यह लेख विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए तकनीकों के लिए समर्पित है जिसमें शामिल हैं
मॉड्यूल साइन के तहत चर।

यदि परीक्षा में आप एक मॉड्यूल के साथ एक समीकरण या असमानता पाते हैं, तो आप इसे हल कर सकते हैं,
बिना किसी विशेष विधि को जाने और केवल मॉड्यूल परिभाषा का उपयोग किए बिना। सच,
इसमें कीमती परीक्षा समय का डेढ़ घंटा लग सकता है।

इसलिए हम आपको ऐसी तकनीकों के बारे में बताना चाहते हैं जो ऐसी समस्याओं के समाधान को सरल बनाती हैं।

सबसे पहले, आइए याद करते हैं कि

विभिन्न प्रकारों पर विचार करें मापांक के साथ समीकरण. (असमानताओं के बारे में बाद में।)

लेफ्ट मॉड्यूल, राइट नंबर

यह सबसे सरल मामला है। आइए समीकरण हल करें

केवल दो संख्याएँ हैं जिनका मापांक चार है। ये 4 और -4 हैं। इसलिए, समीकरण
दो सरल लोगों के संयोजन के बराबर है:

दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है। पहले के हल: x = 0 और x = 5।

उत्तर: 0; 5.

मॉड्यूल के तहत और मॉड्यूल के बाहर दोनों में परिवर्तनीय

यहां आपको परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल का विस्तार करना होगा। . . या कल्पना करो!

मापांक के तहत अभिव्यक्ति के संकेत के आधार पर, समीकरण दो मामलों में टूट जाता है।
दूसरे शब्दों में, यह दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है:

पहली प्रणाली का समाधान: . दूसरी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।
उत्तर 1।

पहला मामला: x 3. मॉड्यूल निकालें:

संख्या, ऋणात्मक होने के कारण, x ≥ 3 की स्थिति को संतुष्ट नहीं करती है और इसलिए मूल समीकरण का मूल नहीं है।

आइए जानें कि क्या संख्या इस शर्त को पूरा करती है। ऐसा करने के लिए, हम अंतर करते हैं और इसका संकेत निर्धारित करते हैं:

इसलिए, तीन से अधिक और इसलिए मूल समीकरण का मूल है

दूसरा मामला: x< 3. Снимаем модуль:

संख्या । से बड़ा है, और इसलिए शर्त x . को संतुष्ट नहीं करता है< 3. Проверим :

माध्यम, । मूल समीकरण का मूल है।

परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल निकालें? इसके बारे में सोचना भी डरावना है, क्योंकि विवेचक पूर्ण वर्ग नहीं है। आइए निम्नलिखित विचार का बेहतर उपयोग करें: फॉर्म का एक समीकरण |ए| = बी दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है:

वही, लेकिन थोड़ा अलग:

दूसरे शब्दों में, हम दो समीकरणों, A = B और A = -B को हल करते हैं, और फिर उन मूलों का चयन करते हैं जो B ≥ 0 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

आएँ शुरू करें। सबसे पहले, हम पहले समीकरण को हल करते हैं:

फिर हम दूसरा समीकरण हल करते हैं:

अब प्रत्येक मामले में हम दाईं ओर के चिन्ह की जाँच करते हैं:

इसलिए, केवल और उपयुक्त हैं।

|x| . के साथ द्विघात समीकरण = टी

आइए समीकरण को हल करें:

चूँकि , परिवर्तन करना सुविधाजनक है |x| = टी. हम पाते हैं:

उत्तर: ±1.

मापांक मॉड्यूलो के बराबर होता है

हम फॉर्म के समीकरणों के बारे में बात कर रहे हैं |ए| = |बी|. यह भाग्य का उपहार है। परिभाषा के अनुसार कोई मॉड्यूल विस्तार नहीं! यह आसान है:

उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें: . यह निम्नलिखित सेट के बराबर है:

यह प्रत्येक जनसंख्या समीकरण को हल करने और उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है।

दो या अधिक मॉड्यूल

आइए समीकरण को हल करें:

हम प्रत्येक मॉड्यूल को अलग से परेशान नहीं करेंगे और इसे परिभाषा के अनुसार खोलेंगे - बहुत सारे विकल्प होंगे। एक अधिक तर्कसंगत तरीका है - अंतराल की विधि।

मॉड्यूल के अंतर्गत व्यंजक x = 1, x = 2 और x = 3 बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं। ये बिंदु संख्या रेखा को चार अंतरालों (अंतराल) में विभाजित करते हैं। हम इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं और प्राप्त अंतरालों पर मॉड्यूल के अंतर्गत प्रत्येक व्यंजक के लिए चिह्न लगाते हैं। (संकेतों का क्रम समीकरण में संबंधित मॉड्यूल के क्रम के समान है।)

इस प्रकार, हमें चार मामलों पर विचार करने की आवश्यकता है - जब x प्रत्येक अंतराल में हो।

केस 1: x 3. सभी मॉड्यूल "एक प्लस के साथ" हटा दिए जाते हैं:

परिणामी मान x = 5 शर्त x 3 को संतुष्ट करता है और इसलिए मूल समीकरण का मूल है।

केस 2: 2 x 3. अंतिम मॉड्यूल अब "माइनस के साथ" हटा दिया गया है:

एक्स का प्राप्त मूल्य भी उपयुक्त है - यह माना अंतराल के अंतर्गत आता है।

केस 3: 1 x 2. दूसरे और तीसरे मॉड्यूल को "माइनस के साथ" हटा दिया जाता है:

हमने माना अंतराल से किसी भी x के लिए सही संख्यात्मक समानता प्राप्त की है, वे इस समीकरण के समाधान के रूप में कार्य करते हैं।

केस 4: x 1 1. दूसरे और तीसरे मॉड्यूल को "माइनस के साथ" हटा दिया जाता है:

कुछ नया नहीं। हम पहले से ही जानते हैं कि x = 1 एक हल है।

उत्तर: (5)।

मॉड्यूल के भीतर मॉड्यूल

आइए समीकरण को हल करें:

हम आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करके शुरू करते हैं।

1) x 3. हम पाते हैं:

मापांक के तहत अभिव्यक्ति गायब हो जाती है। यह बिंदु माना जाता है
मध्यान्तर। इसलिए, हमें दो उपमाओं पर विचार करना होगा।

1.1) हम इस मामले में प्राप्त करते हैं:

x का यह मान अच्छा नहीं है, क्योंकि यह विचाराधीन अंतराल से संबंधित नहीं है।

1.2)। फिर:

यह x मान भी अच्छा नहीं है।

अत: x 3 के लिए कोई हल नहीं है। चलिए दूसरे मामले पर चलते हैं।

2) x 3. हमारे पास है:

यहाँ हम भाग्यशाली हैं: व्यंजक x + 2 विचारित अंतराल में धनात्मक है! इसलिए, अब कोई सबकेस नहीं होगा: मॉड्यूल को "एक प्लस के साथ" हटा दिया जाता है:

x का यह मान विचाराधीन अंतराल में है और इसलिए मूल समीकरण का मूल है।

इस प्रकार इस प्रकार के सभी कार्यों को हल किया जाता है - हम नेस्टेड मॉड्यूल को बदले में खोलते हैं, आंतरिक से शुरू करते हैं।

अनुदेश

यदि मापांक को एक सतत फलन के रूप में दर्शाया जाता है, तो इसके तर्क का मान या तो धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है: |х| = एक्स, एक्स ≥ 0; |x| = - एक्स, एक्स

मापांक शून्य है, और किसी भी सकारात्मक संख्या का मापांक इसका मापांक है। यदि तर्क नकारात्मक है, तो कोष्ठक खोलने के बाद, इसका चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है। इसके आधार पर, निष्कर्ष इस प्रकार है कि विपरीत के मॉड्यूल बराबर हैं: |-x| = |x| = एक्स.

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: |a| = b + c ² और |a + b| |ए| + |बी|. यदि तर्क में गुणक के रूप में एक धनात्मक संख्या है, तो इसे कोष्ठक चिह्न से निकाला जा सकता है, उदाहरण के लिए: |4*b| = 4*|बी|.

यदि तर्क को एक सम्मिश्र संख्या के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो गणना की सुविधा के लिए, वर्ग कोष्ठक में संलग्न व्यंजक के पदों के क्रम की अनुमति है: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 क्योंकि (2-3) शून्य से कम है।

घात के लिए उठाया गया तर्क एक साथ एक ही क्रम के मूल के चिह्न के नीचे है - इसे इसके साथ हल किया जाता है: a² = |a| = ± ए।

यदि आपके सामने कोई कार्य है जो मॉड्यूल ब्रैकेट के विस्तार के लिए शर्त निर्दिष्ट नहीं करता है, तो आपको उनसे छुटकारा पाने की आवश्यकता नहीं है - यह अंतिम परिणाम होगा। और यदि आप उन्हें खोलना चाहते हैं, तो आपको ± चिह्न निर्दिष्ट करना होगा। उदाहरण के लिए, आपको व्यंजक (2 * (4-b)) का मान ज्ञात करना होगा। उसका समाधान इस तरह दिखता है: (2 *(4-बी)) = |2 *(4-बी)| = 2 * |4-बी|। चूंकि व्यंजक 4-बी का चिह्न अज्ञात है, इसलिए इसे कोष्ठकों में छोड़ देना चाहिए। यदि आप कोई अतिरिक्त शर्त जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, |4-b| >

शून्य का मापांक शून्य के बराबर होता है, और किसी भी सकारात्मक संख्या का मापांक स्वयं के बराबर होता है। यदि तर्क नकारात्मक है, तो कोष्ठक खोलने के बाद, इसका चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है। इसके आधार पर, यह निष्कर्ष निकलता है कि विपरीत संख्याओं के मापांक बराबर होते हैं: |-x| = |x| = एक्स.

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: |a| = b + c ² और |a + b| |ए| + |बी|. यदि तर्क में गुणक के रूप में एक धनात्मक पूर्णांक है, तो इसे कोष्ठक चिह्न से निकाला जा सकता है, उदाहरण के लिए: |4*b| = 4*|बी|.

मापांक ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए कोई भी ऋणात्मक संख्या धनात्मक संख्या में बदल जाती है: |-x| = एक्स, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2.5| = 2.5.

यदि तर्क को एक सम्मिश्र संख्या के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो गणना की सुविधा के लिए, इसे वर्ग कोष्ठक में संलग्न व्यंजक के पदों के क्रम को बदलने की अनुमति है: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 क्योंकि (2-3) शून्य से कम है।

यदि आपके सामने कोई कार्य है जो मॉड्यूल ब्रैकेट के विस्तार के लिए शर्त निर्दिष्ट नहीं करता है, तो आपको उनसे छुटकारा पाने की आवश्यकता नहीं है - यह अंतिम परिणाम होगा। और यदि आप उन्हें खोलना चाहते हैं, तो आपको ± चिह्न निर्दिष्ट करना होगा। उदाहरण के लिए, आपको व्यंजक (2 * (4-b)) का मान ज्ञात करना होगा। उसका समाधान इस तरह दिखता है: (2 *(4-बी)) = |2 *(4-बी)| = 2 * |4-बी|। चूंकि व्यंजक 4-बी का चिह्न अज्ञात है, इसलिए इसे कोष्ठकों में छोड़ देना चाहिए। यदि आप कोई अतिरिक्त शर्त जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, |4-b| > 0, तो परिणाम 2 * |4-बी| . है = 2 *(4 - बी)। एक अज्ञात तत्व के रूप में, एक विशिष्ट संख्या भी दी जा सकती है, जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए, क्योंकि। यह अभिव्यक्ति के संकेत को प्रभावित करेगा।

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रूसी गणितज्ञ यू.आई. मानिन

मोडुलो समीकरण

स्कूली गणित में हल करने के लिए सबसे कठिन समस्याएं मॉड्यूल साइन के तहत चर वाले समीकरण हैं। ऐसे समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, मॉड्यूल की परिभाषा और बुनियादी गुणों को जानना आवश्यक है। स्वाभाविक रूप से, छात्रों के पास इस प्रकार के समीकरणों को हल करने का कौशल होना चाहिए।

बुनियादी अवधारणाएं और गुण

एक वास्तविक संख्या का मापांक (पूर्ण मान)लक्षित और निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

मॉड्यूल के सरल गुणों में निम्नलिखित संबंध शामिल हैं:

टिप्पणी, कि अंतिम दो गुण किसी भी डिग्री के लिए धारण करते हैं।

इसके अलावा, अगर , कहाँ , तो और

अधिक जटिल मॉड्यूल गुण, जो मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने में प्रभावी ढंग से इस्तेमाल किया जा सकता है, निम्नलिखित प्रमेयों के माध्यम से तैयार किए गए हैं:

प्रमेय 1.किसी भी विश्लेषणात्मक कार्यों के लिएऔर असमानता

प्रमेय 2।समानता असमानता के समान है।

प्रमेय 3.समानता असमानता के बराबर है.

"समीकरण" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें, मॉड्यूल साइन के तहत चर युक्त।

मापांक के साथ समीकरण हल करना

एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए स्कूली गणित में सबसे आम विधि है, मॉड्यूल विस्तार के आधार पर। यह विधि सामान्य है, हालाँकि, सामान्य स्थिति में, इसके अनुप्रयोग से बहुत बोझिल गणनाएँ हो सकती हैं। इस संबंध में, छात्रों को अन्य के बारे में भी पता होना चाहिए, ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए अधिक कुशल तरीके और तकनीक। विशेष रूप से, प्रमेयों को लागू करने के लिए कौशल की आवश्यकता है, इस लेख में दिया गया है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें। (एक)

फेसला। समीकरण (1) को "शास्त्रीय" विधि - मॉड्यूल विस्तार विधि द्वारा हल किया जाएगा। ऐसा करने के लिए, हम संख्यात्मक अक्ष को तोड़ते हैंडॉट्स और अंतराल और तीन मामलों पर विचार करें।

1. यदि , तो , , , और समीकरण (1) रूप लेता है। यह यहाँ से चलता है। हालाँकि, यहाँ, इसलिए पाया गया मान समीकरण (1) का मूल नहीं है।

2. अगर, तब समीकरण (1) से हम प्राप्त करते हैंया ।

तब से समीकरण की जड़ (1)।

3. अगर, तब समीकरण (1) रूप लेता हैया । ध्यान दें कि ।

जवाब: , ।

मॉड्यूल के साथ निम्नलिखित समीकरणों को हल करते समय, हम ऐसे समीकरणों को हल करने की दक्षता बढ़ाने के लिए मॉड्यूल के गुणों का सक्रिय रूप से उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2प्रश्न हल करें.

फेसला।चूंकि और तब यह समीकरण से अनुसरण करता है. इस सम्बन्ध में, , , और समीकरण बन जाता है. यहाँ से हमें मिलता है. हालांकि , इसलिए मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें.

फेसला।तब से । तो अगर , और समीकरण बन जाता है.

यहाँ से हमें मिलता है।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें.

फेसला।आइए हम समीकरण को एक समान रूप में फिर से लिखें. (2)

परिणामी समीकरण प्रकार के समीकरणों से संबंधित है।

प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हुए, हम कह सकते हैं कि समीकरण (2) असमानता के बराबर है। यहाँ से हमें मिलता है।

जवाब: ।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें।

फेसला। इस समीकरण का रूप है. इसलिए , प्रमेय 3 . के अनुसार, यहाँ हमारे पास असमानता हैया ।

उदाहरण 6प्रश्न हल करें.

फेसला।आइए मान लें कि। जैसा , तब दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण का रूप ले लेता है, (3)

कहाँ पे . चूँकि समीकरण (3) का एक धनात्मक मूल हैऔर फिर . यहाँ से हमें मूल समीकरण के दो मूल प्राप्त होते हैं:और ।

उदाहरण 7 प्रश्न हल करें. (4)

फेसला। समीकरण के बाद सेदो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:और , फिर समीकरण (4) को हल करते समय दो मामलों पर विचार करना आवश्यक है।

1. यदि , तो या ।

यहाँ से हमें मिलता है , और .

2. यदि , तो या ।

तब से ।

जवाब: , , , ।

उदाहरण 8प्रश्न हल करें . (5)

फेसला।तब से और तब से। यहाँ से और समीकरण (5) से यह उसका अनुसरण करता है, अर्थात्। यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

हालाँकि, समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 9 प्रश्न हल करें. (6)

फेसला।अगर हम नामित करते हैं और समीकरण (6) से हम प्राप्त करते हैं

या । (7)

चूंकि समीकरण (7) का रूप है, यह समीकरण असमानता के बराबर है। यहाँ से हमें मिलता है। तब से , तब या ।

जवाब: ।

उदाहरण 10प्रश्न हल करें. (8)

फेसला।प्रमेय 1 के अनुसार हम लिख सकते हैं

(9)

समीकरण (8) को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दोनों असमानताएँ (9) समानता में बदल जाती हैं, अर्थात। समीकरणों की एक प्रणाली है

हालांकि, प्रमेय 3 के अनुसार, समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली असमानताओं की प्रणाली के बराबर है

(10)

असमानताओं की प्रणाली को हल करना (10) हम प्राप्त करते हैं। चूंकि असमानताओं की प्रणाली (10) समीकरण (8) के बराबर है, मूल समीकरण का एक ही मूल है।

जवाब: ।

उदाहरण 11. प्रश्न हल करें. (11)

फेसला।मान लीजिए और, तो समीकरण (11) का अर्थ समानता है।

इससे यह इस प्रकार है और . इस प्रकार, यहाँ हमारे पास असमानताओं की एक प्रणाली है

असमानताओं की इस प्रणाली का समाधान हैऔर ।

जवाब: , ।

उदाहरण 12.प्रश्न हल करें. (12)

फेसला। मॉड्यूल के क्रमिक विस्तार की विधि द्वारा समीकरण (12) को हल किया जाएगा। ऐसा करने के लिए, कई मामलों पर विचार करें।

1. यदि , तो ।

1.1. यदि , तो और , .

1.2. तो अगर । हालांकि , इसलिए, इस स्थिति में, समीकरण (12) का कोई मूल नहीं है।

2. यदि , तो ।

2.1. यदि , तो और , .

2.2. यदि , तो और ।

जवाब: , , , , ।

उदाहरण 13प्रश्न हल करें. (13)

फेसला।चूँकि समीकरण (13) का बायाँ पक्ष ऋणात्मक नहीं है, तब तथा । इस संबंध में, और समीकरण (13)

या रूप धारण कर लेता है।

ज्ञात हो कि समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर हैऔर , हल जो हमें मिलता है,। जैसा , तब समीकरण (13) का एक मूल है.

जवाब: ।

उदाहरण 14 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें (14)

फेसला।तब से और , तब और । इसलिए, समीकरणों के निकाय (14) से हमें समीकरणों के चार निकाय प्राप्त होते हैं:

समीकरणों की उपरोक्त प्रणालियों की जड़ें समीकरणों की प्रणाली की जड़ें हैं (14)।

जवाब: ,, , , , , , ।

उदाहरण 15 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें (15)

फेसला।तब से । इस संबंध में, समीकरणों के निकाय (15) से हमें समीकरणों के दो निकाय प्राप्त होते हैं

समीकरणों की पहली प्रणाली की जड़ें हैं और, और समीकरणों की दूसरी प्रणाली से हम प्राप्त करते हैं और।

जवाब: , , , ।

उदाहरण 16 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें (16)

फेसला।यह प्रणाली के पहले समीकरण (16) से इस प्रकार है कि।

तब से . सिस्टम के दूसरे समीकरण पर विचार करें। जहां तक ​​कि, तब , और समीकरण बन जाता है, , या ।

यदि हम मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैंप्रणाली के पहले समीकरण में (16), तो , या .

जवाब: , ।

समस्या समाधान विधियों के गहन अध्ययन के लिए, समीकरणों के हल से संबंधित, मॉड्यूल साइन के तहत चर युक्त, आप अनुशंसित साहित्य की सूची से ट्यूटोरियल की सलाह दे सकते हैं।

1. तकनीकी विश्वविद्यालयों / एड के आवेदकों के लिए गणित में कार्यों का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी। - एम।: विश्व और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: बढ़ी हुई जटिलता के कार्य। - एम।: केडी "लिब्रोकॉम" / यूआरएसएस, 2017. - 200 पी।

3. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: समस्याओं को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके। - एम।: केडी "लिब्रोकॉम" / यूआरएसएस, 2017. - 296 पी।

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