एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज (पीपी) एक प्रिज्म से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसका आधार एक आयत है। पीपी में, सभी विकर्ण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि इसके किसी भी विकर्ण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

• ए, पीपी के आधार की ओर;

  उसकी ऊंचाई के साथ।

कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार करते हुए एक और परिभाषा दी जा सकती है:

पीपी विकर्ण, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में x, y और z निर्देशांक द्वारा दिए गए अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु का त्रिज्या वेक्टर है। यह त्रिज्या वेक्टर मूल बिंदु से खींचा जाता है। और बिंदु के निर्देशांक निर्देशांक अक्षों पर त्रिज्या वेक्टर (विकर्ण पीपी) के अनुमान होंगे। अनुमान दिए गए समानांतर चतुर्भुज के शीर्षों के साथ मेल खाते हैं।



घनाभ एक प्रकार का बहुफलक होता है जिसमें 6 फलक होते हैं, जिसके आधार पर एक आयत होती है। एक विकर्ण एक रेखा खंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।

एक विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र यह है कि विकर्ण का वर्ग समांतर चतुर्भुज के तीनों आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।



मुझे इंटरनेट पर एक अच्छी योजना-तालिका मिली, जिसमें समांतर चतुर्भुज में मौजूद हर चीज की पूरी सूची थी। विकर्ण ज्ञात करने का एक सूत्र है जिसे d से दर्शाया जाता है।

बॉक्स के लिए एक चेहरे, एक शीर्ष और अन्य महत्वपूर्ण चीजों की एक छवि है।



यदि घनाभ की लंबाई, ऊँचाई और चौड़ाई (a,b,c) ज्ञात हो, तो विकर्ण की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:



आमतौर पर शिक्षक अपने छात्रों को नग्न सूत्र, लेकिन प्रयास करें ताकि वे प्रमुख प्रश्न पूछकर इसे स्वतंत्र रूप से प्राप्त कर सकें:

• हमें क्या जानने की जरूरत है, हमारे पास कौन सा डेटा है?
• एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गुण क्या हैं?
• क्या पाइथागोरस प्रमेय यहाँ लागू होता है? कैसे?
• क्या पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने के लिए पर्याप्त डेटा है, या क्या हमें कुछ और गणनाओं की आवश्यकता है?

आमतौर पर, पूछे गए प्रश्नों के उत्तर देने के बाद, छात्र इस फॉर्मूले को अपने आप आसानी से प्राप्त कर लेते हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं। साथ ही इसके विपरीत फलकों के विकर्ण भी। एक शीर्ष से निकलने वाले समांतर चतुर्भुज के किनारों की लंबाई जानकर विकर्ण की लंबाई की गणना की जा सकती है। यह लंबाई इसकी पसलियों की लंबाई के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।



घनाभ तथाकथित पॉलीहेड्रा में से एक है, जिसमें 6 चेहरे होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है। एक विकर्ण एक रेखा खंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। यदि एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को क्रमशः a, b, c के रूप में लिया जाता है, तो इसके विकर्ण (D) का सूत्र इस तरह दिखेगा: D^2=a^2+b^2+c^2 .



घनाभ का विकर्णइसके विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला एक रेखाखंड है। तो हमारे पास घनाभविकर्ण d और भुजाओं a, b, c के साथ। एक समानांतर चतुर्भुज के गुणों में से एक यह है कि एक वर्ग विकर्ण लंबाई d इसके तीन आयामों a, b, c के वर्गों के योग के बराबर है। इसलिए निष्कर्ष है कि विकर्ण लंबाईनिम्न सूत्र का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है:



भी:

समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

• विकर्ण वर्ग, एक वर्ग घनाभ (एक वर्ग घनाभ के गुण देखें) इसकी तीन अलग-अलग भुजाओं (चौड़ाई, ऊंचाई, मोटाई) के वर्गों के योग के बराबर होता है, और, तदनुसार, एक वर्ग घनाभ का विकर्ण इसके मूल के बराबर होता है यह राशि।

  मुझे ज्यामिति में स्कूल का कार्यक्रम याद है, आप यह कह सकते हैं: एक समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसके तीन पक्षों के योग से प्राप्त वर्गमूल के बराबर होता है (उन्हें छोटे अक्षरों ए, बी, सी द्वारा दर्शाया जाता है)।

  एक आयताकार प्रिज्म के विकर्ण की लंबाई उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।

  जहाँ तक मैं स्कूल के पाठ्यक्रम से जानता हूँ, कक्षा 9, अगर मुझसे गलती नहीं हुई है, और अगर स्मृति काम करती है, तो एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसके तीनों पक्षों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

  विकर्ण का वर्ग चौड़ाई, ऊंचाई और लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है, इस सूत्र के आधार पर हमें उत्तर मिलता है, विकर्ण इसके तीन अलग-अलग आयामों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है, जिसे वे किसके द्वारा निरूपित करते हैं अक्षर nсz abc

अनुदेश

विधि 2 मान लें कि घनाभ एक घन है। एक घन एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज होता है जिसका प्रत्येक फलक एक वर्ग द्वारा निरूपित किया जाता है। अतः इसकी सभी भुजाएँ समान हैं। फिर, इसके विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए, इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाएगा:

स्रोत:

• आयत विकर्ण सूत्र

एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म का एक विशेष मामला है जिसमें सभी छह चेहरे समांतर चतुर्भुज या आयत होते हैं। आयताकार फलकों वाली एक समानांतर चतुर्भुज को आयताकार भी कहा जाता है। एक समानांतर चतुर्भुज में चार प्रतिच्छेदी विकर्ण होते हैं। यदि तीन किनारों a, b, c दिए गए हैं, तो आप अतिरिक्त निर्माण करके एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण पा सकते हैं।

अनुदेश

समांतर चतुर्भुज m का विकर्ण ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, a, n, m में, अज्ञात कर्ण ज्ञात कीजिए: m² = n² + a²। ज्ञात मानों में प्लग करें, फिर वर्गमूल की गणना करें। प्राप्त परिणाम समांतर चतुर्भुज m का पहला विकर्ण होगा।

इसी तरह, समानांतर चतुर्भुज के अन्य सभी तीन विकर्णों को क्रमिक रूप से खींचिए। साथ ही, उनमें से प्रत्येक के लिए आसन्न चेहरों के विकर्णों का अतिरिक्त निर्माण करें। गठित समकोण त्रिभुजों को ध्यान में रखते हुए और पाइथागोरस प्रमेय को लागू करते हुए, शेष विकर्णों के मान ज्ञात कीजिए।

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स्रोत:

• एक समानांतर चतुर्भुज ढूँढना

कर्ण समकोण के विपरीत पक्ष है। पैर एक समकोण से सटे त्रिभुज की भुजाएँ हैं। त्रिभुज एबीसी और एसीडी के संबंध में: एबी और बीसी, एडी और डीसी-, एसी दोनों त्रिभुजों के लिए सामान्य कर्ण है (इच्छित विकर्ण) इसलिए, AC = AB वर्ग + BC वर्ग, या AC B = AD वर्ग + DC वर्ग। पक्षों की लंबाई में प्लग करें आयतउपरोक्त सूत्र में और कर्ण की लंबाई की गणना करें (विकर्ण) आयत).

उदाहरण के लिए, पक्ष आयत ABCD निम्नलिखित मानों के बराबर है: AB = 5 सेमी और BC = 7 सेमी। किसी दिए गए के विकर्ण AC का वर्ग आयतपाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: एसी वर्ग \u003d एबी वर्ग + बीसी वर्ग \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 वर्ग सेमी। 74 के वर्गमूल की गणना के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। आपको 8.6 सेमी (गोलाकार) के साथ समाप्त होना चाहिए। ध्यान रखें कि गुणों में से एक आयत, इसके विकर्ण बराबर हैं। तो दूसरे विकर्ण की लंबाई BD आयत ABCD विकर्ण AC की लंबाई के बराबर है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, यह मान

ज्यामिति में, निम्न प्रकार के समानांतर चतुर्भुज प्रतिष्ठित हैं: आयताकार समानांतर चतुर्भुज (आयत समानांतर चतुर्भुज के चेहरे के रूप में कार्य करते हैं); एक सीधा समानांतर चतुर्भुज (इसका पार्श्व फलक आयतों के रूप में कार्य करता है); झुका हुआ समानांतर चतुर्भुज (इसका पक्ष चेहरे लंबवत के रूप में कार्य करता है); घन बिल्कुल समान आयामों वाला एक समानांतर चतुर्भुज है, और घन के फलक वर्ग हैं। Parallelepipeds या तो तिरछा या सीधा हो सकता है।

एक समानांतर चतुर्भुज के मूल तत्व हैं कि किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के दो चेहरे जिनमें एक आम किनारा नहीं है, विपरीत हैं, और जो करते हैं वे आसन्न हैं। डिब्बे के शीर्ष जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं एक दूसरे के विपरीत हैं। समानांतर चतुर्भुज का एक आयाम होता है - ये तीन किनारे होते हैं जिनमें एक सामान्य शीर्ष होता है।

विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड को विकर्ण कहते हैं। समानांतर चतुर्भुज के चार विकर्ण, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हुए, एक साथ आधे में विभाजित होते हैं।

समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण को निर्धारित करने के लिए, पक्षों और किनारों को निर्धारित करना आवश्यक है, जो समस्या की स्थिति से ज्ञात होते हैं। ज्ञात तीन किनारों के साथ लेकिन , पर , साथ में समानांतर चतुर्भुज में एक विकर्ण खींचें। एक समानांतर चतुर्भुज के गुण के अनुसार, जो कहता है कि इसके सभी कोण समकोण हैं, एक विकर्ण निर्धारित किया जाता है। समांतर चतुर्भुज के किसी एक फलक से विकर्ण की रचना कीजिए। विकर्णों को इस तरह से खींचा जाना चाहिए कि चेहरे का विकर्ण, समानांतर चतुर्भुज का वांछित विकर्ण और ज्ञात किनारे, एक त्रिकोण बनाएं। त्रिभुज बनने के बाद, इस विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए। एक अन्य परिणामी त्रिभुज में विकर्ण कर्ण के रूप में कार्य करता है, इसलिए इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है, जिसे वर्गमूल के तहत लिया जाना चाहिए। इस प्रकार, हम दूसरे विकर्ण का मान सीखते हैं। गठित समकोण त्रिभुज में समानांतर चतुर्भुज के पहले विकर्ण को खोजने के लिए, अज्ञात कर्ण (पायथागॉरियन प्रमेय के पीछे) को खोजना भी आवश्यक है। उसी उदाहरण का उपयोग करते हुए, समकोण त्रिभुज बनाने वाले विकर्णों के अतिरिक्त निर्माण करके समानांतर चतुर्भुज में मौजूद शेष तीन विकर्णों को क्रमिक रूप से खोजें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हल करें।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज (पीपी) एक प्रिज्म से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसका आधार एक आयत है। पीपी में, सभी विकर्ण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि इसके किसी भी विकर्ण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

ए, सी - पीपी बेस के किनारे;

c इसकी ऊंचाई है।

कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार करते हुए एक और परिभाषा दी जा सकती है:

पीपी विकर्ण, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में x, y और z निर्देशांक द्वारा दिए गए अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु का त्रिज्या वेक्टर है। यह त्रिज्या वेक्टर मूल बिंदु से खींचा जाता है। और बिंदु के निर्देशांक निर्देशांक अक्षों पर त्रिज्या वेक्टर (विकर्ण पीपी) के अनुमान होंगे। अनुमान दिए गए समानांतर चतुर्भुज के शीर्षों के साथ मेल खाते हैं।

पैरेलेपिपेड और उसके प्रकार

यदि हम इसका नाम प्राचीन ग्रीक से शाब्दिक रूप से अनुवादित करते हैं, तो यह पता चलता है कि यह समानांतर विमानों से युक्त एक आकृति है। समानांतर चतुर्भुज की ऐसी समान परिभाषाएँ हैं:

• एक समांतर चतुर्भुज के रूप में आधार के साथ एक प्रिज्म;
• बहुफलक, जिसका प्रत्येक फलक एक समांतर चतुर्भुज है।

इसके प्रकारों को इस आधार पर प्रतिष्ठित किया जाता है कि इसके आधार पर कौन सी आकृति है और पार्श्व पसलियों को कैसे निर्देशित किया जाता है। सामान्य तौर पर, कोई बोलता है तिरछा समानांतर चतुर्भुजजिसका आधार और सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं। यदि पिछले दृश्य के पार्श्व फलक आयत बन जाते हैं, तो इसे पहले से ही कॉल करने की आवश्यकता होगी सीधे. और कम से आयताकारऔर आधार में भी 90º कोण होते हैं।

इसके अलावा, ज्यामिति में वे उत्तरार्द्ध को इस तरह से चित्रित करने का प्रयास करते हैं कि यह ध्यान देने योग्य है कि सभी किनारे समानांतर हैं। यहाँ, वैसे, गणितज्ञों और कलाकारों के बीच मुख्य अंतर देखा जाता है। उत्तरार्द्ध के लिए परिप्रेक्ष्य के कानून के अनुपालन में शरीर को व्यक्त करना महत्वपूर्ण है। और इस मामले में, किनारों की समानता पूरी तरह से अदृश्य है।

पेश किए गए नोटेशन के बारे में

नीचे दिए गए सूत्रों में, तालिका में दर्शाए गए पदनाम मान्य हैं।

एक तिरछे बॉक्स के लिए सूत्र

क्षेत्रों के लिए पहला और दूसरा:

तीसरा एक बॉक्स की मात्रा की गणना के लिए है:

चूंकि आधार एक समांतर चतुर्भुज है, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको उपयुक्त व्यंजकों का उपयोग करना होगा।

घनाभ के लिए सूत्र

इसी तरह पहले पैराग्राफ के लिए - क्षेत्रों के लिए दो सूत्र:

और मात्रा के लिए एक और:

पहला काम

स्थिति। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज दिया गया है जिसका आयतन ज्ञात करना है। विकर्ण ज्ञात है - 18 सेमी - और तथ्य यह है कि यह क्रमशः पक्ष के चेहरे और किनारे के किनारे के विमान के साथ 30 और 45 डिग्री के कोण बनाता है।

फेसला।समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको तीन समकोण त्रिभुजों की सभी भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। वे आवश्यक बढ़त मान देंगे जिसके लिए आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि 30º कोण कहां है। ऐसा करने के लिए, आपको उसी शीर्ष से पार्श्व चेहरे का एक विकर्ण खींचना होगा जिससे समांतर चतुर्भुज का मुख्य विकर्ण खींचा गया था। उनके बीच का कोण वही होगा जो आपको चाहिए।

पहला त्रिभुज, जो आधार की एक भुजा देगा, निम्नलिखित होगा। इसमें वांछित पक्ष और दो विकर्ण खींचे गए हैं। यह आयताकार है। अब आपको विपरीत पैर (आधार पक्ष) और कर्ण (विकर्ण) के अनुपात का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह 30º की ज्या के बराबर है। अर्थात्, आधार के अज्ञात पक्ष को 30º या ½ की ज्या से गुणा करके विकर्ण के रूप में निर्धारित किया जाएगा। इसे "ए" अक्षर से चिह्नित करें।

दूसरा एक त्रिभुज होगा जिसमें एक ज्ञात विकर्ण और एक किनारा होगा जिसके साथ यह 45º बनता है। यह आयताकार भी है, और आप फिर से पैर के अनुपात को कर्ण से उपयोग कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, विकर्ण की ओर का किनारा। यह 45º की कोज्या के बराबर है। अर्थात्, "c" की गणना 45º के विकर्ण और कोज्या के गुणनफल के रूप में की जाती है।

सी = 18 * 1/√2 = 9 √2 (सेमी)।

उसी त्रिकोण में, आपको एक और पैर खोजने की जरूरत है। तीसरे अज्ञात - "इन" की गणना करने के लिए यह आवश्यक है। इसे "x" अक्षर से चिह्नित करने दें। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना करना आसान है:

x \u003d (18 2 - (9 2) 2) \u003d 9 2 (सेमी)।

अब हमें एक और समकोण त्रिभुज पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें पहले से ही ज्ञात पक्ष "c", "x" और जिन्हें गिनने की आवश्यकता है, "c" शामिल हैं:

सी \u003d ((9 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (सेमी)।

तीनों मात्राएँ ज्ञात हैं। आप मात्रा के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

वी \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (सेमी 3)।

जवाब:समांतर चतुर्भुज का आयतन 729√2 सेमी 3 है।

दूसरा कार्य

स्थिति। समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए। यह समांतर चतुर्भुज के पक्षों को जानता है जो आधार पर स्थित है, 3 और 6 सेमी, साथ ही साथ इसका न्यून कोण - 45º। पार्श्व पसली का झुकाव 30º के आधार पर होता है और यह 4 सेमी के बराबर होता है।

फेसला।समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको उस सूत्र को लेने की आवश्यकता है जो एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज के आयतन के लिए लिखा गया था। लेकिन इसमें दोनों मात्राएं अज्ञात हैं।

आधार का क्षेत्रफल, यानी समांतर चतुर्भुज, उस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा जिसमें आपको ज्ञात पक्षों और उनके बीच के तीव्र कोण की ज्या को गुणा करने की आवश्यकता होती है।

एस ओ \u003d 3 * 6 पाप 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (सेमी 2)।

दूसरा अज्ञात ऊंचाई है। इसे आधार के ऊपर के चार शीर्षों में से किसी से भी खींचा जा सकता है। यह एक समकोण त्रिभुज से पाया जा सकता है, जिसमें ऊँचाई पैर है, और पार्श्व किनारा कर्ण है। इस मामले में, 30º का कोण अज्ञात ऊंचाई के विपरीत होता है। तो, आप कर्ण के लिए पैर के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं।

n \u003d 4 * पाप 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2।

अब सभी मान ज्ञात हैं और आप मात्रा की गणना कर सकते हैं:

वी \u003d 9 2 * 2 \u003d 18 √2 (सेमी 3)।

जवाब:आयतन 18 √2 सेमी 3 है।

तीसरा कार्य

स्थिति। समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए यदि यह एक सीधी रेखा के रूप में जाना जाता है। इसके आधार की भुजाएँ एक समांतर चतुर्भुज बनाती हैं और 2 और 3 सेमी के बराबर होती हैं। उनके बीच का न्यून कोण 60º है। समांतर चतुर्भुज का छोटा विकर्ण आधार के बड़े विकर्ण के बराबर होता है।

फेसला।समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम आधार क्षेत्रफल और ऊँचाई वाले सूत्र का उपयोग करते हैं। दोनों मात्राएँ अज्ञात हैं, लेकिन उनकी गणना करना आसान है। पहली ऊंचाई है।

चूँकि समांतर चतुर्भुज का छोटा विकर्ण बड़े आधार के समान आकार का होता है, इसलिए उन्हें उसी अक्षर d द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक समांतर चतुर्भुज का सबसे बड़ा कोण 120º है, क्योंकि यह एक न्यूनकोण के साथ 180º बनाता है। मान लें कि आधार के दूसरे विकर्ण को "x" अक्षर से दर्शाया गया है। अब, आधार के दो विकर्णों के लिए, हम कोज्या प्रमेय लिख सकते हैं:

डी 2 \u003d ए 2 + 2 में - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + 2 में - 2av cos 60º।

वर्गों के बिना मूल्यों को खोजने का कोई मतलब नहीं है, तब से उन्हें फिर से दूसरी शक्ति में उठाया जाएगा। डेटा को प्रतिस्थापित करने के बाद, यह पता चला है:

डी 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 कॉस 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + 2 में - 2av cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

अब ऊँचाई, जो समांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा भी है, त्रिभुज में टाँग होगी। कर्ण शरीर का ज्ञात विकर्ण होगा, और दूसरा पैर "x" होगा। आप पाइथागोरस प्रमेय लिख सकते हैं:

एन 2 \u003d डी 2 - एक्स 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

इसलिए: n = √12 = 2√3 (सेमी)।

अब दूसरी अज्ञात राशि आधार का क्षेत्रफल है। दूसरी समस्या में वर्णित सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है।

एस ओ \u003d 2 * 3 पाप 60º \u003d 6 * 3/2 \u003d 3 √3 (सेमी 2)।

सब कुछ को एक आयतन सूत्र में मिलाने पर, हम प्राप्त करते हैं:

वी = 3√3 * 2√3 = 18 (सेमी 3)।

उत्तर: वी \u003d 18 सेमी 3.

चौथा कार्य

स्थिति। एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करना आवश्यक है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: आधार एक वर्ग है जिसकी भुजा 5 सेमी है; पार्श्व फलक समचतुर्भुज हैं; आधार के ऊपर एक शीर्ष आधार पर स्थित सभी शीर्षों से समान दूरी पर है।

फेसला।पहले आपको स्थिति से निपटने की जरूरत है। वर्ग के बारे में पहले पैराग्राफ के साथ कोई प्रश्न नहीं हैं। दूसरा, समचतुर्भुज के बारे में, यह स्पष्ट करता है कि समानांतर चतुर्भुज झुका हुआ है। इसके अलावा, इसके सभी किनारे 5 सेमी के बराबर हैं, क्योंकि समचतुर्भुज की भुजाएँ समान हैं। और तीसरे से यह स्पष्ट हो जाता है कि इससे खींचे गए तीन विकर्ण बराबर हैं। ये दो हैं जो पार्श्व चेहरों पर स्थित हैं, और अंतिम एक समानांतर चतुर्भुज के अंदर है। और ये विकर्ण किनारे के बराबर होते हैं, यानी इनकी लंबाई भी 5 सेमी होती है।

आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको एक झुकाव वाले समानांतर चतुर्भुज के लिए लिखे गए सूत्र की आवश्यकता होगी। फिर, इसमें कोई ज्ञात मात्रा नहीं है। हालांकि, आधार के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है क्योंकि यह एक वर्ग है।

एस ओ \u003d 5 2 \u003d 25 (सेमी 2)।

ऊंचाई के मामले में थोड़ा और मुश्किल है। यह तीन आकृतियों में ऐसा होगा: एक समानांतर चतुर्भुज, एक चतुर्भुज पिरामिड और एक समद्विबाहु त्रिभुज। अंतिम परिस्थिति का उपयोग किया जाना चाहिए।

चूंकि यह एक ऊंचाई है, यह एक समकोण त्रिभुज में एक पैर है। इसमें कर्ण एक ज्ञात किनारा होगा, और दूसरा पैर वर्ग के आधे विकर्ण के बराबर है (ऊंचाई भी माध्यिका है)। और आधार के विकर्ण को खोजना आसान है:

डी = (2 * 5 2) = 5√2 (सेमी)।

n = (5 2 - (5/2 * 2) 2) = √ (25 - 25/2) = (25/2) = 2.5 √2 (सेमी)।

वी \u003d 25 * 2.5 √2 \u003d 62.5 √2 (सेमी 3)।

जवाब: 62.5 2 (सेमी 3)।

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परिभाषा

बहुतलहम बहुभुज से बनी एक बंद सतह और अंतरिक्ष के कुछ हिस्से को बाउंडिंग कहेंगे।

वे खंड जो इन बहुभुजों की भुजाएँ हैं, कहलाते हैं पसलियांपॉलीहेड्रॉन, और स्वयं बहुभुज - चेहरे के. बहुभुज के शीर्षों को बहुफलक के शीर्ष कहते हैं।

हम केवल उत्तल पॉलीहेड्रा पर विचार करेंगे (यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो प्रत्येक विमान के एक तरफ होता है जिसमें उसका चेहरा होता है)।

बहुफलक बनाने वाले बहुभुज इसकी सतह बनाते हैं। किसी दिए गए बहुफलक से घिरे अंतरिक्ष के भाग को उसका आंतरिक भाग कहते हैं।

परिभाषा: प्रिज्म

समानांतर विमानों में स्थित दो समान बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) पर विचार करें ताकि खंड \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)समानांतर हैं। बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) और साथ ही समांतर चतुर्भुज द्वारा निर्मित पॉलीहेड्रॉन \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)कहा जाता है (\(n\)-कोयला) चश्मे.

बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) को प्रिज्म, समांतर चतुर्भुज का आधार कहा जाता है \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- पार्श्व चेहरे, खंड \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- पार्श्व पसलियों।
इस प्रकार, प्रिज्म के किनारे एक दूसरे के समानांतर और बराबर होते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें - एक प्रिज्म \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), जिसका आधार उत्तल पंचभुज है।

ऊंचाईएक प्रिज्म एक आधार पर किसी भी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर लंबवत होता है।

यदि किनारे के किनारे आधार के लंबवत न हों, तो ऐसा प्रिज्म कहलाता है परोक्ष(चित्र 1), अन्यथा - सीधा. एक सीधे प्रिज्म के लिए, किनारे के किनारे ऊँचाई होते हैं, और पार्श्व फलक समान आयत होते हैं।

यदि एक सम बहुभुज समकोण प्रिज्म के आधार पर स्थित हो, तो प्रिज्म कहलाता है सही.

परिभाषा: मात्रा की अवधारणा

आयतन इकाई एक इकाई घन है (आयाम \(1\times1\times1\) इकाइयों\(^3\) के साथ घन, जहां इकाई माप की कुछ इकाई है)।

हम कह सकते हैं कि एक बहुफलक का आयतन वह स्थान है जो इस बहुफलक को सीमित करता है। अन्यथा: यह एक ऐसा मान है जिसका संख्यात्मक मान इंगित करता है कि कितनी बार एक इकाई घन और उसके हिस्से किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन में फिट होते हैं।

आयतन में क्षेत्रफल के समान गुण होते हैं:

1. समान अंकों का आयतन बराबर होता है।

2. यदि एक बहुफलक कई अप्रतिच्छेदी बहुफलकों से बना है, तो इसका आयतन इन बहुफलकों के आयतनों के योग के बराबर होता है।

3. आयतन एक गैर-ऋणात्मक मान है।

4. आयतन को cm\(^3\) (घन सेंटीमीटर), m\(^3\) (घन मीटर), आदि में मापा जाता है।

प्रमेय

1. प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
पार्श्व सतह क्षेत्र प्रिज्म के पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है।

2. प्रिज्म का आयतन आधार क्षेत्र के गुणनफल और प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर होता है: \

परिभाषा: बॉक्स

समानांतर खातयह एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज के सभी फलक (उनके \(6\) : \(4\) पार्श्व फलक और \(2\) आधार) समांतर चतुर्भुज हैं, और विपरीत फलक (एक दूसरे के समानांतर) समान समांतर चतुर्भुज हैं (चित्र 2)।

बॉक्स का विकर्णएक समांतर चतुर्भुज के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही फलक पर नहीं होता है (उनका \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)आदि।)।

घनाभएक समांतर चतुर्भुज है जिसके आधार पर एक आयत है।
क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज है, तो पार्श्व फलक आयत हैं। तो, सामान्य तौर पर, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी फलक आयत होते हैं।

एक घनाभ के सभी विकर्ण बराबर होते हैं (यह त्रिभुजों की समानता से प्राप्त होता है \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)आदि।)।

टिप्पणी

इस प्रकार, समानांतर चतुर्भुज में प्रिज्म के सभी गुण होते हैं।

प्रमेय

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होता है \

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है \

प्रमेय

एक घनाभ का आयतन एक शीर्ष से निकलने वाले उसके तीन किनारों के गुणनफल के बराबर होता है (एक घनाभ के तीन आयाम): \

प्रमाण

क्योंकि एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं, फिर वे इसकी ऊंचाई भी हैं, यानी \(h=AA_1=c\) आधार एक आयत है \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). यहीं से सूत्र आता है।

प्रमेय

एक घनाभ का विकर्ण \(d\) सूत्र द्वारा खोजा जाता है (जहाँ \(a,b,c\) घनाभ के आयाम हैं)\

प्रमाण

अंजीर पर विचार करें। 3. क्योंकि आधार एक आयत है, तो \(\triangle ABD\) आयताकार है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) ।

क्योंकि सभी पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं, फिर \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)इस तल में किसी भी रेखा के लंबवत, अर्थात। \(BB_1\perp BD\) । अतः \(\triangle BB_1D\) आयताकार है। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), टीएचडी

परिभाषा: घन

घनक्षेत्रएक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है, जिसकी सभी भुजाएँ समान वर्ग हैं।

इस प्रकार, तीन आयाम एक दूसरे के बराबर हैं: \(a=b=c\) । तो निम्नलिखित सत्य हैं

प्रमेयों

1. किनारे वाले घन का आयतन \(a\) है \(V_(\text(cube))=a^3\) ।

2. घन के विकर्ण को \(d=a\sqrt3\) सूत्र द्वारा खोजा जाता है।

3. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S_(\text(पूर्ण घन पुनरावृत्तियों))=6a^2\).