फराफोनोवा नतालिया इगोरवाना

विषय:अपूर्ण द्विघात समीकरण।

पाठ मकसद:- एक अपूर्ण द्विघात समीकरण की अवधारणा का परिचय दें;

अधूरे द्विघात समीकरणों को हल करना सीखें।

पाठ मकसद:- द्विघात समीकरण के रूप को निर्धारित करने में सक्षम हो;

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करें।

वेबबुक:बीजगणित: प्रो. 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / श्री ए। अलीमोव, यू। एम। कोल्यागिन, यू। वी। सिदोरोव और अन्य - एम।: शिक्षा, 2010।

कक्षाओं के दौरान।

1. छात्रों को याद दिलाएं कि किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने से पहले उसे एक मानक रूप में लाना आवश्यक है। परिभाषा याद रखें पूर्ण द्विघात समीकरण:कुल्हाड़ी2+बीएक्स +सी = 0,एक 0.

इन द्विघात समीकरणों में, गुणांक a, b, c नाम दें:

क) 2x 2 - x + 3 = 0; बी) एक्स 2 + 4x - 1 = 0; सी) एक्स 2 - 4 \u003d 0; डी) 5x 2 + 3x = 0।

2. अपूर्ण द्विघात समीकरण की परिभाषा दीजिए :

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 कहलाता है अधूरा, यदि गुणांकों में से कम से कम एक, b या c, 0 के बराबर है। ध्यान दें कि गुणांक a 0 है। ऊपर प्रस्तुत समीकरणों में से, अपूर्ण द्विघात समीकरण चुनें।

3. अपूर्ण द्विघात समीकरणों के प्रकारों को हल के उदाहरणों के साथ तालिका के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक है:

1. हल किए बिना, प्रत्येक अपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए जड़ों की संख्या निर्धारित करें:

ए) 2x 2 - 3 = 0; बी) 3x 2 + 4 = 0; ग) 5x 2 - x \u003d 0; घ) 0.6x2 = 0; ई) -8x 2 - 4 = 0।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करें (समीकरणों का समाधान, ब्लैकबोर्ड पर एक चेक के साथ, 2 विकल्प):

ग) 2x 2 + 15 = 0

डी) 3x 2 + 2x = 0

ई) 2x 2 - 16 = 0

च) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

छ) (x + 1) 2 - 4 = 0

ग) 2x 2 + 7 = 0

डी) एक्स 2 + 9एक्स = 0

ई) 81x 2 - 64 = 0

च) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

छ) (एक्स - 2) 2 - 8 = 0।

6. विकल्पों पर स्वतंत्र कार्य:

1 विकल्प

क) 3x 2 - 12 = 0

बी) 2x 2 + 6x = 0

ई) 7x 2 - 14 = 0

विकल्प 2

बी) 6x 2 + 24 = 0

ग) 9y 2 - 4 = 0

घ) -y 2 + 5 = 0

ई) 1 - 4y 2 = 0

च) 8y 2 + y = 0

3 विकल्प

क) 6y - y 2 = 0

बी) 0.1y 2 - 0.5y = 0

सी) (एक्स + 1) (एक्स -2) = 0

डी) एक्स (एक्स + 0.5) = 0

ई) एक्स 2 - 2x = 0

च) x 2 - 16 = 0

4 विकल्प

क) 9x 2 - 1 = 0

बी) 3x - 2x 2 = 0

डी) एक्स 2 + 2x - 3 = 2x + 6

ई) 3x 2 + 7 = 12x + 7

5 विकल्प

ए) 2x 2 - 18 = 0

बी) 3x 2 - 12x = 0

डी) एक्स 2 + 16 = 0

ई) 6x 2 - 18 = 0

च) x 2 - 5x = 0

6 विकल्प

बी) 4x 2 + 36 = 0

ग) 25y 2 - 1 = 0

घ) -y 2 + 2 = 0

ई) 9 - 16y 2 = 0

च) 7y 2 + y = 0

7 विकल्प

क) 4y - y 2 = 0

बी) 0.2y 2 - y = 0

सी) (एक्स + 2) (एक्स - 1) = 0

डी) (एक्स - 0.3) एक्स = 0

ई) एक्स 2 + 4x = 0

च) x 2 - 36 = 0

8 विकल्प

ए) 16x 2 - 1 = 0

बी) 4x - 5x 2 = 0

डी) एक्स 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

ई) 5x 2 - 6 = 15x - 6

स्वतंत्र कार्य के लिए उत्तर:

विकल्प 1: ए) 2, बी) 0; -3; ग) 0; डी) कोई जड़ें नहीं हैं; इ);

विकल्प 2 ए) 0; बी) जड़ें; में); जी); इ); च)0;-;

3 विकल्प क) 0;6; बी) 0;5; ग) -1;2; घ) 0; -0.5; ई) 0;2; च)4

4 विकल्प ए); बी) 0, 1.5; ग) 0;3; घ) 3; ई)0;4 ई)5

5 विकल्प ए)3; बी) 0;4; ग) 0; डी) कोई जड़ें नहीं हैं; ई) च) 0; 5

6 विकल्प ए) 0; बी) कोई जड़ें नहीं हैं; सी) डी) ई) एफ) 0;-

7 विकल्प क) 0, 4; बी) 0;5; ग) -2;1; घ) 0, 0.03; ई) 0; -4; च)6

8 विकल्प ए) बी) 0; ग) 0;7; घ) 4; ई) 0;3; इ)

पाठ सारांश:"अपूर्ण द्विघात समीकरण" की अवधारणा तैयार की गई है; विभिन्न प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके दिखाए गए हैं। विभिन्न कार्यों को करने के क्रम में अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने का कौशल निकाला गया।

7. गृहकार्य: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

अतिरिक्त कार्य:

a के किन मानों के लिए समीकरण एक अपूर्ण द्विघात समीकरण है? के प्राप्त मूल्यों के लिए समीकरण को हल करें:

क) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

बी) (ए - 2)x 2 + कुल्हाड़ी \u003d 4 - ए 2 \u003d 0

द्विघात समीकरण के कार्यों का अध्ययन स्कूली पाठ्यक्रम और विश्वविद्यालयों दोनों में किया जाता है। उन्हें a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 के रूप के समीकरणों के रूप में समझा जाता है, जहाँ एक्स-चर, ए, बी, सी - स्थिरांक; ए<>0. समस्या समीकरण की जड़ों को खोजने की है।

द्विघात समीकरण का ज्यामितीय अर्थ

द्विघात समीकरण द्वारा दर्शाए गए फलन का आलेख एक परवलय होता है। द्विघात समीकरण के हल (मूल) x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यह इस प्रकार है कि तीन संभावित मामले हैं:
1) परवलय का x-अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। इसका मतलब है कि यह ऊपरी तल में शाखाओं के साथ ऊपर या नीचे शाखाओं के साथ नीचे है। ऐसे मामलों में, द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है (इसकी दो जटिल जड़ें होती हैं)।

2) परवलय में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का एक बिंदु होता है। ऐसे बिंदु को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, और इसमें द्विघात समीकरण अपना न्यूनतम या अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है। इस स्थिति में, द्विघात समीकरण का एक वास्तविक मूल (या दो समान मूल) होता है।

3) अंतिम मामला व्यवहार में अधिक दिलचस्प है - एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं। इसका मतलब है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं।

चरों की घातों पर गुणांकों के विश्लेषण के आधार पर, परवलय के स्थान के बारे में दिलचस्प निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं।

1) यदि गुणांक a शून्य से अधिक है, तो परवलय को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, यदि ऋणात्मक है, तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।

2) यदि गुणांक बी शून्य से अधिक है, तो परवलय का शीर्ष बाएं आधे तल में स्थित है, यदि यह ऋणात्मक मान लेता है, तो दाईं ओर।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए द्विघात समीकरण से स्थिरांक को स्थानांतरित करें

समान चिह्न के लिए, हमें व्यंजक प्राप्त होता है

दोनों पक्षों को 4a . से गुणा करें

बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, दोनों भागों में b ^ 2 जोड़ें और परिवर्तन करें

यहाँ से हम पाते हैं

विभेदक का सूत्र और द्विघात समीकरण की जड़ें

विवेचक मूलक व्यंजक का मान है। यदि यह धनात्मक है, तो समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है जब विवेचक शून्य होता है, तो द्विघात समीकरण का एक हल (दो संयोग मूल) होता है, जो D=0 के लिए उपरोक्त सूत्र से प्राप्त करना आसान होता है। जब विभेदक ऋणात्मक होता है, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं। हालांकि, जटिल विमान में द्विघात समीकरण के समाधान का अध्ययन करने के लिए, और उनके मूल्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

विएटा का प्रमेय

एक द्विघात समीकरण के दो मूलों पर विचार करें और उनके आधार पर एक द्विघात समीकरण की रचना करें। विएटा प्रमेय स्वयं आसानी से संकेतन का अनुसरण करता है: यदि हमारे पास रूप का द्विघात समीकरण है तब इसके मूलों का योग गुणांक p के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया जाता है, और समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद q के बराबर होता है। उपरोक्त के लिए सूत्र इस तरह दिखेगा यदि शास्त्रीय समीकरण में स्थिरांक अशून्य है, तो आपको इसके द्वारा संपूर्ण समीकरण को विभाजित करने की आवश्यकता है, और फिर विएटा प्रमेय लागू करें।

गुणनखंडों पर द्विघात समीकरण की अनुसूची

कार्य को सेट होने दें: द्विघात समीकरण को कारकों में विघटित करना। इसे करने के लिए, हम पहले समीकरण को हल करते हैं (मूल ज्ञात करें)। इसके बाद, हम द्विघात समीकरण के विस्तार के लिए पाए गए मूलों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। यह समस्या हल हो जाएगी।

द्विघात समीकरण के लिए कार्य

कार्य 1। द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

x^2-26x+120=0 ।

समाधान: विभेदक सूत्र में गुणांक और स्थानापन्न लिखिए

इस मान का मूल 14 है, इसे कैलकुलेटर के साथ खोजना आसान है, या इसे लगातार उपयोग के साथ याद रखें, हालांकि, सुविधा के लिए, लेख के अंत में मैं आपको संख्याओं के वर्गों की एक सूची दूंगा जो अक्सर हो सकते हैं ऐसे कार्यों में पाया जाता है।
पाया गया मान मूल सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है

और हमें मिलता है

कार्य 2. प्रश्न हल करें

2x2+x-3=0.

हल: हमारे पास एक पूर्ण द्विघात समीकरण है, गुणांक लिखिए और विवेचक ज्ञात कीजिए


सुप्रसिद्ध सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं

कार्य 3. प्रश्न हल करें

9x2 -12x+4=0.

हल: हमारे पास एक पूर्ण द्विघात समीकरण है। विभेदक का निर्धारण करें

हमें मामला तब मिला जब जड़ें मेल खाती हैं। हम सूत्र द्वारा जड़ों के मान ज्ञात करते हैं

कार्य 4. प्रश्न हल करें

x^2+x-6=0 ।

समाधान: ऐसे मामलों में जहां x के लिए छोटे गुणांक हैं, विएटा प्रमेय को लागू करने की सलाह दी जाती है। इसकी स्थिति से, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं

दूसरी शर्त से, हम पाते हैं कि उत्पाद -6 के बराबर होना चाहिए। इसका मतलब है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। हमारे पास समाधानों की निम्नलिखित संभावित जोड़ी है(-3;2), (3;-2)। पहली शर्त को ध्यान में रखते हुए, हम समाधान के दूसरे जोड़े को अस्वीकार करते हैं।
समीकरण की जड़ें हैं

टास्क 5. एक आयत की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि इसका परिमाप 18 सेमी और क्षेत्रफल 77 सेमी 2 है।

हल: एक आयत का आधा परिमाप आसन्न भुजाओं के योग के बराबर होता है। आइए x को निरूपित करें - बड़ा पक्ष, फिर 18-x इसका छोटा पक्ष है। एक आयत का क्षेत्रफल इन लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है:
एक्स(18x)=77;
या
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
समीकरण के विभेदक का पता लगाएं

हम समीकरण की जड़ों की गणना करते हैं

यदि एक एक्स = 11,तब 18x=7 ,इसके विपरीत भी सत्य है (यदि x=7, तो 21-x=9)।

समस्या 6. द्विघात 10x 2 -11x+3=0 समीकरण का गुणनखंडन कीजिए।

हल: समीकरण की जड़ों की गणना करें, इसके लिए हम विवेचक पाते हैं

हम पाए गए मान को जड़ों के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं

हम द्विघात समीकरण को मूल के पदों में विस्तारित करने के लिए सूत्र लागू करते हैं

कोष्ठक का विस्तार करने पर, हमें पहचान मिलती है।

पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण

उदाहरण 1. पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए ए ,क्या समीकरण (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 का एक मूल है?

हल: मान a=3 के सीधे प्रतिस्थापन से हम देखते हैं कि इसका कोई हल नहीं है। इसके अलावा, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि शून्य विवेचक के साथ, समीकरण में बहुलता 2 का एक मूल होता है। आइए विवेचक को लिखें

इसे सरल करें और शून्य के बराबर करें

हमने पैरामीटर a के संबंध में एक द्विघात समीकरण प्राप्त किया है, जिसका समाधान Vieta प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त करना आसान है। जड़ों का योग 7 है और उनका गुणनफल 12 है। सरल गणना से, हम यह स्थापित करते हैं कि संख्या 3.4 समीकरण की जड़ें होंगी। चूँकि हमने गणना की शुरुआत में पहले ही समाधान a=3 को अस्वीकार कर दिया है, केवल सही समाधान होगा - ए = 4।इस प्रकार, a = 4 के लिए, समीकरण का एक मूल होता है।

उदाहरण 2. पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए ए ,समीकरण a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0एक से अधिक जड़ हैं?

समाधान: पहले एकवचन बिंदुओं पर विचार करें, वे मान a=0 और a=-3 होंगे। जब a=0, समीकरण को 6x-9=0 के रूप में सरल बनाया जाएगा; x=3/2 और एक मूल होगा। a= -3 के लिए हमें सर्वसमिका 0=0 प्राप्त होती है।
विभेदक की गणना करें

और a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए यह धनात्मक है

पहली शर्त से हमें एक>3 मिलता है। दूसरे के लिए, हम विभेदक और समीकरण की जड़ें पाते हैं


आइए उन अंतरालों को परिभाषित करें जहां फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है। बिंदु a=0 को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है 3>0 . अत: अंतराल के बाहर (-3; 1/3) फलन ऋणात्मक है। डॉट मत भूलना ए = 0जिसे बाहर रखा जाना चाहिए, क्योंकि मूल समीकरण में एक जड़ है।
नतीजतन, हमें दो अंतराल मिलते हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं

व्यवहार में कई समान कार्य होंगे, कार्यों को स्वयं करने का प्रयास करें और उन स्थितियों को ध्यान में रखना न भूलें जो परस्पर अनन्य हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्रों का अच्छी तरह से अध्ययन करें, विभिन्न समस्याओं और विज्ञानों में गणना में उनकी अक्सर आवश्यकता होती है।

प्रथम स्तर

द्विघातीय समीकरण। व्यापक गाइड (2019)

शब्द "द्विघात समीकरण" में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में वर्ग में एक चर (समान एक्स) होना चाहिए, और साथ ही तीसरी (या अधिक) डिग्री में एक्स नहीं होना चाहिए।

द्विघात समीकरणों के हल में अनेक समीकरणों के हल को घटाया जाता है।

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि हमारे पास द्विघात समीकरण है, न कि कुछ अन्य।

उदाहरण 1

हर से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को गुणा करें

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और शर्तों को x . की शक्तियों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें

अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह समीकरण द्विघात है!

उदाहरण 2

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालांकि मूल रूप से इसमें था, एक वर्ग नहीं है!

उदाहरण 3

आइए सब कुछ गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री ... हालांकि, अगर हम एक प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक साधारण द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4

ऐसा लगता है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं:

आप देखिए, यह सिकुड़ गया है - और अब यह एक साधारण रैखिक समीकरण है!

अब आप स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन-से समीकरण द्विघात हैं और कौन-से नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

1. वर्ग;
2. वर्ग;
3. चौकोर नहीं;
4. चौकोर नहीं;
5. चौकोर नहीं;
6. वर्ग;
7. चौकोर नहीं;
8. वर्ग।

गणितज्ञ सशर्त रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्न प्रकारों में विभाजित करते हैं:

• पूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (उदाहरण के लिए)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरणों में से हैं दिया गयावे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)

• अपूर्ण द्विघात समीकरण- वे समीकरण जिनमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  वे अधूरे हैं क्योंकि उनमें से कुछ तत्व गायब है। लेकिन समीकरण में हमेशा x चुकता होना चाहिए !!! अन्यथा, यह अब द्विघात नहीं होगा, बल्कि कुछ अन्य समीकरण होगा।

वे इस तरह के विभाजन के साथ क्यों आए? ऐसा लगता है कि एक एक्स वर्ग है, और ठीक है। ऐसा विभाजन समाधान के तरीकों के कारण होता है। आइए उनमें से प्रत्येक पर अधिक विस्तार से विचार करें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान दें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण प्रकार के होते हैं:

1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
2. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।
3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं। चूँकि हम जानते हैं कि वर्गमूल कैसे लिया जाता है, आइए इस समीकरण से व्यक्त करें

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है।

और अगर, तो हमें दो जड़ें मिलती हैं। इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। मुख्य बात यह है कि आपको हमेशा यह जानना और याद रखना चाहिए कि यह कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बाएँ और दाएँ भाग से जड़ निकालना बाकी है। आखिरकार, क्या आपको याद है कि जड़ों को कैसे निकालना है?

जवाब:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें !!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

जवाब:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

आउच! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनमें कोई जड़ नहीं है, गणितज्ञ एक विशेष चिह्न के साथ आए - (खाली सेट)। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जवाब:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

इस प्रकार,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं।

जवाब:

अधूरे द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, है ना?) जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

यहां हम बिना उदाहरणों के करेंगे।

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि पूर्ण द्विघात समीकरण, समीकरण के रूप का एक समीकरण है जहाँ

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना दिए गए समीकरणों की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल (बस थोड़ा सा) है।

याद है, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

बाकी विधियां आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन अगर आपको द्विघात समीकरणों में समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

अगर, तो समीकरण की जड़ है कदम पर विशेष ध्यान देना चाहिए। विवेचक () हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण पर सूत्र को घटाकर कर दिया जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• अगर, तो हम कदम पर विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

चरण 3

जवाब:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की एक जड़ है।

जवाब:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

इसका मतलब है कि हम विवेचक से जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही तरीके से कैसे लिखा जाता है।

जवाब:कोई जड़ नहीं

2. वियत प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान।

यदि आपको याद हो, तो इस प्रकार के समीकरण होते हैं जिन्हें कम कहा जाता है (जब गुणांक a के बराबर होता है):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण समान है, और मूलों का गुणनफल समान है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग है, अर्थात्। हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• और। राशि है;
• और। राशि है;
• और। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

जवाब: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

जवाब:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

जवाब:

द्विघातीय समीकरण। मध्य स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है, जहाँ - अज्ञात, - कुछ संख्याएँ, इसके अलावा।

संख्या को उच्चतम कहा जाता है या पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, ए - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि अगर, समीकरण तुरंत रैखिक हो जाएगा, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस मामले में, और शून्य के बराबर हो सकता है। इसमें मल समीकरण अपूर्ण कहलाता है। यदि सभी शर्तें जगह में हैं, यानी समीकरण पूरा हो गया है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

आरंभ करने के लिए, हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करेंगे - वे सरल हैं।

निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

III. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।

अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के हल पर विचार करें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी। इसलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

अगर हमारे पास दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

जवाब:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं।

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

जवाब:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

जवाब:

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि समीकरण का एक हल है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

हम समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं और मूल पाते हैं:

जवाब:

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विभेदक

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

क्या आपने मूल सूत्र में विवेचक की जड़ पर ध्यान दिया? लेकिन विभेदक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• अगर, तो समीकरण की जड़ है:
• यदि, तो समीकरण का एक ही मूल है, लेकिन वास्तव में, एक मूल:

  ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ कहा जाता है।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती है। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

जड़ों की संख्या अलग-अलग क्यों होती है? आइए हम द्विघात समीकरण के ज्यामितीय अर्थ की ओर मुड़ें। फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है, . और इसका मतलब है कि द्विघात समीकरण की जड़ें x-अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। परवलय अक्ष को बिल्कुल भी पार नहीं कर सकता है, या यह इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित है) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि - तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

जवाब:

जवाब: ।

जवाब:

इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

जवाब: ।

2. विएटा की प्रमेय

विएटा प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको केवल संख्याओं की एक जोड़ी चुनने की आवश्यकता है जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा का प्रमेय केवल पर लागू किया जा सकता है दिए गए द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद है:

आइए संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करें, जिनका गुणनफल बराबर है, और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• और। राशि है;
• और। राशि है;
• और। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

जवाब: ; .

उदाहरण #2:

फेसला:

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और फिर जाँचते हैं कि उनका योग बराबर है या नहीं:

और: कुल देना।

और: कुल देना। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको बस कथित जड़ों के संकेतों को बदलने की जरूरत है: और, आखिरकार, काम।

जवाब:

उदाहरण #3:

फेसला:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है। यह तभी संभव है जब एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो। तो जड़ों का योग है उनके मॉड्यूल के अंतर.

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और जिनका अंतर इसके बराबर है:

और: उनका अंतर है - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त। यह केवल याद रखना है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, तो मूल, जो निरपेक्ष मान में छोटा है, ऋणात्मक होना चाहिए: . हम जाँच:

जवाब:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक होता है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जिनका गुणनफल बराबर होता है, और फिर यह निर्धारित करते हैं कि किन मूलों में ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें और पहली शर्त के लिए उपयुक्त हैं:

जवाब:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

जड़ों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक मूल ऋणात्मक है। लेकिन चूँकि उनका गुणनफल धनात्मक है, इसका अर्थ है कि दोनों मूल ऋणात्मक हैं।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं, जिनका गुणनफल इसके बराबर होता है:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

जवाब:

सहमत हूं, यह बहुत सुविधाजनक है - जड़ों का आविष्कार मौखिक रूप से करने के लिए, इस गंदे भेदभाव को गिनने के बजाय। जितनी बार संभव हो Vieta के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए वियत प्रमेय की आवश्यकता है। आपके लिए इसका उपयोग करना लाभदायक बनाने के लिए, आपको क्रियाओं को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें। लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल विएटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों के समाधान:

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम उत्पाद के साथ चयन शुरू करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वह है जो आपको चाहिए।

जवाब: ; .

कार्य 2.

और फिर, हमारा पसंदीदा वीटा प्रमेय: योग काम करना चाहिए, लेकिन उत्पाद बराबर है।

लेकिन चूंकि ऐसा नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेतों को बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

जवाब: ; .

कार्य 3.

हम्म... कहाँ है?

सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है:

जड़ों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

हाँ रुको! समीकरण नहीं दिया गया है। लेकिन विएटा की प्रमेय दिए गए समीकरणों में ही लागू होती है। तो पहले आपको समीकरण लाने की जरूरत है। यदि आप इसे सामने नहीं ला सकते हैं, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण लाने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को इसके बराबर बनाना:

बढ़िया। फिर जड़ों का योग बराबर है, और उत्पाद।

यहां चुनना आसान है: आखिरकार - एक प्रमुख संख्या (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

जवाब: ; .

कार्य 4.

मुक्त शब्द ऋणात्मक है। इसमें ऐसा क्या खास है? और यह तथ्य कि जड़ें अलग-अलग संकेतों की होंगी। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल के बीच के अंतर की जांच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन उत्पाद।

तो, जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक माइनस के साथ है। विएटा की प्रमेय हमें बताती है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, अर्थात्। इसका मतलब है कि छोटी जड़ में एक ऋण होगा: और, चूंकि।

जवाब: ; .

कार्य 5.

पहले क्या करने की जरूरत है? यह सही है, समीकरण दीजिए:

दोबारा: हम संख्या के कारकों का चयन करते हैं, और उनका अंतर बराबर होना चाहिए:

जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि माइनस के साथ एक बड़ा रूट होगा।

जवाब: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:

1. Vieta के प्रमेय का प्रयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
2. विएटा प्रमेय का उपयोग करके, आप मौखिक रूप से चयन द्वारा जड़ों का पता लगा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त पद के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्णांक जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चयन विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन के सूत्रों से पदों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर के परिवर्तन के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

जवाब:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

जवाब:

सामान्य तौर पर, परिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या यह आपको कुछ याद नहीं दिलाता? यह भेदभाव करने वाला है! ठीक इसी तरह से विभेदक सूत्र प्राप्त किया गया था।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है, जहां अज्ञात है, द्विघात समीकरण के गुणांक हैं, मुक्त पद है।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

घटा हुआ द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अधूरा द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

• यदि गुणांक, समीकरण का रूप है: ,
• यदि एक मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप है: ,
• अगर और, समीकरण का रूप है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के संकेत की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण के दो मूल हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) आइए कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालें: ,

2) गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. फॉर्म का अधूरा द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम जहां

2.1. विवेचक का उपयोग कर समाधान

1) आइए समीकरण को मानक रूप में लाएं: ,

2) सूत्र का उपयोग करके विभेदक की गणना करें: , जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है।

2.2. Vieta के प्रमेय का उपयोग कर समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (रूप का एक समीकरण, जहाँ) के मूलों का योग बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल बराबर होता है, अर्थात्। , ए।

2.3. पूर्ण वर्ग समाधान

द्विघात समीकरणों का प्रयोग अनेक समस्याओं को हल करने में किया जाता है। पहली डिग्री के समीकरणों की मदद से आसानी से हल की जाने वाली समस्याओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा भी विशुद्ध रूप से अंकगणितीय रूप से हल किया जा सकता है, हालांकि कभी-कभी बहुत अधिक कठिन, लंबे और अक्सर कृत्रिम तरीके से। समस्याएँ जो द्विघात समीकरणों की ओर ले जाती हैं, एक नियम के रूप में, खुद को अंकगणितीय समाधान के लिए बिल्कुल भी उधार नहीं देती हैं। भौतिकी, यांत्रिकी, हाइड्रोमैकेनिक्स, वायुगतिकी और कई अन्य अनुप्रयुक्त विज्ञानों के कई और सबसे विविध प्रश्न ऐसी समस्याओं का कारण बनते हैं।

समस्या की स्थितियों के अनुसार द्विघात समीकरणों को संकलित करने के मुख्य चरण वही हैं जो पहली डिग्री के समीकरणों की ओर ले जाने वाली समस्याओं को हल करते हैं। आइए उदाहरण देते हैं।

काम। 1. दो टाइपिस्टों ने 6 घंटे में पांडुलिपि को फिर से टाइप किया। 40 मि. प्रत्येक टाइपिस्ट को अकेले काम करते हुए पांडुलिपि को फिर से टाइप करने में कितना समय लगेगा, यदि पहला टाइप करने वाला दूसरे की तुलना में इस काम पर 3 घंटे अधिक खर्च करता है?

फेसला। मान लें कि दूसरा टाइपिस्ट पांडुलिपि को फिर से छापने में x घंटे खर्च करता है। इसका मतलब है कि पहला टाइपिस्ट एक ही काम पर घंटों खर्च करेगा।

हम यह पता लगाएंगे कि प्रत्येक टाइपिस्ट एक घंटे में पूरे काम का कौन सा हिस्सा करता है और कौन सा हिस्सा - दोनों एक साथ।

पहला टाइपिस्ट एक घंटे में एक भाग पूरा करता है

दूसरा हिस्सा।

दोनों टाइपिस्ट एक भाग करते हैं।

इसलिए हमारे पास है:

समस्या के अर्थ के अनुसार, एक सकारात्मक संख्या

समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करके सरलीकरण के बाद, हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है:

चूँकि समीकरण के दो मूल हैं। सूत्र (बी) से हम पाते हैं:

लेकिन जैसा होना चाहिए, वह मान इस कार्य के लिए मान्य नहीं है।

जवाब। पहला टाइपिस्ट काम पर घंटों बिताएगा, दूसरा 12 घंटे।

समस्या 2. विमान की अपनी गति किमी प्रति घंटा। विमान ने दो बार 1 किमी की दूरी तय की: पहले हवा के विपरीत, फिर हवा के खिलाफ, और दूसरी उड़ान में इसने अधिक घंटे बिताए। हवा की गति की गणना करें।

हम एक आरेख के रूप में समाधान के पाठ्यक्रम का चित्रण करेंगे।