आइए समस्या का समाधान करें। हमारे पास दो तरह की कुकीज हैं। कुछ चॉकलेट हैं और कुछ सादे हैं। चॉकलेट के 48 टुकड़े हैं, और 36 साधारण हैं। इन कुकीज़ से उपहारों की अधिकतम संभव संख्या बनाना आवश्यक है, और उन सभी का उपयोग किया जाना चाहिए।

सबसे पहले, आइए इन दोनों संख्याओं में से प्रत्येक के सभी भाजक को लिख लें, क्योंकि ये दोनों संख्याएँ उपहारों की संख्या से विभाज्य होनी चाहिए।

हम पाते हैं

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

आइए भाजक में से वे उभयनिष्ठ ज्ञात करें जिनमें पहली और दूसरी दोनों संख्याएँ हों।

सामान्य भाजक होंगे: 1, 2, 3, 4, 6, 12।

सभी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 12 है। इस संख्या को 36 और 48 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है।

परिणाम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी कुकीज़ से 12 उपहार बनाए जा सकते हैं। ऐसे ही एक उपहार में 4 चॉकलेट कुकीज और 3 नियमित कुकीज होंगी।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना

• वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे दो संख्याएँ a और b शेषफल के बिना विभाज्य हों, इन संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक कहलाती है।

कभी-कभी संक्षिप्त नाम GCD का उपयोग प्रविष्टि को संक्षिप्त करने के लिए किया जाता है।

संख्याओं के कुछ युग्मों में एक उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है कोप्राइम नंबर।उदाहरण के लिए, संख्या 24 और 35. GCD = 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए, इन संख्याओं के सभी भाजक को लिखना आवश्यक नहीं है।

आप अन्यथा कर सकते हैं। सबसे पहले, दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें।

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

अब, पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन सभी को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। हमारे मामले में, ये दो ड्यूस हैं।

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

गुणनखंड 2, 2 और 3 रहते हैं। उनका गुणनफल 12 है। यह संख्या 48 और 36 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

इस नियम को तीन, चार, आदि के मामले में बढ़ाया जा सकता है। संख्याएं।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।
• 2. इनमें से किसी एक संख्या के प्रसार में सम्मिलित गुणनखंडों में से उन संख्याओं को काट दीजिए जो अन्य संख्याओं के प्रसार में सम्मिलित नहीं हैं।
• 3. शेष कारकों के उत्पाद की गणना करें।

तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना दो संख्याओं की gcd को क्रमिक रूप से खोजने के लिए घटाया जा सकता है। इसका जिक्र हमने जीसीडी के गुणों का अध्ययन करते समय किया था। वहां हमने प्रमेय तैयार किया और सिद्ध किया: कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ए 1 , ए 2 ,…, एक केसंख्या के बराबर है डीके, जो क्रमिक गणना में पाया जाता है जीसीडी(ए 1 , ए 2)=डी 2, जीसीडी(डी 2 , ए 3)=डी 3, जीसीडी(डी 3 , ए 4)=डी 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.

आइए देखें कि उदाहरण के समाधान पर विचार करके कई संख्याओं की जीसीडी खोजने की प्रक्रिया कैसी दिखती है।

उदाहरण।

चार संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें 78 , 294 , 570 और 36 .

फेसला।

इस उदाहरण में ए 1 = 78, ए2=294, ए 3 \u003d 570, a4=36.

सबसे पहले, यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करते हैं d2पहले दो नंबर 78 और 294 . विभाजित करने पर, हमें समानताएँ मिलती हैं 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6और 18=6 3. इस प्रकार, डी 2 \u003d जीसीडी (78, 294) \u003d 6.

अब गणना करते हैं डी 3 \u003d जीसीडी (डी 2, ए 3) \u003d जीसीडी (6, 570). आइए फिर से यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करें: 570=6 95, इस तरह, डी 3 \u003d जीसीडी (6, 570) \u003d 6.

गणना करना बाकी है डी 4 \u003d जीसीडी (डी 3, ए 4) \u003d जीसीडी (6, 36). जैसा 36 द्वारा विभाजित 6 , तब डी 4 \u003d जीसीडी (6, 36) \u003d 6.

तो दी गई चार संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है डी4=6, अर्थात, जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6.

जवाब:

जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6.

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने से आप तीन या अधिक संख्याओं के GCD की गणना कर सकते हैं। इस मामले में, सबसे बड़ा सामान्य भाजक दी गई संख्याओं के सभी सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में पाया जाता है।

उदाहरण।

पिछले उदाहरण से संख्याओं के GCD की गणना उनके अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके करें।

फेसला।

आइए संख्याओं को विघटित करें 78 , 294 , 570 और 36 प्रमुख कारकों में, हम प्राप्त करते हैं 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. दी गई सभी चार संख्याओं के सार्व अभाज्य गुणनखंड संख्याएँ हैं 2 और 3 . इसलिये, जीसीडी(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

जवाब:

जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6.

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ऋणात्मक संख्याओं की gcd ज्ञात करना

यदि एक, कई या सभी संख्याएँ जिनका सबसे बड़ा भाजक ज्ञात करना है, ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो उनका gcd इन संख्याओं के मॉड्यूल के सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि विपरीत संख्याएं एऔर -एउनके वही भाजक हैं जिनकी चर्चा हमने विभाज्यता के गुणों का अध्ययन करते समय की थी।

उदाहरण।

ऋणात्मक पूर्णांकों की gcd ज्ञात कीजिए −231 और −140 .

फेसला।

किसी संख्या का निरपेक्ष मान −231 बराबरी 231 , और संख्या का मापांक −140 बराबरी 140 , और जीसीडी(−231, −140)=जीसीडी(231, 140). यूक्लिड का एल्गोरिथ्म हमें निम्नलिखित समानताएँ देता है: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7और 42=7 6. इसलिये, जीसीडी(231, 140)=7. फिर ऋणात्मक संख्याओं का वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक −231 और −140 बराबरी 7 .

जवाब:

जीसीडी(−231,−140)=7.

उदाहरण।

तीन संख्याओं की gcd ज्ञात कीजिए −585 , 81 और −189 .

फेसला।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने पर, ऋणात्मक संख्याओं को उनके निरपेक्ष मानों से बदला जा सकता है, अर्थात, gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). संख्या विस्तार 585 , 81 और 189 अभाज्य गुणनखंडों में, क्रमशः, रूप के होते हैं 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3और 189=3 3 3 7. इन तीन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं: 3 और 3 . फिर जीसीडी(585, 81, 189)=3 3=9, इस तरह, जीसीडी(−585, 81, −189)=9.

जवाब:

जीसीडी(−585, 81, −189)=9.

35. एक बहुपद के मूल। बेजआउट का प्रमेय। (33 और ऊपर)

36. बहुमूल, जड़ की बहुलता की कसौटी।

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एवह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट. ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।

दी गई दो संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एऔर बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एऔर बी. एकाधिक संख्याओं का सामान्य भाजक (जीसीडी)वह संख्या है जो उनमें से प्रत्येक के लिए भाजक के रूप में कार्य करती है।

संक्षेप में संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर बीइस प्रकार लिखा गया है:

उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12.

समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के विभाजक एक बड़े अक्षर "D" द्वारा दर्शाए जाते हैं।

उदाहरण:

जीसीडी (7; 9) = 1

संख्याएँ 7 और 9 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्यची स्लैम.

कोप्राइम नंबरवे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। उनका gcd 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी), गुण।

• मुख्य संपत्ति: सबसे बड़ा सामान्य भाजक एमऔर एनइन संख्याओं के किसी भी सामान्य भाजक से विभाज्य है। उदाहरण: संख्या 12 और 18 के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक 6 है; यह इन संख्याओं के सभी सामान्य भाजक से विभाज्य है: 1, 2, 3, 6।
• परिणाम 1: सामान्य भाजक का समुच्चय एमऔर एनभाजक जीसीडी के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).
• उपफल 2: सामान्य गुणकों का समुच्चय एमऔर एनकई एलसीएम के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

इसका मतलब है, विशेष रूप से, कि एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में कम करने के लिए, इसके अंश और हर को उनके जीसीडी से विभाजित करना आवश्यक है।

• संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एमऔर एनउनके सभी रैखिक संयोजनों के सेट के सबसे छोटे सकारात्मक तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

और इसलिए संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं एमऔर एन:

इस अनुपात को कहा जाता है बेज़आउट का अनुपात, और गुणांक तुमऔर वी — बेज़आउट गुणांक. बेज़ाउट गुणांकों की गणना विस्तारित यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा कुशलता से की जाती है। यह कथन प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए सामान्यीकृत है - इसका अर्थ यह है कि सेट द्वारा उत्पन्न समूह का उपसमूह चक्रीय है और एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है: gcd ( ए 1 , ए 2 , … , एक).

सबसे बड़े सामान्य भाजक (gcd) की गणना।

दो संख्याओं की gcd की गणना करने के प्रभावी तरीके हैं यूक्लिड का एल्गोरिथमऔर बायनरीकलन विधि. इसके अलावा, GCD मान ( एम,एन) की गणना आसानी से की जा सकती है यदि संख्याओं का विहित विस्तार ज्ञात हो एमऔर एनप्रमुख कारकों के लिए:

जहां अलग-अलग अभाज्य हैं और और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य अपघटन में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)। फिर जीसीडी ( एम,एन) और एलसीएम ( एम,एन) सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:

यदि दो से अधिक संख्याएँ हैं: , उनका GCD निम्न एल्गोरिथम के अनुसार पाया जाता है:

- यह वांछित जीसीडी है।

इसके अलावा, खोजने के लिए महत्तम सामान्य भाजक, आप दी गई संख्याओं में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित कर सकते हैं। फिर केवल उन्हीं गुणनखंडों को अलग-अलग लिखिए जो सभी दी गई संख्याओं में शामिल हैं। फिर हम आपस में लिखी गई संख्याओं को गुणा करते हैं - गुणा का परिणाम सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है .

आइए चरण दर चरण सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना का विश्लेषण करें:

1. संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

लंबवत बार का उपयोग करके गणना आसानी से लिखी जाती है। पंक्ति के बाईं ओर, पहले लाभांश को दाईं ओर - भाजक लिखें। आगे बाएं कॉलम में हम निजी के मान लिखते हैं। आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत समझाएं। आइए हम संख्या 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

2. हम दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों को रेखांकित करते हैं:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. हम समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं और उत्तर लिखते हैं:

जीसीडी (28; 64) = 2. 2 = 4

उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4

आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया था) या "एक पंक्ति में"।

जीसीडी लिखने का पहला तरीका:

जीसीडी 48 और 36 खोजें।

जीसीडी (48; 36) = 2। 2. 3 = 12

जीसीडी लिखने का दूसरा तरीका:

अब GCD सर्च सॉल्यूशन को एक लाइन में लिखते हैं। जीसीडी 10 और 15 खोजें।

डी(10) = (1, 2, 5, 10)

डी(15) = (1, 3, 5, 15)

डी(10, 15) = (1, 5)

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृत संख्या a एक प्राकृत संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का भाजक कहा जाता है, और संख्या $a$ को $b$ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों के लिए एक सामान्य भाजक कहा जाता है।

$a$ और $b$ संख्याओं के सार्व भाजक का समुच्चय परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन भाजक में सबसे बड़ा एक है, जिसे संख्याओं $a$ और $b$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है, और इसे दर्शाने के लिए संकेतन का उपयोग किया जाता है:

$gcd \ (a;b) \ ​​या \ D \ (a;b)$

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना:

1. चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132 की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं को चुनिए जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

एकपदी $63$ और $81$ की GCD ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के भाजक के सेट का उपयोग करके दो संख्याओं का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।

फेसला:

$48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$ के भाजक का सेट खोजें

अब $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$ के भाजक का सेट खोजें

आइए इन सेटों के प्रतिच्छेदन का पता लगाएं: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - यह सेट $48$ और $60 की संख्या के सामान्य भाजक के सेट को निर्धारित करेगा $. इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ की संख्या होगी। तो $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12$ है।

एनओसी . की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृत संख्याओं का सार्व गुणज$a$ और $b$ एक प्राकृत संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो बिना किसी शेष के मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $25$ और $50$ की संख्याओं के लिए, सामान्य गुणक संख्याएँ $50,100,150,200$, आदि होंगी।

कम से कम सामान्य गुणक को सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा और इसे LCM$(a;b)$ या K$(a;b)$ द्वारा दर्शाया जाएगा।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें
2. उन कारकों को लिखिए जो पहली संख्या का भाग हैं और उनमें उन गुणनखंडों को जोड़ें जो दूसरी संख्या का भाग हैं और पहली संख्या पर नहीं जाते हैं।

उदाहरण 4

$99$ और $77$ की संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उन कारकों में जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर नहीं जाते हैं

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्त्य होगी

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के भाजक की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। जीसीडी खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिड का एल्गोरिदम कहा जाता है।

वे कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $a$ और $b$ प्राकृत संख्याएँ हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ ऐसी प्राकृत संख्याएँ हैं कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम विचाराधीन संख्याओं को क्रमिक रूप से कम कर सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते हैं, जैसे कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य है। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

GCD और LCM के गुण

1. $a$ और $b$ का कोई भी सामान्य गुणक K$(a;b)$ . से विभाज्य है
2. अगर $a\vdots b$ , तो K$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$-प्राकृतिक संख्या है, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$ $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

यदि $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का एक सामान्य गुणज है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य भाजक $D(a;b)$ . का भाजक है

यह लेख इस तरह के प्रश्न के लिए समर्पित है जैसे कि सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजना। सबसे पहले, हम समझाएंगे कि यह क्या है, और कुछ उदाहरण देते हैं, 2, 3 या अधिक संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की परिभाषाएं पेश करते हैं, जिसके बाद हम इस अवधारणा के सामान्य गुणों पर ध्यान देंगे और उन्हें साबित करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

आम भाजक क्या हैं

यह समझने के लिए कि सबसे बड़ा सामान्य भाजक क्या है, हम सबसे पहले पूर्णांकों के लिए एक सामान्य भाजक क्या बनाते हैं।

गुणज और भाजक पर लेख में, हमने कहा था कि एक पूर्णांक में हमेशा कई भाजक होते हैं। यहां हम एक साथ पूर्णांकों की एक निश्चित संख्या के भाजक में रुचि रखते हैं, विशेष रूप से सभी के लिए सामान्य (समान)। आइए हम मुख्य परिभाषा लिखें।

परिभाषा 1

कई पूर्णांकों का सामान्य भाजक एक संख्या होगी जो निर्दिष्ट सेट से प्रत्येक संख्या का विभाजक हो सकती है।

उदाहरण 1

ऐसे भाजक के उदाहरण यहां दिए गए हैं: संख्या - 12 और 9 के लिए त्रिगुण एक सामान्य भाजक होगा, क्योंकि समानताएं 9 = 3 · 3 और - 12 = 3 · (- 4) सत्य हैं। संख्या 3 और - 12 में अन्य सामान्य भाजक हैं, जैसे 1 , - 1 और - 3 । आइए एक और उदाहरण लेते हैं। चार पूर्णांक 3 , − 11 , − 8 और 19 के दो उभयनिष्ठ भाजक होंगे: 1 और - 1 ।

विभाज्यता के गुणों को जानने के बाद, हम कह सकते हैं कि किसी भी पूर्णांक को एक और शून्य से विभाजित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांकों के किसी भी सेट में पहले से ही कम से कम दो सामान्य भाजक होंगे।

यह भी ध्यान दें कि यदि हमारे पास कई संख्या b के लिए एक सामान्य भाजक है, तो समान संख्याओं को विपरीत संख्या से विभाजित किया जा सकता है, अर्थात - b। सिद्धांत रूप में, हम केवल सकारात्मक भाजक ले सकते हैं, फिर सभी सामान्य भाजक भी 0 से बड़े होंगे। इस दृष्टिकोण का भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन नकारात्मक संख्याओं को पूरी तरह से नजरअंदाज नहीं किया जाना चाहिए।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक क्या है (gcd)

विभाज्यता के गुणों के अनुसार, यदि b एक पूर्णांक a का भाजक है जो 0 के बराबर नहीं है, तो b का मापांक a के मापांक से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए कोई भी संख्या जो 0 के बराबर नहीं है, में भाजक की सीमित संख्या होती है . इसका मतलब यह है कि कई पूर्णांकों के सामान्य भाजक की संख्या, जिनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न होता है, भी परिमित होगा, और उनके पूरे सेट से हम हमेशा सबसे बड़ी संख्या का चयन कर सकते हैं (हम पहले से ही सबसे बड़ी और की अवधारणा के बारे में बात कर चुके हैं) सबसे छोटा पूर्णांक, हम आपको दी गई सामग्री को दोहराने की सलाह देते हैं)।

आगे के तर्क में, हम यह मानेंगे कि संख्याओं के सेट में से कम से कम एक जिसके लिए आपको सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता है, 0 से भिन्न होगा। यदि वे सभी 0 के बराबर हैं, तो उनका भाजक कोई भी पूर्णांक हो सकता है, और चूंकि अनंत रूप से उनमें से कई हैं, इसलिए हम सबसे बड़ा नहीं चुन सकते। दूसरे शब्दों में, 0 के बराबर संख्याओं के सेट के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजना असंभव है।

हम मुख्य परिभाषा के निर्माण के लिए पास करते हैं।

परिभाषा 2

कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक सबसे बड़ा पूर्णांक होता है जो उन सभी संख्याओं को विभाजित करता है।

लिखित रूप में, सबसे बड़े सामान्य भाजक को अक्सर संक्षिप्त नाम GCD द्वारा निरूपित किया जाता है। दो संख्याओं के लिए, इसे gcd (a, b) के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 2

दो पूर्णांकों के लिए GCD का उदाहरण क्या है? उदाहरण के लिए, 6 और - 15 के लिए यह 3 होगा। आइए इसकी पुष्टि करते हैं। सबसे पहले, हम छह के सभी भाजक लिखते हैं: ± 6, ± 3, ± 1, और फिर पंद्रह के सभी भाजक: ± 15, ± 5, ± 3 और ± 1। उसके बाद, हम सामान्य चुनते हैं: ये − 3 , − 1 , 1 और 3 हैं। इनमें से आपको सबसे बड़ी संख्या चुननी होगी। यह 3 होगा।

तीन या अधिक संख्याओं के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक की परिभाषा बहुत समान होगी।

परिभाषा 3

तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह सबसे बड़ा पूर्णांक होता है जो उन सभी संख्याओं को एक ही समय में विभाजित करता है।

संख्याओं के लिए a 1 , a 2 , … , a n भाजक को आसानी से GCD (a 1 , a 2 ,… , a n) के रूप में दर्शाया जाता है। भाजक मान को ही GCD (a 1 , a 2 ,… , a n) = b के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण 3

यहां कई पूर्णांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक के उदाहरण दिए गए हैं: 12 , - 8 , 52 , 16 । यह चार के बराबर होगा, जिसका अर्थ है कि हम लिख सकते हैं कि gcd (12, - 8, 52, 16) = 4।

आप इन संख्याओं के सभी भाजक को लिखकर और फिर उनमें से सबसे बड़ा चुनकर इस कथन की सत्यता की जांच कर सकते हैं।

व्यवहार में, अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्याओं में से एक के बराबर होता है। ऐसा तब होता है जब अन्य सभी संख्याओं को दी गई संख्या से विभाजित किया जा सकता है (लेख के पहले पैराग्राफ में हमने इस कथन का प्रमाण दिया है)।

उदाहरण 4

तो, संख्या 60, 15 और - 45 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि पंद्रह न केवल 60 और - 45 से विभाज्य है, बल्कि स्वयं से भी, और इन सभी संख्याओं के लिए कोई बड़ा भाजक नहीं है।

कोप्राइम नंबर एक विशेष मामला है। वे पूर्णांक हैं जिनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है।

जीसीडी और यूक्लिड के एल्गोरिथम के मुख्य गुण

सबसे बड़े सामान्य भाजक में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं। हम उन्हें प्रमेयों के रूप में बनाते हैं और उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करते हैं।

ध्यान दें कि ये गुण शून्य से बड़े पूर्णांकों के लिए तैयार किए गए हैं, और हम केवल सकारात्मक भाजक पर विचार करते हैं।

परिभाषा 4

संख्या a और b में b और a के लिए gcd के बराबर सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, अर्थात gcd (a , b) = gcd (b , a) । संख्याओं का स्थान बदलने से अंतिम परिणाम प्रभावित नहीं होता है।

यह गुण GCD की परिभाषा से ही चलता है और इसके लिए प्रमाण की आवश्यकता नहीं होती है।

परिभाषा 5

यदि संख्या a को संख्या b से विभाजित किया जा सकता है, तो इन दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय संख्या b के भाजक के समुच्चय के समान होगा, अर्थात gcd (a, b) = b.

आइए इस कथन को सिद्ध करें।

सबूत 1

यदि संख्याओं a और b में उभयनिष्ठ भाजक हैं, तो उनमें से किसी को भी उनके द्वारा विभाजित किया जा सकता है। उसी समय, यदि a, b का गुणज है, तो b का कोई भी भाजक भी a का भाजक होगा, क्योंकि विभाज्यता में ट्रांजिटिविटी जैसी संपत्ति होती है। इसलिए, कोई भी भाजक b संख्याओं a और b के लिए उभयनिष्ठ होगा। इससे यह सिद्ध होता है कि यदि हम a को b से विभाजित कर सकते हैं, तो दोनों संख्याओं के सभी भाजक का समुच्चय एक संख्या b के भाजक के समुच्चय से मेल खाता है। और चूँकि किसी भी संख्या का सबसे बड़ा भाजक वह संख्या ही होती है, तो संख्याओं a और b का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक भी b के बराबर होगा, अर्थात। जीसीडी (ए, बी) = बी। यदि a = b , तो gcd (a , b) = gcd (a , a) = gcd (b , b) = a = b , जैसे gcd (132 , 132) = 132 ।

इस संपत्ति का उपयोग करके, हम दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक पा सकते हैं यदि उनमें से एक को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है। ऐसा भाजक इन दो संख्याओं में से एक के बराबर होता है जिससे दूसरी संख्या को विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, gcd (8, 24) = 8, क्योंकि 24 आठ का गुणज है।

परिभाषा 6 सबूत 2

आइए इस संपत्ति को साबित करने का प्रयास करें। हमारे पास शुरू में समानता a = b q + c है, और a और b का कोई भी सामान्य भाजक भी c को विभाजित करेगा, जिसे संबंधित विभाज्यता गुण द्वारा समझाया गया है। इसलिए, b और c का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक a को विभाजित करेगा। इसका मतलब यह है कि आम भाजक a और b का सेट भाजक b और c के सेट के साथ मेल खाएगा, जिसमें उनमें से सबसे बड़ा शामिल है, जिसका अर्थ है कि समानता gcd (a, b) = gcd (b, c) सत्य है।

परिभाषा 7

निम्नलिखित गुण को यूक्लिड एल्गोरिथम कहा जाता है। इसके साथ, आप दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना कर सकते हैं, साथ ही जीसीडी के अन्य गुणों को भी साबित कर सकते हैं।

संपत्ति बनाने से पहले, हम आपको उस प्रमेय को दोहराने की सलाह देते हैं जिसे हमने विभाजन के लेख में शेष के साथ साबित किया था। इसके अनुसार, विभाज्य संख्या a को b q + r के रूप में दर्शाया जा सकता है, और यहाँ b एक भाजक है, q कुछ पूर्णांक है (इसे अपूर्ण भागफल भी कहा जाता है), और r एक शेष है जो 0 r की स्थिति को संतुष्ट करता है। बी।

मान लें कि हमारे पास 0 से बड़े दो पूर्णांक हैं जिनके लिए निम्नलिखित समानताएं सत्य होंगी:

ए = बी क्यू 1 + आर 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

ये समानताएँ तब समाप्त होती हैं जब r k + 1 0 के बराबर हो जाता है। यह निश्चित रूप से होगा, क्योंकि अनुक्रम b > r 1 > r 2 > r 3 … घटते पूर्णांकों की एक श्रृंखला है, जिसमें उनमें से केवल एक सीमित संख्या शामिल हो सकती है। इसलिए, r k a और b का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक है, अर्थात r k = gcd (a , b) ।

सबसे पहले, हमें यह साबित करना होगा कि r k संख्याओं a और b का एक सामान्य भाजक है, और उसके बाद, r k केवल एक भाजक नहीं है, बल्कि दो दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

आइए ऊपर से ऊपर, नीचे से ऊपर तक समानताओं की सूची देखें। अंतिम समानता के अनुसार,
r k − 1 को r k से विभाजित किया जा सकता है। इस तथ्य के आधार पर, साथ ही साथ सबसे बड़े सामान्य भाजक की पिछली सिद्ध संपत्ति के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि r k - 2 को r k से विभाजित किया जा सकता है, क्योंकि
r k − 1 r k से विभाज्य है और r k, r k से विभाज्य है।

नीचे से तीसरी समानता हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि r k - 3 को r k से विभाजित किया जा सकता है, और इसी तरह। नीचे से दूसरा यह है कि b, r k से विभाज्य है, और पहला यह है कि a, r k से विभाज्य है। इस सब से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि r k, a और b का उभयनिष्ठ भाजक है।

अब हम सिद्ध करते हैं कि r k = gcd (a , b) । मुझे क्या करना चाहिये? दर्शाइए कि a और b का कोई उभयनिष्ठ भाजक r k को विभाजित करेगा। आइए इसे r 0 निरूपित करें।

आइए समानता की समान सूची को देखें, लेकिन ऊपर से नीचे तक। पिछली संपत्ति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि r 1 r 0 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि दूसरी समानता के अनुसार, r 2, r 0 से विभाज्य है। हम सभी समानताओं के माध्यम से नीचे जाते हैं और अंतिम से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि r k, r 0 से विभाज्य है। इसलिए, r k = gcd (a , b) ।

इस गुण पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि a और b के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय इन संख्याओं के gcd के भाजक के समुच्चय के समान है। यह कथन, जो यूक्लिड के एल्गोरिथम का परिणाम है, हमें दो दी गई संख्याओं के सभी उभयनिष्ठ भाजक की गणना करने की अनुमति देगा।

आइए अन्य गुणों पर चलते हैं।

परिभाषा 8

यदि a और b पूर्णांक हैं जो 0 के बराबर नहीं हैं, तो दो अन्य पूर्णांक u 0 और v 0 होने चाहिए, जिसके लिए समानता gcd (a, b) = a u 0 + b v 0 मान्य होगी।

संपत्ति विवरण में दी गई समानता a और b के सबसे बड़े सामान्य भाजक का एक रैखिक प्रतिनिधित्व है। इसे बेज़आउट अनुपात कहा जाता है, और संख्या u 0 और v 0 को Bezout गुणांक कहा जाता है।

सबूत 3

आइए इस संपत्ति को साबित करें। हम यूक्लिड एल्गोरिथम के अनुसार समानता के क्रम को लिखते हैं:

ए = बी क्यू 1 + आर 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

पहली समानता हमें बताती है कि r 1 = a - b · q 1 । 1 = s 1 और − q 1 = t 1 को निरूपित करें और इस समानता को r 1 = s 1 · a + t 1 · b के रूप में फिर से लिखें। यहाँ संख्याएँ s 1 और t 1 पूर्णांक होंगी। दूसरी समानता हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि r 2 = b - r 1 q 2 = b - (s 1 a + t 1 b) q 2 = - s 1 q 2 a + (1 - t 1 q 2) b । निरूपित करें - s 1 q 2 = s 2 और 1 - t 1 q 2 = t 2 और समानता को r 2 = s 2 a + t 2 b के रूप में फिर से लिखें, जहां s 2 और t 2 भी पूर्णांक होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि पूर्णांकों का योग, उनका गुणनफल और अंतर भी पूर्णांक होते हैं। ठीक उसी तरह, हम तीसरी समानता r 3 = s 3 · a + t 3 · b से प्राप्त करते हैं, निम्नलिखित r 4 = s 4 · a + t 4 · b, आदि से। अंत में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि r k = s k a + t k b पूर्णांकों s k और t k के लिए। चूंकि r k \u003d GCD (a, b) , हम s k \u003d u 0 और t k \u003d v 0 को निरूपित करते हैं। परिणामस्वरूप, हम आवश्यक रूप में GCD का रैखिक प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकते हैं: GCD (a, b) \u003d ए यू 0 + बी वी 0।

परिभाषा 9

gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) किसी भी प्राकृतिक मान m के लिए।

सबूत 4

इस संपत्ति को निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। यूक्लिड एल्गोरिथम में प्रत्येक समानता के दोनों पक्षों की संख्या m से गुणा करें और हम प्राप्त करते हैं कि gcd (m a , m b) = m r k , और r k gcd (a , b) है। इसलिए, gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) । यह सबसे बड़े सामान्य भाजक की यह संपत्ति है जिसका उपयोग गुणन विधि द्वारा GCD को खोजने के लिए किया जाता है।

परिभाषा 10

यदि संख्या a और b में एक उभयनिष्ठ भाजक p है, तो gcd (a: p , b: p) = gcd (a , b): p । मामले में जब p = gcd (a , b) हमें gcd (a: gcd (a , b) , b: gcd (a , b) = 1 मिलता है, इसलिए, संख्याएँ a: gcd (a , b) और b : जीसीडी (ए, बी) कोप्राइम हैं।

चूँकि a = p (a: p) और b = p (b: p) , तो, पिछली संपत्ति के आधार पर, हम gcd (a , b) = gcd (p (a: p) के रूप की समानताएँ बना सकते हैं, पी · (बी: पी)) = पी · जीसीडी (ए: पी, बी: पी) , जिसके बीच इस संपत्ति का सबूत होगा। हम इस कथन का उपयोग तब करते हैं जब हम साधारण भिन्नों को एक अपरिमेय रूप में घटाते हैं।

परिभाषा 11

सबसे बड़ा सामान्य भाजक a 1, a 2 ,… , a k संख्या d k होगी, जिसे gcd (a 1, a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 की क्रमिक गणना करके पाया जा सकता है। जीसीडी (डी 3, ए 4) = डी 4, …, जीसीडी (डी के -1, ए के) = डी के।

यह गुण तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए उपयोगी है। इसके साथ, आप इस क्रिया को दो संख्याओं के साथ संचालन में कम कर सकते हैं। इसका आधार यूक्लिडियन एल्गोरिथम से एक परिणाम है: यदि सामान्य भाजक का समुच्चय a 1, a 2 और a 3 समुच्चय d 2 और a 3 के साथ मेल खाता है, तो यह भाजक d 3 के साथ भी मेल खाता है। संख्या a 1 , a 2 , a 3 और a 4 के भाजक d 3 के भाजक से मेल खाएंगे, जिसका अर्थ है कि वे d 4 के भाजक से भी मेल खाएंगे, और इसी तरह आगे भी। अंत में, हम पाते हैं कि संख्याओं के सामान्य भाजक a 1, a 2, …, a k, d k के भाजक के साथ मेल खाएंगे, और चूंकि संख्या ही संख्या d k का सबसे बड़ा भाजक होगी, तो gcd (a 1 , ए 2, ..., ए के) = डी के।

बस इतना ही हम सबसे बड़े सामान्य भाजक के गुणों के बारे में बात करना चाहेंगे।

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