लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एवह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट .

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एऔर बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एऔर बी.

सामान्य बहुअनेक संख्याओं को वह संख्या कहा जाता है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 में 180 का एक सामान्य गुणक है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सामान्य गुणक हैं। सभी सामान्य गुणकों में हमेशा सबसे छोटा होता है, इस स्थिति में यह 90 होता है। इस संख्या को कहा जाता है कम से कमकॉमन मल्टीपल (LCM).

LCM हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है, जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)। गुण।

कम्यूटेटिविटी:

सहयोगीता:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमऔर एनअन्य सभी सामान्य गुणकों का भाजक है एमऔर एन. इसके अलावा, सामान्य गुणकों का सेट एम, एनएलसीएम के लिए गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

के लिए स्पर्शोन्मुख को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. साथ ही:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निकलता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना।

अनापत्ति प्रमाण पत्र ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात है, तो आप LCM के साथ इसके संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

2. मान लीजिए कि दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात है:

कहाँ पे पी 1 ,...,पी केविभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और घ 1,...,घ केऔर ई 1,...,ईकेगैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य अपघटन में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)।

फिर एलसीएम ( ए,बी) सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम विस्तार में सभी प्रमुख कारक शामिल होते हैं जो कम से कम एक संख्या विस्तार में शामिल होते हैं ए, बी, और इस कारक के दो घातांक में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के LCM की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

- वांछित उत्पाद के कारकों के लिए सबसे बड़ा विस्तार स्थानांतरित करें (दिए गए लोगों की सबसे बड़ी संख्या के कारकों का उत्पाद), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से कारक जोड़ें जो पहली संख्या में नहीं होते हैं या इसमें हैं कम संख्या में बार;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का LCM होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या प्रसार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी गुणनफल (84) वह सबसे छोटी संख्या होगी जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के 5 के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया था, परिणामी उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा है और शेष के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है। यह सबसे छोटा संभव गुणनफल (150, 250, 300...) है कि सभी दी गई संख्याएँ इसके गुणज हैं।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं का LCM निकालने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

आपको आवश्यक कई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के लिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

फेसला. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातों को लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

एलसीएम कैसे खोजें (कम से कम सामान्य एकाधिक)

दो पूर्णांकों का एक उभयनिष्ठ गुणज एक पूर्णांक होता है जो बिना किसी शेषफल के दोनों दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होता है।

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक सभी पूर्णांकों में सबसे छोटा होता है जो समान रूप से और बिना शेष के दोनों दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है।

विधि 1. आप एलसीएम को, बदले में, दी गई प्रत्येक संख्या के लिए, आरोही क्रम में लिख कर उन सभी संख्याओं को प्राप्त कर सकते हैं जो उन्हें 1, 2, 3, 4, और इसी तरह से गुणा करके प्राप्त की जाती हैं।

उदाहरणसंख्या 6 और 9 के लिए।
हम संख्या 6 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 6, 12, 18 , 24, 30
हम संख्या 9 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 9, 18 , 27, 36, 45
जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 6 और 9 के लिए एलसीएम 18 होगा।

यह विधि तब सुविधाजनक होती है जब दोनों संख्याएँ छोटी हों और पूर्णांकों के अनुक्रम से उन्हें गुणा करना आसान हो। हालांकि, ऐसे मामले हैं जब आपको दो अंकों या तीन अंकों की संख्याओं के लिए एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है, और जब तीन या उससे भी अधिक प्रारंभिक संख्याएं होती हैं।

विधि 2. आप मूल संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके एलसीएम ज्ञात कर सकते हैं।
अपघटन के बाद, अभाज्य गुणनखंडों की परिणामी श्रृंखला से समान संख्याओं को पार करना आवश्यक है। पहली संख्या के शेष अंक दूसरे के लिए गुणनखंड होंगे, और दूसरी संख्या की शेष संख्याएं पहले के लिए गुणनखंड होंगी।

उदाहरण 75 और 60 की संख्या के लिए।
इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना 75 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
75 = 3 * 5 *5, और
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
जैसा कि आप देख सकते हैं, गुणनखंड 3 और 5 दोनों पंक्तियों में होते हैं। मानसिक रूप से हम उन्हें "क्रॉस आउट" करते हैं।
आइए इनमें से प्रत्येक संख्या के विस्तार में शामिल शेष कारकों को लिखें। संख्या 75 को विघटित करते समय, हमने संख्या 5 को छोड़ दिया, और संख्या 60 को विघटित करते समय, हमने 2 * 2 छोड़ दिया
इसलिए, संख्या 75 और 60 के लिए एलसीएम निर्धारित करने के लिए, हमें शेष संख्याओं को 75 के विस्तार (यह 5 है) से 60 से गुणा करना होगा, और संख्या 60 के विस्तार से शेष संख्या (यह 2 * 2 है) ) 75 से गुणा करें। यानी समझने में आसानी के लिए, हम कहते हैं कि हम "क्रॉसवाइज" को गुणा करते हैं।
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
इस तरह हमने 60 और 75 की संख्या का एलसीएम ज्ञात किया। यह संख्या 300 है।

उदाहरण. संख्या 12, 16, 24 . के लिए एलसीएम निर्धारित करें
इस मामले में, हमारे कार्य कुछ अधिक जटिल होंगे। लेकिन, पहले, हमेशा की तरह, हम सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
एलसीएम को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, हम सभी संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या का चयन करते हैं (यह संख्या 12 है) और क्रमिक रूप से इसके कारकों से गुजरते हैं, यदि संख्याओं की अन्य पंक्तियों में से कम से कम एक समान कारक है जिसे अभी तक पार नहीं किया गया है, तो उन्हें पार करते हैं। बाहर।

स्टेप 1 । हम देखते हैं कि 2*2 संख्याओं की सभी श्रंखलाओं में आता है। हम उन्हें पार करते हैं।
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

चरण 2. संख्या 12 के अभाज्य गुणनखंडों में केवल संख्या 3 बची है। लेकिन यह संख्या 24 के अभाज्य गुणनखंडों में मौजूद है। हम संख्या 3 को दोनों पंक्तियों से काटते हैं, जबकि संख्या 16 के लिए कोई कार्रवाई अपेक्षित नहीं है। .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 12 को विघटित करते समय, हमने सभी संख्याओं को "क्रॉस आउट" कर दिया। तो एनओसी की खोज पूरी हो गई है। यह केवल इसके मूल्य की गणना करने के लिए बनी हुई है।
संख्या 12 के लिए, हम शेष गुणनखंडों को संख्या 16 से लेते हैं (आरोही क्रम में निकटतम)
12 * 2 * 2 = 48
यह है एनओसी

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में, एलसीएम खोजना कुछ अधिक कठिन था, लेकिन जब आपको इसे तीन या अधिक संख्याओं के लिए खोजने की आवश्यकता होती है, तो यह विधि आपको इसे तेज़ी से करने की अनुमति देती है। हालांकि, एलसीएम खोजने के दोनों तरीके सही हैं।

परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर।

आइए संख्या 24 और 35 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करें।
24 के भाजक संख्या 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 और 35 के भाजक संख्या 1, 5, 7, 35 होंगे।
हम देखते हैं कि संख्याएँ 24 और 35 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्य.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्ययदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक को लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंडन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन संख्याओं को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या (यानी, दो ड्यूस) के विस्तार में शामिल नहीं हैं।
गुणनखंड 2*2*3 रहता है। उनका गुणनफल 12 होता है। यह संख्या 48 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, उन संख्याओं को काट दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर।
उदाहरण के लिए, 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है: 45, 75 और 180।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

परिभाषा। कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)प्राकृत संख्याएँ a और b सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। 75 और 60 की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को सरल कारकों में विघटित करते हैं: 75 \u003d 3 * 5 * 5, और 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5।
आइए इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखें, और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ें (अर्थात, हम गुणनखंडों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2*2*3*5*5 प्राप्त होते हैं, जिनका गुणनफल 300 होता है। यह संख्या 75 और 60 की संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक है।

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात कीजिए।

सेवा कम से कम सामान्य गुणक खोजेंकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें;
2) किसी एक संख्या के प्रसार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
4) परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, 12, 15, 20 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक 60 होगा, क्योंकि यह सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के मुद्दे का अध्ययन किया। एक संख्या जो अपने सभी भाजक के योग के बराबर होती है (बिना संख्या के), वे पूर्ण संख्या कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पांचवां - 33 550 336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक, वैज्ञानिक यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं, क्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे शेष प्राकृतिक संख्याएँ बनती हैं।
आपने शायद ध्यान दिया होगा कि प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से अधिक होती हैं, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। प्रश्न उठता है: क्या अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या मौजूद है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व), अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, ने साबित किया कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक सम है। अधिक अभाज्य संख्या।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने ऐसी विधि का आविष्कार किया। उसने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिख दिया, और फिर उस इकाई को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद सभी संख्याओं में से एक को काट दिया (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, अर्थात 4, 6, 8, आदि)। 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद की सभी संख्याओं को काट दिया गया (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, अर्थात 6, 9, 12, आदि)। अंत में, केवल अभाज्य संख्याएँ ही बिना क्रॉस के रह गईं।

छात्रों को गणित के बहुत सारे असाइनमेंट दिए जाते हैं। उनमें से, अक्सर निम्नलिखित सूत्रीकरण के साथ कार्य होते हैं: दो मूल्य होते हैं। दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें? ऐसे कार्यों को करने में सक्षम होना आवश्यक है, क्योंकि अर्जित कौशल का उपयोग भिन्न हर के साथ भिन्नों के साथ काम करने के लिए किया जाता है। लेख में, हम विश्लेषण करेंगे कि एलसीएम और बुनियादी अवधारणाओं को कैसे खोजा जाए।

एलसीएम कैसे खोजें, इस प्रश्न का उत्तर खोजने से पहले, आपको बहु शब्द को परिभाषित करने की आवश्यकता है. अक्सर, इस अवधारणा का शब्दांकन इस प्रकार है: कुछ मान A का गुणज एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना शेष के A से विभाज्य होगी। इसलिए, 4, 8, 12, 16, 20 और इसी तरह, तक आवश्यक सीमा।

इस मामले में, किसी विशेष मान के लिए भाजक की संख्या सीमित हो सकती है, और असीम रूप से कई गुणक होते हैं। प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी वही मूल्य है। यह एक संकेतक है जो उनके द्वारा शेषफल के बिना विभाजित किया जाता है। कुछ संकेतकों के लिए सबसे छोटे मूल्य की अवधारणा से निपटने के बाद, आइए इसे कैसे खोजें, इस पर आगे बढ़ते हैं।

एनओसी का पता लगाना

दो या दो से अधिक घातांकों का सबसे छोटा गुणज वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाती है।

इस तरह के मूल्य को खोजने के कई तरीके हैं।आइए निम्नलिखित विधियों पर विचार करें:

1. यदि संख्याएँ छोटी हैं, तो उस पंक्ति में सभी विभाज्य लिखिए। ऐसा तब तक करते रहें जब तक आपको उनमें कुछ समान न मिल जाए। रिकॉर्ड में, उन्हें K अक्षर से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 और 3 के लिए, सबसे छोटा गुणज 12 है।
2. यदि ये बड़े हैं या आपको 3 या अधिक मानों के लिए एक गुणक खोजने की आवश्यकता है, तो आपको यहां एक अलग तकनीक का उपयोग करना चाहिए, जिसमें संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करना शामिल है। सबसे पहले, सबसे बड़ा संकेत दिया गया है, फिर बाकी सभी। उनमें से प्रत्येक के अपने गुणक हैं। एक उदाहरण के रूप में, 20 (2*2*5) और 50 (5*5*2) को विघटित करते हैं। उनमें से छोटे के लिए, कारकों को रेखांकित करें और सबसे बड़े में जोड़ें। परिणाम 100 होगा, जो उपरोक्त संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।
3. 3 नंबर (16, 24 और 36) खोजने पर सिद्धांत अन्य दो के समान ही होते हैं। आइए उनमें से प्रत्येक का विस्तार करें: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3। संख्या 16 के विस्तार से केवल दो ड्यूस सबसे बड़े के अपघटन में शामिल नहीं थे। हम उन्हें जोड़ते हैं और 144 प्राप्त करते हैं, जो पहले से संकेतित संख्यात्मक मानों के लिए सबसे छोटा परिणाम है।

अब हम जानते हैं कि दो, तीन या अधिक मानों के लिए सबसे छोटा मान ज्ञात करने की सामान्य तकनीक क्या है। हालाँकि, निजी तरीके भी हैं, एनओसी की खोज में मदद करना, अगर पिछले वाले मदद नहीं करते हैं।

जीसीडी और एनओसी कैसे खोजें।

खोजने के निजी तरीके

किसी भी गणितीय खंड की तरह, एलसीएम खोजने के विशेष मामले हैं जो विशिष्ट स्थितियों में मदद करते हैं:

• यदि एक संख्या शेष के बिना अन्य से विभाज्य है, तो इन संख्याओं में से सबसे छोटी गुणज इसके बराबर है (एनओसी 60 और 15 15 के बराबर है);
• Coprime संख्याओं में सामान्य अभाज्य भाजक नहीं होते हैं। इनका सबसे छोटा मान इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। इस प्रकार, संख्या 7 और 8 के लिए, यह 56 होगा;
• विशेष मामलों सहित अन्य मामलों के लिए भी यही नियम काम करता है, जिसके बारे में विशेष साहित्य में पढ़ा जा सकता है। इसमें मिश्रित संख्याओं के अपघटन के मामले भी शामिल होने चाहिए, जो अलग-अलग लेखों और यहां तक ​​कि पीएच.डी. शोध प्रबंधों के विषय हैं।

मानक उदाहरणों की तुलना में विशेष मामले कम आम हैं। लेकिन उनके लिए धन्यवाद, आप सीख सकते हैं कि जटिलता की अलग-अलग डिग्री के अंशों के साथ कैसे काम किया जाए। यह अंशों के लिए विशेष रूप से सच है।, जहां विभिन्न भाजक हैं।

कुछ उदाहरण

आइए कुछ उदाहरण देखें, जिसकी बदौलत आप सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के सिद्धांत को समझ सकते हैं:

1. हम एलसीएम (35; 40) पाते हैं। हम पहले 35 = 5*7, फिर 40 = 5*8 बिछाते हैं। हम सबसे छोटी संख्या में 8 जोड़ते हैं और NOC 280 प्राप्त करते हैं।
2. एनओसी (45; 54)। हम उनमें से प्रत्येक को बिछाते हैं: 45 = 3*3*5 और 54 = 3*3*6। हम संख्या 6 को 45 में जोड़ते हैं। हमें 270 के बराबर NOC मिलती है।
3. खैर, आखिरी उदाहरण। 5 और 4 हैं। उनके लिए कोई सरल गुणज नहीं हैं, इसलिए इस मामले में सबसे छोटा सामान्य गुणज उनका गुणनफल होगा, जो 20 के बराबर होगा।

उदाहरणों के लिए धन्यवाद, आप समझ सकते हैं कि एनओसी कैसे स्थित है, क्या बारीकियां हैं और इस तरह के जोड़तोड़ का अर्थ क्या है।

एनओसी ढूंढना पहले की तुलना में बहुत आसान है। ऐसा करने के लिए, एक साधारण विस्तार और एक दूसरे के लिए सरल मूल्यों के गुणन दोनों का उपयोग किया जाता है।. गणित के इस खंड के साथ काम करने की क्षमता गणितीय विषयों के आगे के अध्ययन में मदद करती है, विशेष रूप से जटिलता की अलग-अलग डिग्री के अंश।

विभिन्न तरीकों से उदाहरणों को समय-समय पर हल करना न भूलें, इससे तार्किक तंत्र विकसित होता है और आपको कई शब्दों को याद रखने की अनुमति मिलती है। ऐसे संकेतक को खोजने के तरीकों को जानें और आप बाकी गणितीय वर्गों के साथ अच्छी तरह से काम करने में सक्षम होंगे। गणित सीखने में खुशी!

वीडियो

यह वीडियो आपको यह समझने और याद रखने में मदद करेगा कि कम से कम सामान्य गुणक कैसे खोजें।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - कम से कम सामान्य गुणक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान दें। आइए पहले दिखाते हैं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के एलसीएम की गणना पर भी ध्यान देंगे।

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gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी) . उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

फेसला।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). यानी पहले हमें 70 और 126 संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना है, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM परिकलित कर सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक कम से कम सामान्य गुणक पाते हैं: एलसीएम(126, 70)=126 70: जीसीएम(126, 70)= 126 70:14=630।

जवाब:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

फेसला।

जैसा 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, फिर gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: एलसीएम(68, 34)=68 34: एलसीएम(68, 34)= 68 34:34=68 ।

जवाब:

एलसीएम (68, 34) = 68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए LCM ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं में से सबसे छोटी सामान्य गुणज a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता से निम्नानुसार है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ संख्या ए और बी के विस्तार में मौजूद हैं (जो कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस गुणनफल का मान 75 और 210 की संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात, एलसीएम(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

फेसला।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । इस प्रकार, एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

जवाब:

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या बी के विस्तार से लापता कारकों को संख्या ए के अपघटन से कारकों में जोड़ते हैं, तो परिणामी उत्पाद का मूल्य संख्याओं ए और बी के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर होगा.

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

फेसला।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

जवाब:

एलसीएम(84, 648)=4 536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

प्रमेय।

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 , …, a k दिया जाता है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

फेसला।

इस उदाहरण में a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 ।

पहले हम पाते हैं एम 2 \u003d एलसीएम (ए 1, ए 2) \u003d एलसीएम (140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , कहाँ से एलसीएम(140, 9)=140 9: एलसीएम(140, 9)= 140 9:1=1 260 । यानी एम 2 = 1 260।

अब हम पाते हैं एम 3 \u003d एलसीएम (एम 2, ए 3) \u003d एलसीएम (1 260, 54). आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करते हैं, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

खोजने के लिए छोड़ दिया एम 4 \u003d एलसीएम (एम 3, ए 4) \u003d एलसीएम (3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , जहां से gcd(3 780, 250)= 3 780 250:जीसीडी(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500। यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

जवाब:

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

फेसला।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के विस्तार को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अभाज्य गुणनखंड) और 143=11 13 ।

इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के विस्तार में 2 और 3 दोनों पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो कि 48 048 के बराबर है।