यह लेख भिन्नों पर संचालन से संबंधित है। फॉर्म ए बी के अंशों के जोड़, घटाव, गुणा, भाग या घातांक के नियम बनाए जाएंगे और उचित होंगे, जहां ए और बी संख्या, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति हो सकते हैं। अंत में, विस्तृत विवरण के साथ समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों में एक अंश और एक भाजक होता है, जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ या संख्यात्मक व्यंजक होते हैं। यदि हम ऐसी भिन्नों को 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + मानते हैं। 2 0, 5 ln 3, तो यह स्पष्ट है कि अंश और हर में न केवल संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि एक अलग योजना के भाव भी हो सकते हैं।

परिभाषा 1

ऐसे नियम हैं जिनके द्वारा साधारण अंशों के साथ क्रियाएं की जाती हैं। यह सामान्य रूप के भिन्नों के लिए भी उपयुक्त है:

• समान हर के साथ अंशों को घटाते समय, केवल अंश जोड़े जाते हैं, और हर समान रहता है, अर्थात्: a d ± c d \u003d a ± c d, मान a, c और d 0 कुछ संख्याएं या संख्यात्मक भाव होते हैं।
• अलग-अलग हर के साथ अंशों को जोड़ते या घटाते समय, एक सामान्य को कम करना आवश्यक है, और फिर समान संकेतकों के साथ परिणामी अंशों को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। सचमुच, यह ऐसा दिखता है a b ± c d = a p ± c r s , जहां मान a , b ≠ 0 , c , d 0 , p ≠ 0 , r 0 , s ≠ 0 वास्तविक संख्याएं हैं, और b p = d r = एस. जब p = d और r = b, तब a b ± c d = a d ± c d b d।
• अंशों को गुणा करते समय, अंशों के साथ एक क्रिया की जाती है, जिसके बाद हर के साथ, हमें a b c d \u003d a c b d मिलता है, जहाँ a, b 0, c, d 0 वास्तविक संख्याओं के रूप में कार्य करते हैं।
• किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करते समय, हम पहले को दूसरे पारस्परिक से गुणा करते हैं, अर्थात हम अंश और हर को स्वैप करते हैं: a b: c d \u003d a b d c।

नियमों के लिए तर्क

परिभाषा 2

निम्नलिखित गणितीय बिंदु हैं जिन पर आपको गणना करते समय भरोसा करना चाहिए:

• एक भिन्नात्मक पट्टी का अर्थ है एक विभाजन चिह्न;
• किसी संख्या से भाग को उसके व्युत्क्रम से गुणा माना जाता है;
• वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं की संपत्ति का अनुप्रयोग;
• भिन्न और संख्यात्मक असमानताओं के मूल गुण का अनुप्रयोग।

उनकी मदद से आप फॉर्म में बदलाव कर सकते हैं:

ए डी ± सी डी = ए डी - 1 ± सी डी - 1 = ए ± सी डी - 1 = ए ± सी डी; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

उदाहरण

पिछले पैराग्राफ में, भिन्नों के साथ क्रियाओं के बारे में कहा गया था। इसके बाद अंश को सरल बनाने की आवश्यकता है। भिन्नों को परिवर्तित करने वाले अनुभाग में इस विषय पर विस्तार से चर्चा की गई थी।

सबसे पहले, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1

अंश 8 2 , 7 और 1 2 , 7 दिए गए हैं, तो नियम के अनुसार अंश को जोड़ना और हर को फिर से लिखना आवश्यक है।

फेसला

तब हमें 8 + 1 2 , 7 के रूप का भिन्न प्राप्त होता है। योग करने के बाद, हमें 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 के रूप का भिन्न प्राप्त होता है। तो 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3।

जवाब: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

हल करने का एक और तरीका है। आरंभ करने के लिए, एक साधारण अंश के रूप में एक संक्रमण किया जाता है, जिसके बाद हम एक सरलीकरण करते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

उदाहरण 2

आइए हम 1 - 2 3 से घटाएं लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 फॉर्म के 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 के अंश।

चूँकि बराबर हर दिए गए हैं, इसका मतलब है कि हम एक ही हर के साथ एक भिन्न की गणना कर रहे हैं। हमें वह मिलता है

1 - 2 3 लघुगणक 2 3 लघुगणक 2 5 + 1 - 2 3 3 लघुगणक 2 3 लघुगणक 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 लघुगणक 2 3 लघुगणक 2 5 + 1

भिन्न हर के साथ भिन्नों की गणना के उदाहरण हैं। एक महत्वपूर्ण बिंदु एक आम भाजक की कमी है। इसके बिना, हम भिन्नों के साथ आगे की क्रियाएं नहीं कर पाएंगे।

यह प्रक्रिया दूर से एक सामान्य हर में कमी की याद दिलाती है। अर्थात्, हर में सबसे कम उभयनिष्ठ भाजक की खोज की जाती है, जिसके बाद भिन्नों में लुप्त गुणनखंड जोड़ दिए जाते हैं।

यदि जोड़े गए भिन्नों में कोई सामान्य कारक नहीं है, तो उनका उत्पाद एक बन सकता है।

उदाहरण 3

भिन्न 2 3 5 + 1 और 1 2 जोड़ने के उदाहरण पर विचार करें।

फेसला

इस मामले में, आम भाजक हर का उत्पाद है। तब हमें वह 2 · 3 5 + 1 प्राप्त होता है। फिर, अतिरिक्त कारक सेट करते समय, हमारे पास पहले अंश के लिए यह 2 के बराबर होता है, और दूसरे के लिए 3 5 + 1 होता है। गुणा के बाद, भिन्नों को 4 2 3 5 + 1 के रूप में घटाया जाता है। सामान्य कास्ट 1 2 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 होगा। हम परिणामी भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ते हैं और पाते हैं कि

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

जवाब: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

जब हम एक सामान्य रूप के अंशों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो आमतौर पर कम से कम सामान्य भाजक ऐसा नहीं होता है। अंशों के गुणनफल को हर के रूप में लेना लाभहीन है। पहले आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या कोई संख्या है जो उनके उत्पाद से कम मूल्य की है।

उदाहरण 4

उदाहरण 1 6 2 1 5 और 1 4 2 3 5 पर विचार करें जब उनका उत्पाद 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 के बराबर हो। फिर हम 12 · 2 3 5 को एक उभयनिष्ठ हर के रूप में लेते हैं।

एक सामान्य रूप के अंशों के गुणन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 5

ऐसा करने के लिए, 2 + 1 6 और 2 · 5 3 · 2 + 1 को गुणा करना आवश्यक है।

फेसला

नियम का पालन करते हुए, अंशों के गुणनफल को हर के रूप में फिर से लिखना और लिखना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1। जब भिन्न को गुणा किया जाता है, तो इसे सरल बनाने के लिए कटौती की जा सकती है। फिर 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10।

एक व्युत्क्रम द्वारा विभाजन से गुणा में संक्रमण के नियम का उपयोग करते हुए, हम दिए गए का व्युत्क्रम प्राप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, अंश और हर को उलट दिया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

उसके बाद, उन्हें गुणा करना होगा और परिणामी भिन्न को सरल बनाना होगा। यदि आवश्यक हो, तो हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं। हमें वह मिलता है

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

जवाब: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

यह अनुच्छेद तब लागू होता है जब किसी संख्या या संख्यात्मक व्यंजक को 1 के बराबर हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ऐसे भिन्न के साथ संक्रिया को एक अलग अनुच्छेद माना जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 1 6 7 4 - 1 3 दर्शाता है कि 3 के मूल को अन्य 3 1 व्यंजक से बदला जा सकता है। तब यह रिकॉर्ड 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 के रूप की दो भिन्नों के गुणन जैसा दिखाई देगा।

चर वाले भिन्नों के साथ एक क्रिया करना

पहले लेख में चर्चा किए गए नियम चर वाले भिन्नों के साथ संचालन पर लागू होते हैं। घटाव नियम पर विचार करें जब भाजक समान हों।

यह साबित करना आवश्यक है कि ए, सी और डी (डी शून्य के बराबर नहीं) कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है, और समानता ए डी ± सी डी = ए ± सी डी इसके वैध मानों की सीमा के बराबर है।

ODZ वेरिएबल्स का एक सेट लेना आवश्यक है। फिर A, C, D को संबंधित मान a 0 , c 0 और . लेना चाहिए d0. फॉर्म ए डी ± सी डी के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप एक 0 डी 0 ± सी 0 डी 0 के रूप में अंतर होता है, जहां, अतिरिक्त नियम के अनुसार, हमें फॉर्म का एक सूत्र प्राप्त होता है a 0 ± c 0 d 0 । यदि हम व्यंजक A ± C D को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें a 0 ± c 0 d 0 के रूप का वही भिन्न प्राप्त होता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ओडीजेड, ए ± सी डी और ए डी ± सी डी को संतुष्ट करने वाले चुने हुए मूल्य को बराबर माना जाता है।

चरों के किसी भी मान के लिए, ये व्यंजक समान होंगे, अर्थात वे समान रूप से समान कहलाते हैं। इसका अर्थ यह है कि इस व्यंजक को A D ± C D = A ± C D के रूप की एक सिद्ध समानता माना जाता है।

चर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब समान भाजक होते हैं, तो केवल अंशों को जोड़ना या घटाना आवश्यक होता है। इस अंश को सरल बनाया जा सकता है। कभी-कभी आपको भिन्नों के साथ काम करना पड़ता है जो समान रूप से समान होते हैं, लेकिन पहली नज़र में यह ध्यान देने योग्य नहीं है, क्योंकि कुछ परिवर्तन किए जाने चाहिए। उदाहरण के लिए, x 2 3 x 1 3 + 1 और x 1 3 + 1 2 या 1 2 sin 2 α और sin a cos a. बहुधा, समान हरों को देखने के लिए मूल व्यंजक के सरलीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 6

गणना करें: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + एक्स एक्स + 1।

फेसला

1. गणना करने के लिए, आपको समान भाजक वाले अंशों को घटाना होगा। तब हम पाते हैं कि x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 । उसके बाद, आप समान शर्तों को कम करके कोष्ठक खोल सकते हैं। हम पाते हैं कि x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. चूँकि हर समान हैं, यह केवल अंशों को जोड़ने के लिए रहता है, हर को छोड़कर: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   जोड़ने का काम पूरा हो गया है। यह देखा जा सकता है कि अंश को कम किया जा सकता है। इसके अंश को योग वर्ग सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है, फिर हम प्राप्त करते हैं (l g x + 2) 2 संक्षिप्त गुणन सूत्रों से। तब हमें वह मिलता है
   एल जी 2 एक्स + 4 + 2 एल जी एक्स एक्स (एल जी एक्स + 2) = (एल जी एक्स + 2) 2 एक्स (एल जी एक्स + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स
3. विभिन्न हरों के साथ x - 1 x - 1 + x x + 1 के रूप के भिन्न दिए गए हैं। परिवर्तन के बाद, आप जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

आइए दो तरह के समाधान पर विचार करें।

पहली विधि यह है कि पहले अंश के हर को वर्गों का उपयोग करके और उसके बाद की कमी के साथ गुणन के अधीन किया जाता है। हमें फॉर्म का एक अंश मिलता है

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

तो x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 ।

इस मामले में, भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाना आवश्यक है।

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

दूसरा तरीका है दूसरे भिन्न के अंश और हर को x - 1 से गुणा करना। इस प्रकार, हम अपरिमेयता से छुटकारा पाते हैं और समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। फिर

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

जवाब: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x) + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स, 3) एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स -1।

पिछले उदाहरण में, हमने पाया कि एक सामान्य हर में कमी अपरिहार्य है। ऐसा करने के लिए, आपको अंशों को सरल बनाने की आवश्यकता है। जोड़ने या घटाने के लिए, आपको हमेशा एक सामान्य हर की तलाश करनी होगी, जो अंशों में अतिरिक्त कारकों को जोड़ने के साथ हर के उत्पाद की तरह दिखता है।

उदाहरण 7

भिन्नों के मानों की गणना करें: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - पाप x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

फेसला

1. हर को किसी भी जटिल गणना की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आपको उनके उत्पाद को 3 x 7 + 2 2 के रूप में चुनने की आवश्यकता होती है, फिर पहले अंश के लिए x 7 + 2 2 को एक अतिरिक्त कारक के रूप में चुना जाता है, और 3 से दूसरे तक। गुणा करने पर, हमें x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 + 3 3 के रूप का भिन्न प्राप्त होता है। x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. यह देखा जा सकता है कि हर को एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अतिरिक्त परिवर्तन अनावश्यक हैं। सामान्य हर x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 के रूप का गुणनफल होगा। यहाँ से x 4 प्रथम भिन्न का एक अतिरिक्त गुणनखंड है, और ln (x + 1) दूसरे को। फिर हम घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:
   एक्स + 1 एक्स एलएन 2 (एक्स + 1) 2 एक्स - 4 - पाप एक्स एक्स 5 एलएन (एक्स + 1) 2 एक्स - 4 = = एक्स + 1 एक्स 4 एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) 2 एक्स - 4 - पाप एक्स एलएन एक्स + 1 एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4) = = एक्स + 1 एक्स 4 - पाप एक्स एलएन (एक्स + 1) एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4) = एक्स एक्स 4 + एक्स 4 - पाप एक्स एलएन (एक्स + 1) एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4))
3. भिन्नों के हर के साथ काम करते समय यह उदाहरण समझ में आता है। वर्गों और योग के वर्ग के अंतर के लिए सूत्रों को लागू करना आवश्यक है, क्योंकि वे 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) के रूप की अभिव्यक्ति को पारित करना संभव बना देंगे। ) 2. यह देखा जा सकता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जाता है। हम पाते हैं कि cos x - x cos x + x 2 ।

तब हमें वह मिलता है

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

जवाब:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - पाप x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 ।

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा किया जाता है। फिर आप कमी संपत्ति लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 8

भिन्न x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x गुणा करें।

फेसला

आपको गुणा करने की जरूरत है। हमें वह मिलता है

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)

गणना की सुविधा के लिए संख्या 3 को पहले स्थान पर स्थानांतरित किया जाता है, और आप अंश को x 2 से कम कर सकते हैं, फिर हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है

3 एक्स - 2 एक्स एक्स 1 3 एक्स + 1 - 2 एलएन एक्स 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)

जवाब:एक्स + 2 एक्स एक्स 2 एलएन एक्स 2 एलएन एक्स + 1 3 एक्स 2 1 3 एक्स + 1 - 2 पाप (2 एक्स - एक्स) = 3 एक्स - 2 एक्स एक्स 1 3 एक्स + 1 - 2 एलएन एक्स 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)।

विभाजन

भिन्नों का विभाजन गुणन के समान है, क्योंकि पहली भिन्न को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम भिन्न x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 लेते हैं और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x से विभाजित करते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , फिर x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + के गुणनफल से प्रतिस्थापित करें 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x)

घातांक

आइए घातांक के साथ एक सामान्य रूप के अंशों के साथ क्रिया पर विचार करें। यदि एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री है, तो क्रिया को समान अंशों के गुणन के रूप में माना जाता है। लेकिन डिग्री के गुणों के आधार पर एक सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। कोई भी व्यंजक ए और सी, जहां सी समान रूप से शून्य के बराबर नहीं है, और ओडीजेड पर कोई वास्तविक आर फॉर्म ए सी आर की अभिव्यक्ति के लिए, समानता ए सी आर = ए आर सी आर सत्य है। परिणाम एक शक्ति के लिए उठाया गया एक अंश है। उदाहरण के लिए, विचार करें:

x 0 , 7 - ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

भिन्नों के साथ संचालन का क्रम

भिन्नों पर क्रियाएँ कुछ नियमों के अनुसार की जाती हैं। व्यवहार में, हम देखते हैं कि एक व्यंजक में कई भिन्न या भिन्नात्मक व्यंजक हो सकते हैं। फिर सभी क्रियाओं को एक सख्त क्रम में करना आवश्यक है: एक शक्ति बढ़ाएँ, गुणा करें, विभाजित करें, फिर जोड़ें और घटाएँ। यदि कोष्ठक हैं, तो उनमें पहली क्रिया की जाती है।

उदाहरण 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x परिकलित करें।

फेसला

चूँकि हमारे पास एक ही हर है, तो 1 - x cos x और 1 c o s x , लेकिन नियम के अनुसार घटाना असंभव है, पहले कोष्ठक में क्रियाएँ की जाती हैं, जिसके बाद गुणा और फिर जोड़ दिया जाता है। फिर, गणना करते समय, हम पाते हैं कि

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

व्यंजक को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x। भिन्नों को गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x। सभी प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें 1 - x cos x - x + 1 cos x · x प्राप्त होता है। अब आपको भिन्नों के साथ काम करने की ज़रूरत है जिनके अलग-अलग हर हैं। हम पाते हैं:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

जवाब: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x ।

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अंश- गणित में किसी संख्या के निरूपण का एक रूप। स्लैश डिवीजन ऑपरेशन को इंगित करता है। मीटरभिन्नों को लाभांश कहा जाता है, और भाजक- विभक्त। उदाहरण के लिए, एक भिन्न में अंश 5 है और हर 7 है।

सहीएक भिन्न को तब कहा जाता है जब अंश का मापांक हर के मापांक से अधिक हो। यदि भिन्न सही है, तो इसके मान का मापांक हमेशा 1 से कम होता है। अन्य सभी भिन्न हैं गलत.

अंश कहलाता है मिला हुआ, यदि इसे एक पूर्णांक और भिन्न के रूप में लिखा जाता है। यह इस संख्या और भिन्न के योग के समान है:

भिन्न का मूल गुण

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा, उदाहरण के लिए,

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

दो भिन्नों को एक समान हर में लाने के लिए, आपको चाहिए:

1. पहली भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें
2. दूसरे भिन्न के अंश को पहले के हर से गुणा करें
3. दोनों भिन्नों के हरों को उनके गुणनफल से बदलें

भिन्न के साथ क्रिया

योग।दो भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको चाहिए

1. दोनों भिन्नों के नए अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें

उदाहरण:

घटाव।एक अंश को दूसरे से घटाने के लिए,

1. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ
2. पहले भिन्न के अंश से दूसरी भिन्न के अंश को घटाएं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें

उदाहरण:

गुणन।एक भिन्न को दूसरे से गुणा करने के लिए, उनके अंश और हर को गुणा करें:

विभाजन।एक भिन्न को दूसरे भिन्न से विभाजित करने के लिए, पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें, और पहली भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करें:

अब जब हमने अलग-अलग भिन्नों को जोड़ना और गुणा करना सीख लिया है, तो हम अधिक जटिल संरचनाओं पर विचार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्या होगा यदि भिन्नों का जोड़, घटाव और गुणा एक ही समस्या में होता है?

सबसे पहले, आपको सभी भिन्नों को अनुचित में बदलने की आवश्यकता है। फिर हम क्रमिक रूप से आवश्यक क्रियाएं करते हैं - उसी क्रम में जैसे सामान्य संख्याओं के लिए। अर्थात्:

1. सबसे पहले, घातांक किया जाता है - घातांक वाले सभी भावों से छुटकारा पाएं;
2. फिर - विभाजन और गुणा;
3. अंतिम चरण जोड़ और घटाव है।

बेशक, यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो क्रियाओं का क्रम बदल जाता है - कोष्ठक के अंदर जो कुछ भी है, उसे पहले माना जाना चाहिए। और अनुचित भिन्नों के बारे में याद रखें: आपको पूरे भाग का चयन तभी करना होगा जब अन्य सभी क्रियाएं पहले ही पूरी हो चुकी हों।

आइए पहले व्यंजक से सभी भिन्नों का अनुचित अंशों में अनुवाद करें, और फिर निम्नलिखित क्रियाएं करें:

आइए अब दूसरे व्यंजक का मान ज्ञात करें। पूर्णांक भाग के साथ कोई अंश नहीं हैं, लेकिन कोष्ठक हैं, इसलिए हम पहले जोड़ करते हैं, और उसके बाद ही विभाजन करते हैं। ध्यान दें कि 14 = 7 2 । फिर:

अंत में, तीसरे उदाहरण पर विचार करें। यहां कोष्ठक और डिग्री हैं - उन्हें अलग से गिनना बेहतर है। दिया गया है कि 9 = 3 3 , हमारे पास है:

अंतिम उदाहरण पर ध्यान दें। एक अंश को एक घात में बढ़ाने के लिए, आपको अलग से अंश को इस घात और हर को अलग से उठाना होगा।

आप अलग तरीके से फैसला कर सकते हैं। यदि हम डिग्री की परिभाषा को याद करते हैं, तो समस्या अंशों के सामान्य गुणन तक कम हो जाएगी:

बहुमंजिला भिन्न

अब तक, हमने केवल "शुद्ध" भिन्नों पर विचार किया है, जब अंश और हर साधारण संख्याएँ हैं। यह पहले पाठ में दी गई संख्यात्मक भिन्न की परिभाषा के अनुरूप है।

लेकिन क्या होगा यदि अंश या हर में अधिक जटिल वस्तु रखी जाए? उदाहरण के लिए, एक और संख्यात्मक अंश? इस तरह के निर्माण अक्सर होते हैं, खासकर जब लंबी अभिव्यक्तियों के साथ काम करते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

बहु-मंजिला अंशों के साथ काम करने का केवल एक नियम है: आपको तुरंत उनसे छुटकारा पाना चाहिए। "अतिरिक्त" फर्श को हटाना काफी सरल है, अगर आपको याद है कि भिन्नात्मक बार का मतलब मानक विभाजन ऑपरेशन है। इसलिए, किसी भी अंश को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

इस तथ्य का उपयोग करके और प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम आसानी से किसी भी बहु-मंजिला अंश को नियमित रूप से कम कर सकते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। बहुमंजिला भिन्नों को सामान्य अंशों में बदलें:

प्रत्येक मामले में, हम मुख्य अंश को फिर से लिखते हैं, विभाजन रेखा को एक विभाजन चिह्न के साथ बदलते हैं। यह भी याद रखें कि किसी भी पूर्णांक को 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। 12 = 12/1; 3 = 3/1. हम पाते हैं:

अंतिम उदाहरण में, अंतिम गुणन से पहले भिन्नों को घटाया गया था।

बहु-मंजिला अंशों के साथ काम करने की बारीकियां

बहु-मंजिला अंशों में एक सूक्ष्मता है जिसे हमेशा याद रखना चाहिए, अन्यथा आप गलत उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, भले ही सभी गणनाएं सही हों। जरा देखो तो:

1. अंश में एक अलग संख्या 7 है, और हर में - अंश 12/5;
2. अंश अंश 7/12 है, और हर एक संख्या 5 है।

तो, एक रिकॉर्ड के लिए, हमें दो पूरी तरह से अलग व्याख्याएं मिलीं। यदि आप गिनती करते हैं, तो उत्तर भी भिन्न होंगे:

यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रविष्टि हमेशा स्पष्ट रूप से पढ़ी जाती है, एक साधारण नियम का उपयोग करें: मुख्य अंश की विभाजन रेखा नेस्टेड रेखा से अधिक लंबी होनी चाहिए। अधिमानतः कई बार।

यदि आप इस नियम का पालन करते हैं, तो उपरोक्त भिन्नों को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

हाँ, यह शायद बदसूरत है और बहुत अधिक जगह लेता है। लेकिन आप सही गिनती करेंगे। अंत में, कुछ उदाहरण जहां बहु-स्तरीय भिन्न वास्तव में होते हैं:

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

तो, चलिए पहले उदाहरण के साथ काम करते हैं। आइए सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें, और फिर जोड़ और भाग की संक्रियाएँ करें:

आइए दूसरे उदाहरण के साथ भी ऐसा ही करें। सभी भिन्नों को अनुचित में बदलें और आवश्यक संचालन करें। पाठक को बोर न करने के लिए, मैं कुछ स्पष्ट गणनाओं को छोड़ दूंगा। हमारे पास है:

इस तथ्य के कारण कि मुख्य अंशों के अंश और हर में योग होते हैं, बहु-मंजिला भिन्न लिखने का नियम स्वचालित रूप से मनाया जाता है। साथ ही, पिछले उदाहरण में, हमने विभाजन करने के लिए जानबूझकर संख्या 46/1 को भिन्न के रूप में छोड़ दिया था।

मैं यह भी नोट करता हूं कि दोनों उदाहरणों में, भिन्नात्मक बार वास्तव में कोष्ठक को प्रतिस्थापित करता है: सबसे पहले, हमने योग पाया, और उसके बाद ही - भागफल।

कोई कहेगा कि दूसरे उदाहरण में अनुचित भिन्नों में संक्रमण स्पष्ट रूप से बेमानी था। शायद ऐसा ही है। लेकिन इस तरह हम गलतियों के खिलाफ खुद का बीमा करते हैं, क्योंकि अगली बार उदाहरण बहुत अधिक जटिल हो सकता है। अपने लिए चुनें कि क्या अधिक महत्वपूर्ण है: गति या विश्वसनीयता।

यह खंड साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाओं से संबंधित है। यदि मिश्रित संख्याओं के साथ गणितीय संचालन करना आवश्यक है, तो मिश्रित अंश को असाधारण में बदलने के लिए पर्याप्त है, आवश्यक संचालन करें और यदि आवश्यक हो, तो अंतिम परिणाम को मिश्रित संख्या के रूप में फिर से प्रस्तुत करें। इस ऑपरेशन का वर्णन नीचे किया जाएगा।

अंश में कमी

गणितीय कार्य। अंश में कमी

भिन्न \frac(m)(n) को कम करने के लिए आपको इसके अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता है: gcd(m,n), फिर अंश के अंश और हर को इस संख्या से विभाजित करें। अगर gcd(m,n)=1, तो भिन्न को कम नहीं किया जा सकता है। उदाहरण: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

आमतौर पर, तुरंत सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजना एक कठिन कार्य है, और व्यवहार में अंश को कई चरणों में घटाया जाता है, चरण दर चरण अंश और हर से स्पष्ट सामान्य कारकों को उजागर किया जाता है। \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

गणितीय कार्य। भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

दो भिन्नों \frac(a)(b) और \frac(c)(d) को एक सामान्य हर में कम करने के लिए, आपको चाहिए:

• हर के सबसे कम सामान्य गुणक खोजें: M=LCM(b,d);
• पहले भिन्न के अंश और हर को M / b से गुणा करें (जिसके बाद भिन्न का हर संख्या M के बराबर हो जाता है);
• दूसरे भिन्न के अंश और हर को M/d से गुणा करें (जिसके बाद भिन्न का हर संख्या M के बराबर हो जाता है)।

इस प्रकार, हम मूल भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों में परिवर्तित करते हैं (जो संख्या M के बराबर होगी)।

उदाहरण के लिए, भिन्नों \frac(5)(6) और \frac(4)(9) का LCM(6,9) = 18 है। तब: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) । इस प्रकार, परिणामी अंशों में एक सामान्य भाजक होता है।

व्यवहार में, भाजक का अल्पतम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना हमेशा आसान कार्य नहीं होता है। इसलिए, मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल के बराबर संख्या को एक सामान्य हर के रूप में चुना जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \frac(5)(6) और \frac(4)(9) को एक सामान्य हर N=6\cdot9 में घटाया जाता है:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

भिन्न तुलना

गणितीय कार्य। भिन्न तुलना

दो सामान्य भिन्नों की तुलना करने के लिए:

• परिणामी भिन्नों के अंशों की तुलना करें; बड़ा अंश वाला भिन्न बड़ा होगा।

उदाहरण के लिए, \frac(9)(14)

भिन्नों की तुलना करते समय, कई विशेष मामले होते हैं:

1. दो भिन्नों से एक ही भाजक के साथबड़ा वह अंश है जिसका अंश बड़ा है। उदाहरण के लिए \frac(3)(15)
2. दो भिन्नों से एक ही अंश के साथबड़ा वह भिन्न होता है जिसका हर छोटा होता है। उदाहरण के लिए, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. वह अंश, जो एक ही समय बड़ा अंश और छोटा हर, अधिक। उदाहरण के लिए, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

ध्यान!नियम 1 किसी भी भिन्न पर लागू होता है यदि उनका सामान्य हर एक सकारात्मक संख्या है। नियम 2 और 3 धनात्मक भिन्नों पर लागू होते हैं (जिनके अंश और हर दोनों शून्य से अधिक होते हैं)।

भिन्नों का जोड़ और घटाव

गणितीय कार्य। भिन्नों का जोड़ और घटाव

दो भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको चाहिए:

• उन्हें एक आम भाजक के पास ले आओ;
• उनके अंशों को जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उदाहरण: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

एक से दूसरे भिन्न को घटाने के लिए, आपको चाहिए:

• एक आम भाजक के लिए अंश लाना;
• पहले भिन्न के अंश में से दूसरी भिन्न का अंश घटाएं और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उदाहरण: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

यदि मूल भिन्नों में शुरू में एक सामान्य हर होता है, तो बिंदु 1 (एक सामान्य हर में कमी) को छोड़ दिया जाता है।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना और इसके विपरीत

गणितीय कार्य। मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना और इसके विपरीत

मिश्रित भिन्न को अनुचित में बदलने के लिए, मिश्रित भिन्न के पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग के साथ जोड़ना पर्याप्त है। इस तरह के योग का परिणाम एक अनुचित अंश होगा, जिसका अंश पूर्णांक भाग के गुणनफल और मिश्रित भिन्न के अंश के साथ भिन्न के हर के योग के बराबर होता है, और हर समान रहता है। उदाहरण के लिए, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए:

• एक भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करें;
• भाग के शेष भाग को अंश में लिखें, और हर को वही रहने दें;
• विभाजन के परिणाम को एक पूर्णांक भाग के रूप में लिखें।

उदाहरण के लिए, भिन्न \frac(23)(4) । 23:4=5.75 को विभाजित करने पर, यानी पूर्णांक भाग 5 है, शेष भाग 23-5*4=3 है। फिर मिश्रित संख्या लिखी जाएगी: 5\frac(3)(4) । \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलना

गणितीय कार्य। दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलना

दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलने के लिए:

1. दस की n-वें घात को हर के रूप में लें (यहाँ n दशमलव स्थानों की संख्या है);
2. एक अंश के रूप में, दशमलव बिंदु के बाद की संख्या लें (यदि मूल संख्या का पूर्णांक भाग शून्य के बराबर नहीं है, तो सभी प्रमुख शून्य भी लें);
3. गैर-शून्य पूर्णांक भाग अंश में बहुत शुरुआत में लिखा जाता है; शून्य पूर्णांक भाग छोड़ा गया है।

उदाहरण 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 दशमलव स्थान, इसलिए हर 10 4 = 10000, चूंकि पूर्णांक भाग 0 है, अंश दशमलव बिंदु के बाद की संख्या है, बिना अग्रणी शून्य के)

उदाहरण 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (अंश में हम सभी शून्य के साथ दशमलव बिंदु के बाद की संख्या लिखते हैं: "0109", और फिर हम इसके पहले मूल संख्या "31" का पूर्णांक भाग जोड़ते हैं)

यदि किसी दशमलव भिन्न का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है, तो उसे मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या को एक साधारण अंश में अनुवाद करते हैं जैसे कि पूर्णांक भाग शून्य (अंक 1 और 2) के बराबर था, और अंश से पहले पूर्णांक भाग को फिर से लिखें - यह मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग होगा। उदाहरण:

3.014=3\frac(14)(100)

एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, बस अंश को हर से विभाजित करना पर्याप्त है। कभी-कभी आपको अनंत दशमलव मिलता है। इस मामले में, वांछित दशमलव स्थान पर गोल करना आवश्यक है। उदाहरण:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\लगभग0.6667

भिन्नों का गुणा और भाग

गणितीय कार्य। भिन्नों का गुणा और भाग

दो सामान्य भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करना होगा।

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

एक सामान्य भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा ( पारस्परिकएक भिन्न है जिसमें अंश और हर को उलट दिया जाता है।

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

यदि भिन्नों में से कोई एक प्राकृत संख्या है, तो उपरोक्त गुणा और भाग नियम लागू रहते हैं। बस ध्यान रखें कि एक पूर्णांक एक ही भिन्न होता है, जिसका हर एक के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

अंशों के साथ क्रियाएँ। इस लेख में, हम उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे, स्पष्टीकरण के साथ सब कुछ विस्तृत है। हम साधारण भिन्नों पर विचार करेंगे। भविष्य में, हम दशमलव का विश्लेषण करेंगे। मेरा सुझाव है कि इसे पूरा देखें और क्रमिक रूप से अध्ययन करें।

1. भिन्नों का योग, भिन्नों का अंतर।

नियम: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने पर, परिणाम एक भिन्न होता है - जिसका हर समान रहता है, और उसका अंश भिन्नों के अंशों के योग के बराबर होगा।

नियम: समान हर के साथ भिन्नों के अंतर की गणना करते समय, हमें एक भिन्न मिलता है - हर समान रहता है, और दूसरे का अंश पहले अंश के अंश से घटाया जाता है।

समान हर वाले अंशों के योग और अंतर का औपचारिक संकेतन:

उदाहरण (1):

यह स्पष्ट है कि जब साधारण भिन्न दिए जाते हैं, तो सब कुछ सरल होता है, लेकिन यदि वे मिश्रित हों? कुछ भी जटिल नहीं...

विकल्प 1- आप उन्हें सामान्य में बदल सकते हैं और फिर उनकी गणना कर सकते हैं।

विकल्प 2- आप पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के साथ अलग से "काम" कर सकते हैं।

उदाहरण (2):

अधिक:

और यदि दो मिश्रित भिन्नों का अंतर दिया गया हो और पहली भिन्न का अंश दूसरे के अंश से कम हो? इसे दो तरह से भी किया जा सकता है।

उदाहरण (3):

* साधारण अंशों में अनुवादित, अंतर की गणना की, परिणामी अनुचित अंश को मिश्रित अंश में बदल दिया।

* पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों में विभाजित, तीन मिला, फिर 3 को 2 और 1 के योग के रूप में प्रस्तुत किया, इकाई को 11/11 के रूप में प्रस्तुत किया, फिर 11/11 और 7/11 के बीच का अंतर पाया और परिणाम की गणना की। उपरोक्त परिवर्तनों का अर्थ एक इकाई लेना (चुनना) है और इसे एक अंश के रूप में प्रस्तुत करना है जिसकी हमें आवश्यकता है, फिर इस अंश से हम पहले से ही दूसरे को घटा सकते हैं।

एक और उदाहरण:

निष्कर्ष: एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है - समान भाजक के साथ मिश्रित अंशों के योग (अंतर) की गणना करने के लिए, उन्हें हमेशा अनुचित में परिवर्तित किया जा सकता है, फिर आवश्यक कार्रवाई करें। उसके बाद, यदि परिणामस्वरूप हमें कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम उसे मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

ऊपर, हमने भिन्नों वाले उदाहरणों को देखा जिनमें समान भाजक हैं। क्या होगा यदि भाजक भिन्न होते हैं? इस मामले में, अंशों को एक ही हर में घटाया जाता है और निर्दिष्ट क्रिया की जाती है। भिन्न को बदलने (रूपांतरित) करने के लिए भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग किया जाता है।

सरल उदाहरणों पर विचार करें:

इन उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि समान हर प्राप्त करने के लिए भिन्नों में से एक को कैसे परिवर्तित किया जा सकता है।

यदि हम भिन्नों को एक हर में कम करने के तरीके निर्दिष्ट करते हैं, तो इसे कहा जाएगा विधि एक.

यही है, अंश का "मूल्यांकन" करते समय, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या ऐसा दृष्टिकोण काम करेगा - हम जांचते हैं कि क्या बड़ा हर छोटे से विभाज्य है। और अगर इसे विभाजित किया जाता है, तो हम परिवर्तन करते हैं - हम अंश और हर को गुणा करते हैं ताकि दोनों अंशों के हर बराबर हो जाएं।

अब इन उदाहरणों को देखें:

यह तरीका उन पर लागू नहीं होता। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के अन्य तरीके हैं, उन पर विचार करें।

विधि सेकंड.

पहली भिन्न के अंश और हर को दूसरे के हर से और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले के हर से गुणा करें:

*वास्तव में, हम भिन्नों को उस रूप में लाते हैं जब हर बराबर हो जाते हैं। अगला, हम समान हर के साथ डरपोक जोड़ने के नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण:

*इस विधि को सार्वभौमिक कहा जा सकता है, और यह हमेशा काम करती है। केवल नकारात्मक यह है कि गणना के बाद, एक अंश निकल सकता है जिसे और कम करने की आवश्यकता होगी।

एक उदाहरण पर विचार करें:

यह देखा जा सकता है कि अंश और हर 5 से विभाज्य हैं:

विधि तीसरा।

भाजक का अल्पतम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए। यह सामान्य भाजक होगा। यह संख्या क्या है? यह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

देखिए, यहाँ दो संख्याएँ हैं: 3 और 4, ऐसी कई संख्याएँ हैं जो उनसे विभाज्य हैं - ये 12, 24, 36, ... इनमें से सबसे छोटी संख्या 12 है। या 6 और 15, 30, 60, 90 हैं उनके द्वारा विभाज्य .... कम से कम 30. प्रश्न - इस कम से कम सामान्य गुणक का निर्धारण कैसे करें?

एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म है, लेकिन अक्सर यह गणना के बिना तुरंत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों (3 और 4, 6 और 15) के अनुसार, किसी एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं है, हमने बड़ी संख्याएँ (4 और 15) लीं, उन्हें दोगुना किया और देखा कि वे दूसरी संख्या से विभाज्य हैं, लेकिन संख्याओं के जोड़े 51 और 119 जैसे अन्य हो सकते हैं।

कलन विधि। अनेक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

- प्रत्येक संख्या को सरल कारकों में विघटित करें

- उनमें से BIGGER का अपघटन लिखिए

- इसे अन्य संख्याओं के गुम गुणनखंडों से गुणा करें

उदाहरणों पर विचार करें:

50 और 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, एक पाँच लुप्त है

=> एलसीएम(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 और 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, दो और तीन लुप्त हैं

=> एलसीएम (48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* दो अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर होता है

प्रश्न! और कम से कम सामान्य गुणक को खोजना क्यों उपयोगी है, क्योंकि आप दूसरी विधि का उपयोग कर सकते हैं और परिणामी अंश को कम कर सकते हैं? हाँ, आप कर सकते हैं, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। देखें कि 48 और 72 की संख्या के लिए हर क्या होगा यदि आप उन्हें केवल 48∙72 = 3456 से गुणा करते हैं। सहमत हैं कि छोटी संख्याओं के साथ काम करना अधिक सुखद है।

उदाहरणों पर विचार करें:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, एक ट्रिपल गायब है

=> एलसीएम(51,119) = 3∙7∙17

और अब हम पहली विधि लागू करते हैं:

* गणनाओं में अंतर देखें, पहले मामले में उनमें से एक न्यूनतम है, और दूसरे में आपको कागज के एक टुकड़े पर अलग से काम करने की आवश्यकता है, और यहां तक ​​कि जो अंश आपको मिला है उसे भी कम करने की आवश्यकता है। एलसीएम खोजने से काम काफी सरल हो जाता है।

और ज्यादा उदाहरण:

* दूसरे उदाहरण में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि सबसे छोटी संख्या जो 40 और 60 से विभाज्य है, 120 है।

कुल! सामान्य गणना एल्गोरिथ्म!

- यदि कोई पूर्णांक भाग है, तो हम साधारण अंशों में भिन्न लाते हैं।

- हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं (पहले हम देखते हैं कि क्या एक भाजक दूसरे से विभाज्य है, यदि यह विभाज्य है, तो हम इस भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं; यदि यह विभाज्य नहीं है, तो हम इसका उपयोग करके कार्य करते हैं ऊपर बताए गए अन्य तरीके)।

- समान भाजक के साथ अंश प्राप्त करने के बाद, हम क्रिया (जोड़, घटाव) करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो हम परिणाम कम करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो पूरे भाग का चयन करें।

2. भिन्नों का गुणनफल।

नियम सरल है। भिन्नों को गुणा करते समय, उनके अंश और हर को गुणा किया जाता है:

उदाहरण: