वीडियो कोर्स "गेट ए ए" में गणित में परीक्षा में 60-65 अंकों के सफल उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। पूरी तरह से सभी कार्य 1-13 प्रोफ़ाइल के गणित में उपयोग करें। गणित में बेसिक USE पास करने के लिए भी उपयुक्त है। यदि आप 90-100 अंकों के साथ परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और बिना किसी गलती के हल करना होगा!

कक्षा 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा पर 70 से अधिक अंक है, और न तो सौ अंकों का छात्र और न ही कोई मानवतावादी उनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत। परीक्षा के त्वरित समाधान, जाल और रहस्य। बैंक ऑफ FIPI के भाग 1 के सभी प्रासंगिक कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से USE-2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक में 2.5 घंटे। प्रत्येक विषय खरोंच से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों परीक्षा कार्य। पाठ समस्याएं और संभाव्यता सिद्धांत। सरल और याद रखने में आसान समस्या समाधान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के USE कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। हल करने के लिए चालाक तरकीबें, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से त्रिकोणमिति - कार्य करने के लिए 13. रटना के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की दृश्य व्याख्या। बीजगणित। जड़ें, शक्तियां और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। परीक्षा के दूसरे भाग की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

प्रिज्म का आयतन। समस्या को सुलझाना

ज्यामिति हमारे मानसिक संकायों के शोधन के लिए सबसे शक्तिशाली उपकरण है और हमें सही ढंग से सोचने और तर्क करने में सक्षम बनाती है।

जी गैलीलियो

पाठ का उद्देश्य:

• प्रिज्म की मात्रा की गणना के लिए समस्याओं को हल करना सिखाने के लिए, छात्रों के पास प्रिज्म और उसके तत्वों के बारे में जानकारी को सारांशित और व्यवस्थित करने के लिए, बढ़ी हुई जटिलता की समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाने के लिए;
• तार्किक सोच, स्वतंत्र रूप से काम करने की क्षमता, आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल, बोलने और सुनने की क्षमता विकसित करना;
• निरंतर रोजगार की आदत विकसित करना, कुछ उपयोगी कार्य, जवाबदेही की शिक्षा, परिश्रम, सटीकता।

पाठ का प्रकार: ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के अनुप्रयोग में एक पाठ।

उपकरण: नियंत्रण कार्ड, मीडिया प्रोजेक्टर, प्रस्तुति "पाठ। प्रिज्म वॉल्यूम", कंप्यूटर।

कक्षाओं के दौरान

• प्रिज्म की पार्श्व पसलियाँ (चित्र 2)।
• प्रिज्म की पार्श्व सतह (चित्र 2, चित्र 5)।
• प्रिज्म की ऊंचाई (चित्र 3, चित्र 4)।
• प्रत्यक्ष प्रिज्म (चित्र। 2,3,4)।
• झुका हुआ प्रिज्म (चित्र 5)।
• सही प्रिज्म (चित्र 2, चित्र 3)।
• प्रिज्म का विकर्ण खंड (चित्र 2)।
• प्रिज्म विकर्ण (चित्र 2)।
• प्रिज्म का लंबवत खंड (pi3, fig4)।
• प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल।
• प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
• प्रिज्म का आयतन।

1. होमवर्क की जाँच करें (8 मिनट)

नोटबुक्स का आदान-प्रदान, स्लाइड्स पर समाधान की जांच करें और चिह्न को चिह्नित करें (यदि कार्य बना है तो 10 चिह्नित करें)

एक समस्या बनाएं और उसे हल करें। छात्र उस समस्या का बचाव करता है जिसे उसने ब्लैकबोर्ड पर संकलित किया है। चित्र 6 और चित्र 7।





अध्याय 2, 3
कार्य.2. एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है। प्रिज्म का आयतन परिकलित करें यदि इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल सेमी 2 है (चित्र 8)



अध्याय 2, 3
कार्य 5. सीधे प्रिज्म ABCA 1B 1C1 का आधार एक समकोण त्रिभुज ABC (कोण ABC=90°), AB=4cm है। प्रिज्म के आयतन की गणना करें यदि परिबद्ध त्रिभुज ABC की त्रिज्या 2.5cm है ​​और प्रिज्म की ऊंचाई 10cm है। (चित्र 9)।



अध्याय 2, 3
समस्या 29. एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आधार की भुजा की लंबाई 3 सेमी है। प्रिज्म का विकर्ण पार्श्व फलक के तल से 30° का कोण बनाता है। प्रिज्म के आयतन की गणना करें (चित्र 10)।



2. कक्षा के साथ शिक्षक का संयुक्त कार्य (2-3 मिनट)।

उद्देश्य: सैद्धांतिक वार्म-अप के परिणामों को सारांशित करना (छात्र एक-दूसरे को अंक देते हैं), विषय पर समस्याओं को हल करना सीखना।

3. शारीरिक मिनट (3 मिनट)
4. समस्या समाधान (10 मिनट)

इस स्तर पर, शिक्षक प्लैनिमेट्रिक समस्याओं, प्लानिमेट्री फ़ार्मुलों को हल करने के तरीकों की पुनरावृत्ति पर ललाट कार्य का आयोजन करता है। कक्षा को दो समूहों में बांटा गया है, कुछ समस्याओं का समाधान करते हैं, अन्य कंप्यूटर पर काम करते हैं। फिर वे बदल जाते हैं। छात्रों को सभी नंबर 8 (मौखिक रूप से), नंबर 9 (मौखिक रूप से) हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है। समस्या संख्या 14, संख्या 30, संख्या 32 को हल करने के लिए समूहों और उल्लंघनों में विभाजित होने के बाद।

अध्याय 2, 3, पृष्ठ 66-67

समस्या 8. एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं। प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए यदि निचले आधार के किनारे और ऊपरी आधार की भुजा के मध्य से गुजरने वाले तल का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल सेमी है (चित्र 11)।



अध्याय 2, 3, पृष्ठ 66-67
समस्या 9. एक सीधे प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, और इसके किनारे आधार के दोगुने हैं। प्रिज्म के आयतन की गणना करें यदि आधार के किनारे से गुजरने वाले एक विमान द्वारा प्रिज्म के खंड के पास वृत्त की त्रिज्या और विपरीत पक्ष के किनारे के मध्य के बराबर है (चित्र 12)



अध्याय 2, 3, पृष्ठ 66-67
टास्क 14एक सीधे प्रिज्म का आधार एक समचतुर्भुज होता है, जिसका एक विकर्ण उसकी भुजा के बराबर होता है। निचले आधार के बड़े विकर्ण से गुजरने वाले समतल द्वारा खंड की परिधि की गणना करें, यदि प्रिज्म का आयतन समान है और सभी पक्ष फलक वर्गाकार हैं (चित्र 13)।



अध्याय 2, 3, पृष्ठ 66-67
समस्या 30.ABCA 1 B 1 C 1 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म है, जिसके सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, किनारे के बीच का बिंदु BB 1 है। AOS तल द्वारा प्रिज्म के खंड में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना करें, यदि प्रिज्म का आयतन बराबर है (चित्र 14)।



अध्याय 2, 3, पृष्ठ 66-67
समस्या 32एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म में, आधारों के क्षेत्रफलों का योग पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के बराबर होता है। प्रिज्म के आयतन की गणना करें यदि निचले आधार के दो शीर्षों और ऊपरी आधार के विपरीत शीर्ष से गुजरने वाले तल द्वारा प्रिज्म के खंड के पास परिचालित वृत्त का व्यास 6 सेमी (चित्र 15) है।



समस्याओं को हल करते समय, छात्र अपने उत्तरों की तुलना शिक्षक द्वारा दिखाए गए उत्तरों से करते हैं। यह विस्तृत टिप्पणियों के साथ समस्या को हल करने का एक उदाहरण है ... "मजबूत" छात्रों के साथ एक शिक्षक का व्यक्तिगत कार्य (10 मिनट।)।

5. कंप्यूटर पर परीक्षण पर छात्रों का स्वतंत्र कार्य

1. एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार की भुजा है, और ऊँचाई 5 है। प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए।

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. सही कथन चुनें।

1) एक सम प्रिज्म का आयतन, जिसका आधार एक समकोण त्रिभुज है, आधार क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

2) एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के आयतन की गणना सूत्र V \u003d 0.25a 2 h द्वारा की जाती है - जहाँ a आधार का पक्ष है, h प्रिज्म की ऊँचाई है।

3) एक सीधे प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

4) एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आयतन की गणना सूत्र V \u003d a 2 h द्वारा की जाती है-जहाँ a आधार की भुजा है, h प्रिज्म की ऊँचाई है।

5) एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म के आयतन की गणना सूत्र V \u003d 1.5a 2 h द्वारा की जाती है, जहाँ a आधार का पक्ष है, h प्रिज्म की ऊँचाई है।

3. एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार की भुजा किसके बराबर होती है। निचले आधार के किनारे और ऊपरी आधार के विपरीत शीर्ष के माध्यम से एक विमान खींचा जाता है, जो आधार से 45 डिग्री के कोण पर गुजरता है। प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए।

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. एक सीधे प्रिज्म का आधार एक समचतुर्भुज है, जिसकी भुजा 13 है और एक विकर्ण 24 है। प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए यदि पार्श्व फलक का विकर्ण 14 है।

ठोस ज्यामिति के पाठ्यक्रम के लिए स्कूली पाठ्यक्रम में, त्रि-आयामी आकृतियों का अध्ययन आमतौर पर एक साधारण ज्यामितीय निकाय - एक प्रिज्म पॉलीहेड्रॉन से शुरू होता है। इसके आधारों की भूमिका समांतर तलों में पड़े 2 समान बहुभुजों द्वारा निभाई जाती है। एक विशेष मामला एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है। इसके आधार 2 समान नियमित चतुर्भुज होते हैं, जिनकी भुजाएँ लंबवत होती हैं, जिनमें समांतर चतुर्भुज का आकार होता है (या यदि प्रिज्म झुका हुआ नहीं है तो आयत)।

प्रिज्म कैसा दिखता है

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म एक षट्भुज होता है, जिसके आधार पर 2 वर्ग होते हैं, और पार्श्व फलकों को आयतों द्वारा दर्शाया जाता है। इस ज्यामितीय आकृति का दूसरा नाम एक सीधी समानांतर चतुर्भुज है।

एक चतुर्भुज प्रिज्म को दर्शाने वाला चित्र नीचे दिखाया गया है।

आप भी तस्वीर में देख सकते हैं सबसे महत्वपूर्ण तत्व जो एक ज्यामितीय निकाय बनाते हैं. उन्हें आमतौर पर कहा जाता है:

कभी-कभी ज्यामिति की समस्याओं में आप एक खंड की अवधारणा पा सकते हैं। परिभाषा इस तरह सुनाई देगी: एक खंड एक वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के सभी बिंदु हैं जो काटने वाले विमान से संबंधित हैं। खंड लंबवत है (आकृति के किनारों को 90 डिग्री के कोण पर पार करता है)। एक आयताकार प्रिज्म के लिए, 2 किनारों और आधार के विकर्णों से गुजरते हुए एक विकर्ण खंड पर भी विचार किया जाता है (अधिकतम वर्गों का निर्माण किया जा सकता है 2)।

यदि खंड को इस तरह से खींचा जाता है कि काटने वाला विमान या तो आधारों या साइड चेहरों के समानांतर नहीं होता है, तो परिणाम एक छोटा प्रिज्म होता है।

कम किए गए प्रिज्मीय तत्वों को खोजने के लिए विभिन्न अनुपातों और सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उनमें से कुछ को प्लानिमेट्री के पाठ्यक्रम से जाना जाता है (उदाहरण के लिए, एक प्रिज्म के आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए, यह एक वर्ग के क्षेत्र के लिए सूत्र को याद करने के लिए पर्याप्त है)।

सतह क्षेत्र और मात्रा

सूत्र का उपयोग करके प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा:

वी = स्प्रिम एच

चूँकि एक नियमित चतुष्फलकीय प्रिज्म का आधार भुजा वाला एक वर्ग है ए,आप सूत्र को अधिक विस्तृत रूप में लिख सकते हैं:

वी = ए² एच

यदि हम एक घन के बारे में बात कर रहे हैं - समान लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाला एक नियमित प्रिज्म, तो आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है:

यह समझने के लिए कि किसी प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको इसके स्वीप की कल्पना करने की आवश्यकता है।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह 4 समान आयतों से बनी है। इसके क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और आकृति की ऊंचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है:

साइड = पॉज़ एच

चूँकि एक वर्ग का परिमाप है पी = 4ए,सूत्र रूप लेता है:

साइड = 4a h

घन के लिए:

साइड = 4a²

प्रिज्म के कुल सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, पार्श्व क्षेत्र में 2 आधार क्षेत्र जोड़ें:

सफुल = साइड + 2Sbase

जैसा कि एक चतुर्भुज नियमित प्रिज्म पर लागू होता है, सूत्र का रूप होता है:

पूर्ण = 4a h + 2a²

घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए:

पूर्ण = 6a²

आयतन या सतह क्षेत्र को जानकर, आप एक ज्यामितीय निकाय के अलग-अलग तत्वों की गणना कर सकते हैं।

प्रिज्म तत्व ढूँढना

अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें वॉल्यूम दिया जाता है या पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य ज्ञात होता है, जहां आधार के किनारे की लंबाई या ऊंचाई निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसे मामलों में, सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं:

• आधार पक्ष लंबाई: ए = साइड / 4 एच = (वी / एच);
• ऊंचाई या साइड रिब लंबाई: एच = साइड / 4 ए = वी / ए²;
• आधार क्षेत्र: स्प्रिम = वी / एच;
• पार्श्व चेहरा क्षेत्र: पक्ष जीआर = साइड / 4।

यह निर्धारित करने के लिए कि एक विकर्ण खंड का क्षेत्रफल कितना है, आपको विकर्ण की लंबाई और आकृति की ऊंचाई जानने की आवश्यकता है। एक वर्ग के लिए डी = ए√2।इसलिए:

सदियग = आह√2

प्रिज्म के विकर्ण की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

dprize = (2a² + h²)

यह समझने के लिए कि उपरोक्त अनुपातों को कैसे लागू किया जाए, आप कुछ सरल कार्यों का अभ्यास और समाधान कर सकते हैं।

समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण

गणित में राज्य की अंतिम परीक्षा में आने वाले कुछ कार्य यहां दिए गए हैं।

अभ्यास 1।

रेत को एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आकार के डिब्बे में डाला जाता है। इसके स्तर की ऊंचाई 10 सेमी है। यदि आप इसे उसी आकार के कंटेनर में ले जाते हैं, लेकिन आधार लंबाई 2 गुना अधिक के साथ रेत का स्तर क्या होगा?

इसे निम्नानुसार तर्क दिया जाना चाहिए। पहले और दूसरे कंटेनरों में रेत की मात्रा नहीं बदली, यानी उनमें इसकी मात्रा समान है। आप आधार की लंबाई को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं ए. इस स्थिति में, पहले डिब्बे के लिए पदार्थ का आयतन होगा:

वी₁ = हा² = 10a²

दूसरे बॉक्स के लिए, आधार की लंबाई है 2ए, लेकिन रेत के स्तर की ऊंचाई अज्ञात है:

वी₂ = एच(2ए)² = 4ha²

जहां तक ​​कि वी₁ = वी₂, भावों की बराबरी की जा सकती है:

10a² = 4ha²

समीकरण के दोनों पक्षों को a² से कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामस्वरूप, रेत का नया स्तर होगा एच = 10 / 4 = 2.5से। मी।

कार्य 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ एक नियमित प्रिज्म है। यह ज्ञात है कि BD = AB₁ = 6√2। शरीर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यह समझना आसान बनाने के लिए कि कौन से तत्व ज्ञात हैं, आप एक आकृति बना सकते हैं।

चूंकि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आधार 6√2 के विकर्ण के साथ एक वर्ग है। पार्श्व फलक के विकर्ण का मान समान होता है, इसलिए पार्श्व फलक का आकार भी आधार के बराबर वर्ग का होता है। यह पता चला है कि तीनों आयाम - लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई - समान हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ABCDA₁B₁C₁D₁ एक घन है।

किसी भी किनारे की लंबाई ज्ञात विकर्ण द्वारा निर्धारित की जाती है:

ए = डी / √2 = 6√2 / √2 = 6

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घन के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

पूर्ण = 6a² = 6 6² = 216

कार्य 3.

कमरे की मरम्मत की जा रही है। यह ज्ञात है कि इसकी मंजिल 9 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल के साथ एक वर्ग के आकार की है। कमरे की ऊंचाई 2.5 मीटर है। अगर 1 वर्ग मीटर की लागत 50 रूबल है तो एक कमरे की दीवारपैरिंग की सबसे कम लागत क्या है?

चूंकि फर्श और छत वर्ग हैं, अर्थात् नियमित चतुर्भुज हैं, और इसकी दीवारें क्षैतिज सतहों के लंबवत हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक नियमित प्रिज्म है। इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है।

कमरे की लंबाई है ए = √9 = 3एम।

वर्ग वॉलपेपर के साथ कवर किया जाएगा भुजा = 4 3 2.5 = 30 वर्ग मीटर.

इस कमरे के लिए वॉलपेपर की सबसे कम कीमत होगी 50 30 = 1500रूबल।

इस प्रकार, एक आयताकार प्रिज्म के लिए समस्याओं को हल करने के लिए, एक वर्ग और एक आयत के क्षेत्र और परिधि की गणना करने में सक्षम होने के साथ-साथ मात्रा और सतह क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों को जानने के लिए पर्याप्त है।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

प्रिज्म का आयतन क्या होता है और इसे कैसे ज्ञात किया जाता है?

एक प्रिज्म का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊँचाई का गुणनफल होता है।

हालाँकि, हम जानते हैं कि प्रिज्म के आधार में एक त्रिभुज, एक वर्ग या कोई अन्य बहुफलक हो सकता है।

इसलिए, एक प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको केवल प्रिज्म के आधार के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, और फिर इस क्षेत्र को उसकी ऊँचाई से गुणा करें।

अर्थात्, यदि प्रिज्म के आधार पर कोई त्रिभुज है, तो सबसे पहले आपको त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। यदि प्रिज्म का आधार एक वर्ग या अन्य बहुभुज है, तो सबसे पहले आपको वर्ग या किसी अन्य बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

यह याद रखना चाहिए कि प्रिज्म की ऊंचाई प्रिज्म के आधारों पर खींचा गया लंबवत है।

प्रिज्म क्या है

आइए अब प्रिज्म की परिभाषा को याद करते हैं।

प्रिज्म एक बहुभुज है जिसके दो फलक (आधार) समानांतर तल में होते हैं, और इन फलकों के बाहर के सभी किनारे समानांतर होते हैं।

इसे सीधे शब्दों में कहें तो:

प्रिज्म कोई भी ज्यामितीय आकृति है जिसमें दो समान आधार और सपाट फलक होते हैं।

प्रिज्म का नाम उसके आधार के आकार पर निर्भर करता है। जब किसी प्रिज्म का आधार त्रिभुज होता है, तो ऐसे प्रिज्म को त्रिभुज कहते हैं। एक बहुफलकीय प्रिज्म एक ज्यामितीय आकृति है जिसका आधार एक बहुफलक है। प्रिज्म भी एक प्रकार का बेलन है।

प्रिज्म कितने प्रकार के होते हैं

यदि हम ऊपर की आकृति को देखें, तो हम देख सकते हैं कि प्रिज्म सीधे, नियमित और तिरछे हैं।

व्यायाम

1. सही प्रिज्म क्या है?
2. ऐसा क्यों कहा जाता है?
3. उस प्रिज्म का नाम क्या है जिसके आधार नियमित बहुभुज हैं?
4. इस आकृति की ऊंचाई कितनी है?
5. उस प्रिज्म का क्या नाम है जिसके किनारे लंबवत नहीं हैं?
6. एक त्रिभुजाकार प्रिज्म की परिभाषा दीजिए।
7. क्या एक प्रिज्म समानांतर चतुर्भुज हो सकता है?
8. किस ज्यामितीय आकृति को अर्ध-नियमित बहुभुज कहा जाता है?

प्रिज्म किन तत्वों से मिलकर बनता है?

एक प्रिज्म में नीचे और ऊपर के आधार, साइड फेस, किनारों और कोने जैसे तत्व होते हैं।

प्रिज्म के दोनों आधार समतल में स्थित हैं और एक दूसरे के समानांतर हैं।
पिरामिड के पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज हैं।
पिरामिड की पार्श्व सतह पार्श्व चेहरों का योग है।
पार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष इस आकृति के पार्श्व किनारों से अधिक कुछ नहीं हैं।
पिरामिड की ऊंचाई आधारों के विमानों को जोड़ने वाला खंड है और उनके लंबवत है।

प्रिज्म गुण

प्रिज्म की तरह एक ज्यामितीय आकृति में कई गुण होते हैं। आइए इन गुणों पर करीब से नज़र डालें:

सबसे पहले, एक प्रिज्म के आधार समान बहुभुज कहलाते हैं;
दूसरे, प्रिज्म के पार्श्व फलकों को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में प्रस्तुत किया जाता है;
तीसरा, इस ज्यामितीय आकृति में समानांतर और समान किनारे हैं;
चौथा, प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

और अब प्रमेय पर विचार करें, जो एक सूत्र प्रदान करता है जिसके द्वारा पार्श्व सतह क्षेत्र और प्रमाण की गणना की जाती है।

क्या आपने कभी ऐसे दिलचस्प तथ्य के बारे में सोचा है कि एक प्रिज्म न केवल एक ज्यामितीय निकाय हो सकता है, बल्कि हमारे आस-पास की अन्य वस्तुएं भी हो सकती हैं। यहां तक ​​​​कि एक साधारण हिमपात का एक खंड, तापमान शासन के आधार पर, एक बर्फ के प्रिज्म में बदल सकता है, एक हेक्सागोनल आकृति का रूप ले सकता है।

लेकिन कैल्साइट क्रिस्टल में ऐसी अनूठी घटना होती है जो टुकड़ों में टूट जाती है और एक समानांतर चतुर्भुज का आकार ले लेती है। और सबसे आश्चर्य की बात यह है कि कैल्साइट क्रिस्टल को कितना भी छोटा क्यों न कुचल दिया जाए, परिणाम हमेशा एक जैसा होता है, वे छोटे समानांतर चतुर्भुज में बदल जाते हैं।

यह पता चला है कि प्रिज्म ने न केवल गणित में, अपने ज्यामितीय शरीर का प्रदर्शन करते हुए, बल्कि कला के क्षेत्र में भी लोकप्रियता हासिल की है, क्योंकि यह पी। पिकासो, ब्रैक, ग्रिस और अन्य जैसे महान कलाकारों द्वारा बनाई गई पेंटिंग का आधार है।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थिति

एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA_1B_1C_1 में, आधार की भुजाएँ 4 हैं, और भुजाएँ 10 हैं। AB, AC, A_1B_1 और A_1C_1 किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा प्रिज्म का अनुभागीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।

खंड MN त्रिभुज A_1B_1C_1 की मध्य रेखा है, इसलिए एमएन = \frac12 B_1C_1=2.वैसे ही, केएल=\frac12BC=2.इसके अतिरिक्त, MK = NL = 10. इसका तात्पर्य है कि चतुर्भुज MNLK एक समांतर चतुर्भुज है। चूंकि MK\parallel AA_1, तो MK\perp ABC और MK\perp KL। अत: चतुर्भुज MNLK एक आयत है। एस_(एमएनएलके) = एमके\cdot केएल= 10\cdot 2 = 20.

जवाब

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थिति

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का आयतन ABCDA_1B_1C_1D_1 24 है। बिंदु K किनारे का मध्य है CC_1 । पिरामिड KBCD का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

शर्त के अनुसार, KC पिरामिड KBCD की ऊंचाई है। CC_1 प्रिज्म ABCDA_1B_1C_1D_1 की ऊंचाई है।

चूँकि K, CC_1 का मध्यबिंदु है, तो केसी=\frac12CC_1.चलो CC_1=H , फिर केसी=\frac12H. यह भी ध्यान दें कि S_(BCD)=\frac12S_(ABCD)।फिर, वी_(केबीसीडी)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).इसलिये, वी_(केबीसीडी)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थिति

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजा 6 है और इसकी ऊँचाई 8 है।

समाधान दिखाएं

फेसला

प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सूत्र S भुजा द्वारा ज्ञात किया जाता है। = पी मुख्य। · h = 6a\cdot h, जहाँ P मुख्य। और h, क्रमशः, आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊँचाई, 8 के बराबर हैं, और a एक नियमित षट्भुज की भुजा है, जो 6 के बराबर है। इसलिए, एस पक्ष। = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थिति

एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के आकार के बर्तन में पानी डाला जाता है। जल स्तर 40 सेमी तक पहुँच जाता है। जल स्तर कितनी ऊँचाई पर होगा यदि इसे उसी आकार के किसी अन्य बर्तन में डाला जाए, जिसका आधार पक्ष पहले की तुलना में दोगुना है? अपना उत्तर सेंटीमीटर में व्यक्त करें।

समाधान दिखाएं

फेसला

मान लीजिए a पहले बर्तन के आधार की भुजा है, तो 2a दूसरे बर्तन के आधार की भुजा है। शर्त के अनुसार, पहले और दूसरे बर्तन में तरल V का आयतन समान होता है। दूसरे बर्तन में द्रव जिस स्तर तक ऊपर उठा है, उसे H से निरूपित करें। फिर वी = \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,और, वी=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.यहां से \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4 एच, एच = 10।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थिति

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 में सभी किनारे 2 हैं। बिंदु A और E_1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

त्रिभुज AEE_1 समकोण है, क्योंकि किनारा EE_1 प्रिज्म के आधार के तल के लंबवत है, कोण AEE_1 समकोण होगा।

फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2। कोज्या प्रमेय का प्रयोग करते हुए त्रिभुज AFE से AE ज्ञात कीजिए। एक नियमित षट्भुज का प्रत्येक आंतरिक कोण है 120^(\circ) । फिर एई^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right)।

अत: AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

एई_1=4.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थिति

एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार विकर्णों के बराबर समचतुर्भुज है 4\sqrt5और 8 , और एक पार्श्व किनारा 5 के बराबर है।

समाधान दिखाएं

फेसला

एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सूत्र S भुजा द्वारा ज्ञात किया जाता है। = पी मुख्य। · h = 4a\cdot h, जहाँ P मुख्य। और h, क्रमशः आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊँचाई, 5 के बराबर, और a समचतुर्भुज की भुजा है। आइए समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात करें, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि समचतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित है।