मैं संक्षिप्त रहूंगा। दो रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। इस प्रकार, यदि आप दिशा वैक्टर a \u003d (x 1; y 1; z 1) और b \u003d (x 2; y 2; z 2) के निर्देशांक खोजने का प्रबंधन करते हैं, तो आप कोण पा सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र के अनुसार कोण की कोज्या:

आइए देखें कि यह सूत्र विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे काम करता है:

काम। अंक ई और एफ को क्रमशः एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1 में चिह्नित किया गया है। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चूंकि घन का किनारा निर्दिष्ट नहीं है, हम AB = 1 सेट करते हैं। हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु A पर है, और x, y, z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के साथ निर्देशित होते हैं। . इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। अब आइए अपनी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें।

सदिश AE के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हमें अंक ए = (0; 0; 0) और ई = (0.5; 0; 1) की आवश्यकता है। चूंकि बिंदु E खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। ध्यान दें कि वेक्टर AE की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, इसलिए AE = (0.5; 0; 1)।

अब बीएफ वेक्टर से निपटते हैं। इसी प्रकार, हम बिंदुओं B = (1; 0; 0) और F = (1; 0.5; 1) का विश्लेषण करते हैं, क्योंकि एफ - खंड बी 1 सी 1 के बीच में। हमारे पास है:
बीएफ = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)।

तो, दिशा वैक्टर तैयार हैं। रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या दिशा सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है, इसलिए हमारे पास है:

काम। एक नियमित त्रिभुज प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु D और E अंकित हैं - किनारों के मध्य बिंदु क्रमशः A 1 B 1 और B 1 C 1, हैं। रेखा AD और BE के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स-अक्ष एबी के साथ निर्देशित है, जेड - एए 1 के साथ। हम y अक्ष को इस प्रकार निर्देशित करते हैं कि OXY तल ABC तल के साथ संपाती हो। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। वांछित रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए AD वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदुओं पर विचार करें: ए = (0; 0; 0) और डी = (0.5; 0; 1), क्योंकि डी - खंड ए 1 बी 1 के बीच में। चूँकि सदिश AD की शुरुआत मूल बिंदु से मेल खाती है, हमें AD = (0.5; 0; 1) मिलता है।

आइए अब सदिश BE के निर्देशांक ज्ञात करें। प्वाइंट बी = (1; 0; 0) की गणना करना आसान है। बिंदु ई के साथ - खंड सी 1 बी 1 के मध्य - थोड़ा अधिक जटिल। हमारे पास है:

यह कोण की कोज्या ज्ञात करना बाकी है:

काम। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, अंक के और एल चिह्नित हैं - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1, क्रमश। रेखा AK और BL के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक प्रिज्म के लिए एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: हम निचले आधार के केंद्र में निर्देशांक की उत्पत्ति रखते हैं, एफसी के साथ एक्स-अक्ष को निर्देशित करते हैं, वाई-अक्ष सेगमेंट एबी और डीई के मध्य बिंदुओं के माध्यम से, और जेड-अक्ष लंबवत ऊपर की ओर। इकाई खंड फिर से AB = 1 के बराबर है। आइए हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:

बिंदु K और L क्रमशः खंड A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय माध्य के माध्यम से पाए जाते हैं। बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AK और BL के निर्देशांक पाते हैं:

आइए अब कोण की कोज्या ज्ञात करें:

काम। एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर होते हैं, E और F को चिह्नित किया जाता है - क्रमशः SB और SC की भुजाओं के मध्य बिंदु। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स और वाई अक्ष क्रमशः एबी और एडी के साथ निर्देशित हैं, और जेड अक्ष लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित है। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

अंक ई और एफ क्रमशः एसबी और एससी खंडों के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक सिरों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाए जाते हैं। हम अपने लिए रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखते हैं:
ए = (0; 0; 0); बी = (1; 0; 0)

बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AE और BF के निर्देशांक पाते हैं:

सदिश AE के निर्देशांक बिंदु E के निर्देशांकों से मेल खाते हैं, क्योंकि बिंदु A मूल बिंदु है। यह कोण की कोज्या ज्ञात करना बाकी है:

कोण की गणना करते समय निर्देशांक विधि का उपयोग करना

विमानों के बीच

कोण ज्ञात करने की सबसे सामान्य विधिविमानों के बीच - निर्देशांक की विधि (कभी-कभी - वैक्टर की भागीदारी के साथ)। इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब अन्य सभी को आजमाया जा चुका हो। लेकिन ऐसी स्थितियां हैं जिनमें समन्वय विधि को तुरंत लागू करना समझ में आता है, अर्थात्, जब समन्वय प्रणाली स्वाभाविक रूप से समस्या कथन में निर्दिष्ट पॉलीहेड्रॉन से संबंधित होती है, अर्थात। तीन जोड़ीदार लंबवत रेखाएँ स्पष्ट रूप से दिखाई देती हैं, जिन पर निर्देशांक अक्ष स्थापित किए जा सकते हैं। इस तरह के पॉलीहेड्रा एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज और एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड हैं। पहले मामले में, समन्वय प्रणाली को एक शीर्ष (छवि 1) से निकलने वाले किनारों द्वारा सेट किया जा सकता है, दूसरे में - आधार की ऊंचाई और विकर्णों द्वारा (चित्र 2)।

समन्वय विधि का अनुप्रयोग इस प्रकार है।

अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली पेश की गई है। इसे "प्राकृतिक" तरीके से पेश करना वांछनीय है - इसे जोड़ीदार लंबवत रेखाओं की तिकड़ी से "संलग्न" करें जिसमें एक सामान्य बिंदु हो।

प्रत्येक तल के लिए, जिसके बीच का कोण मांगा जाता है, एक समीकरण तैयार किया जाता है। इस तरह के समीकरण को लिखने का सबसे आसान तरीका यह है कि उस तल में तीन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं।

सामान्य रूप में समतल समीकरण का रूप होता हैकुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0।

गुणांक ए, बी, इस समीकरण में सी विमान के सामान्य वेक्टर (विमान के लंबवत वेक्टर) के निर्देशांक हैं। फिर हम विमानों के लिए सामान्य वैक्टर की लंबाई और अदिश उत्पाद निर्धारित करते हैं, जिसके बीच का कोण मांगा जाता है। यदि इन सदिशों के निर्देशांक(ए 1, बी 1; सी 1) और (ए 2; बी 2; सी 2 .) ), फिर वांछित कोणसूत्र द्वारा गणना

टिप्पणी। यह याद रखना चाहिए कि वैक्टर के बीच का कोण (विमानों के बीच के कोण के विपरीत) अधिक हो सकता है, और संभावित अनिश्चितता से बचने के लिए, मापांक सूत्र के दाईं ओर के अंश में होता है।

निर्देशांक विधि का उपयोग करके निम्नलिखित समस्या को हल करें।

समस्या 1. एक घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है। बिंदु K किनारे AD का मध्यबिंदु है, बिंदु L, किनारे CD का मध्यबिंदु है। विमानों A . के बीच का कोण क्या है 1 केएल और ए 1 एडी?

फेसला . बता दें कि निर्देशांक प्रणाली की उत्पत्ति बिंदु पर हैलेकिन, और निर्देशांक अक्ष किरणों के साथ जाते हैंएडी, एबी, एए 1 (चित्र 3)। हम घन के किनारे को 2 के बराबर लेते हैं (आधे में विभाजित करना सुविधाजनक है)। फिर बिंदुओं के निर्देशांकए 1, के, एल हैं: ए 1 (0; 0; 2), के (1; 0; 0), एल (2; 1; 0)।

चावल। 3

हम समतल का समीकरण लिखते हैंए 1 के एल सामान्य रूप में। फिर हम इसमें इस विमान के चयनित बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं। हम चार अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

हम गुणांक व्यक्त करते हैंए, बी, सी से डी और समीकरण पर आएं

दोनों भागों को विभाजित करनाडी (क्यों डी = 0?) और फिर -2 से गुणा करने पर हमें समतल का समीकरण प्राप्त होता हैए 1 केएल: 2x - 2 y + z - 2 = 0. तब इस तल के अभिलंब सदिश में निर्देशांक (2: -2; 1) होते हैं। समतल समीकरण A 1 AD है: y=0, और सामान्य वेक्टर के निर्देशांक, उदाहरण के लिए, (0; 2: 0)। तलों के बीच के कोण की कोज्या के लिए उपरोक्त सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

यह लेख विमानों के बीच के कोण और इसे खोजने के तरीके के बारे में है। सबसे पहले, दो तलों के बीच के कोण की परिभाषा दी गई है और एक ग्राफिक चित्रण दिया गया है। उसके बाद, समन्वय विधि द्वारा दो प्रतिच्छेदन विमानों के बीच के कोण को खोजने के सिद्धांत का विश्लेषण किया गया था, एक सूत्र प्राप्त किया गया था जो इन विमानों के सामान्य वैक्टर के ज्ञात निर्देशांक का उपयोग करके प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण की गणना करने की अनुमति देता है। अंत में, विशिष्ट समस्याओं के विस्तृत समाधान दिखाए गए हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

विमानों के बीच का कोण - परिभाषा।

आइए हम ऐसे तर्क दें जो हमें दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच के कोण की परिभाषा पर धीरे-धीरे पहुंचने की अनुमति दें।

आइए हमें दो प्रतिच्छेदी तल दिए जाएं और . ये तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम अक्षर c से निरूपित करते हैं। आइए रेखा c के बिंदु M से होकर रेखा c पर लंबवत एक समतल का निर्माण करें। इस मामले में, विमान विमानों को काटेगा और . आइए उस रेखा को निरूपित करें जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं और a के रूप में, और वह रेखा जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं और b के रूप में। जाहिर है, रेखाएँ a और b बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यह दिखाना आसान है कि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच का कोण उस रेखा c पर बिंदु M के स्थान पर निर्भर नहीं करता है जिससे होकर विमान गुजरता है।

आइए हम रेखा c के लंबवत और समतल से भिन्न एक समतल की रचना करें। यह तल समतलों द्वारा और सीधी रेखाओं के अनुदिश प्रतिच्छेदित है, जिसे हम क्रमशः a 1 और b 1 से निरूपित करते हैं।

विमानों के निर्माण की विधि से और यह निम्नानुसार है कि रेखाएँ a और b रेखा c के लंबवत हैं, और रेखाएँ a 1 और b 1 रेखा c के लंबवत हैं। चूँकि रेखाएँ a और a 1 एक ही तल में स्थित हैं और रेखा c के लंबवत हैं, वे समानांतर हैं। इसी प्रकार, रेखाएँ b और b 1 एक ही तल में स्थित हैं और रेखा c के लंबवत हैं, इसलिए वे समानांतर हैं। इस प्रकार, विमान के समानांतर स्थानांतरण को विमान में करना संभव है, जिसमें लाइन ए 1 लाइन ए के साथ मेल खाती है, और लाइन बी लाइन बी 1 के साथ मेल खाती है। इसलिए, दो प्रतिच्छेदी रेखाओं a 1 और b 1 के बीच का कोण प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच के कोण के बराबर है।

इससे सिद्ध होता है कि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच का कोण प्रतिच्छेद करने वाले तलों में स्थित है और यह उस बिंदु M के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है जिससे होकर तल गुजरता है। इसलिए, इस कोण को दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच के कोण के रूप में लेना तर्कसंगत है।

अब आप दो प्रतिच्छेदित तलों और के बीच के कोण की परिभाषा को आवाज दे सकते हैं।

परिभाषा।

एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करने वाले दो तलों के बीच का कोण तथादो प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच का कोण है, जिसके अनुदिश तल और रेखा c के लंबवत तल के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

दो तलों के बीच के कोण की परिभाषा को थोड़ा अलग तरीके से दिया जा सकता है। यदि रेखा c पर, जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं, बिंदु M को चिह्नित करें और इसके माध्यम से a और b रेखाएँ खींचें, जो रेखा c के लंबवत हों और क्रमशः समतल में स्थित हों, तो रेखाओं a और b के बीच का कोण है विमानों और के बीच का कोण। आमतौर पर, व्यवहार में, ऐसे निर्माण विमानों के बीच के कोण को प्राप्त करने के लिए किए जाते हैं।

चूंकि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण अधिक नहीं होता है, यह ध्वनि की परिभाषा से यह अनुसरण करता है कि दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण का डिग्री माप अंतराल से एक वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस मामले में, प्रतिच्छेद करने वाले विमानों को कहा जाता है सीधायदि उनके बीच का कोण नब्बे डिग्री है। समानांतर विमानों के बीच का कोण या तो बिल्कुल निर्धारित नहीं होता है, या इसे शून्य के बराबर माना जाता है।

दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण ज्ञात करना।

आमतौर पर, दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण का पता लगाते समय, आपको पहले इंटरसेक्टिंग लाइनों को देखने के लिए अतिरिक्त निर्माण करना पड़ता है, जिसके बीच का कोण वांछित कोण के बराबर होता है, और फिर इस कोण को समान संकेतों का उपयोग करके मूल डेटा से कनेक्ट करें, समानता के संकेत, कोसाइन प्रमेय या साइन, कोसाइन और कोण की स्पर्शरेखा की परिभाषाएँ। हाई स्कूल के ज्योमेट्री कोर्स में भी ऐसी ही समस्याएं हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 2012 के लिए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से समस्या C2 का समाधान दें (स्थिति जानबूझकर बदली गई है, लेकिन यह समाधान के सिद्धांत को प्रभावित नहीं करती है)। इसमें बस दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक था।

उदाहरण।

फेसला।

सबसे पहले, आइए एक ड्राइंग बनाएं।

आइए विमानों के बीच के कोण को "देखने" के लिए अतिरिक्त निर्माण करें।

सबसे पहले, आइए एक सीधी रेखा को परिभाषित करें जिसके साथ समतल ABC और BED 1 प्रतिच्छेद करते हैं। प्वाइंट बी उनके सामान्य बिंदुओं में से एक है। इन तलों का दूसरा उभयनिष्ठ बिंदु ज्ञात कीजिए। रेखाएँ DA और D 1 E एक ही तल ADD 1 में स्थित हैं, और वे समानांतर नहीं हैं, और इसलिए, प्रतिच्छेद करते हैं। दूसरी ओर, रेखा DA समतल ABC में स्थित है, और रेखा D 1 E समतल BED 1 में स्थित है, इसलिए, DA और D 1 E रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु समतल ABC का एक उभयनिष्ठ बिंदु होगा और बिस्तर 1. इसलिए, हम लाइनों DA और D 1 E को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि वे प्रतिच्छेद न करें, हम उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को F अक्षर से निरूपित करते हैं। तब BF वह सीधी रेखा है जिसके साथ समतल ABC और BED 1 प्रतिच्छेद करते हैं।

यह समतल ABC और BED 1 में पड़ी दो रेखाओं का निर्माण करने के लिए बनी हुई है, जो रेखा BF पर एक बिंदु से गुजरती है और रेखा BF के लंबवत है - इन रेखाओं के बीच का कोण, परिभाषा के अनुसार, के बीच वांछित कोण के बराबर होगा विमान ABC और BED 1 . हो जाए।

दूरसंचार विभाग A, बिंदु E का समतल ABC पर प्रक्षेपण है। एक रेखा खींचिए जो एक समकोण पर रेखा BF को बिंदु M पर काटती है। तब रेखा AM समतल ABC पर रेखा EM का प्रक्षेपण है, और तीन लंबवत प्रमेय द्वारा।

अत: समतल ABC और BED 1 के बीच का वांछित कोण है।

हम एक समकोण त्रिभुज AEM से इस कोण की ज्या, कोज्या या स्पर्शरेखा (और इसलिए स्वयं कोण) निर्धारित कर सकते हैं यदि हम इसकी दोनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं। स्थिति से लंबाई AE को खोजना आसान है: चूंकि बिंदु E, AA 1 को 4 से 3 के संबंध में विभाजित करता है, बिंदु A से गिना जाता है, और AA 1 की लंबाई 7 है, फिर AE \u003d 4। आइए AM की लंबाई ज्ञात करें।

ऐसा करने के लिए, समकोण A के साथ एक समकोण त्रिभुज ABF पर विचार करें, जहाँ AM ऊँचाई है। शर्त के अनुसार AB=2. हम समकोण त्रिभुज DD 1 F और AEF की समानता से भुजा AF की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

पाइथागोरस प्रमेय से, त्रिभुज ABF से हम पाते हैं। हम त्रिभुज ABF के क्षेत्रफल से होकर AM की लंबाई ज्ञात करते हैं: एक ओर त्रिभुज ABF का क्षेत्रफल बराबर होता है , दूसरी ओर , कहाँ पे .

इस प्रकार, समकोण त्रिभुज AEM से हमें प्राप्त होता है .

तब समतल ABC और BED 1 के बीच वांछित कोण है (ध्यान दें कि ).

जवाब:

कुछ मामलों में, दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने के लिए, ऑक्सीज़ को निर्दिष्ट करना और समन्वय विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए इस पर रुकें।

आइए कार्य निर्धारित करें: दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने के लिए और . आइए वांछित कोण को के रूप में निरूपित करें।

हम मानते हैं कि किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ में हम प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के सामान्य वैक्टर के निर्देशांक जानते हैं और या उन्हें खोजना संभव है। रहने दो विमान का सामान्य वेक्टर है, और विमान का सामान्य वेक्टर है। आइए हम दिखाते हैं कि प्रतिच्छेद करने वाले तलों के बीच का कोण और इन तलों के अभिलंब सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से कैसे पता लगाया जाए।

आइए हम उस रेखा को निरूपित करें जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं और c के रूप में। रेखा c पर बिंदु M से होकर हम रेखा c पर लंबवत एक तल खींचते हैं। तल समतलों को प्रतिच्छेद करता है और क्रमशः a और b रेखाओं के अनुदिश, रेखाएँ a और b बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं। परिभाषा के अनुसार, प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण और प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच के कोण के बराबर होता है।

आइए हम बिंदु M से समतल में सामान्य सदिशों और तलों और . इस मामले में, वेक्टर एक रेखा पर स्थित होता है जो लाइन ए के लंबवत होता है, और वेक्टर एक लाइन पर होता है जो लाइन बी के लंबवत होता है। इस प्रकार, समतल में, सदिश रेखा a का अभिलंब सदिश है, रेखा b का अभिलंब सदिश है।

लेख में प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच के कोण का पता लगाना, हमने एक सूत्र प्राप्त किया जो आपको सामान्य वैक्टर के निर्देशांक का उपयोग करके प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच के कोण के कोसाइन की गणना करने की अनुमति देता है। इस प्रकार, रेखाओं a और b के बीच के कोण की कोज्या, और, फलस्वरूप, और प्रतिच्छेद करने वाले तलों के बीच के कोण की कोज्याऔर सूत्र द्वारा पाया जाता है, जहां और विमानों के सामान्य वैक्टर हैं और क्रमशः। फिर इसकी गणना के रूप में की जाती है .

आइए निर्देशांक विधि का उपयोग करके पिछले उदाहरण को हल करें।

उदाहरण।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है, जिसमें AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 और बिंदु E, AA 1 को 4 से 3 के अनुपात में विभाजित करता है, बिंदु A से गिना जाता है . समतल ABC और BED 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

फेसला।

चूंकि एक शीर्ष पर एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के किनारे जोड़ीदार लंबवत होते हैं, इसलिए आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ को निम्नानुसार पेश करना सुविधाजनक होता है: शुरुआत शीर्ष सी के साथ गठबंधन होती है, और समन्वय अक्ष ऑक्स, ओए और ओज़ पक्षों के साथ निर्देशित होते हैं सीडी, सीबी और सीसी 1, क्रमशः।

विमानों ABC और BED 1 के बीच के कोण को सूत्र का उपयोग करके इन विमानों के सामान्य वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से पाया जा सकता है, जहां और क्रमशः ABC और BED 1 विमानों के सामान्य वैक्टर हैं। आइए हम सामान्य वैक्टर के निर्देशांक निर्धारित करें।

समस्या 1. एक सीधे चतुर्भुज प्रिज्म का आधार ABCDА 1 В 1 С 1 D 1 एक आयत ABCD है, जिसमें AB \u003d 5, AD \u003d 11. प्रिज्म के आधार के तल के बीच के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए। और रेखा BD 1 के लम्ब AD के मध्य से गुजरने वाला तल, यदि सीधी रेखाओं AC और B 1 D 1 के बीच की दूरी 12 है। हल। हम एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं। (0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) सेक्शन प्लेन के लिए सामान्य के निर्देशांक: सामान्य के निर्देशांक आधार तल:- न्यून कोण, फिर D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N तलों के बीच का कोण उत्तर: 0.5। नेनाशेवा एन.जी. गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

समस्या 2. त्रिभुजाकार पिरामिड SABC के आधार पर एक समकोण त्रिभुज ABC स्थित है। कोण A सीधा है। AC \u003d 8, BC \u003d 219. पिरामिड SA की ऊंचाई 6 है। एक बिंदु M को किनारे AC पर लिया जाता है ताकि AM \u003d 2. बिंदु M, शीर्ष B और के माध्यम से एक विमान α खींचा जाए। बिंदु एन - किनारे के बीच में एससी। समतल α और पिरामिड के आधार के तल द्वारा निर्मित द्वितल कोण ज्ञात कीजिए। ए एस एक्स बी सी एम एन वाई जेड समाधान। हम एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं। फिर A (0;0;0), C (0;8;0), M (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), प्लेन के नॉर्मल (एबीसी) वेक्टर सामान्य से विमान (बीएमएन) विमानों के बीच कोण उत्तर: 60 डिग्री। विमान का समीकरण (ВМN): एनजी नेनाशेवा गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

समस्या 3. एक चतुर्भुज पिरामिड PABCD का आधार एक वर्ग है जिसकी भुजा 6 के बराबर है, भुजा PD आधार के तल के लंबवत है और 6 के बराबर है। समतल (BDP) और (BCP) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। फेसला। 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका DF खींचिए CDP (BC = PD = 6) तो DF PC। और इस तथ्य से कि बीसी (सीडीपी), यह इस प्रकार है कि डीएफ बीसी का अर्थ है डीएफ (पीसीबी) ए डी सी बी पी एफ 2. चूंकि एसी डीबी और एसी डीपी, फिर एसी (बीडीपी) 3. इस प्रकार, विमानों (बीडीपी) और (बीसीपी) के बीच का कोण ) स्थिति से पाया जाता है: विमानों के बीच का कोण नेनाशेवा एन.जी. गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

समस्या 3. एक चतुर्भुज पिरामिड PABCD का आधार एक वर्ग है जिसकी भुजा 6 के बराबर है, भुजा PD आधार के तल के लंबवत है और 6 के बराबर है। समतल (BDP) और (BCP) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। समाधान.4. आइए एक समन्वय प्रणाली चुनें। बिंदुओं के निर्देशांक: 5. फिर वैक्टर के निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: 6. मानों की गणना करते हुए, हम पाते हैं:, फिर A D C B P F z x y विमानों के बीच का कोण उत्तर: नेनाशेवा N.G. गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

टास्क 4. इकाई क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में, विमानों (एडी 1 ई) और (डी 1 एफसी) के बीच का कोण खोजें, जहां बिंदु ई और एफ किनारों के मध्य बिंदु हैं ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1, क्रमशः। हल: 1. एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली दर्ज करें और बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें: 2. समतल के समीकरण की रचना करें (AD 1 E): 3. समतल का समीकरण लिखें (D 1 FC): - का सामान्य वेक्टर विमान (एडी 1 ई)। - विमान का सामान्य वेक्टर (डी 1 एफС)। विमानों के बीच का कोण x y z नेनाशेवा N.G. गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

टास्क 4. इकाई क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में, विमानों (एडी 1 ई) और (डी 1 एफसी) के बीच का कोण खोजें, जहां बिंदु ई और एफ किनारों के मध्य बिंदु हैं ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1, क्रमशः। हल: 4. सूत्र द्वारा तलों के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए उत्तर: तलों के बीच का कोण x y z नेनाशेवा N.G. गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

समस्या 5. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के केंद्र को पार्श्व किनारे के मध्य से जोड़ने वाला खंड आधार की भुजा के बराबर होता है। पिरामिड के आसन्न भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। हल: x y z 1. आइए एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली का परिचय दें और बिंदुओं A, B, C: K के निर्देशांक निर्धारित करें। एस: ई विमानों के बीच का कोण नेनाशेवा एनजी। गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

समस्या 5. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के केंद्र को पार्श्व किनारे के मध्य से जोड़ने वाला खंड आधार की भुजा के बराबर होता है। पिरामिड के आसन्न भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। हल: x y z K E SO हम OSB से पाते हैं: विमानों के बीच का कोण नेनाशेवा N.G. गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

समस्या 5. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के केंद्र को पार्श्व किनारे के मध्य से जोड़ने वाला खंड आधार की भुजा के बराबर होता है। पिरामिड के आसन्न भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। हल: x y z K E 3. समतल का समीकरण (SAC):- समतल का अभिलंब सदिश (SAC)। 4. समतल का समीकरण (SBC):- समतल का सामान्य सदिश (SBC)। विमानों के बीच कोण नेनाशेवा एन.जी. गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985

समस्या 5. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के केंद्र को पार्श्व किनारे के मध्य से जोड़ने वाला खंड आधार की भुजा के बराबर होता है। पिरामिड के आसन्न भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। हल: x y z K E 5. सूत्र के अनुसार तलों के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए उत्तर: तलों के बीच का कोण नेनाशेवा N.G. गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय 985