एक बीजीय व्यंजक जिसके अभिलेख में जोड़, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के साथ-साथ भाग को शाब्दिक व्यंजकों में भी प्रयोग किया जाता है, भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक कहलाता है। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, भाव

हम एक बीजीय भिन्न को एक बीजीय व्यंजक कहते हैं जिसमें दो पूर्णांक बीजीय व्यंजकों (उदाहरण के लिए, एकपदी या बहुपद) के विभाजन के भागफल का रूप होता है। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, भाव

भावों का तीसरा)।

भिन्नात्मक बीजगणितीय व्यंजकों के पहचान रूपांतरण अधिकांश भाग के लिए उन्हें बीजगणितीय अंश के रूप में दर्शाने के लिए होते हैं। एक उभयनिष्ठ हर को खोजने के लिए, भिन्नों के हरों के गुणनखंड का उपयोग किया जाता है - शब्दों का उपयोग उनके कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए किया जाता है। बीजीय अंशों को कम करते समय, अभिव्यक्तियों की सख्त पहचान का उल्लंघन किया जा सकता है: उन मात्राओं के मूल्यों को बाहर करना आवश्यक है जिन पर वह कारक गायब हो जाता है जिसके द्वारा कमी की जाती है।

आइए हम भिन्नात्मक बीजीय व्यंजकों के समरूप रूपांतरणों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1: एक व्यंजक को सरल कीजिए

सभी शब्दों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है (अंतिम पद के हर में चिन्ह और उसके सामने के चिन्ह को बदलना सुविधाजनक है):

हमारी अभिव्यक्ति इन मूल्यों को छोड़कर सभी मूल्यों के लिए एक के बराबर है, यह परिभाषित नहीं है और अंश में कमी अवैध है)।

उदाहरण 2. व्यंजक को बीजीय भिन्न के रूप में निरूपित करें

फेसला। अभिव्यक्ति को एक सामान्य भाजक के रूप में लिया जा सकता है। हम क्रमिक रूप से पाते हैं:

अभ्यास

1. मापदंडों के निर्दिष्ट मूल्यों के लिए बीजीय व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए:

2. कारक बनाना।

बीजगणित में जिन विभिन्न अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी का योग एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।

आमतौर पर, एक चर वाले मानक रूप बहुपद के पदों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हुए। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठकों के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठकों में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम अभिव्यक्ति हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा है कि इन भावों के नाम अधूरे लगते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं भागों को दाएं से और इसके विपरीत - बाएं भागों के साथ दाएं भागों को बदलने की अनुमति देती हैं। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखें और समझें कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

किसी भी भाषा की मदद से आप एक ही जानकारी को अलग-अलग शब्दों और वाक्यांशों में व्यक्त कर सकते हैं। गणितीय भाषा कोई अपवाद नहीं है। लेकिन एक ही अभिव्यक्ति को अलग-अलग तरीकों से समान रूप से लिखा जा सकता है। और कुछ स्थितियों में, प्रविष्टियों में से एक सरल है। हम इस पाठ में भावों को सरल बनाने के बारे में बात करेंगे।

लोग विभिन्न भाषाओं में संवाद करते हैं। हमारे लिए, एक महत्वपूर्ण तुलना जोड़ी "रूसी भाषा - गणितीय भाषा" है। एक ही जानकारी को विभिन्न भाषाओं में रिपोर्ट किया जा सकता है। लेकिन, इसके अलावा, इसे एक भाषा में अलग तरह से उच्चारित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: "पीटर वास्या के साथ दोस्त है", "वास्या पेट्या के साथ दोस्त है", "पीटर और वास्या दोस्त हैं"। अलग तरह से कहा, लेकिन एक ही। इनमें से किसी भी वाक्यांश से, हम समझेंगे कि दांव पर क्या है।

आइए इस वाक्यांश को देखें: "लड़का पेट्या और लड़का वास्या दोस्त हैं।" हम समझते हैं कि दांव पर क्या है। हालाँकि, हमें यह पसंद नहीं है कि यह वाक्यांश कैसा लगता है। क्या हम इसे सरल नहीं कह सकते, वही कह सकते हैं, लेकिन सरल? "लड़का और लड़का" - आप एक बार कह सकते हैं: "लड़के पेट्या और वास्या दोस्त हैं।"

"लड़के" ... क्या उनके नाम से यह स्पष्ट नहीं है कि वे लड़कियां नहीं हैं। हम "लड़कों" को हटाते हैं: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" और "दोस्तों" शब्द को "दोस्तों" से बदला जा सकता है: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" नतीजतन, पहले, लंबे, बदसूरत वाक्यांश को एक समान कथन के साथ बदल दिया गया था जो कहना आसान है और समझने में आसान है। हमने इस वाक्यांश को सरल बनाया है। सरल करने का अर्थ है इसे आसान कहना, लेकिन खोना नहीं, अर्थ को विकृत नहीं करना।

गणितीय भाषा में भी ऐसा ही होता है। एक ही बात को अलग तरह से कहा जा सकता है। किसी व्यंजक को सरल बनाने का क्या अर्थ है? इसका मतलब यह है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए कई समान अभिव्यक्तियाँ हैं, अर्थात्, जिनका अर्थ एक ही है। और इस सारी भीड़ में से, हमें अपनी राय में, सबसे सरल, या हमारे आगे के उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त चुनना चाहिए।

उदाहरण के लिए, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें। के बराबर होगा।

यह भी पहले दो के बराबर होगा: .

यह पता चला है कि हमने अपने भावों को सरल बना दिया है और सबसे छोटा समकक्ष अभिव्यक्ति पाया है।

सांख्यिक व्यंजकों के लिए, आपको हमेशा सभी कार्य करने होंगे और एक ही संख्या के रूप में समतुल्य व्यंजक प्राप्त करना होगा।

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति के उदाहरण पर विचार करें . जाहिर है, यह आसान होगा।

शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल करते समय, आपको वे सभी कार्य करने चाहिए जो संभव हों।

क्या किसी व्यंजक को सरल बनाना हमेशा आवश्यक होता है? नहीं, कभी-कभी एक समतुल्य लेकिन लंबा अंकन हमारे लिए अधिक सुविधाजनक होगा।

उदाहरण: संख्या से संख्या घटाएं।

गणना करना संभव है, लेकिन यदि पहली संख्या को इसके समकक्ष अंकन द्वारा दर्शाया जाता है: , तो गणना तात्कालिक होगी:।

अर्थात्, आगे की गणना के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति हमेशा हमारे लिए फायदेमंद नहीं होती है।

फिर भी, बहुत बार हमें ऐसे कार्य का सामना करना पड़ता है जो "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" जैसा लगता है।

व्यंजक को सरल कीजिए : .

फेसला

1) पहले और दूसरे कोष्ठक में क्रियाएँ करें: .

2) उत्पादों की गणना करें: .

जाहिर है, अंतिम अभिव्यक्ति का प्रारंभिक रूप की तुलना में सरल रूप है। हमने इसका सरलीकरण कर दिया है।

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, इसे समतुल्य (बराबर) से बदला जाना चाहिए।

समकक्ष अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) सभी संभव कार्य करें,

2) गणना को सरल बनाने के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करें।

जोड़ और घटाव के गुण:

1. जोड़ की कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी: योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है।

2. जोड़ का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी संख्याओं का योग जोड़ सकते हैं।

3. किसी संख्या में से योग घटाने का गुण: किसी संख्या से योग घटाने के लिए आप प्रत्येक पद को अलग-अलग घटा सकते हैं।

गुणन और भाग के गुण

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनखंडों के क्रमपरिवर्तन से गुणनफल नहीं बदलता है।

2. साहचर्य गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी गुणनफल को दूसरे गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं।

3. गुणन का वितरण गुण: किसी संख्या को किसी योग से गुणा करने के लिए, आपको उसे प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा करना होगा।

आइए देखें कि हम वास्तव में मानसिक गणना कैसे करते हैं।

गणना करें:

फेसला

1) कल्पना कीजिए कि कैसे

2) आइए पहले गुणक को बिट शब्दों के योग के रूप में प्रस्तुत करें और गुणन करें:

3) आप कल्पना कर सकते हैं कि गुणा कैसे और कैसे करें:

4) पहले गुणनखंड को समतुल्य योग से बदलें:

वितरण नियम का उपयोग विपरीत दिशा में भी किया जा सकता है: .

इन चरणों का पालन करें:

1) 2)

फेसला

1) सुविधा के लिए, आप वितरण कानून का उपयोग कर सकते हैं, बस इसे विपरीत दिशा में उपयोग करें - सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें।

2) आइए कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालें

रसोई और दालान में लिनोलियम खरीदना आवश्यक है। रसोई क्षेत्र - दालान -। लिनोलियम तीन प्रकार के होते हैं: के लिए, और रूबल के लिए। तीन प्रकार के लिनोलियम में से प्रत्येक की लागत कितनी होगी? (चित्र .1)

चावल। 1. समस्या की स्थिति के लिए चित्रण

फेसला

विधि 1. आप अलग से पता लगा सकते हैं कि रसोई में लिनोलियम खरीदने में कितना पैसा लगेगा, और फिर इसे दालान में जोड़ें और परिणामी कार्यों को जोड़ें।

टिप्पणी 1

तार्किक अभिव्यक्ति का उपयोग करके एक तार्किक कार्य लिखा जा सकता है, और फिर आप तार्किक सर्किट पर जा सकते हैं। तार्किक सर्किट को यथासंभव सरल (और इसलिए सस्ता) प्राप्त करने के लिए तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना आवश्यक है। वास्तव में, एक तार्किक कार्य, एक तार्किक अभिव्यक्ति और एक तार्किक सर्किट तीन अलग-अलग भाषाएं हैं जो एक ही इकाई के बारे में बात करती हैं।

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए, उपयोग करें तर्क के बीजगणित के नियम.

कुछ परिवर्तन शास्त्रीय बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तनों के समान हैं (सामान्य कारक को ब्रैकेट करना, कम्यूटेटिव और सहयोगी कानूनों का उपयोग करना, आदि), जबकि अन्य परिवर्तन उन गुणों पर आधारित होते हैं जो शास्त्रीय बीजगणित संचालन में नहीं होते हैं (संयोजन के लिए वितरण कानून का उपयोग करके, अवशोषण के नियम, ग्लूइंग, डी मॉर्गन के नियम, आदि)।

तर्क के बीजगणित के नियम बुनियादी तार्किक संचालन के लिए तैयार किए जाते हैं - "नहीं" - उलटा (नकार), "और" - संयोजन (तार्किक गुणन) और "या" - विघटन (तार्किक जोड़)।

दोहरे निषेध के नियम का अर्थ है कि "नहीं" ऑपरेशन प्रतिवर्ती है: यदि आप इसे दो बार लागू करते हैं, तो अंत में तार्किक मूल्य नहीं बदलेगा।

बहिष्कृत मध्य का कानून कहता है कि कोई भी तार्किक अभिव्यक्ति या तो सही है या गलत ("कोई तीसरा नहीं है")। इसलिए, यदि $A=1$, तो $\bar(A)=0$ (और इसके विपरीत), जिसका अर्थ है कि इन मात्राओं का संयोजन हमेशा शून्य के बराबर होता है, और वियोजन एक के बराबर होता है।

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

आइए इस सूत्र को सरल करें:

चित्र तीन

इसका मतलब है कि $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$।

जवाब:छात्र $B$, $C$ और $D$ शतरंज खेल रहे हैं, लेकिन छात्र $A$ नहीं खेल रहा है।

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल करते समय, आप क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम कर सकते हैं:

1. उलटा, संयोजन, और संयोजन के मूल संचालन के माध्यम से सभी "गैर-मूल" संचालन (समतुल्यता, निहितार्थ, अनन्य OR, आदि) को उनके भावों से बदलें।
2. डी मॉर्गन के नियमों के अनुसार जटिल व्यंजकों के व्युत्क्रमों का विस्तार इस प्रकार करें कि केवल व्यक्तिगत चरों में निषेधन संक्रियाएँ हों।
3. फिर कोष्ठकों के विस्तार, सामान्य कारकों को ब्रैकेटिंग, और तर्क के बीजगणित के अन्य नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

उदाहरण 2

यहां, डी मॉर्गन का नियम, वितरण कानून, बहिष्कृत मध्य का कानून, कम्यूटेटिव कानून, दोहराव का कानून, फिर से कम्यूटेटिव कानून, और अवशोषण का कानून उत्तराधिकार में उपयोग किया जाता है।

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से समय में अलग-अलग बिंदुओं पर ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में ज्ञात करना आपको पूरी तरह से अलग परिणाम देगा।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! यह स्वर्ग में आरोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... ऊपर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने चमकती डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। वे लोग जो लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं, स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में देखते हैं।