हम मिस्र के महान पिरामिडों से अच्छी तरह वाकिफ हैं, हर कोई कल्पना कर सकता है कि वे कैसे दिखते हैं। यह निरूपण हमें पिरामिड जैसी ज्यामितीय आकृति की विशेषताओं को समझने में मदद करेगा।

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें एक सपाट बहुभुज होता है - पिरामिड का आधार, एक बिंदु जो आधार के तल में नहीं होता है - पिरामिड का शीर्ष और शीर्ष को आधार के बिंदुओं से जोड़ने वाले सभी खंड। पिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्ष से जोड़ने वाले खंड पार्श्व किनारे कहलाते हैं। अंजीर पर। 1 पिरामिड SABCD को दर्शाता है। चतुर्भुज ABCD पिरामिड का आधार है, बिंदु S पिरामिड का शीर्ष है, खंड SA, SB, SC और SD पिरामिड के किनारे हैं।

पिरामिड की ऊंचाई पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक गिरा हुआ लंबवत है। अंजीर पर। 1 SO पिरामिड की ऊंचाई है।

एक पिरामिड को n-gonal कहा जाता है यदि उसका आधार n-gon हो। चित्र 1 एक चतुर्भुज पिरामिड दिखाता है। त्रिभुजाकार पिरामिड को चतुष्फलक कहते हैं।

एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई का आधार इस बहुभुज के केंद्र के साथ मेल खाता है। एक नियमित पिरामिड के पार्श्व किनारे बराबर होते हैं, और इसलिए, पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। एक नियमित पिरामिड में, पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए पार्श्व फलक की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है।

पिरामिड में कई गुण होते हैं।

एक पिरामिड के सभी विकर्ण उसके फलकों के होते हैं।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है;
• पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, और, इसके विपरीत, यदि पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या यदि पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को प्रक्षेपित किया जाता है इसका केंद्र है, तो पिरामिड के सभी किनारे बराबर हैं।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो:

• पिरामिड के आधार पर एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान होती है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि के आधे उत्पाद और पार्श्व चेहरे की ऊंचाई के बराबर है।

पिरामिड का आयतन, सतह क्षेत्र ज्ञात करने के सूत्रों पर विचार करें।

पिरामिड के आयतन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

जहाँ S आधार का क्षेत्रफल है और h ऊँचाई है।

पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

एस पी \u003d एस बी + एस ओ,

जहां एस पी कुल सतह क्षेत्र है, एस बी पार्श्व सतह क्षेत्र है, एस ओ आधार क्षेत्र है।

एक छोटा पिरामिड पिरामिड के आधार और उसके आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न एक पॉलीहेड्रॉन है। काटे गए पिरामिड के फलक, समानांतर तलों में पड़े हुए, काटे गए पिरामिड के आधार कहलाते हैं, शेष फलक पार्श्व फलक कहलाते हैं। एक काटे गए पिरामिड के आधार समान बहुभुज होते हैं, पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं। एक नियमित पिरामिड से प्राप्त एक काटे गए पिरामिड को नियमित रूप से काटे गए पिरामिड कहा जाता है। एक नियमित रूप से काटे गए ट्रेपेज़ॉइड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं, उनकी ऊँचाई को एपोथेम कहा जाता है।

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परिभाषा। बगल का चहेरा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित होता है, और इसका विपरीत भाग आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज में कोने होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड मात्राआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व पसलियां समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं।

पार्श्व पसलियाँ समान होती हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व चेहरे एक कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पक्षों के एपोथेम समान हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों में एक ही द्विफलक (सपाट) कोण होते हैं।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। वर्णित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर हमेशा एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

शंकु के साथ पिरामिड का संबंध

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स समान हों।

एक शंकु को एक पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिबद्ध हो।

पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ एक पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो एक सिलेंडर को पिरामिड के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिडल प्रिज्म)- यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर एक सेक्शन प्लेन के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े के समान होता है। पार्श्व चेहरे ट्रेपेज़ॉइड हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन)- यह एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिफलक कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं चतुष्फलक की माध्यिका(जीएम)।

बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है जो स्पर्श नहीं करते (KL)।

एक चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और मध्य ऊपर से शुरू होने वाले 3: 1 के अनुपात में होते हैं।

परिभाषा। झुका हुआ पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें किनारों में से एक आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एक पक्ष का फलक आधार के लंबवत होता है।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलकएक चतुष्फलक जिसके चार फलक समबाहु त्रिभुज हैं। यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (एक शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिभुज कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी चेहरे का एपोटेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक कम की गई सभी ऊंचाईयां (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक जिसका आधार एक तारा होता है, कहलाता है।

परिभाषा। bipyramid- एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को भी काटा जा सकता है), जिसमें एक सामान्य आधार होता है, और कोने बेस प्लेन के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे समान होते हैं, और पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। दिया गया है: PA1A2…An एक नियमित पिरामिड है।

स्लाइड 7प्रस्तुति से "पिरामिड". प्रस्तुति के साथ संग्रह का आकार 181 केबी है।

ज्यामिति ग्रेड 10

अन्य प्रस्तुतियों का सारांश

"पिरामिड ग्रेड 10" - A2। विषय। n-gon А1А2…An और n त्रिभुजों से बना बहुफलक पिरामिड कहलाता है। आधार। "पिरामिड" विषय पर कक्षा 10 में गणित का पाठ। एक। पिरामिड का शीर्ष। MBOU "माध्यमिक विद्यालय संख्या 22 अंग्रेजी भाषा के गहन अध्ययन के साथ", निज़नेकमस्क, आरटी। ए ए 3। ए1. सी।

"समानांतर 10 वर्ग" - आसन्न चेहरे। सी1. ज्यामिति ग्रेड 10. ए1. सीडी1 डी विपरीत चेहरे। 76. सिद्ध कीजिए कि AC II A1C1 और BD II B1D1 है।

"वैक्टर ज्यामिति ग्रेड 10" - सदिश। अंतरिक्ष में वेक्टर। ज्यामिति ग्रेड 10. सीबी सीएम। शगेवा अन्ना बोरिसोव्ना एमओयू "बारागाश सेकेंडरी स्कूल"। वैक्टर के साथ क्रिया। एक्सप्रेस वेक्टर। वैक्टर का योग। एक के रूप में। एक वेक्टर एक निर्देशित खंड की तरह है।

"एक समानांतर चतुर्भुज के खंड" - 4. ? MNK- समानांतर चतुर्भुज ABCDA'B'C'D' का खंड। पाठ - कक्षा 10 में कार्यशाला गणित के शिक्षक श्वेंक ए.वी. (एमएनके)? (एडीडी'ए') = एमएन। (एमएनके)? (ए'बी'सी'डी') = एन.के. एक समानांतर चतुर्भुज के खंड। पाठ मकसद। काटने वाला विमान समानांतर खंडों के साथ समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरों को काटता है। एक समानांतर चतुर्भुज के खंड।

"ज्यामिति में सदिश" - सदिशों का घटाव। वैक्टर का जोड़ और घटाव। समांतर चतुर्भुज नियम। ऐसे वेक्टर को शून्य कहा जाता है। वैक्टर ए और बी के बीच का अंतर सूत्र द्वारा पाया जा सकता है जहां वेक्टर वेक्टर के विपरीत है। एक शून्येतर सदिश की लंबाई खंड AB की लंबाई है। अंजीर पर। 2, क्योंकि और, ए, क्योंकि . - वैक्टर को कोडायरेक्शनल माना जाता है। - वैक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं।

• एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो एक नियमित बहुभुज के बीच से उसके 1 हिस्से तक कम हो जाती है);
• साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिकोण जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
• पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सीएस , डी.एस. ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
• पिरामिड के ऊपर (वी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
• ऊंचाई ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ऐ बी सी डी) एक बहुभुज है जिसमें पिरामिड का शीर्ष संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी किनारों का आकार समान हो, तब:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अतिरिक्त, विलोम भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी किनारे समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान मान के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ½ आधार की परिधि और पार्श्व फलक की ऊंचाई का गुणनफल है।

3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक द्वितल कोणों के समद्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

सबसे सरल पिरामिड।

पिरामिड के आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, उन्हें त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित किया गया है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।