भिन्नों के उदाहरणों को हल करने के लिए, आपको सबसे छोटा आम भाजक खोजने में सक्षम होना चाहिए। नीचे एक विस्तृत निर्देश है।

सबसे कम आम भाजक कैसे खोजें - अवधारणा

सरल शब्दों में सबसे छोटा आम भाजक (एलसीडी) वह न्यूनतम संख्या है जो किसी दिए गए उदाहरण के सभी अंशों के हर से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, इसे कम से कम सामान्य गुणक (LCM) कहा जाता है। NOZ का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब भिन्नों के हर भिन्न हों।

सबसे कम आम भाजक कैसे खोजें - उदाहरण

आइए NOZ खोजने के उदाहरणों पर विचार करें।

गणना करें: 3/5 + 2/15।

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• हम भिन्नों के हरों को देखते हैं, सुनिश्चित करते हैं कि वे भिन्न हैं और व्यंजकों को यथासंभव कम किया गया है।
• हम सबसे छोटी संख्या पाते हैं जो 5 और 15 दोनों से विभाज्य है। यह संख्या 15 होगी। इस प्रकार, 3/5 + 2/15 = ?/15।
• हमने भाजक का पता लगाया। अंश में क्या होगा? एक अतिरिक्त गुणक हमें इसका पता लगाने में मदद करेगा। एक अतिरिक्त कारक एक विशेष अंश के हर द्वारा NOZ को विभाजित करके प्राप्त की गई संख्या है। 3/5 के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है, क्योंकि 15/5 = 3 है। दूसरी भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 1 है, क्योंकि 15/15 = 1 है।
• अतिरिक्त गुणनखंड का पता लगाने के बाद, हम इसे भिन्नों के अंशों से गुणा करते हैं और परिणामी मान जोड़ते हैं। 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15।

उत्तर: 3/5 + 2/15 = 11/15।

यदि उदाहरण में 2 नहीं, बल्कि 3 या अधिक भिन्न जोड़े या घटाए गए हैं, तो NOZ को उतने ही भिन्नों के लिए खोजा जाना चाहिए जितने दिए गए हैं।

गणना करें: 1/2 - 5/12 + 3/6

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• सबसे कम आम भाजक ढूँढना। 2, 12 और 6 से विभाज्य न्यूनतम संख्या 12 है।
• हमें मिलता है: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12।
• हम अतिरिक्त गुणकों की तलाश कर रहे हैं। 1/2 - 6 के लिए; 5/12 - 1 के लिए; 3/6 - 2 के लिए
• हम अंशों से गुणा करते हैं और संबंधित संकेत देते हैं: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12।

उत्तर: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12।

भिन्न हर के साथ बीजीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर, भिन्न सबसे पहले की ओर ले जाते हैं आम विभाजक. इसका मतलब यह है कि उन्हें ऐसा एक एकल भाजक मिलता है, जो प्रत्येक बीजीय अंश के मूल हर से विभाजित होता है जो इस अभिव्यक्ति का हिस्सा है।

जैसा कि आप जानते हैं, यदि किसी भिन्न के अंश और हर को शून्य के अलावा उसी संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। यह अंश का मुख्य गुण है। इसलिए, जब भिन्न एक सामान्य भाजक की ओर ले जाते हैं, वास्तव में, प्रत्येक भिन्न के मूल हर को लापता कारक से एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है। इस मामले में, इस कारक और अंश के अंश से गुणा करना आवश्यक है (यह प्रत्येक अंश के लिए अलग है)।

उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्नों का निम्नलिखित योग दिया गया है:

व्यंजक को सरल बनाना आवश्यक है, अर्थात् दो बीजीय भिन्नों को जोड़ना। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, पदों-अंशों को एक सामान्य हर में कम करना आवश्यक है। पहला कदम एक एकपदी को खोजना है जो 3x और 2y दोनों से विभाज्य हो। इस मामले में, यह वांछनीय है कि यह सबसे छोटा हो, यानी, 3x और 2y के लिए सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM) खोजें।

संख्यात्मक गुणांक और चर के लिए, एलसीएम को अलग से खोजा जाता है। एलसीएम(3, 2) = 6 और एलसीएम(x, y) = xy. इसके अलावा, पाए गए मूल्यों को गुणा किया जाता है: 6xy।

अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि 6xy प्राप्त करने के लिए हमें किस कारक से 3x गुणा करने की आवश्यकता है:
6xy 3x = 2y

इसका मतलब यह है कि जब पहले बीजगणितीय अंश को एक सामान्य हर में घटाया जाता है, तो इसके अंश को 2y से गुणा किया जाना चाहिए (एक सामान्य भाजक को घटाकर हर को पहले ही गुणा किया जा चुका है)। दूसरे भिन्न के अंश के गुणनखंड को इसी प्रकार खोजा जाता है। यह 3x के बराबर होगा।

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

इसके अलावा, समान भाजक के साथ भिन्न के रूप में कार्य करना पहले से ही संभव है: अंश जोड़े जाते हैं, और हर में एक सामान्य लिखा जाता है:

परिवर्तनों के बाद, एक सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जो एक बीजीय अंश है, जो दो मूल अंशों का योग है:

मूल व्यंजक में बीजीय भिन्नों में ऐसे हर हो सकते हैं जो एकपदी के बजाय बहुपद हों (जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है)। इस मामले में, एक सामान्य भाजक को खोजने से पहले, भाजक (यदि संभव हो) का गुणनखंड करें। इसके अलावा, आम भाजक को विभिन्न कारकों से एकत्र किया जाता है। यदि गुणनखंड कई प्रारंभिक हरों में है, तो इसे एक बार लिया जाता है। यदि मूल हर में गुणक की अलग-अलग डिग्री होती है, तो इसे एक बड़े के साथ लिया जाता है। उदाहरण के लिए:

यहाँ बहुपद a 2 - b 2 को एक गुणनफल (a - b)(a + b) के रूप में दर्शाया जा सकता है। गुणनखंड 2a – 2b को 2(a – b) के रूप में विस्तारित किया जाता है। इस प्रकार, उभयनिष्ठ हर 2(a - b)(a + b) के बराबर होगा।

भिन्नों को कम से कम सामान्य हर में लाने के लिए, आपको: 1) इन भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात करना होगा, यह सबसे छोटा सामान्य हर होगा। 2) प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए, जिसके लिए हम प्रत्येक भिन्न के हर द्वारा नए हर को विभाजित करते हैं। 3) प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण। निम्न भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में कम करें।

हम हरों का सबसे छोटा सार्व गुणज पाते हैं: LCM(5; 4) = 20, क्योंकि 20 सबसे छोटी संख्या है जो 5 और 4 दोनों से विभाज्य है। हम पहली भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड 4 (20) पाते हैं : 5 = 4)। दूसरी भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणक 5 (20 .) है : 4=5)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 20 ).

इन भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर 8 है, क्योंकि 8, 4 और स्वयं से विभाज्य है। पहली भिन्न का कोई अतिरिक्त गुणक नहीं होगा (या हम कह सकते हैं कि यह एक के बराबर है), दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 2 है (8 : 4=2)। हम दूसरी भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम उभयनिष्ठ हर में घटा दिया है ( 8 ).

ये अंश इरेड्यूसबल नहीं हैं।

हम पहली भिन्न को 4 से घटाते हैं, और हम दूसरी भिन्न को 2 से घटाते हैं। ( साधारण भिन्नों को घटाने के उदाहरण देखें: साइटमैप → 5.4.2। साधारण भिन्नों को घटाने के उदाहरण) एलसीएम खोजें(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. पहली भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 5 (80 .) है : 16=5)। दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 4 (80 .) है : 20=4)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया ( 80 ).

एनओसी(5 .) का सबसे छोटा आम भाजक खोजें ; 6 और 15) = एलसीएम(5 .) ; 6 और 15) = 30। पहली भिन्न का अतिरिक्त गुणक 6 (30 .) है : 5=6), दूसरी भिन्न का अतिरिक्त गुणक 5 (30 .) है : 6=5), तीसरे भिन्न का अतिरिक्त गुणक 2 (30 .) है : 15=2)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 6 से, दूसरे भिन्न के अंश और हर को 5 से, तीसरे भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 30 ).

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एक अंकगणितीय अंश a / b का हर संख्या b है, जो एक इकाई के भिन्नों के आकार को दर्शाता है जो भिन्न बनाते हैं। एक बीजीय अंश A / B का हर एक बीजीय व्यंजक B है। भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के लिए, उन्हें सबसे छोटे सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए।

आपको चाहिये होगा

• बीजगणितीय भिन्नों के साथ कार्य करने के लिए जब कम से कम उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात हो, आपको बहुपदों को गुणन करने की विधियों को जानना होगा।

अनुदेश

दो अंकगणितीय भिन्नों n/m और s/t के अल्पतम उभयनिष्ठ हर में कमी पर विचार करें, जहां n, m, s, t पूर्णांक हैं। यह स्पष्ट है कि इन दो भिन्नों को m और t से विभाज्य किसी भी हर में घटाया जा सकता है। लेकिन वे सबसे कम आम भाजक को लाने की कोशिश करते हैं। यह दी गई भिन्नों के हर m और t के सबसे छोटे उभयनिष्ठ गुणज के बराबर है। संख्याओं का सबसे छोटा गुणज (LCM) वह सबसे छोटा होता है जो एक ही समय में सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है। वे। हमारे मामले में, संख्या m और t का सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात करना आवश्यक है। एलसीएम (एम, टी) के रूप में चिह्नित। इसके अलावा, भिन्नों को संगत लोगों से गुणा किया जाता है: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t)।

आइए तीन भिन्नों का सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर खोजें: 4/5, 7/8, 11/14। सबसे पहले, हम हर 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7 का विस्तार करते हैं। इसके बाद, हम एलसीएम (5, 8, 14) की गणना करते हैं। कम से कम एक विस्तार में शामिल सभी संख्याओं को गुणा करना। एलसीएम (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280। ध्यान दें कि यदि कारक कई संख्याओं के विस्तार में होता है (हर 8 और 14 के विस्तार में कारक 2), तो हम कारक लेते हैं एक बड़ी डिग्री (हमारे मामले में 2^3)।

तो, सामान्य प्राप्त होता है। यह 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20 के बराबर है। यहाँ हमें वे संख्याएँ मिलती हैं जिनसे संबंधित हर वाले भिन्नों को गुणा किया जाना चाहिए ताकि उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाया जा सके। हमें 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280 मिलता है।

बीजगणितीय अंशों के कम से कम सामान्य भाजक को कम करना अंकगणित के साथ सादृश्य द्वारा किया जाता है। स्पष्टता के लिए, एक उदाहरण पर समस्या पर विचार करें। दो भिन्न (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) और (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) दिए जाने दें। आइए दोनों हरों का गुणनखंड करें। ध्यान दें कि पहले भिन्न का हर एक पूर्ण वर्ग है: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2। के लिए

इस पाठ में, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने पर विचार करेंगे और इस विषय पर समस्याओं को हल करेंगे। आइए एक सामान्य भाजक की अवधारणा की परिभाषा दें और एक अतिरिक्त कारक, सहअभाज्य संख्याओं के बारे में याद रखें। आइए कम से कम सामान्य भाजक (एलसीडी) की अवधारणा को परिभाषित करें और इसे खोजने के लिए कई समस्याओं को हल करें।

विषय: भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना

पाठ: भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

दोहराव। एक अंश की मूल संपत्ति।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृत संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो उसके बराबर भिन्न प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, एक भिन्न के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जा सकता है। हमें एक भिन्न प्राप्त होती है। इस ऑपरेशन को अंश कमी कहा जाता है। आप भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करके भी विपरीत परिवर्तन कर सकते हैं। इस मामले में, हम कहते हैं कि हमने भिन्न को एक नए हर में घटा दिया है। संख्या 2 को एक अतिरिक्त कारक कहा जाता है।

निष्कर्ष।एक भिन्न को किसी भी हर में घटाया जा सकता है जो दिए गए भिन्न के हर का गुणज हो। एक भिन्न को नए हर में लाने के लिए, उसके अंश और हर को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा किया जाता है।

1. भिन्न को हर 35 में लाओ।

संख्या 35, 7 का गुणज है, अर्थात 35 बिना शेषफल के 7 से विभाज्य है। तो यह परिवर्तन संभव है। आइए एक अतिरिक्त कारक खोजें। ऐसा करने के लिए, हम 35 को 7 से विभाजित करते हैं। हमें 5 मिलता है। हम मूल भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं।

2. भिन्न को हर 18 में लाओ।

आइए एक अतिरिक्त कारक खोजें। ऐसा करने के लिए, हम नए भाजक को मूल भाजक से विभाजित करते हैं। हमें 3 मिलता है। हम इस भिन्न के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं।

3. भिन्न को हर 60 में लाओ।

60 को 15 से भाग देने पर हमें एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त होता है। यह 4 के बराबर है। आइए अंश और हर को 4 से गुणा करें।

4. भिन्न को हर में लाएँ 24

साधारण मामलों में, मन में एक नए भाजक की कमी की जाती है। यह केवल ब्रैकेट के पीछे एक अतिरिक्त कारक को दाईं ओर और मूल अंश के ऊपर इंगित करने के लिए प्रथागत है।

एक भिन्न को 15 के हर में घटाया जा सकता है और एक भिन्न को 15 के हर में घटाया जा सकता है। भिन्नों में 15 का एक सामान्य भाजक होता है।

भिन्नों का सामान्य हर उनके हर का कोई भी सामान्य गुणक हो सकता है। सरलता के लिए, भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटाया जाता है। यह दी गई भिन्नों के हरों के सबसे छोटे सामान्य गुणज के बराबर होता है।

उदाहरण। भिन्न के कम से कम आम भाजक को कम करें और .

सबसे पहले, इन भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात कीजिए। यह संख्या 12 है। आइए पहले और दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 4 और 6 से विभाजित करते हैं। तीन पहले अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक है, और दूसरे के लिए दो। हम भिन्नों को हर 12 में लाते हैं।

हमने भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया, अर्थात, हमें ऐसी भिन्नें मिलीं जो उनके बराबर हैं और जिनका हर समान है।

नियम।भिन्नों को निम्नतम सामान्य हर में लाने के लिए,

सबसे पहले, इन भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए, जो उनका सबसे छोटा सामान्य हर होगा;

दूसरे, इन भिन्नों के हरों द्वारा सबसे छोटे उभयनिष्ठ हर को विभाजित करें, अर्थात प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात करें।

तीसरा, प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

ए) भिन्नों को कम करें और एक सामान्य हर में।

सबसे छोटा सामान्य हर 12 है। पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 4 है, दूसरे के लिए - 3. हम भिन्नों को हर 24 में लाते हैं।

बी) भिन्नों को कम करें और एक सामान्य हर में।

सबसे छोटा सामान्य हर 45 है। 45 को 9 से 15 से विभाजित करने पर, हमें क्रमशः 5 और 3 मिलते हैं। हम भिन्नों को हर 45 में लाते हैं।

ग) भिन्नों और एक सामान्य हर को कम करें।

सार्व हर 24 है। अतिरिक्त गुणनखंड क्रमशः 2 और 3 हैं।

कभी-कभी दिए गए भिन्नों के हरों के लिए मौखिक रूप से कम से कम सामान्य गुणक खोजना मुश्किल होता है। फिर सामान्य भाजक और अतिरिक्त गुणनखंडों को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके पाया जाता है।

भिन्न और के एक सामान्य भाजक को कम करें।

आइए संख्या 60 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें। आइए संख्या 60 का विस्तार लिखें और दूसरे विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ें। 60 को 14 से गुणा करें और 840 का एक सामान्य हर प्राप्त करें। पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 14 है। दूसरी भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 5 है।

ग्रन्थसूची

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गृहकार्य

विलेंकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस. और अन्य। गणित 6. - एम।: मेमोज़िना, 2012। (लिंक 1.2 देखें)

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