समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं, अर्थात। समानांतर रेखाओं पर लेटें

समांतर चतुर्भुज गुण:
प्रमेय 22. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
प्रमाण। एक समांतर चतुर्भुज ABCD में एक विकर्ण AC खींचिए। त्रिभुज ACD और ACB एक समान भुजा AC और समान कोणों के दो युग्म होने के सर्वांगसम हैं। इसके बगल में: CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (समानांतर रेखाओं AD और BC के साथ क्रॉस-झूठ वाले कोणों के रूप में)। इसलिए, AB=CD और BC=AD समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं के रूप में, आदि। इन त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य त्रिभुजों के संगत कोणों की समानता भी है:
प्रमेय 23. समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण हैं: A=∠ C और B=∠ D.
पहली जोड़ी की समानता त्रिभुज एबीडी और सीबीडी की समानता से आती है, और दूसरी - एबीसी और एसीडी।
प्रमेय 24. समांतर चतुर्भुज के पड़ोसी कोने, अर्थात्। एक तरफ से सटे कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं।
ऐसा इसलिए है क्योंकि वे आंतरिक एकतरफा कोने हैं।
प्रमेय 25. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
प्रमाण। त्रिभुज बीओसी और एओडी पर विचार करें। पहली संपत्ति के अनुसार, AD=BC D=∠ OSV और DA=∠ समानांतर रेखाओं AD और BC के साथ स्थित है। इसलिए, त्रिभुज BOC और AOD, भुजाओं और उसके आसन्न कोणों में बराबर हैं। इसलिए, BO=OD और AO=OC, समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं के रूप में, आदि।

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं
प्रमेय 26. यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ युग्मों में समान हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
प्रमाण। माना चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ क्रमशः AD और BC, AB और CD बराबर हैं (चित्र 2)। आइए विकर्ण AC खींचते हैं। त्रिभुज ABC और ACD की तीन बराबर भुजाएँ हैं। तब कोण बीएसी और डीसीए बराबर हैं और इसलिए एबी सीडी के समानांतर है। BC और AD भुजाओं की समांतरता CAD और DIA कोणों की समानता से होती है।
प्रमेय 27. यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोण युग्मों में बराबर हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
मान लीजिए A=∠ C और ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, फिर ∠ A+∠ B=180 o और भुजाएँ AD और BC समानांतर हैं (समानांतर रेखाओं के आधार पर)। हम भुजाओं AB और CD की समांतरता को भी सिद्ध करते हैं और यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ABCD परिभाषा के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रमेय 28. यदि चतुर्भुज के आसन्न कोने, अर्थात्। एक तरफ से सटे कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं, तो यह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
यदि आंतरिक एक तरफा कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं, तो रेखाएं समानांतर होती हैं। इसका अर्थ है कि AB, CD का युग्म है और BC, AD का युग्म है। एक चतुर्भुज परिभाषा के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
प्रमेय 29. यदि किसी चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेद बिंदु पर परस्पर आधा विभाजित किया जाता है, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
प्रमाण। यदि AO=OC, BO=OD, तो त्रिभुज AOD और BOC बराबर हैं, क्योंकि शीर्ष O पर समान कोण (ऊर्ध्वाधर) हैं, जो समान भुजाओं के जोड़े के बीच संलग्न हैं। त्रिभुजों की समानता से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि AD और BC बराबर हैं। भुजाएँ AB और CD भी समान हैं, और विशेषता 1 के अनुसार चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
प्रमेय 30. यदि किसी चतुर्भुज में समान, समान्तर भुजाओं का युग्म हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
माना चतुर्भुज ABCD में भुजाएँ AB और CD समानांतर और बराबर हैं। विकर्ण AC और BD खींचिए। इन रेखाओं के समांतरता से क्रॉस-झूठ वाले कोणों की समानता एबीओ = सीडीओ और बीएओ = ओसीडी का अनुसरण करती है। त्रिभुज ABO और CDO भुजा और आसन्न कोणों में बराबर हैं। इसलिए, AO=OC, BO=OD, यानी। प्रतिच्छेदन बिंदु के विकर्णों को आधे में विभाजित किया जाता है और चतुर्भुज विशेषता 4 के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।

ज्यामिति में, समांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों पर विचार किया जाता है।

कार्य 1. समांतर चतुर्भुज का एक कोण 65° का है। समांतर चतुर्भुज के शेष कोण ज्ञात कीजिए।

C = A = 65° समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के रूप में।

A + ∠B = 180° समांतर चतुर्भुज की एक भुजा के आसन्न कोणों के रूप में।

B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°।

D = ∠B = 115° समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के रूप में।

उत्तर: A = ∠C = 65°; B = D = 115°।

कार्य 2.एक समांतर चतुर्भुज के दो कोणों का योग 220° होता है। समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

चूँकि समांतर चतुर्भुज में 2 बराबर न्यून कोण और 2 बराबर अधिक कोण होते हैं, इसलिए हमें दो अधिक कोणों का योग दिया जाता है, अर्थात्। B +∠D = 220°। तब =∠D = 220° : 2 = 110°।

A + ∠B = 180° समांतर चतुर्भुज की एक भुजा के आसन्न कोणों के रूप में, इसलिए A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°। तब ∠C =∠A = 70°।

उत्तर: ∠A = ∠C = 70°; B = D = 110°।

कार्य 3.समांतर चतुर्भुज का एक कोण दूसरे कोण का 3 गुना है। समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

माना A =x. तब ∠B = 3x। यह जानते हुए कि एक समांतर चतुर्भुज के कोणों का योग उसके एक पक्ष से सटे 180 ° के बराबर होता है, हम एक समीकरण बनाते हैं।

एक्स = 180 : 4;

हमें मिलता है: A \u003d x \u003d 45 °, और B \u003d 3x \u003d 3 45 ° \u003d 135 °।

समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए

A = C = 45°; B = D = 135°।

उत्तर: A = ∠C = 45°; B = D = 135°।

कार्य 4.सिद्ध कीजिए कि यदि किसी चतुर्भुज की दो भुजाएँ समान्तर और समान हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

प्रमाण।

विकर्ण BD खींचिए और ADB और CBD पर विचार कीजिए।

AD = BC शर्त के अनुसार। बीडी पक्ष आम है। ∠1 = 2 समानांतर (धारणा के अनुसार) रेखाओं AD और BC और छेदक BD के अंतर्गत आंतरिक क्रॉस-लेट के रूप में। इसलिए, ADB = CBD दो पक्षों पर और उनके बीच का कोण (त्रिभुजों की समानता के लिए पहला मानदंड)। सर्वांगसम त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠3 = ∠4। और ये कोण आंतरिक क्रॉसवाइज हैं जो रेखाओं AB और CD और छेदक BD पर स्थित हैं। इसका तात्पर्य AB और CD रेखाओं की समानता है। इस प्रकार, दिए गए चतुर्भुज ABCD में, विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर हैं, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

कार्य 5.एक समांतर चतुर्भुज की दो भुजाएँ 2 . से संबंधित हैं : 5, और परिमाप 3.5 मीटर है। समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

∙ (एबी + एडी)।

आइए एक भाग को x से निरूपित करें। तो AB = 2x, AD = 5x मीटर। यह जानते हुए कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप 3.5 मीटर है, हम समीकरण लिखते हैं:

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x = 3.5;

एक्स = 3.5 : 14;

एक भाग 0.25 मीटर है तो AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 मीटर; एडी = 5 ∙ 0.25 = 1.25 मीटर।

इंतिहान।

समांतर चतुर्भुज परिमाप P ABCD = 2 ∙ (एबी+एडी) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (एम)।

चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान हैं, इसलिए CD = AB = 0.25 मीटर; बीसी = एडी = 1.25 मीटर।

उत्तर: सीडी = एबी = 0.25 मीटर; बीसी = एडी = 1.25 मीटर।

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एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर होती हैं। यह परिभाषा पहले से ही पर्याप्त है, क्योंकि समांतर चतुर्भुज के शेष गुण इसका अनुसरण करते हैं और प्रमेयों के रूप में सिद्ध होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के मुख्य गुण हैं:

• एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है;
• एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ युग्मों में समान होती हैं;
• एक समांतर चतुर्भुज में विपरीत कोण होते हैं जो जोड़े में बराबर होते हैं;
• एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है।

समांतर चतुर्भुज - एक उत्तल चतुर्भुज

आइए पहले हम इस प्रमेय को सिद्ध करें कि एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है. एक बहुभुज उत्तल होता है जब इसके किसी भी पक्ष को एक सीधी रेखा तक बढ़ाया जाता है, बहुभुज के अन्य सभी पक्ष इस सीधी रेखा के एक ही तरफ होंगे।

मान लीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, जिसमें AB, CD की विपरीत भुजा है, और AD के लिए BC, विपरीत भुजा है। तब समांतर चतुर्भुज की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि AB || सीडी, बीसी || ई.

समानांतर खंडों में सामान्य बिंदु नहीं होते हैं, वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। इसका अर्थ है कि CD AB के एक ओर स्थित है। चूंकि खंड BC खंड AB के बिंदु B को खंड CD के बिंदु C से जोड़ता है, और खंड AD अन्य बिंदुओं AB और CD को जोड़ता है, खंड BC और AD भी रेखा AB के एक ही तरफ स्थित हैं, जहां CD स्थित है। इस प्रकार, तीनों भुजाएँ - CD, BC, AD - AB के एक ही ओर स्थित हैं।

इसी प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है कि समांतर चतुर्भुज की अन्य भुजाओं के संबंध में अन्य तीन भुजाएँ एक ही भुजा पर स्थित होती हैं।

सम्मुख भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं

समांतर चतुर्भुज के गुणों में से एक यह है कि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और सम्मुख कोण बराबर होते हैं. उदाहरण के लिए, यदि एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, तो इसमें AB = CD, AD = BC, A = C, ∠B = D है। यह प्रमेय इस प्रकार सिद्ध होता है।

एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है। अतः इसके दो विकर्ण हैं। चूँकि एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है, उनमें से कोई भी इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। विकर्ण AC खींचकर प्राप्त समांतर चतुर्भुज ABCD में त्रिभुज ABC और ADC पर विचार करें।

इन त्रिभुजों में एक भुजा उभयनिष्ठ होती है - AC। कोण बीसीए कोण सीएडी के बराबर है, जैसे समानांतर बीसी और एडी के साथ लंबवत हैं। कोण बीएसी और एसीडी भी बराबर होते हैं, जैसे एबी और सीडी समानांतर होने पर लंबवत कोण होते हैं। इसलिए, ABC = ADC दो कोणों पर और उनके बीच की भुजा।

इन त्रिभुजों में भुजा AB, भुजा CD से मेल खाती है, और भुजा BC, AD से मेल खाती है। इसलिए, एबी = सीडी और बीसी = एडी।

कोण B, कोण D से मेल खाता है, अर्थात B = D। समांतर चतुर्भुज का कोण A दो कोणों - BAC और CAD का योग होता है। कोण C बराबर होता है जिसमें BCA और ACD होते हैं। चूँकि कोणों के युग्म एक दूसरे के बराबर हैं, तो A = C.

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।

विकर्ण आधे में कटे हुए हैं

चूँकि एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है, इसमें दो दो विकर्ण होते हैं, और वे प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, इसके विकर्ण AC और BD एक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। उनके द्वारा बनाए गए त्रिभुज ABE और CDE पर विचार करें।

इन त्रिभुजों की भुजाएँ AB और CD समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के बराबर हैं। कोण एबीई कोण सीडीई के बराबर है क्योंकि वे समानांतर रेखाओं एबी और सीडी पर स्थित हैं। इसी कारण से, BAE = DCE। अत: दो कोणों पर ABE = CDE और उनके बीच की भुजा।

आप यह भी देख सकते हैं कि कोण AEB और CED लंबवत हैं, और इसलिए एक दूसरे के बराबर भी हैं।

चूँकि त्रिभुज ABE और CDE एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए उनके सभी संगत तत्व भी हैं। पहले त्रिभुज की भुजा AE दूसरे की भुजा CE से मेल खाती है, इसलिए AE = CE। इसी तरह, बीई = डीई। समान खंडों का प्रत्येक युग्म समांतर चतुर्भुज का विकर्ण बनाता है। इस प्रकार यह सिद्ध होता है कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद बिंदु से द्विभाजित होते हैं.

मध्य स्तर

समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग (2019)

1. समांतर चतुर्भुज

यौगिक शब्द "समांतर चतुर्भुज"? और इसके पीछे एक बहुत ही सिंपल फिगर है।

खैर, यानी हमने दो समानांतर रेखाएँ लीं:

दो और से पार:

और अंदर - एक समांतर चतुर्भुज!

समांतर चतुर्भुज के गुण क्या हैं?

समांतर चतुर्भुज गुण।

अर्थात् यदि समस्या में एक समांतर चतुर्भुज दिया जाए तो क्या उपयोग किया जा सकता है?

इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है:

आइए सब कुछ विस्तार से ड्रा करें।

क्या करता है प्रमेय का पहला बिंदु? और तथ्य यह है कि यदि आपके पास समांतर चतुर्भुज है, तो हर तरह से

दूसरे पैराग्राफ का अर्थ है कि यदि कोई समांतर चतुर्भुज है, तो, फिर से, हर तरह से:

ठीक है, और अंत में, तीसरे बिंदु का अर्थ है कि यदि आपके पास समांतर चतुर्भुज है, तो सुनिश्चित करें:

देखें कि पसंद का धन क्या है? कार्य में क्या उपयोग करें? कार्य के प्रश्न पर ध्यान केंद्रित करने का प्रयास करें, या बदले में सब कुछ करने का प्रयास करें - किसी प्रकार की "कुंजी" करेगी।

और अब आइए खुद से एक और सवाल पूछें: "चेहरे में" समांतर चतुर्भुज को कैसे पहचानें? एक चतुर्भुज का क्या होना चाहिए ताकि हम उसे समांतर चतुर्भुज का "शीर्षक" देने का अधिकार प्राप्त कर सकें?

इस प्रश्न का उत्तर समांतर चतुर्भुज के कई संकेतों द्वारा दिया गया है।

समांतर चतुर्भुज की विशेषताएं।

ध्यान! शुरू करना।

समांतर चतुर्भुज।

ध्यान दें: यदि आपने अपनी समस्या में कम से कम एक चिन्ह पाया है, तो आपके पास बिल्कुल समांतर चतुर्भुज है, और आप समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

2. आयत

मुझे नहीं लगता कि यह आपके लिए बिल्कुल भी खबर होगी।

पहला प्रश्न है: क्या एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है?

निश्चित रूप से यह है! आखिर उसके पास है - याद है, हमारा साइन 3?

और यहाँ से, निश्चित रूप से, यह इस प्रकार है कि एक आयत के लिए, जैसे कि किसी भी समांतर चतुर्भुज के लिए, और, और विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।

लेकिन एक आयत और एक विशिष्ट गुण है।

आयत संपत्ति

यह संपत्ति विशिष्ट क्यों है? क्योंकि किसी अन्य समांतर चतुर्भुज में समान विकर्ण नहीं होते हैं। आइए इसे और स्पष्ट रूप से तैयार करें।

ध्यान दें: एक आयत बनने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज बनना चाहिए, और फिर विकर्णों की समानता को प्रस्तुत करना चाहिए।

3. हीरा

और फिर से सवाल यह है: एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?

पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारा चिन्ह 2 याद रखें)।

और फिर, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज के विपरीत कोण समान होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

समचतुर्भुज गुण

तस्वीर पर देखो:

जैसा कि एक आयत के मामले में, ये गुण विशिष्ट होते हैं, अर्थात इनमें से प्रत्येक गुण के लिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे पास केवल एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, बल्कि एक समचतुर्भुज है।

एक समचतुर्भुज के लक्षण

और फिर से ध्यान दें: केवल लंबवत विकर्णों वाला एक चतुर्भुज नहीं होना चाहिए, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज होना चाहिए। सुनिश्चित करें:

नहीं, बिल्कुल नहीं, हालांकि इसके विकर्ण और लंबवत हैं, और विकर्ण u कोणों का समद्विभाजक है। लेकिन ... विकर्ण विभाजित नहीं होते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में है, इसलिए - एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, और इसलिए एक समचतुर्भुज नहीं है।

यानी एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। देखते हैं इससे क्या निकलता है।

क्या यह स्पष्ट है क्यों? - समचतुर्भुज - कोण A का समद्विभाजक, जो किसके बराबर होता है। तो यह (और भी) दो कोणों में विभाजित करता है।

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: आयत के विकर्ण बराबर हैं; समचतुर्भुज विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर - समांतर चतुर्भुज विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।

मध्य स्तर

चतुर्भुज के गुण। चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज गुण

ध्यान! शब्द " समांतर चतुर्भुज गुण» का अर्थ है कि यदि आपके पास कोई कार्य है वहाँ हैसमांतर चतुर्भुज, तो निम्नलिखित में से सभी का उपयोग किया जा सकता है।

समांतर चतुर्भुज के गुणों पर प्रमेय।

किसी भी समांतर चतुर्भुज में:

आइए देखें कि यह सच क्यों है, दूसरे शब्दों में हम साबित करेंगेप्रमेय

तो 1) सच क्यों है?

चूँकि यह एक समांतर चतुर्भुज है, तो:

• क्रॉसवाइज झूठ बोलने की तरह
• के रूप में पड़ा हुआ है।

इसलिए, (द्वितीय आधार पर: और - सामान्य।)

खैर, एक बार - बस! - साबित।

लेकिन वैसे! हमने 2 भी साबित किया)!

क्यों? लेकिन आखिरकार (तस्वीर को देखें), यानी, क्योंकि।

सिर्फ 3 बचे है)।

ऐसा करने के लिए, आपको अभी भी एक दूसरा विकर्ण खींचना होगा।

और अब हम देखते हैं कि - II चिन्ह के अनुसार (कोण और भुजा "उनके बीच")।

गुण सिद्ध! आइए संकेतों पर चलते हैं।

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं

याद रखें कि समांतर चतुर्भुज का चिन्ह "कैसे पता करें?" प्रश्न का उत्तर देता है कि यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

आइकन में यह इस तरह है:

क्यों? यह समझना अच्छा होगा कि क्यों - बस इतना ही। लेकिन देखो:

खैर, हमें पता चला कि साइन 1 सच क्यों है।

खैर, यह और भी आसान है! आइए फिर से एक विकर्ण खींचते हैं।

मतलब:

औरआसान भी है। लेकिन... अलग!

माध्यम, । बहुत खूब! लेकिन यह भी - आंतरिक एकतरफा एक सेकंड में!

इसलिए तथ्य यह है कि इसका मतलब है।

और अगर आप दूसरी तरफ से देखें, तो वे आंतरिक एक तरफा एक सेकेंट पर हैं! और इसीलिए।

देखो यह कितना अच्छा है ?!

और फिर बस:

बिल्कुल वैसा ही, और।

ध्यान दें:अगर आपको मिल गया कम से कमआपकी समस्या में समांतर चतुर्भुज का एक चिन्ह है, तो आपके पास है बिल्कुलसमांतर चतुर्भुज और आप उपयोग कर सकते हैं हर कोईएक समांतर चतुर्भुज के गुण।

पूरी स्पष्टता के लिए, आरेख को देखें:

चतुर्भुज के गुण। आयत।

आयत गुण:

बिंदु 1) बिल्कुल स्पष्ट है - आखिरकार, संकेत 3 () बस पूरा हो गया है

और बिंदु 2) - बहोत महत्वपूर्ण. तो चलिए साबित करते हैं कि

तो, दो पैरों पर (और - सामान्य)।

चूँकि त्रिभुज बराबर होते हैं, तो उनके कर्ण भी बराबर होते हैं।

साबित कर दिया!

और कल्पना कीजिए, विकर्णों की समानता सभी समांतर चतुर्भुजों के बीच एक आयत का एक विशिष्ट गुण है। अर्थात् निम्नलिखित कथन सत्य है

आइए देखें क्यों?

तो, (अर्थात् समांतर चतुर्भुज के कोण)। लेकिन एक बार फिर याद रखें कि - एक समांतर चतुर्भुज, और इसलिए।

माध्यम, । और, ज़ाहिर है, इससे यह पता चलता है कि उनमें से प्रत्येक आखिर उन्हें कितनी राशि देनी चाहिए!

यहाँ हमने सिद्ध किया है कि यदि समानांतर चतुर्भुजअचानक (!) बराबर विकर्ण होंगे, तो यह बिल्कुल एक आयत.

लेकिन! ध्यान दें!यह इस बारे में है समानांतर चतुर्भुज! कोई भी नहींसमान विकर्णों वाला एक चतुर्भुज एक आयत होता है, और केवलसमांतर चतुर्भुज!

चतुर्भुज के गुण। विषमकोण

और फिर से सवाल यह है: एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?

पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारा चिन्ह 2 याद रखें)।

और फिर, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि एक समचतुर्भुज के विपरीत कोण समान होते हैं, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, और विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

लेकिन विशेष गुण भी हैं। हम तैयार करते हैं।

समचतुर्भुज गुण

क्यों? ठीक है, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण आधे में विभाजित होते हैं।

क्यों? हाँ, इसीलिए!

दूसरे शब्दों में, विकर्ण और समचतुर्भुज के कोनों के समद्विभाजक निकले।

जैसा कि एक आयत के मामले में, ये गुण हैं विशेष, उनमें से प्रत्येक एक समचतुर्भुज का चिन्ह भी है।

समचतुर्भुज चिन्ह।

ऐसा क्यों है? और देखो

इसलिए, और दोनोंये त्रिभुज समद्विबाहु हैं।

एक समचतुर्भुज होने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज "बनना" चाहिए, और फिर पहले से ही फीचर 1 या फीचर 2 को प्रदर्शित करना चाहिए।

चतुर्भुज के गुण। वर्ग

यानी एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। देखते हैं इससे क्या निकलता है।

क्या यह स्पष्ट है क्यों? वर्ग - समचतुर्भुज - कोण का समद्विभाजक, जिसके बराबर होता है। तो यह (और भी) दो कोणों में विभाजित करता है।

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है: आयत के विकर्ण बराबर हैं; समचतुर्भुज विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर - समांतर चतुर्भुज विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।

क्यों? ठीक है, बस पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें।

सारांश और बुनियादी सूत्र

समांतर चतुर्भुज गुण:

1. सम्मुख भुजाएँ समान हैं : , ।
2. विपरीत कोण हैं: , .
3. एक तरफ के कोणों का योग: , .
4. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है: .

आयत गुण:

1. एक आयत के विकर्ण हैं: .
2. आयत एक समांतर चतुर्भुज है (एक आयत के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।

समचतुर्भुज गुण:

1. समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं: .
2. एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं: ; ; ; .
3. एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (एक समचतुर्भुज के लिए समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।

वर्ग गुण:

एक वर्ग एक ही समय में एक समचतुर्भुज और एक आयत है, इसलिए, एक वर्ग के लिए, एक आयत और एक समचतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं। साथ ही।