru छात्रों, आवेदकों और स्कूली बच्चों के लिए एक शैक्षिक पोर्टल है।

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ru.tradimo.com - मुफ्त ऑनलाइन ट्रेडिंग स्कूल

Crypto.hut2.ru - बहु-विषयक सूचना संसाधन

poker-wiki.ru - पोकर का मुक्त विश्वकोश

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statanaliz.info - सूचनात्मक ब्लॉग "सांख्यिकीय डेटा विश्लेषण"

forex-trader.rf - पोर्टल फॉरेक्स-ट्रेडर

megafx.ru - अप-टू-डेट विदेशी मुद्रा विश्लेषण

fx-by.com - एक व्यापारी के लिए सब कुछ

01.02.2018

अपेक्षित मूल्य। परिसर के बारे में ही। ट्रेडिंग की मूल बातें।

किसी भी प्रकार का दांव लगाते समय, लाभ की एक निश्चित संभावना और विफलता का जोखिम हमेशा बना रहता है। लेन-देन का सकारात्मक परिणाम, और पैसे खोने का जोखिम गणितीय अपेक्षा से अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। इस लेख में, हम व्यापार के इन दो पहलुओं पर विस्तार से ध्यान देंगे।

अपेक्षित मूल्य- नमूनों की संख्या या इसके माप की संख्या के साथ (कभी-कभी वे कहते हैं - परीक्षणों की संख्या) अनंत की ओर झुकाव।

मुद्दा यह है कि एक सकारात्मक अपेक्षित मूल्य एक सकारात्मक (बढ़ते लाभ) व्यापार की ओर जाता है, जबकि शून्य या नकारात्मक अपेक्षित मूल्य का मतलब कोई व्यापार नहीं है।

इस मुद्दे को समझना आसान बनाने के लिए, आइए रूले खेलते समय गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर विचार करें। रूले उदाहरण को समझना बहुत आसान है।

रूले- (क्रॉपियर गेंद को पहिया के रोटेशन की विपरीत दिशा में लॉन्च करता है, उस संख्या से जिस पर गेंद पिछली बार गिरी थी, जिसे एक गिने हुए सेल में गिरना चाहिए, जिससे पहिया के चारों ओर कम से कम तीन पूर्ण चक्कर लगें।

1 से 36 तक की संख्या वाली कोशिकाएँ काले और लाल रंग की होती हैं। संख्या क्रम में नहीं हैं, हालांकि कोशिकाओं के रंग सख्ती से वैकल्पिक होते हैं, 1 - लाल से शुरू होते हैं। संख्या 0 से चिह्नित सेल हरे रंग की होती है और इसे शून्य कहा जाता है।

रूले एक नकारात्मक गणितीय अपेक्षा वाला खेल है। सभी क्षेत्र शून्य के कारण। "0", जो न तो काला है और न ही लाल।

क्योंकि (आम तौर पर) यदि कोई परिवर्तन लागू नहीं किया जाता है, तो खिलाड़ी पहिया के प्रत्येक 37 स्पिन के लिए $ 1 खो देता है (जब एक बार में $ 1 पर दांव लगाया जाता है), जिसके परिणामस्वरूप -2.7% की रैखिक हानि होती है जो कि दांव की संख्या बढ़ने पर बढ़ जाती है (औसत) .

बेशक, अंतराल में एक खिलाड़ी, उदाहरण के लिए, 1000 खेलों में जीत की एक श्रृंखला हो सकती है, और एक व्यक्ति गलती से यह मान सकता है कि वह कैसीनो और हार की एक श्रृंखला को हराकर कमा सकता है। इस मामले में जीत की एक श्रृंखला खिलाड़ी की पूंजी को पहले की तुलना में अधिक मूल्य से बढ़ा सकती है, इस मामले में, यदि खिलाड़ी के पास $1000 होते हैं, तो प्रत्येक $1 के 10 गेम के बाद, उसके पास औसतन $973 बचा होना चाहिए। लेकिन अगर ऐसे परिदृश्य में खिलाड़ी के पास कम या ज्यादा पैसा है, तो हम मौजूदा पूंजी विचरण के बीच इस तरह के अंतर को कहेंगे। आप केवल विचरण के भीतर रूले खेलकर पैसा कमा सकते हैं। यदि खिलाड़ी इस रणनीति का पालन करना जारी रखता है, तो अंततः व्यक्ति बिना पैसे के रह जाएगा, और कैसीनो काम करेगा।

दूसरा उदाहरण प्रसिद्ध द्विआधारी विकल्प है। आपको एक बेट लगाने की अनुमति है, एक सफल परिणाम के साथ, आप अपनी बेट के ऊपर 90 प्रतिशत तक लेते हैं, और यदि असफल होते हैं, तो आप सभी 100 खो देते हैं। और फिर बीओ के मालिकों को बस इंतजार करना होगा, बाजार और नकारात्मक चेकमेट अपेक्षा अपना काम करेगी। और समय का फैलाव द्विआधारी विकल्प व्यापारी को आशा देगा कि इस बाजार में पैसा कमाना संभव है। लेकिन ये अस्थायी है।

क्रिप्टोक्यूरेंसी ट्रेडिंग (साथ ही शेयर बाजार में ट्रेडिंग) का क्या फायदा है?

एक व्यक्ति अपने लिए एक प्रणाली बना सकता है। वह स्वयं अपने जोखिम को सीमित कर सकता है, और बाजार से अधिकतम संभव लाभ लेने का प्रयास कर सकता है। (इसके अलावा, यदि दूसरे के साथ स्थिति काफी विवादास्पद है, तो जोखिम को बहुत स्पष्ट रूप से नियंत्रित किया जाना चाहिए।)

यह समझने के लिए कि आपकी रणनीति आपको किस दिशा में ले जा रही है, आपको आंकड़े रखने की जरूरत है। व्यापारी को पता होना चाहिए:

1. आपके ट्रेडों की संख्या। किसी दी गई रणनीति के लिए ट्रेडों की संख्या जितनी अधिक होगी, गणितीय अपेक्षा उतनी ही सटीक होगी।
2. सफल प्रविष्टियों की आवृत्ति। (संभाव्यता) (आर)
3. प्रत्येक सकारात्मक लेनदेन के लिए आपका लाभ।
4. पूर्वाग्रह (जीतने का अनुपात) (बी)
5. आपके दांव का औसत आकार (स्टॉप ऑर्डर) (एस)

अपेक्षा (ई) = बी * आर - (1 - बी) = बी * (1 + आर) -1

मोटे तौर पर आपकी अंतिम कमाई या खाते पर हानि (ईई) का पता लगाने के लिए, उदाहरण के लिए, 1000 ट्रेडों की दूरी पर, हम सूत्र का उपयोग करेंगे।

जहां एन ट्रेडों की संख्या है जिसे हम निष्पादित करने की योजना बना रहे हैं।

उदाहरण के लिए, आइए प्रारंभिक डेटा लें:

स्टॉप लॉस - 30 डॉलर।

लाभ - 100 डॉलर।

लेनदेन की संख्या 30

गणितीय अपेक्षा नकारात्मक तभी होती है जब लाभ और हानि वाले ट्रेडों (R) का अनुपात 20%/80% या इससे भी बदतर हो। अन्य मामलों में, यह सकारात्मक होता है।

अब लाभ 150 होने दें। तब अपेक्षा 16%/84% के अनुपात में ऋणात्मक होगी। या कम।

निष्कर्ष।

उसके साथ क्या करें? यदि आपके पास पहले से आंकड़े नहीं हैं तो रखना शुरू करें। अपने ट्रेडों की जांच करें, अपनी चेकमेट अपेक्षा निर्धारित करें। कुछ ऐसा खोजें जिसमें सुधार किया जा सके (सही प्रविष्टियों की संख्या, लाभ जोड़ना, हानियों को कम करना)

एक्सपर्टकॉइन द्वारा विकसित

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मौलिक विश्लेषण वित्तीय विवरणों की स्थिति का निर्धारण करने का एक तरीका है, यह कीमतों और व्यापारिक मात्रा में दैनिक परिवर्तनों को ध्यान में रखे बिना किसी कंपनी की ताकत और कमजोरियों पर ध्यान केंद्रित करता है। मौलिक स्टॉक विश्लेषण क्या है? मौलिक विश्लेषण विश्लेषण का एक तरीका है जिसके तहत संपत्ति, कमाई, उत्पाद, बिक्री, प्रबंधन, बाजार और निर्माण के संबंध में कानून की पिछली रिपोर्टों की जानकारी…

- 10 नवजात शिशुओं में लड़कों की संख्या।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह संख्या पहले से ज्ञात नहीं है, और अगले दस बच्चों का जन्म हो सकता है:

या लड़के - एक और केवल एकसूचीबद्ध विकल्पों में से।

और, आकार में रखने के लिए, थोड़ी शारीरिक शिक्षा:

- लंबी कूद दूरी (कुछ इकाइयों में).

खेल के उस्ताद भी इसकी भविष्यवाणी नहीं कर पाते :)

हालाँकि, आपकी परिकल्पनाएँ क्या हैं?

2) सतत यादृच्छिक चर - लेता है सबकुछ परिमित या अनंत सीमा से संख्यात्मक मान।

टिप्पणी : संक्षिप्त रूप DSV और NSV शैक्षिक साहित्य में लोकप्रिय हैं

पहले, आइए एक असतत यादृच्छिक चर का विश्लेषण करें, फिर - निरंतर.

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम

- यह अनुपालनइस मात्रा के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच। सबसे अधिक बार, कानून एक तालिका में लिखा जाता है:

यह शब्द काफी सामान्य है पंक्ति वितरण, लेकिन कुछ स्थितियों में यह अस्पष्ट लगता है, और इसलिए मैं "कानून" का पालन करूंगा।

और अब बहुत महत्वपूर्ण बिंदु: यादृच्छिक चर के बाद से आवश्यक रूप सेस्वीकार करेंगे मूल्यों में से एक, फिर संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनके घटित होने की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है:

या, यदि मुड़ा हुआ लिखा हो:

इसलिए, उदाहरण के लिए, एक पासे पर अंकों की संभावनाओं के वितरण के नियम का निम्न रूप है:

कोई टिप्पणी नहीं।

आप इस धारणा के तहत हो सकते हैं कि एक असतत यादृच्छिक चर केवल "अच्छे" पूर्णांक मान ले सकता है। आइए भ्रम को दूर करें - वे कुछ भी हो सकते हैं:

उदाहरण 1

कुछ गेम में निम्नलिखित अदायगी वितरण कानून है:

...शायद आप लंबे समय से ऐसे कार्यों के बारे में सपना देख रहे हैं :) मैं आपको एक रहस्य बताता हूं - मैं भी। खासकर काम खत्म करने के बाद क्षेत्र सिद्धांत.

फेसला: चूंकि एक यादृच्छिक चर तीन में से केवल एक मान ले सकता है, संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूह, जिसका अर्थ है कि उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:

हम "पक्षपातपूर्ण" को उजागर करते हैं:

- इस प्रकार, पारंपरिक इकाइयों के जीतने की संभावना 0.4 है।

नियंत्रण: सुनिश्चित करने के लिए आपको क्या चाहिए।

जवाब:

यह असामान्य नहीं है जब वितरण कानून को स्वतंत्र रूप से संकलित करने की आवश्यकता होती है। इस प्रयोग के लिए संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, घटना की संभावनाओं के लिए गुणा/जोड़ प्रमेयऔर अन्य चिप्स तरवेरा:

उदाहरण 2

बॉक्स में 50 लॉटरी टिकट हैं, जिनमें से 12 जीत रहे हैं, और उनमें से 2 प्रत्येक 1000 रूबल जीतते हैं, और बाकी - 100 रूबल प्रत्येक। एक यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण कानून तैयार करें - जीत की राशि यदि एक टिकट यादृच्छिक रूप से बॉक्स से निकाला जाता है।

फेसला: जैसा कि आपने देखा, यह एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को रखने के लिए प्रथागत है आरोही क्रम. इसलिए, हम सबसे छोटी जीत से शुरू करते हैं, और अर्थात् रूबल।

कुल मिलाकर 50 - 12 = 38 ऐसे टिकट हैं, और के अनुसार शास्त्रीय परिभाषा:
यह प्रायिकता है कि बेतरतीब ढंग से निकाला गया टिकट नहीं जीतेगा।

बाकी मामले साधारण हैं। रूबल जीतने की संभावना है:

जाँच: - और यह ऐसे कार्यों का विशेष रूप से सुखद क्षण है!

जवाब: आवश्यक अदायगी वितरण कानून:

एक स्वतंत्र निर्णय के लिए निम्नलिखित कार्य:

उदाहरण 3

निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता है। यादृच्छिक चर के लिए वितरण नियम बनाएं - 2 शॉट्स के बाद हिट की संख्या।

... मुझे पता था कि तुमने उसे याद किया :) हमें याद है गुणन और जोड़ प्रमेय. पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर का वर्णन करता है, लेकिन व्यवहार में यह केवल कुछ को जानने के लिए उपयोगी (और कभी-कभी अधिक उपयोगी) है। संख्यात्मक विशेषताएं .

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

सरल शब्दों में, यह औसत अपेक्षित मूल्यबार-बार परीक्षण के साथ। एक यादृच्छिक चर को संभावनाओं के साथ मान लेने दें क्रमश। तब इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा बराबर होती है कार्यों का योगसंबंधित संभावनाओं द्वारा इसके सभी मान:

या मुड़े हुए रूप में:

आइए गणना करें, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा - एक पासे पर गिराए गए अंकों की संख्या:

आइए अब अपने काल्पनिक खेल को याद करें:

सवाल उठता है: क्या इस खेल को खेलना भी लाभदायक है? ... किसके पास कोई इंप्रेशन है? तो आप "ऑफहैंड" नहीं कह सकते! लेकिन इस प्रश्न का उत्तर गणितीय अपेक्षा की गणना करके आसानी से दिया जा सकता है, संक्षेप में - भारित औसतजीतने की संभावना:

इस प्रकार, इस खेल की गणितीय अपेक्षा हारी.

इंप्रेशन पर भरोसा न करें - नंबरों पर भरोसा करें!

हां, यहां आप लगातार 10 या 20-30 बार जीत सकते हैं, लेकिन लंबे समय में हम अनिवार्य रूप से बर्बाद हो जाएंगे। और मैं आपको ऐसे खेल खेलने की सलाह नहीं दूंगा :) ठीक है, शायद केवल मजे के लिए.

उपरोक्त सभी से, यह इस प्रकार है कि गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक मान नहीं है।

स्वतंत्र अनुसंधान के लिए रचनात्मक कार्य:

उदाहरण 4

मिस्टर एक्स निम्नलिखित प्रणाली के अनुसार यूरोपीय रूले खेलता है: वह लगातार लाल रंग पर 100 रूबल का दांव लगाता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम की रचना करें - इसका भुगतान। जीत की गणितीय अपेक्षा की गणना करें और इसे कोपेक तक गोल करें। कितना औसतक्या खिलाड़ी हर सौ दांव पर हारता है?

संदर्भ : यूरोपीय रूले में 18 लाल, 18 काला और 1 हरा क्षेत्र ("शून्य") है। "लाल" के गिरने की स्थिति में, खिलाड़ी को डबल बेट का भुगतान किया जाता है, अन्यथा यह कैसीनो की आय में चला जाता है

कई अन्य रूलेट प्रणालियाँ हैं जिनके लिए आप अपनी स्वयं की संभाव्यता तालिकाएँ बना सकते हैं। लेकिन यह मामला है जब हमें किसी वितरण कानून और तालिकाओं की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि यह निश्चित रूप से स्थापित है कि खिलाड़ी की गणितीय अपेक्षा बिल्कुल वही होगी। केवल सिस्टम से सिस्टम में परिवर्तन होता है

जैसा कि पहले से ही ज्ञात है, वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर की विशेषता है। हालांकि, वितरण कानून अक्सर अज्ञात होता है और किसी को खुद को कम जानकारी तक सीमित रखना पड़ता है। कभी-कभी संख्याओं का उपयोग करना और भी अधिक लाभदायक होता है जो कुल मिलाकर एक यादृच्छिक चर का वर्णन करते हैं; ऐसे नंबर कहलाते हैं यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं।गणितीय अपेक्षा महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक है।

गणितीय अपेक्षा, जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, यादृच्छिक चर के औसत मूल्य के लगभग बराबर है। कई समस्याओं को हल करने के लिए, गणितीय अपेक्षा को जानना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यदि यह ज्ञात है कि पहले शूटर द्वारा बनाए गए अंकों की गणितीय अपेक्षा दूसरे की तुलना में अधिक है, तो पहला शूटर औसतन दूसरे की तुलना में अधिक अंक प्राप्त करता है, और इसलिए इससे बेहतर शूट करता है द्वितीय। यद्यपि गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के बारे में उसके वितरण के नियम की तुलना में बहुत कम जानकारी देती है, लेकिन दी गई और कई अन्य जैसी समस्याओं को हल करने के लिए, गणितीय अपेक्षा का ज्ञान पर्याप्त है।

2. एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर को इसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग कहा जाता है।

चलो यादृच्छिक चर एक्स केवल मान ले सकते हैं एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स पी , जिनकी प्रायिकताएँ क्रमशः बराबर हैं आर 1 , आर 2 , . . ., आर पी . फिर गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) अनियमित चर एक्स समानता द्वारा परिभाषित किया गया है

एम(एक्स) = एक्स 1 आर 1 + एक्स 2 आर 2 + … + एक्स एन पी एन .

यदि एक असतत यादृच्छिक चर एक्स संभावित मूल्यों का एक गणनीय सेट लेता है, फिर

एम(एक्स)=

इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा मौजूद है यदि समानता के दाईं ओर की श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है।

टिप्पणी। यह परिभाषा से इस प्रकार है कि असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है। हम अनुशंसा करते हैं कि आप इस कथन को याद रखें, क्योंकि बाद में इसका बार-बार उपयोग किया जाता है। बाद में यह दिखाया जाएगा कि एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा भी एक स्थिर मान है।

उदाहरण 1एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं एक्स, इसके वितरण के नियम को जानना:

फेसला। वांछित गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों के योग के बराबर है:

एम(एक्स)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

उदाहरण 2किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए लेकिनएक परीक्षण में, यदि किसी घटना की प्रायिकता लेकिनके बराबर है आर।

फेसला। यादृच्छिक मूल्य एक्स - घटना की घटनाओं की संख्या लेकिनएक परीक्षण में - केवल दो मान ले सकते हैं: एक्स 1 = 1 (प्रतिस्पर्धा लेकिनहुआ) एक संभावना के साथ आरऔर एक्स 2 = 0 (प्रतिस्पर्धा लेकिननहीं हुआ) एक संभावना के साथ क्यू= 1 -आर।वांछित गणितीय अपेक्षा

एम(एक्स)= 1* पी+ 0* क्यू= पी

इसलिए, एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा इस घटना की प्रायिकता के बराबर होती है।इस परिणाम का उपयोग नीचे किया जाएगा।

3. गणितीय अपेक्षा का संभाव्य अर्थ

चलो उत्पादित पीपरीक्षण जिसमें यादृच्छिक चर एक्स स्वीकार किए जाते हैं टी 1 टाइम्स वैल्यू एक्स 1 , टी 2 टाइम्स वैल्यू एक्स 2 ,...,एम क टाइम्स वैल्यू एक्स क , और टी 1 + टी 2 + …+टी को = पी.फिर लिए गए सभी मूल्यों का योग एक्स, के बराबर है

एक्स 1 टी 1 + एक्स 2 टी 2 + ... + एक्स को टी को .

अंकगणित माध्य ज्ञात कीजिए एक यादृच्छिक चर के रूप में स्वीकार किए गए सभी मूल्यों में से, जिसके लिए हम कुल योग को परीक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं:

= (एक्स 1 टी 1 + एक्स 2 टी 2 + ... + एक्स को टी को)/पी,

= एक्स 1 (एम 1 / एन) + एक्स 2 (एम 2 / एन) + ... + एक्स को (टी को /पी). (*)

यह देखते हुए कि रिश्ता एम 1 / एन- सापेक्ष आवृत्ति वू 1 मूल्यों एक्स 1 , एम 2 / एन - सापेक्ष आवृत्ति वू 2 मूल्यों एक्स 2 आदि, हम संबंध (*) को इस प्रकार लिखते हैं:

=एक्स 1 वू 1 + एक्स 2 वू 2 + .. . + एक्स को वू क . (**)

आइए मान लें कि परीक्षणों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है। तब आपेक्षिक आवृत्ति घटना के घटित होने की प्रायिकता के लगभग बराबर होती है (यह अध्याय IX, 6) में सिद्ध होगा:

वू 1 पी 1 , वू 2 पी 2 , …, वू क पी क .

संबंधित प्रायिकताओं के साथ संबंध (**) में सापेक्ष आवृत्तियों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 आर 2 + … + एक्स को आर को .

इस अनुमानित समानता का दाहिना भाग है एम(एक्स). इसलिए,

एम(एक्स).

प्राप्त परिणाम का संभाव्य अर्थ इस प्रकार है: गणितीय अपेक्षा लगभग बराबर है(अधिक सटीक, परीक्षणों की संख्या जितनी अधिक होगी) यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों का अंकगणितीय माध्य।

टिप्पणी 1. यह देखना आसान है कि गणितीय अपेक्षा सबसे छोटे से अधिक है और सबसे बड़े संभावित मूल्यों से कम है। दूसरे शब्दों में, संख्या अक्ष पर, संभावित मान अपेक्षित मान के बाएँ और दाएँ स्थित होते हैं। इस अर्थ में, उम्मीद वितरण के स्थान की विशेषता है और इसलिए इसे अक्सर कहा जाता है वितरण केंद्र।

यह शब्द यांत्रिकी से उधार लिया गया है: यदि जनता आर 1 , आर 2 , ..., आर पी abscissas . के साथ बिंदुओं पर स्थित एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन, और
फिर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का भुज

एक्स सी =
.

मान लीजिये
= एम (एक्स) और
हम पाते हैं एम(एक्स)= एक्स साथ .

तो, गणितीय अपेक्षा भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का एब्सिस्सा है, जिसके एब्सिसास एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के बराबर हैं, और जनता उनकी संभावनाओं के बराबर है।

टिप्पणी 2। "उम्मीद" शब्द की उत्पत्ति संभाव्यता सिद्धांत (XVI-XVII सदियों) के उद्भव की प्रारंभिक अवधि से जुड़ी है, जब इसका दायरा जुए तक सीमित था। खिलाड़ी को अपेक्षित अदायगी के औसत मूल्य में दिलचस्पी थी, या, दूसरे शब्दों में, अदायगी की गणितीय अपेक्षा।