ज्यामिति एक सटीक गणितीय विज्ञान है जो स्थानिक और अन्य समान संबंधों और रूपों के अध्ययन से संबंधित है। लेकिन इसे अक्सर "सूखा" कहा जाता है क्योंकि यह कई प्राकृतिक वस्तुओं के आकार का वर्णन करने में सक्षम नहीं है, क्योंकि बादल गोले नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, और बिजली सीधी रेखाओं में यात्रा नहीं करती है। प्रकृति में कई वस्तुएं मानक ज्यामिति की तुलना में आकार में जटिल हैं।

हालांकि, कई आश्चर्यजनक आंकड़े हैं जिनका आमतौर पर स्कूल ज्यामिति पाठों में अध्ययन नहीं किया जाता है, लेकिन वे वास्तविक दुनिया में एक व्यक्ति को घेर लेते हैं: प्रकृति और वास्तुकला, पहेली, कंप्यूटर गेम आदि में।

इस जटिल ज्यामितीय आकृति की मुख्य संपत्ति आत्म-समानता है, अर्थात इसमें कई भाग होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पूरी वस्तु के समान होता है। यह वह गुण है जो फ्रैक्टल को शास्त्रीय (या, जैसा कि वे कहते हैं, यूक्लिडियन) ज्यामिति की वस्तुओं से अलग करता है।

उसी समय, "फ्रैक्टल" शब्द स्वयं गणितीय नहीं है और इसकी कोई स्पष्ट परिभाषा नहीं है, इसलिए इसे उन वस्तुओं पर लागू किया जा सकता है जो स्व-समान या लगभग स्व-समान हैं। इसका आविष्कार 1975 में बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा किया गया था, जो लैटिन शब्द "फ्रैक्टस" (टूटा, कुचला हुआ) उधार ले रहा था।

फ्रैक्टल रूप वास्तविक दुनिया का वर्णन करने के लिए सबसे उपयुक्त हैं और अक्सर प्राकृतिक वस्तुओं में पाए जाते हैं: बर्फ के टुकड़े, पौधे के पत्ते, मानव और पशु रक्त वाहिका प्रणाली।

यह ज्यामिति में सबसे असामान्य 3D आकृतियों में से एक है जिसे घर पर बनाना आसान है। ऐसा करने के लिए, यह एक पेपर स्ट्रिप लेने के लिए पर्याप्त है, जिसकी चौड़ाई इसकी लंबाई से 5-6 गुना कम है, और, एक छोर को 180 ° घुमाकर, उन्हें एक साथ गोंद दें।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो आप स्वयं इसके अद्भुत गुणों की जांच कर सकते हैं:

• केवल एक पक्ष की उपस्थिति (आंतरिक और बाहरी में विभाजन के बिना)। यह जांचना आसान है कि क्या आप इसके किसी एक हिस्से को पेंसिल से पेंट करने का प्रयास करते हैं। पेंटिंग कहां और किस दिशा में शुरू होती है, इसका नतीजा यह होगा कि पूरा रिबन एक ही रंग से भर जाएगा।
• निरंतरता: यदि आप एक पेन से पूरी सतह पर एक रेखा खींचते हैं, तो उसका अंत सतह की सीमाओं को पार किए बिना प्रारंभिक बिंदु से जुड़ जाएगा।
• द्वि-आयामीता (कनेक्टिविटी): मोबियस पट्टी को साथ में काटने पर, यह ठोस रहता है, नए आंकड़े आसानी से प्राप्त होते हैं (उदाहरण के लिए, जब दो में कटौती की जाती है, तो एक बड़ी अंगूठी प्राप्त की जाएगी)।
• अभिविन्यास का अभाव। ऐसी मोबियस पट्टी के साथ यात्रा हमेशा अनंत होगी, यह पथ के शुरुआती बिंदु तक ले जाएगी, केवल दर्पण छवि में।

मोबियस स्ट्रिप का व्यापक रूप से उद्योग और विज्ञान (कन्वेयर बेल्ट, मैट्रिक्स प्रिंटर, शार्पनिंग मैकेनिज्म, आदि) में उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, एक वैज्ञानिक परिकल्पना है जिसके अनुसार ब्रह्मांड स्वयं भी अविश्वसनीय आकार की मोबियस पट्टी है।

पॉलीओमिनो

ये सपाट ज्यामितीय आकृतियाँ हैं जो समान आकार के कई वर्गों को उनके किनारों पर जोड़कर बनाई जाती हैं।

पॉलीओमिनो के नाम उन वर्गों की संख्या पर निर्भर करते हैं जिनसे वे बनते हैं:

• मोनोमिनो - 1;
• डोमिनोइज़ - 2;
• ट्रोमिनो - 3;
• टेट्रामिनो - 4, आदि।

इसी समय, प्रत्येक किस्म के लिए अलग-अलग प्रकार की आकृतियाँ होती हैं: डोमिनोज़ में 1 प्रकार, ट्रोमिनोज़ में 3 प्रकार और हेक्सामिनो (6 वर्गों में से) में 35 प्रकार होते हैं। विभिन्न विविधताओं की संख्या उपयोग किए गए वर्गों की संख्या पर निर्भर करती है, लेकिन कोई भी वैज्ञानिक अभी तक एक अद्भुत सूत्र नहीं खोज पाया है जो इस निर्भरता को व्यक्त कर सके। पॉलीओमिनो के विवरण से, आप दोनों ज्यामितीय आकृतियों और लोगों, जानवरों, वस्तुओं के चित्र बना सकते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ये स्केची सिल्हूट होंगे, वस्तुओं की मुख्य विशेषताएं और आकार उन्हें काफी पहचानने योग्य बनाते हैं।

पॉलियामोंड

पॉलीओमिनो के साथ, एक और अद्भुत ज्यामितीय आकृति है जिसका उपयोग अन्य आकृतियों की रचना के लिए किया जाता है - पॉलीओमिनो। यह एक समान आकार के कई समबाहु त्रिभुजों से बना बहुभुज है।

इस नाम का आविष्कार गणितज्ञ टी. ओ'बैरन ने अंग्रेजी में समचतुर्भुज के नामों में से एक के आधार पर किया था - हीरा, जिसे 2 समबाहु त्रिभुजों से बनाया जा सकता है। सादृश्य से, ओ'बेर्न ने 3 समबाहु त्रिभुजों की एक आकृति को एक ट्रायमंड कहा, 4 में से - एक टेट्रामंड, आदि।

उनके अस्तित्व का मुख्य प्रश्न पॉलीमोंड की संभावित संख्या का प्रश्न बना हुआ है जो एक निश्चित संख्या में त्रिभुजों से बना हो सकता है। वास्तविक जीवन में पॉलीओमिनो का उपयोग करना भी पॉलीओमिनो का उपयोग करने के समान है। यह सभी प्रकार की पहेलियाँ और तार्किक कार्य हो सकते हैं।

रेउलेक्स त्रिभुज

यह सुनने में हैरानी की बात है, लेकिन एक ड्रिल के साथ आप एक चौकोर छेद ड्रिल कर सकते हैं, और रेउलेक्स त्रिकोण इसमें मदद करता है। यह 3 समान वृत्तों के प्रतिच्छेदन से बना एक क्षेत्र है, जिसके केंद्र एक नियमित त्रिभुज के शीर्ष होते हैं और त्रिज्याएँ इसकी भुजा के बराबर होती हैं।

रेउलेक्स त्रिभुज का नाम जर्मन वैज्ञानिक-इंजीनियर के नाम पर रखा गया है, जो 19वीं-20वीं शताब्दी के मोड़ पर इसकी विशेषताओं का सबसे अधिक विस्तार से अध्ययन करने और अपने तंत्र के लिए इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। सदी, हालांकि इसके अद्भुत गुण लियोनार्डो दा विंची तक भी जाने जाते थे। जो कोई भी इसका खोजकर्ता था, आधुनिक दुनिया में इस आंकड़े ने व्यापक रूप से आवेदन किया है:

• वाट्स ड्रिल, जो आपको लगभग पूर्ण चौकोर आकार के छेदों को ड्रिल करने की अनुमति देता है, केवल थोड़े गोल किनारों के साथ;
• वाद्य यंत्र बजाने के लिए आवश्यक मध्यस्थ;
• सिलाई मशीनों के साथ-साथ जर्मन घड़ियों में ज़िगज़ैग सीम बनाने के लिए कैम तंत्र का उपयोग किया जाता है;
• लैंसेट मेहराब वास्तुकला में गोथिक शैली की विशेषता है।

असंभव आंकड़े

तथाकथित असंभव आंकड़े विशेष ध्यान देने योग्य हैं - अद्भुत ऑप्टिकल भ्रम जो पहली नज़र में एक त्रि-आयामी वस्तु का प्रक्षेपण प्रतीत होता है, लेकिन करीब से जांच करने पर, तत्वों के असामान्य संयोजन ध्यान देने योग्य हो जाते हैं। उनमें से सबसे लोकप्रिय हैं:

ट्राइबर, पिता और पुत्र लियोनेल और रोजर पेनरोज़ द्वारा बनाया गया है, जो एक समबाहु त्रिभुज की एक छवि है लेकिन इसमें अजीब पैटर्न हैं। त्रिभुज के शीर्ष बनाने वाली भुजाएँ लंबवत प्रतीत होती हैं, लेकिन नीचे की ओर दाएँ और बाएँ पक्ष भी लंबवत प्रतीत होते हैं। यदि हम इस त्रिभुज के प्रत्येक भाग पर अलग-अलग विचार करें, तब भी कोई उनके अस्तित्व को पहचान सकता है, लेकिन वास्तव में ऐसी आकृति मौजूद नहीं हो सकती, क्योंकि इसके निर्माण के दौरान सही तत्वों को गलत तरीके से जोड़ा गया था।

अनंत सीढ़ी, जिसे पिता और पुत्र पेनरोस द्वारा भी बनाया गया है, इसलिए इसे अक्सर उनके नाम से जाना जाता है - "पेनरोज़ सीढ़ी" और "अनन्त सीढ़ी" भी। पहली नज़र में, यह ऊपर या नीचे जाने वाली एक साधारण सीढ़ी की तरह दिखता है, लेकिन साथ ही, इस पर चलने वाला व्यक्ति लगातार ऊपर (वामावर्त) या उतरता (घड़ी की दिशा में) जाएगा। यदि आप इस तरह की सीढ़ी के साथ नेत्रहीन यात्रा करते हैं, तो "यात्रा" के अंत में, आपकी नज़र पथ के शुरुआती बिंदु पर रुक जाती है। यदि ऐसी सीढ़ी वास्तव में मौजूद थी, तो उसे अनंत बार चढ़ना और उतरना होगा, जिसकी तुलना अंतहीन सिस्फीन श्रम से की जा सकती है।

असंभव त्रिशूल एक अद्भुत वस्तु है, जिसे देखकर यह निर्धारित करना असंभव है कि मध्य शूल कहाँ से शुरू होता है। यह अनुचित कनेक्शन के सिद्धांत पर भी आधारित है, जो केवल 2D में मौजूद हो सकता है, 3D में नहीं। त्रिशूल के हिस्सों को अलग-अलग देखने पर एक तरफ 3 गोल दांत और दूसरी तरफ 2 आयताकार दांत दिखाई देते हैं।

इस प्रकार, आकृति के हिस्से एक तरह के संघर्ष में प्रवेश करते हैं: सबसे पहले, अग्रभूमि और पृष्ठभूमि में परिवर्तन होता है, और दूसरी बात, निचले हिस्से में गोल दांत ऊपरी हिस्से में फ्लैट वाले में बदल जाते हैं।

पाठ विषय

ज्यामितीय आंकड़े

एक ज्यामितीय आकृति क्या है

ज्यामितीय आंकड़े कई बिंदुओं, रेखाओं, सतहों या पिंडों का एक संग्रह है जो एक सतह, समतल या स्थान पर स्थित होते हैं और एक सीमित संख्या में रेखाएँ बनाते हैं।

शब्द "आंकड़ा" कुछ हद तक औपचारिक रूप से बिंदुओं के एक सेट पर लागू होता है, लेकिन एक नियम के रूप में, यह एक ऐसे सेट को कॉल करने के लिए प्रथागत है जो एक विमान पर स्थित होते हैं और सीमित संख्या में लाइनों तक सीमित होते हैं।

बिंदु और रेखा समतल पर स्थित मुख्य ज्यामितीय आकृतियाँ हैं।

समतल पर सरलतम ज्यामितीय आकृतियों में एक खंड, एक किरण और एक टूटी हुई रेखा शामिल है।

ज्यामिति क्या है

ज्यामिति एक गणितीय विज्ञान है जो ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का अध्ययन करता है। यदि शब्द "ज्यामिति" का शाब्दिक रूप से रूसी में अनुवाद किया जाता है, तो इसका अर्थ है "भूमि सर्वेक्षण", क्योंकि प्राचीन काल में ज्यामिति का मुख्य कार्य, एक विज्ञान के रूप में, पृथ्वी की सतह पर दूरियों और क्षेत्रों का मापन था।

ज्यामिति का व्यावहारिक अनुप्रयोग हर समय और पेशे की परवाह किए बिना अमूल्य है। ज्यामिति के ज्ञान के बिना न तो कोई कार्यकर्ता, न इंजीनियर, न ही एक वास्तुकार, और यहां तक ​​कि एक कलाकार भी नहीं कर सकता।

ज्यामिति में, एक ऐसा खंड होता है जो एक समतल पर विभिन्न आकृतियों के अध्ययन से संबंधित होता है और इसे प्लानिमेट्री कहा जाता है।

आप पहले से ही जानते हैं कि एक आकृति समतल पर स्थित बिंदुओं का एक मनमाना समुच्चय है।

ज्यामितीय आंकड़ों में शामिल हैं: एक बिंदु, एक रेखा, एक खंड, एक किरण, एक त्रिकोण, एक वर्ग, एक वृत्त और अन्य आंकड़े जो कि योजनामिति का अध्ययन करते हैं।

दूरसंचार विभाग

ऊपर अध्ययन की गई सामग्री से, आप पहले से ही जानते हैं कि बिंदु मुख्य ज्यामितीय आकृतियों को संदर्भित करता है। और यद्यपि यह सबसे छोटी ज्यामितीय आकृति है, यह एक समतल, ड्राइंग या छवि पर अन्य आकृतियों के निर्माण के लिए आवश्यक है और अन्य सभी निर्माणों का आधार है। आखिरकार, अधिक जटिल ज्यामितीय आकृतियों के निर्माण में किसी दिए गए आंकड़े की विशेषता वाले कई बिंदु होते हैं।

ज्यामिति में, अंक लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, जैसे: ए, बी, सी, डी ....

और अब आइए संक्षेप करें, और इसलिए, गणितीय दृष्टिकोण से, एक बिंदु अंतरिक्ष में एक ऐसी अमूर्त वस्तु है जिसमें आयतन, क्षेत्रफल, लंबाई और अन्य विशेषताएँ नहीं होती हैं, लेकिन यह गणित की मूलभूत अवधारणाओं में से एक है। एक बिंदु एक शून्य-आयामी वस्तु है जिसकी कोई परिभाषा नहीं है। यूक्लिड की परिभाषा के अनुसार, एक बिंदु एक ऐसी चीज है जिसे परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

सीधा

एक बिंदु की तरह, एक रेखा एक ऐसे विमान पर मौजूद आकृतियों को संदर्भित करती है जिसकी कोई परिभाषा नहीं है, क्योंकि इसमें एक रेखा पर स्थित अनंत संख्या में बिंदु होते हैं, जिसका न तो आरंभ होता है और न ही अंत। यह तर्क दिया जा सकता है कि एक सीधी रेखा अनंत होती है और इसकी कोई सीमा नहीं होती है।

यदि एक सीधी रेखा एक बिंदु से शुरू और समाप्त होती है, तो यह अब एक सीधी रेखा नहीं रह जाती है और इसे एक खंड कहा जाता है।

लेकिन कभी-कभी एक सीधी रेखा में एक तरफ बिंदु होता है न कि दूसरी तरफ। इस मामले में, रेखा एक किरण में बदल जाती है।

यदि हम एक सीधी रेखा लें और उसके बीच में एक बिंदु रखें, तो वह सीधी रेखा को दो विपरीत दिशा वाली किरणों में विभाजित कर देगी। ये बीम वैकल्पिक हैं।

यदि आपके सामने कई खंड हैं, तो आपस में जुड़े हुए हैं ताकि पहले खंड का अंत दूसरे खंड की शुरुआत हो, और दूसरे खंड का अंत तीसरे की शुरुआत हो, आदि, और ये खंड नहीं हैं एक ही सीधी रेखा और, जब जुड़ा होता है, तो एक सामान्य बिंदु होता है, तो ऐसी श्रृंखला एक टूटी हुई रेखा होती है।

व्यायाम

कौन सी टूटी हुई रेखा खुली कहलाती है?
एक रेखा कैसे परिभाषित की जाती है?
एक टूटी हुई रेखा का नाम क्या है जिसमें चार बंद लिंक हैं?
तीन बंद कड़ियों वाली टूटी हुई रेखा का क्या नाम है?

जब पॉलीलाइन के अंतिम खंड का अंत पहले खंड की शुरुआत के साथ मेल खाता है, तो ऐसी टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है। बंद पॉलीलाइन का एक उदाहरण कोई बहुभुज है।

विमान

एक बिंदु और एक सीधी रेखा की तरह, इसलिए विमान एक प्राथमिक अवधारणा है, इसकी कोई परिभाषा नहीं है, और इसे न तो शुरुआत या अंत के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, एक विमान पर विचार करते समय, हम उसके केवल उस हिस्से पर विचार करते हैं, जो एक बंद टूटी हुई रेखा द्वारा सीमित है। इस प्रकार, किसी भी चिकनी सतह को एक समतल माना जा सकता है। यह सतह कागज का एक टुकड़ा या एक मेज हो सकती है।

इंजेक्शन

एक आकृति जिसमें दो किरणें और एक शीर्ष होता है, कोण कहलाता है। किरणों का जंक्शन इस कोण का शीर्ष है, और इस कोण को बनाने वाली किरणें इसकी भुजाएँ मानी जाती हैं।

व्यायाम:

1. पाठ में कोण कैसे दर्शाया गया है?
2. कोण को कौन सी इकाइयाँ माप सकती हैं?
3. कोण क्या हैं?

चतुर्भुज

एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर होती हैं।

आयत, वर्ग और समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं।

एक समांतर चतुर्भुज जिसका समकोण 90 डिग्री के बराबर होता है, एक आयत होता है।

एक वर्ग एक ही समांतर चतुर्भुज होता है, और इसके कोण और भुजाएँ बराबर होती हैं।

जहाँ तक समचतुर्भुज की परिभाषा का प्रश्न है, यह एक ऐसी ज्यामितीय आकृति है, जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं।

इसके अलावा, आपको पता होना चाहिए कि कोई भी वर्ग एक समचतुर्भुज होता है, लेकिन प्रत्येक समचतुर्भुज एक वर्ग नहीं हो सकता।

ट्रापेज़

इस तरह के एक ज्यामितीय आकृति को एक समलम्बाकार के रूप में देखते समय, हम कह सकते हैं कि, विशेष रूप से, यह, एक चतुर्भुज की तरह, समानांतर विपरीत पक्षों की एक जोड़ी है और वक्रतापूर्ण है।

सर्कल और सर्कल

एक वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर एक समतल में बिंदुओं का एक स्थान होता है, जिसे केंद्र कहा जाता है, एक दी गई गैर-शून्य दूरी पर, जिसे इसकी त्रिज्या कहा जाता है।

त्रिकोण

जिस त्रिभुज का आप पहले से अध्ययन कर रहे हैं वह भी सरल ज्यामितीय आकृतियों का है। यह बहुभुज के प्रकारों में से एक है, जिसमें विमान का हिस्सा तीन बिंदुओं और तीन खंडों द्वारा सीमित होता है जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। किसी भी त्रिभुज में तीन शीर्ष और तीन भुजाएँ होती हैं।

व्यायाम:किस त्रिभुज को पतित कहा जाता है?

बहुभुज

बहुभुज में विभिन्न आकृतियों की ज्यामितीय आकृतियाँ शामिल होती हैं जिनमें एक बंद टूटी हुई रेखा होती है।

एक बहुभुज में, खंडों को जोड़ने वाले सभी बिंदु इसके शीर्ष होते हैं। और जो खंड बहुभुज बनाते हैं, वे इसकी भुजाएँ हैं।

क्या आप जानते हैं कि ज्यामिति का उद्भव सदियों पीछे चला जाता है और विभिन्न शिल्पों, संस्कृति, कला और आसपास की दुनिया के अवलोकन के विकास से जुड़ा है। हाँ, और ज्यामितीय आकृतियों का नाम इस बात की पुष्टि करता है, क्योंकि उनके शब्द ऐसे ही नहीं, बल्कि उनकी समानता और समानता के कारण उत्पन्न हुए थे।

आखिरकार, प्राचीन ग्रीक भाषा से "ट्रेपेज़ियन" शब्द के अनुवाद में "ट्रैपेज़" शब्द का अर्थ है एक टेबल, एक भोजन और अन्य व्युत्पन्न शब्द।

"शंकु" ग्रीक शब्द "कोनोस" से आया है, जो अनुवाद में पाइन शंकु की तरह लगता है।

"लाइन" की लैटिन जड़ें हैं और यह "लिनम" शब्द से आया है, अनुवाद में यह एक सनी के धागे की तरह लगता है।

क्या आप जानते हैं कि यदि आप समान परिधि के साथ ज्यामितीय आंकड़े लेते हैं, तो उनमें से सबसे बड़े क्षेत्र का स्वामी एक वृत्त था।

ज्यामितीय आंकड़े एक विमान या अंतरिक्ष में बिंदुओं के बंद सेट होते हैं, जो एक सीमित संख्या में रेखाओं द्वारा सीमित होते हैं। वे रैखिक (1D), तलीय (2D) या स्थानिक (3D) हो सकते हैं।

कोई भी शरीर जिसका आकार होता है वह ज्यामितीय आकृतियों का संग्रह होता है।

जटिलता की विभिन्न डिग्री के गणितीय सूत्र द्वारा किसी भी आकृति का वर्णन किया जा सकता है। एक साधारण गणितीय व्यंजक से शुरू होकर गणितीय व्यंजकों की एक शृंखला के योग तक।

ज्यामितीय आकृतियों के मुख्य गणितीय पैरामीटर त्रिज्या, भुजाओं या फलकों की लंबाई और उनके बीच के कोण हैं।

नीचे मुख्य ज्यामितीय आकार दिए गए हैं जिनका उपयोग आमतौर पर लागू गणनाओं, सूत्रों और गणना कार्यक्रमों के लिंक में किया जाता है।

रैखिक ज्यामितीय आकार

1. बिंदु

एक बिंदु एक माप का आधार वस्तु है। किसी बिंदु की मुख्य और एकमात्र गणितीय विशेषता उसका निर्देशांक है।

2. रेखा

एक रेखा एक पतली स्थानिक वस्तु है जिसकी एक सीमित लंबाई होती है और एक दूसरे से जुड़े बिंदुओं की एक श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है। किसी रेखा की मुख्य गणितीय विशेषता उसकी लंबाई है।

किरण एक पतली स्थानिक वस्तु है जिसकी अनंत लंबाई होती है और यह एक दूसरे से जुड़े बिंदुओं की एक श्रृंखला होती है। एक किरण की मुख्य गणितीय विशेषताएं इसकी शुरुआत और दिशा के निर्देशांक हैं।

फ्लैट ज्यामितीय आकार

1. सर्कल

एक वृत्त एक समतल पर बिंदुओं का एक स्थान है, जिससे उसके केंद्र की दूरी एक दी गई संख्या से अधिक नहीं होती है, जिसे इस वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है। एक वृत्त की मुख्य गणितीय विशेषता त्रिज्या है।

2. स्क्वायर

वर्ग एक चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण और सभी भुजाएँ समान होती हैं। एक वर्ग की मुख्य गणितीय विशेषता उसकी भुजा की लंबाई है।

3. आयत

एक आयत एक चतुर्भुज होता है जिसके सभी कोण 90 डिग्री (समकोण) के बराबर होते हैं। एक आयत की मुख्य गणितीय विशेषताएँ उसकी भुजाओं की लंबाई हैं।

4. त्रिभुज

त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन खंडों से बनी होती है जो तीन बिंदुओं (एक त्रिभुज के शीर्ष) को जोड़ती है जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिभुज की मुख्य गणितीय विशेषताएँ भुजाओं की लंबाई और ऊँचाई हैं।

5. ट्रेपेज़

समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं। एक ट्रेपोजॉइड की मुख्य गणितीय विशेषताएं पक्षों की लंबाई और ऊंचाई हैं।

6. समांतर चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। समांतर चतुर्भुज की मुख्य गणितीय विशेषताएं इसके पक्षों की लंबाई और इसकी ऊंचाई हैं।

एक समचतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएँ और इसके शीर्षों के कोण 90 डिग्री के बराबर नहीं होते हैं। एक समचतुर्भुज की मुख्य गणितीय विशेषताएँ इसकी भुजा की लंबाई और ऊँचाई हैं।

8. दीर्घवृत्त

एक अंडाकार एक विमान पर एक बंद वक्र है, जिसे एक विमान पर एक सिलेंडर सर्कल के एक खंड के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के रूप में दर्शाया जा सकता है। किसी वृत्त की मुख्य गणितीय विशेषताएँ उसके अर्ध-अक्षों की लंबाई होती हैं।

वॉल्यूमेट्रिक ज्यामितीय आकार

1. बॉल

गेंद एक ज्यामितीय पिंड है, जो अपने केंद्र से एक निश्चित दूरी पर स्थित अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं का एक संग्रह है। गेंद की मुख्य गणितीय विशेषता इसकी त्रिज्या है।

एक गोला एक ज्यामितीय निकाय का एक खोल होता है, जो अपने केंद्र से एक निश्चित दूरी पर स्थित अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं का संग्रह होता है। किसी गोले की मुख्य गणितीय विशेषता उसकी त्रिज्या है।

घन एक ज्यामितीय निकाय है, जो एक नियमित बहुफलक है, जिसका प्रत्येक फलक एक वर्ग है। घन की मुख्य गणितीय विशेषता इसके किनारे की लंबाई है।

4. समानांतरपिंड

एक समानांतर चतुर्भुज एक ज्यामितीय निकाय है, जो छह चेहरों वाला एक पॉलीहेड्रॉन है और उनमें से प्रत्येक एक आयत है। समानांतर चतुर्भुज की मुख्य गणितीय विशेषताएं इसके किनारों की लंबाई हैं।

5. प्रिज्म

एक प्रिज्म एक बहुफलक है जिसके दो फलक समान बहुभुज होते हैं जो समानांतर तलों में स्थित होते हैं, और शेष फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं जिनकी इन बहुभुजों के साथ उभयनिष्ठ भुजाएँ होती हैं। प्रिज्म की मुख्य गणितीय विशेषताएं आधार क्षेत्र और ऊंचाई हैं।

शंकु एक ज्यामितीय आकृति है जो एक शंकु के एक शीर्ष से निकलने वाली और एक सपाट सतह से गुजरने वाली सभी किरणों के मिलन से प्राप्त होती है। एक शंकु की मुख्य गणितीय विशेषताएँ आधार की त्रिज्या और ऊँचाई हैं।

7. पिरामिड

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसका आधार एक मनमाना बहुभुज होता है, और पार्श्व फलक त्रिभुज होते हैं जिनमें एक सामान्य शीर्ष होता है। पिरामिड की मुख्य गणितीय विशेषताएं आधार क्षेत्र और ऊंचाई हैं।

8. सिलेंडर

एक सिलेंडर एक ज्यामितीय आकृति है जो एक बेलनाकार सतह से घिरा होता है और दो समानांतर विमान इसे प्रतिच्छेद करते हैं। एक बेलन की मुख्य गणितीय विशेषताएँ आधार की त्रिज्या और ऊँचाई हैं।

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इस पृष्ठ में सभी ज्यामितीय आकार शामिल हैं जो किसी विमान या अंतरिक्ष में किसी वस्तु या उसके हिस्से का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्सर ज्यामिति में पाए जाते हैं।

अनंत रूप हैं। आकार किसी वस्तु की बाहरी रूपरेखा है।

रूपों का अध्ययन बचपन से ही शुरू किया जा सकता है, जो आपके बच्चे का ध्यान हमारे आसपास की दुनिया की ओर आकर्षित करता है, जिसमें आंकड़े होते हैं (एक प्लेट गोल है, एक टीवी आयताकार है)।

दो साल की उम्र से, बच्चे को तीन सरल आकृतियों को जानना चाहिए - एक वृत्त, एक वर्ग, एक त्रिकोण।सबसे पहले, जब आप इसके लिए पूछें तो उसे उन्हें दिखाना चाहिए। और तीन साल की उम्र में, उन्हें पहले से ही स्वतंत्र रूप से कॉल करें और एक अंडाकार से एक सर्कल, एक आयत से एक वर्ग को अलग करें।

बच्चे द्वारा रूपों को ठीक करने के लिए जितना अधिक अभ्यास किया जाएगा, उतने ही नए आंकड़े उसे याद रहेंगे।

भविष्य के प्रथम-ग्रेडर को सभी सरल ज्यामितीय आकृतियों को जानना चाहिए और उनसे आवेदन करने में सक्षम होना चाहिए।

ज्यामितीय आकृति को हम क्या कहते हैं?

एक ज्यामितीय आकृति एक मानक है जिसके द्वारा आप किसी वस्तु या उसके भागों के आकार का निर्धारण कर सकते हैं।

आंकड़े दो समूहों में विभाजित हैं: फ्लैट आंकड़े, त्रि-आयामी आंकड़े।

हम समतल आकृतियों को वे आकृतियाँ कहते हैं जो एक ही तल में स्थित होती हैं। इनमें वृत्त, अंडाकार, त्रिभुज, चतुर्भुज (आयत, वर्ग, समलम्ब, समचतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज) और सभी प्रकार के बहुभुज शामिल हैं।

वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों में शामिल हैं: गोलाकार, घन, सिलेंडर, शंकु, पिरामिड। ये ऐसी आकृतियाँ हैं जिनमें ऊँचाई, चौड़ाई और गहराई होती है।

ज्यामितीय आकृतियों की व्याख्या करते समय दो सरल युक्तियों का पालन करें:

1. धीरज। वयस्कों के लिए हमें जो सरल और तार्किक लगता है, वह एक बच्चे के लिए बस समझ से बाहर होगा।
2. अपने बच्चे के साथ आकृतियाँ बनाने का प्रयास करें।
3. एक खेल। चंचल तरीके से आकृतियों को सीखना शुरू करें। समतल आकृतियों को ठीक करने और उनका अध्ययन करने के लिए अच्छे अभ्यास ज्यामितीय आकृतियों के अनुप्रयोग हैं। वॉल्यूमेट्रिक लोगों के लिए, आप तैयार किए गए खरीदे गए गेम का उपयोग कर सकते हैं, साथ ही ऐसे एप्लिकेशन भी चुन सकते हैं जहां आप त्रि-आयामी आकार को काट और गोंद कर सकते हैं।

ज्यामितीय आंकड़े बिंदुओं, रेखाओं, ठोसों या सतहों का एक समूह होते हैं। ये तत्व समतल और अंतरिक्ष दोनों में स्थित हो सकते हैं, जिससे एक सीमित संख्या में रेखाएँ बन सकती हैं।

"आकृति" शब्द का अर्थ है बिंदुओं के कई सेट। उन्हें एक या एक से अधिक विमानों पर स्थित होना चाहिए और साथ ही साथ एक विशिष्ट संख्या में पूर्ण लाइनों तक सीमित होना चाहिए।

मुख्य ज्यामितीय आंकड़े बिंदु और रेखा हैं। वे सपाट हैं। उनके अलावा, साधारण आकृतियों में, एक किरण, एक टूटी हुई रेखा और एक खंड को प्रतिष्ठित किया जाता है।

दूरसंचार विभाग

यह ज्यामिति के मुख्य आंकड़ों में से एक है। यह बहुत छोटा है, लेकिन इसका उपयोग हमेशा एक विमान पर विभिन्न रूपों को बनाने के लिए किया जाता है। बिंदु बिल्कुल सभी निर्माणों के लिए मुख्य आंकड़ा है, यहां तक ​​​​कि उच्चतम जटिलता भी। ज्यामिति में, इसे आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, ए, बी, के, एल।

गणित के दृष्टिकोण से, बिंदु एक अमूर्त स्थानिक वस्तु है जिसमें क्षेत्र, आयतन जैसी विशेषताएं नहीं होती हैं, लेकिन साथ ही ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा बनी रहती है। इस शून्य-आयामी वस्तु की कोई परिभाषा नहीं है।

सीधा

यह आंकड़ा पूरी तरह से एक विमान में रखा गया है। सीधी रेखा की कोई विशिष्ट गणितीय परिभाषा नहीं होती है, क्योंकि इसमें एक अंतहीन रेखा पर स्थित बड़ी संख्या में बिंदु होते हैं, जिनकी कोई सीमा और सीमा नहीं होती है।

एक कट भी है। यह भी एक सीधी रेखा है, लेकिन यह एक बिंदु से शुरू और समाप्त होती है, जिसका अर्थ है कि इसमें ज्यामितीय प्रतिबंध हैं।

इसके अलावा, रेखा एक दिशात्मक बीम में बदल सकती है। यह तब होता है जब रेखा एक बिंदु से शुरू होती है, लेकिन उसका स्पष्ट अंत नहीं होता है। यदि आप रेखा के बीच में एक बिंदु डालते हैं, तो यह दो किरणों (अतिरिक्त) में विभाजित हो जाएगा, इसके अलावा, एक दूसरे के विपरीत दिशा में।

कई खंड जो एक ही बिंदु पर एक दूसरे से क्रमिक रूप से जुड़े होते हैं और एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं होते हैं, आमतौर पर टूटी हुई रेखा कहलाते हैं।

इंजेक्शन

ज्यामितीय आकार, जिनके नामों पर हमने ऊपर चर्चा की, को अधिक जटिल मॉडल के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले प्रमुख तत्व माना जाता है।

कोण एक निर्माण है जिसमें एक शीर्ष और उससे निकलने वाली दो किरणें होती हैं। यानी इस आकृति की भुजाएँ एक बिंदु पर जुड़ी हुई हैं।

विमान

एक अन्य प्राथमिक अवधारणा पर विचार करें। समतल एक ऐसी आकृति है जिसका न तो अंत है और न ही शुरुआत, साथ ही एक सीधी रेखा और एक बिंदु भी है। इस ज्यामितीय तत्व पर विचार करते समय, इसका केवल एक हिस्सा, एक टूटी हुई बंद रेखा की आकृति द्वारा सीमित, को ध्यान में रखा जाता है।

किसी भी चिकनी बंधी हुई सतह को समतल माना जा सकता है। यह एक इस्त्री बोर्ड, कागज की एक शीट या एक दरवाजा भी हो सकता है।

चतुर्भुजों

एक समांतर चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़े में एक दूसरे के समानांतर होती हैं। इस डिजाइन के निजी प्रकारों में, एक समचतुर्भुज, एक आयत और एक वर्ग प्रतिष्ठित हैं।

आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएँ समकोण पर स्पर्श करती हैं।

एक वर्ग एक चतुर्भुज है जिसमें समान भुजाएँ और कोण होते हैं।

समचतुर्भुज एक ऐसी आकृति है जिसमें सभी फलक समान होते हैं। इस मामले में, कोण पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं, लेकिन जोड़े में। प्रत्येक वर्ग को एक समचतुर्भुज माना जाता है। लेकिन विपरीत दिशा में यह नियम हमेशा काम नहीं करता। प्रत्येक समचतुर्भुज एक वर्ग नहीं होता है।

ट्रापेज़

ज्यामितीय आकार पूरी तरह से अलग और विचित्र हैं। उनमें से प्रत्येक का एक अनूठा आकार और गुण है।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक आकृति है जो कुछ हद तक एक चतुर्भुज के समान है। इसकी दो समानांतर विपरीत भुजाएँ हैं और इसे वक्राकार माना जाता है।

एक क्षेत्र में

यह ज्यामितीय आकृति अपने केंद्र से समान दूरी के बिंदुओं के एक ही तल पर स्थित स्थान को दर्शाती है। इस मामले में, दिए गए गैर-शून्य खंड को आमतौर पर त्रिज्या कहा जाता है।

त्रिकोण

यह एक साधारण ज्यामितीय आकृति है जिसका अक्सर सामना किया जाता है और अध्ययन किया जाता है।

एक त्रिभुज को एक बहुभुज की उप-प्रजाति माना जाता है, जो एक ही तल पर स्थित होता है और तीन फलकों और संपर्क के तीन बिंदुओं द्वारा सीमित होता है। ये तत्व जोड़े में जुड़े हुए हैं।

बहुभुज

बहुभुज के शीर्ष खंडों को जोड़ने वाले बिंदु हैं। और बाद में, बदले में, पार्टियों के रूप में माना जाता है।

वॉल्यूमेट्रिक ज्यामितीय आकार

• प्रिज्म;
• वृत्त;
• शंकु;
• सिलेंडर;
• पिरामिड;

इन निकायों में कुछ समान है। वे सभी एक बंद सतह तक सीमित हैं, जिसके अंदर कई बिंदु हैं।

वॉल्यूमेट्रिक निकायों का अध्ययन न केवल ज्यामिति में किया जाता है, बल्कि क्रिस्टलोग्राफी में भी किया जाता है।

जिज्ञासु तथ्य

निश्चित रूप से आप नीचे दी गई जानकारी को पढ़ने के लिए इच्छुक होंगे।

• ज्यामिति का निर्माण प्राचीन काल में एक विज्ञान के रूप में हुआ था। यह घटना आमतौर पर कला और विभिन्न शिल्पों के विकास से जुड़ी होती है। और ज्यामितीय आकृतियों के नाम समानता और समानता को निर्धारित करने के सिद्धांतों के उपयोग का संकेत देते हैं।
• प्राचीन ग्रीक से अनुवादित, "ट्रेपेज़ॉइड" शब्द का अर्थ भोजन के लिए एक मेज है।
• यदि आप अलग-अलग आंकड़े लेते हैं जिनकी परिधि समान है, तो वृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होने की गारंटी है।
• ग्रीक से अनुवादित, "शंकु" शब्द का अर्थ पाइन शंकु है।
• काज़ेमिर मालेविच की एक प्रसिद्ध पेंटिंग है, जिसने पिछली शताब्दी से कई चित्रकारों का ध्यान आकर्षित किया है। "ब्लैक स्क्वायर" का काम हमेशा रहस्यमय और रहस्यमय रहा है। एक सफेद कैनवास पर ज्यामितीय आकृति एक ही समय में प्रसन्न और चकित करती है।

बड़ी संख्या में ज्यामितीय आकार हैं। वे सभी मापदंडों में भिन्न होते हैं, और कभी-कभी रूपों से आश्चर्यचकित भी होते हैं।