विभेदक, साथ ही द्विघात समीकरण, कक्षा 8 में बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन करना शुरू करते हैं। आप विवेचक और विएटा प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने की पद्धति, साथ ही साथ भेदभावपूर्ण सूत्र, स्कूली बच्चों में असफल रूप से स्थापित किया गया है, जैसे वास्तविक शिक्षा में। इसलिए, स्कूल के साल बीत जाते हैं, ग्रेड 9-11 में शिक्षा "उच्च शिक्षा" की जगह लेती है और हर कोई फिर से ढूंढ रहा है - "कैसे एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए?", "कैसे एक समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए?", "विभेदक कैसे खोजें?" और...

विभेदक सूत्र

द्विघात समीकरण a*x^2+bx+c=0 का विभेदक D, D=b^2–4*a*c है।
द्विघात समीकरण के मूल (समाधान) विवेचक (D) के चिह्न पर निर्भर करते हैं:
D>0 - समीकरण के 2 भिन्न वास्तविक मूल हैं;
डी = 0 - समीकरण में 1 मूल है (2 मेल खाने वाली जड़ें):
डी<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
विभेदक की गणना करने का सूत्र काफी सरल है, इसलिए कई साइटें एक ऑनलाइन विभेदक कैलकुलेटर प्रदान करती हैं। हमने अभी तक इस तरह की स्क्रिप्ट का पता नहीं लगाया है, इसलिए कौन जानता है कि इसे कैसे लागू किया जाए, कृपया मेल पर लिखें इस ईमेल पते की सुरक्षा स्पैममबोट से की जा रही है। देखने के लिए आपके पास जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए। .

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सामान्य सूत्र:

समीकरण के मूल सूत्र द्वारा पाए जाते हैं
यदि वर्ग में चर के गुणांक को जोड़ा जाता है, तो विवेचक की गणना करने की सलाह नहीं दी जाती है, बल्कि इसके चौथे भाग की गणना की जाती है।
ऐसे मामलों में, समीकरण के मूल सूत्र द्वारा पाए जाते हैं

जड़ों को खोजने का दूसरा तरीका वियत का प्रमेय है।

प्रमेय न केवल द्विघात समीकरणों के लिए, बल्कि बहुपदों के लिए भी तैयार किया गया है। आप इसे विकिपीडिया या अन्य इलेक्ट्रॉनिक संसाधनों पर पढ़ सकते हैं। हालांकि, सरल बनाने के लिए, इसके उस हिस्से पर विचार करें जो कम द्विघात समीकरणों से संबंधित है, यानी फॉर्म के समीकरण (ए = 1)
विएटा सूत्रों का सार यह है कि समीकरण की जड़ों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए चर के गुणांक के बराबर होता है। समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। Vieta के प्रमेय के सूत्रों में एक संकेतन है।
Vieta सूत्र की व्युत्पत्ति काफी सरल है। आइए द्विघात समीकरण को अभाज्य गुणनखंडों के रूप में लिखें
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक ही समय में सरल सब कुछ सरल है। वीटा सूत्र का उपयोग तब प्रभावी होता है जब जड़ों के मापांक में अंतर या जड़ों के मापांक में अंतर 1, 2 होता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण, वीटा प्रमेय के अनुसार, जड़ें हैं




4 समीकरण विश्लेषण तक इस तरह दिखना चाहिए। समीकरण की जड़ों का गुणनफल 6 है, इसलिए जड़ें मान (1, 6) और (2, 3) या विपरीत चिह्न वाले जोड़े हो सकते हैं। मूलों का योग 7 है (विपरीत चिह्न वाले चर का गुणांक)। यहाँ से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि द्विघात समीकरण के हल x=2 के बराबर हैं; एक्स = 3।
मुक्त पद के भाजक के बीच समीकरण की जड़ों का चयन करना आसान है, विएटा सूत्रों को पूरा करने के लिए उनके संकेत को सही करना। शुरुआत में, ऐसा करना मुश्किल लगता है, लेकिन कई द्विघात समीकरणों पर अभ्यास के साथ, यह तकनीक विवेचक की गणना करने और शास्त्रीय तरीके से द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने की तुलना में अधिक कुशल होगी।
जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक का अध्ययन करने का स्कूल सिद्धांत और समीकरण के समाधान खोजने के तरीके व्यावहारिक अर्थ से रहित हैं - "स्कूली बच्चों को द्विघात समीकरण की आवश्यकता क्यों है?", "विभेदक का भौतिक अर्थ क्या है?"।

आइए इसे जानने की कोशिश करते हैं विभेदक क्या वर्णन करता है?

बीजगणित के दौरान, वे कार्यों का अध्ययन करते हैं, कार्यों के अध्ययन के लिए योजनाओं और कार्यों की साजिश रचते हैं। सभी कार्यों में, परवलय एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है, जिसका समीकरण रूप में लिखा जा सकता है
तो द्विघात समीकरण का भौतिक अर्थ परवलय का शून्य है, अर्थात, एब्सिस्सा अक्ष ऑक्स के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु
मैं आपको नीचे वर्णित परवलय के गुणों को याद रखने के लिए कहता हूं। परीक्षा, परीक्षा या प्रवेश परीक्षा देने का समय आ जाएगा और आप संदर्भ सामग्री के लिए आभारी होंगे। वर्ग में चर का चिन्ह इस बात से मेल खाता है कि क्या ग्राफ पर परवलय की शाखाएँ ऊपर जाएँगी (a>0),

या नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय (a<0) .

परवलय का शीर्ष जड़ों के बीच में स्थित होता है

विवेचक का भौतिक अर्थ:

यदि विवेचक शून्य (D>0) से अधिक है, तो परवलय में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं।
यदि विवेचक शून्य (D=0) के बराबर है, तो शीर्ष पर परवलय x-अक्ष को स्पर्श करता है।
और अंतिम मामला, जब विवेचक शून्य से कम हो (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

अपूर्ण द्विघात समीकरण

द्विघातीय समीकरण। भेदभाव करने वाला। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

द्विघात समीकरणों के प्रकार

द्विघात समीकरण क्या है? यह किस तरह का दिखता है? अवधि में द्विघात समीकरणकीवर्ड है "वर्ग"।इसका मतलब है कि समीकरण में आवश्यक रूप सेएक x वर्ग होना चाहिए। इसके अलावा, समीकरण में (या नहीं भी हो सकता है!) बस x (पहली डिग्री तक) और सिर्फ एक संख्या (स्वतंत्र सदस्य)।और दो से अधिक डिग्री में x नहीं होना चाहिए।

गणितीय शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

यहां ए, बी और सी- कुछ नंबर। बी और सी- बिल्कुल कोई, लेकिन ए- शून्य के अलावा कुछ भी। उदाहरण के लिए:

यहां ए =1; बी = 3; सी = -4

यहां ए =2; बी = -0,5; सी = 2,2

यहां ए =-3; बी = 6; सी = -18

खैर, आप विचार समझ गए...

इन द्विघात समीकरणों में, बाईं ओर है पूरा स्थिरसदस्य। गुणांक के साथ x चुकता ए,गुणांक के साथ पहली शक्ति के लिए x बीऔर मुक्त सदस्य

ऐसे द्विघात समीकरण कहलाते हैं पूर्ण।

और अगर बी= 0, हमें क्या मिलेगा? हमारे पास है एक्स पहली डिग्री में गायब हो जाएगा।यह शून्य से गुणा करने पर होता है।) यह पता चलता है, उदाहरण के लिए:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-एक्स 2 +4x=0

आदि। और यदि दोनों गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर हैं, तो यह और भी आसान है:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

ऐसे समीकरण, जिनमें कुछ छूट जाता है, कहलाते हैं अपूर्ण द्विघात समीकरण।जो काफी तार्किक है।) कृपया ध्यान दें कि x वर्ग सभी समीकरणों में मौजूद है।

वैसे क्यों एशून्य नहीं हो सकता? और आप इसके बजाय स्थानापन्न करें एशून्य।) वर्ग में X गायब हो जाएगा! समीकरण रैखिक हो जाएगा। और यह अलग तरह से किया जाता है ...

यह सभी मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरण हैं। पूर्ण और अपूर्ण।

द्विघात समीकरणों का हल।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है। सूत्रों और स्पष्ट सरल नियमों के अनुसार। पहले चरण में, दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात। देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है।) मुख्य बात यह है कि सभी गुणांक को सही ढंग से निर्धारित करना है, ए, बीऔर सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को कहते हैं विभेदक. लेकिन उसके बारे में नीचे। जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और सी. वे। द्विघात समीकरण से गुणांक। बस मूल्यों को ध्यान से बदलें ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। विकल्प अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, समीकरण में:

ए =1; बी = 3; सी= -4। यहाँ हम लिखते हैं:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

यही उत्तर है।

सब कुछ बहुत सरल है। और आपको क्या लगता है, आप गलत नहीं हो सकते? अच्छा, हाँ, कैसे...

सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बी और सी. या बल्कि, उनके संकेतों के साथ नहीं (भ्रमित होने के लिए कहां है?), लेकिन जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मूल्यों के प्रतिस्थापन के साथ। यहां, विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र का विस्तृत रिकॉर्ड सहेजा जाता है। यदि गणना में कोई समस्या है, इसलिए यह कर!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां ए = -6; बी = -5; सी = -1

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपको शायद ही पहली बार उत्तर मिलते हैं।

खैर, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त लाइन लिखने में 30 सेकंड का समय लगेगा और त्रुटियों की संख्या तेजी से गिरेगा. इसलिए हम सभी कोष्ठकों और चिह्नों के साथ विस्तार से लिखते हैं:

इतनी सावधानी से पेंट करना अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है। लेकिन लगता ही है। इसे अजमाएं। अच्छा, या चुनें। कौन सा बेहतर है, तेज, या सही? इसके अलावा, मैं तुम्हें खुश कर दूंगा। थोड़ी देर बाद, सब कुछ इतनी सावधानी से पेंट करने की आवश्यकता नहीं होगी। यह सिर्फ सही निकलेगा। खासकर यदि आप व्यावहारिक तकनीकों को लागू करते हैं, जिनका वर्णन नीचे किया गया है। Minuses के एक समूह के साथ यह बुरा उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल किया जाएगा!

लेकिन, अक्सर, द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

क्या आप जानते हैं?) हाँ! ये है अपूर्ण द्विघात समीकरण.

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

उन्हें सामान्य सूत्र द्वारा भी हल किया जा सकता है। आपको बस सही ढंग से यह पता लगाने की जरूरत है कि यहां क्या बराबर है ए, बी और सी.

समझना? पहले उदाहरण में ए = 1; बी = -4;ए सी? यह बिल्कुल मौजूद नहीं है! अच्छा, हाँ, यह सही है। गणित में, इसका अर्थ है कि सी = 0 ! बस इतना ही। सूत्र में के स्थान पर शून्य रखिए सी,और सब कुछ हमारे लिए काम करेगा। इसी तरह दूसरे उदाहरण के साथ। केवल शून्य हमारे यहाँ नहीं है साथ, ए बी !

लेकिन अधूरे द्विघात समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। बिना किसी सूत्र के। पहले अपूर्ण समीकरण पर विचार करें। बाईं ओर क्या किया जा सकता है? आप X को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें।

और इससे क्या? और तथ्य यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर है, और केवल अगर कोई भी कारक शून्य के बराबर है! विश्वास मत करो? खैर, फिर दो गैर-शून्य संख्याएँ लेकर आएँ, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा!
काम नहीं करता? कुछ...
इसलिए, हम विश्वास के साथ लिख सकते हैं: एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 4.

हर चीज़। ये हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। दोनों फिट। उनमें से किसी को भी मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही पहचान 0 = 0 प्राप्त होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सामान्य सूत्र की तुलना में बहुत सरल है। मैं ध्यान देता हूं, वैसे, कौन सा एक्स पहला होगा, और कौन सा दूसरा - यह बिल्कुल उदासीन है। क्रम में लिखना आसान एक्स 1- जो भी कम हो एक्स 2- वह जो अधिक हो।

दूसरा समीकरण भी आसानी से हल किया जा सकता है। हम 9 को दाईं ओर ले जाते हैं। हम पाते हैं:

यह 9 से जड़ निकालने के लिए बनी हुई है, और बस। पाना:

भी दो जड़ें . एक्स 1 = -3, एक्स 2 = 3.

इस प्रकार सभी अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है। या तो एक्स को कोष्ठक से निकालकर, या बस संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके, उसके बाद रूट निकालकर।
इन तरीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। सिर्फ इसलिए कि पहले मामले में आपको एक्स से रूट निकालना होगा, जो किसी भी तरह समझ से बाहर है, और दूसरे मामले में ब्रैकेट से बाहर निकलने के लिए कुछ भी नहीं है ...

भेदभाव करने वाला। विभेदक सूत्र।

जादुई शब्द विभेदक ! हाई स्कूल के एक दुर्लभ छात्र ने यह शब्द नहीं सुना है! वाक्यांश "विवेककर्ता के माध्यम से निर्णय लें" आश्वस्त और आश्वस्त करने वाला है। क्योंकि विवेचक से तरकीबों का इंतजार करने की जरूरत नहीं है! यह उपयोग करने के लिए सरल और परेशानी मुक्त है।) मैं आपको हल करने के लिए सबसे सामान्य सूत्र की याद दिलाता हूं कोई भीद्विघातीय समीकरण:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को विवेचक कहा जाता है। विवेचक को आमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है डी. विभेदक सूत्र:

डी = बी 2 - 4ac

और इस अभिव्यक्ति में ऐसा क्या खास है? यह एक विशेष नाम के लायक क्यों है? क्या विभेदक का अर्थ?आख़िरकार -बी,या 2एइस सूत्र में वे विशेष रूप से नाम नहीं ... अक्षर और अक्षर।

बात यह है। इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय, यह संभव है केवल तीन मामले।

1. विवेचक सकारात्मक है।इसका मतलब है कि आप इससे जड़ निकाल सकते हैं। जड़ को अच्छी तरह से निकाला गया है या बुरी तरह से यह एक और सवाल है। यह महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में क्या निकाला जाता है। तब आपके द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। दो अलग समाधान।

2. विवेचक शून्य है।तो आपके पास एक ही उपाय है। चूँकि अंश में शून्य जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है। कड़ाई से बोलते हुए, यह एक जड़ नहीं है, बल्कि दो समान. लेकिन, एक सरलीकृत संस्करण में, इसके बारे में बात करने की प्रथा है एक हल।

3. विवेचक ऋणात्मक है।एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल नहीं लेती है। चलो ठीक है। इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

ईमानदार होने के लिए, द्विघात समीकरणों के एक सरल समाधान के साथ, एक विवेचक की अवधारणा की वास्तव में आवश्यकता नहीं है। हम सूत्र में गुणांकों के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, और हम विचार करते हैं। वहाँ सब कुछ अपने आप निकल जाता है, और दो जड़ें, और एक, और एक भी नहीं। हालाँकि, अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय, बिना ज्ञान के अर्थ और विभेदक सूत्रपर्याप्त नहीं। विशेष रूप से - मापदंडों के साथ समीकरणों में। इस तरह के समीकरण जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए एरोबेटिक्स हैं!)

इसलिए, द्विघात समीकरणों को कैसे हल करेंआपके द्वारा याद किए गए विवेचक के माध्यम से। या सीखा है, जो बुरा भी नहीं है।) आप सही ढंग से पहचानना जानते हैं ए, बी और सी. क्या आप जानते हैं कैसे ध्यान सेउन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें और ध्यान सेपरिणाम गिनें। क्या आप समझ गए कि यहाँ मुख्य शब्द है - ध्यान से?

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं। वही जो असावधानी के कारण होते हैं... जिसके लिए यह फिर दर्दनाक और अपमानजनक होता है...

पहला स्वागत . द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए हल करने से पहले आलसी मत बनो। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे ए, बी और सी।उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, x चुकता, फिर बिना वर्ग के, फिर एक मुक्त सदस्य। ऐशे ही:

और फिर, जल्दी मत करो! x चुकता से पहले का माइनस आपको बहुत परेशान कर सकता है। इसे भूलना आसान है... माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हाँ, जैसा कि पिछले विषय में पढ़ाया गया था! हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं। आप ही निर्णय लें। आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत। अपनी जड़ों की जाँच करें! Vieta के प्रमेय के अनुसार। चिंता मत करो, मैं सब कुछ समझा दूंगा! चेकिंग आखिरी चीजसमीकरण। वे। जिसके द्वारा हमने मूलों का सूत्र लिख दिया। अगर (इस उदाहरण में) गुणांक ए = 1, जड़ों को आसानी से जांचें। उन्हें गुणा करने के लिए पर्याप्त है। आपको एक फ्री टर्म मिलना चाहिए, यानी। हमारे मामले -2 में। ध्यान दें, 2 नहीं, बल्कि -2! स्वतंत्र सदस्य आपके संकेत के साथ . अगर यह काम नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि वे पहले ही कहीं गड़बड़ कर चुके हैं। एक त्रुटि की तलाश करें।

यदि यह काम करता है, तो आपको जड़ों को मोड़ना होगा। अंतिम और अंतिम जांच। अनुपात होना चाहिए बीसाथ विलोम संकेत। हमारे मामले में -1+2 = +1। एक गुणांक बी, जो x से पहले है, -1 के बराबर है। तो, सब कुछ सही है!
यह अफ़सोस की बात है कि यह केवल उन उदाहरणों के लिए इतना सरल है जहाँ x वर्ग शुद्ध है, एक गुणांक के साथ ए = 1.लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों की जाँच करें! कम गलतियाँ होंगी।

रिसेप्शन तीसरा . यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! "समीकरणों को कैसे हल करें? पहचान परिवर्तन" पाठ में वर्णित सामान्य हर से समीकरण को गुणा करें। अंशों, त्रुटियों के साथ काम करते समय, किसी कारण से चढ़ना ...

वैसे, मैंने एक बुरे उदाहरण का वादा किया था जिसमें मिनिस के एक समूह को सरल बनाया गया था। आपका स्वागत है! वो रहा वो।

Minuses में भ्रमित न होने के लिए, हम समीकरण को -1 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बस इतना ही! निर्णय लेना मजेदार है!

तो चलिए विषय को फिर से समझते हैं।

व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक है, तो हम पूरे समीकरण को -1 से गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत कारक से गुणा करके भिन्नों को हटा देते हैं।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसका गुणांक एक के बराबर है, विलयन को Vieta के प्रमेय द्वारा आसानी से जाँचा जा सकता है। कर दो!

अब आप तय कर सकते हैं।)

समीकरण हल करें:

8x 2 - 6x + 1 = 0

एक्स 2 + 3x + 8 = 0

एक्स 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

उत्तर (अव्यवस्था में):

एक्स 1 = 0
एक्स 2 = 5

एक्स 1.2 =2

एक्स 1 = 2
एक्स 2 \u003d -0.5

एक्स - कोई भी संख्या

एक्स 1 = -3
एक्स 2 = 3

कोई समाधान नहीं

एक्स 1 = 0.25
एक्स 2 \u003d 0.5

क्या सब कुछ ठीक है? बढ़िया! द्विघात समीकरण आपका सिरदर्द नहीं हैं। पहले तीन निकले, लेकिन बाकी नहीं निकले? तब समस्या द्विघात समीकरणों में नहीं है। समस्या समीकरणों के समान परिवर्तनों में है। लिंक पर एक नज़र डालें, यह मददगार है।

काफी काम नहीं करता? या यह बिल्कुल काम नहीं करता है? तब धारा 555 आपकी सहायता करेगी।वहां, इन सभी उदाहरणों को हड्डियों द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। दिखा मुख्यसमाधान में त्रुटियां। बेशक, विभिन्न समीकरणों को हल करने में समान परिवर्तनों के अनुप्रयोग का भी वर्णन किया गया है। बहुत मदद करता है!

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, त्रिपद \(3x^2+2x-7\) के लिए, विवेचक \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) होगा। और त्रिपद \(x^2-5x+11\) के लिए, यह \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) के बराबर होगा।

विवेचक को \(D\) अक्षर से निरूपित किया जाता है और इसे हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है। साथ ही, विवेचक के मान से, आप समझ सकते हैं कि ग्राफ़ कैसा दिखता है (नीचे देखें)।

विभेदक और द्विघात समीकरण की जड़ें

विभेदक का मान द्विघात समीकरण की मात्रा को दर्शाता है:
- यदि \(D\) धनात्मक है, तो समीकरण के दो मूल होंगे;
- यदि \(D\) शून्य के बराबर है - केवल एक मूल;
- यदि \(D\) ऋणात्मक है, तो कोई मूल नहीं है।

इसे सिखाने की आवश्यकता नहीं है, इस तरह के निष्कर्ष पर आना आसान है, बस यह जानकर कि विवेचक से (अर्थात, \(\sqrt(D)\) द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना के लिए सूत्र में शामिल है : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) और \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) आइए प्रत्येक मामले को और देखें।

यदि विवेचक सकारात्मक है

इस मामले में, इसका मूल कुछ सकारात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है \(x_(1)\) और \(x_(2)\) मूल्य में भिन्न होंगे, क्योंकि पहले सूत्र में \(\sqrt(D) \) जोड़ा जाता है, और दूसरे में - घटाया जाता है। और हमारी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

उदाहरण : समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(x^2+2x-3=0\)
फेसला :

जवाब : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

यदि विवेचक शून्य है

और यदि विवेचक शून्य है तो कितनी जड़ें होंगी? आइए तर्क करें।

मूल सूत्र इस तरह दिखते हैं: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) और \(x_(2)=\)\(\frac(- बी- \sqrt(D))(2a)\) । और यदि विवेचक शून्य है, तो उसका मूल भी शून्य है। तब यह पता चलता है:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

यानी समीकरण के मूलों का मान समान होगा, क्योंकि शून्य जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है।

उदाहरण : समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(x^2-4x+4=0\)
फेसला :

\(x^2-4x+4=0\)		हम गुणांक लिखते हैं:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		सूत्र \(D=b^2-4ac\) का उपयोग करके विवेचक की गणना करें
\(डी=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		समीकरण के मूल ज्ञात करना
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		हमें दो समान जड़ें मिली हैं, इसलिए उन्हें अलग-अलग लिखने का कोई मतलब नहीं है - हम उन्हें एक के रूप में लिखते हैं।

जवाब : \(x=2\)

आइए समस्या पर विचार करें। आयत का आधार ऊंचाई से 10 सेमी लंबा है, और इसका क्षेत्रफल 24 सेमी² है। आयत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। रहने दो एक्ससेंटीमीटर आयत की ऊंचाई है, तो इसका आधार है ( एक्स+10) सेमी. इस आयत का क्षेत्रफल है एक्स(एक्स+ 10) सेमी²। कार्य के अनुसार एक्स(एक्स+ 10) = 24. कोष्ठक का विस्तार करने और संख्या 24 को विपरीत चिह्न के साथ समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: एक्स+ 10 एक्स-24 = 0. इस समस्या को हल करते समय एक समीकरण प्राप्त हुआ, जिसे द्विघात समीकरण कहते हैं।

द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है

कुल्हाड़ी ²+ बीएक्स+सी = 0

कहाँ पे ए, बी, सीनंबर दिए गए हैं, और ए 0, और एक्स- अनजान।

कठिनाइयाँ ए, बी, सीद्विघात समीकरण को आमतौर पर इस तरह कहा जाता है: ए- पहला या उच्चतम गुणांक, बी- दूसरा गुणांक, सी- स्वतंत्र सदस्य। उदाहरण के लिए, हमारी समस्या में, वरिष्ठ गुणांक 1 है, दूसरा गुणांक 10 है, मुक्त पद -24 है। द्विघात समीकरणों के समाधान में गणित और भौतिकी की कई समस्याओं का समाधान कम हो जाता है।

द्विघात समीकरणों को हल करना

पूर्ण द्विघात समीकरण। पहला कदम दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना है कुल्हाड़ी²+ बीएक्स+ सी = 0. आइए अपनी समस्या पर वापस आते हैं, जिसमें समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: एक्स(एक्स+ 10) = 24 इसे मानक रूप में लाते हैं, कोष्ठक खोलते हैं एक्स+ 10 एक्स- 24 = 0, हम एक सामान्य द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र का उपयोग करके इस समीकरण को हल करते हैं।

इस सूत्र में मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को विवेचक D = . कहा जाता है बी- 4 एसी

यदि D>0, तो द्विघात समीकरण के दो भिन्न मूल हैं, जो द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं।

यदि D=0, तो द्विघात समीकरण का एक मूल होता है।

अगर डी<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

हमारे सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें ए= 1, बी= 10, सी= -24.

हमें D>0 प्राप्त होता है, अतः हमें दो मूल प्राप्त होते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें जहां डी = 0, इस शर्त के तहत, एक रूट प्राप्त किया जाना चाहिए।

25एक्स- 30 एक्स+ 9 = 0

एक उदाहरण पर विचार करें जहां डी<0, при этом условии решения не должно быть.

2एक्स+ 3 एक्स+ 4 = 0

मूल चिह्न (विभेदक) के नीचे की संख्या ऋणात्मक है, हम उत्तर इस प्रकार लिखते हैं: समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी² + बीएक्स+ सी= 0 को अपूर्ण कहा जाता है यदि कम से कम एक गुणांक बीया सीशून्य के बराबर। एक अपूर्ण द्विघात समीकरण निम्न में से किसी एक प्रकार का समीकरण होता है:

कुल्हाड़ी² = 0,

कुल्हाड़ी² + सी= 0, सी≠ 0,

कुल्हाड़ी² + बीएक्स= 0, बी≠ 0.

कुछ उदाहरणों पर विचार करें, समीकरण हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है एक्स= 0, उत्तर का एक मूल होगा एक्स= 0.

फॉर्म के समीकरण पर विचार करें

3एक्स- 27 = 0

दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है एक्स- 9 = 0, या इसे लिखा जा सकता है एक्स² = 9, उत्तर के दो मूल होंगे एक्स= 3 और एक्स= -3.

फॉर्म के समीकरण पर विचार करें

2एक्स+ 7 = 0

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है एक्स= -7/2। इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है क्योंकि एक्स 0 किसी भी वास्तविक संख्या के लिए एक्स.

फॉर्म के समीकरण पर विचार करें

3एक्स+ 5 एक्स= 0

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर, हम प्राप्त करते हैं एक्स(3एक्स+ 5) = 0, उत्तर के दो मूल होंगे एक्स= 0, एक्स=-5/3.

द्विघात समीकरणों को हल करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि द्विघात समीकरण को एक मानक रूप में लाया जाए, एक सामान्य द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र को याद किया जाए और संकेतों में भ्रमित न हों।

"समीकरणों को हल करना" विषय की निरंतरता में, इस लेख की सामग्री आपको द्विघात समीकरणों से परिचित कराएगी।

आइए हर चीज पर विस्तार से विचार करें: द्विघात समीकरण का सार और अंकन, साथ की शर्तें निर्धारित करें, अपूर्ण और पूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए योजना का विश्लेषण करें, जड़ों और विवेचक के सूत्र से परिचित हों, जड़ों और गुणांक के बीच संबंध स्थापित करें, और बेशक हम व्यावहारिक उदाहरणों का एक दृश्य समाधान देंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

द्विघात समीकरण, इसके प्रकार

परिभाषा 1

द्विघात समीकरणसमीकरण के रूप में लिखा गया है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, कहाँ पे एक्स- चर, ए, बी और सीकुछ संख्याएं हैं, जबकि एशून्य नहीं है।

अक्सर, द्विघात समीकरणों को दूसरी डिग्री के समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि वास्तव में द्विघात समीकरण दूसरी डिग्री का बीजगणितीय समीकरण होता है।

आइए दी गई परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दें: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, आदि। द्विघात समीकरण हैं।

परिभाषा 2

नंबर ए, बी और सीद्विघात समीकरण के गुणांक हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, जबकि गुणांक ए x 2 पर पहला, या वरिष्ठ, या गुणांक कहा जाता है, b - दूसरा गुणांक, या गुणांक at एक्स, ए सीमुक्त सदस्य कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में 6 x 2 - 2 x - 11 = 0उच्चतम गुणांक 6 है, दूसरा गुणांक है − 2 , और मुक्त पद के बराबर है − 11 . आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि जब गुणांक बीऔर/या c ऋणात्मक हैं, तो शॉर्टहैंड फॉर्म का उपयोग किया जाता है 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, लेकिन नहीं 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

आइए हम इस पहलू को भी स्पष्ट करें: यदि गुणांक एऔर/या बीबराबर 1 या − 1 , तो वे द्विघात समीकरण को लिखने में स्पष्ट भाग नहीं ले सकते हैं, जिसे संकेतित संख्यात्मक गुणांक लिखने की ख़ासियत द्वारा समझाया गया है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में वाई 2 - वाई + 7 = 0वरिष्ठ गुणांक 1 है और दूसरा गुणांक है − 1 .

कम और गैर कम द्विघात समीकरण

पहले गुणांक के मूल्य के अनुसार, द्विघात समीकरणों को कम और गैर-घटित में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा 3

घटा हुआ द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जहां अग्रणी गुणांक 1 है। अग्रणी गुणांक के अन्य मूल्यों के लिए, द्विघात समीकरण को कम नहीं किया जाता है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: द्विघात समीकरण x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 - x − 4 5 = 0 घटाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक में प्रमुख गुणांक 1 है।

9 x 2 - x - 2 = 0- अपरिष्कृत द्विघात समीकरण, जहां पहला गुणांक से भिन्न होता है 1 .

किसी भी अनियोजित द्विघात समीकरण को उसके दोनों भागों को पहले गुणांक (समतुल्य परिवर्तन) से विभाजित करके एक कम समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। रूपांतरित समीकरण के मूल दिए गए गैर-घटित समीकरण के समान होंगे या बिल्कुल भी मूल नहीं होंगे।

एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करने से हम स्पष्ट रूप से एक असंक्रमित द्विघात समीकरण से घटे हुए समीकरण में संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित कर सकेंगे।

उदाहरण 1

समीकरण 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . दिया गया है . मूल समीकरण को घटे हुए रूप में बदलना आवश्यक है।

फेसला

उपरोक्त योजना के अनुसार, हम मूल समीकरण के दोनों भागों को प्रमुख गुणांक 6 से विभाजित करते हैं। तब हमें मिलता है: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, और यह वही है: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0और आगे: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0।यहां से: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0। इस प्रकार, दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

जवाब: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0।

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

आइए हम द्विघात समीकरण की परिभाषा की ओर मुड़ें। इसमें, हमने निर्दिष्ट किया कि एक 0. एक समान स्थिति समीकरण के लिए आवश्यक है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0बिल्कुल चौकोर था, क्योंकि ए = 0यह अनिवार्य रूप से एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है बी एक्स + सी = 0.

मामले में जहां गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर हैं (जो व्यक्तिगत और संयुक्त रूप से संभव है), द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा 4

अधूरा द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी \u003d 0,जहां कम से कम एक गुणांक बीऔर सी(या दोनों) शून्य है।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जिसमें सभी संख्यात्मक गुणांक शून्य के बराबर नहीं होते हैं।

आइए चर्चा करें कि द्विघात समीकरणों के प्रकारों को ठीक ऐसे नाम क्यों दिए गए हैं।

b = 0 के लिए, द्विघात समीकरण रूप लेता है ए एक्स 2 + 0 एक्स + सी = 0, जो के समान है ए एक्स 2 + सी = 0. पर सी = 0द्विघात समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है ए एक्स 2 + बी एक्स + 0 = 0, जो समतुल्य है ए एक्स 2 + बी एक्स = 0. पर बी = 0और सी = 0समीकरण का रूप ले लेगा एक एक्स 2 = 0. हमने जो समीकरण प्राप्त किए हैं, वे पूर्ण द्विघात समीकरण से भिन्न हैं, क्योंकि उनके बाएं हाथ की भुजाओं में या तो चर x वाला कोई पद नहीं है, या एक मुक्त पद, या दोनों एक साथ नहीं हैं। दरअसल, इस तथ्य ने इस प्रकार के समीकरणों को नाम दिया - अधूरा।

उदाहरण के लिए, x 2 + 3 x + 4 = 0 और - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 पूर्ण द्विघात समीकरण हैं; एक्स 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 x = 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

ऊपर दी गई परिभाषा निम्नलिखित प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को अलग करना संभव बनाती है:

• एक एक्स 2 = 0, गुणांक ऐसे समीकरण के अनुरूप हैं बी = 0और सी = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0 के लिए;
• c = 0 के लिए a x 2 + b x = 0।

प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के हल पर क्रमिक रूप से विचार करें।

समीकरण का हल a x 2 \u003d 0

जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, ऐसा समीकरण गुणांक से मेल खाता है बीऔर सी, शून्य के बराबर। समीकरण एक एक्स 2 = 0एक समान समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है x2 = 0, जो हमें मूल समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या . से विभाजित करने पर प्राप्त होता है ए, शून्य के बराबर नहीं। स्पष्ट तथ्य यह है कि समीकरण की जड़ x2 = 0शून्य है क्योंकि 0 2 = 0 . इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, जिसे डिग्री के गुणों द्वारा समझाया गया है: किसी भी संख्या के लिए पी ,शून्य के बराबर नहीं, असमानता सत्य है p2 > 0, जिससे यह इस प्रकार है कि जब पी 0समानता पी2 = 0कभी नहीं पहुंचेगा।

परिभाषा 5

अत: अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 = 0 के लिए एक अद्वितीय मूल है एक्स = 0.

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, आइए एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें -3 x 2 = 0. यह समीकरण के बराबर है x2 = 0, इसकी एकमात्र जड़ है एक्स = 0, तो मूल समीकरण का एक ही मूल है - शून्य।

समाधान संक्षेप में इस प्रकार है:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0।

समीकरण का हल a x 2 + c \u003d 0

अगली पंक्ति में अधूरे द्विघात समीकरणों का हल है, जहाँ b \u003d 0, c 0, अर्थात् रूप के समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0. आइए इस समीकरण को समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित करके, चिह्न को विपरीत में बदलकर और समीकरण के दोनों पक्षों को एक संख्या से विभाजित करें जो शून्य के बराबर नहीं है:

• सहना सीदाईं ओर, जो समीकरण देता है ए एक्स 2 = - सी;
• समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें ए, हम परिणाम x = - c a के रूप में प्राप्त करते हैं।

हमारे परिवर्तन क्रमशः समतुल्य हैं, परिणामी समीकरण भी मूल के बराबर है, और यह तथ्य समीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है। मूल्यों से क्या हैं एऔर सीव्यंजक के मान पर निर्भर करता है - c a: इसमें ऋण चिह्न हो सकता है (उदाहरण के लिए, if ए = 1और सी = 2, तो - c a = - 2 1 = - 2) या एक धन चिह्न (उदाहरण के लिए, if .) ए = -2और सी = 6, फिर - सी ए = - 6 - 2 = 3); यह शून्य के बराबर नहीं है क्योंकि सी 0. आइए हम उन स्थितियों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें जब - c a< 0 и - c a > 0 .

मामले में जब - सी ए< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа पीसमता p 2 = - c a सत्य नहीं हो सकता।

सब कुछ अलग है जब - c a > 0: वर्गमूल को याद रखें, और यह स्पष्ट हो जाएगा कि समीकरण का मूल x 2 \u003d - c a संख्या होगी - c a, चूंकि - c a 2 \u003d - c a। यह समझना आसान है कि संख्या - - c a - भी समीकरण का मूल है x 2 = - c a: वास्तव में, - - c a 2 = - c a ।

समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं होंगी। हम इसे विपरीत विधि का उपयोग करके प्रदर्शित कर सकते हैं। सबसे पहले, आइए ऊपर पाए गए जड़ों के अंकन को इस प्रकार सेट करें एक्स 1और - एक्स 1. आइए मान लें कि समीकरण x 2 = - c a का भी एक मूल है x2, जो जड़ों से अलग है एक्स 1और - एक्स 1. हम जानते हैं कि के बजाय समीकरण में प्रतिस्थापित करके एक्सइसकी जड़ें, हम समीकरण को एक निष्पक्ष संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

के लिए एक्स 1और - एक्स 1लिखें: x 1 2 = - c a , और for x2- एक्स 2 2 \u003d - सी ए। संख्यात्मक समानता के गुणों के आधार पर, हम एक वास्तविक समानता को दूसरे पद से घटाते हैं, जो हमें देगा: x 1 2 - x 2 2 = 0. अंतिम समानता को फिर से लिखने के लिए संख्या संचालन के गुणों का उपयोग करें (एक्स 1 - एक्स 2) (एक्स 1 + एक्स 2) = 0. यह ज्ञात है कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक संख्या शून्य हो। जो कहा गया है, वह इस प्रकार है x1 - x2 = 0और/या x1 + x2 = 0, जो एक ही है x2 = x1और/या एक्स 2 = - एक्स 1. एक स्पष्ट विरोधाभास उत्पन्न हुआ, क्योंकि सबसे पहले यह सहमति हुई थी कि समीकरण की जड़ x2से मतभेद होना एक्स 1और - एक्स 1. इसलिए, हमने सिद्ध किया है कि समीकरण का x = - c a और x = - - c a के अलावा और कोई मूल नहीं है।

हम उपरोक्त सभी तर्कों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 6

अधूरा द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0समीकरण x 2 = - c a के बराबर है, जो:

• पर जड़ें नहीं होंगी - c a< 0 ;
• x = - c a और x = - - c a जब - c a > 0 के दो मूल होंगे।

आइए समीकरणों को हल करने के उदाहरण दें ए एक्स 2 + सी = 0.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण दिया गया है 9 x 2 + 7 = 0।इसका समाधान खोजना जरूरी है।

फेसला

हम मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, फिर समीकरण का रूप ले लेगा 9 x 2 \u003d - 7.
हम परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं 9 , हम x 2 = - 7 9 पर आते हैं। दाईं ओर हम एक ऋण चिह्न के साथ एक संख्या देखते हैं, जिसका अर्थ है: दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है। तब मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 + 7 = 0जड़ें नहीं होंगी।

जवाब:समीकरण 9 x 2 + 7 = 0कोई जड़ नहीं है।

उदाहरण 4

समीकरण को हल करना आवश्यक है - x2 + 36 = 0.

फेसला

आइए 36 को दाईं ओर ले जाएं: - एक्स 2 = - 36.
आइए दोनों भागों को विभाजित करें − 1 , हम पाते हैं x2 = 36. दाईं ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक्स = 36 या एक्स = - 36।
हम जड़ निकालते हैं और अंतिम परिणाम लिखते हैं: एक अधूरा द्विघात समीकरण - x2 + 36 = 0दो जड़ें हैं एक्स = 6या एक्स = -6.

जवाब: एक्स = 6या एक्स = -6.

समीकरण का हल a x 2 +b x=0

आइए हम तीसरे प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों का विश्लेषण करें, जब सी = 0. एक अपूर्ण द्विघात समीकरण का हल खोजने के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स = 0, हम गुणनखंड विधि का उपयोग करते हैं। आइए हम बहुपद को गुणनखंड करें, जो समीकरण के बाईं ओर है, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए एक्स. यह चरण मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण को इसके समतुल्य में बदलना संभव बना देगा एक्स (ए एक्स + बी) = 0. और यह समीकरण, बदले में, समीकरणों के समुच्चय के बराबर है एक्स = 0और ए एक्स + बी = 0. समीकरण ए एक्स + बी = 0रैखिक, और इसकी जड़: एक्स = - बी ए.

परिभाषा 7

अत: अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + बी एक्स = 0दो जड़ें होंगी एक्स = 0और एक्स = - बी ए.

आइए एक उदाहरण के साथ सामग्री को समेकित करें।

उदाहरण 5

समीकरण 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 का हल निकालना आवश्यक है।

फेसला

चलो निकालते हैं एक्सकोष्ठक के बाहर और समीकरण x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 प्राप्त करें। यह समीकरण समीकरणों के बराबर है एक्स = 0और 2 3 x - 2 2 7 = 0। अब आपको परिणामी रैखिक समीकरण को हल करना चाहिए: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 ।

संक्षेप में, हम समीकरण का हल इस प्रकार लिखते हैं:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या 2 3 एक्स - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या एक्स = 3 3 7

जवाब:एक्स = 0, एक्स = 3 3 7।

विभेदक, द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र

द्विघात समीकरणों का हल खोजने के लिए, एक मूल सूत्र है:

परिभाषा 8

एक्स = - बी ± डी 2 ए, जहां डी = बी 2 - 4 ए सीद्विघात समीकरण का तथाकथित विभेदक है।

x \u003d - b ± D 2 a लिखने का अनिवार्य रूप से अर्थ है कि x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a।

यह समझना उपयोगी होगा कि संकेतित सूत्र कैसे प्राप्त हुआ और इसे कैसे लागू किया जाए।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि हम एक द्विघात समीकरण को हल करने के कार्य का सामना कर रहे हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0. आइए कई समकक्ष परिवर्तन करें:

• समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या से विभाजित करें ए, शून्य से भिन्न, हम घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• परिणामी समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग का चयन करें:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  इसके बाद, समीकरण रूप लेगा: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• अब अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है, इसके विपरीत संकेत को बदलना, जिसके बाद हमें मिलता है: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• अंत में, हम अंतिम समानता के दाईं ओर लिखे गए व्यंजक को रूपांतरित करते हैं:
  बी 2 ए 2 - सी ए \u003d बी 2 4 ए 2 - सी ए \u003d बी 2 4 ए 2 - 4 ए सी 4 ए 2 \u003d बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2।

इस प्रकार, हम समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 पर आ गए हैं, जो मूल समीकरण के बराबर है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0.

हमने पिछले अनुच्छेदों (अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल) में ऐसे समीकरणों के हल पर चर्चा की थी। पहले से प्राप्त अनुभव समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है:

• बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2 . के लिए< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 के लिए, समीकरण का रूप x + b 2 · a 2 = 0 है, फिर x + b 2 · a = 0 है।

यहाँ से, एकमात्र मूल x = - b 2 · a स्पष्ट है;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 के लिए सही है: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 या x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, जो कि वही x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 या x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , अर्थात। समीकरण की दो जड़ें हैं।

यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (और इसलिए मूल समीकरण) की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति अभिव्यक्ति b 2 - 4 a c के चिन्ह पर निर्भर करती है। 4 · a 2 दायीं ओर लिखा हुआ है। और इस व्यंजक का चिह्न अंश के चिह्न से दिया जाता है, (हर .) 4 ए 2हमेशा सकारात्मक रहेगा), यानी अभिव्यक्ति का संकेत बी 2 - 4 ए सी. यह अभिव्यक्ति बी 2 - 4 ए सीएक नाम दिया गया है - एक द्विघात समीकरण का विवेचक और अक्षर D को इसके पदनाम के रूप में परिभाषित किया गया है। यहां आप विवेचक का सार लिख सकते हैं - इसके मूल्य और चिन्ह से, वे यह निष्कर्ष निकालते हैं कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें होंगी, और यदि हां, तो कितनी जड़ें - एक या दो।

आइए समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 पर लौटते हैं। आइए विभेदक संकेतन का उपयोग करके इसे फिर से लिखें: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 ।

आइए निष्कर्षों का पुनर्कथन करें:

परिभाषा 9

• पर डी< 0 समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं;
• पर डी = 0समीकरण का एक ही मूल x = - b 2 · a है;
• पर डी > 0समीकरण की दो जड़ें हैं: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 या x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. मूलकों के गुणों के आधार पर, इन जड़ों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x \u003d - b 2 a + D 2 a या - b 2 a - D 2 a। और जब हम मॉड्यूल खोलते हैं और अंशों को एक सामान्य हर में कम करते हैं, तो हमें मिलता है: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a।

तो, हमारे तर्क का परिणाम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति थी:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , विवेचक डीसूत्र द्वारा गणना डी = बी 2 - 4 ए सी.

ये सूत्र संभव बनाते हैं, जब विवेचक शून्य से अधिक होता है, दोनों वास्तविक जड़ों को निर्धारित करने के लिए। जब विभेदक शून्य होता है, तो दोनों सूत्रों को लागू करने से द्विघात समीकरण के एकमात्र हल के समान मूल प्राप्त होगा। उस स्थिति में जब विभेदक ऋणात्मक होता है, द्विघात मूल सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते हुए, हमें एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ेगा, जो हमें वास्तविक संख्याओं से आगे ले जाएगा। एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं होंगी, लेकिन जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी संभव है, जो हमें प्राप्त किए गए समान मूल सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

मूल सूत्र का उपयोग करके तुरंत द्विघात समीकरण को हल करना संभव है, लेकिन मूल रूप से यह तब किया जाता है जब जटिल जड़ों को खोजना आवश्यक होता है।

अधिकांश मामलों में, खोज आमतौर पर जटिल के लिए नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए होती है। तब यह इष्टतम है, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले, पहले विवेचक का निर्धारण करें और सुनिश्चित करें कि यह ऋणात्मक नहीं है (अन्यथा हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और फिर गणना करने के लिए आगे बढ़ें जड़ों का मूल्य।

उपरोक्त तर्क द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करना संभव बनाता है।

परिभाषा 10

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, ज़रूरी:

• सूत्र के अनुसार डी = बी 2 - 4 ए सीविवेचक का मान ज्ञात कीजिए;
• डी पर< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 के लिए सूत्र x = - b 2 · a द्वारा समीकरण का एकमात्र मूल ज्ञात कीजिए;
• D > 0 के लिए, सूत्र x = - b ± D 2 · a द्वारा द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

ध्यान दें कि जब विभेदक शून्य होता है, तो आप सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग कर सकते हैं, यह सूत्र x = - b 2 · a के समान परिणाम देगा।

उदाहरणों पर विचार करें।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

हम विवेचक के विभिन्न मूल्यों के लिए उदाहरणों का समाधान प्रस्तुत करते हैं।

उदाहरण 6

समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक है एक्स 2 + 2 एक्स - 6 = 0.

फेसला

हम द्विघात समीकरण के संख्यात्मक गुणांक लिखते हैं: a \u003d 1, b \u003d 2 और सी = - 6. अगला, हम एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं, अर्थात। आइए विवेचक की गणना शुरू करें, जिसके लिए हम गुणांकों को प्रतिस्थापित करते हैं a , b और सीविभेदक सूत्र में: डी = बी 2 - 4 ए सी = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28।

अतः, हमें D > 0 प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
उन्हें खोजने के लिए, हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं x \u003d - b ± D 2 · a और, उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1। हम परिणामी व्यंजक को मूल के चिह्न से गुणनखंड निकालकर, उसके बाद भिन्न को घटाकर सरल करते हैं:

एक्स = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 या x = - 2 - 2 7 2

एक्स = - 1 + 7 या एक्स = - 1 - 7

जवाब:एक्स = - 1 + 7, एक्स = - 1 - 7।

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक है − 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

फेसला

आइए विभेदक को परिभाषित करें: डी = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. विवेचक के इस मान के साथ, मूल समीकरण का केवल एक मूल होगा, जो सूत्र x = - b 2 · a द्वारा निर्धारित होता है।

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

जवाब: एक्स = 3, 5.

उदाहरण 8

समीकरण को हल करना आवश्यक है 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

फेसला

इस समीकरण के संख्यात्मक गुणांक होंगे: a = 5 , b = 6 और c = 2 । हम इन मानों का उपयोग विभेदक को खोजने के लिए करते हैं: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = -4 । परिकलित विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए मूल द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

उस स्थिति में जब कार्य जटिल जड़ों को इंगित करना है, हम जटिल संख्याओं के साथ संचालन करके मूल सूत्र लागू करते हैं:

एक्स \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 या x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i या x = - 3 5 - 1 5 i ।

जवाब:कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं; सम्मिश्र मूल हैं: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i ।

स्कूल पाठ्यक्रम में, एक मानक के रूप में, जटिल जड़ों की तलाश करने की कोई आवश्यकता नहीं है, इसलिए, यदि समाधान के दौरान विवेचक को नकारात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो उत्तर तुरंत दर्ज किया जाता है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र

मूल सूत्र x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) एक और सूत्र प्राप्त करना संभव बनाता है, अधिक सघन, आपको x पर सम गुणांक वाले द्विघात समीकरणों के समाधान खोजने की अनुमति देता है (या गुणांक के साथ) फॉर्म 2 ए एन, उदाहरण के लिए, 2 3 या 14 एलएन 5 = 2 7 एलएन 5)। आइए हम दिखाते हैं कि यह सूत्र कैसे प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि हमारे सामने द्विघात समीकरण a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 का हल खोजने का कार्य है। हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: हम विभेदक D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) निर्धारित करते हैं, और फिर मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · सीए ।

मान लें कि व्यंजक n 2 - a c को D 1 के रूप में निरूपित किया जाता है (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ माने गए द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र रूप लेगा:

एक्स \u003d - एन ± डी 1 ए, जहां डी 1 \u003d एन 2 - ए सी।

यह देखना आसान है कि D = 4 · D 1 , या D 1 = D 4 । दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का एक चौथाई है। जाहिर है, डी 1 का संकेत डी के संकेत के समान है, जिसका अर्थ है कि डी 1 का संकेत द्विघात समीकरण की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति के संकेतक के रूप में भी काम कर सकता है।

परिभाषा 11

इस प्रकार, 2 n के दूसरे गुणांक वाले द्विघात समीकरण का हल खोजने के लिए, यह आवश्यक है:

• डी 1 = एन 2 - ए सी खोजें;
• डी 1 . पर< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• डी 1 = 0 के लिए, सूत्र द्वारा समीकरण का एकमात्र मूल निर्धारित करें x = - n a ;
• D 1 > 0 के लिए, सूत्र x = - n ± D 1 a का उपयोग करके दो वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9

द्विघात समीकरण 5 · x 2 - 6 · x - 32 = 0 को हल करना आवश्यक है।

फेसला

दिए गए समीकरण के दूसरे गुणांक को 2 · (- 3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। फिर हम दिए गए द्विघात समीकरण को 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x − 32 = 0 के रूप में फिर से लिखते हैं, जहां a = 5 , n = − 3 और c = − 32 ।

आइए विभेदक के चौथे भाग की गणना करें: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169। परिणामी मान धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें जड़ों के संगत सूत्र द्वारा परिभाषित करते हैं:

एक्स = - एन ± डी 1 ए, एक्स = - - 3 ± 169 5, एक्स = 3 ± 13 5,

एक्स = 3 + 13 5 या एक्स = 3 - 13 5

एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके गणना करना संभव होगा, लेकिन इस मामले में समाधान अधिक बोझिल होगा।

जवाब:एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2।

द्विघात समीकरणों के रूप का सरलीकरण

कभी-कभी मूल समीकरण के रूप को अनुकूलित करना संभव होता है, जो जड़ों की गणना की प्रक्रिया को सरल करेगा।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 से हल करने के लिए स्पष्ट रूप से अधिक सुविधाजनक है।

अधिक बार, द्विघात समीकरण के रूप का सरलीकरण इसके दोनों भागों को एक निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर हमने समीकरण 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 का एक सरलीकृत निरूपण दिखाया, जो इसके दोनों भागों को 100 से विभाजित करके प्राप्त किया गया था।

ऐसा परिवर्तन तब संभव है जब द्विघात समीकरण के गुणांक अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ न हों। फिर, आमतौर पर, समीकरण के दोनों भागों को इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है।

उदाहरण के तौर पर, हम द्विघात समीकरण 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 का उपयोग करते हैं। आइए इसके गुणांकों के निरपेक्ष मानों के gcd को परिभाषित करें: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6। आइए मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करें और समतुल्य द्विघात समीकरण 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 प्राप्त करें।

द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करके, भिन्नात्मक गुणांक आमतौर पर समाप्त हो जाते हैं। इस मामले में, इसके गुणांकों के हर के कम से कम सामान्य गुणक से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 के प्रत्येक भाग को LCM (6, 3, 1) \u003d 6 से गुणा किया जाता है, तो इसे सरल रूप में लिखा जाएगा x 2 + 4 एक्स - 18 = 0।

अंत में, हम ध्यान दें कि समीकरण के प्रत्येक पद के संकेतों को बदलते हुए, द्विघात समीकरण के पहले गुणांक पर लगभग हमेशा ऋण से छुटकारा मिलता है, जो दोनों भागों को -1 से गुणा (या विभाजित) करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 से, आप इसके सरलीकृत संस्करण 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 पर जा सकते हैं।

जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरणों की जड़ों के लिए पहले से ही ज्ञात सूत्र x = - b ± D 2 · a समीकरण की जड़ों को इसके संख्यात्मक गुणांक के रूप में व्यक्त करता है। इस सूत्र के आधार पर, हमारे पास जड़ों और गुणांकों के बीच अन्य निर्भरताएँ निर्धारित करने का अवसर है।

विएटा प्रमेय के सूत्र सबसे प्रसिद्ध और लागू हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d - बी ए और एक्स 2 \u003d सी ए।

विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाला दूसरा गुणांक होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 के रूप में, यह तुरंत निर्धारित करना संभव है कि इसकी जड़ों का योग 7 3 है, और जड़ों का उत्पाद 22 3 है।

आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध भी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का योग गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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