इस कैलकुलेटर ने "एक समलम्ब का क्षेत्रफल" विषय पर 2192 समस्याओं की गणना की है

ट्रैपेज़ो स्क्वायर

एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र चुनें जिसे आप अपनी समस्या को हल करने के लिए लागू करने की योजना बना रहे हैं:

एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना के लिए सामान्य सिद्धांत।

ट्रेपेज़ - यह एक सपाट आकृति है जिसमें चार बिंदु होते हैं, जिनमें से तीन एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और चार खंड (पक्ष) इन चार बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं, जिसमें दो विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं (समानांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं), और अन्य दो समानांतर नहीं हैं।

अंक कहलाते हैं एक समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष और बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा निरूपित किए जाते हैं।

खंडों को कहा जाता है एक समलम्ब चतुर्भुज के किनारे और इन खंडों को जोड़ने वाले शीर्षों के अनुरूप बड़े लैटिन अक्षरों की एक जोड़ी द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज की दो समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं एक समलम्बाकार आधार .

एक समलम्ब चतुर्भुज की दो गैर-समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं एक समलम्ब चतुर्भुज के किनारे .

चित्र #1: समलंब ABCD

चित्र 1 में एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD है जिसके शीर्ष A, B, C, D और भुजाएँ AB, BC, CD, DA हैं।

AB DC - समलम्ब चतुर्भुज ABCD के आधार।

AD, BC समलम्ब चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ हैं।

किरणों AB और AD द्वारा बनाए गए कोण को शीर्ष A पर कोण कहा जाता है। इसे A या BAD, या DAB के रूप में दर्शाया जाता है।

BA और BC किरणों द्वारा निर्मित कोण को शीर्ष B पर कोण कहा जाता है। इसे B या ABC, या ÐCBA के रूप में नामित किया जाता है।

किरणों CB और CD द्वारा बनाए गए कोण को शीर्ष कोण C कहा जाता है। इसे C या ÐDCB या ÐBCD के रूप में दर्शाया जाता है।

AD और CD किरणों द्वारा बनाए गए कोण को शीर्ष कोण D कहा जाता है। इसे D या ÐADC या ÐCDA के रूप में दर्शाया जाता है।

चित्र #2: समलंब ABCD

चित्र 2 में, भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड MN को कहा जाता है ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा।

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखाआधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर। अर्थात, .

चित्र #3: समद्विबाहु समलंब ABCD

चित्र #3 में, AD=BC।

समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है समद्विबाहु (समद्विबाहु)यदि इसकी भुजाएँ समान हैं।

चित्र #4: आयताकार समलम्ब चतुर्भुज ABCD

चित्र संख्या 4 में, कोण D सीधा है (90 ° के बराबर)।

समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है आयताकार,यदि पार्श्व भुजा का कोण सीधा है।

स्क्वायर एस फ्लैटआकृतियाँ, जिनमें समलम्ब भी शामिल है, समतल पर परिबद्ध बंद स्थान कहलाती है। एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल इस आकृति के आकार को दर्शाता है।

क्षेत्र में कई गुण हैं:

1. यह ऋणात्मक नहीं हो सकता।

2. यदि एक समतल पर कुछ बंद क्षेत्र दिया गया है, जो कई आकृतियों से बना है जो एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं (अर्थात, आकृतियों में सामान्य आंतरिक बिंदु नहीं हैं, लेकिन एक दूसरे को अच्छी तरह से स्पर्श कर सकते हैं), तो का क्षेत्रफल \u200b\u200bऐसा क्षेत्र इसके घटक आंकड़ों के क्षेत्रों के योग के बराबर है।

3. यदि दो अंक समान हों, तो उनका क्षेत्रफल बराबर होता है।

4. एक इकाई खंड पर बने वर्ग का क्षेत्रफल एक के बराबर होता है।

पीछे इकाई मापन क्षेत्रएक वर्ग का क्षेत्रफल लीजिए जिसकी भुजा के बराबर है इकाई मापनखंड।

समस्याओं को हल करते समय, समलम्बाकार क्षेत्र की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र अक्सर उपयोग किए जाते हैं:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग का आधा गुणा उसकी ऊँचाई से होता है:

2. एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी मध्य रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है:

3. समलम्ब चतुर्भुज के आधारों और भुजाओं की ज्ञात लंबाई के साथ, इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

4. समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की ज्ञात लंबाई और आधार पर कोण के ज्ञात मान के साथ समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके करना संभव है:

उदाहरण 1:आधार a=7, b=3 और ऊंचाई h=15 के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला:

जवाब:

उदाहरण 2:एक समलम्ब चतुर्भुज के आधार की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल S=35 cm 2, ऊँचाई h=7 cm और दूसरा आधार b = 2 cm है।

फेसला:

समलम्ब चतुर्भुज के आधार की भुजा ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम इस सूत्र से समलम्ब के आधार के पक्ष को व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

जवाब:

उदाहरण 3:एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल S=17 cm2 और आधार a=30 cm, b=4 cm है।

फेसला:

समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

जवाब:

उदाहरण 4:ऊँचाई h=24 और मध्य रेखा m=5 के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला:

एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, क्षेत्रफल की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

जवाब:

उदाहरण 5:एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल S = 48 cm 2 और मध्य रेखा m = 6 cm है।

फेसला:

एक समलम्ब की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम एक समलम्ब के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम इस सूत्र से समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

जवाब:

उदाहरण 6:एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल S = 56 और ऊँचाई h = 4 है।

फेसला:

एक समलम्ब की मध्य रेखा ज्ञात करने के लिए, हम समलंब के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम इस सूत्र से समलंब की मध्य रेखा व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं।

ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र। अभिवादन! इस प्रकाशन में हम इस सूत्र पर विचार करेंगे। यह ऐसा क्यों है और आप इसे कैसे समझ सकते हैं? अगर समझ है तो उसे सीखने की जरूरत नहीं है। यदि आप केवल इस सूत्र को देखना चाहते हैं और क्या अत्यावश्यक है, तो आप तुरंत पृष्ठ को नीचे स्क्रॉल कर सकते हैं))

अब विस्तार से और क्रम में।

एक समलम्ब चतुर्भुज है, इस चतुर्भुज के दो पक्ष समानांतर हैं, अन्य दो नहीं हैं। जो समानांतर नहीं हैं वे समलम्बाकार के आधार हैं। अन्य दो पक्ष कहलाते हैं।

यदि भुजाएँ समान हों, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है। यदि भुजाओं में से एक आधार के लंबवत है, तो ऐसे समलम्ब को आयताकार कहा जाता है।

शास्त्रीय रूप में, ट्रेपेज़ॉइड को निम्नानुसार दर्शाया गया है - बड़ा आधार क्रमशः नीचे है, छोटा आधार शीर्ष पर है। लेकिन कोई भी इसे चित्रित करने से मना नहीं करता है और इसके विपरीत। यहाँ रेखाचित्र हैं:

अगली महत्वपूर्ण अवधारणा।

एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। मध्य रेखा समलंब के आधारों के समानांतर है और उनके आधे योग के बराबर है।

आइए अब गहराई में जाएं। बिल्कुल क्यों?

आधारों के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज पर विचार करें ए और बीऔर मध्य रेखा के साथ मैं, और कुछ अतिरिक्त निर्माण करें: आधारों के माध्यम से सीधी रेखाएँ, और मध्य रेखा के सिरों के माध्यम से लंबवत तब तक खींचें जब तक वे आधारों के साथ प्रतिच्छेद न करें:

*शीर्षकों और अन्य बिंदुओं के पत्र पदनामों को अनावश्यक पदनामों से बचने के लिए जानबूझकर दर्ज नहीं किया गया है।

देखिए, त्रिभुजों की समता के दूसरे चिह्न के अनुसार त्रिभुज 1 और 2 बराबर हैं, त्रिभुज 3 और 4 समान हैं। त्रिभुजों की समानता से तत्वों की समानता का अनुसरण होता है, अर्थात् पैर (वे क्रमशः नीले और लाल रंग में दर्शाए जाते हैं)।

अब ध्यान! यदि हम निचले आधार से नीले और लाल खंडों को मानसिक रूप से "काट" देते हैं, तो हमारे पास मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का पक्ष है) होगा। इसके अलावा, यदि हम कटे हुए नीले और लाल खंडों को ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार पर "गोंद" करते हैं, तो हमें एक खंड भी मिलेगा (यह आयत का पक्ष भी है) ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा के बराबर।

समझ गया? यह पता चला है कि आधारों का योग समलम्बाकार के दो माध्यकों के बराबर होगा:

एक और स्पष्टीकरण देखें

आइए निम्न कार्य करें - ट्रेपेज़ॉइड के निचले आधार से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें और एक सीधी रेखा जो बिंदु A और B से होकर गुजरेगी:

हमें त्रिभुज 1 और 2 मिलते हैं, वे भुजाओं और आसन्न कोणों में बराबर होते हैं (त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह)। इसका मतलब है कि परिणामी खंड (स्केच में इसे नीले रंग में चिह्नित किया गया है) ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार के बराबर है।

अब एक त्रिभुज पर विचार करें:

*इस समलम्ब चतुर्भुज की माध्यिका रेखा और त्रिभुज की मध्य रेखा संपाती होती है।

यह ज्ञात है कि त्रिभुज उसके समानांतर आधार के आधे के बराबर है, अर्थात्:

ठीक है समझ आ गया। अब ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के बारे में।

ट्रेपेज़ियम क्षेत्र सूत्र:

वे कहते हैं: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

यही है, यह पता चला है कि यह मध्य रेखा और ऊंचाई के उत्पाद के बराबर है:

आप शायद पहले ही देख चुके हैं कि यह स्पष्ट है। ज्यामितीय रूप से, इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: यदि हम मानसिक रूप से त्रिभुज 2 और 4 को समलम्बाकार से काटते हैं और उन्हें क्रमशः त्रिभुज 1 और 3 पर रखते हैं:

तब हमें अपने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाला एक आयत प्राप्त होता है। इस आयत का क्षेत्रफल मध्य रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात हम लिख सकते हैं:

लेकिन यहां बात लिखित में नहीं, बल्कि समझने की है।

*पीडीएफ प्रारूप में लेख की सामग्री को डाउनलोड करें (देखें)

बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

निष्ठा से, सिकंदर।

पिछले साल के यूएसई और जीआईए के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएं कई छात्रों के लिए मुश्किलें पैदा करती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में, आप समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने के लिए सूत्र, साथ ही समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण देखेंगे। प्रमाणन परीक्षा या ओलंपियाड में KIM में वही आपके सामने आ सकते हैं। इसलिए इनका इलाज सावधानी से करें।

ट्रेपोजॉइड के बारे में आपको क्या जानने की जरूरत है?

आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि ट्रापेज़एक चतुर्भुज कहा जाता है, जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, उन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर होते हैं, और अन्य दो नहीं होते हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज में, ऊँचाई (आधार के लंबवत) को भी छोड़ा जा सकता है। मध्य रेखा खींची जाती है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, तीव्र और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलंब क्षेत्र सूत्र

सबसे पहले, एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्रों पर विचार करें। समद्विबाहु और वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करने के तरीकों पर नीचे विचार किया जाएगा।

तो, कल्पना कीजिए कि आपके पास a और b आधारों वाला एक समलम्ब है, जिसमें ऊँचाई h को बड़े आधार तक कम किया जाता है। इस मामले में एक आकृति के क्षेत्र की गणना करना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करना होगा और ऊंचाई से गुणा करना होगा: एस = 1/2(ए + बी)*एच.

आइए एक और मामला लें: मान लीजिए कि ऊंचाई के अलावा, ट्रेपेज़ॉइड की एक माध्य रेखा m है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2(a + b)। इसलिए, हम एक समलम्बाकार क्षेत्र के सूत्र को निम्न रूप में सरल बना सकते हैं: एस = एम * एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको मध्य रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

आइए एक और विकल्प पर विचार करें: विकर्ण d 1 और d 2 एक समलम्ब चतुर्भुज में खींचे गए हैं, जो एक समकोण α पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। इस तरह के एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के उत्पाद को आधा करना होगा और उनके बीच के कोण के पाप से आपको जो मिलता है उसे गुणा करना होगा: एस= 1/2d 1 घ 2 *sinα.

अब एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है, सिवाय इसके सभी पक्षों की लंबाई के: a, b, c और d। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा यदि: एस \u003d 1/2 (ए + बी) * c 2 - ((1/2 (बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस मामले के लिए भी सही हैं जब आपको एक आयताकार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र की आवश्यकता होती है। यह एक समलंब चतुर्भुज है, जिसकी भुजा समकोण पर आधारों को जोड़ती है।

समद्विबाहु समलम्बाकार

एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाती है। हम समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल के लिए सूत्र के कई रूपों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्ब के अंदर अंकित होता है, और पार्श्व पक्ष और बड़ा आधार एक न्यून कोण α बनाते हैं। एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है बशर्ते कि इसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और सभी को sinα से विभाजित करें: एस = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और पक्ष के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8r2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब लेते हैं, जिसमें, इसके अलावा, विकर्ण d 1 और d 2 खींचे जाते हैं, साथ ही ऊँचाई h भी। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, आपके लिए पहले से परिचित समलम्बाकार क्षेत्र सूत्र को इस रूप में परिवर्तित करना आसान है: एस = एच2.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

आइए समझने से शुरू करें: एक वक्रीय समलम्बाकार क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-ऋणात्मक फ़ंक्शन f के एक ग्राफ की कल्पना करें जो x-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर संकेत नहीं बदलता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) - शीर्ष पर, x अक्ष - नीचे (खंड), और पक्षों पर - बिंदु a और b और ग्राफ़ के बीच खींची गई सीधी रेखाओं द्वारा एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज का निर्माण होता है समारोह का।

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके इस तरह के गैर-मानक आंकड़े के क्षेत्र की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात् न्यूटन-लीबनिज सूत्र - एस = ∫ बी ए एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स)│ बी ए = एफ (बी) - एफ (ए). इस सूत्र में, F चयनित अंतराल पर हमारे फलन का प्रतिअवकलन है। और वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्र किसी दिए गए खंड पर प्रतिपदार्थ की वृद्धि से मेल खाता है।

कार्य उदाहरण

इन सभी फ़ार्मुलों को अपने दिमाग में बेहतर बनाने के लिए, यहाँ एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कार्यों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही तैयार किए गए समाधान के साथ प्राप्त उत्तर की जांच करें।

कार्य 1:एक ट्रेपोजॉइड दिया। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। ट्रेपेज़ियम में विकर्ण होते हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी लंबा।

समाधान: एक समलम्बाकार AMRS बनाएँ। शीर्ष P से होकर जाने वाली रेखा RX इस प्रकार खींचिए कि यह विकर्ण MC के समानांतर हो और रेखा AC को बिंदु X पर काटती हो। आपको त्रिभुज APX प्राप्त होता है।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMPX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि PX = MC = 12 सेमी और CX = MP = 4 सेमी। हम त्रिभुज ARCH के पक्ष AX की गणना कहाँ कर सकते हैं: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 सेमी।

हम यह भी साबित कर सकते हैं कि त्रिभुज ARCH समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2) लागू करें। और इसके क्षेत्र की गणना करें: एस एपीएक्स \u003d 1/2 (एपी * पीएक्स) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 सेमी 2।

इसके बाद, आपको यह साबित करना होगा कि त्रिभुज AMP और PCX क्षेत्रफल में बराबर हैं। आधार MP और CX (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पक्षों की समानता होगी। और यह भी कि आप इन पक्षों पर जो ऊँचाई कम करते हैं - वे AMRS ट्रेपेज़ॉइड की ऊँचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको एस एएमपीसी \u003d एस एपीएक्स \u003d 54 सेमी 2 पर जोर देने की अनुमति देगा।

कार्य #2:एक समलम्ब चतुर्भुज KRMS दिया गया। बिंदु O और E इसके पार्श्व पक्षों पर स्थित हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्ब चतुर्भुज ORME और OXE के क्षेत्र 1:5 के अनुपात में हैं। पीएम = ए और केएस = बी। आपको एक ओई खोजने की जरूरत है।

हल: बिंदु M से RK के समानांतर एक रेखा खींचिए, और OE के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को T के रूप में निर्दिष्ट कीजिए।

आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। साथ ही TME त्रिभुज के लिए ऊँचाई h 1 और AEC त्रिभुज के लिए ऊँचाई h 2 (आप इन त्रिभुजों की समानता को स्वयं सिद्ध कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b > a. ट्रेपेज़ॉइड्स ORME और OXE के क्षेत्र 1:5 से संबंधित हैं, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x) है। दोनों प्रविष्टियों को मिलाएं और प्राप्त करें: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) 5 (x - a) (x + a) \u003d (बी + एक्स) (बी - एक्स) 5 (एक्स 2 - ए 2) \u003d (बी 2 - एक्स 2) 6x 2 \u003d बी 2 + 5 ए 2 ↔ एक्स \u003d √ (5 ए 2 + बी 2) / 6.

इस प्रकार, OE \u003d x \u003d (5a 2 + b 2) / 6.

निष्कर्ष

ज्यामिति विज्ञान में सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा कार्यों का सामना करने में सक्षम होंगे। तैयारी में बस थोड़ा सा धैर्य चाहिए। और, ज़ाहिर है, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी के दौरान उनका उपयोग कर सकें और सामग्री को दोहरा सकें।

इस लेख को अपने सहपाठियों और दोस्तों के साथ सोशल नेटवर्क पर साझा करना सुनिश्चित करें। यूनिफाइड स्टेट एग्जामिनेशन और जीआईए के लिए और अच्छे ग्रेड होने दें!

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

गणित में, कई प्रकार के चतुर्भुज ज्ञात हैं: वर्ग, आयत, समचतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज। उनमें से एक ट्रेपोजॉइड है - एक प्रकार का उत्तल चतुर्भुज, जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं, और अन्य दो नहीं होते हैं। समानांतर विपरीत पक्षों को आधार कहा जाता है, और अन्य दो को समलम्बाकार पक्ष कहा जाता है। भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले खण्ड को मध्य रेखा कहते हैं। ट्रेपेज़ॉइड कई प्रकार के होते हैं: समद्विबाहु, आयताकार, वक्रतापूर्ण। प्रत्येक प्रकार के समलम्ब चतुर्भुज के लिए, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र हैं।

समलंब क्षेत्र

एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसके आधारों की लंबाई और उसकी ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। एक समलम्ब की ऊंचाई आधारों के लंबवत एक खंड है। मान लें कि शीर्ष आधार a है, निचला आधार b है, और ऊँचाई h है। तब आप सूत्र द्वारा क्षेत्र S की गणना कर सकते हैं:

एस = ½ * (ए + बी) * एच

वे। ऊंचाई से गुणा किए गए आधारों का आधा योग लें।

यदि आप ऊंचाई और मध्य रेखा का मान जानते हैं, तो आप एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना भी कर सकते हैं। आइए मध्य रेखा को निरूपित करें - मी। फिर

आइए समस्या को और अधिक जटिल हल करें: हम ट्रेपेज़ॉइड के चार पक्षों की लंबाई जानते हैं - ए, बी, सी, डी। तब क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

यदि विकर्णों की लंबाई और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल निम्नानुसार ज्ञात किया जाता है:

एस = ½ * d1 * d2 * sinα

जहां d सूचकांक 1 और 2 के साथ विकर्ण हैं। इस सूत्र में कोण की ज्या गणना में दी गई है।

ज्ञात आधार लंबाई a और b और निचले आधार पर दो कोणों के साथ, क्षेत्र की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एस = ½ * (बी 2 - ए 2) * (पाप α * पाप β / पाप (α + β))

एक समद्विबाहु समलम्ब का क्षेत्रफल

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है। इसका अंतर यह है कि ऐसा समलम्ब चतुर्भुज उत्तल चतुर्भुज होता है जिसमें दो विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाली समरूपता की धुरी होती है। इसकी भुजाएँ बराबर होती हैं।

समद्विबाहु समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं।

• तीन पक्षों की लंबाई के माध्यम से। इस मामले में, पक्षों की लंबाई मेल खाती है, इसलिए उन्हें एक मान - सी, ए और बी - आधारों की लंबाई से दर्शाया जाता है:

• यदि ऊपरी आधार की लंबाई, पार्श्व भुजा और निचले आधार पर कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

एस = सी * पाप α * (ए + सी * कॉस α)

जहाँ a ऊपरी आधार है, c भुजा है।

• यदि ऊपरी आधार के बजाय, निचले आधार की लंबाई ज्ञात हो - b, क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = सी * पाप α * (बी - सी * कॉस α)

• यदि दो आधार और निचले आधार पर कोण ज्ञात हैं, तो कोण के स्पर्शरेखा का उपयोग करके क्षेत्र की गणना की जाती है:

एस = ½ * (बी2 - ए2) * टीजी α

• इसके अलावा, क्षेत्र की गणना विकर्णों और उनके बीच के कोण के माध्यम से की जाती है। इस मामले में, विकर्ण लंबाई में बराबर होते हैं, इसलिए प्रत्येक को बिना सूचकांक के अक्षर d द्वारा दर्शाया जाता है:

एस = ½ * d2 * sinα

• पार्श्व पक्ष की लंबाई, मध्य रेखा और निचले आधार पर कोण को जानकर, ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करें।

चलो पक्ष - सी, मध्य रेखा - एम, कोने - ए, फिर:

एस = एम * सी * sinα

कभी-कभी एक समबाहु समलम्ब में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, जिसकी त्रिज्या होगी - r।

यह ज्ञात है कि किसी भी समलम्बाकार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है यदि आधारों की लंबाई का योग उसके पक्षों की लंबाई के योग के बराबर हो। फिर खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या और निचले आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है:

एस = 4r2 / sinα

एक ही गणना खुदा सर्कल के व्यास डी के माध्यम से की जाती है (वैसे, यह ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई के साथ मेल खाता है):

आधारों और कोणों को जानने के बाद, समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

एस = ए*बी/sinα

(यह और बाद के सूत्र केवल एक खुदे हुए चक्र के साथ ट्रेपेज़ॉइड के लिए मान्य हैं)।

आधारों और वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से, क्षेत्र को निम्नानुसार खोजा जाता है:

यदि केवल आधार ज्ञात हैं, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

आधारों और पार्श्व रेखा के माध्यम से, एक उत्कीर्ण वृत्त के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्र और आधारों और मध्य रेखा के माध्यम से - मी की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है, जिसमें एक भुजा आधारों के लंबवत होती है। इस मामले में, साइड की लंबाई ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई के साथ मेल खाती है।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज एक वर्ग और एक त्रिभुज है। प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बाद, परिणामों को जोड़ें और आकृति का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें।

साथ ही, एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सामान्य सूत्र एक आयताकार समलम्ब के क्षेत्रफल की गणना के लिए उपयुक्त हैं।

• यदि आधारों की लंबाई और ऊँचाई (या लंबवत भुजा) ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = (ए + बी) * एच / 2

जैसा कि h (ऊंचाई) की भुजा हो सकती है। तब सूत्र इस तरह दिखता है:

एस = (ए + बी) * सी / 2

• क्षेत्रफल की गणना करने का दूसरा तरीका मध्य रेखा की लंबाई को ऊंचाई से गुणा करना है:

या पार्श्व लंबवत पक्ष की लंबाई से:

• अगली गणना विधि विकर्णों के आधे उत्पाद और उनके बीच के कोण की साइन के माध्यम से है:

एस = ½ * d1 * d2 * sinα

यदि विकर्ण लंबवत हैं, तो सूत्र सरल हो जाता है:

एस = ½ * d1 * d2

• गणना करने का दूसरा तरीका अर्ध-परिधि (दो विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग) और खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है।

यह सूत्र आधारों के लिए मान्य है। यदि हम भुजाओं की लंबाई लें, तो उनमें से एक त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी। सूत्र इस तरह दिखेगा:

एस = (2r + c) * r

• यदि एक समलम्ब चतुर्भुज में एक वृत्त अंकित है, तो क्षेत्रफल की गणना उसी तरह की जाती है:

जहाँ m मध्य रेखा की लंबाई है।

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक सपाट आकृति है जो एक गैर-ऋणात्मक सतत फलन y = f(x) के ग्राफ़ से घिरा होता है जो खंड, x-अक्ष और सीधी रेखाओं x = a, x = b पर परिभाषित होता है। वास्तव में, इसकी दो भुजाएँ एक दूसरे (आधार) के समानांतर हैं, तीसरी भुजा आधारों के लंबवत है, और चौथा फलन के ग्राफ के अनुरूप एक वक्र है।

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करते हुए अभिन्न के माध्यम से एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाया जाता है:

इस प्रकार विभिन्न प्रकार के समलम्बाकार क्षेत्रों की गणना की जाती है। लेकिन, पक्षों के गुणों के अलावा, समलम्बाकार कोणों के गुण समान होते हैं। सभी मौजूदा चतुर्भुजों की तरह, एक समलम्ब चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360 डिग्री होता है। और भुजा से सटे कोणों का योग 180 डिग्री है।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज है जिसमें दो विपरीत पक्ष एक दूसरे के समानांतर होते हैं और अन्य दो नहीं होते हैं। विभिन्न प्रकार की वास्तविक वस्तुओं में एक समलम्बाकार आकृति होती है, इसलिए आपको दैनिक या विद्यालय की समस्याओं को हल करने के लिए ऐसी ज्यामितीय आकृति की परिधि की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

समलंब ज्यामिति

एक ट्रेपेज़ॉइड (ग्रीक "ट्रेपेज़ियन" - एक टेबल से) एक विमान पर एक आकृति है, जो चार खंडों तक सीमित है, जिनमें से दो समानांतर हैं, और दो नहीं हैं। समांतर खंडों को समलम्बाकार आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर - आकृति के किनारे। झुकाव के पक्ष और उनके कोण समलम्बाकार के प्रकार को निर्धारित करते हैं, जो बहुमुखी, समद्विबाहु या आयताकार हो सकता है। आधारों और भुजाओं के अतिरिक्त, समलम्ब चतुर्भुज में दो और तत्व होते हैं:

• ऊंचाई - आकृति के समानांतर आधारों के बीच की दूरी;
• मध्य रेखा - पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड।

यह ज्यामितीय आकृति वास्तविक जीवन में व्यापक है।

हकीकत में ट्रैपेज़

रोजमर्रा की जिंदगी में, कई वास्तविक वस्तुएं एक ट्रेपोजॉइडल आकार लेती हैं। आप मानव गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में आसानी से ट्रैपेज़ियम पा सकते हैं:

• इंटीरियर डिजाइन और सजावट - सोफा, काउंटरटॉप्स, दीवारें, कालीन, निलंबित छत;
• परिदृश्य डिजाइन - लॉन और कृत्रिम जलाशयों की सीमाएं, सजावटी तत्वों के रूप;
• फैशन - कपड़े, जूते और सामान का रूप;
• वास्तुकला - खिड़कियां, दीवारें, भवन की नींव;
• उत्पादन - विभिन्न उत्पाद और विवरण।

ट्रेपेज़ॉइड के इतने व्यापक उपयोग के साथ, विशेषज्ञों को अक्सर एक ज्यामितीय आकृति की परिधि की गणना करनी होती है।

समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप

एक आकृति की परिधि एक संख्यात्मक विशेषता है, जिसकी गणना एन-गॉन के सभी पक्षों की लंबाई के योग के रूप में की जाती है। एक समलम्ब चतुर्भुज है और, सामान्य तौर पर, इसके सभी पक्षों की अलग-अलग लंबाई होती है, इसलिए परिधि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

पी = ए + बी + सी + डी,

जहाँ a और c आकृति के आधार हैं, b और d इसकी भुजाएँ हैं।

भले ही हमें एक समलम्ब चतुर्भुज की परिधि की गणना करते समय ऊँचाई जानने की आवश्यकता नहीं है, कैलकुलेटर के कोड के लिए इस चर को दर्ज करने की आवश्यकता होती है। चूंकि ऊंचाई किसी भी तरह से गणना को प्रभावित नहीं करती है, हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, आप कोई भी ऊंचाई मान दर्ज कर सकते हैं जो शून्य से अधिक हो। आइए एक दो उदाहरण देखें।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

रूमाल

मान लें कि आपके पास ए-लाइन स्कार्फ है और आप इसे फ्रिंज से ट्रिम करना चाहते हैं। आपको दुपट्टे की परिधि जानने की आवश्यकता होगी ताकि आप अतिरिक्त सामग्री न खरीदें या दो बार स्टोर पर न जाएं। मान लें कि आपके समद्विबाहु स्कार्फ में निम्नलिखित पैरामीटर हैं: ए = 120 सेमी, बी = 60 सेमी, सी = 100 सेमी, डी = 60 सेमी। हम इस डेटा को ऑनलाइन फॉर्म में चलाते हैं और फॉर्म में उत्तर प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, स्कार्फ की परिधि 340 सेमी है, और यह इसकी सजावट के लिए फ्रिंज ब्रेड की लंबाई है।

ढलानों

उदाहरण के लिए, आप गैर-मानक धातु-प्लास्टिक की खिड़कियों के लिए ढलान बनाने का निर्णय लेते हैं जिनमें एक ट्रेपोजॉइडल आकार होता है। ऐसी खिड़कियां इमारतों के डिजाइन में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं, जिससे कई शटर की संरचना बनती है। सबसे अधिक बार, ऐसी खिड़कियां एक आयताकार ट्रेपोजॉइड के रूप में बनाई जाती हैं। आइए जानें कि ऐसी खिड़की के ढलानों को पूरा करने के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होती है। मानक विंडो में निम्नलिखित पैरामीटर हैं ए = 140 सेमी, बी = 20 सेमी, सी = 180 सेमी, डी = 50 सेमी। हम इन आंकड़ों का उपयोग करते हैं और परिणाम फॉर्म में प्राप्त करते हैं

इसलिए, एक ट्रेपोजॉइडल विंडो की परिधि 390 सेमी है, और ढलान बनाने के लिए आपको प्लास्टिक के पैनल खरीदने की कितनी आवश्यकता होगी।

निष्कर्ष

ट्रेपेज़ॉइड एक ऐसा आंकड़ा है जो रोजमर्रा की जिंदगी में लोकप्रिय है, जिसके मापदंडों की परिभाषा सबसे अप्रत्याशित स्थितियों में आवश्यक हो सकती है। कई पेशेवरों के लिए एक ट्रेपोजॉइड द्वारा परिधि की गणना आवश्यक है: इंजीनियरों और वास्तुकारों से लेकर डिजाइनरों और यांत्रिकी तक। ऑनलाइन कैलकुलेटर की हमारी सूची आपको किसी भी ज्यामितीय आकार और ठोस के लिए गणना करने की अनुमति देगी।