संपत्ति 1 (सीधेपन का संरक्षण)। चलते समय, एक सीधी रेखा पर स्थित तीन बिंदु एक सीधी रेखा पर पड़े तीन बिंदुओं में से गुजरते हैं, और दो अन्य के बीच स्थित एक बिंदु अन्य दो बिंदुओं की छवियों के बीच स्थित एक बिंदु में जाता है (उनकी पारस्परिक व्यवस्था का क्रम संरक्षित है) .
संपत्ति 2. गति में एक खंड की छवि एक खंड है।
संपत्ति 3. गति में एक सीधी रेखा की छवि एक सीधी रेखा है, और एक किरण की छवि एक किरण है।
गुण 4. चलते समय, एक त्रिभुज की छवि एक समान त्रिभुज होती है, एक समतल की छवि एक समतल होती है, और समानांतर विमानों को समानांतर विमानों पर मैप किया जाता है, एक अर्ध-तल की छवि एक अर्ध-तल होती है।
संपत्ति 5. चलते समय, टेट्राहेड्रोन की छवि एक टेट्राहेड्रोन होती है, अंतरिक्ष की छवि पूरी जगह होती है, आधे स्थान की छवि आधा स्थान होती है।
संपत्ति 6. चलते समय, कोण संरक्षित होते हैं, अर्थात। प्रत्येक कोण को एक ही प्रकार और समान परिमाण के कोण पर मैप किया जाता है। डायहेड्रल कोणों के लिए भी यही सच है।
परिभाषा। समानांतर स्थानांतरण, या, संक्षेप में, किसी आकृति का स्थानांतरण, उसका प्रदर्शन है जिसमें उसके सभी बिंदु समान दूरी से एक ही दिशा में विस्थापित होते हैं, अर्थात। अनुवाद करते समय, आकृति के प्रत्येक दो बिंदु X और Y को ऐसे बिंदु X" और Y" पर मैप किया जाता है कि XX" = YY"।
मुख्य हस्तांतरण संपत्ति:
समानांतर अनुवाद दूरियों और दिशाओं को सुरक्षित रखता है, अर्थात। एक्स "वाई" = एक्सवाई।
इससे यह पता चलता है कि एक समानांतर स्थानांतरण एक आंदोलन है जो दिशा को संरक्षित करता है, और इसके विपरीत, एक आंदोलन जो दिशा को संरक्षित करता है वह एक समानांतर स्थानांतरण है।
इन कथनों से यह भी पता चलता है कि समानांतर अनुवादों की रचना एक समानांतर अनुवाद है।
आकृति का समानांतर अनुवाद संबंधित बिंदुओं के एक जोड़े को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि यह इंगित किया जाता है कि कौन सा बिंदु A" दिया गया बिंदु A जाता है, तो यह अनुवाद सदिश AA" द्वारा दिया जाता है, और इसका अर्थ है कि सभी बिंदु एक ही वेक्टर द्वारा स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात। XX" = AA" सभी X बिंदुओं के लिए।
0 के संबंध में एक आकृति की केंद्रीय समरूपता इस आकृति का ऐसा मानचित्रण है जो इसके प्रत्येक बिंदु के साथ O के संबंध में एक सममित बिंदु को जोड़ती है।
मुख्य गुण: केंद्रीय समरूपता दूरी को बनाए रखती है, और दिशा को उलट देती है। दूसरे शब्दों में, आकृति F के कोई भी दो बिंदु X और Y बिंदु X" और Y" के अनुरूप हैं जैसे कि X"Y" = -XY।
इससे यह इस प्रकार है कि केंद्रीय समरूपता एक आंदोलन है जो दिशा को विपरीत दिशा में बदलता है और इसके विपरीत, एक आंदोलन जो दिशा को विपरीत दिशा में बदलता है वह केंद्रीय समरूपता है।
आकृति की केंद्रीय समरूपता मौजूदा बिंदुओं की एक जोड़ी निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट की जाती है: यदि बिंदु ए को ए से मैप किया गया है, तो समरूपता का केंद्र खंड एए का मध्य बिंदु है"।
एक आकृति का मानचित्रण, जिसमें उसका प्रत्येक बिंदु किसी दिए गए विमान के संबंध में सममित बिंदु से मेल खाता है, इस विमान (या दर्पण समरूपता) में आकृति का प्रतिबिंब कहलाता है।
बिंदु A और A" को एक समतल के संबंध में सममित कहा जाता है यदि खंड AA" इस तल के लंबवत है और इससे समद्विभाजित होता है। समतल का कोई भी बिंदु (इस तल के संबंध में अपने आप में सममित माना जाता है।
प्रमेय 1. समतल में परावर्तन दूरियों को बनाए रखता है और इसलिए, एक गति है।
प्रमेय 2। एक गति जिसमें एक निश्चित विमान के सभी बिंदु स्थिर होते हैं, इस विमान में प्रतिबिंब या एक समान मानचित्रण होता है।
मिरर समरूपता को संबंधित बिंदुओं के एक जोड़े को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जाता है जो समरूपता के विमान में नहीं होते हैं: समरूपता का विमान इन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के मध्य से होकर गुजरता है, इसके लंबवत।
एक आकृति को क्रांति की आकृति कहा जाता है यदि ऐसी सीधी रेखा है, कोई भी घुमाव जिसके चारों ओर आकृति को स्वयं के साथ जोड़ता है, दूसरे शब्दों में, इसे स्वयं पर मैप करता है। ऐसी सीधी रेखा को आकृति के घूर्णन का अक्ष कहा जाता है। क्रांति का सबसे सरल पिंड: एक गेंद, एक लम्ब वृत्तीय बेलन, एक लम्ब वृत्तीय शंकु।
एक सीधी रेखा के चारों ओर एक मोड़ का एक विशेष मामला 180 से एक मोड़ है (। जब एक रेखा को 180 से घुमाया जाता है (प्रत्येक बिंदु ए ऐसे बिंदु ए पर जाता है "कि रेखा ए खंड एए के लंबवत है" और इसे काटती है बीच में। ऐसे बिंदु ए और ए "कहते हैं कि वे अक्ष के बारे में सममित हैं। इसलिए, 180 का घूर्णन (एक सीधी रेखा के बारे में अंतरिक्ष में अक्षीय समरूपता कहा जाता है।
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"सर्कल और सर्कल के बारे में समस्याएं"- 2. उत्तर: एस=25? सेमी2; सी = 10? समस्या समाधान देखें। 1. एक वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल।
"नियमित बहुभुज ज्यामिति"- किसी भी नियमित बहुभुज के बारे में, आप एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं, और केवल एक। हम एक नियमित n-gon के कोण a की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं। बहुभुज A1A2...An के कोई तीन शीर्ष लीजिए, उदाहरण के लिए A1, A2, A3। आइए अब हम ऐसे वृत्त की विशिष्टता को सिद्ध करें। एक नियमित बहुभुज का केंद्र। एक नियमित बहुभुज के केंद्र पर प्रमेय। इस तरह के वृत्त की विशिष्टता त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की विशिष्टता से होती है।
"आंदोलन ज्यामिति ग्रेड 9"- अक्षीय। अक्षीय समरूपता। केंद्रीय और अक्षीय समरूपता। प्रमेय। आंदोलनों के प्रकार। मोड़। उपरिशायी। कोई भी आंदोलन एक ओवरले है। अक्षीय समरूपता केंद्रीय समरूपता समानांतर अनुवाद रोटेशन। समानांतर स्थानांतरण। आंदोलन। केंद्रीय समरूपता। आंदोलन की अवधारणा। ज्यामिति ग्रेड 9. केंद्रीय। चलते समय, खंड खंड पर प्रदर्शित होता है।
अपने आप पर एक विमान का मानचित्रण
परिभाषा 1
अपने आप पर एक विमान का मानचित्रण- यह एक ही तल के किसी भी बिंदु के तल के प्रत्येक बिंदु के साथ ऐसा पत्राचार है, जिसमें विमान का प्रत्येक बिंदु किसी बिंदु के लिए जुड़ा होगा।
एक समतल को स्वयं पर मैप करने के उदाहरण अक्षीय समरूपता (चित्र 1a) और केंद्रीय समरूपता (चित्र 1b) हो सकते हैं।
चित्रा 1. ए) अक्षीय समरूपता; बी) केंद्रीय समरूपता
आंदोलन की अवधारणा
अब हम गति की परिभाषा का परिचय देते हैं।
परिभाषा 2
समतल की गति स्वयं पर समतल का ऐसा मानचित्रण है, जिसमें दूरियाँ संरक्षित रहती हैं (चित्र 2)।
चित्रा 2. आंदोलन उदाहरण
गति की अवधारणा से संबंधित प्रमेय
प्रमाण।
आइए हमें एक खंड $MN$ दिया जाए। विमान की दी गई गति के लिए बिंदु $M$ को इस विमान के बिंदु $M_1$ पर मैप किया जाए, और बिंदु $N$ को इस विमान के बिंदु $N_1$ पर मैप किया जाए। $MN$ खंड का एक मनमाना बिंदु $P$ लें। इसे इस तल के बिंदु $\ P_1$ पर मैप करने दें (चित्र 3)।
चित्र 3. चलते समय खंड से खंड का मानचित्रण
चूंकि बिंदु $P$ खंड $MN$ से संबंधित है, समानता
चूँकि गति की परिभाषा से दूरियाँ संरक्षित रहती हैं, तो
इसलिये
इसलिए, बिंदु $P_1$ खंड $M_1N_1$ पर स्थित है। बिंदु $P_1$ की पसंद की मनमानी के कारण, हम प्राप्त करते हैं कि सेगमेंट $MN$ को गति के दौरान सेगमेंट $M_1N_1$ पर मैप किया जाएगा। इन खंडों की समानता गति की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करती है।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 2
चलते समय, त्रिभुज को एक समान त्रिभुज में मैप किया जाता है।
प्रमाण।
आइए हमें एक त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। प्रमेय 1 के अनुसार, खंड $AB$ खंड $A_1B_1$ में जाता है, खंड $AC$ खंड $A_1C_1$ में जाता है, खंड $BC$ खंड $B_1C_1$, और $(AB=A) खंड में जाता है। _1B_1$, $(AC =A)_1C_1$, $(BC=B)_1C_1$। इसलिए, त्रिभुजों की समानता के III मानदंड के अनुसार, त्रिभुज $ABC$ अपने बराबर त्रिभुज $A_1B_1C_1$ में जाता है।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
इसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि किरण को किरण से मैप किया जाता है, कोण को उसके बराबर कोण पर मैप किया जाता है.
निम्नलिखित प्रमेय को तैयार करने के लिए, हम पहले निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत करते हैं।
परिभाषा 3
उपरिशायीतल की ऐसी गति कहलाती है, जिसके निम्नलिखित अभिगृहीत हैं:
- यदि दो खंडों के सिरे गति के दौरान मेल खाते हैं, तो खंड स्वयं मेल खाते हैं।
- किसी भी किरण की शुरुआत से, आप दिए गए खंड के बराबर खंड और इसके अलावा, केवल एक को स्थगित कर सकते हैं।
- किसी भी किरण से किसी भी अर्ध-तल में, कोई दिए गए गैर-विस्तारित कोण के बराबर कोण और केवल एक को अलग रख सकता है।
- कोई भी आंकड़ा अपने आप के बराबर होता है।
- यदि आकृति 1 आकृति 2 के बराबर है, तो आकृति 2 आकृति 1 के बराबर है।
- यदि आकृति 1 आकृति 2 के बराबर है, और आकृति 2 आकृति 3 के बराबर है, तो आकृति 1 आकृति 3 के बराबर है।
प्रमेय 3
कोई भी आंदोलन एक ओवरले है।
प्रमाण।
त्रिभुज $ ABC$ की गति $g$ पर विचार करें। प्रमेय 2 के अनुसार, जब $g$ चलता है, तो त्रिभुज $ABC$ अपने बराबर त्रिभुज $A_1B_1C_1$ में चला जाता है। समान त्रिभुजों की परिभाषा के अनुसार, हम पाते हैं कि एक ओवरले $f$ है जो अंक $A,B\ और\ C$ को क्रमशः $A_1,B_1\ और\ C_1$ बिंदुओं पर मैप करता है। आइए हम सिद्ध करें कि $g$, $f$ के साथ मेल खाता है।
इसके विपरीत मान लें कि $g$ $f$ के समान नहीं है। फिर कम से कम एक बिंदु $M$ होता है, जो, जब $g$ चलता है, बिंदु $M_1$ पर जाता है, और जब $f$ को आरोपित किया जाता है, तो यह बिंदु $M_2$ पर जाता है। चूंकि दूरियां $f$ और $g$ के लिए संरक्षित हैं, हमारे पास
अर्थात्, बिंदु $A_1$, बिंदु $M_1$ और $M_2$ से समान दूरी पर है। इसी तरह, हम पाते हैं कि $B_1\ और\ C_1$ बिंदु $M_1$ और $M_2$ से समान दूरी पर हैं। इसलिए बिंदु $A_1,B_1\ और\ C_1$ खंड $M_1M_2$ के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित हैं और इसके केंद्र से गुजरते हैं। यह संभव नहीं है क्योंकि बिंदु $A_1,B_1\ और\ C_1$ एक ही रेखा पर नहीं हैं। इसलिए, $g$ की गति $f$ लगाने के साथ मेल खाती है।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
आंदोलन की अवधारणा पर कार्य का एक उदाहरण
उदाहरण 1
सिद्ध करें कि चलते समय, कोण को उसके बराबर कोण पर मैप किया जाता है।
प्रमाण।
आइए हमें एक कोण $AOB$ दिया जाए। किसी दिए गए गति के लिए बिंदुओं $A,\ O\ और\ B$ को बिंदु $A_1,\ O_1\ और\ B_1$ पर मैप करने दें। प्रमेय 2 से, हम पाते हैं कि त्रिभुज $AOB$ त्रिभुज $A_1O_1B_1$ पर मैप किया गया है, और ये त्रिभुज एक दूसरे के बराबर हैं। इसलिए, $\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$.
