11वीं प्रोफ़ाइल कक्षा में बीजगणित पाठ का विकास

पाठ का संचालन गणित एमबीओयू माध्यमिक विद्यालय संख्या 6 तुपित्स्या ओ.वी. के शिक्षक द्वारा किया गया था।

विषय में विषय और पाठ संख्या:"एक समीकरण-परिणाम की ओर ले जाने वाले कई परिवर्तनों का अनुप्रयोग", पाठ संख्या 7, 8 विषय में: "समीकरण-परिणाम"

शैक्षिक विषय:बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत - ग्रेड 11 (एस.एम. निकोल्स्की द्वारा पाठ्यपुस्तक के अनुसार प्रोफ़ाइल प्रशिक्षण)

सबक का प्रकार: "ज्ञान और कौशल का व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण"

पाठ का प्रकार: कार्यशाला

शिक्षक की भूमिका: वांछित विधि या परिवर्तन के तरीकों का चयन करने के लिए एक जटिल में ज्ञान को स्वतंत्र रूप से लागू करने की क्षमता विकसित करने के लिए छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि को निर्देशित करें, जिससे समीकरण - नई परिस्थितियों में समीकरण को हल करने में विधि का परिणाम और अनुप्रयोग हो।

आवश्यक तकनीकी उपकरण:मल्टीमीडिया उपकरण, वेब कैमरा।

इस्तेमाल किया सबक:

1. डिडक्टिक लर्निंग मॉडल- एक समस्याग्रस्त स्थिति पैदा करना,
2. शैक्षणिक साधन- प्रशिक्षण मॉड्यूल का संकेत देने वाली चादरें, समीकरणों को हल करने के लिए कार्यों का चयन,
3. छात्र गतिविधि का प्रकार- समूह (पाठों में समूह बनते हैं - नए ज्ञान की "खोज", सीखने और सीखने की विभिन्न डिग्री वाले छात्रों से पाठ संख्या 1 और 2), संयुक्त या व्यक्तिगत समस्या समाधान,
4. व्यक्तित्व-उन्मुख शैक्षिक प्रौद्योगिकियां: मॉड्यूलर प्रशिक्षण, समस्या-आधारित शिक्षा, खोज और अनुसंधान के तरीके, सामूहिक संवाद, गतिविधि विधि, पाठ्यपुस्तक और विभिन्न स्रोतों के साथ काम करना,
5. स्वास्थ्य-बचत प्रौद्योगिकियां- तनाव दूर करने के लिए शारीरिक शिक्षा की जाती है,
6. दक्षताओं:

- बुनियादी स्तर पर शैक्षिक और संज्ञानात्मक- छात्र एक समीकरण की अवधारणा को जानते हैं - एक परिणाम, एक समीकरण की जड़ और एक समीकरण की ओर ले जाने वाले परिवर्तन के तरीके - एक परिणाम, वे समीकरणों की जड़ों को खोजने और उत्पादक स्तर पर उनका सत्यापन करने में सक्षम होते हैं;

- उन्नत स्तर पर- छात्र परिवर्तन के प्रसिद्ध तरीकों का उपयोग करके समीकरणों को हल कर सकते हैं, समीकरणों के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र का उपयोग करके समीकरणों की जड़ों की जांच कर सकते हैं; अन्वेषण-आधारित गुणों का उपयोग करके लघुगणक की गणना करें;सूचना के - छात्र स्वतंत्र रूप से विभिन्न प्रकार के स्रोतों में शैक्षिक समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक जानकारी की खोज, निकालने और चयन करते हैं।

उपदेशात्मक लक्ष्य:

के लिए परिस्थितियाँ बनाना:

समीकरणों के बारे में विचारों का निर्माण - परिणाम, मूल और परिवर्तन के तरीके;

समीकरणों को बदलने के पहले अध्ययन किए गए तरीकों के तार्किक परिणाम के आधार पर अर्थ निर्माण के अनुभव का गठन: एक समीकरण को एक सम शक्ति तक बढ़ाना, लॉगरिदमिक समीकरणों को प्रबल करना, हर से एक समीकरण को मुक्त करना, समान शब्दों को लाना;

परिवर्तन विधि की पसंद का निर्धारण करने, समीकरण को और हल करने और समीकरण की जड़ों को चुनने में कौशल का समेकन;

ज्ञात और सीखी गई जानकारी के आधार पर किसी समस्या को स्थापित करने के कौशल में महारत हासिल करना, जो अभी तक ज्ञात नहीं है उसका पता लगाने के लिए अनुरोध उत्पन्न करना;

छात्रों की संज्ञानात्मक रुचियों, बौद्धिक और रचनात्मक क्षमताओं का गठन;

तार्किक सोच का विकास, छात्रों की रचनात्मक गतिविधि, परियोजना कौशल, अपने विचार व्यक्त करने की क्षमता;

समूह में काम करते समय सहिष्णुता, पारस्परिक सहायता की भावना का गठन;

समीकरणों के स्वतंत्र समाधान में रुचि जगाना;

कार्य:

समीकरणों को बदलने के तरीके के बारे में ज्ञान की पुनरावृत्ति और व्यवस्थितकरण को व्यवस्थित करें;

- समीकरणों को हल करने और उनकी जड़ों की जांच करने के तरीकों की महारत सुनिश्चित करने के लिए;

- छात्रों की विश्लेषणात्मक और आलोचनात्मक सोच के विकास को बढ़ावा देना; समीकरणों को हल करने के लिए इष्टतम विधियों की तुलना करना और उनका चयन करना;

- अनुसंधान कौशल, समूह कार्य कौशल के विकास के लिए स्थितियां बनाना;

छात्रों को परीक्षा की तैयारी के लिए अध्ययन की गई सामग्री का उपयोग करने के लिए प्रेरित करना;

इस कार्य के निष्पादन में अपने काम और अपने साथियों के काम का विश्लेषण और मूल्यांकन करें।

नियोजित परिणाम:

*व्यक्तिगत:

ज्ञात और सीखी गई जानकारी के आधार पर कार्य निर्धारित करने का कौशल, जो अभी तक ज्ञात नहीं है उसे खोजने के लिए अनुरोध उत्पन्न करना;

समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सूचना के स्रोतों को चुनने की क्षमता; छात्रों के संज्ञानात्मक हितों, बौद्धिक और रचनात्मक क्षमताओं का विकास;

तार्किक सोच का विकास, रचनात्मक गतिविधि, किसी के विचारों को व्यक्त करने की क्षमता, तर्क बनाने की क्षमता;

प्रदर्शन परिणामों का स्व-मूल्यांकन;

टीमवर्क कौशल;

*मेटाविषय:

मुख्य बात को उजागर करने, तुलना करने, सामान्य करने, एक सादृश्य बनाने, तर्क के आगमनात्मक तरीकों को लागू करने, समीकरणों को हल करते समय परिकल्पनाओं को सामने रखने की क्षमता,

परीक्षा की तैयारी में अर्जित ज्ञान की व्याख्या और लागू करने की क्षमता;

*विषय:

समीकरणों को बदलने का ज्ञान,

विभिन्न प्रकार के समीकरणों से जुड़े पैटर्न को स्थापित करने और जड़ों को हल करने और चुनने में इसका उपयोग करने की क्षमता,

पाठ उद्देश्यों को एकीकृत करना:

1. (शिक्षक के लिए) समीकरणों को बदलने के तरीकों और उन्हें हल करने के तरीकों के समग्र दृष्टिकोण के छात्रों में गठन;
2. (छात्रों के लिए) विभिन्न कार्यों वाले समीकरणों के प्रकार से जुड़ी गणितीय स्थितियों का निरीक्षण, तुलना, सामान्यीकरण, विश्लेषण करने की क्षमता का विकास। परीक्षा की तैयारी।

पाठ का चरण I:

समीकरण परिवर्तन (इनपुट डायग्नोस्टिक्स) के विभिन्न तरीकों के आवेदन के क्षेत्र में प्रेरणा बढ़ाने के लिए ज्ञान को अद्यतन करना

ज्ञान को अद्यतन करने का चरणस्व-परीक्षण के साथ एक परीक्षण कार्य के रूप में किया जाता है। पिछले पाठों में प्राप्त ज्ञान के आधार पर विकासात्मक कार्य प्रस्तावित हैं, जिसमें छात्रों से सक्रिय मानसिक गतिविधि की आवश्यकता होती है और इस पाठ में कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक है।

सत्यापन कार्य

1. उन समीकरणों को चुनें जिनमें सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर अज्ञात के प्रतिबंध की आवश्यकता होती है:

ए) = एक्स -2; बी) 3 \u003d एक्स -2; ग) = 1;

डी) (= (; ई) =; ई) +6 = 5;

जी) =; एच) =।

(2) प्रत्येक समीकरण के मान्य मूल्यों की सीमा निर्दिष्ट करें जहाँ प्रतिबंध हैं।

(3) ऐसे समीकरण का एक उदाहरण चुनें, जहां परिवर्तन से जड़ का नुकसान हो सकता है (इस विषय पर पिछले पाठों की सामग्री का उपयोग करें)।

हर कोई स्क्रीन पर हाइलाइट किए गए तैयार किए गए उत्तरों के अनुसार स्वतंत्र रूप से उत्तरों की जांच करता है। सबसे कठिन कार्यों का विश्लेषण किया जाता है और छात्र उदाहरण ए, सी, जी, एच पर विशेष ध्यान देते हैं, जहां प्रतिबंध मौजूद हैं।

यह निष्कर्ष निकाला गया है कि समीकरणों को हल करते समय, समीकरण द्वारा अनुमत मूल्यों की सीमा निर्धारित करना या बाहरी मूल्यों से बचने के लिए जड़ों की जांच करना आवश्यक है। समीकरणों को एक समीकरण में बदलने के पहले अध्ययन किए गए तरीकों - एक परिणाम दोहराया जाता है। अर्थात्, विद्यार्थी इस प्रकार आगे के कार्य में उनके द्वारा प्रस्तावित समीकरण को हल करने का सही तरीका खोजने के लिए प्रेरित होते हैं।

पाठ का द्वितीय चरण:

समीकरणों को हल करने में उनके ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का व्यावहारिक अनुप्रयोग।

समूहों को इस विषय के मुद्दों पर संकलित मॉड्यूल के साथ शीट दी जाती हैं। मॉड्यूल में पांच शिक्षण तत्व शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक का उद्देश्य कुछ कार्यों को करना है। सीखने और सीखने की विभिन्न डिग्री वाले छात्र स्वतंत्र रूप से पाठ में अपनी गतिविधियों का दायरा निर्धारित करते हैं, लेकिन चूंकि हर कोई समूहों में काम करता है, इसलिए ज्ञान और कौशल को समायोजित करने की एक सतत प्रक्रिया है, जो पिछड़ रहे हैं उन्हें अनिवार्य करने के लिए, दूसरों को उन्नत और रचनात्मक स्तर।

पाठ के मध्य में एक अनिवार्य भौतिक मिनट आयोजित किया जाता है।

शैक्षिक तत्व की संख्या	असाइनमेंट के साथ शैक्षिक तत्व	शैक्षिक सामग्री के विकास के लिए गाइड
यूई-1	उद्देश्य: कार्यों के गुणों के आधार पर समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य विधियों को निर्धारित करना और उचित ठहराना। व्यायाम: निम्नलिखित समीकरणों को हल करने के लिए रूपांतरण विधि निर्दिष्ट करें: ए)) = -8); बी) = ग) (=( डी) सीटीजी + एक्स 2 -2 एक्स = सीटीजी +24; ई) =; च) = पाप एक्स। 2) कार्य: प्रस्तावित समीकरणों में से कम से कम दो को हल करें। वर्णन करें कि हल किए गए समीकरणों में किन विधियों का उपयोग किया गया था।	खंड 7.3 पी.212 खंड 7.4 पृष्ठ 214 खंड 7.5 पृष्ठ 217 खंड 7.2 पृष्ठ 210
यूई-2	उद्देश्य: तर्कसंगत तकनीकों और हल करने के तरीकों में महारत हासिल करना व्यायाम: उपरोक्त या स्व-चयनित (पिछले पाठों की सामग्री का उपयोग करें) समीकरणों से उदाहरण दें जिन्हें समाधान के तर्कसंगत तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, वे क्या हैं? (समीकरण की जड़ों की जांच करने के तरीके पर जोर दें)
यूई-3	उद्देश्य: उच्च स्तर की जटिलता के समीकरणों को हल करने में अर्जित ज्ञान का उपयोग करना व्यायाम: = (या ( = (	खंड 7.5
यूई-4	विषय की महारत का स्तर निर्धारित करें: कम - 2 से अधिक समीकरणों का समाधान नहीं; माध्यम - 4 से अधिक समीकरणों का समाधान नहीं; उच्च - 5 से अधिक समीकरणों का समाधान
यूई-5	आउटपुट नियंत्रण: एक तालिका बनाएं जिसमें आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले समीकरणों को बदलने के सभी तरीकों को प्रस्तुत करने के लिए और प्रत्येक विधि के लिए आपके द्वारा हल किए गए समीकरणों के उदाहरण लिखें, विषय के पाठ 1 से शुरू करें: "समीकरण - परिणाम"	नोटबुक में सार

पाठ का तृतीय चरण:

आउटपुट डायग्नोस्टिक कार्य, छात्रों के प्रतिबिंब का प्रतिनिधित्व करना, जो न केवल एक परीक्षा लिखने के लिए तत्परता दिखाएगा, बल्कि इस खंड में परीक्षा के लिए भी तत्परता दिखाएगा।

पाठ के अंत में, सभी छात्र, बिना किसी अपवाद के, स्वयं का मूल्यांकन करते हैं, फिर शिक्षक का मूल्यांकन आता है। यदि शिक्षक और छात्र के बीच असहमति है, तो शिक्षक इसका मूल्यांकन करने में सक्षम होने के लिए छात्र को एक अतिरिक्त कार्य की पेशकश कर सकता है। गृहकार्यनियंत्रण कार्य से पहले सामग्री की समीक्षा करने के उद्देश्य से।

स्कूल व्याख्यान

"समतुल्य समीकरण। कोरोलरी समीकरण»

पद्धति संबंधी टिप्पणियां। समीकरणों को हल करने के सिद्धांत से संबंधित महत्वपूर्ण मुद्दे हैं तुल्य समीकरणों की अवधारणा, परिणामी समीकरण, समीकरणों की तुल्यता पर प्रमेय।

10 वीं कक्षा तक, छात्रों ने समीकरणों को हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त किया है। ग्रेड 7-8 में, रैखिक और द्विघात समीकरण हल किए जाते हैं, यहां कोई असमान परिवर्तन नहीं होते हैं। इसके अलावा, 8 वीं और 9वीं कक्षा में, तर्कसंगत और सरल तर्कहीन समीकरण हल किए जाते हैं, यह पता चला है कि समीकरण के दोनों हिस्सों को हर से मुक्त करने और समीकरण के दोनों हिस्सों के वर्ग के संबंध में, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इस प्रकार, नई अवधारणाओं की शुरूआत की आवश्यकता है: समीकरणों की समानता, समीकरण के समकक्ष और गैर-समतुल्य परिवर्तन, बाहरी जड़ें, और जड़ों का सत्यापन। उपरोक्त वर्गों के समीकरणों को हल करने में छात्रों द्वारा संचित अनुभव के आधार पर, समीकरणों की तुल्यता का एक नया संबंध निर्धारित करना संभव है और छात्रों के साथ समीकरणों की तुल्यता पर "खोज" प्रमेय।

पाठ, जिसका सारांश नीचे प्रस्तुत किया गया है, अपरिमेय, घातांक, लघुगणक और त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान से संबंधित विषयों पर विचार करने से पहले है। इस पाठ की सैद्धांतिक सामग्री सभी वर्गों के समीकरणों को हल करने के लिए एक समर्थन के रूप में कार्य करती है। इस पाठ में, समतुल्य समीकरणों की अवधारणा को परिभाषित करना आवश्यक है, इस प्रकार के समीकरणों को जन्म देने वाले परिवर्तन प्रमेयों पर विचार करने के लिए कोरोलरी समीकरण। विचाराधीन सामग्री, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समीकरणों के परिवर्तनों के बारे में छात्रों के ज्ञान का एक प्रकार का व्यवस्थितकरण है, यह एक निश्चित जटिलता की विशेषता है, इसलिए सबसे स्वीकार्य प्रकार का पाठ एक स्कूल व्याख्यान है। इस पाठ की ख़ासियत यह है कि इस पर निर्धारित शैक्षिक कार्य (लक्ष्य) को बाद के कई पाठों के दौरान हल किया जाता है (समीकरणों पर परिवर्तन की पहचान करने से बाहरी जड़ों का अधिग्रहण और जड़ों का नुकसान होता है)।

पाठ का प्रत्येक चरण इसकी संरचना में एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है।

पर अद्यतन चरणछात्र समीकरण से संबंधित मुख्य सैद्धांतिक प्रावधानों को याद करते हैं: समीकरण क्या है, समीकरण की जड़, समीकरण को हल करने का क्या मतलब है, समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों (ओडीवी) की सीमा। वे विशिष्ट समीकरणों के ODZ पाते हैं जो पाठ में प्रमेयों की "खोज" के लिए एक समर्थन के रूप में काम करेंगे।

लक्ष्य प्रेरणा का चरण- एक समस्या की स्थिति बनाने के लिए, जिसमें प्रस्तावित समीकरण का सही समाधान खोजना शामिल है।

फेसला सीखने का कार्य (परिचालन-संज्ञानात्मक चरण)प्रस्तुत पाठ में समीकरणों की तुल्यता और उनके प्रमाण पर प्रमेयों की "खोज" में निहित है। सामग्री की प्रस्तुति में मुख्य ध्यान समतुल्य समीकरणों, समीकरणों-परिणामों की परिभाषा, समीकरणों की तुल्यता पर प्रमेयों की "खोज" पर दिया जाता है।

पाठ के दौरान शिक्षक द्वारा किए गए नोट्स सीधे सार में प्रस्तुत किए जाते हैं। विद्यार्थियों द्वारा नोटबुक में नोट्स बनाना पाठ सारांश के अंत में दिया गया है।

पाठ सारांश

विषय।समतुल्य समीकरण। समीकरण - परिणाम।

(बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक / शाह अलीमोव, यू.एम। कोल्यागिन, यू.वी। सिदोरोव और अन्य - एम।: शिक्षा, 2003)।

सबक लक्ष्य।छात्रों के साथ संयुक्त गतिविधियों में, समीकरणों के एक सेट पर तुल्यता संबंध की पहचान करें, समीकरणों की तुल्यता पर "खोज" प्रमेय।

नतीजतन, छात्र

जानता है

समतुल्य समीकरणों की परिभाषा,

कोरोलरी समीकरण की परिभाषाएँ,

मुख्य प्रमेयों के कथन;

कर सकते हैं

प्रस्तावित समीकरणों में से तुल्य समीकरण और समीकरण-परिणाम चुनें,

मानक स्थितियों में समतुल्य समीकरणों और उपपत्ति समीकरणों की परिभाषाएँ लागू करें;

समझता है

किन परिवर्तनों से समतुल्य समीकरण या समीकरण-परिणाम बनते हैं,

कि ऐसे परिवर्तन हैं, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण बाहरी जड़ें प्राप्त कर सकता है,

कि कुछ परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, जड़ों का नुकसान हो सकता है।

पाठ प्रकार।स्कूल व्याख्यान (2 घंटे)।

पाठ संरचना।

I. प्रेरक और उन्मुख भाग:

ज्ञान अद्यतन,

प्रेरणा, सीखने का कार्य निर्धारित करना।

द्वितीय. परिचालन-संज्ञानात्मक भाग:

शैक्षिक और अनुसंधान समस्या का समाधान (पाठ का उद्देश्य)।

III. चिंतनशील-मूल्यांकन भाग:

पाठ को सारांशित करना

गृहकार्य जारी करना।

कक्षाओं के दौरान

मैं. प्रेरक और उन्मुख भाग।

आज के पाठ में हम समीकरण के बारे में बात करेंगे, लेकिन हम इस विषय को अभी तक नहीं लिखेंगे। समीकरण से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को याद करें। सबसे पहले, समीकरण क्या है?

(एक समीकरण तर्कों के मूल्यों को खोजने की समस्या का एक विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड है जिसके लिए एक फ़ंक्शन के मान दूसरे फ़ंक्शन के मानों के बराबर होते हैं)।

समीकरण से संबंधित अन्य अवधारणाएं क्या हैं?

(समीकरण का मूल और समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है। समीकरण की जड़ एक संख्या है, समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है। समीकरण को हल करें - इसके सभी मूल खोजें या स्थापित करें कि वे करते हैं मौजूद नहीं)।

ODZ समीकरण क्या है?

(सभी संख्याओं का समुच्चय जिसके लिए समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष के कार्य एक ही समय में समझ में आते हैं)।

निम्नलिखित समीकरणों का ODZ ज्ञात कीजिए।

5)

6)
.

ब्लैकबोर्ड पर समीकरण का हल लिखा होता है।

समीकरण को हल करने की प्रक्रिया क्या है?

(इस समीकरण को सरल रूप के समीकरण में लाने वाले परिवर्तन करना, यानी ऐसा समीकरण, जिसके मूल को खोजना मुश्किल नहीं है)।

सच है, यानी। समीकरण से समीकरण तक सरलीकरण का एक क्रम है
आदि। को
. आइए देखें कि परिवर्तन के प्रत्येक चरण में समीकरण की जड़ों का क्या होता है। प्रस्तुत समाधान में, समीकरण के दो मूल प्राप्त होते हैं
. जांचें कि क्या वे संख्याएं और संख्याएं हैं
और
मूल समीकरण की जड़ें।

(संख्या , और मूल समीकरण के मूल हैं, और
- नहीं)।

तो, हल करने की प्रक्रिया में ये जड़ें खो गईं। सामान्य तौर पर, किए गए परिवर्तनों के कारण दो जड़ों का नुकसान हुआ
और एक बाहरी जड़ का अधिग्रहण।

आप बाहरी जड़ों से कैसे छुटकारा पा सकते हैं?

(चेक करें)।

क्या जड़ों को खोना संभव है? क्यों?

(नहीं, क्योंकि किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना)।

जड़ों को खोने से कैसे बचें?

(शायद, समीकरण को हल करते समय, ऐसे परिवर्तन न करें जिससे जड़ों का नुकसान हो)।

तो, सही परिणाम प्राप्त करने के लिए एक समीकरण को हल करने की प्रक्रिया के लिए, समीकरणों पर परिवर्तन करते समय क्या जानना महत्वपूर्ण है?

(शायद, यह जानने के लिए कि समीकरणों में कौन से परिवर्तन जड़ों को संरक्षित करते हैं, जिससे जड़ों का नुकसान होता है या बाहरी जड़ों का अधिग्रहण होता है। जानें कि उन्हें किन परिवर्तनों को बदला जा सकता है ताकि जड़ों का नुकसान या अधिग्रहण न हो)।

इस पाठ में हम यही करने जा रहे हैं। आज के पाठ में आप आगामी गतिविधि का लक्ष्य कैसे तैयार करेंगे?

(मूलों को संरक्षित करने वाले समीकरणों पर परिवर्तनों की पहचान करने के लिए, जड़ों के नुकसान या बाहरी जड़ों के अधिग्रहण के लिए नेतृत्व करें। जानें कि किन परिवर्तनों को बदला जा सकता है ताकि जड़ों का कोई नुकसान या अधिग्रहण न हो)।

द्वितीय . परिचालन-संज्ञानात्मक भाग।

आइए ब्लैकबोर्ड पर लिखे समीकरण पर वापस जाएं। आइए देखें कि किस चरण में और किन परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, दो जड़ें खो गईं और एक बाहरी व्यक्ति दिखाई दिया। (शिक्षक प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर संख्याएँ डालता है)।

उन समीकरणों के नाम लिखिए जिनके मूलों का समुच्चय (सेट) समान है।

(समीकरण , , ,
और ,).

ऐसे समीकरण कहलाते हैं समकक्ष।समतुल्य समीकरणों की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें।

(ऐसे समीकरण जिनमें जड़ों का एक ही सेट होता है, समतुल्य कहलाते हैं)।

आइए परिभाषा लिखते हैं।

परिभाषा 1. समीकरण
और
समान कहलाते हैं यदि उनके मूलों के समुच्चय समान हों।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि घोड़ों के बिना समीकरण भी बराबर हैं।

समतुल्य समीकरणों को निरूपित करने के लिए, आप प्रतीक का उपयोग कर सकते हैं "
». नई अवधारणा का उपयोग करके समीकरण को हल करने की प्रक्रिया को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

इस प्रकार, दिए गए समीकरण से तुल्य समीकरण में संक्रमण परिणामी समीकरण के मूलों के समुच्चय को प्रभावित नहीं करता है।

और रैखिक समीकरणों को हल करते समय किए गए मुख्य परिवर्तन क्या हैं?

(कोष्ठक खोलना; समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों को स्थानांतरित करना, चिह्न को विपरीत में बदलना; समीकरण के दोनों भागों में एक अज्ञात युक्त व्यंजक जोड़ना)।

क्या उनकी जड़ें बदल गई हैं?

इन परिवर्तनों में से एक के आधार पर, अर्थात्: समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में पदों का स्थानांतरण, जबकि संकेत को विपरीत में बदलते हुए, 7 वीं कक्षा में उन्होंने समीकरणों का एक गुण तैयार किया। एक नई अवधारणा का उपयोग करके इसे तैयार करें।

(यदि समीकरण के किसी पद को विपरीत चिन्ह के साथ समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाता है, तो दिए गए के बराबर समीकरण प्राप्त होगा)।

आप समीकरण के अन्य कौन से गुण जानते हैं?

(समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जा सकता है।)

इस गुण को लागू करने से मूल समीकरण को भी समतुल्य से बदल दिया जाता है। आइए ब्लैकबोर्ड पर लिखे समीकरण पर वापस जाएं। समीकरणों की जड़ों के सेट की तुलना करें और?

(समीकरण का मूल समीकरण का मूल है)।

यही है, जब एक समीकरण से दूसरे समीकरण में जाते हैं, तो जड़ों का सेट, हालांकि विस्तारित होता है, जड़ों को नहीं खोता है। इस मामले में, समीकरण कहा जाता है समीकरण का एक परिणाम. एक समीकरण की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें जो इस समीकरण का परिणाम है।

(यदि एक समीकरण से दूसरे समीकरण में जाने पर जड़ों का कोई नुकसान नहीं होता है, तो दूसरे समीकरण को पहले समीकरण का परिणाम कहा जाता है)।

परिभाषा 2. एक समीकरण को समीकरण का परिणाम कहा जाता है यदि समीकरण का प्रत्येक मूल समीकरण का मूल हो।

- किस परिवर्तन के परिणामस्वरूप आपको समीकरण से समीकरण प्राप्त हुआ?

(समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना)।

इसका मतलब यह है कि इस परिवर्तन से बाहरी जड़ों की उपस्थिति हो सकती है, अर्थात। मूल समीकरण परिणामी समीकरण में बदल जाता है। क्या समीकरण परिवर्तनों की प्रस्तुत श्रृंखला में कोई अन्य उप-समीकरण हैं?

(हां, उदाहरण के लिए, समीकरण समीकरण का परिणाम है, और समीकरण समीकरण का परिणाम है)।

ये समीकरण क्या हैं?

(समकक्ष)।

एक परिणाम समीकरण की अवधारणा का उपयोग करके, समतुल्य समीकरणों की एक समान परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें।

(समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनमें से प्रत्येक दूसरे का परिणाम है)।

क्या समीकरण के प्रस्तावित हल में कोई अन्य उप-समीकरण हैं?

(हाँ, समीकरण समीकरण का परिणाम है)।

से में जाने पर जड़ों का क्या होता है ?

(दो जड़ें खो जाती हैं)।

इसके परिणामस्वरूप क्या परिवर्तन हुआ?

(पहचान लगाने में त्रुटि
).

समीकरण की नई अवधारणा को लागू करना - उपनिषद, और प्रतीक का उपयोग करना "
”, समीकरण को हल करने की प्रक्रिया इस तरह दिखेगी:

.

तो, परिणामी योजना हमें दिखाती है कि यदि समतुल्य संक्रमण किए जाते हैं, तो परिणामी समीकरणों के मूलों के सेट नहीं बदलते हैं। लेकिन केवल समकक्ष परिवर्तनों को लागू करना हमेशा संभव नहीं होता है। यदि संक्रमण समकक्ष नहीं हैं, तो दो मामले संभव हैं: और। पहले मामले में, समीकरण समीकरण का एक परिणाम है, परिणामी समीकरण की जड़ों के सेट में दिए गए समीकरण की जड़ों का सेट शामिल होता है, यहां बाहरी जड़ों का अधिग्रहण किया जाता है, उन्हें चेक करके काटा जा सकता है। दूसरे मामले में, एक समीकरण प्राप्त किया गया था जिसके लिए यह समीकरण एक परिणाम है: जिसका अर्थ है कि जड़ों का नुकसान होगा, ऐसे संक्रमण नहीं किए जाने चाहिए। इसलिए, यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि किसी समीकरण को बदलते समय, प्रत्येक बाद वाला समीकरण पिछले समीकरण का परिणाम हो। आपको क्या जानने की जरूरत है ताकि रूपांतरण केवल ऐसे ही हों? आइए इसे स्थापित करने का प्रयास करें। आइए कार्य 1 लिखें (यह समीकरणों का प्रस्ताव करता है; उनका ODZ अद्यतन चरण में पाया जाता है; प्रत्येक समीकरण की जड़ों का सेट दर्ज किया जाता है)।

कार्य 1. क्या प्रत्येक समूह (ए, बी) के समीकरण बराबर हैं? परिवर्तन का नाम बताइए, जिसके परिणामस्वरूप समूह के पहले समीकरण को दूसरे से बदल दिया जाता है।

ए)
बी)

आइए हम समूह a के समीकरणों की ओर मुड़ें), क्या ये समीकरण समतुल्य हैं?

(हाँ, और वे बराबर हैं)।

(हमने पहचान का इस्तेमाल किया)।

अर्थात्, समीकरण के एक भाग में व्यंजक को समान रूप से समान व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था। क्या इस परिवर्तन के तहत ODZ समीकरण बदल गया है?

समीकरणों के समूह पर विचार करें b)। क्या ये समीकरण समतुल्य हैं?

(नहीं, समीकरण समीकरण का परिणाम है)।

आप किस परिवर्तन से प्राप्त हुए हैं?

(हमने समीकरण के बाईं ओर को समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदल दिया)।

odz समीकरण का क्या हुआ?

(ODZ विस्तारित)।

ODZ के विस्तार के परिणामस्वरूप, हमें एक परिणाम समीकरण और एक बाहरी मूल प्राप्त हुआ
समीकरण के लिए। इसका मतलब है कि ODZ समीकरण के विस्तार से बाहरी जड़ों की उपस्थिति हो सकती है। दोनों स्थितियों के लिए a) और b), सामान्य रूप में कथन तैयार करें। (छात्र तैयार करते हैं, शिक्षक सही करता है)।

(चलो कुछ समीकरण में
, अभिव्यक्ति
समान अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित
. यदि ऐसा परिवर्तन ODZ समीकरण को नहीं बदलता है, तो हम समतुल्य समीकरण को पास करते हैं
. यदि ODZ फैलता है, तो समीकरण समीकरण का परिणाम है)।

यह कथन एक रूपांतरण प्रमेय है जो समतुल्य समीकरणों या उपपत्ति समीकरणों की ओर ले जाता है।

प्रमेय 1.,
ए) ओडीजेडनहीं बदलता	b) ODZ का विस्तार हो रहा है

हम इस प्रमेय को बिना प्रमाण के स्वीकार करते हैं। अगला कार्य। तीन समीकरण और उनके मूल प्रस्तुत किए गए हैं।

कार्य 2. क्या निम्नलिखित समीकरण समतुल्य हैं? उस परिवर्तन का नाम बताइए, जिसके परिणामस्वरूप पहले समीकरण को दूसरे समीकरण, तीसरे समीकरण से बदल दिया जाता है।

निम्नलिखित में से कौन से समीकरण समतुल्य हैं?

(केवल समीकरण और)।

समीकरण से समीकरण में जाने के लिए कौन से परिवर्तन किए गए थे?

(पहले मामले में हमने समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़ा
, दूसरे मामले में हमने जोड़ा
).

अर्थात्, प्रत्येक मामले में, कुछ फ़ंक्शन जोड़ा गया था
. ODZ समीकरण के साथ समीकरण में फ़ंक्शन के डोमेन की तुलना करें।

(समारोह
ODZ समीकरण पर परिभाषित)।

समीकरण के दोनों पक्षों में फलन जोड़ने पर कौन-सा समीकरण प्राप्त हुआ?

(हमें एक समान समीकरण मिलता है)।

ODZ समीकरण की तुलना में ODZ समीकरण का क्या हुआ?

(यह समारोह के कारण संकुचित हो गया है
).

इस मामले में आपको क्या मिला? क्या समीकरण समीकरण के तुल्य होगा या - समीकरण के लिए समीकरण-प्रफलक?

(नहीं, दोनों नहीं)।

कार्य 2 में प्रस्तुत समीकरण के परिवर्तन के दो मामलों पर विचार करने के बाद, निष्कर्ष निकालने का प्रयास करें।

(यदि हम समीकरण के दोनों भागों में इस समीकरण के ODZ पर परिभाषित फ़ंक्शन को जोड़ते हैं, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है)।

वास्तव में, यह कथन एक प्रमेय है।

प्रमेय2., - परिभाषित	odz समीकरण पर

लेकिन हमने समीकरणों को हल करते समय सूत्रबद्ध प्रमेय के समान एक कथन का उपयोग किया। यह कैसा लग रहा है?

(समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी जा सकती है।)

यह गुण प्रमेय 2 की एक विशेष स्थिति है जब
.

कार्य 3. क्या निम्नलिखित समीकरण समतुल्य हैं? उस परिवर्तन का नाम बताइए, जिसके परिणामस्वरूप पहले समीकरण को दूसरे समीकरण, तीसरे समीकरण से बदल दिया जाता है।

टास्क 3 में कौन से समीकरण समतुल्य हैं?

(समीकरण और)।

समीकरण से किस परिवर्तन के परिणामस्वरूप समीकरण होते हैं?

(समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा किया जाता है
और समीकरण प्राप्त करें। समीकरण प्राप्त करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा किया जाता है
).

फ़ंक्शन को किस शर्त को पूरा करना चाहिए ताकि समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करने पर, के बराबर एक समीकरण प्राप्त हो?

(फ़ंक्शन को समीकरण के संपूर्ण ODZ पर परिभाषित किया जाना चाहिए)।

क्या इस तरह के परिवर्तन पहले समीकरणों पर किए गए हैं?

(निष्पादित, समीकरण के दोनों भागों को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा किया गया था)।

इसका मतलब है कि समारोह पर लगाई गई शर्त को पूरक होना चाहिए।

(फ़ंक्शन किसी के लिए शून्य पर नहीं जाना चाहिए ODZ समीकरण से)।

इसलिए, हम प्रतीकात्मक रूप में एक बयान लिखते हैं जो हमें दिए गए समीकरण से समकक्ष समीकरण में जाने की अनुमति देता है। (शिक्षक, छात्रों के श्रुतलेख के तहत, प्रमेय 3 लिखते हैं)।

प्रमेय 3. - पूरे ODZ . में परिभाषित किसी भी ODZ . के लिए

आइए प्रमेय को सिद्ध करें। इसका क्या अर्थ है कि दो समीकरण समतुल्य हैं?

(यह दिखाया जाना चाहिए कि पहले समीकरण के सभी मूल दूसरे समीकरण की जड़ें हैं और इसके विपरीत, यानी दूसरा समीकरण पहले का परिणाम है और पहला समीकरण दूसरे का परिणाम है)।

आइए हम सिद्ध करें कि यह समीकरण का परिणाम है। रहने दो - समीकरण की जड़, इसका क्या अर्थ है?

(प्रतिस्थापित करने पर हमें सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है
).

एक बिंदु पर, फ़ंक्शन परिभाषित होता है और गायब नहीं होता है। इसका क्या मतलब है?

(संख्या
. इसलिए, संख्यात्मक समानता को गुणा किया जा सकता है
. हमें सही संख्यात्मक समानता मिलती है)।

इस समानता का क्या अर्थ है?

(- समीकरण का मूल। इससे पता चला कि समीकरण समीकरण के लिए एक समीकरण-परिणाम है)।

आइए हम सिद्ध करें कि यह समीकरण का परिणाम है। (छात्र स्वतंत्र रूप से काम करते हैं, फिर चर्चा के बाद शिक्षक बोर्ड पर प्रमाण का दूसरा भाग लिखता है)।

टास्क 4. क्या प्रत्येक समूह (ए, बी) के समीकरण बराबर हैं? परिवर्तन का नाम बताइए, जिसके परिणामस्वरूप समूह के पहले समीकरण को दूसरे से बदल दिया जाता है।

ए)
बी)

समीकरण हैं और ?

(समकक्ष)।

से किस परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जा सकता है?

(हम समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन तक बढ़ाते हैं)।

समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों से, आप फ़ंक्शन ले सकते हैं
. फ़ंक्शन को किस सेट पर परिभाषित किया गया है?
?

(फ़ंक्शन मानों के सेट के सामान्य भाग पर
और
).

अक्षर b) के तहत समीकरणों के समूह का वर्णन करें?

(वे समतुल्य नहीं हैं, एक परिणाम है, फ़ंक्शन को समीकरण पर लागू किया गया था
और समीकरण को पास किया गया, फ़ंक्शन को फ़ंक्शन मानों के सेट के सामान्य भाग पर परिभाषित किया गया है
और
).

समूह a) और b) में कार्यों के गुणों में क्या अंतर है?

(पहले मामले में, फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, लेकिन दूसरे में नहीं)।

आइए हम निम्नलिखित अभिकथन तैयार करें। (शिक्षक, छात्रों के श्रुतलेख के तहत, प्रमेय लिखते हैं)।

प्रमेय 4. - फ़ंक्शन मानों के सेट के सामान्य भाग पर परिभाषित किया गया है और
ए) - नीरस	बी) - नीरस नहीं

आइए चर्चा करें कि निम्नलिखित समीकरणों को हल करते समय यह प्रमेय कैसे "काम" करेगा।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

1)
; 2)
.

कौन सा फलन समीकरण 1 के दोनों पक्षों पर लागू होता है)?

(आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन तक बढ़ाएं, यानी, फ़ंक्शन लागू करें)।

(यह फ़ंक्शन समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर फ़ंक्शन के मानों के समुच्चय के सामान्य भाग पर परिभाषित किया गया है; यह मोनोटोनिक है)।

अतः मूल समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन तक बढ़ाने पर हमें कौन सा समीकरण प्राप्त होगा?

(इसके बराबर)।

कौन सा फलन समीकरण 2 के दोनों पक्षों पर लागू होता है?

(आइए समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी शक्ति तक बढ़ाएँ, यानी फ़ंक्शन लागू करें
).

प्रमेय 4 को लागू करने के लिए आवश्यक इस फलन के गुणों की सूची बनाइए।

(यह फ़ंक्शन समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर फ़ंक्शन के मान सेट के सामान्य भाग पर परिभाषित किया गया है; यह मोनोटोनिक नहीं है)।

इस समीकरण को चौथी घात तक बढ़ाने पर हमें मूल समीकरण के सापेक्ष कौन-सा समीकरण प्राप्त होगा?

(परिणाम समीकरण)।

क्या मूल समीकरण के मूलों का समुच्चय और परिणामी समीकरण के मूलों का समुच्चय भिन्न होगा?

(बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इसलिए, एक जाँच आवश्यक है)।

इन समीकरणों को घर पर हल करें।

तृतीय . चिंतनशील-मूल्यांकन भाग।

आज हमने एक साथ चार प्रमेयों की "खोज" की। उन्हें फिर से देखें और कहें कि वे क्या समीकरण कहते हैं।

(समकक्ष समीकरणों और समीकरण-फलक पर)।

आइए पाठ का विषय लिखें। आइए उस समीकरण पर लौटते हैं जिसे आज की बातचीत की शुरुआत में माना गया था। 1-4 प्रमेयों में से कौन सा एक समीकरण से दूसरे समीकरण में जाते समय लागू किया गया था? (छात्र शिक्षक के साथ मिलकर यह पता लगाते हैं कि प्रत्येक चरण में कौन सा प्रमेय काम करता है, शिक्षक चित्र पर प्रमेय की संख्या अंकित करता है)।

T.2 T.2 T.1 T.4 T.2 T.4

आज के पाठ में आपने क्या नया सीखा?

(समकक्ष समीकरणों की अवधारणा, परिणाम समीकरण, समीकरणों की तुल्यता पर प्रमेय)।

पाठ की शुरुआत में हमने क्या कार्य निर्धारित किया था?

(उन रूपांतरणों का चयन करें जो समीकरण के मूलों के समुच्चय को नहीं बदलते हैं, ऐसे परिवर्तन जो जड़ों के अधिग्रहण और हानि की ओर ले जाते हैं)।

क्या हमने इसे पूरी तरह हल कर लिया है?

हमने समस्या को आंशिक रूप से हल किया है, हम नए प्रकार के समीकरणों को हल करते समय अगले पाठों में इसका अध्ययन जारी रखेंगे।

समतुल्य समीकरणों की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हमारे लिए नया, कार्य के पहले भाग को "परिवर्तनों का चयन करने के लिए जो समीकरण की जड़ों के सेट को नहीं बदलते हैं।"

(कैसे पता चलेगा कि एक समीकरण से दूसरे समीकरण में जाना एक समान परिवर्तन है)।

इस प्रश्न का उत्तर देने में क्या मदद करेगा?

(समीकरणों की तुल्यता पर प्रमेय)।

और क्या आज कोई परिवर्तन लागू किया गया है जो बाहरी जड़ों के अधिग्रहण की ओर ले जाता है?

(लागू, यह समीकरण के दोनों भागों का वर्ग है; सूत्रों का उपयोग, जिनमें से बाएँ और दाएँ भाग उनमें शामिल अक्षरों के विभिन्न मूल्यों के लिए अर्थ रखते हैं)।

अन्य "विशिष्ट" कारण हैं जो समीकरण की जड़ों की उपस्थिति और हानि दोनों का कारण बनते हैं, हमने उनमें से कुछ के बारे में बात की। लेकिन ऐसे भी हैं जो, एक नियम के रूप में, समीकरणों के एक निश्चित वर्ग से जुड़े होते हैं, और हम इस बारे में बाद में बात करेंगे।

आइए होमवर्क लिखें:

तुल्य समीकरणों की परिभाषाओं, उपफल समीकरणों को जान सकेंगे;

1-4 प्रमेयों के सूत्रीकरण को जान सकेंगे;

प्रमेय 3 के प्रमाण के अनुरूप, प्रमेय 1 और 2 के प्रमाण को पूरा करना;

4) संख्या 139(4,6), 141(2) - पता करें कि क्या समीकरण समतुल्य हैं; समीकरण हल करें; .

नोटबुक प्रविष्टियाँ

समतुल्य समीकरण। समीकरण - परिणाम।

परिभाषा 1.समीकरण और समतुल्य कहलाते हैं यदि उनके मूलों के समुच्चय मेल खाते हों।

परिभाषा 2.एक समीकरण को समीकरण का परिणाम कहा जाता है यदि समीकरण का प्रत्येक मूल समीकरण का मूल हो। एक समान अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित।

उदाहरण।प्रश्न हल करें

मान लीजिए दो समीकरण दिए गए हैं

यदि समीकरण (1) का प्रत्येक मूल भी समीकरण (2) का मूल है, तो समीकरण (2) को समीकरण (1) का परिणाम कहा जाता है। ध्यान दें कि समीकरणों की तुल्यता का अर्थ है कि प्रत्येक समीकरण दूसरे का परिणाम है।

एक समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, ऐसे परिवर्तनों को लागू करना अक्सर आवश्यक होता है जो एक समीकरण की ओर ले जाते हैं जो मूल का परिणाम होता है। परिणाम समीकरण मूल समीकरण के सभी मूलों से संतुष्ट है, लेकिन, उनके अलावा, परिणाम समीकरण में ऐसे समाधान भी हो सकते हैं जो मूल समीकरण की जड़ें नहीं हैं, ये तथाकथित बाहरी जड़ें हैं। बाहरी जड़ों को पहचानने और निकालने के लिए, वे आमतौर पर ऐसा करते हैं: परिणाम समीकरण के सभी पाए गए जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाता है।

यदि, किसी समीकरण को हल करते समय, हमने इसे परिणामी समीकरण से बदल दिया है, तो उपरोक्त सत्यापन समीकरण को हल करने का एक अभिन्न अंग है। इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह समीकरण किन परिवर्तनों के तहत कोरोलरी में जाता है।

समीकरण पर विचार करें

और इसके दोनों भागों को उसी व्यंजक से गुणा करें जो x के सभी मानों के लिए समझ में आता है। हमें समीकरण मिलता है

जिनकी जड़ें समीकरण (3) के मूल और समीकरण के मूल दोनों हैं। इसलिए, समीकरण (4) समीकरण (3) का परिणाम है। यह स्पष्ट है कि समीकरण (3) और (4) समतुल्य हैं यदि "बाहरी" समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

इसलिए, यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ऐसे व्यंजक से गुणा किया जाता है जो x के किसी भी मान के लिए समझ में आता है, तो हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जो मूल एक का परिणाम होता है। परिणामी समीकरण मूल के बराबर होगा यदि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं। ध्यान दें कि रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन, यानी समीकरण (4) से समीकरण (3) में संक्रमण, समीकरण (4) के दोनों हिस्सों को समीकरण द्वारा विभाजित करके, एक नियम के रूप में, अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधान का नुकसान हो सकता है (में) इस मामले में, वे समीकरण की जड़ों को "खो" सकते हैं उदाहरण के लिए, एक समीकरण के दो मूल होते हैं: 3 और 4। .

फिर से, समीकरण (3) लें और दोनों पक्षों का वर्ग करें। हमें समीकरण मिलता है

जिनकी जड़ें समीकरण (3) के मूल और "बाहरी" समीकरण के मूल दोनों हैं, यानी समीकरण समीकरण (3) का परिणाम है।

तथाकथित बाहरी जड़ों की उपस्थिति को जन्म दे सकता है। इस लेख में, हम सबसे पहले विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि क्या है बाहरी जड़ें. दूसरे, आइए उनकी घटना के कारणों के बारे में बात करते हैं। और तीसरा, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के मुख्य तरीकों पर विचार करेंगे, अर्थात्, उत्तर से उन्हें बाहर करने के लिए उनमें से बाहरी जड़ों की उपस्थिति के लिए जड़ों की जाँच करना।

समीकरण, परिभाषा, उदाहरण की बाहरी जड़ें

बीजगणित स्कूल की पाठ्यपुस्तकें एक बाहरी जड़ को परिभाषित नहीं करती हैं। वहाँ, एक बाहरी जड़ का विचार निम्नलिखित स्थिति का वर्णन करके बनता है: समीकरण के कुछ परिवर्तनों की मदद से, मूल समीकरण से परिणाम समीकरण में संक्रमण किया जाता है, प्राप्त परिणाम समीकरण की जड़ें हैं पाया जाता है, और पाए गए जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाता है, जिससे पता चलता है कि कुछ जड़ें मूल समीकरण की जड़ें नहीं हैं, इन जड़ों को मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें कहा जाता है।

इस आधार के आधार पर, आप अपने लिए एक बाहरी जड़ की निम्नलिखित परिभाषा ले सकते हैं:

परिभाषा

बाहरी जड़ेंपरिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण-परिणाम की जड़ें हैं, जो मूल समीकरण की जड़ें नहीं हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। इस समीकरण के समीकरण और परिणाम पर विचार करें x·(x−1)=0 , जो व्यंजक को व्यंजक x·(x−1) से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया है, जो इसके समान रूप से बराबर है। मूल समीकरण का एक ही मूल 1 है। परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण के दो मूल 0 और 1 हैं। अतः 0 मूल समीकरण का एक बाह्य मूल है।

बाहरी जड़ों की संभावित उपस्थिति के कारण

यदि परिणाम समीकरण प्राप्त करने के लिए कोई "विदेशी" परिवर्तन का उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन केवल समीकरणों के मूल परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है, तो बाहरी जड़ें केवल दो कारणों से उत्पन्न हो सकती हैं:

• ODZ के विस्तार के कारण और
• क्योंकि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही सम घात तक बढ़ा दिया जाता है।

यहाँ यह याद रखने योग्य है कि समीकरण के परिवर्तन के परिणामस्वरूप ODZ का विस्तार मुख्य रूप से होता है

• अंशों को कम करते समय;
• किसी उत्पाद को एक या अधिक शून्य कारकों के साथ शून्य से प्रतिस्थापित करते समय;
• शून्य अंश के साथ शून्य को भिन्न से प्रतिस्थापित करते समय;
• शक्तियों, जड़ों, लघुगणक के कुछ गुणों का उपयोग करते समय;
• कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते समय;
• समीकरण के दोनों भागों को एक ही व्यंजक से गुणा करने पर, जो इस समीकरण के लिए ODZ पर गायब हो जाता है;
• जब लघुगणक के संकेतों को हल करने की प्रक्रिया में जारी किया जाता है।

लेख के पिछले पैराग्राफ का उदाहरण ओडीजेड के विस्तार के कारण एक बाहरी जड़ की उपस्थिति को दर्शाता है, जो समीकरण से कोरोलरी समीकरण x·(x−1)=0 में जाने पर होता है। मूल समीकरण के लिए ODZ शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है, परिणामी समीकरण के लिए ODZ सेट R है, अर्थात ODZ को संख्या शून्य से बढ़ाया जाता है। यह संख्या अंततः एक बाहरी मूल बन जाती है।

हम समीकरण के दोनों भागों को एक समान सम घात में ऊपर उठाने के कारण एक बाह्य मूल के प्रकट होने का एक उदाहरण भी देंगे। अपरिमेय समीकरण का एक ही मूल 4 होता है, और इस समीकरण का परिणाम, समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात समीकरण , की दो जड़ें 1 और 4 हैं। इससे यह देखा जा सकता है कि समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने से मूल समीकरण के लिए एक बाहरी मूल का आभास हुआ।

ध्यान दें कि ODZ का विस्तार और समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही सम घात तक बढ़ाने से हमेशा बाहरी जड़ों का आभास नहीं होता है। उदाहरण के लिए, जब समीकरण से कोरोलरी समीकरण x=2 पर जाते हैं, तो ODZ सभी गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक फैल जाता है, लेकिन बाहरी मूल नहीं दिखाई देते हैं। 2 पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का एकमात्र मूल है। साथ ही, समीकरण से समीकरण-परिणाम तक संक्रमण के दौरान बाहरी जड़ों का कोई आभास नहीं होता है। पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का एकमात्र मूल x=16 है। यही कारण है कि हम बाहरी जड़ों की उपस्थिति के कारणों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन बाहरी जड़ों की संभावित उपस्थिति के कारणों के बारे में बात कर रहे हैं।

बाहरी जड़ों की निराई क्या है?

शब्द "बाहरी जड़ों को खत्म करना" को केवल एक अच्छी तरह से स्थापित शब्द कहा जा सकता है, यह सभी बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह सहज है, इसलिए आमतौर पर इसका उपयोग किया जाता है। बाहरी जड़ों को बाहर निकालने का मतलब निम्नलिखित वाक्यांश से स्पष्ट हो जाता है: "... सत्यापन समीकरण को हल करने में एक अनिवार्य कदम है, जो बाहरी जड़ों का पता लगाने में मदद करेगा, यदि कोई हो, और उन्हें त्याग दें (आमतौर पर वे कहते हैं" खरपतवार निकालना) ”)”।

इस प्रकार,

परिभाषा

बाहरी जड़ों को बाहर निकालनाबाहरी जड़ों की पहचान और अस्वीकृति है।

अब आप बाहरी जड़ों को हटाने के तरीकों पर आगे बढ़ सकते हैं।

बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के तरीके

प्रतिस्थापन जांच

बाहरी जड़ों को हटाने का मुख्य तरीका एक प्रतिस्थापन जांच है। यह आपको बाहरी जड़ों को हटाने की अनुमति देता है जो ओडीजेड के विस्तार के कारण उत्पन्न हो सकती हैं, और समीकरण के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाने के कारण उत्पन्न हो सकती हैं।

प्रतिस्थापन जांच इस प्रकार है: परिणाम समीकरण की मिली जड़ों को मूल समीकरण में या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण में बदल दिया जाता है, जो सही संख्यात्मक समानता देते हैं वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और जो एक देते हैं गलत संख्यात्मक समानता या अभिव्यक्ति, अर्थहीन मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।

आइए एक उदाहरण का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि मूल समीकरण में प्रतिस्थापन के माध्यम से बाहरी जड़ों की जांच कैसे की जाती है।

कुछ मामलों में, अन्य तरीकों से बाहर निकालने के लिए बाहरी जड़ों को बाहर निकालना अधिक उपयुक्त होता है। यह मुख्य रूप से उन मामलों पर लागू होता है जहां प्रतिस्थापन जांच महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ी होती है या जब एक निश्चित प्रकार के समीकरणों को हल करने के मानक तरीके में एक अलग जांच शामिल होती है (उदाहरण के लिए, आंशिक-तर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों को बाहर निकालना इस शर्त पर कि भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं है)। आइए बाहरी जड़ों को बाहर निकालने के वैकल्पिक तरीकों का विश्लेषण करें।

ODZ . के अनुसार

प्रतिस्थापन जांच के विपरीत, ओडीजेड द्वारा बाहरी जड़ों की जांच करना हमेशा उचित नहीं होता है। तथ्य यह है कि यह विधि आपको केवल ओडीजेड के विस्तार के कारण उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करने की अनुमति देती है, और यह बाहरी जड़ों के उन्मूलन की गारंटी नहीं देती है जो अन्य कारणों से उत्पन्न हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, दोनों भागों को ऊपर उठाने के कारण समान शक्ति का समीकरण। इसके अलावा, समीकरण को हल करने के लिए ODZ को खोजना हमेशा आसान नहीं होता है। फिर भी, ओडीजेड द्वारा बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की विधि को सेवा में रखा जाना चाहिए, क्योंकि इसके उपयोग के लिए अक्सर अन्य विधियों के उपयोग की तुलना में कम कम्प्यूटेशनल काम की आवश्यकता होती है।

ODZ के अनुसार बाहरी जड़ों का स्थानांतरण निम्नानुसार किया जाता है: परिणाम समीकरण के सभी पाए गए जड़ों को मूल समीकरण या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण के लिए चर के अनुमेय मूल्यों के क्षेत्र से संबंधित होने के लिए जाँच की जाती है, जो कि ODZ से संबंधित मूल समीकरण के मूल हैं, और उनमें से जो ODZ से संबंधित नहीं हैं, वे मूल समीकरण के लिए बाह्य मूल हैं।

प्रदान की गई जानकारी के विश्लेषण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ओडीजेड के अनुसार बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की सलाह दी जाती है यदि एक ही समय में:

• मूल समीकरण के लिए ODZ खोजना आसान है,
• ओडीजेड के विस्तार के कारण ही बाहरी जड़ें पैदा हो सकती हैं,
• प्रतिस्थापन सत्यापन महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ा है।

हम दिखाएंगे कि व्यवहार में बाहरी जड़ों की निराई कैसे की जाती है।

ODZ . की शर्तों के तहत

जैसा कि हमने पिछले पैराग्राफ में कहा था, यदि बाहरी जड़ें केवल ODZ के विस्तार के कारण उत्पन्न हो सकती हैं, तो उन्हें मूल समीकरण के लिए ODZ के अनुसार फ़िल्टर किया जा सकता है। लेकिन ODZ को संख्यात्मक सेट के रूप में खोजना हमेशा आसान नहीं होता है। ऐसे मामलों में, बाहरी जड़ों को ODZ के अनुसार नहीं, बल्कि ODZ को निर्धारित करने वाली स्थितियों के अनुसार जांचना संभव है। आइए हम बताते हैं कि ओडीजेड की शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों की जांच कैसे की जाती है।

पाए गए जड़ों को बदले में उन स्थितियों में प्रतिस्थापित किया जाता है जो मूल समीकरण या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण के लिए ODZ निर्धारित करते हैं। उनमें से जो सभी शर्तों को पूरा करते हैं वे समीकरण के मूल हैं। और उनमें से जो कम से कम एक शर्त को पूरा नहीं करते हैं या एक अभिव्यक्ति देते हैं जो समझ में नहीं आता है मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।

आइए हम ODZ की शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों को बाहर निकालने का एक उदाहरण दें।

समीकरण के दोनों पक्षों को सम घात तक बढ़ाने से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों की जांच करना

यह स्पष्ट है कि समीकरण के दोनों भागों को एक ही सम घात तक बढ़ाने से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को मूल समीकरण में या इसके समकक्ष किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करके किया जा सकता है। लेकिन इस तरह के सत्यापन को महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जोड़ा जा सकता है। इस मामले में, बाहरी जड़ों को हटाने का एक वैकल्पिक तरीका जानने लायक है, जिसके बारे में हम अभी बात करेंगे।

बाहरी जड़ों को बाहर निकालना जो तब उत्पन्न हो सकता है जब रूप के अपरिमेय समीकरणों के दोनों भागों को समान घात तक बढ़ा दिया जाता है , जहाँ n कुछ सम संख्या है, g(x)≥0 की स्थिति के अनुसार निकाला जा सकता है। यह एक सम मूल की परिभाषा से निम्नानुसार है: एक सम मूल n एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका nth घात मूल संख्या के बराबर है, जहाँ से . इस प्रकार, स्वरित दृष्टिकोण समीकरण के दोनों भागों को एक ही डिग्री तक बढ़ाने की विधि और मूल का निर्धारण करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि का एक प्रकार का सहजीवन है। यानी समीकरण , जहां n एक सम संख्या है, समीकरण के दोनों भागों को समान घात तक बढ़ाकर हल किया जाता है, और अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए विधि से ली गई स्थिति g(x)≥0 के अनुसार बाहरी जड़ों को बाहर निकालना किया जाता है। जड़।

प्रस्तुति में, हम समतुल्य समीकरणों, प्रमेयों पर विचार करना जारी रखेंगे और ऐसे समीकरणों को हल करने के चरणों पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।

सबसे पहले, आइए उस स्थिति को याद करें जिसके तहत एक समीकरण दूसरे का परिणाम है (स्लाइड 1)। लेखक एक बार फिर समान समीकरणों पर कुछ प्रमेयों का हवाला देता है जिन पर पहले विचार किया गया था: एक समीकरण के भागों को समान मान h (x) से गुणा करने पर; समीकरण के कुछ हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाना; समीकरण से एक समान समीकरण प्राप्त करना लॉग a f (x) = log a g (x)।

प्रेजेंटेशन की 5वीं स्लाइड पर मुख्य चरणों पर प्रकाश डाला गया है, जिसकी मदद से समतुल्य समीकरणों को हल करना सुविधाजनक है:

एक समान समीकरण के समाधान खोजें;

समाधान का विश्लेषण करें;

जाँच करना।

उदाहरण 1 पर विचार करें। समीकरण x - 3 = 2 का परिणाम खोजना आवश्यक है। समीकरण x = 5 का मूल ज्ञात करें। समतुल्य समीकरण (x - 3) (x - 6) = 2 (x - 6) लिखें। ), समीकरण के भागों को (x - 6) से गुणा करने की विधि को लागू करना। व्यंजक को x 2 - 11x +30 = 0 के रूप में सरल बनाने पर, हम मूल x 1 = 5, x 2 = 6 पाते हैं। समीकरण x - 3 \u003d 2 की प्रत्येक जड़ भी समीकरण x 2 - 11x +30 \u003d 0 का एक हल है, फिर x 2 - 11x +30 \u003d 0 एक परिणाम समीकरण है।

उदाहरण 2. समीकरण x - 3 = 2 का एक अन्य परिणाम ज्ञात कीजिए। समतुल्य समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम सम घात तक बढ़ाने की विधि का उपयोग करते हैं। परिणामी व्यंजक को सरल करते हुए, हम x 2 - 6x +5 = 0 लिखते हैं। समीकरण x 1 = 5, x 2 = 1 के मूल ज्ञात कीजिए। x \u003d 5 (समीकरण x - 3 \u003d 2) की जड़ भी समीकरण x 2 - 6x +5 \u003d 0 का समाधान है, तो समीकरण x 2 - 6x +5 \u003d 0 भी एक परिणाम है समीकरण

उदाहरण 3. समीकरण लॉग 3 (x + 1) + लघुगणक 3 (x + 3) = 1 का परिणाम ज्ञात करना आवश्यक है।

आइए हम समीकरण में 1 = लॉग 3 3 को प्रतिस्थापित करें। फिर, प्रमेय 6 के कथन को लागू करते हुए, हम समतुल्य समीकरण (x + 1)(x +3) = 3 लिखते हैं। व्यंजक को सरल बनाने पर, हमें x 2 + 4x = प्राप्त होता है। 0, जहाँ मूल x 1 = 0, x 2 = - 4 हैं। अतः समीकरण x 2 + 4x = 0 दिए गए समीकरण का परिणाम है लॉग 3 (x + 1) + लघुगणक 3 (x + 3) = 1 .

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार किया जाता है, तो एक समीकरण-परिणाम प्राप्त होता है। हम समीकरण-परिणाम खोजने में मानक क्रियाओं को अलग करते हैं:

चर वाले हर से छुटकारा पाना;

समीकरण के भागों को समान घात तक बढ़ाना;

लॉगरिदमिक संकेतों से छूट।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: जब समाधान के दौरान समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार किया जाता है, तो सभी जड़ों की जांच करना आवश्यक है - क्या वे ODZ में गिरेंगे।

उदाहरण 4. स्लाइड 12 पर प्रस्तुत समीकरण को हल करें। सबसे पहले, समतुल्य समीकरण x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2 (प्रथम चरण) के मूल ज्ञात करें। जड़ों (द्वितीय चरण) की जांच करना अनिवार्य है। जड़ों की जाँच (तीसरा चरण): x 1 \u003d 5 दिए गए समीकरण के अनुमेय मूल्यों की सीमा से संबंधित नहीं है, इसलिए समीकरण का केवल एक समाधान x \u003d - 2 है।

उदाहरण 5 में, तुल्य समीकरण का पाया हुआ मूल दिए गए समीकरण के ODZ में शामिल नहीं है। उदाहरण 6 में, दो पाए गए मूलों में से एक का मान परिभाषित नहीं है, इसलिए यह मूल मूल समीकरण का हल नहीं है।